Đề bài
Cho khối lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh bằng \[a\]. Gọi \[E\] và \[F\] lần lượt là trung điểm của \[B'C'\] và \[C'D'\]. Mặt phẳng \[[AEF]\] chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện [H] và [H'] trong đó [H] là khối đa diện chứa đỉnh \[A'\]. Tính thể tích của [H].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng [AEF].
Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Tính thể tích của [H']:\[{V_{\left[ {H'} \right]}} = {V_{C'EF.C{B_1}{D_1}}} - {V_{A.B{B_1}D}} - {V_{D{D_1}K}}\]
Lời giải chi tiết
Cách vẽ thiết diện:
Ta có \[EF // B'D'\] mà \[B'D' // BD\] nên từ \[A\] kẻ đường song song với \[BD\], cắt \[CD\] kéo dài tại \[D_1\]và \[CB\] kéo dài tại \[B_1\].
Nối \[B_1E\] cắt \[BB'\] tại \[G\]. Nối \[D_1F\] cắt \[DD'\] tại \[K\].
Thiết diện là ngũ giác \[AGEFK\].
Hình [H] là khối \[AGEFK.A'B'D'\].
Theo giả thiết \[E\] là trung điểm của \[B'C'\]; \[F\] là trung điểm của \[C'D'\], ta có \[BB_1= BC = a = 2B'E\] \[\Rightarrow BG = 2GB' = {2 \over 3}a\]
Từ đó\[{V_{A.B{B_1}G}} = \frac{1}{3}AB.{S_{B{B_1}G}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^3}}}{9} = {V_1}\]
\[{V_{[A.D{D_1}K]}} = {1 \over 3}.{S_{\Delta D{D_1}K}}.AD = {1 \over 9}{a^3} = {V_2}\]
Ta có:
\[{S_{\Delta C{B_1}{D_1}}} = {1 \over 2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\];
\[{S_{\Delta EC'F}} = {1 \over 2}.C'E.C'F = {{{a^2}} \over 8}\]
Chiều cao hình chóp cụt \[CB_1D_1.C'EF \]là \[CC' = a\]
\[{V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = {1 \over 3}a\left[ {2{a^2} + {{{a^2}} \over 8} + {{{a^2}} \over 2}} \right] = {{7{a^3}} \over 8}\]
Thể tích của khối [H'] bằng:
\[{V_{[H']}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - [{V_1} + {V_2}] = {7 \over 8}{a^3} - {2 \over 9}{a^3} = {{47} \over {72}}{a^3}\]
Từ đó thể tích của khối [H] bằng:
\[{V_{[H]}} = V\]lập phương\[-V\][H'] = \[a^3- {{47} \over {72}}{a^3} = {{25} \over {72}}{a^3}\]