Đề bài
Cho hình thang cân \[ABCD \;[AB // CD]\], \[E\] là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng \[EA = EB, EC = ED.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
- Hai tam giác bằng nhau có các góc tương ứng bằng nhau
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Do \[ABCD\] là hình thang cân [giả thiết] nên \[AD = BC, AC = BD\] [tính chất hình thang cân]
Xét \[\Delta A{\rm{D}}C\] và \[\Delta B{\rm{C}}D\]
+] \[AD = BC\] [chứng minh trên]
+] \[AC = BD\][chứng minh trên]
+] \[DC\] chung
Suy ra \[ADC = BCD\] [c.c.c]
Suy ra\[\widehat{C_{2}}=\widehat{D_{1}}\] [\[2\] góc tương ứng]
Do đó \[\Delta E{\rm{D}}C\]cân tại \[E\] [dấu hiệu nhận biết tam giác cân]
\[ \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\][tính chất tam giác cân]
Lại có:
\[AC = B{\rm{D}}\left[ \text{chứng minh trên} \right]\]
\[EC = E{\rm{D}}\left[ \text{chứng minh trên} \right]\]
Trừ vế với vế, ta được \[ AC - CE=B{\rm{D}} - DE\]
Hay \[ E{\rm{A}} = EB\].
Vậy\[EA = EB, EC = ED.\]