Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho phương trình \[7x^2+ 2[m 1]x m^2= 0\]
LG a
Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có nghiệm?
Phương pháp giải:
Phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,\left[ {a \ne 0} \right]\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\Delta \ge 0\] [hoặc \[\Delta ' \ge 0]\]
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình \[7x^2+ 2[m 1]x m^2= 0\] [1] có \[a=7\ne 0\]
Phương trình [1] có nghiệm khi \[\Delta 0\]
Ta có: \[\Delta = [m 1]^2 7[-m^2] = [m 1]^2+ 7m^2 0\] với mọi \[m\]
Vậy phương trình [1] luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \[m\]
LG b
Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \[m\].
Phương pháp giải:
Hệ thức Vi-et: Với \[x_1;x_2\] là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,\left[ {a \ne 0} \right]\] thì
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}
\end{array} \right.\]
Biến đổi \[x_1^2+x_2^2\] để sử dụng được hệ thức Vi-ét.
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình \[7x^2+ 2[m 1]x m^2= 0\] [1] có \[a=7\ne 0\]
Gọi \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình [1]
Theo hệ thức Viet ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \dfrac{2[m-1]}{7}\\
{x_1}.{x_2} = \dfrac{- m^2}{7}
\end{array} \right.\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
x_1^2 + x_2^2=x_1^2 + x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2 \\= {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2}\\
= {\left[ {\dfrac{{ - 2\left[ {m - 1} \right]}}{7}} \right]^2} - 2.\dfrac{{ - {m^2}}}{7}\\
= \dfrac{{4\left[ {{m^2} - 2m + 1} \right]}}{{49}} + \dfrac{{2{m^2}}}{7}\\
= \dfrac{{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}}}{{49}}\\
= \dfrac{{18{m^2} - 8m + 4}}{{49}}
\end{array}\]
Vậy \[\displaystyle x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\] .