Đề bài
Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1]\] và \[D[1; 1; 1]\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
[A] Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;
[B] Tam giác ABD là tam giác đều ;
[C] \[AB CD\] ;
[D] Tam giác \[BCD\] là tam giác vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
b] Chứng minh AB = BD = DA
c] Kiểm tra tích vô hướng\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\]
d] Kiểm tra trong các điều kiện \[\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = 0\\\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0\\\overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} = 0\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Ta có: phương trình đoạn chắn mặt phẳng [ABC] là:\[\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \] \[\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\].
Dễ thấy điểm D không thuộc [ABC] nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Mệnh đề A đúng.
Ta có:
\[\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left[ {0 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 0} \right]}^2} + {{\left[ {0 - 0} \right]}^2}} = \sqrt 2 \\
AD = \sqrt {{{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 0} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 0} \right]}^2}} = \sqrt 2 \\
BD = \sqrt {{{\left[ {1 - 0} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {1 - 0} \right]}^2}} = \sqrt 2 \\
\Rightarrow AB = AD = BD
\end{array}\]
Do đó tam giác ABD đều, mệnh đề B đúng.
\[\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = [ - 1;1;0] \cr
& \overrightarrow {CD} = [1;1;0] \cr
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \cr} \]
Mệnh đề C đúng.
Chọn [D]