Cho hai số thực dương x y thỏa x + 2y 3 tìm giá trị lớn nhất của P xy
|
Câu hỏi: Show \(4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – \left( {8x + 8y} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + 9\) bằng A. \(m = 11.\) B. \(m = 10.\) C. \(m = 12 \cdot \) D. \(m = \frac{{19}}{2} \cdot \) GY:: Ta có \(4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – 8x – 8y\,\,\, \Leftrightarrow \ln \left( {2x + 2y + 1} \right) – \ln \left( {5xy} \right)\, = 4\left( {5xy} \right) – 4\left( {2x + 2y + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln \left( {2x + 2y + 1} \right) + 4\left( {2x + 2y + 1} \right) = \ln \left( {5xy} \right)\, + 4\left( {5xy} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right).\) Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4t + \ln t\) với \(t > 0\). Vì \(f’\left( t \right) = 4 + \frac{1}{t} > 0,\,\,\forall t > 0\) nên \(f(t)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\, + \infty } \right).\) Như vậy \(\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,f\left( {2x + 2y + 1} \right) = f\left( {5xy} \right)\,\, \Leftrightarrow 2x + 2y + 1 = 5xy\,\,(2).\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(2x + 2y + 1 \ge 4\sqrt {xy}+ 1\,(3).\,\,\,\,\) Từvàsuy ra \(5xy \ge 4\sqrt {xy}+ 1\,\, \Leftrightarrow 5{\sqrt {xy} ^2} – 4\sqrt {xy}- 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {xy}- 1} \right)\left( {5\sqrt {xy}+ 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {xy}\ge 1\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,x > 0,y > 0} \right).\) Dẫn tới \(P = xy + 9 \ge 10.\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x = y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\) Vậy \(\min P = 10\) đạt được khi \(x = y = 1.\) =======
Giải chi tiết: ĐK: \(\left\{ \matrix{ {{1 - xy} \over {x + 2y}} > 0 \hfill \cr x + 2y \ne 0 \hfill \cr x,y > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 - xy > 0 \Rightarrow xy < 1 \Rightarrow x < {1 \over y}\) \(\eqalign{ & {\log _3}{{1 - xy} \over {x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - {\log _3}\left( {x + 2y} \right) = 3xy + x + 2y - 4 \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - 3xy + 4 = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y \cr & \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_3}\left( {1 - xy} \right) + 1} \right] + \left( {3 - 3xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y \cr & \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3 - 3xy} \right) + \left( {3 - 3xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y\,\,\left( * \right) \cr} \). Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = {1 \over {t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Mà từ (*) ta có: \(f\left( {3 - 3xy} \right) = f\left( {x + 2y} \right),\) do đó \(3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x\left( {1 + 3y} \right) = 3 - 2y \Leftrightarrow x = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}}\) (vì y > 0). Ta có: \(x < {1 \over y} \Rightarrow {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} < {1 \over y} \Rightarrow {{3y - 2{y^2} - 1 - 3y} \over {\left( {1 + 3y} \right)y}} < 0 \Leftrightarrow - 2{y^2} - 1 < 0\) (luôn đúng). Khi đó \(P = x + y = {{3 - 2y} \over {1 + 3y}} + y = {{3 - 2y + y + 3{y^2}} \over {1 + 3y}} = {{3{y^2} - y + 3} \over {1 + 3y}} = f\left( y \right)\). Ta có: \(f'\left( y \right) = {{\left( {6y - 1} \right)\left( {1 + 3y} \right) - 3\left( {3{y^2} - y + 3} \right)} \over {{{\left( {1 + 3y} \right)}^2}}} = {{9{y^2} + 6y - 10} \over {{{\left( {1 + 3y} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {y_1} = {{ - 1 + \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr {y_2} = {{ - 1 - \sqrt {11} } \over 3} \hfill \cr} \right.\) BBT:  Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(y = {y_1}\), khi đó \({P_{\min }} = f\left( {{y_1}} \right) = {{2\sqrt {11} - 3} \over 3}.\) Chọn D. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì Suy luận nào sau đây đúng? Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Cho \(a > b > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây sai? Hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến khi nào? Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào? Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào? Tập xác định của hàm số \(y = {2^x}\) là: Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {6^x}\). Cho hàm số \(y = {e^{2x}} - x\). Chọn khẳng định đúng.
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn x + y + 2xy = \(\dfrac{15}{2}\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y Các câu hỏi tương tự cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x+2y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của P=xy
Mã câu hỏi: 219452 Loại bài: Bài tập Chủ đề : Môn học: Toán Học Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài CÂU HỎI KHÁCCho hai số dương x; y thỏa mãn: x + 2y = 3. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:. Tính M + m.
A.
B.
C.
D.
Đáp án và lời giải
Đáp án:B Lời giải: Theo đề: Đáp án đúng là B.
Chia sẻ
Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
|
