Cho các số phức thỏa mãn tập hợp điểm biểu diễn cho các số phức là đường thẳng có phương trình

Ví dụ 1:Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - (1 + i)| = |z + 2i| là đường nào sau đây ?

A. Đường thẳng.        B. Đường tròn.        C. Elip.        D. Parabol.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi, (x;y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) trong mặt phẳng Oxy.

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x + 3y + 1 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2:Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện 

A. Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0.

B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x - 2y + 3 = 0.

C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y - 3 = 0.

D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y + 3 = 0.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi,(x;y ∈ R)

Ta có: 

<=>|x + (y-2)i| = |(x+1) - yi|

<=> x2 + (y - 2)2 = (x + 1)2 + y2

<=> 2x + 4y - 3 = 0

Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y - 3 = 0.

Chọn C.

Ví dụ 3:Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z -2 + 3i| = |z-4i| là đường nào sau đây ?

A. Đường thẳng.        B. Đường tròn.        C. Elip.        D. Parabol.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi, được biểu diễn bởi điểm M(x;y) trong mặt phẳng Oxy.

Ta có: |z -2 + 3i| = |z - 4i| <=> |x + yi -2 + 3i| = |x + yi - 4i|

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng -4x + 14y -3 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 4:Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện 

 .

A. Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0.

B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x - 2y - 1 = 0.

C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình -4x + 2y - 3 = 0.

D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x - 4y + 3 = 0.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi,(x,y ∈ R)

Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x - 2y - 1 = 0 .

Chọn B.

Được cập nhật: hôm qua lúc 1:49:37 | Lượt xem: 2393

Trong bài này HocThatGioi sẽ hướng dẫn cho các bạn bài biểu diễn hình học trong chương Số Phức Toán 12. Qua bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ quỹ tích biểu diễn các điểm số phức và cũng như xây dựng một nền tảng giúp giải quyết các bài toán cực trị về sau. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để giải quyết các bài toán này nhé!

Cho số phức z = x + yi với M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z và z thỏa mãn một điều kiện K cho trước nào đó.

Nếu ta biến đổi điều kiện K và tìm được mối liên hệ giữa x,\:y có dạng:

Ax + By + C = 0

Thì ta kết luận được tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: Ax + By + C = 0.

Bài tập 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \left|z + 2 \right| = \left|z \: – \: i \right| là một đường thẳng. Hãy tìm đường thẳng đó?

Theo đề ta có: \left|z + 2 \right| = \left|z \: – \: i \right|
\Leftrightarrow(x + 2)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2
\Leftrightarrow 4x + 4 = -2y + 1
\Leftrightarrow 4x + 2y + 3 =0

Cho số phức z = x + yi với M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z và z thỏa mãn một điều kiện K cho trước nào đó.

Nếu ta biến đổi điều kiện K và tìm được mối liên hệ giữa x,\:y có dạng:

(x \: - \: a)^2 + (x \: - \: b)^2 = R^2

Thì ta kết luận được tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(a; b) với bán kính R

Bài tập 2: Xét các số phức z thỏa mãn (\bar{z} + 3i)(z \: – \: 3) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

Gọi z = x + yi
Theo giả thiết, ta có: (\bar{z} + 3i)(z \: – \: 3) = (\left|z \right|)^2 \: – \: 3\bar{z} + 3iz \: – \: 9i là số thuần ảo khi x^2 + y^2 \: – \: 3x \: – \: 3y =0.
Đây là phương trình đường tròn tâm I\left ( \frac{3}{2}; \frac{3}{2} \right ) bán kính R = \frac{3\sqrt{2}}{2}

Lưu ý: Dạng 1 và dạng 2 là hai dạng toán rất hay ra trong các kì thi cuối kì và trung học phổ thông quốc gia. Do đó các bạn cần nắm vững để dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến tập hợp điểm biểu diễn số phức và cực trị số phức.

Trong toán học, một đường conic (hoặc gọi tắt là conic) là một đường cong bậc hai tạo nên bằng cách cắt một mặt nón tròn xoay bằng một mặt phẳng.

Một số hình elip thường gặp trong số phức là elip, parabol,…

Nếu ta biến đổi điều kiện ban đầu và tìm được mối quan hệ x, y về dạng:

1. \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 thì điểm biểu diễn số phức z là hình elip với trục lớn là 2a và trục bé là 2b, với tiêu cự là c = \sqrt{a^2 - b^2}
2. y = ax^2 + bx + c thì điểm biểu diễn số phức là một Parabol.

Để có thể hiểu hơn về hình elip, các bạn bấm vào Elip để tìm hiểu rõ hơn.

Bài tập 3: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2\left|z \:-\: i \right|=\left|z \:-\: \bar{z} + 2i\right| là một hình gì?

Đặt z = x +yi
Khi đó: 2\left|z \:-\: i \right|=\left|z \:-\: \bar{z} + 2i\right|
\Leftrightarrow 2\left|x + (y \:-\: 1)i\right| = \left|(2y+2)i\right|
\Leftrightarrow \left|x + (y \:-\: 1)i\right| = \left|(y+1)i\right|
\Leftrightarrow x^2 + (y \:-\: 1)^2 = (y + 1)^2
\Leftrightarrow y = \frac{x^2}{4}
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một Parabol

Bài tập 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn \left|z + 2 \:-\: i\right| + \left|z \:-4\: -i\right| = 10.

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi
Ta có: \left|z + 2 \:-\: i\right| + \left|z \:-4\: -i\right| = 10.
\Leftrightarrow \left|x + 2 + (y \:-\: 1)i\right| + \left|x \:-\:4 + (y \:-\:1)i\right| = 10.
\Leftrightarrow \sqrt{(x+2)^2 + (y \:-\:1)^2}+\sqrt{(x \:-\: 4)^2 + (y \:-\:1)^2}=10 (*)
Đặt A(-2; 1), B(4; 1) \Leftrightarrow AB = 6
Khi đó phương trình (*) trở thành: MA + MB = 10.
Khi đó tập hợp những điểm Mthỏa mãn phương trình (*) là một elip với:
+ Độ dài trục lớn 2a = 10 \Rightarrow a = 5.
+ Tiêu cự 2c = AB = 6 \Rightarrow c = 3.
+ Độ dài trục bé với b^2 = a^2 \:- \: c^2 = 16 \Rightarrow b = 4
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip trên là: S = \pi .a.b = 20\pi.

Trên đây là bài viết về Tập hợp điểm biểu diễn số phức z. Qua bài viết này, HocThatGioi đã giúp bạn nắm rõ các dạng bài cũng như phương pháp giải cách bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn Số Phức z. Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương Số Phức này để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt!

Bài viết khác liên quan đến số phức