Đề bài
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với \[6\] cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi các tiếp điểm và sử dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau của mặt cầu để chứng minh.
Lời giải chi tiết
Giả sử tứ diện \[ABCD\] có mặt cầu tiếp xúc với cả \[6\] cạnh của tứ diện; tiếp xúc với \[AB, BC, CD,AD,AC,BD\] lần lượt tại \[M,N,P,Q,R,S\]. Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau, nên ta có:
\[ \left\{\begin{matrix} AM= AR = AQ\\ BM= BN= BS\\ CN= CP= CR\\ DP = DQ = DS\\ \end{matrix}\right.\]
Ta chứng minh: \[AB + CD = AC +BD = AD + BC\].
Ta có
\[AM+ MB + CP+ PD \]\[=AR+RC+BS+SD\]
\[= AQ+ QD+ BN+ NC\]
Hay:\[AB + CD = AC +BD = AD + BC\].