Bài 4.18 trang 165 sbt đại số và giải tích 11
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{x_n^3 + 1}}{{x_n^2 + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{x_n^3\left( {1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right)}}{{x_n^3\left( {\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}{{\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn LG a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {{x + 3} \over {3-x}}\) Phương pháp giải: Xem lại định nghĩa giới hạn hàm sốtại đây Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\) Giả sử \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) là dãy số bất kì, \({x_n} \ne 3\) và \({x_n} \to 5\) Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} \dfrac{{{x_n} + 3}}{{3 - {x_n}}} = \dfrac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} {x_n} + 3}}{{3 - \mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty} {x_n}}}\) \( = \dfrac{{5 + 3}}{{3 - 5}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \dfrac{{x + 3}}{{3 - x}} = - 4\) LG b \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} + 1} \over {{x^2} + 1}}\) Phương pháp giải: Xem lại định nghĩa giới hạn hàm sốtại đây. Lời giải chi tiết: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\) Giả sử \(\left\{ {{x_n}} \right\}\) là dãy số bất kì, \({x_n} \to +\infty\) Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{1}{{{x_n}}} = 0\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{x_n^3 + 1}}{{x_n^2 + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{x_n^3\left( {1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right)}}{{x_n^3\left( {\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}{{\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right) = 1 + 0 = 1 > 0\) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}} \right) = 0 + 0 = 0\) và \(\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}} > 0\) Nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{x_n^3}}}}{{\dfrac{1}{{{x_n}}} + \dfrac{1}{{x_n^3}}}} = + \infty \) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 1}} = + \infty \).
|