Đề bài
Cho hai đường thẳng chéo nhau \[d\] và \[d\]. Đoạn thẳng \[AB\] có độ dài \[a\] trượt trên \[d\], đoạn thẳng \[CD\] có độ dài \[b\] trượt trên \[d\]. Chứng minh rằng khối tứ diện \[ABCD\] có thể tích không đổi.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Gọi \[h\] là độ dài đường vuông góc chung của \[d\] và \[d\], \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[d\] và \[d\]. Qua \[B, A, C\] dựng hình bình hành \[BACF\]. Qua \[A,C, D\] dựng hình bình hành \[ACDE\].
Khi đó \[CFD.ABE\] là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \dfrac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]
Kẻ\[AH \bot \left[ {CDF} \right]\] ta có:\[{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.V_{CFD.ABE} = \dfrac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left[ {CDF} \right] \supset CD\\\Rightarrow d\left[ {d;d'} \right] = d\left[ {AB;CD} \right] = d\left[ {AB;\left[ {CDF} \right]} \right] \end{array}\]
\[= d\left[ {A;\left[ {CDF}\right]} \right] = AH = h\]
\[AB//CF \Rightarrow \widehat {\left[ {d;d'} \right]} = \widehat {\left[ {AB;CD} \right]} = \widehat {\left[ {CF;CD} \right]} = \widehat {DCF} = \alpha \]
\[ \Rightarrow {S_{CDF}} = \dfrac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \dfrac{1}{2}ab\sin \alpha \]
Vậy\[V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.h.\dfrac{1}{2}ab\sin \alpha=\dfrac{1}{6}.h. ab. sinα = const\]. [đpcm]