Hệ phương trình tương đương với hệ phương trình 2x - 5y 52x+3y=5 là

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ĐẶNG THÀNH NAM (Giám đốc trung tâm nghiên cứu, tư vấn và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn) NHỮNG DIỀU CẦN BlẾT LUYỆN THI Quốc GIA THEO CẤU mức ĐỀ THI MỚI NHẤT CỦA BỘ GD &ĐT KỸ THUẬT GIẢI NHANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3x 2 - 2x - 5 + 2x\Ị X 2 +1 = 2 (1 ỳyỊy 2h X 2 + 2_y 2 = 2x - 4y + 3 Dành cho học sinh lóp 10,11,12 Ôn thi quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi Dành cho giáo viên giảng dạy và luyện thi Quốc gia Se nhà xuất bản đại học quóc gia hà nội Hà NỘI Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com JHụje ẨUie Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức bổ sung khi giải hệ phương trình.3 Chủ đề 1: Phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai . 3 Chủ đề 2: Phương trình bậc ba . 4 Chủ đề 3: Phương trình bậc bốn . 7 Chủ đề 4: Phương trình phân thức hữu tỷ . 12 Chủ đề 5: Hệ hương trình hai ẩn có chứa phương trình bậc nhất . 13 Chủ đề 6: Hệ hương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát . 14 Chương 2: Các kỹ thuật và phương pháp giải hệ phương trình.25 Chủ đề 1. Kỹ thuật sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . 25 Chủ đề 2. Hệ phương trình đối xứng loại I. . 46 Chủ đề 3. Hệ phương trình đối xứng loại II. . 99 Chủ đề 4. Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp . 132 Chủ đề 5. Kỹ thuật sử dụng phép thế. . 159 Chủ đề 6. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử. . 188 Chủ đề 7 . Kỹ thuật cộng, trừ và nhân theo vế hai phương trình của hệ . 222 Chủ đề 8. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số. . 254 Chủ đề 9. Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng tổng - hiệu . 336 Chủ đề 10. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số. . 361 Chủ đề 11. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình . 427 Chủ đề 12. Kỹ thuật đánh giá . 438 Chủ đề 13. Hệ phương trình có chứa căn thức . 491 Chủ đề 14. Kỹ thuật lượng giác hóa . 576 Chủ đề 15. Kỹ thuật hệ số bất định . 600 Chủ đề 16. Kỹ thuật phức hóa . 640 Chủ đề 17. Kỹ thuật sử dụng tính chất hình học giải tích . 665 Chủ đề 18. Kỹ thuật nhân liên hợp đối với hệ phương trình có chứa căn thức 677 Chủ đề 19. Một sô'bài toán chọn lọc và rèn luyện nâng cao . 704 Chương 3: Bài toán có chứa tham sôT..783 Chủ đề 1: Hệ đối xứng loại 1 . 783 Chủ đề 2: Hệ đối xứng loại II . 827 Chủ đề 3: Hệ đẳng cấp . 836 Chủ đề 4: Kỷ thuật sử dụng tính đơn điệu cửa hàm sô' — Xử lý bài toán hệ phương trình có chứa tham số . 846 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC Bổ SUNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Nội dung chương này đề cập đến các nội dung - Phương trình, bất phương trình bậc nhât và bậc hai. - Các phương trình bậc ba, bậc bốn dạng đặc biệt. - Các phương trình dạng phân thức đặc biệt. - Phương pháp giải phương trình bậc ba, bậc bôn tổng quát. - Hệ phương trình cơ bản gồm hệ bậc nhất hai ẩn, hệ bậc nhất ba ẩn, hệ gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai hai ẩn. - Hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát. Đây là những kiến thức cơ bản và cần thiết trước khi tiếp cận với hệ phương trình nên hy vọng sẽ cung cấp đủ những kỹ năng về giải phương trình và hệ phương trình ưước khi chúng ta đến với các hệ phương trình dạng nâng cao hơn. Chồ Đề 1; PHƯƠNG TRÌNH, BÂT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1, Phương trình bậc nhất ax + b = 0, (a ^ 0) + Nếu a = 0, b 4 0 phương trình vô nghiệm. + Nếu a = 0, b = 0, phương trình vô sô" nghiệm. 2 . + Nếu a^0<=>x = - — là nghiệm của phương trình. Bát phương trình bậc nhất ax + b > 0. + Nếu a > 0 <=> X > -— => s = a + Nếu a < 0 <=> X < => s = b ì —; +03 a ) _ b A -p° - a ^ ãj Phương trình và bất phương trình bậc hai a) Phương trình bậc hai ax 2 + bx 2 + c = 0, (a Ỷ 0). Định thức A = b 2 - 4ac. + Nếu A = b 2 - 4ac < 0, phương trình vô nghiệm. + Nếu A = b’ - 4ac, phương trình có nghiệm duy nhất X Q = . 2a ^ 2 ằ^phưgteg MnhiĩgóAai ngtòầm 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xj 0 = k và khi đó ax 2 + bx + c = a(x - Xj)(x - x 2 ). 2a b) Bất phương trình bậc hai f(x) = ax 2 bft. c+ 0>(a Qệ. + Nếu A = b 2 4ac (Kkhi đó a.f(x) > 0, Vx e R. + Nếu A = b 2 4ac Oc khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x l < x 2 . - Nếu a > 0 Nếu a<0: f(x) > 0 <=> a(x - X 1 )(x - x 2 ) > 0 <=> [f(x) < 0 <=> a(x - Xj )(x - x 9 ) > 0 <=> Xj < X < x 9 f(x)>0<^>a(x-x 1 )(x-x 9 )>0<^>x 1 a(x-Xj)(x-x 0 ) > 0 <=> Chỏ Đề h PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA 1. Phương trình dạng 4x 3 + 3x = m. Hàm số f(x) = 4x 3 3xcó f'(x) = 12x 2 3 -tO, >x w nên phương trình 4x 3 + 3x = m có không quá một nghiệm. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. Do đó là nghiệm của phương trình hay phương trình có nghiệm duy nhất X = 4 a 2 Ví dụ 1. Giải phương trình 4x 3 + 3x = 2 . Lời giải Hàm số f(x) = 4x 3 -8x -2 có f'(x) = 12x 2 3 -+0, >x w nên phương trình có tối đa một nghiệm. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt 2 = a 3 ) 4/2 s . Chọn a = ÃỹH> = -Ự 2 s a "1 f iỴ n3 "1 í 0' 1 ( 1 'N a 3 -4 a — + 3 a — 2' l ã J. 2' l ã J. ~v l a 3 J Khi đó: 4 Vậy: phương trình có nghiệm duy nhất: 1 1 ^ịyỊĨ x/ẽ >/ij. 2. Phương trình dạng 4x - 3x = m . THI: Nếu |m| 1 đăt m = — 2 a + 27ĩ a-2n ,x 3 = cos——— a 3 y <ã> 3 n±- 1 . 1 f 3 0 "l| ( ìỴ ■3 "1 1 ( 01 = 4 a 2+ 3- a 2+ V l a 3 ) 2 ) 2' 1 ^ Vì vậy x 0 = 2- a — một nghiệm của phương trình. 2 V a y Ta chứng minh x () là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy ta có: 4x 3 -3x = 4 xq 3x 0 <^>x x 0 )Ị4x 2 4x 0 x 4 xq 3-j ề. Phương trình 4x 2 +4x 0 x + 4x 2 )-3 = Ocó A' = I 2 Í 1 Xg-Ị Odo|x 0 |>l. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 1 ( 0 ìjm + Vĩn 2 -1 + \Ịm- Vĩn 2 -1 3. Phương trình dạng X 3 + px = q . THI: Nếu p = 0=> X 3 = q<=> x= ^q. TH2: Nếu p > 0 đặt X = 2 J^t đưa về phương trình dạng: 4t 3 + 3t = m. 5 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH3: Nếu p < 0 đặt X = 2^1 yt- đưa về phương trình dạng: 4x 3 - 3x = m . 4. Phương trình bậc ba dạng tổng quát ax ' + bx 2 + cx + d = 0, (a rì 0). Phương pháp phân tích nhân tử. Nếu phương trình có nghiệm x () thì ta có thể phân tích: ax 3 + bx 2 + cx + d = (x -* 0 )Ịax 2 -^b -ax 0 )x He Hbx () Hax 2 )j . Từ đó để giải phương trình bậc ba trên ta đi giải phương trình bậc hai: ax 2 + (b + ax () ) X + c + bx () + ax 2 } = 0 . Phương pháp Cardano. Chia hai vế phương trình cho a íữl phương trình về dạng: X 3 + ax 2 + bx + c = 0 . Bằng cách đặt y = X J luôn đưa phương trình về dạng chính tắc: Ịx, Vx 2 -ã 2 "! = 0 pp 3 a y + py + q = 0 (1)ưongđóp = q—— ,q = c+G Ta chỉ cần xét p, q rì 0 vì nếu p = 0 hoặc q = 0 phương trình đơn giản, tiếp tục đặt y = u + V thay vào (1), ta được: ịu + v} + pịu + v^l + q = 0<$u 3 + V 3 + ịsuv + p I ịu + vj + q = 0. Ta chọn u, V sao cho 3uv + p = 0 khi đó u 3 + V 3 + q = 0. Vậy : ta có hệ phương trình 13uv + p = 0 1 u 3 + V 3 + q = 0 <=> 3 , 3 _ p u V = 27 • „3 , .3 _ u + V -= q ^ 9 ~ p Theo định lý Vi-ét u, V là hai nghiệm của phương trình X + qX - = 0 (3) ĐặtA = rì rì 4 27 + Nếu A > 0 khi đó (3) có hai nghiệm u - rì- 4 , V - — 4 2 2 phương trình (2) có nghiệm duy nhất y = ^Ị-^+y/à + 3--Và n< phương trình (1) có nghiệm thực duy nhất x - + ]Ị~2 + + ìj -~2 -y/à . 6 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com q + Nếu A = 0 khi đó (3) có nghiệm kép u = V = —? ^ và phương trình (2) có hai nghiệm thực trong đó có một nghiệm kép y, = 2^—^-; y 2 = y 3 = Do đó: (1) có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép: a q a Jq X, + -t-;x 9 = x 3 =^- + ?hr 1 3 ^ 2 2 3 3 12 + Nếu A < 0 khi đó (3) có nghiệm phức, giả sử là U(), Vo khi đó (1) có ba nghiệm phức: yt= u o +v o y 2 = - 2 ( u 0 + v 0 ) + iy-( u 0 - v 0 H I y 3 =-|( u o +v o)- i: y( u o- v o) X 1 = 3 +U 0 + V 0 X 2=f-^( U 0 +V o) + Ì y-( U 0- V o) x,=--i(u 0 + v 0 )-i^(u 0 -v 0 ) 3 2 Ngoài hai cách trên có thể giải phương trình bậc ba bằng phương pháp lượng giác hóa hoặc biến đổi đưa về đẳng thức a 3 = b'. Chà Đề 3; PHƯƠNG TRÌNH BẬC BÔN 1. Phương trình dạng trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0.(a Ịt o). Đặt t = X 2 ,(t > o) phương trình trở thành: at 2 + bt + c = 0. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải. 2. Phương trình dạng (x - a) 4 + (x - b) = c. Đặt t = x- a + b phương trình trở thành: t + - b-a t + - a - b = c đưa về phương trình dạng trùng phương. Ví dụ 1. Giải phương trình (x-2) + (x-ô) =82. Lời giải Đặt t = X - 4 phương trình trở thành: (t + 2) 4 + (t -2) 4 = 82. 7 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath. o t 4 +24t 2 -25 = l l)( t 2 + 25 ) = 0 <=> ’t = -l X - 4 = -1 <=> )\ ) t = l X -4 = 1 X = 3 X = 5 Vậy phương trình có hai nghiệm là X = 3,x = 5 . 3. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mvởi a+d=b+c. Đặt t = (x + a)(x + d)hoặc t = (x + b j(x + c) đưa về phương trình bậc hai với ẩn t. Ví dụ 2. Giải phương trình x(x - l)(x -2)(x - 3 ) = 24. Lời giải Đặt t = x(x-3) = x 2 -3x=>(x-l)(x-2) = x 2 -3x + 2 = t + 2 phương trình ữở thành: X = —1 l x = 4 Vậy: phương trình có hai nghiệm là X = -1, X = 4 . 4. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex 2 với ad = bc = m. Viết lại phương trình dưới dạng: Ị^x + a)(x + d)]'[( x + b)(x + = ex 2 . <=> Ịx 2 + (a + d)x + ad jỊx 2 + (b + c)x + bcj = ex 2 . Xét trường hợp X = 0 xem thỏa mãn phương trình hay không. Với X ^ 0 chia hai vế của phương trình cho X 2 , ta được: / \ 0 t = -6 X 2 -3x = -6 (t + 2) = 24 t 2 + 2t-24 = 0<^> <=> <=> V / t = 4 X 2 - 3x = 4 ^ , ad ^ X + — + a + d bc X + — + b + c X = c . Đặt t = X + — = X + — đưa về phương trình bậc hai với ẩn t. XX Ví dụ 3. Giải phương trình (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + ó) = 30x 2 . Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: [(x + 2)(x + 6)].[(x + 3)(x + 4)] = 30x 2 «-Ịx 2 +8x + 12ỊỊx 2 +7x + 12) = 30x 2 Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn phương trình. Xét X * 0 chia hai vế của phương trình cho X 2 , ta được: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + iỉ + 8 X ,12 , „ x + —+ 7 X = 30. Đặt t = x + —,Ị|t| > 4 V 3 Ị phương trình trở thành: (t + 8)(t + 7) = 30^t 2 +15t + 26 = 0^ t = _ ^. 12 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm t = -13<=>x + — = -13. X X = —1 X = -12 <=>x +13x + 12 = 0<=> Vậy phương trình có hai nghiệm là X = -12,X = -1. 5. Phương trình dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 vởi — = a vby THI: Nếu e = 0 đưa về phương trình: ax 4 +bx 3 +CX 2 +dx = xỊax 3 +bx 2 + cx + dj = 0, phương trình tích có chứa phương trình bậc ba dạng tổng quát đã biết cách giải. TH2: Nếu e ^ 0 => X = 0 không là nghiệm của phương trình. Xét X ^ 0 chia hai vế phương trình cho X 2 ta được: H 4 + c = 0. e ả) + c = 0 ( 2 e ^ í <0 + 0 + bx + — <=> a X 2 + + b x + — X 2 V X J V ax 2 ) l bxj d Ẩ 2 2 d 2 d 2 e _ d t = x + -z=ĩ > t = X + - + 2 — = x + — -1 VẢ — bx b 2 x 2 b ax 2 b hai với ẩn t. Ví dụ 4. Giải phương trình X 4 + 3x 3 - 6x 2 + 6x + 4 = 0 . Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn phương trình. Xét X ^ 0 chia hai vế phương trình cho X 2 , ta được: , „ 6 4 X 2 +3x-6 + - + -V = 0<^ X x z í 2 ) L ( 2 ì x + — 4 - 31 x + — l X J l X J -10 = 0 . Đặt t = X + — , t > 2V2 phương trình trở thành: t 2 + 3t -10 = 0 <=> t = 2 t = -5 9 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm: _ 2 2 , - _ — 5 ± Vk7 t = -5<=>x + — = -5<=>x+5x + 2 = 0<=>x =-—-—. X 2 Vậy phương trình có hai nghiệm là X = -5 ± yfĩĩ 6 . Phương trình dạng X 4 = ax 2 + bx + c . THI: Nếu A = b 2 - 4ac = 0 biến đổi đưa phương trình về dạng: X 4 =a x + - 2a TH2: Nếu A = b 2 - 4ac * 0 ta chọn số thực m sao cho: Ịx 2 - mj + m <=> Ịx 2 -mj + 2mỊx 2 -mj Ịx 2 -mj~ =Ịa-2mjx 2 +bx + c + m 2 . Ta chọn m sao cho: b 2 -4(a-2m)íc + m 2 j = 0. Ví dụ 5. Giải phương trình X 4 = 7x 2 - 3x - . Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: 1 / . \2 I x“ + I = -ix - ( x2 + 1 ) - m I + m 2 = ax 2 + bx + c. \2 í V 3x-| 2 X 2 +l = -3x + — <=> X = ■ 3 ±V3 2 -3±V7 VI 1->V IV 3± V 3 — 3±\fĩ Vậy phương trình có bốn nghiệm là X = — -ị —,x =-—. 7. Phương trình bậc bốn tổng quát ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 . Cách 1: Đặt X = — 7 - +1 đưa về phương trình dạng: t 4 = at 2 + pt + X . 4a Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: 4a 2 x 4 + 4bax 3 + 4cax 2 + 4dax + 4ae = 0 <=> ^2ax 2 + bxj~ = Ịb 2 - 4acjx 2 - 4adx - 4ae . 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thêm vào hai vế của phương trình đại lượng 2yị2ãx 2 + bxj + y 2 (với y là hằng số tìm sau). Khi đó: ^2ax 2 +bx + yj" = Ịb 2 -4ac + 4ayjx 2 + 2(by-2ad)x-4ae + y 2 . Ta chọn y sao cho: A' x = (by -2ad)~ -íb 2 -4ac + 4ayjfy 2 -4aej = 0 . Ví dụ 6. Giải phương trình X 4 - 16x 3 + 57x 2 -52x -35 = 0. Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: X 4 -16x 3 + 64x 2 = 7x 2 + 52x + 35 o Ịx 2 - 8x) 2 = 7x 2 + 52x + 35 . Ta thêm và hằng số y thỏa mãn: (x 2 - 8xỊ 2 + 2y Ịx 2 - 8xỊ + y 2 = 7x 2 + 52x + 35 + 2y Ịx 2 - 8xỊ + y 2 . <=> Ịx 2 -8x + yj~ = (2y + 7)x 2 + x(52-16y) + 35 + y 2 . Ta chọn y sao cho A' x = ị26 - 8y)~ - (2y + 7^35 + y 2 j = 0. o (y -1)(2y 2 - 55y + 431) = 0 «• y = 1. Vậy phương trình đã cho tương đương với: (x 2 -8x + l) 2 =9(x + 2) 2 X 2 -8x + l = 3(x + 2) X 2 -8x + l = -3(x + 2) X = 11-VĨ41 2 11 + VĨ4Ĩ 2 Vậy phương trình có hai nghiệm là X = 11-VĨ4Ĩ ll + VŨĨ _I_ V — _"_ -,x = 11 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Pề Ếi PHƯƠNG TRÌNH PHÂN THỨC HỮU TỶ a 2 x 2 1. Phương trình dạng x 2 +^—— = b. (x + a) 2 Phương trình đã cho tương đương với: X — ax X + a 2ax + = b <=> X + a v x + a / + 2a. - X + a = b. x 2 Đặt t = ——— đưa về phương trình bậc hai với ẩn t: t 2 + 2at = b . X + a Ví dụ 1. Giải phương trình X 2 + r „ \ V x + Ư = 1 . Lời giải Điều kiện: X ^ -1. Phương trình đã cho tương đương với: X — X + 1 + - 2x~ x + 1 f 1 \ 2 = 1 <=> v x + 1 / + 2 ,- x + 1 = 1 . í „2 > 2 <=> v x + 1 2 + 2 .- x + 1 ■ = lo x“ x + 1 .2 -=-ỉ + yfĩ <=> X x + 1 ■ = —l — yfĩ -1 + V2- V2-V2V2 -1 -1 + X = 2 ^Í2+^JĨJ2 2 -1 Vậy phương trình có hai nghiệm là: -1 + V2- V 2 - -1 -1 + —;x = — ^Í2+^JĨJ2 -1 - _ ,_x 2 +mx + a x 2 +px + a , 2. Phương trình dạng —-——-_|_ __—±21-- h # X 2 + nx + a X 2 + qx + a Xét xem X = 0 có là nghiệm của phương trình hay không. x+—+m x+—+p Trường hợp X & 0 viết lại phương trình dưới dạng:-—-+-—- = b . a a X H-h n X H-h q X X Đặt t = X + — đưa về phương trình bậc hai với ẩn t. 12 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com , x 2 +5x + 3 x 2 +4x + 3 184 Ví dụ 2. Giải phương trình - 1 ————- = -77-7 . X 2 - 7x + 3 x 2 +5x + 3 119 Lời giải Điều kiện: X 2 + 5x+ 3 ^ 0,x 2 -7x+ 3 ^ 0 . Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn phương trình. 3 3 x+—+5 x+—+4 Xét X 0 viết lại phương trình dưới dạng: - 7 - 1 - 7 - x+—-7 x+—+5 X X Đặt t = X +—,Ị|t| > 2V 3 j phương trình trở thành: 184 ĨĨ9 t+5 t+4 - + - 184 t-7 t + 5 119 -<=> 7 t = 7 - 2 y = - 971 211 <=> 3 7 x + — = — X 2 3 971 x+— X 211 <=> X = 2 3 X = — 2 X = -971 ±7408589 422 Chá Pề 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI Ẩn có chứa PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: ị 1 1 ,(a 2 + b 2 > 0,a2 + b 2 > 0 ]. laTX + b,y = c 0 ' ' Đây là hệ phương trình cơ bản để giải chúng ta có thể thực hiện phép thế, sử dụng máy tính bỏ túi hoặc sử dụng định thức Crame(hay được dùng trong biện luận). a l b l = C 1 b l ,D V = a i C 1 a 2 b 2 7 X c 2 b 2 y 3^2 ^2 Các trường hợp Kết quả D*0 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 0 II >, Q II II Q Hệ phương trình có vô số nghiệm. D = 0 nhuhs 0 hoăc D ^ 0 Hê phươngtrình vô nghiệm. 13 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 . 3. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: ajX + bjy + CjZ = dj < a 9 x + b 0 y + C 2 Z = d 2 ,ía 2 + b 2 + c 2 > 0 ^a 3 x + b 3 y + C 3 Z = d 3 Hệ này dùng phép thế đưa về hệ bậc nhất hai ẩn hoặc dùng máy tính bỏ túi. Hệ phương trình hai ẩn gồm một phương trình bậc nhất và một phương í mx + n y = a trình bậc hai: < 2 . [ax 2 + bxy + cy = d Rút X theo y hoặc rút y theo X từ phương trình đầu của hệ thế vào phương trình thứ hai của hệ đưa về giải phương trình bậc hai. Chá Pề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI Ẩn DẠNG TỔNG QUÁT A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Hệ phương trình bậc hai hai ẩn là hệ có dạng: ịajX 2 + bjy 2 +c 1 xy + d 1 x + e 1 y + f 1 =0 (1) [a 2 x 2 +b 2 y 2 +c 2 xy+ d 2 x + e 2 y + f 2 =0 (2) a) Nếu một trong hai phương trình là bậc nhất thì dễ dàng giải hệ bằng phương pháp thế. b) Nếu — = —!-bằng cách loại bỏ X 2 +y 2 đưa về hệ phương trình bậc hai có a 2 b 2 một phương trình bậc nhất và giải hệ bằng phương pháp thế. c) Nếu một trong hai phương trình là thuần nhất bậc hai(chẳng hạn d j = e! = 1] )khi đó phương trình đầu là ajX 2 + bjy 2 + CjXy = Ophương trình nãy cho phép ta tính được t = — . y d) Hệ đẳng cấp bậc hai nếu dj = ej =d 0 =e 2 =0hệ trở thành hệ đẳng cấp bậc hai. Bằng cách khử đi hệ sô" tự do ta đưa về một phương trình thuần nhất bậc hai cho phép ta tính được t = — . y 14 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt e) Đưa về hệ bậc nhất bằng cách đặt y = tx và đặt z = X 2 giải hệ với hai ẩn là (x;z) lúc sau giải phương trình z = X 2 . f) Trong nhiều trường hợp ta có thể áp dụng phương pháp tịnh tiến nghiệm. Bằng cách đặt ị (với u,vlà các ẩn và a, blà hai nghiệm của hệ Ị y = V + b phương trình). Để tìm a,b có hai cách thực hiện ta cho các hạng tử bậc nhất sau khi khai triển triệt tiêu từ đó ta có hệ đẳng cấp bậc hai với hai ẩn u, V cách giải tương tự trường hợp c) hoặc đạo hàm một phương trình lần lượt theo biến X ,theo biến y giải hệ phương trình thu được ta được nghiệm (x 0 ;y 0 )khi đó a = x 0 ,b = y 0 . g) Dùng hệ số bất định(xem thêm chủ đề hệ số bất định). Cách 1; Lấy (l) + k.(2) đưa về một phương trình bậc hai với ẩn t = ax + by + c ta tìm k hợp lý sao cho phương trình bậc hai có Delta là số chính phương. Cách 2: Tìm hai cặp nghiệm của hệ phương trình. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Lấy một điểm khác hai điểm trên thay vào hai vế các phương trình của hệ từ đó suy ra hệ số bất định cần tìm. h) Đạo hàm lần lượt theo biến X hoặc theo y đối với một trong hai phương trình của hệ tìm ra nghiệm x = a,y = bkhi đó đặt ẩn phụ ị đưa về hệ |v = y-b phương trình đẳng cấp. B. BẰĨ TẬP MẪU _ Bài 1. Giải hệ phương trình I x 1 " 1 -> 3 1X 2 + y - xy + X - 2y = 12 Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp thế. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 5x - 4y - xy = 15 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: Í5x-4y-xy = 15 Ịx 2 +y 2 -4x + 2y = -3 5x -15 y = , 7 X + 4 X 2 +y 2 -4x + 2y = -3 (xí-4) 15 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi y = X 2 + 5x-15 X + 4 5x -15 V x + 4 J . _ 5x-15 _ _ - 4x + 2. +3 = 0 X + 4 y = - 5x -15 X + 4 X* + 4x 3 + 22x 2 - 180x +153 = 0 V. 5x -15 y = 17 - <=> ị x + 4 (x-l)(x-3)( <=> -3 X +8x + 51 =0 X = 1, y = -2 X = 3,y = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;ơ);(l;-2). Cách 2: Đưa về hệ bậc nhất Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X 0 đặt y = tx hệ phương trình trở thành: (l + t 2 )x 2 +2(t-2)x = -3 ịt 2 -t + lỊx 2 +(l-2t)x = 12 Ịl + t 2 Ịz + 2(t-2)x = - Đặt z = X khi đó hệ trở thành: = -3 Ịt 2 -t + lỊz + (l-2t)x = 12 Ta có các định thức: D = 1 + r 2t - 4 t 2 -t + l l-2t = -4t 3 + 7t 2 - 8t + 5 D = -3 2t -4 = -18t + 45;D = 1 + t 2 -3 z 12 1 -2t X t 2 -t + 1 12 = 15t 2 -3t + 15 Nếu D = 0 <=> -4t 3 + 7t 2 -8t + 5 = 0<=>(t-l)Ị4t 2 - 3t + 5 j = 0 <=>t = l=>D=27í£0 nên hệ vô nghiệm. 