Đề bài
Từ điểm P bên ngoài đường tròn [O, kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến [O]. Đường thẳng song song với PA kẻ từ B cắt [O] tại C, PC cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai là E. Đường BE cắt PA tại M.
a] Chứng minh: \[PM^2= BM.ME\]
b] Chứng minh rằng M là trung điểm của PA.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và dây cùng chắn 1 cung
+Tam giác đồng dạng
Lời giải chi tiết
a] PA // BC \[\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{P_1}}\] [ so le trong]
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {MBP}\] [ góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung BE]
Do đó \[PME\] và \[BMP\] đồng dạng [g.g]
\[\Rightarrow\dfrac{{PM}}{{BM}} = \dfrac{{ME} }{ {PM}}\]
\[\Rightarrow PM^2= BM.ME\] [1]
b] Tương tự ta có hai tam giác AME và BMA đồng dạng [g.g] vì có :
\[\widehat {MAE} = \widehat {{B_1}}\] và \[\widehat {AMB}\] chung
\[\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{BM}} =\dfrac {{ME}}{{AM}}\]
\[\Rightarrow AM^2= BM.ME\] [2]
Từ [1] và [2]\[ \Rightarrow P{M^2} = A{M^2}\]
\[ \Rightarrow PM = AM\] hay M là trung điểm của PA.