Đề bài
Tìm \[a\] và \[b\] để các cực trị của hàm số
\[y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\]
đều là những số dương và \[x_{0}=-\dfrac{5}{9}\]là điểm cực đại.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hàm số đã cho đạt cực đại tại\[{x_0} \] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left[ x_0 \right] = 0\\y''\left[ x_0 \right] < 0\end{array} \right.\], từ đó tìm \[a\].
- Thay \[a\] vừa tìm được ở trên vào hàm số.
Tìm \[b\] dựa vào điều kiện:Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \[ \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\].
Lời giải chi tiết
Ta có: \[y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\], \[y'' = 10{a^2}x + 4a\].
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \[{x_0} = - \dfrac{5}{9}\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left[ { - \dfrac{5}{9}} \right] = 0\\y''\left[ { - \dfrac{5}{9}} \right] < 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left[ { - \dfrac{5}{9}} \right]^2} + 4a.\left[ { - \dfrac{5}{9}} \right] - 9 = 0\\10{a^2}.\left[ { - \dfrac{5}{9}} \right] + 4a < 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a = - \dfrac{9}{5}\\a < 0 \ {hoặc}\ a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a = - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\]
Ta có: \[y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\] có \[\Delta ' = 49{a^2} > 0\] với \[a \ne 0\] nên phương trình \[y' = 0\] luôn có hai nghiệm phân biệt\[{x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} = - \dfrac{9}{{5a}}\].
Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \[ \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\].
Với \[a = \dfrac{{81}}{{25}}\] thì \[{x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} = - \dfrac{5}{9}\].
Do đó \[{y_{CT}} = y\left[ {\dfrac{{25}}{{81}}} \right]\] \[ = \dfrac{5}{3}.{\left[ {\dfrac{{81}}{{25}}} \right]^2}.{\left[ {\dfrac{{25}}{{81}}} \right]^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left[ {\dfrac{{25}}{{81}}} \right]^2} \]\[- 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0\]
\[ \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}\]
Với \[a = - \dfrac{9}{5}\] thì \[{x_1} = - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1\].
Do đó \[{y_{CT}} = y\left[ 1 \right]\] \[ = \dfrac{5}{3}.{\left[ { - \dfrac{9}{5}} \right]^2}{.1^3} + 2.\left[ { - \dfrac{9}{5}} \right]{.1^2} \]\[- 9.1 + b > 0\]
\[ \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}\].
Vậy các giá trị \[a, b\] cần tìm là: \[\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.\]hoặc\[\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.\].