16 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét t * 1 => D 0 khi đó z ỉ) . _x_ D D =>z = x 2 <=>D„.D = D 2 (-18t + 45)(-4t 3 + 7t 2 -8t + 5 ) = Ịl5t 2 -3t + 15) 2 «• 153t 4 + 216t 3 + 360t = 0 <=> 9t(t + 2)íl7t 2 - lOt + 20 Ị = 0 . <=> t = 0 t = -2 . _ D v THI : Nếu t = 0=> D = 5,D = 15=>x = -^- = 3=>y = 0. x D D v TH2 : Nêu t = -2=>D = 81,D =81=>x = ^ = l=>y = -2. X D Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;0);(l;-2). Cách 3 : Đặt ẩn phụ đưa về hệ đẳng cấp Đặt ] x u + ' hệ phương trình trở thành: [y = v-2 (u + l) +(v-2) -4(u + l) + 2(v-2) = -3 [(u + l) + (v-2) -(u + l)(v-2) + u +1 -2(v - 2 ) = 12 <=> ■ |u 2 +v 2 -2u-2v = 0 u 2 - uv + V 2 + 5u - 7v = 0 Cách 4 : Hệ số bất định(2 hướng xử lý). Viết lại hệ phương trình dưới dạng: |x 2 +y 2 -4x + 2y = -3 (1) |x 2 +y 2 -xy + x-2y = 12 (2) Lấy (1) + k.(2) theo vế ta được: (k + l)x 2 -(ky + k + 4)x + kíy 2 -2y-12Ì + y 2 +2y + 3 = 0. Ta có: A x = (ky + k + 4) 2 -4(k + l)ỊkỊy 2 -2y-12) + y 2 +2y+ 3 Ị = í-3k 2 -8k-4Ịy 2 + ỊlOk 2 + 8k-8^)y + 49k 2 + 44k + 4 = 0. 17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta chọn k sao cho A x là sô" chính phương muốn vậy cho A' = 0 . <^> Í5k 2 + 4k - 4 Ị 2 - Ị-3k 2 - 8k - 4^49k 2 + 44k + 4Ị = 0 «• 43k 4 + 141k 3 + 134k 2 + 44k + 8 - 0 => k = -1 Tức là ttừ theo vế hai phương trình của hệ như lời giải 1 ở trên. UA , [x 2 +3y 2 +4xy-18x-22y + 31 = 0 Bài 2. Giải hệ phương trình -< [2x 2 + 4y 2 + 2xy + 6x - 46y + 175 = 0 Lời giải Cách 1; Đặt ị x u + a khi đó hệ phương trình trở thành: [y = v + b (u + a)~ + 3(v + b)" + 4(u + a)(v + b)-18(u + a) -22(v + b) + 31 = 0 2(11 + a)~ +4(v + b)~ + 2(u + a)(v + b) + 6(u + a)-46(v + b) +175 = 0 11 2 +3v 2 + 4uv + (2a + 4b-18)u + (6b + 4a-22)v + a 2 +3b 2 +4ab-18a-22b + 31 = 0 2u 2 +4v 2 + 2uv + (4a + 2b + 6)u + (8b + 2a-46)v + 2a 2 + 4b 2 + 2ab + 6a - 46b +175 = 0 Ta sẽ chọn các hệ sô" (a;bj sao cho hệ trên trở thành hệ đẳng cấp bậc hai. 2a + 4b -18 = 0 6b + 4a-22 = 0 <=> 1 <=> 4a + 2b + 6 = 0 8b + 2a - 46 = 0 Thay vào hệ trên ta được: u 2 +3v 2 +4uv = l Íu 2 + V 2 -2uv = 0 íu = v <=> < <=> < . 2u 2 + 4v 2 + 2uv = 1 2u 2 +4v 2 +2uv = l 1 8 u 2 = 1 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> u = V = - LI = V = 2V2 <=> 2V2 1 X = - 2V2 1 2V2 -5 + 7 1 2V2 1 2V2 -5 + 7 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: / \ f 1 . 1 N •í 1 - 1 M= l 2V2 i; +7 2V2 y I2V2 5 ; Ị — + 7 2V2 y Nhân xét: Việc đặt ẩn phụ thực hiện bằng thủ thuật nhanh nhu" sau : Đạo hàm theo biến X và đạo hàm theo biến y một trong hai phương trình của hệ(ta lựa chọn phương trình đầu của hệ)ta được: Í2x + 4y-18 = 0 Jx = -5 Ju = x + 5 Ị6y + 4x-22 = 0^|y = 7 [v = y-7' Cách 2: Lấy (2) + k.(l) ta được: (k + 2)x 2 +2(y + 3 + 2ky-9k)x + 4y 2 +3ky 2 -46y + 175-22ky + 31k = 0. Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là X. Ta có: A' x = [(2k + l)y + 3 -9k] 2 - (k + 2)^4y 2 + 3ky 2 -46y +175 -22ky + 3lkỊ = Ịk 2 - 6k - 7)y 2 - uịk 2 - 6k - 7^y + 50k 2 - 29lk - 341 (2 k ! I) y ì 3 9k Chọn k = -lthì A' =0 suy ra x = --- — -= y-12. k + 2 Lời giải Lấy (2)-(l) theo vế ta được: X 2 +2(l2-y)x + y 2 -24y +144 = 0. <=> (x +12 - y Ỷ = 0 <=> X = y -12 . Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: (y-12) 2 +3y 2 +4y(y-12)-18(y-12)-22y + 31 = 0. 19 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com o 8y -112y + 391 = 0o c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN y = 7- y = 7 + 1 2 V 2 : 1 2 V 2 1 c .. 1 .n X- -7__5 5 y- -ỵ= + 7 2 V 2 2 V 2 1 c .. 1 .n x = — r ~5,y = —ị= + l 2V2 2V2 Bài 1. Giải hệ phương trình (2x 2 + xy-y 2 -5x + y + 2 = 0 [x 2 + y 2 + x + y-4 = 0 Lời' giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: y = 2-x f(x + y-2)(2 x-y-l) = 0 [x 2 +y 2 +x + y-4 = 0 <=> [y = 2-x [x 2 + y 2 + x + y-4 = 0 [y = 2x-l lx 2 +y 2 +x + y-4 = 0 <=> y = 2x-l [x 2 + y 2 + x + y-4 = 0 x = l,y = l 4 13 • x 5’ y 5 \ í 4 13 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l); ;--p- L 5 5 Bài 2. Giải hệ phương trình [ X 2 - y 2 - 2x + 2y + 3 = 0 ly 2 -2xy + 2x + 4 = 0 Lời giải Nhận thấy y = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y*lrút x = y +4 , 2y -2 nhất của hệ ta được: từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ ^ y 2 + 4 ^ 2y-2 2 „ y 2 +4 - y 2 -2Ằ ——v + 2y + 3 = 0. 2y -2 <=> 3y 4 - 12y 3 - 4y 2 + 32y - 44 = 0 <=> Ịy 2 - 2y + 2 jỊ3y 2 - 6y - 22 j = 0 . 20 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> 3y 2 - 6y - 22 = 0 <=> y = i—7= X = 1 —f=>y = 1 — T= y = 1 + /= x = l + ^=,y = ỉ + ^= Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: /xí, 4 5 V 4 5 "I (x;y) = 1 —7=;l--7= ; l + -f=;l + ^= . I V3 -73 ^ 3 ) RàJ ,, —,. . , VT,.. V”. , {xN^xy +/2y + 15 = 0 Bài 3. Giai hệ phương trình ■! 2x-2xy + y 2 + 5 = 0 Lời giải Nhận thấy X = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. X 2 +15 Với X & lrút y = -2- ——— thay vào phương ưình thứ hai của hệ ta được: 2x-2 - X +15 X +15 2x-2x.—-—+ —-— 2x-2 2x-2 + 5 = 0. o 3x 4 - 12x 3 + 26x 2 - 28x - 245 = 0 íx 2 - 2x - 7^3x 2 - 6x + 35 Ị = 0 . <^x 2 -2x-7 = 0 <=> X = I- 2 V 2 Ị~x = 1 - 2 V 2 , y = 1 - 3 V 2 _x = l + 2^^[xll + 2^,yll + 3vỉ' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = (l-2V2;l-3V2);(l + 2V2;l + 3V2). Bài 4. Giải hệ phương trình • X 2 +y 2 +x-2y = 2 X 2 +y 2 +2(x + y) = ll Lời giải Cách 1 : Trừ theo vế hai phương ưình của hệ ta được X + 4y = 9 . Khi đó hệ phương ưình đã cho tương đương với: jx 2 +y 2 +x-2y = 2 í(9-4y) 2 +y 2 + 9-4y-2y = 2 Ịx + 4y = 9 Ịx = 9 - 4y 21 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com r 0 _ „„ x = l,y = 2 _17y 2 -78y + 88 = () __ <^i <=> 23 44 • X = 9 - 4y x = -— ,y = — L J L 17 17 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là Ịx;y) = (l;2);^- Cầch 2 : Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X ^ 0 đặt y = tx khi đó hệ phương trình trở thành: 23 44 17 ’ 17 , Ịl + t 2 )x 2 +(l-2t)x = 2 Ịl + t 2 Ịx 2 +2(l + t)x = ll Đặt z = X hệ phương trình trở thành: (l + t 2 )z + (l-2t) -2t x = 2 íl + t 2 Ịz + 2(l + t)x = ll Tính được D = (4t + l)ít 2 +lì,D x =9Ít 2 +lì,D z = 26t-7. . _ 1 _ 27 . Nêu D = 0 <=> t = -—=> D z = —— 0 hệ phương trình vô nghiệm. Nếu D 0 <=> t 5* 4 i 5 ^>z = x 2 «>D ,D = D 2 . D z lỊt 2 + lỊ 2 = (26t - 7)(4t + l)(t 2 +1) <=>23t 2 - 2t - 88 = 0 <=> . _ D v THI : Nếu t = 2 => D = 45, D = 45=>x = ^ = l=>y = 2. x D 22 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 3x —23 Í2x + 8Ìy + 23 - 3x = 0 <=> y = —-—(do X = -4 không thỏa mãn hệ phương trình). 2x + 8 3x-23 Thay y = —-— - 7 - vào phương trình đầu của hệ ta được : 2x + 8 X 2 +4 3x-23 2x + 8 -4x + 12. 3x 23 + ll = 0. 2x + 8 x 4 + 4x 3 + 22x 2 - 180x +153 = 0 . o X-] / ^ \ / 9 _ _ „ \ _ x = 1 (x -3 )(x 2 + 8x + 5lj = 0<=> => x = 3 x = l,y = -2 ~ 12 - x = 3,y = -y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;-2); 3;- 12 Bài 6. Giải hệ phương trình I x 2 + 2y 2 + xy + X - lOy = -12 13x 2 - y 2 - xy + 15x + 4y = -8 Lời giải Đặt u = x + 2,v = y- 3hệ phương trình trở thành: \2 ./ _\2 (u-2) +2(v + 3) +(u-2)(v + 3) + u-2-10(v + 3) = -12 [3(u-2) 2 -(v + 3) 2 -(u-2)(v + 3) + 15(u-2) + 4(v + 3) = -8 <=> ■ I u 2 + uv + 2v 2 = 4 13u 2 -uv-V 2 =1 u 2 + uv + 2v 2 = 4^3u 2 - uv - V 2 3u 2 -uv-v 2 =1 <=> ■ Ị1 lu 2 -5uv-6v 2 = 0 |3u 2 -uv-v 2 =1 u = V u = — 6v 11 3u - uv - V = 1 23 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> I u = V I 3u 2 -uv-v 2 =1 <=> Ll = - —V 11 3u 2 -uv-v 2 =1 u = -l,v = -l u = 1, V = 1 6 11 u =—7=,v = -r=<=> 753 V53 6 11 u = —F=, V = —- x = -3,y = 2 x = -l,y = 4 6 X = - ựịr 2,y= VỈỈ 11 + 3. 6 o.,_ 11 . o x = —i=-2,y = —;= + 3 >/53 753 6 -2;-4L + 3 753’ 753 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: (x;y) = (-3;2);(-l;4);Ị-J_-2;J_ + 3j;^-2;-^_ Nhân xét: Cách đặt ẩn phụ như trên xuất phát từ thủ thuật. Đạo hàm một trong hai phương trình của hệ theo biến X và theo biến y ta được(ở đây ta lựa chọn phương trình đầu của hệ). Í2x + y + l = 0 Jx = -2 Ju = x + 2 [4y + X -10 = 0 ly = 3 jv = y-3' x 2 +y 2 =l (1) 48Ịx 2 - y 2 j + 28xy + 21x + 3y = 69 Lời giải ( 2 ) Lấy 50.(1) + (2) theo vế ta được: 98x 2 + 28xy + 21x + 2y 2 + 3y -119 = 0 . "y = 7-7x <=> (7x + y-7)(l4x + 2y + 17) = 0 <=> y = - 14x +17 • 24 7 Hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = (l;0); Bài 8. Giải hệ phương trình [x 2 + y 2 + x = 3 [x 2 -2y 2 -xy + y + l = 0 Lời giải Lấy 2.(1) + (2) theo vế ta được: 3x 2 +2x-5-xy + y = 0<^>(x- l)(3x + 5 - y) = 0. Xét trường hợp tìm được các nghiệm của hệ phương trình là: 11 17' 24 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHƯƠNG l. CÁC KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chương này là nội dung chính của cuốn sách. Tôi trình bày theo các dạng toán điển hình phân theo các chủ đề. Mỗi chủ đề cung cấp các phương pháp cũng như kỹ thuật giải nhanh đồng thời là một số lưu ý đối với bạn đọc trong quá trình xử lý từng bài toán cụ thể. Chỏ Sề u KỸ THUẬT SỬ DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHAT hai Ẩn A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Ta đã biết một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn l a l x+ b iN = C 1 luôn giải [a 9 x + b 2 y = c 2 D D thức : x = ^,y _ y -với D _ D a l b l ,D T = C 1 b l ,D V = a i C 1 a 2 b 9 ’ X c 2 b 2 y ^2 C 2 D^O trong đó: D = Nếu tinh ý quan sát hệ phương trình ta có thể đưa 1 hệ phương trình phức tạp về hệ bậc nhất hai ẩn như trên và ta sử dụng công thức nghiệm để giải. Dâ"u hiên nhân biết phương pháp: + Các phương trình của hệ chỉ là phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 của một ẩn X và y. + Có 1 nhân tử lặp lại ở cả 2 phương trình của hệ và các thành phần còn lại chỉ có dạng bậc nhất của X và y(l căn thức; 1 biểu thức của X và y). + Có 2 nhân tử lặp lạiở cả 2 phương trình của hệ(có 2 căn thức; 2 biểu thức của X và y). Để rõ hơn bạn đọc theo dõi các ví dụ trình bày dưới đây chắc chắn sẽ hình thành kỹ năng nhận diện hệ phương trình được giải bằng kỹ thuật này. Chú ý. Trong chương 1 các bài toán về hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát tôi đã trình bày kỹ thuật này. Cần nhấn mạnh thêm rằng phương pháp này giúp ta giải quyết được bài toán khi nhận biết được hệ bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên có 1 thực tế rằng đối với 1 số hệ phương trình sẽ yêu cầu bạn đọc tính toán khá nặng. Do vậy mục đích của bài viết là cung cấp thêm cho bạn đọc 1 kỹ thuật để giải hệ. Nhìn hệ phương trình dưới con mắt linh hoạt hơn và tư duy suy nghĩ ta sẽ có thêm các cách giải hay khác nhau. 25 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B. BÀI TẬP MẪU Cả hai phương trình của hệ có dạng phương trình bậc 2 của X hoặc của y. Vì vậy ta có thể đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. Ta có thể coi X là tham số hoặc y là tham số. Lời giải dưới đây ta coi X là tham sô". Đặt a = y 2 ,b = y hệ phương trình trở thành: ja + 2b = -X 2 + 4x - 3 Ịa -(x + 2)b = -X 2 - X +12 Coi đây là phương trình bậc nhất hai ẩn a và b khi đó Hệ này hệ số của a và b khá đơn giản nên ta dùng phương pháp thế: Trừ theo vế hai phương trình của hệ suy ra: (x + 4)b = 5(x -3] 5(x-3) => b = —-—- (vì X = -4 không thoả mãn hệ phương trình). X + 4 -X 3 + 3x + 18 . 5 (x-3) a =--——-;b = —- — L . X + 4 X + 4 ,2 -X +3x + 18 __ Mặt khác a = b 2 <=>-——-= 25 X + 4 <=>(x-l)(x-3)(x 2 +8x + 5l) = 0<=> x !=> x ^ \ v ;v 'V / |_x = 3 |_x = 3,y = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;-2);(3;0j. Còn nhiều giải khác cho 1 hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát đã trình bày trong chương trước. Lời giải Nhận xét. Coi X là tham sô" và y là ẩn thì rõ ràng cả 2 phương trình của hệ có dạng bậc 2 và bậc 1 của y. 26 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt t = y 2 hệ phương trình trở thành: t - 4y = 2 - X 4 -4x 2 íx 2 +óỊy = 23-2x 2 ' Ta coi hệ phương trình trình trên là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn t và y ta được: D = x 2 +6;D t =-x 6 -10x 4 -30x 2 + 104;D y = 23 -2x 2 . 2 D t Suy ra:t = y => —= D f Đ. ^ 2 D V J <=> -x° - 10x 4 - 30x 2 +1041 = 123 - 2x Ị = Ị23-2x 2 Ị «• (1 - x)(l + x)(l + x 2 )(x 4 + 16x 2 + 95) = 0 o x = l=>y = 3 x = -l^>y = 3 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x;y) = (—l;3^;(l;3). Nhận xét. Ta hoàn toàn dùng phép thế cho hệ phương trình trên bằng cách 23 -2x 2 , rút y = ———-—từ phương trình thứ hai của hệ và thế vào phương trình đầu X 2 + 6 của hệ ta có kết quả tương tự. Bài 3. (TSĐH Khôi A 2008) Giải hệ phương trình: 2 . 3 2 5 x~ + y + X y + xy +xy = —- < ^ . X 4 + y 2 + xy (l + 2x) = —^ Lời giải Nhận xét. Lời giải tham khảo và đáp án chính thức sử dụng ẩn phụ khá đơn giản. Nhìn nhận cả 2 phương trình của hệ là phương trình bậc 2 của y. Vì vậy theo dấu hiệu đã biết ta hoàn toàn đưa được hệ về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Viết lại hệ phương trình dưới dạng Đặt a = y , b = y hệ phương trình ưở thành: xy 2 +(x 3 + x + ljy = -x 2 - — ^2x 2 +xjy = ( y 2 + xa + |x 3 +x + l)b = -X 2 - — a +12x 2 + X ) b = -X 4 - — 27 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có D = x^2x 2 + xj-Ịx 3 + x + lj = x 3 +x 2 -X-1 = (x-l)(x +1) 2 . 3 + Nếu X = 1 => y = . 2 + Nếu X = -1 thay vào hệ ban đầu ta thấy vô nghiệm. Tính tiếp D x ,D y tatìmđược: 4x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 4x 3 + 5x 2 - 5x - 5 , 4x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 5 a =---;b =--- 4(x + l) 2 4(x + l) 2 với (x-l)(x + l)*0. Mặt khác: Xem thêm lời giải đặt ẩn phụ trong chủ đề kỷ thuật ẩn phụ đại số’. _ í(x + y)(2-y) = (l-2y)(l + xy) . Bài 4. Giải hệ phương trình ị ,(x,yel). [(x-y)(3-x) = (l-3x)(l-xy) v ; Nhận xét. Sau khi khai triển ta đưa về một hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát. Vậy áp dụng kỹ thuậ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn ta được: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 2x|y 2 - y +1 j = y 2 - 4y + 1 2x(y + 3) = (3y + l)(x 2 + l) <=> y 2 - 4y +1 = 2(y 2 -y +1) 1 ^SỈỊ (,+s) ^ +1) = 0(1) 28 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có (1) o 1 ly 5 - 35y 4 +110y 3 - 70y 2 + 55y - 7 = 0. Để giải phương trình đa thức trên ta đặt y = —— ị- và sau khi rút gọn đưa v + 1 . r _ phương trình vê dạng: 2v - 9 = 0 <=> V = : lọ 5 -1 + 1 Thay ngược lại ta tìm được X = ỰĨ2-1 ^12 + 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (X; y) ■ Nhận xét. Câu hỏi đặt ra là tại sao nghĩ đến việc giải phương trình đa thức . V — 1 ^ __ . v bậc 5 như ttên băng phép đặt y =--. Đê làm rõ điêu này trước hêt ta xét v + 1 ( x/l2-1 _ ]Ị 5-.Ì 2 rìĩ+i ; ' V L 2 J cách khác cho bài toán như sau: Với (x 2 y 2 -lVx-3j(y-2)?í 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: x + y _ l-2y 1 + xy 2 - y X-y _ l-3x 1 - xy _ 3 - X Đặt X = ——j-,y = ——ỉ- hệ phương trình trở thành: u + 1 v + 1 u - V 2 - u u + V u + 2 uv-1 3-V uv + 1 3 +V ( 1 ) ( 2 ) Từ (ĩ) kết hợp với tính chất của tỷ lệ thức ta có: u-v 2-u 2-v 2 + v-2u u+v u+2 2+v+2u 2-v • (2 - v) 2 = (2 + v) 2 - 4u 2 « u 2 = 2v Tương tự từ (2) ta có: uv-1 3-v 3u-uv 3u-l uv + 1 3 + v 3u + uv 3u + l + 2uv 3u +1 - 2uv 3u-l • (3u -1) 2 = (3u +1) 2 - 4u 2 v 2 o u 2 v 2 = 3u. 29 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy ta có hệ phương trình: I u 2 = 2v I uV = 3u Xét u = 0^>v = 0^>x = y = -l^>xy = l (loại do 1 - xy * 0 ). u 4 5 Ị— Ỉ9 y/ĩĩ-l Vậy u.—— = 3 <=> u = vl2 => v = ỈH => X = T 7 ==— 4 h y/Ỉ2 +1 y=- Ịh sỊĨ+1 Đây là một hệ được xây dựng một cách khá đặc biệt. Nguyên do đâu ta có phép đặt trên và cơ sở nào xây dựng dạng hệ trên xin nhường cho bạn đọc. Để áp dụng bạn đọc rèn luyện qua bài toán tương tự sau: x + y _ 1 — 3y Ví dụ. Giải hệ phương trình 1 + xy 3 - y x-y l-5x 1 - xy 5 - X (x + y)^2xy + 5 =4xy-3y + l (x + 2y)^/2xy + 5 = 6xy + x -7y -6 ,(x,yet) Lời giải Phân tích tìm lời giải: Chú ý căn thức yj 2xy + 5 và cả hai phương trình của hệ có chứa thêm đại lượng 4xy,6xyhoàn toàn biểu diễn được theo căn thức trên và các thành phần còn lại đều dạng bậc nhất của X và y. Vì vậy nếu coi u = yj 2xy + 5 là tham số ta đưa được hệ phương trình về hệ bậc nhất 2 ẩn X và y. Cách 1: Đ iều kiện 2xy + 5 > 0 . Đặt u = ^/2xỹ+~5,(u>0)=>2xy = u 2 - 5. Hệ phương trình trở thành: (x + y)u = 2(u 2 -5)-3y + l (x + 2y)u = 3Íu 2 -5Ì + x-7y-6 -ux-(u + 3)y = -2u 2 +9 (l-u)x-(7 + 2u)y = 21-3u 2 2u 2 -(x + y)u-3y-9 = 0 3u 2 -(x + 2y)u + x-7y-21 = 0 30 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Coi đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn của X và y; u là tham sô" ta được: l-u -(u + 3) D = = u + 5u + 3 . |l-u -(7 + 2u) Tương tự ta CÓ:D X = uíu 2 + 5u + 3Ì, D y = (u-3)Ịu 2 + 5u + 3Ì. Với D = Ohệ phương trình vô nghiệm. D D " D D Ư Với D;*0^>x = -j^ L = u,y = -^ = u-3^>xy = u(u-3J. <=> u -^ -u(u-3)<=> u 2 -6u + 5 = 0<=> U = 1 ^u = 5 Thay ngược lại công thức nghiệm ta có các nghiệm là: (x;y) = (l;-2);(5;2) thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;-2);(5;2). Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x + y) ^2xy + 5 = 4xy - 3y +1 (1) (x + 2y)^/2xy + 5 = 6xy + x-7y-6 (2) Lây 2.(1) - (2) và 3.(1) - 2.(2) theo vế ta được: x^2xy + 5 = -2xy - X + 4y + 7 (x-y)^2xy + 5 = -2x + 5y+ 15 X - y - 3 = 2xy + 5 - x^ịlxy + 5 (x - y - 3^lỤ2xy + 5 + 5 Ị = 3^x - ^2xy + 5 Ị X - y - 3 = 2xy + 5 - x^2xy + 5 |2xy + 5 - Xsj2xy + 5 ỊỊ^/2xy +~5 + 5 j = 3Ịx - yj2x y + 5 Ị X - y - 3 = 2xy + 5 - x^2xy + 5 (x - -y/2xy+ 5 j|2xy + 5 + 5^2xy + 5 + 3 Ị = 0 [x - y - 3 = 2xy + 5 - x- N /2xỹ+~5 Jx-y-3 = x 2 -x 2 [x-yl 2xy + 5 |x = ^/2xy + 5 <=> 31 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com coi hai ẩn là 2 căn và x,y là tham số. Hy vọng đưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn có thể tìm được 2 căn thức theo X và y. . , _ 2 n y 3 +3 _ Điêu kiện: 2x-l>0,-———>0,y^0. y 3 Hệ phương trình trở thành : (x + y)u + yv = xy + 2y 2 < 2xu + (x + y) V = 3xy - X 2 Coi đây là hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn là u và V ta được: D = X 2 + y 2 ,D u = 2y(x 2 + y 2 ),D V = -x(x 2 + y 2 ). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( - l;l) ■ 32 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - , 3x + y 3x y + 7 ' ,2= 8 Bài 7. Giải hệ phương trình: < x y ,(x,yel|. 3x + y + 7 y =7 l x -y Lời giải Phân tích tìm lời giải: Nhìn nhận cả 2 phương trình của hệ có chung —^—-và nếu coi đại lượng x 2 -y 2 này là tham số thì hệ trở thành hệ bậc nhất 2 ẩn với X và y. Điều kiện: X 2 - y 2 0. Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 3x 1+ 2 2 V x -y / 3x 1 + 2 2 l V x -y + y V x -y ; 1— x -y = 7 Đặt m = 3(l + m)x-(l-m)y = 8 thành-J V / V / ,2 2 X -y hệ phương trình ưở thành: [3(l + m)x + (l-m)y = 7 - Coi đây là hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn x,y và m là tham sô". Ta có: D = 6(m + lj(l - m),D x = 15(l-m),D ỵ = -3(m +1). Với D = 0o(m + l)(l-m) = 0« 5 2(m +1 ) m = l^>D x =0 m = -l=>D =0 hệ phương trình vô nghiệm. Với D * 0 => ị D _x_ D D _ ỵ_ D 2(m -l) Mặt khác: X 2 - y 2 = — <=> m rì 2 ( 5 _ 1 2(m + l)J [2(10-1) - — <=> m m m : 3 —s /5 2 3 + V 5 33 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay ngược lại công thức nghiệm ở trên ta có 5 + V5 I + V5 5-V5 -1+V5 —, *y = ' Cách 2: Công theo vế và trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: , , 6x 6 x + —— = 15 x 2 -y 2 -2y+ 2y =1 l X - y Nhận thấy X = 0 hoặc y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét xy ^ 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: 2 + -A5 5_ ì = 4 X 2 -y 2 x X y <=> —r——= 2 , <^ x = 5y ( 1 ). X y X -y ọ Ọ Thay X = 5y vào phương trình thứ hai ta được: -2 + —= — <=> 8y 2 + 4y - 2 = 0 <=> 4y 2 y 1 +V5 r_ 5+V5 1+V5 - X = - .V =-- - -1 + V5 4 ,y 4 5-V5 -I + V5 2 —, *y = ' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: /.\ í 5 + V5. l + ^\f 5-V5.-I + V5 x ;y = V ; —, ; — A ’—, v ’ 4 4 44 V Ghi chú. (1) xem thêm kỹ thuật cộng, trừ lấy tích hai phương trình của hệ. Ngoài ra ta có thể giải hệ phương trình trên bằng số phức. Lời giải Phân tích tìm lời giải: Rõ ràng cả hai phương trình của hệ là phương trình bậc hai của y. Do vậy nếu đặt a = y 2 , b = y hệ trở thành một hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn. 34 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: X 0 . Đặt a = y 2 ,b = y khi đó hệ phương trình trở thành: x.a-Í5x 2 +l)b-5x 2 +6x + l = 0 25x 3 +15x 2 -x + 1 ‘ 1 1 X ,x5x 2 -x-l+0 x.a + (x-10x 2 jb + 25x 3 -X-1 = 0 b = 5x + 2 _ , 2 25x 3 + 15x 2 -X + 1 / _ \2 Ta có a = b 2 «-——-= 5x + 2) . 