Đề bài
Chứng minh rằng phương trình:
a] \[2x^3-6x+ 1 = 0\] có ít nhất hai nghiệm;
b] \[\cos x = x\]có nghiệm.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét các hàm số vế trái của phương trình.
- Tìm hai điểm bất kì và tính tích các giá trị của hàm số tại hai điểm đó.
+ Nếu tích nhỏ hơn \[0\] thì ta kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng hai giá trị ấy.
+ Nếu tích lớn hơn \[0\] thì ta không kết luận gì và tìm giá trị khác để tính.
Lời giải chi tiết
a] Xét hàm số \[f[x]=2x^3-6x+ 1\]là hàm đa thức nên liên tục trên \[\mathbb R\].
Ta có:
\[f\left[ 0 \right] = {2.0^3} - 6.0 + 1 = 1;\]
\[f\left[ 1 \right] = {2.1^3} - 6.1 + 1 = - 3;\]
\[f\left[ { - 2} \right] = 2.{\left[ { - 2} \right]^3} - 6.\left[ { - 2} \right] + 1 = - 3\]
+]\[f\left[ 0 \right].f\left[ 1 \right] = 1.\left[ { - 3} \right] < 0\]nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \[x_0 \in [0; 1]\].
+]\[f\left[ 0 \right].f\left[ -2 \right] = 1.\left[ { - 3} \right] < 0\]nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \[x_1 \in [-2; 0]\].
Mà\[\left[ {0;1} \right] \cup \left[ { - 2;0} \right] = \emptyset \Rightarrow x_0\ne x_1 \Rightarrow\] phương trình \[f[x] = 0\] có ít nhất hai nghiệm.
b] \[\cos x = x \Leftrightarrow \cos x - x = 0\]
Xét hàm số\[g\left[ x \right] = \cos x - x\]xác định trên \[\mathbb R\] nên liên tục trên \[\mathbb R\].
Ta có:
\[g\left[ 0 \right] = \cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1;\]
\[g\left[ {\dfrac{\pi }{2}} \right] = \cos \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2}\]
\[g\left[ 0 \right].g\left[ {\dfrac{\pi }{2}} \right] = 1.\left[ { - \dfrac{\pi }{2}} \right] = - \dfrac{\pi }{2} < 0\] nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[[0; \dfrac{\pi }{2}]\].