Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số \[y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\].
LG a
a] Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số \[m\], hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm số: \[y'\], chỉ ra \[y' > 0,\forall x \in D.\]
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle y = {{mx - 1} \over {2x + m}}\].
Tập xác định: \[\displaystyle \mathbb R\backslash \left\{ {{{ - m} \over 2}} \right\}\];
Ta có:\[\displaystyle y' = {{{m^2} + 2} \over {{{[2x + m]}^2}}} > 0,\forall x \ne - {m \over 2}\]
Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
LG b
b] Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \[A[-1 ; \sqrt2]\].
Phương pháp giải:
Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số theo m. Sau đó thế tọa độ của điểm A vào phương trình đường tiệm cận để tìm m.
Lời giải chi tiết:
Tiệm cận đứng \[\displaystyle \]: \[\displaystyle x = - {m \over 2}\].
Vì \[\displaystyle A[-1 ; \sqrt2]\] \[\displaystyle - {m \over 2}= -1 m = 2\].
LG c
c] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \[m = 2\].
Phương pháp giải:
Thay giá trị của m đã cho vào công thức hàm số sau đó khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
Với \[\displaystyle m = 2\] thì hàm số đã cho có phương trình là: \[\displaystyle y = {{2x - 1} \over {2x + 2}}\].
Tập xác đinh: \[\displaystyle D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \]
* Sự biến thiên:
Ta có: \[\displaystyle y' = {2.2+2 \over {{{[2x + 2]}^2}}}={6 \over {{{[2x + 2]}^2}}} > 0\] \[\forall x \in D\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\displaystyle [-\infty;-1]\] và \[\displaystyle [-1;+\infty]\]
- Cực trị:
Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận:
\[\displaystyle \eqalign{
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = 1 \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ - }} = + \infty \cr
& \mathop {\lim y}\limits_{x \to - {1^ + }} = - \infty \cr} \]
Tiệm cận đứng là \[\displaystyle x=-1\], tiệm cận ngang là: \[\displaystyle y=1\]
- Bảng biến thiên
* Đồ thị
Đồ thị hàm số giao \[\displaystyle Ox\] tại điểm \[\displaystyle [{1\over 2};0]\], giao \[\displaystyle Oy\] tại điểm \[\displaystyle [0;{-1\over 2}]\].
Đồ thị hàm số nhận điểm \[\displaystyle I[-1;1]\] làm tâm đối xứng.