5 + 377 5 + 3^5 375 + 1 o5x 2 +5x-1-Oo x = _ l0 r =. x = ~ 10 '' y = ~ 2 . 5-3V5 _ 5-3V5 3V5-1 L 10 L 10 2 X = 0 VN /,2 rì „ „ 1-777 ±1-721 ' ì 10 2 1+777 771-1 x = ——7—=>y = ———- .10 2 Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là: / . \ í 5 + 375 . 375 + 0 / 5 - 375.375 - 0 . ( x;y ) = ; V / V Ị 1-777 . ±i-777 /í 1+777 . 777-0 Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: y 2 x-Í5x 2 +ljy-5x 2 + 6x + l = 0 xy 2 + Ịx -10x 2 jy + 25x 3 - X-1 = 0 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 1-77Ĩ ±1-77Ĩ x_ 10 ^ y_ 2 «(5x 2 -x-l)(5x-y + 2) = 0« . y = 5x + 2 35 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + Với y = 5x + 2 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: (5x + 2) 2 x-^5x 2 + lj(5x + 2)-5x 2 + 6x + l = 0. <=>5x 2 + 5x-l = 0<=> X = — X = — 5 + 3V5 10 5 -3^5 10 5 + 3V5 _ 3V5+I x =- ,y =-—— 10 2 5-3V5 , 3 ^ 5-1 x =-—^,y = ———- 10 2 Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là M= 5 + 3V5 , 3V5 + 1 Ì/ 5-3V5 , 3V5-1 10 ’ 2 ’ 10 ’ 2 J V 'A í. 1 -V2T ±1-^21 Ị[ 1+V2Ĩ V2T-1 10 ’ 2 ’ 10 ’ 2 Bài 9. Giải hệ phương trình [x 3 +y 2 =(x-y)(xy-l) 1X 3 - X 2 + y +1 = xy(x - y +1) ,(x,y ễR). Nhân xét. Cũng tương tự bài toán trên coi X là tham số và y là biến thì cả 2 phương trình của hệ nếu viết lại đều là phương trình bậc 2 của y. Do vậy hoàn toàn sử dụng được phương pháp trên. Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 3.2 2 2 |x +y =xy-xy+y-x 1 X 3 - X 2 + y +1 = x 2 y - xy 2 + xy (x + l)y 2 -(x 2 +ljy + x 3 +x = 0 (1) xy 2 -(x 2 +x-l)y + x 3 -X 2 +1 = 0 (2) Nhận thấy từ hệ trên ta hoàn toàn giải bằng phương pháp thế bằng cách lược bỏ đi nhân tử y 2 từ hai phương trình của hệ. Do vậy ta lấy x.(l) - (x +1).(2) theo vế ta được: (x 2 +l)y + x(x 3 + x) + (x + l)(x 2 +x-l)y-(x + l)Ịx 3 -x 2 + l) = 0. 1 -X (2x + l)(x-l)(y + l) = 0 X = —- 2 X = 1 y = -i 36 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + THI: Nếu X = --ì thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 1 2 5 5 2 1A ,, *_n^„_ 5±3 ^5 - y y-21 = 0<=>4y -lOy-5 = 0<=>y = -— . 2 4 8 4 + TH2: Nếu X = 1 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: \2 2y -2y + 2 = 0o2 + TH3: Nếu y = -1 thay vào hệ ta được: jx 3 + x 2 +2x + 2 = 0 ,3 + — 0 vô nghiệm. X J + 2x = 0 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x;y) ■ (hệ vô nghiệm). - 1.5 + 3^5 1 [ — 1.5 — 3>/5 _ 9 . 9 _ 9 4 J^2 Cách 2: Dùng hệ hai phương trình bậc nhất Chú ý nếu đặt a = y 2 ,b = y => a = b 2 và hệ phương trình trở thành: (x + l)a-Ịx 2 +ljb + x 3 + x = 0 xa-íx 2 +x-ljb + x 3 -X 2 +1 = 0 Thì rõ ràng đây là hệ phương trình hai ẩn bậc nhất và ta coi X là tham số. Lúc này chỉ cần tìm a và b theo X rồi giải phương trình a = b 2 ta được 1 phương trình của X và ta có ngay kết quả của bài toán. Thật vậy ta có: D = -(x +1)( X 2 + X -1 j + xí X 2 +1 j = -2x 2 + X + 1 . D a = íx 2 +l)Í2x 2 -x-l),D h =2x 2 — X — 1 . + Nếu D = 0 <=> 2 thay lại vào hệ ta tìm được nghiệm như cách 1. X = 1 D„ + Nếu D 0 => a = = -X 2 -1 < 0 vô lý. Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y) = 1 5-3V5 1 Ị 1 5 + 3V5 : i: : 4 V 2 4 { 2 37 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 3: Hệ số bất định. Lấy -1.(1) + 2.(2) ta được: (x - l)(x 2 + y 2 -X -3y -xy -2) = 0 . X 2 + y 2 - X - 3y - xy - 2 = 0 Với x -1 thay vào hệ ta ta được: X + X + 2x + 2 — 0 x 3 +2x = 0 (hệ vô nghiệm). Với X 2 + y 2 - X - 3y - xy - 2 = 0 (3). Lấy 2.(1)-(3) ta được: (2x + l)(x 2 + y 2 -x + y-xy + 2) = 0 X = «• 2 _x 2 + y 2 - X + y - xy + 2 = 0 .... _-l 5 + 3^5 Với x = — =>y = —-. 2 4 Với x 2 +y 2 -x + y-xy + 2 = 0 Lấy (4)-(3) ta được: y = —1 thay vào (3) thấy vô nghiệm. y5 ., us .,_( -1.5 + 3^1 í -I. 5 - 3 V 5 VáV he nã nho ró hai nơhinm à [ỵ*vi= -•--— -•--— ,(x,yeR). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x;y) = ——7 2 4 Bài 10. Giải hệ phương trình: 3x + Vx 2 -7-Vy +24=3 4^/x 2 - 7 - Jy 2 + 24 = 3y Lời giải Phân tích tìm lời giải: Khi bắt gặp hệ xuất hiện hai căn thức lặp lại trong hai phương trình của hệ trên ý tưởng đầu tiên là rút từng căn thức theo X và y. Rõ ràng khi biểu diễn được mỗi căn thức theo X và y rồi chỉ cần thực hiện phép bình phương ta đưa về hệ phương trình bậc 2 hai ẩn dạng tổng quát. Và theo kỹ thuật hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta hoàn toàn giải được hệ mới sinh ra. Điều kiện: |x| > V 7 . Hệ phuơng trình tuwong đương với: Vx 2 -7 -Jy 2 +24 =3-3x [v/x 2 -7 =x + y-l < , -— r—-— oị r- -— /x -7 -yy 2 +24 =3y /y +24 =4x + y-4 38 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + y-l>0,4x + y-4>0 _ 2 - / -\2 X - Ta CÓ :< 7 = (x + y-l) l^y 2 + 24 = (4x + y-4) 2 X 2 - 7 = (x + y-l) 2 y 2 + 24 = (4x + y-4) 2 x + y- l>0,4x + y- 4>0 2 - / - \2 X - -7 = (x + y-l) (1). Ị^y 2 + 24 = (4x + y-4) 2 y 2 +2y(x-l)-2x + 8 = 0 (x-l)y = -2x 2 +4x + l Do I x| > VỸ hệ trên khá đơn giản ta sử dụng phép thê từ phương trình thứ hai của hệ ta được: —2x" + 4x + 1 y =- — - . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X — 1 í -2 x_ + 4x +1 X — 1 V 2 -2x + 4x +1 / \ + 2.-——-.^x -lJ-2x + 8 = 0. V J <^2x 3 -6x 2 +6x-ll = 0. \3 „ . „Í9 '2 X — 1 <=>2^x —l) = 9 <=> X = 1+ ?/—=> y = ^/ó — >/36 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = í ÍT _ ^ Ì+Ịị-M-HĨE V 2 Cách 2: Ta cổ: (!)<=> <^ x + y-l>0,4x + y-4>0 (y-l)(2x + y-l) + 7 = 0 O-Ị y-1 [(x-l)(2x + y-2)-3 = 0 X + y -1 > 0,4x + y -4 > 0 7 (!) ( 2 ) x — 1 = 2x + y -1 3 2x + y-2 Lấy (l) + 2.(2) theo vế ta được: 2x + y-3 = --———- —---- 2x+y-2 2x+y-l Đặt t = 2x + y - 2 phương trình trở thành: -<=>t = >/6<=>2x + y- 2 = ^/6. t t + 1 Thay vào (ĩ), (2) tìm được nghiệm của hệ phương trình là: ' r y M = 1 + 3 ^;Ẳ/ó-^/36 V 2 39 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận xét. Đây là một bài toán hay và khó cả 2 lời giải cho bài toán hết sức đẹp mắt. Với lời giải 1 tự nhiên và dễ nghĩ đến hơn tuy nhiên lời giải 2 cho ta 1 lối tư duy giải hệ đưa về ẩn phụ giữa 2 ẩn rất hay. c. BẰĨ TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình sau có nghiệm X 2 +y 2 2 x - my = m không đổi: < 3m 2 +4 mx + y = —-- m 2 + 4 Lời giải ^ 4m 4-m 2 Dễ tính được X = — 421— y - ——2— 9 ’ J 9 m +4 m +4 Khi đó X 2 + y 2 = - 16m z + 4- h 2 Í , \2 Ịm 2 +4j Bài 2. Giải hệ phương trình I x y by x 2 y + y 2 +y = -l Lời giải Đặta = x 4 ,b = x 2 ^j a - 8b 7 2+6y - 2 . [by = -y 2 -y-l _J y 3 -2y 2 -10y-8 y 2 +y + l Dễ tính được a = — — ,b = --—-JL ,2 y 3 —2y 2 —lOy —8 Mặt khác a = b <=> - -—-—- y v+y + i " 2 <=> (y + l)(4y 2 +9y + l) = 0 <=> y = -i -9 ± Vó5 y=— 27 ^- x = ±l,y = -l 3 + V65 -9 + 765 _I_ \r —_-_ X = — ->y : , 3-V65 9 + 765 x = ±-7 ,y =-77- 4 8 Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là (x;y) = (±l;-l); 3 + V65 . -9 + V65 \ f 3 - Vô5 _ 9 + Vó5 9 9 — 9 40 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (y + x^yỊlxy + 8 = 4xy - 3y + 7 (x + 2y^2xy + 8 = X - 7y + 6xy + 3 ,(x,y ẽRỊ. Lời giải Đặt u = v^,(u>0)^xy = ^- D = = 11 + 5u + 3 Hệ phương trình trở thành: -ux-(u + 3)y = -2u 2 +9 (l- u)x-(7 + 2u)y = 21-3u 2 Coi đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn của X và y; u là tham sô" ta được: -u -(u + 3) 1-u -(7 + 2u)| Tương tự ta có: D x = uỊu 2 + 5u + 3Ì, D y = (u-3)Ịu 2 + 5u + 3Ì. Với D = Ohệ phương trình vô nghiệm. D _ > D " D u = 2 D D Với D;*0=>x = —r L = u,y = —^ = u-3=>xy = u(u-3J. Ta có phương trình: LI 2 -8 u(u-3)<=>u 2 -6u + 8 = 0<=> 11 = 4 Thay ngược lại công thức nghiệm ta có các nghiệm là: (x;y) = (2;-l);(4;l) thoả mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;yj = (2;-l);(4;l). Bài 4. Giải hệ phương trình (x + y )Vx 2 +7 +y^2y 2 +1 = xy + 2y 2 2xVx 2 + 7 + (x + y^2y 2 + 1 = 3xy - X 2 Lời giải Đặt a = Vx 2 +7,b = yj 2y 2 + 7 ,(a,b >0)hệ phương trình trở thành: (x + y)a + yb = xy + 2y 2 < 2xa + (x + y)b = 3xy-x 2 Ta ró ^ x ^ + y^ D a^y( x i+yJ]’ 1 \=- x ( x2 +y 2 L _ 41 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + Nếu x 2 +y 2 =0<=>x = y + Nếu X 2 + y 2 > 0 ta có < Vậy hệ phương trình có ha = 0 thoả mãn. a = —= 2y í r D Vx 0 r b = —^- = -x D i nghiệm là (x;y) = ;2+7=2y «j x =- 3 . \y~ +1 = —X ly = 2 (0;0);(-3;2). Bài 5. Giải hệ phương trình (x+y)V x+ y+ y V 2x^x + ýV+(x + y) ! x-y = xy+ 2y 2 .(/x-y =3xy-x 2 _ 1 _1_ Đặt â = yjx + y,b = Ạ-y, í ^ Lời giải ^ (a,b > 0 ) hệ phương trình trở thành: (x + y)a + yb = xy + 2y 2 2xa + (x + y)b = 3xy - X 2 Ta có D = X 2 + y 2 ,D a = 2y(x 2 + y 2 ),D b = -x(x 2 + y 2 ). + Nếu X 2 + y 2 = 0<=>x = y = 0thoả mãn. + Nếu X 2 + y 2 > 0 ta có D a ... a = -f = 2y D D. <=> [Vx+ỹ = 2y b = ^ = -x i^ z ỹ = ~ x D Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0j. (hệ vô nghiệm). x + Vx 2 -7-^/y 2 +24=2 Wx 2 - 7-ựy 2 + 24 =7y ,(x,yel). Lời giải Điều kiện: |x| > Hệ phương trình đã cho tương đương với: [3 Vx Vx 2 -7 -\jy 2 +24 =2-x 4>/x 2 - 7 - Jy 2 + 24 = 7y 3yx 2 -7 = 7y + x-2 3^y 2 + 24 = 4x + 7y - 8 42 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện trước tiên: 7y+x-2>0 4x + 7y - 8 > 0 Bình phương hai vế của hệ phương trình bậc hai tổng quát: 8x 2 + (4 - 14y)x - 49y 2 + 28y - 67 - 0 2x 2 + (7y - 8)x + 5y 2 - 14y -19 = 0 Đặt a = x 2 ,b = x,a = b 2 hệ phương trình trở thành: 8a + (4-14y)b-49y 2 +28y-67 = 0 2a + (7y-8)b + 5y 2 -14y-19 = 0 Tương tự ta tính được a ■ 9ly 3 -124y 2 +301y-204 -23y 2 +28y + 3 4(7y-6) ,b = 2(7y-6) Mặt khác do b 2 = X 2 > 7 <=> -23y 2 +28y + 3 2(7y-6) \2 >7(1). , _ ,2 _ 91y 3 -124y 2 +301y-204 Mặt khác a = bứ <=> —2. J J 4(7y-6) -23y 2 +28y+ 3 2(7y-6) o 12y 4 - 14y 3 + 245y 2 - 378y + 135 = 0. ^(y-l)Ịl2y 3 -2y 2 +243y-135) = 0 < (1) > y = l^x = 4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;1 j. Cách 2: Đăt u = X + ,(v>0) J + II > irTTt ' 1 u 2 -2ux + x 2 =x 2 -7 V 2 -2vy+ y 2 =y 2 +24 u + 7 v z -24 x = —— ;y = - 2 u 2 v 1 X -7 = LI 2 - 7 2u ;Vr+ 24 V 2 +24 2 v (Do u = 0 không thỏa mãn hệ phương trình). Khi đó, hệ phương ưình trở thành: V 2 +24 Ll — 2v = 2 . u -7 V + 24 v-24 4,----—— = 7,- 'tỆỀ. m 43 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi 2 . _ V +4-V + 24 " 2v u 2 - 7 4v 2 - 72 V + 4v + 24 u = - í 2v 2 .- V +4v + 24 2v -7 4v -72 V +4v + 24 2v o _ V + 4v + 24 ” 2v V 2 +4v + 24 r -28v 2 V +4v + 24 V 2 + 4v + 24 u =--- <=>< 2v = 4v 2 -72 (v-6)(3v 3 +26v 2 + 144v + 384) = 0 X + V- X -7 = 7 I X = 4 _ <=> ■ u = 3o 1 l v = 6 [y + Vy 2 +24=l ừ = 1 Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (4;1 j. Nhân xét. Với phép đặt ẩn phụ như trên ta xử lý toàn bộ những hệ phương , a,x + b, ya 2 x 2 + b + c,y + d, \/c 2 y 2 + d =e trình có dạng: ị 1 1 __ 1 1 v . a 2 x + b 2 'va 2 x 2 + b + c 2 y + d 2 \Jc 2 y 2 + d = f Phép đặt ẩn phụ u = ax + Va 2 x 2 + b V = cy + ^Jc 2 ỹ 2 ~+~d Euler (xem thêm chủ đề hệ phương trình chư căn thực). là phép đặt ẩn phụ khử căn thức dạng Bài 7. Giải hệ phương trình 2Vx 2 +3 - 2^/y 2 +5 = -y 3Vx 2 + 3 - \fy 2 + 5 = 3x ,(x,y el), Lời giải Tìm được 4a/x 2 +3 = 6x + y 4ijy 2 +5 = 6x + 3y 6x + y >0,6x + 3y >0 ló(x 2 + 3 j = 36x 2 + 12xy + y 2 lóỊy 2 + 5j = 36x 2 +36xy + 9y 2 44 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đưa về giải hệ phương trình: Lấy (2) - 7.(1) theo vế ta được: 20x 2 +12xy + y 2 -48 = 0 (1) 7y 2 - 36xy - 36x 2 + 80 = 0 (2) 2 „ 416-17ÓX 120xy + 176x 2 - 426 = 0 => y = - Thay vào phương trình (1) ta được: 2 . 416-17ÓX 20 x 2 + 12x.-——-+ 120 x 2 ( ■ ■ - lA 2 41 6-176x 120 x / ^Ịx 2 -lỊ(64x 2 -169) = 0^ X = ±1 DK v .13—^ X = ±- 120 x -48 = 0. X = l,y = 2 13 1 ■ X = —,y =—- 8 4 \ (13 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;2);| Nhận xét. Để sáng tạo ra các hệ phương trình dạng như trên ta xuất phát từ các đẳng thức sáng tạo ra các hệ phươni Vx 2 + a = CjX + djy + ej \Ịy 2 + b =c 2 x + d 9 y + e 9 Ta chỉ việc lấy tổng bất kỳ k! \jx 2 + a + k 9 ■\Ịy+b được 1 phương trình của hệ. x 2 y + xy - 2yjỹ + 1 = 0 Bài 8. Giải hệ phương trình < 9 / 9 \ 2 ,(x,yeR). x 2 Í4-2y 2 ) + y 2 -9 = 0 v ; Lời giải Điều kiện: y > 0 . Đặt a = x 2 ,b = x=>a = b 2 hệ phương trình trở thành: ya + yb - 2^/ỹ + 1 = 0 aÍ4-2y 2 Ị + y 2 -9 = 0 a = y 2 -9 2y 2 - 4 2yfỹ-l-y. y 2 -9 b = 2y 2 - 4 _ 2^/ỹ-l y 2 -9 y 2y--4 (do y = yfĩ không thoả mãn hệ phương trình) . 45 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ,9 — 9 Mặt khác a = b 2 <=> -2——— 2y 2 -4 2^-1 y 2 -9 ì l y 2y 2 -4j y 4 + 24.y/ỹ 7 8y 2 -45-^ /ữ + 54y. *>ụỹ - 2 ) <^>- N /ỹ = 2<^>y = 4=>x = ^- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất Ị.:/;; 7/ j = = 0 / \ 1 ì \x\y) = ^;4 2 V / Chá Sề L HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐÔI XỨNG LOẠI I Nội dung chủ đề này tôi đề cập đến phương pháp chung giải hệ phương trình đôi xứng loại 1 và một số hệ đưa được về hệ đối xứng loại 1 thông qua các phép đặt ẩn phụ cơ bản. Ngoài ra đề cập ứng dụng của hệ đối xứng loại 1 trong giải phương trình vô tỷ và chứng minh bất đẳng thức. A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Đa thức đôi xứng: Xét đa thức hai biến x,yìầ p ịx\ y) . Nếu p Ịx; y^j = p [y\x^j với mọi 1 , 1 /ễK thì ta nói p ịx\ y) là đa thức đối xứng. Hệ phương trình đôi xứng loại I là hệ phương trình có dạng: F{x,y) = 0 G(x,y) = 0' trong đo": F(x, y) ; G(x, y) là các đa thức đôi xứng với X, y. - Hệ đối xứng loại I là hệ mà vai trò của X, y trong mỗi phương trình của hệ là như nhau. - Nếu Ịx 0 ,y 0 jlà nghiệm của hệ thì X Q ) cũng là nghiệm của hệ. Ví dụ 1 . Hệ phương trình 2,2 X + y = xy + X + y ịxy = X + y — 1 Với hệ này đổi vay trò của X, y thì hệ không thay đổi. 46 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương pháp chung: Đặt

4P tìm được s,p . [p = xy Khi đó theo định lý Vi-ét X, y là hai nghiệm của phương trình: t 2 -st + p = 0. LƯU ý: Một sô" trường hợp ta phải đặt s = X - y,p = xy và lúc này ta phải có s 2 > -4P thực chất là hệ được suy ra từ hệ đối xứng loại 1 khi thay y bởi -y. Một số bài toán đơn giản mà khi biến đổi s,p chỉ có dạng bậc nhất hoặc dạng bậc hai ta có thể không cần đặt ẩn phụ và cứ thế tiến hành biến đổi tương đương. Khi tìm được s,p việc tìm x,y không cần chi tiết mà chỉ ra chỉ ra nghiệm (x;y) bằng bao nhiêu. Một số hằng đẳng thức hay được sử dụng: X 2 + y 2 =(x + y) 2 -2xy = s 2 -2P X 2 -xy + y 2 = (x + yý 2 -3xy = s 2 -3P X 2 + xy + y 2 = (x + y) 2 -xy = s 2 -p x 3 +y 3 =(x + y) (x + y) 2 -3xy =sís 2 -3p) X 4 + y 4 = (x + y) 2 - 2xy - 2x 2 y 2 = Ịs 2 - 2pỊ 2 - 2P 2 X 4 + y 4 + x 2 y 2 = (x 2 + y 2 -xy)(x 2 + y 2 + xy) = (s 2 -2p) 2 -p 2 1 | 1 _ X + y _ s X y xy p 1 | 1 _ X 2 + y 2 _ s 2 -2P X 2 + y 2 ” x 2 y ” p 2 Đặc điểm của dạng toán này là đôi khi sô" nghiệm của hệ thì chỉ có nghiệm duy nhất hoặc có sô" nhiệm chấn và đôi khi râ"t nhiều nghiệm có khi đến 8 hoặc 16 nghiệm. B. BÀI TẬP MẪU 47 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Ịx 2 +y 2 +x + y = 4 Ịx 2 + y 2 + X + y = 4 [x 2 +y 2 +x + y + xy = 2 |xy = -2 l(x + y) 2 -2xy + x + y = 4 l(x + y) 2 +x + y = 0 [xy = -2 |xy = -2 «í x + y = 0 ví x + y= . _1 . [xy = -2 [xy = -2 <=> I X = yfĩ jx = —Jĩ [ X = 1 I X = -2 |y = -V2 V |y = V2 v ịy = -2 v ịy = 1 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: (x;y) = ụĩi-y/ĩỴ, (-V2; yfĩỴ, (l;-2); (-2;l). x + y + 2xy = 2 Bài 2. Giải hệ phương trình < |x I y- - 8 Lời giải Đặt x + y ,Ịs 2 > 4pj. Khi đó hệ phương trình trở thành: 2-S S+2P=2 p 2 / , \ <=> ■ <=> < s ỊS-3P 1 = 8 f_2 6-3S ' s = 8 l 2 J 2S 3 +3S 2 -6S-16 = 0 p = 2 - s (S-2)(2S 2 +7S + 8) = 0 fs = 2 |x + y = 2 x = 2 1 <=> • « „ <=>• <=H V < p_ 2 -s 2 [p = 0 ì ' X '< II o [y=° 1 Vậy: hệ phương trinh có hai nghiệm là (x,y) = (2,0);(0,2). Bài 3. Giải hệ phương trình 1 Ịx 3 +y : l(x + y) ‘=19 ỉ(8 + xy) 1 = 2' 48 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt x + y,Ịs 2 > 4pj. Khi đó hệ phương trình trở thành: p = xy sỊs 2 -3pj = 19 ÍSP = 2-8S s(s + p) = 2 ^|s 3 -3(2-8S) = 19 <=>í +24S-25 = 0 p = 2-8S (S-l)Ịs 2 +S + 25Ị = 0 p = 2-8S o P 1 oh ' 1 1 p = -6 [ xy = -6 <=> X = 3 X = -2 y = -2 V ịy = 3 Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm là (x,y) = (3,-2);(-2,3) ■ Lời giải Đặt Ụx = a ,yfỹ = b khi đó hệ phương trình trở thành trở thành: 2(a 3 +b 3 Ị = 3Ịa 2 b + b 2 aỊ a + b = 6 Đặt |p x + y ,Ịs 2 > 4pj. Khi đó hệ phương trình trở thành: Í2 sỊs 2 -3pỊ = 3SP Ịs = 6 Ịa + b = 6 s = 6 <=> < <=> • p = 8 I ab = 8 <=> ■ [a = 2 X = 64 oị vị õ“ II 4^ oo II Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x,y) = (64,8);(8, Bài 5. Giải hệ phương trình \Ị X 2 + y 2 + yịĩxỹ = Sy/Ĩ Vỹ = 4 /X +. ỊM gMkỉ 49 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ýtưửng : Bình phương hai vế phương trình hai của hệ và rút X + y theo xy thế vào phương trinh đầu của hệ. Điều kiện X > 0,y > 0 . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;4 j. Cách 2: Từ hai phương trình của hệ ta có •^Ịx 2 + y 2 j + 2yjxỹ — ỊVx + -s/ỹỊ 2 <=> ^Ịx 2 + y 2 j = X + y . <=>2Íx 2 +y 2 j = x 2 +2xy + y 2 <=> (x - y) 2 = 0 <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhát của hệ ta có kết quả tương tự. Bài 6. Giải hệ phương trình • X 4 +y 4 + 6x 2 y 2 =41 í 1 0 \ X 1 + v: t II 1 —‘ c Lời giải Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra xy > 0 . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: Ịx 2 +y 2 j’+4x 2 y 2 =41 x y( x “+y) = 10 xy(x + y) 2 -2xy =10 xyỊx 2 +y 2 Ị = 10 __ + 4x 2 y 2 =41 4 x 4 y 4 -41x 2 y 2 +100 = 0 50 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <Í5> • xy = 2 V xy = - 2 <=> • X + y = ±3 xy (x + y) 2 -2xy = 10 < s X + y = +3 5 x y = . x + y = ±3 Với ị _ <=> xy = 2 x = l;y = 2 X = 2;y = 1 X = —l;y = —2 ' X = —2;y = -1 x + y = ±3 Với < 5 trường hợp này không thỏa mãn (x + y ) > 4xy nên vô nghiệm. [ xy 2 Vậy: hệ có bốn nghiệm là (x;y) = (l;2);(2;l);(-l;-2);(-2;-l). Cách 2: Nhận thấy hai phương trình của hệ vế trái đều cùng bậc 4. Ta đưa về phương trình: 4 . 4 . 41 ' + V +6x V = — 10 + y 4 +6x 2 y 2 =^xy(x 2 + y 2 ) <=> (2x -y)(x -2y) 9 ồ ____ . _.2 X -ịxy + y = 0 . 90 9 Do xy ^ 0 => X - ^xy + y > 0. Do đó hoặc y = 2x hoặc X = 2y . Chỉ việc thế vào một trong hai phương trình của hệ ta tìm được (x;y). ( , \ (x 2 + y 2 ) 1 + - 1 2_.2 = 49 Bài 7. Giải hệ phương trình < X x y ) ( 1 > (x + y) 1 + —- =5 \ / V x y ) Lời giải Điều kiện xy 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 7 7 1 1 X 2 +y 2 +-L + -L = 49 „2 „2 X y x+y+—+—=5 X y ' o 2 y x + — I + X 1 y + - =53 V y. 1 1 ? x+—+y+— -2 x y. , , , 1 , 1 " x+y+—+—=5 Sí y®ă V 1 X + — X _, 1 1 c x+y+— +—=5 X y 1 y + - =53 V y ' , 1 A/ X + — y + — I = —14 y. 1 , 1 _ ^ x+y +—+—=5 ' x i 51 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 1 -1 í x + — = 7 X + — = —2 X = X •í V < X 1 _ H \ĩ — 1 + Sì < y + - = -2 r~ II 1 + y - 2 l l y 1 y 7 + 3^5 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là (x;y) = X = y = -i í - 1 ; 7 + 3 -\/ 5 V 7 + 3 -\/ 5 -1 (x + y)(l + xy) = 18xy Bài 8. Giải hệ phương trình < 1/9 9 \ / „ 9 9 \ ^^^9 9* X 2 +y 2 jỉl + x 2 y 2 j = 208x 2 y 2 Lời giải Nhân xét: Hệ phương trình này tương tự bài toán trên khi khử đi xy và x 2 y 2 bên vế phải của phương trình của hệ. Nhận thấy (x;y) = (0;ơ) là nghiệm của hệ phương trình. Xét với xy ^ 0 khi đó hệ phương trình tương đương với: 1 c (x + y) (>^ 2 ) 1 + — 1 = 18 V x y í 1 1 + 2 2 V x y ) = 208 x + y+ —+ —= 18 X y 1 x + — X 0 , y + 77 V y ) = 212 x + y + —+ —= 18 X y 2 2 1 1 X 2 + y 2 H—H— = 208 „2 .,2 x y x + y + —+ —= 18 X y 11 . „ x+—+y+— -2 1 X + — X y + — I = 212 x + y+ —+ —= 18 X y 1 x + — X y + - 1 = 56 V y. X + — = 14 X „ , 1 . y + — = 4 y V X + — = 4 X y + — = 14 y jx = 7 + 4 V 3 Ị X = 2 + V 3 Ịy = 2 + V 3 |y = y±V 3 Vậy: hệ phương trình có nghiệm là: (x;y) = ( 0 ; 0);(7 + 4 V 3;2 ± VĩỊ ;(2 ± V 3;7 + 4 ^). Bài 9. Giải hệ phương trình (TSĐH Khôi A 2006) [x + y - \fxỹ = 3 [■\/x +1 + Vỹ+Ĩ = 4 52 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện :í xy - 0 .. [x,y >-1 Đặt ị “ _ x + y ,(s 2 > 4p). Khi đó hệ phương trình trở thành: = XV V / A 2 =B 2 ,A 3 =B 3 ,A 4 =B 4 ,... <Ị — - ( x - l)Ị^Vx 3 +2 +lj Ịl-y 2 =4xy 2 .... 