Đề bài
Cho \[AK\] và \[BM\] là hai trung tuyến của tam giác \[ABC\]. Hãy phân tích các vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \]theo hai vectơ sau \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v = \overrightarrow {BM} .\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.
+] Với 3 điểm \[A, \, \, B, \, \, C\] bất kì ta luôn có:\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\]
Lời giải chi tiết
Gọi \[G\] là giao điểm của \[AK, BM\] thì \[G\] là trọng tâm của tam giác.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow {AK} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = {2 \over 3}\overrightarrow u \cr
& \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {BG} = - {2 \over 3}\overrightarrow {BM} = - {2 \over 3}\overrightarrow v \cr} \]
Theo quy tắc \[3\] điểm đối với tổng vec tơ:
\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB}\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = {2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \]
\[AK\] là trung tuyến nên K là trung điểm \[BC\]. Do đó,
\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \]\[ \Rightarrow [{2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v] + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u \]
\[\Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow u - \dfrac{2}{3}\overrightarrow u + \dfrac{2}{3}\overrightarrow v \]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AC} = {4 \over 3}\overrightarrow u + {2 \over 3}\overrightarrow v \]\[ \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - {4 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v \]
\[BM\] là trung tuyến nên \[M\] là trung điểm \[AC\]. Do đó,
\[\eqalign{
& \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \cr&\Rightarrow - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + \overrightarrow {AB} \cr &= 2\overrightarrow v + [{2 \over 3}\overrightarrow u - {2 \over 3}\overrightarrow v] \cr&= {2 \over 3}\overrightarrow u + {4 \over 3}\overrightarrow v. \cr} \]
Cách khác:
+ K là trung điểm của BC nên ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK} \] hay \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow u \,\,\left[ 1 \right]\]
+ M là trung điểm AC nên ta có: \[\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \] hay \[ - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \,\,\left[ 2 \right]\]
+ Lại có\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \,\,\left[ 3 \right]\]
Cộng [1] với [3] ta được \[2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow u \], kết hợp với [2] ta được hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow u \\ - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \end{array} \right.\]
Trừ hai vế của hai pt cho nhau ta được: \[3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow - \left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v } \right] + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow v + \frac{2}{3}\overrightarrow u - \frac{2}{3}\overrightarrow v \\ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow u + \frac{4}{3}\overrightarrow v \end{array}\]