Đề bài
Trên đường thẳng chứa cạnh \[BC\] của tam giác \[ABC\] lấy một điểm \[M\] sao cho \[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \]. Hãy phân tích vectơ \[\overrightarrow {AM} \]theo hai vectơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow v = \overrightarrow {AC}. \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Với 3 điểm \[A, \, \, B, \, \, C\] bất kì ta luôn có:\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\]
Lời giải chi tiết
Trước hết ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC}\cr& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3.[\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} ] \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {BC} \cr
& \Rightarrow - 2\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {BC} \cr
&\Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {BC} \cr &\Rightarrow \overrightarrow {BM} = {3 \over 2}\overrightarrow {BC} \cr} \]
Mà \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \] nên \[\overrightarrow {BM} = {3 \over 2}[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ]\]
Theo quy tắc \[3\] điểm, ta có
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \cr&= \overrightarrow {AB} + {3 \over 2}[\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ] \cr&= \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} \cr &= - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {3 \over 2}\overrightarrow {AC} \cr
&\text{ Hay } \overrightarrow {AM} = - {1 \over 2}\overrightarrow u + {3 \over 2}\overrightarrow v \cr} \]
Cách khác:
Ta có: \[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]
Theo quy tắc ba điểm ta có:
Lấy [2] nhân với 3 rồi lấy [1] trừ đi ta được: