Tất cả các mô hình quy hoạch tuyến tính đều có ĐẶC điểm chúng quan trọng nào

1. Mô hình quy hoạch tuyến tính 1.1. Các bước cần thiết khi áp dụng phương pháp mô hình hoá − Trước hết phải khảo sát, phát hiện vấn đề cần giải quyết. − Phát biểu các điều kiện ràng buộc, mục tiêu của bài toán dưới dạng định tính. Sau đó lựa chọn các biến quyết định / các ẩn số và xây dựng mô hình định lượng (còn gọi là mô hình toán học). − Thu thập số liệu, xác định phương pháp giải quyết. − Định ra quy trình giải / thuật giải. Có thể giải mô hình bằng cách tính toán thông thường. Đối với các mô hình lớn, gồm nhiều biến và nhiều điều kiện ràng buộc cần lập trình và giải mô hình trên máy tính. − Đánh giá kết quả. Trong trường hợp phát hiện thấy có kết quả bất thường hoặc kết quả không phù hợp với thực tế, cần kiểm tra và chỉnh sửa lại quy trình giải hoặc mô hình. − Triển khai các phương án tìm được trên thực tế. Các thuật ngữ sau thường gặp khi áp dụng phương pháp mô hình hoá: − Ứng dụng toán / Toán ứng dụng (Mathematical Applications hay Applied Mathematics). − Vận trù học (Operations Research viết tắt là OR). − Khoa học quản lí (Management Science viết tắt là MS) 1.2. Mô hình quy hoạch tuyến tính Phát biểu mô hình Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mô hình toán học sau đây, còn gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính hay bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà trong đó chúng ta muốn tối ưu hoá (cực đại hoá hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu: z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n → Max (Min)

1. Mô hình quy hoạch tuyến tính 1.1. Các bước cần thiết khi áp dụng phương pháp mô hình hoá − Trước hết phải khảo sát, phát hiện vấn đề cần giải quyết. − Phát biểu các điều kiện ràng buộc, mục tiêu của bài toán dưới dạng định tính. Sau đó lựa chọn các…

Khái niệm về quy hoạch tuyến tính hiện được nhiều người nhắc đến. Khái niệm này sử dụng nhiều trong việc phân bổ các nguồn lực. Tuy nhiên, nhiều người vẫn chưa hiểu rõ khái niệm này là như thế nào. Để hiểu rõ hơn, bài viết sau đây sẽ giúp cho bạn đọc biết được rõ hơn về khái niệm khó hiểu này.

1.   Tìm hiểu khái niệm về quy hoạch tuyến tính là gì ?

Tên gọi tiếng anh được gọi là Linear programming nên nhiều người gọi tắt là LP khi nhắc đến khái niệm này.

Ảnh 1 : Tìm hiểu khái niệm về quy hoạch tuyến tính là gì ? Nguồn: Internet

Quy hoạch tuyến tính là gì?

Đây là một trong những thuật toán giúp cho chúng ta có thể thực hiện tối ưu hoặc lên kế hoạch tốt nhất từ nhiều các phương án khác nhau. Có thể nói, phương án tối ưu sẽ đáp ứng được các chỉ tiêu của một hãng, trên các hạn chế và các ràng buộc liên quan.

Nội dung mà LP nhắc đến là việc thực hiện phân bổ các nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động để có được phương thức tối ưu  nhất. Từ đó giúp mang lại hiệu quả cao, lãi gộp nhiều hoặc doanh thu cao nhất, chi phí thấp nhất.

Có thể bạn quan tâm: Quy hoạch phân khu là gì và những quy định bạn cần biết

Các thành phần của quy hoạch tuyến tính:

Trong mô hình của quy hoạch tuyến tính được chia làm 2 bộ phận đó là Hàm Mục Tiêu và các ràng buộc. Theo đó, các hàm mục tiêu giúp xác định mục đích hướng tới. Các ràng buộc là các hạn chế của nguồn lực nhằm thỏa mãn các yêu cầu. Hai khái niệm này ràng buộc với nhau, luôn đi song hành với nhau. Vì vậy, khi thực hiện cần chú ý đến cả 2 yếu tố.

2.   Các ứng dụng của quy hoạch tuyến tính

Ảnh 2: Các ứng dụng của quy hoạch tuyến tính Nguồn: Internet

Việc giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ giúp cho người dùng có được các ứng dụng đa dạng như:

Giúp chúng ta lựa chọn đầu vào có chi phí thấp mà sản xuất sản phẩm tối ưu. Đồng thời lựa chọn được ngân sách tối ưu nhất, có các quyết định đầu tư tối ưu. Bên cạnh đó là việc thực hiện phân bổ ngân sách cho các hạng  mục, lên kế hoạch sử dụng các máy móc, các cách thức vận chuyển được thấp nhất.

Ngoài ra, trong các chuyến bay có thể thực hiện các kế hoạch khác nhau. Nhờ vậy mà phân bổ được lực lượng tối ưu hơn. Chúng ta có thể đưa ra các lựa chọn vị trí đặt cơ sở nhà xưởng cho phù hợp nhất trên các tiêu chí nhất định.

Có thể bạn quan tâm: Quy Hoạch, Kế Hoạch Sử Dụng Đất

Với các thông tin kể trên, chúng ta đã biết được thế nào là quy hoạch tuyến tính. Trên cơ sở đó, người dùng có thể giải quyết được các bài toán quy hoạch tuyến tính mang lại nhiều ứng dụng. Từ đó, mang lại hiệu quả hoạt động tốt hơn trên mọi lĩnh vực.

LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 5 CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương này trình bày cách xây dựng mô hình quy hoạch tuyến tính của những bài toán dạng đơn giản. Đây là những kiến thức quan trọng để xây dựng mô hình cho những bài toán phức tạp hơn trong thực tế sau này. Các khái niệm về ‘’ lồi’’ đuợc trình bày để làm cơ sở cho phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính. Một ví dụ mở đầu được trình bày một cách trực quan để làm rõ khái niệm về phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính. Nội dung chi tiết của chương bao gồm : I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1- Bài toán vốn đầu tư 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất 3- Bài toán vận tải II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát 2- Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 3- Phương án III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi và tính chất 2- Đặc điểm của tập các phương án 3- Phương pháp hình học IV- MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 1- Ma trận cơ sở - Phương án cơ sở - Suy biến 2- Dấu hiệu tối ưu LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 6 CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính. Đây chỉ là một định nghĩa mơ hồ, bài toán quy hoạch tuyến tính sẽ được xác định rõ ràng hơn thông qua các ví dụ . Các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là như sau : a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu. b- Lập mô hình toán học. c- Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đã mô hình hoá bằng ngôn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính. d- Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần. e- Áp dụng giải các bài toán thực tế. 1- Bài toán vốn đầu tư Người ta cần có một lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2,..,m do các thức ăn j=1,2,...,n cung cấp. Giả sử : aij là số lượng chất dinh dưỡng loại i có trong 1 đơn vị thức ăn loại j (i=1,2,...,m) và (j=1,2,..., n) bi là nhu cầu tối thiểu về loại dinh dưỡng i cj là giá mua một đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt ra là phải mua các loại thức ăn như thế nào để tổng chi phí bỏ ra ít nhất mà vẫn đáp ứng được yêu cầu về dinh dưỡng. Vấn đề được giải quyết theo mô hình sau đây : Gọi xj ≥ 0 (j= 1,2,...,n) là số lượng thức ăn thứ j cần mua . Tổng chi phí cho việc mua thức ăn là : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 7 nn2211n1jjjxc......xcxc xcz +++==∑= Vì chi phí bỏ ra để mua thức ăn phải là thấp nhất nên yêu cầu cần được thỏa mãn là : nn2211n1jjjxc......xcxc xcz min +++==∑=Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 1 là : ai1x1 (i=1→m) Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 2 là : ai2x2 ......................................................... Lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn n là : ainxnVậy lượng dinh dưỡng thứ i thu được từ các loại thức ăn là : ai1x1+ai2x2+...+ainxn (i=1→m) Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu được phải thỏa yêu cầu bi về dinh dưỡng loại đó nên ta có ràng buộc sau : ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≥ bi (i=1→m) Khi đó theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình toán sau đây : nn2211n1jjjxc......xcxc xcz min +++==∑= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++n)1,2,...,(j 0xbxa...xaxa..........................................bxa...xaxabxa...xaxajmnmn2m21m12n2n2221211n1n212111 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất Từ m loại nguyên liệu hiện có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm Giả sử : aij là lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất 1 sản phẩm loại j (i=1,2,...,m) và (j=1,2,..., n) bi là số lượng nguyên liệu loại i hiện có cj là lợi nhuận thu được từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 8 Vấn đề đặt ra là phải sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng lợi nhuận thu được từ việc bán các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện nguyên liệu hiện có. Gọi xj ≥ 0 là số lượng sản phẩm thứ j sẽ sản xuất (j=1,2,...,n) Tổng lợi nhuận thu được từ việc bán các sản phẩm là : nn2211n1jjjxc......xcxc xcz +++==∑= Vì yêu cầu lợi nhuận thu được cao nhất nên ta cần có : nn2211n1jjjxc......xcxc xczmax +++==∑=Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ 1 là ai1x1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ 2 là ai2x2 ............................................... Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n là ainxn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất là các sản phẩm là ai1x1+ai2x2+...+ainxnVì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất các loại sản phẩm không thể vượt quá lượng được cung cấp là bi nên : ai1x1+ai2x2+...+ainxn ≤ bi (i=1,2,...,m) Vậy theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình sau đây : nn2211n1jjjxc......xcxc xczmax +++==∑=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++n)1,2,...,(j 0xbxa...xaxa..........................................bxa...xaxabxa...xaxajmnmn22m11m2nn22221211nn1212111 3- Bài toán vận tải Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ. Lượng hàng hoá ở kho i là si (i=1,2,...,m) và nhu cầu hàng hoá của cửa hàng j là dj LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 9 (j=1,2,...,n). Cước vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ kho i đến của hàng j là cij ≥ 0 đồng. Giả sử rằng tổng hàng hoá có ở các kho và tổng nhu cầu hàng hoá ở các cửa hàng là bằng nhau, tức là : ∑∑===n1jjm1iids Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước là nhỏ nhất, với điều kiện là mỗi cửa hàng đều nhận đủ hàng và mỗi kho đều trao hết hàng. Gọi xij ≥ 0 là lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j. Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất cả các kho j là : ∑=n1jijijxc Cước vận chuyển tất cả hàng hoá đến tất cả kho sẽ là : ∑∑===m1in1jijijxcz Theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình toán sau đây : ⎪⎩⎪⎨⎧==≥===∑∑∑===n)1,1,...,(j m)1,2,...,(i 0xn)1,2,...,(j dxxcz minijm1ijijm1in1jijij II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát Tổng quát những bài toán quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, một bài toán quy hoạch tuyến tính là một mô hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại (max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức tuyến tính. Dạng tổng quát của một bài toán quy hoạch tuyến tính là : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 10 ()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∈∈≤∈≥⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≤∈==∑∑∑∑====3j2j1j3in1jjij2in1jjij1in1jjijn1jjjJj tùy ý x(III) Jj 0xJj 0x)I(i bxa(II) )I(i bxa)I(i bxa(I) xcz maxmin/ Trong đó : • (I) Hàm mục tiêu Là một tổ hợp tuyến tính của các biến số, biểu thị một đại lượng nào đó mà ta cần phải quan tâm của bài toán. • (II) Các ràng buộc của bài toán Là các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh ra từ điều kiện của bài toán. • (III) Các các hạn chế về dấu của các biến số Người ta cũng thường trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính dưới dạng ma trận như sau : []⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==mnm21m2n22211n1211ija ... a a......................a ... a aa ... a aaA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m21n21n21b...bbb c...ccc x...xxx Gọi ai (i=1→m) là dòng thứ i của ma trận A, ta có : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 11 ()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∈∈≤∈≥⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤∈==3j2j1j3ii2ii1iiTJj tùy ý x(III) Jj 0xJj 0x)I(i bxa(II) )I(i bxa)I(i bxa(I) xc)x(zin/max m Người ta gọi : - A là ma trận hệ số các ràng buộc. - c là vectơ chi phí (cT là chuyển vị của c) - b là vectơ giới hạn các ràng buộc. 2- Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc Bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = và các biến số đều không âm. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥===∑∑==(III) n)1,2,...,(j 0x(II) )m1,2,...,(i bxa(I) xczmin/max jin1jjijn1jjj ( m≤ n ) rang(A)=m ⎪⎩⎪⎨⎧≥==(III) 0x(II) bAx(I) xc)x(z min/max T Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc nhờ các quy tắc sau đây : - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≤ thì người ta cộng thêm vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i ≥ 0 để được dấu = . LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 12 - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≥ thì người ta trừ vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i ≥ 0 để được dấu = . Các biến phụ chỉ là những đại lượng giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, nó phải không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên không xuất hiện trong hàm mục tiêu. - Nếu biến xj ≤ 0 thì ta đặt xj = -x’j với x’j ≥ 0 rồi thay vào bài toán. - Nếu biến xj là tuỳ ý thì ta đặt jjjxxx′′−′= với jjx , x′′′ đều ≥ 0 rồi thay vào bài toán. - Trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm. Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = , vế phải và các biến số đều không âm. Ví dụ : Biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây về dạng chính tắc : ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+−+≥++−≥++≤+++−−++−=tùy ý x , x0x0x , x20xx2xx10x3xx21xx2x7xx2xx2xx2xx2xx2)x(z min3245143215434325432154321 Bằng các thay thế : )0x,x( xxx)0x,x( xxx)0x( xx3333322222444≥′′′′′−′=≥′′′′′−′=≥′′−= ta được : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 13 0x,x, x, x, x, x, x, x, x , x20x)xx(2)xx(x10xx3x)xx(21xx)xx(2)xx(7xxx2)xx()xx(2xx2x)xx(2)xx(x2)x(z min433228765143322185433743322654332215433221≥′′′′′′′⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=′−′′−′−′′−′+=−+′−′′−′−=−+′′−′+′′−′=++′−′′−′+′′−′−−′−′′−′+′′−′−= hay : 0x,x, x, x, x, x, x, x, x, x20x)xx(2)xx(x10xx3x)xx(21xx)xx(2)xx(7xxx2)xx()xx(2xx2x)xx(2)xx(x2)x(z min433228765143322185433743322654332215433221≥′′′′′′′⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=′−′′−′−′′−′+=−+′−′′−′=+−′′−′−′′−′−=++′−′′−′+′′−′−−′−′′−′+′′−′−= 3- Phương án Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc : (P) ⎩⎨⎧≥== 0x bAx xc)x(z min/max T• x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án của (P) khi và chỉ khi Ax = b. • x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án khả thi của (P) khi và chỉ khi Ax = b và x ≥ 0 . • Một phương án tối ưu của (P) là một phương án khả thi của (P) mà giá trị của hàm mục tiêu tương ứng đạt min/max. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 14 III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi và các tính chất a- Tổ hợp lồi - Cho m điểm xi trong không gian Rn . Điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm xi nếu : 1.... 0,....,, x...xx xxn21n21mm2211m1iii=α++α+α≥αααα++α+α=α=∑=- Khi x là tổ hợp lồi của hai điểm x1, x2 người ta thường viết : x=λx1+(1-λ)x2 (0≤λ≤1) Nếu 0<λ<1 thì x được gọi là tổ hợp lồi thật sự. - Ðoạn thẳng Tập hợp tất cả các tổ tổ hợp lồi của 2 điểm bất kỳ A, B∈ Rn được gọi là đoạn thẳng nối A và B . Ký hiệu : δAB= {x = λA + (1-λ)B với λ∈[0,1] } Định lý Tổ hợp lồ có tính chất bắc cầu. b- Tập hợp lồi Tập con S của Rn được gọi là tập hợp lồi khi S chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểmbất kỳ của S. λx + (1-λ)y ∈ S ∀x,y∈,λ∈[0,1] Tập hợp rỗng và tập hợp chỉ có một phần tử được xem là tập hợp lồi. Định lý Giao của một số bất kỳ các tập hợp lồi là một tập hợp lồi. Định lý Nếu S là một tập hợp lồi thì S chứa mọi tổ hợp lồi của một họ điểm bất kỳ trong S. LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 15 c- Ðiểm cực biên của một tập hợp lồi Ðiểm x trong tập lồi S ⊂ Rn được gọi là điểm cực biên nếu không thể biểu diễn được x dưới dạng tổ hợp lồi thật sự của hai điểm phân biệt của S. x d- Ða diện lồi và tập lồi đa diện Đa diện lồi Tập hợp S tất cả các tổ hợp của các điểm x1, x2,....,xm cho trước được gọi là đa diện lồi sinh ra bởi các điểm đó. Đa diện lồi là một tập hợp lồi. Trong đa diện lồi người ta có thể loại bỏ dần các điểm là tổ hợp của các điểm còn lại. Khi đó người ta thu được một hệ các điểm, giả sử là y1, y2,...,yp (p≤m) . Các điểm này chính là các điểm cực biên của đa diện lồi, chúng sinh ra đa diện lồi đó. Số điểm cực biên của đa diện lồi là hữu hạn. Siêu phẳng - Nửa không gian A=[aij]m.n là ma trận cấp m.n Ai (i=1,2,...,m) là hàng thứ i của A Siêu phẳng trong Rn là tập các điểm x=[x1,x2,.....,xn]T thỏa Ai x = biNửa không gian trong Rn là tập các điểm x=[x1,x2,.....,xn]T thỏa Ai x ≥ biSiêu phẳng và nửa không gian đều là các tập hợp lồi. Tập lồi đa diện Giao của một số hữu hạn các nửa không gian trong Rn được gọi là tập lồi đa diện.