Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số \[\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\]
LG a
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị\[[C]\] của hàm số đã cho.
Phương pháp giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã được học.
Lời giải chi tiết:
- Tập xác định: \[D=[-, 2] [2, +].\]
- Sự biến thiên: \[\displaystyle y' = {2 \over {{{[2 - x]}^2}}} > 0,\forall x \in D\]
Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.
- Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {2 \over {2 - x}} = 0;\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {2 \over {2 - x}} = 0\]
\[ \Rightarrow y = 0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [{2 \over {2 - x}}] = - \infty ;\] \[\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} [{2 \over {2 - x}}] = + \infty \]
\[ \Rightarrow x = 2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \[y = 1\], không cắt trục hoành.
LG b
b] Tìm các giao điểm của\[[C]\] và đồ thị của hàm số \[y=x^2+1.\]Viết phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] tại mỗi giao điểm.
Phương pháp giải:
Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \[[C]\] với đồ thị hàm số\[y=x^2+1\]tìm các giao điểm.
+] Sau đó lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[[C]\] dựa vào công thức:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=f[x]\] tại điểm \[x=x_0\] có công thức:\[y = y'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}.\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[\displaystyle {2 \over {2 - x}} = {x^2} + 1\] \[ \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\]
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm \[M_1[0; \, 1]; \, M_2[1; \, 2].\]
Tiếp tuyến với đồ thị [C]: \[\displaystyle y = {2 \over {2 - x}}\]tại điểm \[M_1\] có phương trình là:
\[y = y'\left[ 0 \right]\left[ {x - 0} \right] + 1 = \dfrac{1}{2}x + 1\].
Tiếp tuyến tại điểm \[M_2\]có phương trình \[y =y'[1][x-1]+2\] \[= 2[x 1] + 2 = 2x.\]
LG c
c] Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị [C] và các đường thẳng \[y = 0, \, x = 0, \, x = 1\] xung quanh trục \[Ox.\]
Phương pháp giải:
Khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y=f[x], \, y=g[x]\] và các đường thẳng \[x=a, \, \, x=b \, [a