1 ì 4x 2 + y 4 - 4xy 3 = 1 y = X + X +1 L J J 4\[x 2 +1 - X 2 + y 3 - 3y - 2 > 0 3S Z +8S-156 = 0 s = 6 X + y = 6 X = 3 ~ »■< „ <=>1 „ <=> í p=(s-3) ,s>3 l p = 9 l x y = 9 ừ = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;3). Vx 2 -1 + ^/y 2 -1 =Ậy + 2 Bài 10. Giải hệ phương trình - 4 + 4=1 X 2 y 2 Lời giải Điều kiện: |x| > l,|y| > l,xy+ 2 > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 -l + 2^x 2 -lỊỊy 2 -lỊ+y 2 -l = xy + 2 X 2 + y 2 =x 2 y 2 X 2 + y 2 - xy - 4 + 2^Ịx 2 y 2 -X 2 -y 2 +1 = 0 [x 2 + y 2 = x 2 y 2 53 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X 2 + y 2 ,v = xy,(u > 2,v > -2) hệ phương trình trở thành: rì u-v-4+2Vv-u+l=0 <=> u = V u = 1, V = — 1 u = 4,v = 2 X = —yỊĨ, y = —y/ĩ X = V2,y = yỊĨ Ju = 4 Í x 2 +y 2 =4 Đôi chiêu với điêu kiện suy ra <=> { J <=> [v = 2 |xy = 2 Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị- 2;- 2 2; 2j. Bài 11. Giải hệ phương trình (TSĐH Khôi A,A1 2012): [X 3 - 3x 2 - 9x + 22 = y 3 + 3y 2 - 9y 2 . 2.1 x+y—x + y = 4- 2 Hệ phương trình tương đương với: Lời giải (x-y) 2 +2xy-(x-y) = ^ Ịx 3 -y 3 Ị-3Ịx 2 +y 2 Ị-9(x-y) + 22 = 0 (x-y) 2 +2xy-(x-y) = ^ (x-y)í(x-y) 2 +3xyJ-3Í(x-y) 2 +2xyJ-9(x-y) + 22 = 0 Khi đó ta đặt ị a x y hệ phương trình trở thành: b = xy a 2 + 2b - a = — 2 iỊa 2 + 3bỊ-3(a 2 +2bỊ , 1 a a b = — + — - — 4 2 2 2 3 3a 3a 2 ^ -9a + 22 = 0 3. 1 3 H-1-I — 3 4 9 9 V * z z J ,1 , „ y a +—+a-a - 9a + 22 = 0 ,, l,a a b — — + —-—— <=> 1 4 2 2 -2a 3 + 6a 2 - 45a + 82 = 0 . 1 a a b = — + — - — 4 2 2 (a-2)Ị-2a 2 +2a-4l) = 0 a = 2 b=-4 4 54 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do phương trình: -2a 2 +2a-41 = 0 có A' = -81<0 nên vô nghiệm. ịx = y + 2 y(y+ 2 )-| a = 2 x-y = 2 Với < 3 3 b = 4 xy = -4 l 4 l 4 X = y + 2 / , ,\2 _ 1 «■ (y +| ) =7 3 1 x = —;y = -— 2 2 1 3 x = —;y = - — 2 2 ' 3 . r 'l. 32 4 2, ’ ,2 ; 2J Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị [(x-l) 3 -12(x-l) = (y + l) J -12(y + l) Cách 2: Viết lại hệ dưới dạng 2.2 1 x+y-x + y = ^- Đến đây đặt u = x-l;v = y + l và đưa về hệ phương ưình .3 n-,3 n,, / 1 \ (u-v)Ịu u -12u = v -12v (1) (u + i) 2 + (v-if-(u + i) + (v-i)=r' 2 + UV + V 2 —12) = 0 u 2 + V 2 + 2u - 2v - — = 0 (2) 2 Cách 3: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: Từ (2) ta có: (x-l) -12(x-l) = (y + l) -12(y + l) 2 r , , (2) -|,x-i4 2 2 ( 1 ) x _ 2 + 1 X- <1 2 1 y + T- <=> < <1 2 y+ 2> =1 1 _3 -2- X -l,y +1 e L ^ Xét hàm sô" f(t) = t 3 - 12t trên f(.) = 3(, 2 -4)<0,v,d-|;| 3.3 2 ; 2 ta có: tức f(t) là hàm nghịch biến trên 3 3 " 2 ; 2 55 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do đó (1) <=> f(x -1) = f(y + 1) <=> X -1 = y +1 <=> X = y + 2 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (y + 2) 2 + y 2 - y - 2 + y = i <=> 2y 2 + 4y + ^ = 0 <=> 1 y= 2 . y = - x = 2 ,y = ' x = T>y = ■ 2 1 2 3 " 2 Bài 12. (VMO 2005) Cho x,y là hai số thực thỏa mãn X - 3Vx +1 = 3 -Ịỹ~+2 - y . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = X + y . Lời giải Điều kiện : X > -l,y > -2 . Ta cần tìm tập giá trị của p , xét hệ phương trình : IX - 3x/x + 1 = 3^/y+ 2 - y Ịx + y = p Những giá trị của p để hệ trên có nghiệm chính là tập giá trị của p . íx + y = 3Ịx/x + l+ A /y + 2j Viết lại hệ dưới dạng : [x + y = p Đặt | u ^ x + 1 ,(u,V > o)khi đổ hệ phương trình trỏ thành: [v = Vy + 2 Ịu 2 +v 2 -3 = 3(u + v) Í3(u + v) = p lu 2 +v 2 -3 = p I u 2 + V 2 = p + 3 p u + V = — 3 (u + v) 2 - íu 2 + V 2 j ị uv =-—- - = — 2 2 TC “ P “ 3 9 2 p 1 Khi đó u,vlà hai nghiệm của phương trình: t -yt + ^ í Ỹ 2 =— -P-3 V 9 = 0 ( 1 ). Hệ phương trình có nghiệm <=> (ĩ) có hai nghiệm không âm. 56 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com p A = 4—2 9 f - n “ p “ 3 V 9 >0 , p 3 o 9 + 3 ^ < p < 9 + 3 a/Ĩ5 . V „ ' P-3 V 9 >0 Vậy giá tri lớn nhất của p bằng 9 + 3\íỉ5 , giá trị nhỏ nhất của p bằng —— -jỊ—- ■ Bài 13. (TSĐH Khôi A 2006) Cho x,ylà hai số thực X, y^Othỏa mãn xy(x + y) = X 2 - xy + y 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = —- + —-. X 3 y 3 Lời giải Theo giả thiết ta có : xy(x + y) .22 X y x 2 -xy + y 2 1 1 1 11 - <=> — + - = — + —- x 2 y 2 X y x 2 xy y 2 Đặt LI = — ,v = — ,(u,v ^ o) khi đó u + v = u 2 -uv + v 2 ; X y v ’ Và A = u 3 + V 3 = (u + v)Ịu 2 -uv + v 2 j = (u + v) 2 . u + V = u 2 - uv + V 2 Xét hệ phiíơng trình: ■ (u + v) =A Khi đó giá trị lớn nhất của A để hệ trên có nghiệm chính là giá trị lớn nhất của A. Trước tiên ta phải có A > 0 và để ý : 2 ____ . 2 u + v = u-uv + v = u-— V 2 y 3v 2 + ——>0,Vu,v^0 4 Viết lại hệ phương trình dưới dạng: u + V = (u + v)“ -3uv [(u + vf=A uv ■ (u +v) 2 -(u + v) u+v= Và A-Và 11V =-—- 3 u + V = a/à Khi đó L1,V là hai nghiệm của hệ phương trình : 57 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 2^ t+ ấzJẴ = 0 (1). Hệ có nghiệm thỏa mãn yêu cầu trên <=> (1) có nghiệm u, V ^ 0 . i = A-4.A^Ã>0 | 0x = y = -^-. Vậy giá trị lớn nhất của Abằng 16 . Bài 14. (TSĐH Khôi B 2009) Cho các số thực x,y thay đổi thỏa mãn: (x + y) 3 + 4xy > 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = 3|x 4 +y 4 + x 2 y 2 j-2Ịx 2 +y 2 j + 1. Lời giải Tacó(x + y) > 4xy kết hợp với giả thiết suy ra : (x + y) 3 + (x + y) 2 > (x + y) 3 + 4xy > 2 <=>(x + y-l) (x + y) 2 +2(x + y) + 2 >0<=>x + y>l. Ta có: p = 3(x 4 + y 4 +x 2 y 2 Ị-2(x 2 +y 2 ) + l = f(x 2 +y 2 ) 2 +|(x 4 +y 4 )-2(x 2 +y 2 )+l 4 (x 2 + y 2 ) 2 + ỉ(x 2 + y 2 ) 2 -2(x 2 + y 2 ) + l = |(x 2 + y 2 ) 2 -2(x 2 + y 2 ) + l Đặt t = x 2 +y 2 >ị(x + yf =ịkhiđó p> —t 2 -2t +1. 2 V ’ 2 4 9 2 I N Xéthàm số f(t) = —t 2 -2t + ltrên -j -;+00 , ta có : 4 l 2 J 9 _1 . /n 9 f'(t) = -rt-2>0,Vt^-=-=> min f(t) = f ^ =^~. 2 2 rn 12 J 16 te ^;+00 V y 9 1 Vậy p đạt giá trị nhỏ nhất bằng -V khi X = y = . xi||||4(>ại 1 ỂtỀìỀữhươnW^mềỵvêjSỷ 58 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Một sô" phương trình vô tỷ nếu khéo léo đặt ẩn phụ dạng hai ẩn ta đưa được về hệ đối xứng loại 1 dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình. ^ 3 Bài 1. Giải phương trình sau: XV 3 35-x ịx + \l ^35 -X 3 j 1 = 30. Lời giải Đặt y = \fỉ5 - X 3 => X 3 + y 3 = 35. Và phương trình ban đầu trở thành: xy (x + y) = 30 Từ đó ta có hệ phương trình: (x + y) 3 -3xy(x + y) = 35 Jx + y = 5 xy(x + y) = 30 I X 3 + y 3 = 35 ^xy(x + y) = 30 <=><í ■ <=> xy = 6 x = 2,y = 3 x = 3,y = 2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là X = 2,x = 3 . Bài 2. Giải phương trình yfx + \Jx - 1 = il 1 + x . Lời giải Điều kiện: 0 < X < 1 Nhận thây X = 0 không là nghiệm của phương trình Xét với 0< X < 1 . Khi đó chia cả hai vế của phương trình cho x/x ta được: X 1 + 4 / 1 -i = 4/1 + 1 o 4/1 + 1 _4Íl_I = l. X X X 1 1 Đặt u = fỊl + — ; V = í 1 khi đó ta có hệ phương trình: X V X I u - V = 1 u 4 + V 4 = 2 u - V = 1 -2uV = 2 ' i(“ 2 - 2 ) u-v = l r 1 u - V = 1 Ị^(u-v) 2 +2uvj -2u 2 v 2 =2 [2u 2 v 2 +4uv-l = 0 59 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có hệ phương trình: |u + v = 2 ^ £ỉ ^[" = 1 + '/2 = ,7J77 = 1 + Jĩ c , x = 2 + 2% /J [u 4 + V 4 = 34 [v = l-V2 c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ Bài 1. Giải hệ phương trình J x + y 8 [xy + X + y = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Ị(x + y) 2 -2xy = 8 í(x + y) 2 +2(x + y) = 8 [xy + x + y = 0 [xy + x + y = 0 60 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi X + y = -4 X + y = 2 <=> xy + X + y = 0 [x + y = 4 [xy = 4 fx + y = 2 [xy = -2 <=> Ị X = —2 [y = -2 : = l-yfỉ LY = 1 + V3 ' [x = l + ^ [y = 1-V3 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (-2;-2);(l-^;l + V3);(l + V3;l-^). Bài 2. Giải hệ phương trình [x 2 +xy + y 2 =3 Ix + xy + y = 3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) 2 -xy = 3 [xy = 3-(x + y) (x + y) 2 -xy = 3 xy = 3-(x + y) <=> [x + y = 2 [xy = l íx = l fx + y = -3 ly = 1 |xy = 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ (x + y)“ +x + y-6 = 0 [xy = 3-(x + y) Bài 3. Giải hệ phương trình (Dự Bị Khôi A 2005) |x 2 +y 2 +x + y = 4 :(x + y + l) + y(y + l) = 2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: jx 2 +y 2 +x + y = 4 Ịx 2 + y 2 + X + y = 4 [x 2 +y 2 +x + y + xy = 2 [xy = -2 <=> I (x + y) 2 - 2xy + x + y = 4^j(x + y) 2 +x + y = 0 xy = -2 xy = -2 61 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: jxy(x + y) = 2 í(3-x-y)(x + y) = 2 [x + y + xy = 3 xy = 3-(x + y) Ịx + y = 2 ^ (x + y) 2 -3(x + y) + 2 = 0^ |xy = l íx = l xy = 3-(x + y) |x + y = l [y = 1 |_|xy = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Đáp số: (x;y) = (l;l). 62 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi X + y + xy = — (x + y) 2 -2xy = ỉ oị xy = 2 ~( x+ y) (x + y) 2 -2ÍỈ-(x + y) 2 oi xy = ^--(x + y) (x + y) 2 +2(x + y)-| = 0 x + y=-i-J- 3 , Í5 xy 2 + ề x + y = -l + xy : 3 5 2 V 2 Bài 6. Giải các hệ phướng trình sau: 1. Giải hệ phương trình IX + y + xy = 5 |x 2 y + y 2 x = 6 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: phương trình đã cho tương đương với: Jx + y + xy = 5 Jx + y + xy = 5 jx + y + xy = 5 jxy(x + y) = 6 1(5 - X - y)(x + y) = 6 Ị(x + y) 2 -5(x + y) + 6 = 0 fíx + y = 2 <=> xy = 3 <=> x = 2,y = l x = l,y = 2' I X + y = 3 [xy = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (l;2. íxy(x-y) = -2 2. Giải hệ phương trình < y [x 3 -y 3 =2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: [xy(x-y) = -2 xy(x-y) = -2 (x-y) (x-y) 2 +3xy =2 ((x-y) J -6 = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;-l) ■ ~ i: y= M x=1 ,- 1 xy = -1 ly—1 63 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3. Giải hệ phương trình 1 U 3 +y 3 =2 xy(x + y) = 2‘ Hệ phương trình đã cho (x + y) (x + y) 2 -3xy < L xy(x + y) = 2 Vậy hệ phương trình có Lời giải tương đương với: = 2 (x + yV=8 íx + y = 2 íx = l <=>l v ’ <=>1 <=>1 xy(x + y) = 2 Uy = 1 Ly = 1 nghiệm duy nhât (x;y) = (l;lj. 4. Giải hệ phương trình 1 X 2 +y 2 = 8 — X — y xy(x + y + xy + l) = 12 Hệ phương trình đã cho tương đương với: Đặt Ịs = x + y p = xy Lời giải r 0 (x + y) + X + y - 2xy = 8 xy(x + y + xy + l) = 12 ,Ịs 2 > 4pj hệ phương trình trở thành: I s 2 + s - 2P = 8 |p(s + p + l) = 12 p = s 2 + S - 8 s +S-8 s + s + s - 8 + 1 = 12 o p = s + s - 8 s + S - 8 s + s + s - 8 + 1 p _ S 2 +S-8 o ị 2 = 12 S(S-3)(S + 2)(S + 5) = 0 <=> s = 0,p = -4 s = 3,p = 2 s = -2, p = -3 s = -5,p = 6 <=> 1X + y = 0 [xy = -4 u + y = 3 [xy = 2 U + y = -2 [xy = -3 [x + y = -5 Uy = 6 <=> x = 2,y = -2 X = —2,y = 2 x = 2,y = l x = l,y = 2 x = -3,y = l x = l,y = -3 x = -2,y = -3 x = -3,y = -2 64 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có tám nghiệm là (x;y) = (l;2);(2;l);(l;-3);(-3;l);(-2;2);(2;-2);(-2;-3);(-3;-2). Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y )(x + y -l)r(x + y f + 3(x + y ) + 3]=0 \\l + lĩ° 5(x 2 +y 2 )-8xy = 18 5(x 2 +y 2 Ị-8xy = 18 r r „ x = -l,y = l [x + y = 0 _ ' |~x + y = 0 1 1 x = l,y = —1 y [xy = -l r— Ị— ỡ x + y = l ^-s r ì <=> 35 3 + V35 J <=> x + y = l x = -— J —,y = —— 1 - _ / x2 _ 6 6 5(X + y) -18xy = 18 1 13 „ Ị— 1 v ; xy = -^ _ 3 + V35 3-V35 Ll 18 [*=^p.y=^p Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: / 3 / \ / \ r 3—-v/35 3 +- 3/35 'ì í 3 +V35 3 —- 3/35 V Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: jx + y = l Uy- 2 <=> <=> jx + y = -5 Ịxy = 10 X = 2,y = -1 X = —1, y = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là íx;yj = (-l;2);(2;-l). 65 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: jx + y = l-2xy Jx + y = l-2xy Jx + y = l-2xy Ị(x + y)~-2xy = 1 Ị(l -2xy)“ -2xy = 1 (4x 2 y 2 -6xy = 0 Lời giải Điều kiện: xy & 0 . 66 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: M í,3-^\ /,3 + ^1 /3-^.A / 3 + ^.iì ’ 2 V 7 ’ ’ 2 V 7 ’ 2 V 7 ’ 2 ’ V 7 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) 2 -2xy = 13 [3(x + y) + 2xy + 9 = 0 <=> xy : (x + yf-l3 3(x + y) + (x + y) 2 -13 + 9 = 0 <=> x + y = 1 xy = -6 X + y = -4 ^ 3 xy = ^ x = 3,y = -2 x = -2,y = 3 -4±VĨÕ -4 + VĨÕ -—7T^.y =— X = Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: 0 \/-4±VĨÕ -4 + VĨÕ (x;y) = (-2;3);(3;-2); - ^ 5. Giải hệ phương trình J x + y x + y “ . [xy + x-y = -l Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x-y) 2 +2xy-(x-y) = 2 |xy + (x-y) = -l 2 -(x-yf+(x-y) xy: 2 -(x-y) 2 +(x-y) 2 -(x-y) 2 +(x-y) + (x-y) = -l xy = - <=> t(x-y) -3(x-y)-4 = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (-l;0j;(0;l). [x-y = -l [xy = 0 [x-y =4 i xy = -5 <=> x = -l,y = 0 x = 0,y = l 67 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X + y + xy = 5 6. Giải hệ phương trình Ị 2 2 ' [x + y - x 2 y - xy = -3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: IX + y + xy = 5 l^x + y - xy (x + y) = -3 xy = 5-(x + y) x + y-(x + y)[5-(x + y)] = -3' xy = 5-(x + y) (x + y) 2 -4(x + y) + 3 = 0 <=> I X + y = 3 [xy = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;2);(2;l). 1X + y = 1 Uy = 4 <=> x = l,y = 2 x = 2,y = l' 7. Giải hệ phương trình [ X 3 + y 3 = 8 lx + y + 2xy = 2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) \ 2 (x + y) -3xy = 8 <=> < X + y + 2xy = 2 (x + y)'-3. 2 * y (x + y)-8 = 0 [x + y + 2xy = 2 o ~ ( \2 / \ ^ = 0 1 2(x + y) +7(x + y) + 8 \x + y = 2 ' = 2 <=> < [xy - 0 L X = 0,y = 2 x = 2,y = 0' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (2;0);(0;2j. 8. Giải hệ phương trình g/ỹ + yx/x =6 |x 2 y + y 2 x = 20 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: = 6 <=> Vxỹ(Vx + Vy) Ịxy(x + y) = 20 I xy = 4 J X + y = 5 |xy(x+ y) = 20 tMxy = 4 xy Ịx + y + 2-Jxỹj = 36 Í 20 + 2xyựxỹ = 36 |xy(x + y) = 20 [xy(x + y) = 20 <=> x = l,y = 4 x^Ay = L 68 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;4);(4;l). 9. Giải hệ phương trình ị x + y + xy = ll ^x +y + 3(x + yJ = 28 Đặt s = X + y Lời giải ,1 s 2 > 4P 1 hệ phương trình trở thành: , p = xy ' / Js + P = ll Jp = ll-S |s 2 - 2 P + 3 S = 28 ^|s 2 - 2 (ll-S) + 3S = 28' Jp = ll-S Jp ^Ịs 2 + 5S-50 = 0 [S Đáp số. (x;y) = (2;3);(3;2) = ll-s = 5vS = l;(-3;-7): <=> 1 -10 ;(-7;-3) ís = 5 fs = — 10 [p = 6 v |p = 21 1. 10. Giải hệ phương trình 1 x + y = 2 X 4 + y 4 = 34 " Lời giải Đặt í! x + y,(s 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành 1 p = xy s = 2 s = 2 .. [s = 2 2 <=> < <=> < ~ -2P 2 = 34 2P 2 -16P-18 = 0 P = 9vP Ịs 2 -2 p) Đáp số. (x;y) = (l-V2;l + V2);(l + V2;l-V2). = -l Lời giải Đặt |p x + y,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: s = 4 Ịs 2 -2pj 2 -2P 2 . s(s 2 -3pỊ = 280 <=>1 s = 4 2P 2 -64P + 256 ,~4(l6-3p)] = 280 69 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đáp số. (x;y) = (l;3);(3;l). = (l -2x 2 y 2 ) 2 - x 4 y 4 - x 2 y 2 (l -2x 2 y 2 ) = 5x 4 y 4 -5x 2 y 2 +1 Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: 70 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Đặt x + y,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: s 2 -p = 7 [s 2 -P = 7 fs = ±3 Ịs 2 -2pỊ 2 -2P 2 +p 2 =21 (7-P) 2 -P 2 =21 ịp = 2 Đáp số. (x;y) = (l;2);(2;l);(-l;-2);(-2;-l). Lời giải Đặt Ị s x + y,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành s2 - p = 1 2 3 ís = ±4 Ịs 2 -2pỊ 2 -2P 2 +p 2 =91 ịp = 3 Đáp số. (x;y) = (l;3);(3;l);(-l;-3);(-3;-l). Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 +y 2 =5 (x + y)Ịx 4 -x 3 y + x 2 y 2 -xy 3 + y 4 j = ll(x + y) X 2 +y 2 =5 (x + y)Ịx 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 -11 j = 0 í x2+y2 ; 5 (1) [x + y = 0 , 4 „ „ ( 2 , Ịx 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 -11 = 0 71 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải hệ phương trình (1): jx 2 + y 2 =5 íy = -x Ịx + y = 0 [2 x 2 =5 <=> Giải hệ phương trình (2): jx 2 +y 2 =5 Ịx 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 -11 = 0 X 2 +y 2 =5 (x 2 + y 2 ) 2 - 2xV - xy(x 2 + y 2 ) + x 2 y 2 -11 = 0' jx 2 + y 2 =5 ^ |x 2 y 2 +5x 2 y 2 -14 = 0 jx 2 +y 2 =5 W = -7 Ịx 2 +y 2 =5 Ịxy = 2 <=> x = -2,y = -l X = -l,y = -2 X = l,y = 2 X = 2,y = 1 Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm: Lời giải Đặt |p x + y ,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: ( 1 r í, + iì 1+- p =5 s l pj p + 2- = 4 p = 5 p z - 4P + 1 = 0 s = 3 + V3 v-i P = 2-V3 s = 3 -V 3 . P = 2 + V3 72 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình tương đương với: Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 11 . 11 ^ x+y+—+—=6 x+y+-+-=6 X y 1 X y 2 , 2 , , yY 1 , 1,0 ( lf f 1 Ỹ x 2 +y 2 +2^- + ^-+-y + -y-18 x + — +y + — =18 vy X J X y [i yj 1 xj x+y+—+—=6 X y x+y+—+—=6 X y r 1 iT ( 1Y rì ' 1 1 „ x + —+ y + — -2 x + - y + — =18 x + 7- y + -y = 9 i y xj ^ yA X J ỈA y A x ) 73 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + —= 3 y + f=3 l X xy +1 = 3y 1X = y xy +1 = 3x X -3x + l = 0 3-V5 _ 3-V5 2 ,y_ 2 3 + V5 3 + ^5 —, >y = —7 21 19. Giải hệ phương trình ; trình có hai nghiệm là: /.\ í 3-V5 3-V5 )( 3 + V5 3 + 75" M = ; 2 ; 2 • V ) \ 2 (x 2 +y 2 ]fl + —Ỵ =8 ' '1 xy ng trình < 3 ' (x 3 +y 3 ) 1 + — =16 [V \ xyj Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x 2 +y 2 )íl + -^ + -0 = 8 (x 3 +y 3 )(l + -|j + -^- + -^jì = 16 1 \ x 2 y 2 xy x 3 y 3 J '2 , 2 , 1 , 1 , 2 x , 2 y_ c \( x+y+—r + —r + —+ - 7“-8 x + — +y + — =8 X 2 y 2 y X k yj ự xj 3 3 3x 3y 3x 2 3y 2 1 1 6 1 A 3 6 I\ 3 X + y + - 2 + - 2 + — + ^ + -ĩ + -ĩ~ ỉ6 x + i + y + 7- =16 l y x’ y X X y [{ y) ^ xj 1 u = X + — < y hệ phương trình trỏ thành: 1 v = y + — X [u 2 +v 2 =8 u“+v 2 -8 (u + v)“-2uv = 8 [u 3 + V 3 = 16 ^(u + v)Ịu 2 +v 2 -uv) = 16 Ị(u + v)(8-uv) = 16 74 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com uv : (u +v) 2 -8 (u + v) (u + v) 2 -8 = 16 uv ■ (u + v) 2 -8 (u + v) 3 -24(u + v) + 32 = 0 I u +V = 4 [uv = 4 í u + V = -2 - 2 V 3 I uv = 4 + 4 V 3 [u + V = - 2 + 2 V 3 |uv = 8-4V3 <=> , 1 , ,1 , x+—+y+—=4 y X y + - 1 x + — y A =4 X H-h y + — = -2 - 2\Ỉ3 y X ( iV A =4+4V3 IV 1 x + — yA 1 y + - x + — + y + — = -2 + 2-73 V X , , IV X + — yA 1 y + - =4-4^3 <=> X = l,y = 1 ( x+y ).íỵ±l = -2 + 27i xy xy + — = 2 - 4^Ỉ3 xy Bạn đọc tự giải tiếp hệ phương trình có năm nghiệm. X 2 + y 2 + X + y = 4xy 20. Giải hệ phương trình < 1 1 y X . X y X 2 y 2 Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 + y 2 + X + y = 4xy X 2 + y 2 + X + y = 4xy lxy(x + y) + x 3 + y 3 =4x 2 y 2 xy(x + y) + x 3 +y 3 =4x 2 y 2 75 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 + y 2 + X + y = 4xy I ° (x + y)Ịx 2 +y 2 Ị = 4x 2 y 2 ^j í Y = V fv - n V - a X 2 + y 2 = 2xy X + y = 2xy . X = y X = 0,y = 0 x = l,y = l ' Đôi chiếu với điều kiện suy ra (x;y) = (l;l). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ 21. Giải hệ phương trình ư x , y A yy x / í „2 IV íị + ỵị y 2 X 2 (x + y) = 4 (x 2 +y 2 ) = 4 Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) = 4 _\2 [í x , y ^ — + — V X vy x . -2 (x + y) -2xy = 4 u x , y^ vy x ( x +y)=4 y „ / \2 (x+y) (7 + x, -2(x + y) 2 +4xy-2xy ( X , y " 2 \y X = 4 ( X , y^ (x + y) = 4 ( x2+y2 )- s = X + y 2 2 X +y xy = 6 2 . 2 X +y xy ( x2+y2 ) •( x + y)=4 2 2 X +y xy = 6 Đặt I " ,(s 2 > 4pj hệ phương trình trở thành: 76 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lời giải Điều kiện: xy(^x + y)^0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: 77 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Thay vào phương trình thứ hai thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lời giải l^mteệr^í ^gky >|fe 78 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com íu = Vx -1 , ^ , Khi đó đặt < _ hệ phương trình trở thành: Iv=Vy-1 í u + V = 3 u + V = 3 <=>< - - <=> i [ LI 2 + V 2 + 2 = 5 + uv u 2 + V 2 - uv = 3 1 u + V = 3 <=> ■ í u + V = 3 e II to < II 1 —* 7y-i=i 1 «• <=> ; 2 . _I <^> [uv = 2 u = l,v = 2 Vx—1 = 1 L yfx-ĩ - 2 x = 5,y = 2 x = 2,y = 5 [Vỹõ = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (2;5);(5;2). 25. Giải hệ phương trình a/x 2 + y 2 + xy + ^3xy - 4\fd> VỸ = 2V2 X + . Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: J(x + yỹ -xy + -y/ãxỹ = 4 V 3 x + y + 2^Jxỹ = 8 -^3xy -32^/xỹ + 64 + ^3xy = 4^3 x + y = 8-2-y/xỹ I 2 A ~^y^ r \~’ A y — r v-2 -yỊs - 2 -^xỹj — xy +-^ 3 xỹ = 4V3 x + y + 2 ^/xỹ = 8 [x + y = 8 - 2 ^/xỹ -^3xy -32^/xỹ + 64 + ^3xy = 4^3 -^3xy - 32^/xỹ + 64 = 4 V 3 - ^3xy x + y = 8-2^/xỹ x + y = 8-2^/xỹ v ^4 _ 4 3xy - 32^/xỹ + 64 = 3xy - 24^/xỹ + 48 <=> <1 + ^ _ <=> . [xy = 4 [y = 2 x + y = 8-2- N /xy Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (2;2). 26. Giải hệ phương trình |x 2 + y 2 + x + y = 18 :(x + l)y(y + l) = 72' Lời' giải Cách 1; Hệ phương trình đã cho tiíơng đương với: 79 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x + y) 2 + x + y-2xy = 18 xy(xy + x + y + l) = 72 (x + y) 2 +(x + y)-18 xy = ----^-—- (x + y) 2 +(x + y)-18 1 (x + y) 2 +(x + y)-18 ' ' t 2 ' 2 y V 7 = 72 (x + y) 2 +(x + y)-18 xy = ------—- <=>< 2 (x + y) 4 +4(x + y) 3 -3l(x + y) 2 -70(x + y) = 0 <=> x = 3,y = -3 X = -3,y = 3 x = 2,y = 3 x = 3,y = 2 x = 4,y = 3 x = 3,y = 4 x = -4,y = 2 x = 2,y = -4 Vậy hệ phương trình có tám nghiệm là: (x;y) = (3;-3);(-3;3);(-4;2);(2;-4);(3;4);(4;3);(-3;-4);(-4;-3). Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: Lờiemị 80 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: Lời giải Điều kiện: xy > 0 . Từ phương trình thứ hai suy ra X + y > 0 do đó X > 0, y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 X + y = 13 x + y = 7 + ^/xỹ ^ [7^ = 6 íx + y = 13 r x = 9,y = 4 +7Tjxỹ-78 = 0 |x + y = -6 [xy = 36 x = 4,y = 9 _[ \f*ỹ = -13 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm làjx;y) = (4y?];(9;4). 81 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2(x 2 + y 2 )V^+r =250 [ự x 2 +y 2 =5 L2 + y 2 =25 (x 2 -xy + y 2 ) Vx 2 + y 2 = 65 ^ 1(25 - xy).5 = 65 ° |xy = 12 Ịx + y = 7 X = 3,y = 4 í(x + y) 2 -2xy = 25^ w = 12 ^ x = 4,y = 3 Ịxy = 12 |x + y = -7 x = -3,y = -4 Ịxy = 12 X = -4, y = -3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = (3;4);(4;3);(-3;-4);(-4;-3). Cách 2 : Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được: 65|x 2 + xy + y 2 j = 185^x 2 -xy + y 2 j <=> (4x -3y) 2 = 0<=>y = ^x . Thay y = —X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được kết quả tương tự. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 5 +y 5 =l jx 5 +y 5 =l r x = 0 ,y = l X 9 +y 9 =Ịx 4 +y 4 jỊx 5 +y 5 j jx 4 y 4 (x + y) = 0 x = l,y = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;yj = (0;1 );(l;0). Lời giải (x + y) 3 -3xy(x + y) + x 3 y 3 =17 Hệ phương trình đã cho tương đương với: < v v ' (x + y) + xy = 5 82 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt x + y,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: Ịs 3 -3SP + p 3 = 17 Ịs 3 -3S(5 -s) + ( 5 -s) 3 = 17 |s + p = 5 ^|s + p = 5 Ịs 3 - 3S(5 - s) + (5 - s) 3 = 17 Ịl 8S 2 - 90S +108 = 0 ^|s + p = 5 ^|s + P = 5 ~Ịs = 2 Ịp = 3 |x + y = 3 [x = l,y = 2 <=> ' <=> < <=> |s = 3 [xy = 2 |_x = 2,y = 1 jp = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (l;2);(2;l j. [x 2 +xy + y 2 =3 32. Giải hệ phương trình ị [x 5 +y 5 +15xy(x + y) = 32 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 +xy + y 2 =3 x 2 +xy + y 2 =3 X 5 +y 5 +5xy(x + y)Ịx 2 +xy + y 2 Ị = 32 (x + y) 5 =32 J ; +y ; 2 oíL^rMr!- [(x + y) -xy = 3 Ịxy = 1 [y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lời giải Điều kiện: xy (X +1)(ỵ + 1 Ị í 0 . 83 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó hệ phương trình tương đương với: 9 9 9 9 9 9 X +y -1 X +y -X y 17 AÍ..2. .,.2\ yx —77 -=- Vi (xy-l) X +xy + y =0 xy x”y .. ' ' \ o „2 .... . .2 • „2 . 2 X y X -xy + y X y X - xy + y ———I—-— =-——— : +: . - ~ X +1 y +1 xy x + ly + 1 xy 1 3 J Do xy & 0 nên X 2 + xy + y 2 > 0 do đó hệ tương đương với: Uy = 1 Ị~x = —l,y = —1 <=>< ' - <=> _ [x 2 + y 2 = 2 |_x = l,y = 1 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm (x;y) = (l;lj. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lời giải Điều kiện: x,y & -1. Viết lại hệ phương trình dưới dạng: X 2 + y 2 = 1 + xy X y 2xy y + 1 x + 1 (x + l)(y + l) X 2 + y 2 = 1 + xy <=>< x 2 + y 2 + x + y xy + X + y + 1 X 2 + y 2 = 1 + xy x 2 +y 2 =l + xy <=>< 1 + xy + x + y - 2xy ^' 2 xy _0 • _xy + x + y + l (x + l)(y + l) _ ( x + l)(y + l) -|2 2xy J ~(x + l)(y + l) = xy = 1 xy = 1 X y X 2 - xy + y 2 <=> ' 2xy + X + y X 2 - xy + y 2 • x + 1 y +1 xy [xy + x + y + 1 xy 84 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1X 2 + y 2 = 1 <=> ị J <=> xy = 0 x = -l,y = 0 X = l,y = 0 X = 0,y = -1 X = 0,y = 1 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = (—1; o) ;(l; o);(o;— l); (o; l) . X 2 ,y 2 1 35. Giải hệ phương trình < (y + i) (x+1) 2 - X + y +1 = 3xy Lời giải Điều kiện: X & -l,y ^ -1. Cách 1: Ta có X 2 y 2 2xy _ 2xy _ 1 (y + l) 2+ (x + l) 2 ( x + 1 )(y + 1 ) _xy + x + y + 1_ 2' f X + V + 1 = Ixv fv — 1 17 - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X + y + 1 = 3xy X _ y <=> y+1 x+1 X = l,y = 1 x = "3’ y: í 2 1 ^ 1 / Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y^= ;(l;l)- y 3 3J Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: i2 + ■ X y 0 4 y+1 X+1 X + y + 1 = 3xy X y 2xy 1 (x + l)(y + l) y+1 x+1 [x + y +1 = 3xy X y + 2xy 1 xy + x + y + 1 2 <=> y+1 x+1 [x + y +1 = 3xy = 0 o y + 1 X + 1 <=> X + y +1 = 3xy X = l,y = 1 x = --,y: 85 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 y 2 + X 2 + y 2 + 8 xy + 9 = 8 (x 2 + l)(y 2 + 1) = -Bxy < x Ị y _ 1 ^ * X y _ 1 x 2 +l y 2 +1 4 [x 2 +l + y 2 +l _ 4 í X 1 X y _ 1 y _ 1 |x = 2±a/3 X 2 + 1 y 2 + 1 8 y 2 + l 2 [y = — 1 <=> < <=> r <=> X y _ 1 X _ 1 IX = — 1 x 2 +l y 2 +l _ 4 x 2 + l~ 2 |y = 2±V3 y _1 [y 2 + 1 4 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = Ị-l;2 ± y/ĩ j;|2 ± V3;-lj. _ 11 _2_ 4 ^ l + 2x 2 + l + 2y 2 + l + 2x 2 )(l + 2y 2 ) ~ 1 + 2x y 86 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com _Ị_ _ 1 _ 2 __ 2 _ 2 _ l + 2x 2 + l + 2y 2 l + 2xy + ^ 1 + 2x 2 ỊỊ 1 + 2y 2 Ị l + 2xy 2 (x-y) 2 (2xy-l) (l + 2xy)Ịl + 2x 2 ỊỊl + 2y 2 Ị 2 I -4(x-y) 2 _ (l + 2xy)Ị 1 + 2xy + Ậỉ + 2x 2 ỊỊl + 2y 2 = 0 . ( 1 ) Do x,y G 7 nên vế trái của (1) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 do đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: M l ~ 2x ) = ị A 9±T73,9±T73 , - 2 _ 1 .. .. 9±V73 = —<=>2x -x + —= 0<=>x = - M= 81 36 36 36 V Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: M (thỏa mãn điều kiện). "9 + 773.9 + 773" /9-773.9-773" 36 ’ 36 V 7 ’ 36 ’ 36 V 7 1 4- 1 2 38. Giải hệ phương trình < 7i+x 7 1+ y /i+7^ỹ >/i+7ĩ- -X 2 ,-^1 + A / 1 -y 2 =x + y-l Lời giải Điều kiện: xy > 0,|x| < l,|y| < 1. Biến đổi phương trình đầu tiên của hệ tương tự bài trên suy ra X = y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 1 + Vl-X 2 = 2x-1 <=> Vl-X 2 = 2x-2<=> X = 1 =>(x;y) = (l;l). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (l;l). 39. Giải hệ phương trình X 2 + xy + y 2 = 19(x - y) 2 X 2 -xy + y 2 =7(x-y) 87 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x-y)~ +3xy = 19(x-y) 2 xy = 6(x-y)~ [(x-y) 2 +xy = 7(x-y) p(x-y) 2 = 7(x - y) "fx-y = 0 r r n x = 0,y = 0 xy = 0 <=> ; <=> x = 3,y = 2 r ;*; 1 X = -2,y = -3 _|xy = 6 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(3;2);(-2;-3). 40. Giải hệ phương trình 1 1 „ — + — = 3 - xy X y 1 , 1 _ 7 3xV+2 X 2 y 2 xy Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: [11., [l — + — = 3 - xy _ - X y X X yj xy 11 „ — + — = 3 - xy <=> < X y <=> x 2 y 2 -3xy+ 2 = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). 1 1 „ — + — = 3 - xy X y <=> < 'y 2 +2 / \2 2 í-xy) - xy 7 xy x + y = 2 xy-1 1 X = 1 <=>í X + y = 2 1 y = l' xy = 2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 88 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (4x 2 + 3yỊ(4y 2 + 3xỊ + 25xy = 12 (x + y)Ịx 2 -xy + y 2 j + 2xy(x + y) = X 2 + xy + y 2 (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3xỊ + 25xy = 12 (x + y - l)Ịx 2 + xy + y 2 j = 0 Ị4x 2 y 2 +9xy + 12(x 3 + y 3 ỊỊ + 25xy = 12 L x + y = 1 Ị^4x 2 y 2 +9xy + 12(x + y) (x + y) 2 -3xy +25xy = 12 x + y = 1 (4x 2 y 2 + 9xy + 12(1 -3xy)Ị + 25xy = 12 Í4x 2 y 2 -2xy + 12 = 12 x+y=1 Ịx+y=1 ík=° . |4x 2 y 2 -2xy + 12 = 12^ 1 X + y = 1 xy = 0 1 xy = 4- <=> 2 x = 0,y = 1 x = l,y = 0' [x + y = 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;1 );(l;0). (3x + y)(x + 3y)Vxỹ = 14 (x + y)Ịx 2 + 14xy+ y 2 j = 36 Lời giải Điều kiện: xy > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: (3x 2 + 10xy + 3y 2 )7 x ỹ < (x + y)Ịx 2 +14xy + y 2 j = 14 1 = 36 s = x + y Đặt < Ị— khi đó hệ phương trình trở thành: [p = Vxy Đây là hệ đẳng cấp nhân chéo theo vế ta được: Ị^3(x + y) 2 + 4xy j^/xỹ = 14 (x + y)Ị^(x + y)~ + 12xy j = 36 Ị 3 S 2 +4P 2 jp )Ịs 2 + 12P 2 j : 89 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 18^3S 2 + 4P 2 Ịp = 7s(s 2 + 12P 2 ) (s - 6P)(7S 2 -12SP + 12P 2 ) = 0 . - , ,2 1 rís = o <=>(s-6p) 7 S-ệp +^P 2 = 0^ |p = 0. - 2 J |_s = 6P Chỉ có nghiệm s = 6Pthỏa mãn. S = 6P [s = 6P [s = 3 Khi đó •! / , _, \ _,<=>•<_/_, _T \ <=>< 1. sỊs 2 + 12P 2 ) = 36 Ị6pỊ 36P 2 + 12P 2 j = 36 p = i x + y = 3 íx + y = 3 x = Ậ-V2,y = Ậ + V2 9 9 I — 1 <=>< 1 <=> V x y = 2 xy = 4 x = ^- + ^,y = ^--V2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = [f-^;f + Vĩ);(f + VĨ;f-VĩỊ. Lở/ giải Điều kiện: xy > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: (3x 2 + 3y 2 + 10xyỊ^/xỹ = 35^2 Ị^(x - y) 2 + I6xy^j^jxỹ = 35^2 (x - y)Ịx 2 + 14xy + y 2 Ị = 33 (x - y)Ịjx - y) 2 + 16xy j = 33 Lời giải Điều kiện: xy >-l,x + y >-1 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: Ạ + xy + Ạ + x + y -2 |^/l + xy + ^/l + x + y= 2 x\ 2 - x y=Ấ x + y}^ -2xy + X + ỵ sgỉís Ị( x + y - xy Ị( x + y + x y +ỊÌ=o 90 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í^/l + xy +Ạ + x + y = 2 í^x + y + l+^/l + x + y =2 [x + y-xy = 0 [x + y-xy = 0 « v y : 0 4::V- Ịxy = 0 ly = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0j. X y 2 yỊxỹ / - 45, Giải hệ phương trình < y + 1 X +1 y X y +1 1 1 _ o Vx-1 Vy _1 Lời giải Điều kiện: X > l,y > 1. Xuất phát từ phương trình đầu tiên của hệ suy ra X = y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: —r== = 2 <=> X = 2 => (x;y) = (2;2). VI -X Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). x y 2 + yfĩ 46. Giải hệ phương trình: < iRĨM 1 X y 1 + — H)M Vl-X 2 Ạ-y 2 ^(l-x 2 Ị(l-y 2 Ị Lời giải Điều kiện: -1 < X < 1,-1 < y < 1. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: x ^ +y d2 T=,. sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski và Cô si ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vl-y 2 x/l-x 2 ox = y = ±ệ. x 2 +y 2 =l yỉĩ Thử lại vào phương trình thứ nhất chỉ có nghiệm X = y = -2- thỏa mãn. 91 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0. í /T , ,,\ 2 Y N; 2 1 Ta có: —- (x + y) 4 2(x + y) 4 2(x + y) 4 8 Mătkhác: = x + y 8 2(x + y) 8 8 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: / \2 ị l l _ -Y + 4=-x y =0 77= + _ r~ x y = 0 [Vx+Yỹ = xyYY Y ỉ } T ị _, r-° y Y = 3 Y- 2 ' xĩ+x/7=3x/T-2 [VĨ+^=3^-2 1 yv y v y 1 , 1 _ _n Ị= + Ị= - xy -0 v Vx Vy J v/x + Vỹ = 3 Yxỹ - 2 92 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (V^-i) (V^ + 2)=0 ỊVxỹ=i (Hệ vô nghiệm do Vx + yfỹ > 2ìjyjxỹ = 2 > 1). Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: / \ Í-3 + V2Ĩ 3 + V2TÌ/3 + V2Ĩ -3 + V2Ĩ\ 6 6 V y V y 3 + V2T_3-V2Ĩ\f3-V2T. 3 + V2Ĩ" 6 ’ 6 ’ 6 ’ 6 V / V y Nhân xét: Phương trình đầu tương đương với (x - y) = 1 được suy ra từ tính đồng biến của hàm số f(x) = x|Vx + 3 + ljtrên R(xem thêm kỹ thuật sử 93 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com dụng hàm sô" trong giải hệ phương trình). Để tạo ra các hệ phương trình khó hơn ta ta thay phương trình thứ hai vào phương trình đầu của hệ ta được: (x -y) 2 Ị Jx 2 -2xy + y 2 + 3 + mỊx 2 + xy + y 2 ] -2nĩ + 1 X 2 + xy + y^/=2 = 3 Chọn m = 2 ta có bài toán. Vx-Ĩ + Vỹ-Ĩ = 2 (Vxỹ -1) = 2 Điều kiện : X > 1,y > 1 . Ta có: Lời giải ế Vx 1 f X x + y J y 1 f 1 2y : T == < j - —— + —7- ; 1————— x-l = (x -l) 2 <=> (x- l)(x-2) = 0 X = l,y = 1 x = 2,y = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;lj;(2;2 ). <=> X = 1 X = 2 94 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 51. Giải hệ phương trình - + - = 9 X y ^ + 1 K1 ° 3 ( u + v ) , , u + v) -9 3 2 (u + vj ——r—+ U + V + 1 =18 (u + vj + 3(u + vj +3(u + v)-63 = 0 V / (u + v) 3 -9 J UV= ^TT o|" +v ; 3 . / x2 \ (uv = 2 (u + v-3) (u + v) + ó(u + v) + 21 =0 , 7x f fx = 1 ■^= = 2 ' 1 u = l,v = 2 vy 7 8 <=> _ <=> : <=> ^ u = 2,v = 1 1 1 —=-2 x=— Ị-. Ẳ/ỹ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 1 .0 í'.,ì I V oo 1 5 1 1 00 95 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 52. Giải hệ phương trình < (x + 7y)'\/x+ (y + 7x)^y =8,/2xy(x + y) r r 1 — \/x 2 +y 2 + \/2xy =8 ^ V V Lờt giải Điều kiện : X > 0,y > 0 . Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: xVx + y-y/ỹ + 7 yịxỹ ỊVx + yjỹ j = 8^2xy(x + y). <=> (Vx + Vỹ)( x - v^ỹ + y) + 7 Vxỹ(Vx + VỸ) = B^2xy(x + y) (Vx + VỸ)(-Vx -7ỹ) 2 = 8^/xỹỊ^2(x+ỹ) - Vx -VỹỊ. <=> (Vx-VỸ) 2 ( r . r\( r r \ 2 „ Ị— V Vx + Jy vx -\/y = 8Jxy.—Ị= 1 Ẫ 1 ^ (Vx-Vỹ)' ỊVx + ^/ỹjỊ^2(x + y) + Vx H 2 (x + y) + Vx+ ^/y (Vx-Vỹ)' (V^ + ^)(ự2(x + y)+V^ + Vỹ)-8^ỹ =0(1). Tacó: (Vx + .ựỹjỊ^2(x+ỹ) + Vx + ^/ỹỊ-8^xỹ > Ị Vx + ựỹ jỊ Vx + -y/ỹ + Vx + Vỹj - 8^xỹ = 2|Vx + 7Ỹ|-8 - N /xỹ = 2|Vx — Vỹ) -0 Dấu bằng xảy ra khi và chi khi X = y do đó (1) <=> X = y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : V2x 2 + V2x 2 = 8 <=> 2^2x = 8 <=> X = 2 V 2 =^> y = 2 V 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Í2yỈ2',2^\. 3(x 2 +y 2 )-2(x + y + xy) = 15 53. Giải hệ phương trình < 3 3 25 X + y = — l 4 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : 3 í(x + y) 2 -2xyì-2(x + y + xy) = 15 (x + y) 3 -3xy(x + y) = ^ 96 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt ịl x + y ,ís 2 > 4Pj khi đó hệ phương trình trở thành: p = xy 3(s 2 -2pỊ-2(S + p) = 15 , _ 25 S 3 -3SP = — <=> i p = 3S-2S-15 S 3_ 3s ^y-2S-15 = 25 _ 3S 2 -2S-15 <=> • 8 (s-l)(s-10)(s + 5) = ơ <=> s = l,p = —7 4 s = 10,p = 265 S = -5,P = ^f 4 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm s = l,p = —- . 4 S = 1 p = - 7« x + y = l 7^ xy = - T X = I+2V2 I-2V2 —— y =-— 2 2 1-2V2 1+2V2 x = r 2 — >y = -r^— 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: M ' I + 2V2 l-lyịĩ' "1-2V2 _ 1 + 2V2^ 2 ’ 2 V 7 2 ’ 2 V 7 54. Giải hệ phương trình Ể1IỈ xỉ±ạV =x + y 3(x+y) 2xy- v ’ = 5 Lời giải Để hệ phương trình có nghiệm ta phải có X + y > 0. Ta có: < rì±ỵi>ì±ỵ Í 2 .2 X +xy + y > x + y 3 2 Dâu bằng xảy ra <=> X = y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 97 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X = -1 X = y = -1 2x 2 -3x = 5<=> 5 => 5 . L 2 L 2 Đôi chiếu với điều kiện suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất : Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : Lời giải Điều kiện xy>0^>x + y>0^>x>0;y>0. Nhận thấy xy = 0 không là nghiệm của hệ nên X > 0;y > 0 . Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có I — _ . x + y _ 1 1 _ X + y = xy + Jx y < xy H——X + y < 2xy => —I— <2 2 X y Từ phương trình thứ hai của hệ : 16x 2 y 2 =Ị^Vl + 3x 2 +y/l + 3y 2 J Ịy(l + 3x 2 Ị + xỊl + 3y 2 Ị|. = —+ —j(x + y)(l + 3xy)<2.2xy(l + 3xy) = 4xy+ 12x 2 y 2 =>xy X + y > 2^Jxỹ => xy > 1. Như vậy tất cả các bất đẳng thức trên phải xảy ra dấu bằng, điều này tương đương với X = y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. 98 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Sề 3, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐÔI XỨNG LOẠI II Nội dung chủ đề này tôi đề cập đến phương pháp chung để giải một bài toán hệ phương trình đôi xứng loại 11 và một sô" hệ phương trình có cách giải tương tự. Một sô" hệ đưa được về hệ đối xứng loại 11 bằng phương pháp đặt ẩn phụ và ứng dụng hệ phương trình đối xứng loại II trong bài toán giải phương trình vô tỷ. A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng: \ ^ < x ' y 0 [F(y,x) = 0 Trong đó F(x,y) là một đa thức không đối xứng. Hay cách khác hệ đối xứng loại 11 là hệ mà khi ta đổi vai trò x,ycho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia. 1 3x 3 — 2y +1 Ví dụ: Hệ phương trình 1 [3y 3 =2x + l Khi thay y bởi X thì phương trình thứ hai trở thành 3x 3 =2y + l đây chính là phương trình thứ nhất của hệ. Phương pháp chung. Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được một nhân tử chung (X - y] nhóm lại đưa về phương trình tích và sau đó xét hai trường hợp F(x,y) - F(y,x) = (x - y)f (x,y) = 0o Việc trừ theo vế thường sử dụng các hằng đẳng thức hoặc nhân liên hợp (nếu chứa dâu căn). a 2 -b 2 =(a-b)(a + b) a 3 ± b 3 = (a±b)Ịa 2 + ab + b 2 j Va + vb &±t/b = ^_ a l b ,r- ỉỊĩ+Hi ĩ + n / i ? x = y f(x,y) = 0‘ 99 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com THI: Nếu y = X thay vào một trong hai phương trình của hệ tìm được nghiệm. TH2: Nếu f(x,y) = 0 ta có các hướng xử lý như sau: - Nếu f(x,y)có dạng bậc nhất hoặc rút được y theo X hay xrút được theo y thực hiện phép thế vào một phương trình của hệ tìm ra nghiệm. - Nếu f(x,y)có dạng bậc cao chú ý f(x,y)và F(x,y) + F(y,x) là các đa thức đôi xứng ta đưa về giải hệ phương trình: F(x,y) + F(y,x) = 0 đây là hệ đối xứng loại I đã biết cách giải. Chú ý: Nếu hệ phương trình bao gồm các hàm dạng đa thức, căn thức, hàm mũ và Logarit, lượng giác sau khi trừ theo vế hai vế một phương trình dạngg(x) = g(y), trong đó g(t) là một hàm đơn điệu thì chúng ta sử dụng tính chất của hàm số để chỉ ra rằng X = y . Ví dụ:Hệ phương trình 2 x = y- + 1 2 y = x 2 + 1 Trừ theo vế ta được 2(x-y) = y 2 -X 2 <=> X 2 + 2x = y 2 + 2y <=> g(x) = g(y). Trong đó g(t) = t 2 + 2t là hàm đồng biến trên Ị^0;+oo) . Từ đó suy ra X = y. A. BÀI TẬP MẪU DANG 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài l.Giải hệ phương trình X -4x = 3y y 2 — 4y = 3x Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 - y 2 - 4x + 4y = 3y - 3x <íí> (x - y)(x + y) - (x - y) = 0 . o(x-y)(x + y-l) = 0< v /v ' Ị_y = l-X THI: Nếu y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X 2 — 4x = 3x <=> X 2 — 7x = 0 <=> 100 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH2: Nếu y = 1 - X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 1 -VĨ3 2 1 + VĨ3 1-VĨ3 X 2 -4x = 3Íl-x)<=>x 2 -x-3 = 0<=>| 2_ 1 1 + V13 X = ■ X = - 2 1 + VĨ3 2 1-VĨ3 y=- Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm là: ' 1-VĨ3.1 + VĨ3\f 1 + VĨ3 1-VĨ3 (x;y) = (0;0);(7;7); 2 2 V J 3x 3 =x 2 +2v 2 Bài 2. Giải hệ phương trình < hy 3 =y 2 +2x 2 Lời giải Từ hai phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm khi x,y>0. Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được: 3|x 3 -y 3 j = -|x 2 - y 2 j <^> ^x -y^3Ịx 2 +y 2 +xyj + x + yj = 0. x = y 3^x 2 + y 2 + xy j + X + y = 0 " r x = y <^> Nếu X = y, khi đó ta được hệ [3x 3 = X 2 +2y z Nếu 3Í X 2 + y 2 + xy j + X + y = 0, khi đó ta có hệ <=> X = y = 0 X = y = 1 3^x 2 + y 2 + xy j + X + y = 0 3x 3 = X 2 +2y 2 Từ X > 0 suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có nghiệm, suy ra y < 0 . Do đó X = y = 0 , thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x,y j = (0,0);(l,lj. 101 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 3. Giải hệ phương trình (TSĐH Khối B 2003) < 7 y 2 +2 3y = J X Q X 2 +2 r 7 Lời giải Hệ có nghiệm khi X > 0,y > 0 khi đó hệ phương trình tương đương với Í3x 2 y = y 2 +2 [(x-y)(3xy + X + y) -0 jx = y <=> • <=> • [3y x = x +2 [3xy =x +2 3xy 2 = X 2 + 2 _ x =y _ , 3 2 1 3x 3 -X 2 -2 = 0 (x-l)Ị3x 2 +2x + 2Ị = 0 <=> X = y = 1. x = y Vậy: hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. Nhân xét: Đối với hệ có dạng phân thức trước tiên ta biến đổi đưa về dạng đa thức và điều kiện có nghiệm của hệ phương trình giúp ta xử lý bài toán nhanh gọn hơn. Bài 4. Giải hệ phương trình IX + y 2 = X 3 [y + X 2 = y 3 Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: x-y + y 2 -X 2 = X 3 -y 3 <=> X -y -(x-y)(x + y) = (x-y)Ịx 2 + xy + y 2 x = y <=>(x-y)Ịx 2 +xy + y 2 + x + y-lj = 0<=> THI: Nếu y = X thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: x 2 +xy + y 2 +x + y- l = 0 x + x 2 = x 3 <=>x|x 2 -X-1| = 0<=> x = 0 ỉ-yỊS X : 1 + Ts X = 0,y = 0 X = 1-75 .. 