Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Xét vị trí tương đối của đường thẳngdvàd'trong các trường hợp sau:
LG a
a] d:\[\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\] và d':\[\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\];
Phương pháp giải:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'. Gọi\[\overrightarrow a ;\,\overrightarrow {a'} \] lần lượt là VTCP của d và d',\[{M_1} \in d,\,\,{M_2} \in d'\].
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' song song: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = k\overrightarrow {a'} \\M \in d,\,\,M \notin d'\end{array} \right.\,\].
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' cắt nhau là \[ \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \] và \[\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\].
Điều kiện để hai đường thẳng d và d' chéo nhau:\[\left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\].
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \[d\] đi qua \[M_1[ -3 ; -2 ; 6]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u_{1}}[2 ; 3; 4]\].
Đường thẳng \[d'\] đi qua \[M_2[ 5 ; -1 ; 20]\] và có vectơ chỉ phương\[\overrightarrow{u_{2}}[1 ; -4 ; 1]\].
Ta nhận thấy\[\overrightarrow{u_{1}}\],\[\overrightarrow{u_{2}}\]không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ta có\[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}&\begin{array}{l}4\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 4\end{array}\end{array}} \right|} \right] = \left[ {19;2; - 11} \right]\] ;\[\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [8 ; 1 ; 14] \]
Mà\[\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = [19.8 + 2 - 11.14] = 0\] nên \[d\] và \[d'\] cắt nhau.
Cách khác:
Xét hệ phương trình:\[\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & [1]\\ -2+3t=-1-4t' & [2] \\ 6+4t=20+t'& [3] \end{matrix}\right.\]
Từ [1] với [3], trừ vế với vế ta có \[2t = 6 => t = 3\], thay vào [1] có \[t' = -2\].
Từ đó \[d\] và \[d'\] có điểm chung duy nhất \[M[3 ; 7 ; 18]\]. Do đódvàd'cắt nhau tại M.
LG b
b] d:\[\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\] và d': \[\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có :\[\overrightarrow{u_{1}}[1 ; 1 ; -1]\] là vectơ chỉ phương củadvà\[\overrightarrow{u_{2}}[2 ; 2 ; -2]\] là vectơ chỉ phương củad' .
Ta thấy\[\overrightarrow{u_{1}}\]và\[\overrightarrow{u_{2}}\]cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.
Lấy điểm \[M[1 ; 2 ; 3]d\], thay tọa độ điểm \[M\] vào phương trình \[d'\] ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 2t'\\2 = - 1 + 2t'\\3 = 2 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = 0\\t' = \frac{3}{2}\\t' = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left[ {VN} \right]\]
Vậy \[M \notin d'\] nên \[d\] và \[d'\] song song.