Đề bài
Phương trình \[{{\cos 4x} \over {\cos 2x}} = \tan 2x\]có số nghiệm thuộc khoảng\[\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]là:
A. \[2\] B. \[ 3\]
C. \[4\] D. \[5\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng công thức\[\tan 2x = \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}\], quy đồng, bỏ mẫu.
+] Sử dụng công thức nhân đôi:\[\cos 4x = 1 - 2{\sin ^2}2x\]
+] Giải phương trình bậc hai của\[\sin 2x\].
+] Giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin.
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \[cos2x 0 sin2x ± 1\]
Ta có:
\[{{\cos 4x} \over {\cos 2x}} = {{\sin 2x} \over {\cos 2x}} \Rightarrow \cos 4x = \sin 2x\]
\[\Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}2x = \sin 2x\]
\[ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + \sin 2x - 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin 2x = - 1 \hfill\text{[loại]} \cr
\sin 2x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin 2x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
2x = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over {12}} + l\pi \hfill \cr} \right.k,l \in \mathbb{Z}\cr} \]
Ta lại có:
\[x \in [0,{\pi \over 2}]\]
+] \[x = {\pi \over {12}} + k\pi :0 < {\pi \over {12}} + k\pi < {\pi \over 2}\]
\[\Leftrightarrow 0 < {1 \over {12}} + k < {1 \over 2}\]
\[\Leftrightarrow {{ - 1} \over {12}} < k < {5 \over {12}}[k \in \mathbb{Z}] \Rightarrow k = 0\]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi }{{12}}\]
+] \[x = {{5\pi } \over {12}} + l\pi :0 < {{5\pi } \over {12}} + l\pi < {\pi \over 2}\]
\[\Leftrightarrow 0 < {5 \over {12}} + l < {1 \over 2} \]
\[\Leftrightarrow {{ - 5} \over {12}} < l < {1 \over {12}}[l \in \mathbb{Z}] \Rightarrow l = 0\]
\[ \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{{12}}\]
Vậy phương trình có đúng \[2\] nghiệm thuộc khoảng\[[0,{\pi \over 2}]\]
Chọn đáp án A.