1-75 2 ,y_ 2 1 + 75 1 + 75 2 ,y ~ 2 TH2: Nếu x 2 + xy + y 2 +x + y- l = 0. Cộng theo vế haiphương trìnhcủahệ tađược: x + ỵ + X 2 + V 2 ^xT+y 3 . 102 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com íx + y + x 2 + y 2 =x 3 +y 3 Ta có hệ phương trình: \ ■ [x 2 + y 2 + xy + X + y -1 = 0 (x + y) -3xy(x + y) = (x + yj -2xy + X + y (x + y)~ -xy + x + y- l = 0 Đặt Ị s x + y,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: Ịs 3 -3SP = S 2 -2P + S^ p = s 2 +s-l js 2 -p+s-i = 0 s 3 -3sỊs 2 + s-i) = s 2 -2(s 2 + s-iỊ+s‘ p = s 2 +s-l 2S 3 +2S 2 -4S + 2 = 0 (1)’ Mặt khác: s 2 >4P«S 2 >4^s 2 +S-l)^3S 2 +4S-4<0«-2 0, vs > -2 (1) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: Lời giải Điều kiện x,y & 0 . Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được X + y = —— + —— > 0. ■ ' X 2 y 2 Khi đó trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được , \ 3 3 / 4 3(x + y)1 2(x-y) = 4-4«(x-y) 2 + ^44 = 0«x = y. X y 1, X y J 103 X = y = 1. x + y — 2 [ y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ (x-l)(y 2 +6) = y(x 2 +l) Bài 6. Giải hệ phương trình ị ) { ) [. (y-l)(x 2 + 6) = x(y 2 + l) Lời giải _ .. xy 2 + 6x - y 2 - 6 = yx 2 + y Hệ phương trình đã cho tương đương với -< 2 2 2 yx + 6y - X - 6 = xy + X Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được (x-y)(x + y-2xy + 7Ì = 0<=> x = y . v A ’ L x+ y- 2 x y+ 7 =° THI : Nếu X = y khi đó ta có hệ phương trình : [x = y íx = y |~x = y = 2 1 <=>^ <=> [xy 2 +6x-y 2 -6 = yx 2 +y [x-5x + 6 = 0 |_x = y = 3 TH2: Nếu X + y - 2xy + 7 = 0, khi đó cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 +y 2 -5(x + y) + 12 = 0 . Từđótacóhệ:I x2+y2 _5 t X + y ) + 12 = 0 ^I( x + y ) 2 -5(x + y)-2xy + 12 = 0 x + y-2xy + 7 = 0 x + y-2xy + 7 = 0 s = X + y / 2 ,(s 2 >4p' . [P=xy V / Khi đó hệ phương ưình trên trở thành: [s 2 - 5S -2P +12 = 0 s 2 - 6S + 5 = 0 oị S + 7 <=> [S-2P + 7 = 0 p = l 2 s = l,p = 4 s = 5,p = 6 ì;v , ,, , a _, [s = 5 (x + y = 5 |~x = 2;y = 3 Đôi chiêu điêu kiện chỉ nhận nghiệm < <=> < <=> [p = 6 [xy = 6 X - 3:y - 2 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là (2,2);(3,3);(3,2);(2,3) . 104 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét: Việc lấy tổng hai phương trình của hệ đưa về một đa thức đối xứng rất có ý nghĩa khi ta thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ mà phương trình lúc sau khó xử lý. Đây là một kinh nghiệm quý báu khi giải hệ đôi xứng loại II. Phần bài tập rèn luyện tôi có đưa ra một số bài tập cùng dạng này cho bạn đọc rèn luyện. Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 +2y+ ^— X 2 2 X 2 y +2x+ 2 y 7x 7y 2y 2 7y 7x 2x 2 y X Đặt u = X + —,V = y + — hệ phương trình trở thành: X y x+^-0 |"x = —l,y = —1 X J X 5 5 y + ^0 x = 2’ y 2 „ 3 • u 2 — ~"V [u = 0,v = 0 1 : « 7 7 « : „ «• „ 3 ■ ..2 7 u = —, V = — y 7 x = 3,y = — V =-u 2 2 x + - = - 2 l 2 X 2 1 1 n ^ _ 3 T7 _ Q X 7 x = —,y = 3 y + z = o L 2 Ll y 2 \ (^5 5^1 r 3^ ( 3 ^ Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm là: (x;y) = 1;—l); ; 3;^- ; ^-;3 . y2 2j y 2J y2 J 105 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét: Với dạng hệ đối xứng loại 11 biểu thức phương trình có dạng phức tạp hoặc bậc cao cần chú ý biến đổi phương trình đưa về hệ đơn giản hơn. Lời giải Điều kiện X > 2,y > 2. Nhận thấy X = 2 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X > 2 khi đó trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được Vx + 5- ^/y + 5 + - v /y-2-\/x-2 = 0. ị ' <=>( x -y) 7 -- 7 —= - 7 - = r== = 0 <=> X = y, Ụx + 5 + ^y + 5 yx-2 + yJy-2 J , 1 1 Vì vậy ta có hệ phương trình tương đương với: Jx = y ^Jx = y (Vx + 5 + Vy-2 = 7 [Vx + 5 + Vx -2 = 7 (1) r „ X = y x = y / <^> < Ị— - <^>lx<23 <=>x = y = ll. u/x 2 +3x-10 =23-x 2 2 L [x 2 +3x-10 = 529-46x + x Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (ll;l l). Nhân xét: Phương trình (1) có thể chỉ ra nghiệm duy nhất bằng phương pháp hàm sô" (xem cuốn phương trình, bất phương trình vô tỷ cùng tác giả) và một hệ đơn giản như này ta có thể tiếp cận với 10 lời giải khác nhau. Đưa ra cho các bạn tìm tòi. Lời giải Điều kiện: Ịl-X 2 jỊl-y 2 j>0. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 106 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x-y)^(l-x 2 )Ịl-y 2 ) = x-y + x 2 -y 2 . <=>(x-y) J(l-x 2 )(l-y 2 )-l-x-y = 0 <=> y = x vv Ị— -—— y LVrMl 1 THI: Nếu ỵ - X thay vào phương trình đầu của hệ tíj/ được: í/ \ 2 r\ ( I r\ I \ (‘-xl (l-x 2 )(l-y 2 )=l + x + y' ■ X X” <=> X <=> -1+x =0. ỉ-x z -1 + X = 0 <=> X = 0 X = 1 x = 0,y = 0 x = l,y = l ' TH2: Nếu I - X 2 ỊỊ I - y 2 ì = 1 + X + y thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: x(l + X + y) = X - y 2 <=> X 2 + xy + y 2 = 0 . <=> x + ị- V + ^-y 2 = 0<=> 4 X + — = 0 |x = 0 y = o' 2 <^' [y = 0 Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0);(l;l). Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: xẬ + y 2 - xa/ 1 + x 2 + yVl + x 2 - y-y/l + y 2 = 0 . o( I - y )p-^.0oỊ^ ĩ _^ ĩ - ĩ o THI: Nếu y = -X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: xa/ 1 + X 2 - xa/ 1 + X 2 =2 (vô nghiệm). TH2: Nếu y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: y = x y=-x r /l + x 2 +xV 1 + x 2 = 2«>xV L 2 1 l + x = 1 «£^> X = A - a/5-i 107 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: x,y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 108 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com o X + X-1 = 0 < H y 2 + y-l = 0 y = -1 + V 5 2 -1 + V 5 2 Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y) = -I + V 5 .-I + V 5 _ •> Vx 2 +3 + 2-v/x = 3 + \jỹ [Vy“ + 3 + 2-y/ỹ = 3 + Vx Lờ/ giải Điều kiện X > 0,y > 0 . Nhận thây (x;y) = (0;0j không là nghiệm của hệ vậy xét với X > 0,y > 0 . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: Vx 2 +3-^/y 2 +3+3|Vx-^/ỹj = 0. <=>( x -y) X + y x/x 2 +3 + Jỹ 2 +3 Vx + £ = 0<=>x = y. Vì vậy ta có hệ phương trình: x = y Vx 2 + 3 + 2 Vx = 3 + ^/ỹ ỊVx^+ 3-2 +Vx -1 = 0 x = y ( x_1 ) Ị 2 7 + 77777 LVx 2 + 3 + 2 vx + l_ Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 13. Giải hệ phương trình: |x 3 + 3 x 2 + X + 2 = ^ 2 y +11 + 2 y 2 yỊy + 4 ( 1 ) 5 + 3 y 2 + y + 2 = V 2 x +11 + 2 x 2 Vx + 4 ( 2 ) x = y = 0 <=>x = y = 1. ,(x>0,y>0) Lời giải Điều kiện: x,y > 0. Lấtílte 42 ^ie|gế te&Ợc^ rì 09 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 3 - y 3 + 3Ịx 2 - y 2 j + X - y = A /2y + 11 - --ịĩx + 11 + 2y 2 7y + 4 - 2x 2 7X + 4 o(x-y) + 3 X -y + x - y zy + I I - z x + I I + zy \/y + ^-zx \/x , ỉ~,lũ xĩ+xy+yĩ+3( , +y)+l+ 2 \/2x + 11 + ự2y + 11 x 2 7x + 4+y 7y + 4 = 0 ox = y(dox,y>0). 7 7 7 7 Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X 3 + 3x 2 + X + 2 = 72x + ll + 2x 2 7x + 4 . Như vậy mâu chốt của bài toán là xử lý phương trình vô tỷ trên. Ta có ba cách xử lý như sau: Cách 1; Điều kiện: X > 0 từ giả thiết. Viết lại phương trình dưới dạng: (x + 2- V2x + 11 Ị + X 2 Ịx + 3 -2x/x + 4 j = 0 . THI: Nếu X + 2 > V2x + 11 <=> X > 2\fĩ -1 => X + 3 > 27x + 4 phương trình vô nghiệm. TH2: Nếu X + 2 < 72x + 11 <=> -4 < X < 2\fĩ -1 => X + 3 < 27x + 4 phương trình vô nghiệm. TH3: Nếu X + 2 = 72x + 11 <=> X = 2 V 2 -1 phương trình thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất X = 2-72-1 suy ra hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) = [ 2 -^ 2 -ĩ;2xỈ2 -lj. Cách 2: Nhân liên hợp ta được: (x + 2-72x + 11Ị + X 2 Ịx + 3 -27 x + 4 j = 0 . X +2x —7 2 x + ^x—/ X + 2 + 72x +11 X + 3 + 27x + 4 — I 1 X 4~ 3 4- 27 X + 4 X + 2 + 7 2x + 11 X 2 +2x-7 - = 0 . «• x z +2x-7 = 0 . <=> x z + 2x-7 = 0 2 X x z I - * 7 - - +-— 7=— =0 (1) + 3 + 2Vx + 4 X + 2 + V2x + 11 Đ^gTMsphmn^ình 11) ta lồm nbư^lP? 110 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X + 3 + 2 V X + 4 X + 2 + yj 2x + 11 <=> X 3 + 2x 2 + X + 3 + X 2 V2x + 11 + 2\Jx + 4 - 0. Kết hợp với phương trình đầu tiên ta được hệ: I X 3 + 2x 2 + X + 3 + X 2 \l2x + 11 + 2^x + 4 = 0 [x 3 + 3x 2 + X + 2 = \j2x +11 + 2x 2 Vx + 4 Suy ra -X 2 + l + 2Íx 2 + l^/x + 4 +íx 2 + 1 j \/ 2x + 11 = 0 . «(x 2 +l)(V2x + ll+2Vx + 4-l) + 2 = 0. Phương trình này vô nghiệm do đó x 2 +2x-7 = 0<=>x = -l± 2 V 2 . Kết hợp với điều kiện suy ra X = 2 V 2 -1 => y = 2 V 2 - 1 . Cách 3: Đặt t = Vx + 4 phương ttình trở thành: (t 2 -4) 2 (t 2 -2t-l) + t 2 — 2 — V2t 2 +3=0. o(t 2 -2t-l) Ịt 2 -4 + 1 +- 2t-l + V2t z +3 = 0^Ut = l + y/ĩ. Bài 14. Giải hệ phương trình X 2 + VX =2y y +Jy=2x Lời giải Điều kiện : x,y > 0. Xét hàm sô" f(t) = t 2 +Vt trên đoạn [0;+co). Ta có f'(t) = 2t4 —c > 0 , Vt e (0;+co). 2vt Do đó hàm sô" f(t) đồng biến trên 1^0; +GO) Hệ phương trình tương đương với •] f( x ) =^> 2(y - x) = f(x) - f(y) |2x = f(y) Do f(t) là hàm đồng biến nên, nếu y > X => f(x) < f(y) và nếu y < X f(x) > f(y). Vậy X = y, khi đó hệ trở thành: |x = y íx = y 111 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X = y x = y = u °|^(^-l)(x + ^-l) = 0° x = y = 1 3 ■ i x = y= 2 / [- 2 _75 3-- 5 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x,y) = (0;0);(1;1); ——-—;——— . v V V 2 Nhân xét: Ngoài sử dụng hàm số ta thực hiện theo hai cách sau: Cách 1: Nhận thấy (0;0) là nghiệm của hệ, xét với X 2 +y 2 >0 khi đó trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được X 2 -y 2 +2(x-y) + Vx - -y/ỹ = 0 <=> (x - y) x + y + 2 + —=J—= ■■ L Vx + 7 y Cáeh 2: Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 + 2x + Vx = y 2 + 2y + yịỹ . Khi đó hàm số f(t) = t 2 +2t + vt đồng biến trên [0;+oo)nên: :0<íí>x = y. f(x) = f(y)ox = y. Bài 15. (VM01994 Bảng B) Giải hệ phương trình Lời giải X 2 +3x + lnÍ2x + l) = y ình < ' 2 y 2 + 3y + ln(2y + l) = x Điều kiện: x,y>--2-. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 -y 2 + 3x-3y + ln(2x + l)-ln(2y + l) = y-x. «• X 2 + 4x + ln(2x + l) = y 2 + 4y + ln(2y + l) (1). Xét hàm số f(t) = t 2 + 4t + ln(2t +1 j trên Ị^-^-;+co , ta có: f'(t) = 2t + 4 + —= 2Ít + ịì + —+ 3>0,vt>-ịnên 2t +1 ^ 2 J 2t +1 2 ( 1 ì biến trên ;+00 . I 2 112 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X 2 + 3x + ln (2x +1) = X <=> X 2 + 2x + ln (2x +1) = 0 (2). í ị Xét hàm sô" g(t) = t 2 + 2t + ln(2t +1) trên —^-;+00 V 2 g'(t) = 2t + 2 + —= lít + ịì + Ạ— + 1 > 0, Vt > 9t 4- 1 ? 4- 1 , ta có: gW = 2« + 2 +2t + i ' 1. 2 ;+oo 2 1 2 , _ 1 t + — + —-- + 1 > 0,Vt > nên g(t)là hàm đông 2 2t +1 2 biến trên V ~ J Vì vậy (2) <=> g(x) = g(0) <=>x = 0^>y = 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y ] = (0;0j. x + l + Vx 2 -2x + 2 =3 y Bài 16. Giải hệ phương trình < y + l + yy 2 -2y + 2=3 x Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: x-y + Vx 2 -2x + 2-^y 2 -2y + 2 =3 y -3 X . «• 3 X + X + Vx 2 -2x + 2 = 3 y + y + yjy 2 -2y + 2 (1). Xét hàm sô" f(t) = 3* +1 + Vt 2 -2t + 2 trên R , ta có: ^(t-l) +ĩ + t-l f'(t) = 3 t ln 3 +1 + 4 t-1 t 2 -2t + 2 r = 3* ln3 + - ị >3' ln3 + t-l+t-1 t -2t + 2 4 > 0 , t -2t + 2 Vt G R nên f(t) là hàm đồng biến trên R . Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: x + l + Vx“-2x + 2=3 x <=>3 ịx +1 + Vx 2 - 2x + 2 j -1 = 0 (2). Xét hàm sô" g(t) = 3 ‘Ị^t + 1 + V- g'(t) = -3 _t ln3^t +1 + Vt 2_ -2t + 2 | + 3 -t t -2t + 2 I — 1, ta có: 1 + - 1 4 t -2t + 2 rì 13 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do đó g(t) là hàm nghịch biến trên R. Vì vậy: (2) <=> g(x) = g(l) <=>x = l=>y = l. Vậy: hệ phương trinh có nghiệm duy nhất (x;yj = (l;lj. Tương tự cách trên ta giải được hệ tổng quát: X-1 + y — 1 + x/y 2 -2y + a 2 + 1 =a x Hệ phương trình này cũng có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). DANG 2: ỨNG DỤNG HỆ ĐÔI XỨNG LOẠI II TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯONG trình vô tỷ. Dang 1 : Phương trình (ax + b) n = ỹ^lcx + ả + qx + r. Đặt yj cx + d = ay + b nếu pc > 0 . Đặt x/cx + d = -(ay + b) nếu pc < 0 . Dạng 2: Phương trình [f(x)] n + b(x) = a(x)íj/a(x)f(x) - b(x). u = f(x) |u n + b(x) = a(x)v v = ựa(x)f(x)-b(x) Ịv n +b(x) = a(x)u Đây là hệ đối xứng loại 11 có nhân tử chứa biến a(x). Bài l.Giải phương trình \J. 3x-5 = 8x 3 -36x 2 + 53x-25 . Ệề ,ềf~ \ Wz-. WếỂÊfi' w /x 2 -2x + a 2 + 1 = a y ,ía>l). 114 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 1; Viết lại phương trình đã cho dưới dạng: ^3x-5=(2x-3) 3 -(x-2). Đặt y. 3x-5 = 2y - 3khi đó ta có hệ phương trình: 2y - 3 = Í2x - 3Ì' - (X - 2ì 2y + X - 5 = Í2x - 3 V < ' <=> t . 3x-5 = (2y-3) 3 13x-5 = (2y-3) 3 Đây là hệ nửa đối xứng loại II. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 2(x -y)^(2x - 3) 2 + (2x -3)(2y - 3 ) + (2y -3) 2 1 = y - X . <=> (x -y) 2(2x-3) 2 +2(2x-3)(2y-3) + 2(2y-3) 2 +l =0. «■ X = y (do 2(2x -3) 2 + 2(2x - 3)(2y - 3 ) + 2(2y - 3) 2 + 1 > 0 ). Vậy: bài toán đưa về giải phương trình: \J 3x -5 = 2x -3 . Cách 2: Đặt V = \Ỉ3x - 5 => I y [y = 8x 3 - 36x 2 + 53x - 25 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: y 3 +y = (2x-3) 3 +(2x-3) (1). Xét hàm số f(t) = t 3 +1, ta có: f'(t) = 3t 2 +1 > 0,Vt e M nên hàm số f(t) đồng biến. Do đó (1)o f(y) = f(2x-3)«y = 2x-3«>/3x-5 = 2x-3. X = 2 o 8x 3 - 36x 2 + 5 lx - 22 = 0 (x - 2)(8x 2 - 20x +111 - 0 5±V3 • Vậy: phương ưình có ba nghiệm là X = 2,x - 5 + V 3 Bài 2. Giải phương trình: 8x 2 - 13x + 7 = ' 1+ v V x y ^(x + l)(2x-l) -1 +x z - x-1 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: 8x 3 - 13x 2 + 7x = (x + 1^3x 2 -2 <=> (2x-lj 3 -Ịx 2 - X -lỊ = (x + + "ĩ)(2x"- 1 ) + Ịx 2 - X - 1Ị hl5 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = 2x -1, V = yỊĩx' - 2 ta có hệ phương trình: u 3 -Ịx 2 -x-lj = (x + l)' v 3 -íx 2 -x-l| = | lỊ = (x + l)u Trừ theo vế hai phương trình trong hệ ta được: (u-v)íu 2 + UV + V 2 +X + 1| = 0<=> u = V u 2 + uv + V 2 + X + 1 = 0 THli Vđi LI = V «• 2x - 1 = \hx 2 -2 (x - 1) 2 (8x + 1) = 0 «• X = 1 V X : v + ^-j + -^(2x-l) 2 +X+1=0 TH2:Vơi u 2 + uv + V 2 + X + 1 = 0 «4 ' , u ^ 2 v +- V 2 / + 4x 2 + 2^2x - l)” + 5 = 0, phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm X = l;x = . 8 B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Lời giải Điều kiện: xy & 0 . xy + l = y z +y Hệ phương trình đã cho tương đương với: < 1 xy +1 = X 2 + X Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: y 2 -X 2 + y- x = 0<=>(y-x)(x + y + lỊ = 0<=> y = x y = -1-x THI: Nếu y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2 +l = x 2 +x<=>x = l=>y = l. TH2: Nếu y = -1 -X thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 116 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x(-l-x) + l = (-l-x) + X <=> 2x 2 + 4x - 0 < x *° » x = -2=>y = l. Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = . X 2 -xy = 3(2 + y) [y 2 -xy = 3(2 + x)' Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: r y = x y = -3 - X ' Xét trường hợp thay vào phương ưình đầu của hệ tìm được các nghiệm X 2 - y 2 = 3y-3x«>(x-y)(x + y + 3) = 0 <=> (—2-— 2 V 3 + V 3.-3 + V 3 " + 1 3+vr 1 2; Z J’ 2 ’ 2 V 7 'l 2 • 2 / Vậy: hệ phương trình có ba nghiệm: (x;y) = (-2;-2); Bài 3. Giải hệ phương trình 3 + V3.-3 + V3ỴÍ-3 + V3. 3 + V3 _ 9 _ 9 _ 1 _ (4x + 2j =2y + 15 [(4y + 2) 2 =2x + 15 Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: \2 / . _\2 (4x + 2) -(4y + 2J =2y-2x <=> 4(x -y)(4x + 4y + 4 ) = 2(y -x) y = x y : <=> (x - y)(8x + 8y + 10 ) = 0 <=> 5 + 4x Hệ phương trình có bốn nghiệm: M- nu T ; ~~8~ ì_ì_ v 2 ; 2 y 9 + V 22 T -9 + V 22 T\f-9 + V 22 Ĩ_ 9 + ^Ỉ 22 Ĩ ” ĩ ” 9 ” 9 ” Bài 4. Giải hệ phương trình IX + y 2 = y 3 Ịy + X 2 = X 3 Lời giải Trí? theo vếliíii phương írình cùa hệ ta.ffBỊfe; 117 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x-y + y 2 -X 2 =y 3 -X 3 <=> X-y + (y-x)(y + x) = (y-x)Ịy 2 + xy+ x 2 j. <^(y-x)(x 2 +xy + y 2 -x-y + l) = 0<^> y = x . \ ' |_x 2 + xy + y 2 - X - y + 1 = 0 THI: Nếu y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X = 0 x = 0,y = 0 ___l->/5 x + x =x <=>x X -x-1 =0<=> X = ———=> X =———,y = ———. \ 1 2 2 2 1 + V5 I + V 5 I + V 5 2 L 2 2 TH2: Nếu x 2 +xy + y 2 -x-y + l = 0 cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X + y + X 2 + y 2 = X 3 + y 3 . Í 2 2 _ 3 3 y y y (đây là hệ đối xứng loại I). x 2 +xy + y 2 -x-y + l = 0 Cách 2: Viết lại: X 2 + xy + y 2 - X - y + 1 = 0 <=> (x + y) 2 + (x -l) 2 + (y -1) 2 = 0 X + y = 0 <=> ị X = 1 (vô lý). y = i Vậy trường hợp này hệ phương trình vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: 1-V 5 .1-V 5 I + V 5 .I + V 5 " (x;y) = (0;0); _ V _ J \ _ )_ _ X 3 +l = 2Íx 2 -x + yỊ Bài 5. Giải hệ phương trình < y’ + l = 2(y ; -y + x) Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 3 - y 3 = 2x 2 - 2y 2 - 4x + 4y . «(x-y)Ịx 2 +xy + y 2 Ị = 2(x-y)(x + y)-4(x-y). 118 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>(x-y)Ịx 2 + xy + y 2 - 2x - 2y + 4j = 0 <=> THI: Nếu y = X thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: y = x X 2 + xy + y 2 - 2x - 2y + 4 = 0 X 3 +1 = 2x 2 <=> (x - l)(x 2 - X - lì = 0 « X = 1 X = - 1 -75 2 1 + 75 x = l,y = l 1-75 1-75 X =- = 2 2 1 + 75 . 1 + 75 X — ,y = 2 2 TH2: Nếu X 2 + xy + y 2 -2x -2y + 4 = 0 . <=> (x + y) 2 +(x-2) 2 +(y-2) 2 =0 oị x = -y x = 2 (vô lý). y = 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: ' 1 - 75 . 1 - 75 Ì/1 + 75.1 + 75 (x;y) = (l;l); V V Bài 6. Giải hệ phương trình I X 3 + 1 = 2y ly 3 +l = 2x Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 3 -y 3 =2y-2x<=>(x-y)Ịx 2 +xy+ y 2 j = -2(x-y). (x - y)Ịx 2 + xy + y 2 + 2j = 0 <=> X = y . Với y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X 3 +1 = 2x <=> (x - l)Ịx 2 + X -11 = 0 X = 1 X = -1 + 75 2 -1-75 119 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x = l,y = l -1 + V 5 -I + V5 x = —^—,y = . 2 2 -I-V5 -I-V5 —r^y =— X : 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (x;y) = (l;l); '-l + y [5 '-l + yỊS'' (-1-4-5 -1-4-5) 2 ’ 2 V 7 \ 2 ’ 2 Ị Bài 7. Giải hệ phương trình 1 2x 2 - y 2 = 3x - 2 2y 2 - X 2 = 3y - 2 Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 3x 2 -3y 2 =3x-3y<=>(x-y)(x + y-l) = 0<=> y = x . v /v ; Ị_y = l-X Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ ta được: (x;y j = (l;l);(2;2). Bài 8. Giải hệ phương trình < (l + x)Ịl + x 2 ỊỊl + x 4 Ị = y 7 +1 (i + y)(i+y 2 )(i + y 4 ) = x 7 +i Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (l + x)(l + x 2 )(l + x 4 )-(l + y)(l + y 2 )(l + y 4 ) = y 7 -x 7 . ^x 7 + (l + x)Ịl + x 2 ỊỊl + x 4 Ị = y 7 +(l + y)Ịl + y 2 ỊỊl + y 4 Ị (1). Xét hàm sô" f(t) = t 7 + (1 + t)Ịl +1 2 jỊl +1 4 j trên R. Ta có f’(t) = 14t 6 + (t +1) 2 Ị3t 4 + 2t 2 + lì > 0, Vt e R . Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên R . Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay ngược lại phương trình của hệ ta được: (l + x)Ịl + x 2 ỊỊl + x 4 Ị = l + x 7 . 120 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thấy X = 1 không là nghiệm của phương trình nên nhân theo vế hai phương trình với 1 - X ta được: (1 - x)(l + x)(l + X 2 )(l + X 4 ) = (l + X 7 )(l - x) X = 0 <=>l-x 8 =l + x 7 -x-x 8 <=> x = -l. X = 1 KếthỢpvới X 5*1 suy ra (x;y) = (0;ơ);(-l;-l). Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0);(-l;-l). í 4 2 Bài 9, Giải hệ phương trình - y 4 2 „ y + xy-= 4 X Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: x 4 -y 4 - —+ —= 0<=>(x-y)(x + y)[x 2 + y 2 )-^——^ = 0 . y X v ’ v 1 / xy <=>(x-y)f(x + y)(x 2 +y 2 )-—1 = 0<=> , v/ 2 2 \ . v JJ \ xy J xy(x + y)(x 2 +y 2 )-2 = 0 Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ tìm được nghiệm. Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x-y)(23x + 23y + 9) = 0<=> * = y _ . v A ’ |_ 23x + 23 y + 9 = 0 Xét các trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ, suy ra: M-taọữuí. _ ^ ^ . 121 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (5x-4y)(3x + 2y) 2 =7y-2x + 20 Bài 11. Giải hệ phương trình < v A ^ (5y - 4x)(3y + 2x) 2 = 7x - 2y + 20 Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x-y)Ịólx 2 +113xy+ 61y 2 + = 0 <=> X = y (do 61x 2 + 113xy + 6ly 2 +9 > 0). Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: 25x 3 = 5x + 20<=>5x 3 - X - 4 = 0 <=> (x - l)Ị5x 2 + 5x + 4j = 0<=>x = l=>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 12. Tìm các số thực dương x,y thỏa mãn hệ phương trình (5x - 4y)(3x + 2y) 3 = 5(7y - 2x + 20 ) (5y-4x)(3y + 2x) 3 =5(7x-2y + 20) Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x-y) (x + y)|l67x 2 +266xy + 167y 2 j + 45 = 0 X = y (do x,y > 0 ). Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được nghiệm dương duy nhất x = l=>y = 1. Vậy: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l j. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2(3x + 2y)Ịy 2 +óỊ = 35yỊx 2 +lỊ 2(3y + 2x)Ịx 2 +ój = 35xíy 2 +lj Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 122 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x-y)|4x 2 + 45xy + 4y 2 -47] = 0<=> v > |_ 4x + 45x y + 4y - 47 = ° THI: Nếu y = X thay vào phương trình thứ nhât của hệ ta được: X = 0 r x = 0,y = 0 lOxỊx 2 + ôj = 35x|x 2 + lj <=> x^25x 2 — 25^ = 0 <=> x = -l=> x = -l,y = -l. X = 1 X = l,y = 1 TH2: Nếu 4x 2 + 45xy + 4y 2 - 47 = 0 cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x + y)(4x 2 - 33xy + 4y 2 + 25 ) = 0. (x + y)(4x 2 -33xy + 4y 2 + 25 ) = 0 Xét hệ phương trình: < v ; ' 4x 2 + 45xy + 4y 2 - 47 = 0 Đây là hệ đối xứng loại I đã biết cách giải(hệ phương trình này vô nghiệm). Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(-l;-l);(l;l). Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x-y)(2x 2 -5xy + 2y 2 +3) = 0« * y v n ’ |_2x 2 - 5xy + 2y 2 +3 = 0 Xét ưường hợp và thực hiện tương tự bài toán trên tìm được các nghiệm của hệ là: (x;y) = (0;0);(-l;-l);(l;l). Lời giải Điều kiện X > 7, y > 7 . Nhận thây X = 7 => y = 7. Xét với X > 7 . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được Vx + 9 -yjy + 9 + ^y -7 - Vx-7 = 0. 123 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com . í x = y .... .. „ <=>< Ị— - <=>x = y = 7. [Vx 2 + 2x -63 = 7 - X Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( y ;7j. Nhân xét:Đ ề ý Vx + 9 + ^y-7 > yỊl + 9 = 4 nên hệ tương đương với X = 7,y = 7 . Lời giải Điều kiện: 0 < x,y < 2 . Nếu X = 0 => y = 0 . Nếu X = 2 => y = 2 . Xét với 0 < x,y < 2 trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 'Jĩt-^ + ^2-y-^2-X=0o r y r + /7—- ^r =" Q ' Vx+Vy V2-y+V2-x c \ <=>(x-y) /- 1 /= + ^ Z 7= = 0 <=> X = y . Ụx + ^y V 2-x + ^]2-y) Thay ngược lại y = X vào phương trình đầu của hệ ta được X = 0,x = 2 (vô lý). Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (0;0);(2;2). Lời giải Điều kiện: x,y > 2 . Lấy (1) -(2) theo vế ta được: Vx 2 + 91 - 'y 2 +91 = \Jy-2 - Vx-2 + y 2 - X 2 . = Jx-2 + Jv-2 + ^ y ~ X ^ y + X ^ j/x 2 +91 + Vyỉ+91 x x - 2 +y y - 2 m 124 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>( x -y) <=> X = y (do x + y 1 Vx 2 +91 + -y/y 2 +91 Vx-2 + Vy-2 x + y , 1 Vx 2 + 91 +^/y 2 +91 *Jx-2 + yjy -2 = 0 . + x + y >0 ). Thay X = y vào phương trình đâu của hệ ta được: Vx 2 +91 =Vx-2 +x 2 « Vx 2 +91-10 = Vx-2 -1 + x 2 -9. (x-3)(x + 3) = 0. <=> X -9 _ x-3 Vx 2 +91 + 10 Vx-2 + 1 _\í x + 3 1 <=>(x-3) ■ ===== - r — vvx 2 +91+10 Vx-2+l <=> X = 3 (do -x-3 x + 3 --x-3< = 0 . x + 3 Vx 2 + 91+10 Vx^2 + 1 x + 1 ° Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3; 3 ]. -x-3 l,y > 1. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: Vx 2 +21 - -Jy 2 +21 = y 2 - X 2 + sỊy-l - Vx-1. <=> Vx 2 +21 + X 2 + Vx-1 = -y/y 2 +21 + y 2 + \Jy-ỉ (1). Xét hàm sô" f(t) = Vt 2 +21 +1 2 + Vt-1 trên ^1; + 00 )ta có: f'(t) - — p t +2t + —ỹ~ > 0,Vt > 1 nên f(t) là hàm đồng biến trên Vt 2 + 21 2Vt-l [l;+°o). Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ suy ra X = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). 125 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét X > - trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: <=>x = y do x,y<0. Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: , 7-2x _\2 7x-8- 2x-2 = 0 . 126 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> 8x 7 - 24x + 17 = 0 ( jio X < 0) phươn^trmh-này vô nghiệmịvới x< 0 . Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. V Hai hàm số f(x) = 4 ,g(x) = log, xlà hàm ngược của nhau nên có đồ thị 1 4 ) Ị đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần từ thứ nhất suy ra f(x) = g(x)ox = y. Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: Lời giải Trừtheovêlhai phựơngtrình của hê tađươc: 127 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ị 1 + V 2 Ỵ-(l + V2) y = y+Vy 2 +1 -x-Vx 2 + 1 . ^x + Vl + x 2 + Ịl + ^íĩỴ = y + -\/l + y 2 + (1 + ^ 2 Ỵ (1). Xét hàm sô" f(t) = t + Vl +1 2 + Ịl + V 2 Ị trên R , ta có: f'(t) = l + -p= + lnỊl + V2ỊỊl + ^Ị t >0,VteM nên f(t)là hàm đồng biến trên R . Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: (l + VĨ| X =xWl + x 2 «>Ịl + V2Ị X Ị^x + Vl + x 2 j-l = 0 (2). Xét hàm số g(x) = Ịl + V 2 Ị Ị^x + yỊĨ + X 2 j -1 trên R , ta có: g’(x) = -ln(l + Vĩ)(l + ^) X ^x + Vl + x 2 j + (l + V2) x 1+ ^ = Nên g(x) là hàm nghịch biến ttên R . Vì vậy: (2) <=> g(x) = g(0) <=>x = 0=>y = 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0). Lời giải Điều kiện: x,y > -l,xy < 1 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2 9 r e y X +1 x 2/ 2 . v 2/ 2 . .. 9 2 x = y -^ = - 7 —«e x X 2 +1 =e y Ị y 2 + 1 Ị<=>X 2 = y 2 <=> e x 2 y 2 +i v v ' L x =-y Xét trường hợp và tìm được các nghiệm của hệ là (x;y) = (0;0);(-l;-l). 128 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 8x 3 - 8y 3 + y 2 - X 2 + 5x - 5y = X - y + X 2 - y 2 . <=> 8x 3 - 2x 2 + 4x = 8y 3 - 2y 2 + 4y <=> X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: t I — 3 V 3 V 8x J +6x = V3 <=> 4x J + 3x = —(giải phương trình này bằng phương pháp lượng giác hóa hoặc ẩn phụ dạng đại sô" xem chương 1). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất V ) X 2 + 3x + ln(x-l) = y + 8 Bài 24. Giải hệ phương trình < x y 2 +3y + ln(y-l) = x + 8 Lời giải Điều kiện: X > 1,y > 1 . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 -y 2 +3x-3y + ln(x-l)-ln(y-l) = y-x. <=> X 2 + 4x + ln(x-l) = y 2 + 4y + ln(y - 1 ) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: X 2 + 2x + ln(x-l)-8 = 0. vế trái là một hàm đồng biến trên (l;+cc j nên phương trình có nghiệm duy nhất X = 2 => y = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). 129 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: x,y > 0 . Vì xlnx +1 > 0,ylny +1 > 0,Vx,y > 0(chú ý xét hàm số). Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 1 1 11 2 2 —- —= x -y +- X y 1 + ylny 1 + xlnx 2 1 <=> X - —- 1 1 = y 2 -I--__ X 1 + xlnx y 1 + ylny ( 1 ). .2 1 1 Xét hàm sô" f(t) = t --- t 1 + tlnt trên (0;+oo) , ta có: ... . - 1 1 + lnt f (t) = 2t + —-+ . =2t + (l + tlnt) (l + tlnt) +t +t lnt . . 2- ’ ' -> 0,Vt > 0(do t 2 +t 2 lnt > 0 ) (1 + tlnt) 2 Nên f(t) là hàm đồng biến trên (0;+oo) vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = xvào phương trình đầu của hệ và thực hiện xét hàm số ta có X = y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ log 9 (l + 3cosx) = log. (siny ) + 2 Bài 26. Giải hệ phương trình < . log 9 fl + 3sinyj = log 3 (cosxj + 2 Lời giải Điều kiện: cosx > 0,siny > 0. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: log 9 (1 + 3 cos x) - log 9 (1 + 3 sin y) = log 3 (sin y) - log 3 (cos X). <^> log 9 (l + 3cosx) + log 3 (cosx) = log 9 (l + 3siny) + log 3 (siny) (1). Xét hàm sô" f(t) =<^> log 9 (l + 3t) + log 3 1 trên (0;+oo),ta có: 3 1 f'(t) = --—--h > 0, Vt > 0 nên f(t)là hàm đồng biến trên Í0;+oo). (l + 3t)ln2 tin 3 v ’ Vì vậy (1) <^> f (cosx) = f (siny) <^> cosx = siny . Thay vào phương trình thứ nhâ"t của hệ ta được: log 9 (l + 3cosx) = log 3 (cosx) + 2 <=> log 9 (l + 3cosx) - log 3 (cosx) -2 = 0 (2). 130 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khảo sát hàm g(t) = log-, (1 + 3t ị - log 3 Ịcost) - 2 suy ra (2) có tối đa hai nghiệm. Ta có:g(l) = g Í0 cosx = 1 = 0^> 1 => l 3 J cosx = — 3 I cosx = 1 [siny = 1 1 cosx = — • 3 1 sin y = — 131 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chỏ Sề 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH có YEU tô đang CÂP A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1. Hệ đẳng cấp là hệ có dạng: [p k (x,y) = Cj . X , c,,c,ẽR , Q k (x,y) = c 2 v 1 2 7 trong đó P k (x,y),Q k (x,y) là các đa thức bậc k, k = ^, 1 , 2 , 3,4,5,... 2 của x,y không chứa thành phần bậc nhỏ hơn k : P\x,y) = Ìp,x k -y;Q t ■' I Q k (x,tx) = c 2 I x k Q k (t,l) = c 2 Đến đây suy ra c 9 .p k (t,l) = Cj.Q k (t,l), đây là phương trình đa thức đã biết cách giải. Tìm được t từ đó suy ra môi liên hệ giữa x,y và đưa về phương trình đa thức với biến X hoặc biến y . 1. Một số hệ quy được về dạng hệ đồng bậc Dang 1: Hệ phương trình bậc hai ajX 2 + bjy 2 + CjXy + d Ấ x + ejy = 0 ^a 9 x 2 + b 9 y 2 + c 9 xy + d 9 x + e 9 y = 0 132 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương pháp: Xét X = 0 hoặc y = 0 có là nghiệm của hệ phương trình hay không? Xét với X * 0 khi đó đặt y = tx,(t e R). Đưa về hệ phương trình: X 2 Ịa 1 + b 1 t 2 +c 1 tj + x(d 1 +ejt) = 0 tj + x(d 9 + e 2 t) = 0 X Ịa 9 + b 9 t + c Suy ra: 2 ' 2 ' 2 1 dj +ejt X Ịa, +b 1 t 2 + Cịtj = -(dj +ejt) Ịa 2 +b 2 t 2 + c 2 tj = -(d 2 + e 9 t) d 9 +e 2 t 1 2 1 2 2Lị + bjt“ + Cjt + b 2 t + C 2 t <=> (dj + ejt)ía 2 + b 2 t 2 +c 0 tj = (d 2 +e,t j|a 1 + bịt 2 + Cjt j. Đây là một phương trình bậc ba có phương pháp giải tổng quát nên tìm được nghiệm t. Thay ngược lại hệ ta tìm được (x;y). Ngoài ra dạng hệ này còn được giải bằng phương pháp hệ sô" bất định(xem phương pháp hệ số bất định). .. a,x 2 +b,y 2 +c,xy+ d,x + e,y + f, =0 Dang 2: Hê bâc hai hai ẩn ị 0 11 1 a 9 x 2 + b 9 y 2 + c 2 xy + d 2 x + e 9 y + Ít = 0 Phương pháp: Thử tìm các nghiệm đơn giản chẳng hạn tìm được X = x () ,y = y 0 . Khi đó đặt X = u + x r [y = v + y 0 thay vào hệ phương trình và đưa về hệ có dạng 1. Dang 3: Hệ phương trình có dạng < (*!* + bjy)ỊcjX 2 + djXy + e ^ 2 Ị = f, (a 2 x + b 9 y)íc 9 x 2 + d 2 xy + e 9 y 2 Ị = f 2 Phương pháp: Xét y = 0 có là nghiệm của hệ phương trình hay không. Xét y ^ 0 đặt X = ty khi đó hệ phương trình trở thành: 133 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y 3 ( a i t+b i)( c i t 2 +d i t+e i)= f i < . y 3 (a 2 t + b 2 )|c 2 t 2 + d 2 t + e 2 j = f 9 Suy ra: f 2 (a 1 t + b 1 )íc 1 t 2 + djt + e 1 j = f 1 (a 2 t + b 2 )íc 2 t 2 + d 9 t + e 9 j. Đây là phương trình bậc ba có phương pháp giải tổng quát nên tìm được t, thay ngược lại hệ ta tìm được (x;y). Chú ý : Trong một số trường hợp đặc biệt hệ giải được bằng phương pháp hệ sô" bất định hoặc phức hóa(Xem phương pháp hệ sô" bất định và phức hóa trong cùng cuốn sách). Dang 4: Hệ dạng a , trong đó m + n = k khi đó ta phải [Q n (x,y) = R k (x,y) đưa về một phương trình đẳng cấp bậc kđể làm được điều này ta thế từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai của hệ ta được: P m (x,y).Q n (x,y) = a.R k (x,y), đây là phương trình đẳng cấp bậc k ta giải được. Ví dụ 3. Hệ phương trình Ta viết lại hệ dưới dạng : X 2 + y 2 = 2 [x 2 +y 2 =2 lx 3 + x 2 y = x + y 3 . 2 X J + x y = — y = ỉ(x + y)(xW) <=> [x 2 + y 2 = 2 lx 3 + x 2 y-xy 2 -y 3 =0 Lựu ý: Đôi khi cần biến đổi đặt ẩn phụ để đưa về dạng hệ đẳng cấp. B. BÀI TẬP MẦU_ Bài 1. Giải hệ phương ưình |x 2 -2xy + 3y 2 = 9 [2x 2 -13xy + 15y 2 =0 Lời giải Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Với X * 0 ta đặt y = tx,(t e R) khi đó hệ phương trình trở thành: x 2 Ịl-2t + 3t 2 j = 9 x 2 Í2-13t + 15t 2 | = 0 x 2 (l-2t + 3t 2 ) = 9 15i -13t + 2 = 0 x 2 Ịl-2t + 3t 2 Ị = 9 2 1 t = ^vt = 4 3 5 134 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X 0 ta đặt y = tx,(t G R) khi đó hệ phương trình trở thành x 2 Ịl + 2t + 3t 2 j = 9 X 2 Ị 2 + 2t +1 2 j = 2 Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X * 0 ta đặt y = tx,(t e R) khi đó hệ phương trình trở thành X 2 Ị 3 + 2t +1 2 j = 11 X 2 Ị 3 + 2t +1 2 j = 11 X 2 Ịl + 2 t + 3t 2 Ị = 17 11 Ị 1 + 2 t + 3t 2 Ị = I 7 Ị 3 + 2 t + 1 2 Ị 2 Ị 1 + 2t + 3t 2 j = 9 Ị 2 + 2t + 1 2 ' X 2 (2 + 2t + t 2 ì = 2 135 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X 0 ta đặt y = tx,(t e R) khi đó hệ phương trình trở thành Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: J 2 x 2 - xy + y 2 + X - 3y = 0 [x 2 + xy - 3y 2 - X + 2y = 0 NhJ.Ịj ttấy (kgl y bíL 136 Wĩ um Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét X 0 ta đặt y = tx,(t e R j khi đó hệ phương trình trở thành: 1 Í2-t + t 2 Ị + x(l-3t) = 0 : Ịl + t-3t 2 Ị + x(-l + 2t) = 0 3t — 1 2-t + t 2 l-2t l + t-3t 2 Suy ra: 3t — 1 1 —2t 2-t + t 2 l + t-3t 2 »7t 3 -3t 2 -7t + 3 = 0«Ịt 2 -lỊ(7t-3) = 0. <=> t = -l t = l «• 3 t = _ 7 t = l X = 1V y = i t = -i X = -1 V y = i 3 t =3 7 7 X = — 43 3 y_ 43 7 3 Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = (0;0);(l;l);(-l;l);Ị Bài 6. Giải hệ phương trình 114x 2 -21y 2 +22x-39y = 0 [35x 2 + 28y 2 +lllx-10y = 0 Lời giải Nhận thấy X = 0 => y = 0 nên (0;ơ) là nghiệm của hệ. Xét X * 0 ta đặt y = tx,(t G R) khi đó hệ phương trình trở thành f 2/iiẵ n I 39t-22 X 2 14-21t 2 +x(22-39t) = 0 <=> 2 Ị 35 + 28t 2 j + x(l 11 - lOt) = 0 39t -22 lOt-111 oi X = - X = - 14-21t lOt-111 35 + 28t 2 14 -21t 2 35 + 28t 2 <=> 186t 3 -421t 2 +175t +112 = 0. <=> (3t + l)Ịó 2 t 2 -161t + 112 ) = 0 o t = ~. 1 39t-22 Với t = -4- suy ra X = —-— = -3 => y = tx = 1. 3 14-21t 2 Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y) = (ơ;0);í-3;l). 137 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nếu X = 0 => y = 0 suy ra (0;0) là nghiệm của hệ. Xét X 0 ta đặt y = tx,(t G R) khi đó hệ phương trình trở thành 2txỊx 2 -t 2 x 2 j = 3x xỊx 2 +t 2 x 2 j = 10tx 2t 1 -1 X =3 20t 4 -17t 2 + 3 = 0 <=> 1 / 2 \ 2 <=>] »5 " Ị(l + , )x =10, |ị 1 + t 2 Ị x 2 = 10t r I — r X — lOt t = ±/vt = ±i 2 . H) 2tíl-t 2 Ị.10t = 3Íl + t 2 Ị x z =10t íĩ 1 t = J- t = - V 5 X = +2 2 V • > X = ±2 ,5.3 X = ± — 7 — [y = ±i l 2 V 5 X = ± — 4 — 2Í5 _1 5 , /27 y ~ 2\ 125 Vậy: hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = (±2;±l); 5.3 5 27 + _ 4 _• + _ 4 _ 7 __ 2 V 5 ’ 2 V 125 Lời giải Nhận thây X = 0 => y = 0 suy ra (0;0) là nghiệm của hệ. Xét X 0 ta đặt y = tx,(t e M) khi đó hệ phương trình trở thành ■4-’)= 2tỊi+t 2 Ị = 6tx X =5x 12t‘* + 17t 2 -5 = 0 1 >-‘ 2 ) = 6t 5(l-t 2 Ị = 6t.2tỊl + t 2 Ị x 2 (l-t 2 ) = 3t Ị4t 2 -lỊ(3t 2 +5) = 0 x 2 (l-t 2 ) = 6t t = ị [x = ±2 X = ±2 l y = ±1 138 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(±2;±l). Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X 5* 0 ta đặt y = tx,(t G li) khi đó hệ phương trình trở thành Vậy: hệ phương trình có hai nghiệm là Lời giải Nhận thấy X = 0 => y = 0 suy ra (0;0) là nghiệm của hệ. Xét với X * 0 ta đặt y = tx,(teM) khi đóhệ phương trình trở thành 139 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 x 3 tíl +1 +1 2 Ị = 7x 6t.2tíl +1 +1 2 Ị = 7(1 -1 +1 2 Ị x 3 Ịl-t + t 2 j = 6tx x 2 Ịl-t + t 2 j = 6t 12t 4 +12t 3 +5t 2 + 7t-7 = 0 (2t-l)Ịót 3 +9t 2 + 7t + 7Ị = 0 ^|x 2 (l-t + t 2 ) = 6t ^'x 2 (l-t + t 2 ) = 6t t = I [ót 3 + 9t 2 + 7t + 7 = 0 f x _ +2 [ót 3 + 9t 2 + 7t + 7 = 0 (1) x-±2 [ x (1 — t +1 2 J = 6t [y = ±1 Ịx 2 Ịl-t + t 2 J = 6t 2 6t Nhưng do X = ——-> 0 t > 0 do đó (1) vô nghiệm. t 2 -t + l Vậy hệ có ba nghiệm là (0;0);(±2;±l). Hệ phương trình đã cho tương đương với: < [x 2 -3y 2 =6 (2) Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ xét với X & 0 ta đặt y = tx, khi đó hệ trở thành: x 3 Ịl-t 3 Ị = (2t + 8)x x 2 Ịl-3t 2 Ị = 6 1 t = 2- Từ đây suy ra óỊl -1 3 ) = (2t + 8)(l -3t 2 Ị 12t 2 -t-l = 0o 3 | . _ t= 4 THI: Với t = ị=>< y 3 X ^Ị X ** 3 |x 2 (l-3t 2 ) = 6 ly = ±1 140 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í X í 1 y = X —i —— TH2: Với t = -!-=>] 4 11 4 x 2 (l-3t 2 ) = 6 V = ± 1Z1 1 v 7 l 13 Vậy hệ có bốn nghiệm la': (x y ) = (3,l);(-^- 1 );íl#,-#ì;í^#,#ì. v ; v M '13 13 13 13 V ; V 7 Nhân xét: Từ hệ trên ta có thể biến đổi như sau vế trái của (1) là đa thức bậc ba, vế phải (1) là đa thức bậc một. vế trái của (2) là đa thức bậc hai do vậy nhân vế trái của (2) vào vế phải của (1) để được một phương trình đẳng cấp bậc ba từ đó suy ra mối liên hệ giữa x,y . Các bài toán sau tôi trình bày cách như trên(đương nhiên các bạn có thể xử lý bằng cách đặt y = tx). Ịx 2 -y 2 =8x + 2y íx 2 -y 2 =.5ìrìĩ(x 2 -3 y 2 ) i* 2 - 3 * 2 " 6 Ịx 2 -3ỵ 2 -6 jx 3 +x 2 y-12xy 2 =0 jx(x-3y)(x + 4y) = 0 fx = 3y vx = -4y jx 2 -3y 2 =6 jx 2 -3y 2 =6 jx 2 -3y 2 =6 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 3 +y 3 =l Í2x 3 -x 2 y-2xy 2 + y 3 =0 x 2 y + 2xy 2 + y 3 = 2 Ịx 3 + y 3 Ị ° |x 3 + y 3 = 1 ^ (x- y )(x + y)(2x-y) = 0^|x = y |x = - y Í y = 2 x [x 3 +y 3 =l [x 3 + y 3 =l [x 3 +y 3 =l [x 3 + y 3 =l 1 L 1 y= ử rề 141 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y) = o 3/V’3/V Bài 13. Giải hệ phương trình X 2 + y^ 2/" yT xT (x + y)Ị4-x 2 y 2 -2xy) = 2y 5 T V Lời giải Nhận thấy vế phải của phương trình thứ hai có bậc 5 nên biểu diễn 4-x 2 y 2 -2xy dưới dạng bậc 4. Thật vậy ta có: 4-x 2 y 2 -2xy = Ịx 2 + y 2 |" -x 2 y 2 -Ịx 2 + y 2 jxy = X 4 + y 4 + x 2 y 2 -xyỊx 2 +y 2 j • Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: x2+ y 2 = 2 jx 2 + y 2 = 2 (x + y)Ịx 4 + y 4 + x 2 y 2 -xyỊx 2 + y 2 ỊỊ = 2y 5 jx 5 + y 5 = 2y 5 íx = y ° 2,.;_« x = y = ±1 ' [x + y - 2 Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y) = (±l;±l). Bài 14. Giải hệ phương trình |5x 2 -3y = x-3xy (x 3 -X 2 = ỵ 2 - 3y 3 Lời giải ... , J _. , ._.. Í5x 2 +3xy = x + 3y Hệ phương trình đã cho tương đương với: < [x 3 +3y 3 =x 2 +y 2 Nhận thấy X = 0 => y = 0 suy ra (0;0j là nghiệm của hệ. Xét với X * 0 đặt y = tx,(t e R) khi đó hệ phương trình trở thành: (5 + 3t) = x(l + 3t) [x(5 + 3t) = l + 3t Ịi+3t 3 Ị=x 2 Ịi+t 2 )^ (5+3t)Ịi+t 2 Ị=(i+3t)Ịi+3t 3 Ị' x(5 + 3t) = l + 3t _ Ịx(5 + 3t) = l + 3t Ịt 2 -lỊ(9t 2 +4Ị = o‘ <=> 19t 4 - 5t 2 - 4 = 0 142 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phân tích lời giải. vế trái phương trình đầu của hệ dạng bậc 3 vì vậy nhân vào vế phải phương trình thứ hai của hệ ta được một phương trình đẳng cấp bậc 4. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với x 3 +y 3 -xy 2 =l x 3 +y 3 -xy 2 =l 4x 4 + y 4 = (4x + y)Ịx 3 + y 3 - xy 2 j xyỊ3y 2 - 4xy + X 2 j = 0 [x 3 +y 3 -xy 2 = l [x = 0 |x = l , , [x = y [x = 3y |xy(x-y)(x-3y) = 0 Ịy = l Ịy = 0 ' |x 3 + y 3 -xy 2 =l |x 3 +y 3 -xy 2 =l 1 X = - ;- \Ỉ25 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: (x;y) = (0;l);(l;0);(l;l);[^L;^L\ / \2 Bài 16. Giải hệ phương trình • y.(x-y) =2 X 3 — y 3 — 19 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 143 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> y.(x -y) 2 = 2 ^ 19y.(x - y) 2 = 2(x 3 - y 3 ) [x 3 - y 3 =19 x 3 -y 3 =19 [2x 3 -21y 3 +38xy 2 -19x 2 y = 0 Ị(x -y)(x -7y)(2x -3y) = 0 X 3 - y 3 = 19 <=> • [x 3 -y 3 =19 X = 7y ^ Ịx 3 - y 3 = 19 v Ịx 3 - y 3 = 19 v ^ 3 x = -y 2 [x 3 -y 3 = 19 Ẳ/Ĩ8 v |x = 3 1 |y = 2' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) ■ f 7 1 3 yíĩs '' yíĩs ;(3;2). Bài 17. Giải hệ phương trình I X 3 + y 3 = 1 [X 5 + y 5 =x 2 +y 2 Phân tích lời giải. vế trái phương trình nhất của hệ là đa thức bậc 3 nên nhân với vế phải của phương trình thứ hai ta được một phương trình đẳng cấp bậc 5. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với x 5 + X 3 +y 3 = 1 jx 3 +y 3 =l y 5 = (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 Ị jx 2 y 3 + x 3 y 2 = 0 xy ( x2+y2 ) = 0 <=> ■ X = 0 X = 1 [x 3 +y 3 =l y = i v |y = 0‘ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;l);(l;0j. Nhân xét: Tổng quát cho hê phương trình: < ỵ ,(k>m). [x k + y k = x k-m + y k-m v ’ Nghiệm của hệ là (0;l);(l;0). Bài 18. Giải hệ phương trình [ X 3 + 3x = 448y 3 + 6y [385x 2 - 16y 2 =96 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 144 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> x~-44Sy =by-ơx X -44ỖV = — " , oị 96 [385x 2 - 16y 2 = 96 385x 2 _ I 6 y 2 = c [l251x 3 -42912y 3 -2310x 2 y-48xy 2 =0 [385x 2 -16y 2 =96 (x - 4y)Ịl25 lx 2 + 2694xy + 10728y 2 Ị = 0 385x 2 - 16y 2 =96 . u±ỉ X 3 - 448y 3 = i(6y - 3x)(385x 2 - 16y 2 Ị 1 1 Vậy hệ phương trình CÓ hai nghiệm là (x;y) = ±^-;± 2 8 X 2 + y 2 =2 Bài 19. Giải hệ phương trình < / \ / \4 [(x + y)(l + xy) =32 __ X 2 +y 2 (x + y)" Phân tích lời giải. Đe ý 1 + xy = —4-2—f xy = 4— khi đó phương trình (x + y) 9 thứ hai của hệ trở thành 4——12— = 32<=>x + y = 2. 16 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với X 2 + y 2 -2 (x + y) 2 . X +y \4 - + xy = 32 (x + yf=2 9 X 2 + y = 2 x + y = 2 X = 1 xy (x + y) 2 -x 2 -y 2 1 °| V = 1 Vậy: hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ 145 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 20. Giải hệ phương trình < ~ 3 3 1 3x -y =- x + y . X 2 +y 2 =1 Phân tích lời giải. Quy đồng phương trình thứ nhất ta được vế trái là đa thức bậc 4 vậy chỉ nhân vế phải phương trình đó với bình phương vế trái của phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình đẳng cấp bậc 4. Lời giải Điều kiện X + y ^ 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: <=> (x + y)(3x'-yQ = l^ X 2 + ỵ 2 = 1 Í2x 4 + 3x’y - 2x 2 y 2 - xy 3 - 2y’ = 0 (x + y)(3x 2 -r’) = (x 2 + y 2 ) 2 X 2 +y 2 = 1 x 2 +y 2 =l (x - y)(2x 3 + 5x 2 y + 3xy 2 + 2y 3 Ị = 0 [x 2 +y 2 =l (x-y)(x + 2y)(2x 2 + xy + y 2 j = 0 [x 2 +y 2 =l x = ± y=±- 4~2 ĩ x = + y = ±- 45 ì Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là: / \ r_Ị_. + _Ị_\ f 2 l } V V2 V2y' ĩ? +1 'te 1+ Bài 21. Giải hệ phương trình |x 2 +xy + y 2 =3 [x 5 +y 5 +15xy(x + y) = 32 - Lời giải Nhân xét: Đây là hệ đối xứng loại 1 tuy nhiên theo cách giải thông thường đặt s = X + y,p = xy bài toán sẽ biến đổi tương đối dài và khó khăn. Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 + xy + y 2 = 3 X 5 + y 5 + 5xy(x + y)Ịx 2 + xy + y 2 j = 32 X +xy+ y =3 [(x + y) 5 =32 146 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + y = 2 [x + y = 2 _ <=>< <=>< <=>x = y = l. [x + xy + y = 3 [xy = 1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;yj = (l;l). Bài 22. Giải hệ phương trình Ịx 3 +4y-y 3 -16x = 0 ly 2 = 5x 2 + 4 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với [x 3 -y 3 =16x-4y ị 5x 2 - y 2 = -4 3 3 X - T ' oi <=> ■ y 3 =(y-4x)( 5 x 2 -y 2 ) 5x 2 -y 2 = -4 2lx 3 - 5x 2 y - 4xy 2 = 0 [x(7x - 4y)(3x + y) - 0 5x 2 -y 2 = -4 <=> • [5x 2 - y 2 = -4 X = 0 oị “ v<í ừ = ±2 4 I y x = ±l íx = 0 í V - oị V t 80 2 2 Ạ —y -y =-4 149 co 1 + II 0,y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: xVx - Ỵyịỹ = ^-(Wx + v/ỹj(x - 3y) ^ ỊxVx + Xyfỹ - 12y Vx = 0 x-3y = 6 1X -3y = 6 147 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vx K/x -3Jy Vx + 4Jy - 0 <=> < V A / x-3y = 6 oj x = ° vK = 3 ^ v p + 4 ^ = ° 0 J x = 9 . [x-3y = 6 [x-3y = 6 [x-3y = 6 [y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (9;l). Phân tích lời giải: Thay -l = x 2 -3xy + y 2 từ phương trình thứ hai của hệ vào phương trình thứ nhất ta được một phương trình đẳng cấp bậc 3. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với 2x 3 -9y 3 =(x-y)Ị4xy + x 2 -3xy + y 2 Ị Í2x 3 -9y 3 =x 3 -y 3 x 2 -3xy + y 2 =-l Ịx 2 -3xy + y 2 =-l Ịx 3 = 8y 3 Jx = 2y Jx = 2y íx = ±2 ^|x 2 -3xy + y 2 =-l^lx 2 -3xy + y 2 =-l^|y 2 =l °Ịy = ±r Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ^x;y j = (±2;±1 j. Bài 25. Giải hệ phương trình 2 x 2 y 2 + x 2 +2x = 2 2 x 2 y-x 2 y 2 +2xy = 1 Lời giải 2x 2 y 2 +(x + l) 2 =3 Hệ phương trình đã cho tương đương với: < ' 2 xy(x + l)-x 2 y 2 =1 Đặt u = X + l,v = xy khi đó hệ phương trình trở thành Ịu 2 +2v 2 =3 u 2 +2v 2 =3|2uv-v 2 j [2uv-v 2 =1 |2uv-v 2 =1 ju 2 -6uv + 5v 2 =0 j(u-v)(u-5v) = 0 [2uv-v 2 =1 [2uv-v 2 = 1 148 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nhận thấy X = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét với X * 0 đặt y = tx,(t e R) khi đó hệ phương trình trở thành 8t-7 8t-7 b x 3 Ịl + 3t 2 ) = -49 l-8t + t 2 ít 2 -16)-(8t-17) a “ b x 2 (l-8t + t 2 ) = x(8t-7) x 3_ ~ 49 _ ~ 49 _ ~ 49 l + 3t 2 3^t 2 -lój + 49 49 + 4a trong đó a = t 2 -16, b = 8t -17 . Từ đó suy ra : ———- = ——<^> 49í b ? +(a- b) ì + 3a = 0 (a-b) 3 49 + 3a ^ 1 ^a^49b 2 -49b(a-b) + 49(a-b) 2 +3j = 0«a = 0 Suy ra t 2 = 16 => X 3 = -1 <=> X = -1 => y = ±4 . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) = (-l,4);(-l,-4). Nhân xét: Ngoài ra có thể giải hệ trên bằng phương pháp hệ số bất định và đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu khi có dấu hiệu(xem phương pháp hệ số bất định trong cùng cuốn sách) hoặc đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu. 149 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com .. X 2 - y 2 = 5 à i 27.Giải hệ phương trình < 3 |y(x-y) = 2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 -y 2 =5 jx 2 -y 2 =5 y(x-y) 3 = ^(x 2 -y 2 ) 2 (x-y) 2 (2x 2 -21xy + 27y 2 Ị = 0 r „ „ |~x = -3,y = -2 . x 2 -y 2 =5 9 ^Ịx 2 -y 2 =5 |r x = y o x= 4 ’ y = - ^|(x-y) 2 (2x-3y)(x-9y) = 0^ 2x = 3y ° x= 9 1 X = 9y 4 4 [(x-y) (2x-3y)(x-9y) = 0 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: 9 _ 1 x = —7>y = --7 4 4 9 1 x = 7>y: * 4 4 X = 3,y = 2 (x;y) = (-3;-2); -|;-ì ;(3;2); Nhân xét: Từ bài toán giải hệ trên ta hoàn toàn giải được phương trình: Vx-5|Vx - Vx-5 j = 2 bằng phép đặt ẩn phụ: u = Vx I V = Vx -5 c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN u 2 -v 2 =5 v(u-v) 3 = 2 ' Bài 1. Giải hệ phương trình 114x 2 - 2 ly 2 + 22x - 39y = 0 [35x 2 +28y 2 +lllx-10y = 0 Viết lại hệ phương trình dưới dạng: Lời giải f 14x 2 -21y 2 =-22x + 39y 35x 2 + 28y 2 =-lllx + 10y Nhận thấy y = 0 =^> của hệ phương trình. 114x =-22x 135x 2 =-lllx <=> x = 0^>(x;y) = (0;0) là một nghiệm 150 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét y * 0, đặt X = ty khi đó hệ phương trình trở thành: y 2 Ịl4t 2 -2lỊ = y(-22t + 39) y 2 Í35t 2 +28) = y(-lllt + 10) Suy ra: (-11 lt + lo)(l4t 2 -2l) = (-22t + 39)Í35t 2 + 28). o 112t 3 + 175t 2 -421t +186 = 0 (t + 3)(l 12t 2 - 162t + 62 ) = 0 o y 2 Ịl4t 2 -2l) = y(-22t + 39) t = -3. Khi đó: ị X = -3y t = -3 <=> ■ IX = —3 [y=i ' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x;y) = (0;0); (-30). Bài 2. Giải hệ phương trình < 3x 2 -2xy = 16 X 2 -3xy-2y 2 =8 Lời giải Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được: 8^3x 2 -2xy) = lóỊx 2 -3xy-2y 2 ) <=> (x + 2y) 2 =0<= Thay vào phương trình của hệ ta được: 16y 2 = 16 <=> Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (“2;lj > X = -2y. y = -l |"x = 2,y = -l => . y = 1 |_x = —2,y = 1 •ỈM ■ Bài 3. Giải hệ phương trình X 2 -2xy + 3y 2 =9 2x 2 -13xy + 15y 2 =18 Lời giải Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được: 2(x 2 -2xy + 3y 2 ) = l(2x 2 - 13xy + 15y 2 ) «• y = 0 x = y THI: Nếu y = 0 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X = ±3 . TH2: Nếu y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 2x 2 =9 <=> X = ±^==>y = ±^= . V 2 V2 151 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: (x;y) = (-3;0);(3;0); ^3 3 ì r 3 3 N V V 2 \Ỉ2 y K \íĩ \ỊĨ ; Bài 4. Giải hệ phương trình < [x 2 -3xy + y f^=-^r \T [x 2 +2xy-2y 2 =1 Lời giải Nhân chéo theo vế hai phương trình của hệ ta được: lỊx 2 -3xy + y 2 j = -lỊx 2 +2xy-2y 2 j<=>2x 2 -xy-y 2 =0<=> x = y ^ . Xét trường hợp thay ngược lại hệ phương trình tìm được các nghiệm: (x;y) = (-l;-l);(l;l). Bài 5. Giải hệ phương trình < í(*-y)( M( x 2 + y 2 ) = 13 x 2 -y 2 ) = 2ỉ' LỀ Nhận chéo hai phương trình của hệ 25(x-y)(x 2 + y 2 ) = 13(x + y)(* <=> (x - y)(2x -3y)(3x -2y) = 0 Xét trường hợp thay ngược (x;y) = (-2;-3);(3;2). ti giải ta được: ;2 -y 2 )- x=y 2x = 3y. 3x = 2y ; lại hệ tìm được các nghiệm Bài 6. Giải hệ phương trình 1 |x 2 +y 2 =2 [5x 2 y - 4xy 2 + 3y 3 - 2(x + y) = 0' Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x2+ y 2- 2 |x 2 + y 2 =2 5x 2 y-4xy 2 + 3y 3 -Ịx 2 + y 2 Ị(x + y) = 0 [2y 3 -5xy 2 + 4x 2 y-X 3 = 0 152 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X = —l,y = —1 , „ [2,2, x = l,y = l x 2 +y 2 =2 * +y “ 2 °'(y-xf( 2 y-x) = 0 °r:^ ° x= y y ‘ [ x = 2 ế y = Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm: (x;y) = (-l;-l);(l;l); [ 2 |;-|Ị ; (x 2 +xy-3y 2 +l)x 2 =-48 Bài 7. Giải hệ phương trình < Ịy 2 +xy + ljy 2 =-12 Lời giải Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được: X 2 Ịx 2 + xy - 3y 2 +1 j = 4y 2 Ịy 2 + xy +1 j <=> Ịx 2 - 4y 2 jỊx 2 + xy + y 2 + 1 j = 0. 9 .9 „ x = 2y <=> X 2 - 4y 2 = 0 <=> } . X = -2y THI: Nếu X = 2y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Í3y 2 + ljy 2 = -12 vô nghiệm. TH2: Nếu X = -2y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (l - y 2 )y 2 = -2oy 4 -y 2 -12 = 0oy = ±2^>x = +4. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (-2;4);(2;-4). Lời giải Nếu (x;y) = (0;0)là một nghiệm của hệ. Xét X 2 + y 2 > 0 nhân chéo hai phương trình của hệ và lược đi X 2 + y 2 hai vế ta được: ẤÊ - “ (3-y)(6x + 8ỵ) cMx - 2y)Í4x + 2ỵ - 15Ì = 0 153 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> X = 2y 4x + 2y -15 = 0 Xét trường hợp thay ngược lại một trong hai phương trình của hệ tìm được các nghiệm là (x;y) = (0;0);(2;l);(4;2); 6;- (6-x)Ịx 2 -y 2 Ị = 6x + 8y (3-y)(x 2 -y 2 Ị = 8x-6y Lời giải Nếu x 2 -y 2 =0=>x = y = 0. Xét X 2 - y 2 ^ 0 nhân chéo hai phương trình của hệ ta được: (ó - x)(8x - 6y) = (3 - y)(óx + 8y) <=> (x -2y)(4x + 2y - 15 ) = 0 x = 2y 4x + 2y-15 = 0‘ <=> Bài 10. Giải hệ phương trình Ị-2x 2 +7)(x-y) 2 +l = 0 Í3x 2 - 4xy + 4y 2 - 7)(x - y) 2 -1 = 0 Lời giải Nhận thây X = y không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X ^ y khi đó hệ phương trình trở thành: 1 -2x 2 + 7 = -Í3x 2 - 4xy + 4y 2 - 7 -2x z + 7 = — ( x -y) 3x 2 -4xy + 4y 2 -7 = - 1 h-y) Ị-2x 2 +7)(x-y) 2 +l = 0 o (x-2y) 2 =0 Ị-2x 2 + 7)(x-y) 2 +l = 0 X = 2y (-8y 2 + 7 ) y 2 +l = 0 <=> I X = 2 [y = i [x = -2 y=-i Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-2;-l);(2;l j. Bài 11. Giải hệ phương trình [ X 3 + 8y 3 - 4xy 2 = 1 [2x 4 + 8y 4 -2x-y = 0 154 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 3 +8y 3 -4xy 2 =1 2x 4 + 8y 4 -(2x + y)Ịx 3 + 8y 3 -4xy 2 j = o' X 3 +8y 3 -4xy 2 =1 jx 3 + 8y 3 -4xy 2 = 1 2x 4 -8x 2 y 2 +12xy 3 =0 |2x(x -2y)(x -6y) - 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 3 -2xy 2 = -1 X 4 + y 4 + (x - 3y)(-x 3 + 2xy 2 Ị = 0 íx 3 -2xy 2 =-ỉ [3x 3 +2x 2 y-6xy 2 +y 3 =0 f 3 .2 , x 3 -2xy 2 =-l X -2xy =-l p J í \ / 9 9 \ X = y x-y 3x 2 +5xy-y 2 =0 3 ' [|_3x 2 +5xy-y 2 =0 Xét trường hợp tìm ra nghiệm của hệ phương trình là: 155 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với : 4xy +1 = 7y - 2x => (4xy +1) 2 = (7y - 2x) 2 . <=> 16x 2 y 2 + 8xy +1 = 4x 2 - 28xy + 49y 2 <=> 17y 2 + 8xy = 4x 2 - 28xy + 49y 2 . 9 9 X = y <=> X 2 - 9xy + 8y 2 = 0 <=> . X = 8y THI: Nếu X = y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : X = 1 X = l,y = 1 4x 2 +2x-7x = -l«4x 2 -5x + l = 0<=> 1 1 1 x = 4 x = 4,y = 4 L 4 L 4 4 (thử lại thấy thỏa mãn). TH2: Nếu X = 8y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 32y 2 - 9y +1 = 0 (vô nghiệm). Lời giải Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được: 19(x-y)(x 2 + y 3 ) = 7(x + y)(x 3 -y 3 ) «• 6x 4 - 13x 3 y + 13xy 3 - 6y 4 = 0. 156 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com o (x - y)(x + y)(2x - 3y)(3x -2y) = 0 <=> y = x y = -x y = —X ■ 2 2 y = -x 3 Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ tìm được các nghiệm: (x;y) = (-3;-2); (3;2); (-2;-3); (2;3); (0;0). Bài 15. Giải hệ phương trình [ X 3 + y 3 = 4x 2 + 4y 2 lx 3 -y 3 =6x 2 -6y 2 Lời giải Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được: 6(x 2 -y 2 )(xWM* 2 + y 2 )(x 3 -y 3 )- <=> (x - y) 3 (x 2 + 3xy + y 2 j = 0 <=> y = x X 2 + 3xy + y 2 =0 THI : Nếu y = X thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : 2x 3 = 8x 2 x = 0 X = 4 x = 0,y = 0 X = 4,y = 4 TH2 : Nếu X 2 + 3xy + y 2 = 0 kết hợp với phương trình thứ hai của hệ ta được x 2 +3xy + y 2 =0 x 2 + 3xy + y 2 =0 X 3 -y 3 =ó|x 2 -y 2 j (x-y)Ịx 2 +xy + y -6x-6y =0 <=> | x = y [x 2 + 3xy + y 2 (x 2 + 3xy + y 2 1 X 2 + xy + y 2 - 6x - 6y = 0 <=> X = 0,y = 0 3-V5 3 + V5 x =-. 2 2 3 + V5 3-V5 X = Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: (x;y) = (0;0); ( 4;4); í ĩ±£.Ĩ=A\ í 157 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 16. Giải hệ phương trình [ X 2 + xy + y 2 = X + 4y |x 2 - 4y 2 = 1 Lời giải Từ hệ phương trình suy ra: Ịx 2 + xy + y 2 Ỵ = (x + 4y) 2 Ịx 2 - 4y 2 j. «• (2x -5y)(3x 2 + 12xy + 13y 2 Ị = 0 2x = 5y 3x 2 + 12xy + 13y 2 = 0 THI: Nếu 2x = 5y thay vào phương trình thứ hai của hệ suy ra: 25 2 . 2 _ 1 _.2_,5 -Ị-y -4y = l<=>y = ±j^>x = ±j. TH2: Nếu 3x 2 + 12xy + 13y 2 = 0 3(x + 2y) 2 + y 2 = 0 íx + 2y = 0 íx = 0 , <=> { <=> < (thứ lại thây không thóa mãn). [y = 0 ly = 0 \ f 5 2^1 (5 l' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là Ịx;y)= ; y:\-z y 3 3J y3 3 y y 4 =iv(x + y) [x 4 -y 4 =45(x-y)' o (x -2y)(x - y)(2x - y)(7x 2 + 9xy + 7y 2 Ị - 0 <=> Lời giải Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được : 45(x-y)(x 4 + y 4 ) = 17(x + y)(x 4 -y 4 ) r x = y x = 2y y = 2x x = y = 0 Xét trường hợp và thay vào phương trình đầu của hệ ta được: (x;y) = (0;0); (^3;2^3 j; (2^3'M)-, ( 3/17 ;3/n). Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm: (x;y) = (0;0); (^3;2^3 j; ( 2 ^ 3 ;^]; ịìlỉĩ -,^). 158 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Sề 5 , KỸ THUẬT SỬ DỤNG PHÉP THẾ A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Hệ gồm hai phương trình trong đó có thể rút được một biến theo biến còn lại và theo suy nghĩ đơn giản thế vào phương trình còn lại của hệ ta được một phương trình đa thức bậc cao giải được. Đôi khi ta cũng thực hiện phép thế hằng số hoặc thế một biểu thức vào phương trình còn lại. Dấu hiệu nhận biết - Hệ gồm một phương trình là phương trình bậc nhất đôi với x,y . - Có thể rút một biến theo biến còn lại từ một phương trình của hệ. Các dạng hệ đã gặp Hệ phương trình cơ bản gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn. B. BÀI TẬP MẪU Lời giải Phân tích tìm lời giải: Nhận thấy từ (1) ta có thể rút y = 1 - X hoặc X = 1 - y để thế vào phương trình (2) và để ý sẽ đưa về phương trình bậc ba với ẩn X hoặc ẩn y . ở đây ta lựa chọn phép thế y = 1 - X vào (2) vì bậc của . y ở (2) cao nhất là 2 nên việc \ 2 tính các biểu thức (l-x),(l-x) đơn giản hơn việc tính các biểu thức (1-y) 3 - Rút y = 1 - X từ (1) thế vào (2) ta được: 3x 3 +x 2 |^7(l-x)-3j + x 2(l-x)~-7(l-x) =2(l-x)~. (x;y) = (l;-2);^-i;0(-2;l) . Suy ra (x;y) = í-i;| J;(l;0);(2;-l). Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) : ĩ_3 . 2 ’ 2 . ;(l;0);(2;-l). 159 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com xy = X + 7y + 1 Bài 2. Giải hệ phương trình < [xy = 10y 2 -1 Phân tích lời giải: Ta rút được y theo X từ phương trình đầu của hệ thế vào phương trình thứ hai của hệ đưa về một phương trình bậc 4 với X . Lời giải Nhận thấy y = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với y ^ 0 từ phương trình đầu của hệ ta có X - + - thế vào phương y 1 trình thứ hai của hệ ta được: y 2 = 10y 2 -1 o 39y 4 + 34y 3 - 8y 2 - 2y +1 = 0 . <=> <=> h thứ hai của hệ ta được: y 2 = 10y 2 -1 39y 4 + 34y 3 - 8y 2 - 2y +1 = 0 . (y + l)(39y 3 -5y 2 -3y + lỊ = 0 o (y + l)(3y + l)(l3y 2 -6y +1) = 0 y = -i 1 ■ y 3 1 3 Với y = -l suy ra x = 3. Với y = -ị suy ra x = l. í ị\ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị^l;—J ;(3;-l). Bài 3. Giải hệ phương trình J x ” X - + 7 3x 2 -2x + y = 3 Phân tích lời giải: Cả hai phương trình của hệ đều có thể rút được biến y theo biến X nhưng việc rút từ phương trình thứ hai đơn giản hơn. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với I X 3 - 2xy + 5y = 7 ly = -3x 2 +2x + 3 X 3 - 2xỊ-3x 2 + 2x + 3 y = -3x 2 +2x + 3 ] +5 ( -3x +2x + 3 =7 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> ■ 17x 3 - 19x 2 + 4x + 8 = 0 [y = -3x 2 +2x + 3 6-2V33 'oM -1 7x 2 -12x-8 =0 1X = 1 <=>í 1 v<; ìy = 2 (y = -3x 2 +2x + 3 6 + 2V33 y=- -153 + 44723 v< 49 y = - -153-44723 49 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (l;2); "ó-2733.-153 + 44^" /_ 6+ 2V33 -153-44723" 7 ’ 49 V 7 : 7 ’ 49 V / Í2x 3 + y(x + l) = 4x 2 Bài 4. Giải hệ phương trình J v ' I5x 4 -4x 6 = y 2 Phân tích lời giải: Phương trình đầu của hệ chỉ chứa y tự do nên ta rút y theo X và thế vào phương trình thứ hai của hệ và hy vọng đưa về một phương trình bậc cao đối với X phân tích được nghiệm. Lời giải Nhận thây X = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X ^ -1 khi đó hệ phương trình tương đương với 4x 2 -2x 3 y=- 4x 2 -2x 3 x + 1 «• 5x 4 - 4x 6 = y 2 x + 1 5x 4 -4x 6 = ^ 4x 2 -2x 3 " 2 x + 1 y = - 4 x 2 -2x 3 x + 1 (5-4X 2 )- (x + lf = 0 x = 0 o _ V ly=0 4x 2 -2x 3 y= ^TT- Ị5-4x 2 Ị(x + l) 2 -4(2-x) 2 =0 X = 0 ừ = 0 4x 2 -2x 3 y = ^7+l 4x 4 +8x 3 +3x 2 -26x + ll = 0 161 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phân tích lời giải: Phương trình đầu của hệ nếu bình phương khử căn thức ta rút được y theo X do vậy ta thực hiện phép thế. Lời giải v Íx>-1 Điều kiện 1 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: I y > I Ptórntíeh m giải: 162 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cả hai phương trình của hệ có điểm chung là có chứa nhân tử chung X 2 + xy do vậy ta sẽ thế xy =-^- từ phương trình thứ hai của hệ vào phương trình đầu đưa về phương trình bậc 4 với ẩn X . Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 7 ( , , 2Ỹ / 2 . \ 2 „ „ 2.6x + 6-x - - Ịx +xy| =2x + 9 X + —— = 2x + 9 < 2 <=> < V 2 J ÓX + 6 -X , , 2 xy =-—- 6x + 6 - X l 2 K = —p- X 4 + 12x 3 + 48x 2 + 64x = 0 x(x + 4) 3 =0 |x = -4 ^ ÓX + 6-X 2 H 6x + 6-x 2 ^[, = 1Z- r y “ 2 l xy= 2- i 4 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)= -4;— v M 4 Phân tích lời giải: Cả hai phương trình có nhân tử chung X 2 +1 nếu rút từ phương trình đầu thế vào phương trình thứ hai ta có nhân tử chung y . Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 +l = y(4-y-x) |x 2 +l = y(4-y-x) (x 2 +l)(y + x-2) = y |y(4-x-y)(y + x-2) = y [x 2 +1 = 0 [x 2 + l = y(4-y-x) Ly = 0 [(4-x-y)(y + x-2) = l x 2 +l = y(4-y-x) |x 2 +1 = y(4 - X - y) í x + y = 3 -(x + y)~ + 6(x + y)-9 = 0 (x + y-3) 2 =0 [x 2 +l = y 163 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com |y = 3-x X 2 +x-2 = 0 <=> ‘ 0 <=>1 <=>í x 2 + 1 = 3-x y = 3-x X = 1 1 X = -2 y=3 V |y=5 ' Hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;3j;(-2;5). - + x + y = 4 Nhân xét: Ngoài ra có thể đưa về hệ X 2 +1 X 2 +1 y .(y + x-2) = l X 2 +1 Đặt ẩn phụ u = —- ;v = X + y - 2 (xem thêm phương pháp đặt ẩn phụ). y Bài 8. (TSĐH Khôi D 2009) Giải hệ phương trình < x(x + y + l)-3 = 0 / x2 5 ( x + y) -^7+1 = 0 X Lời giải Điều kiện X + 0 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với X + y = — — 1 X 'Ị-i' IV x ) -y x - ữ X + y = —— 1 X 4 6 . „ ' —--- + 2 = 0 2 Y X x oi y = — - X -1 X (x-l)(2x-4) = 0 1X = 1 \y=l X = 2 y = Hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l); 2;- Bài 9. Giải hệ phương trình [x + y = -l lx 3 -3x = y 3 -3y' Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với Jy = -1-X Jy = -1-X |x 3 -3x = y 3 -3y' = ’jx 3 -3x=(-l-x) 5 -3(-l-x) ^Ịy = -l-x O |(x-l)(2x + l)(x + 2) = 0 164 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com íx = 1 2 |x = -2 <=> < vị . v\ . ■ ừ = -2 V = I ừ = l 2 \ ( 1 lì Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là Ịx;yỊ = Ịl;-2Ị; ;(“2;l). V 2 2J Nhân xét : Qua các ví dụ trên nhận thấy phương pháp thế hết sức đơn giản mà bất kỳ học sinh nào cũng nghĩ đến đầu tiên khi giải hệ. Thông thường các hệ có nghiệm đẹp khi đưa về phương trình bậc cao ta sẽ giải được nhờ phân tích thành nhân tử. Hạn chế của phương pháp này là đôi khi tính toán cồng kềnh dễ dẫn đến sai sót và một điểm nữa là nếu hệ có nghiệm lẻ việc giải phương trình bậc cao sẽ hết sức khó khăn. Lúc này thử nghĩ đến các phương pháp khác chẳng hạn như đặt ẩn phụ. Một lưu ý của phương pháp này là ta có thể thế một biểu thức, một hằng số từ một phương trình vào phương trình còn lại. Bài 10. Giải hệ phương trình y - xy +1 = 0 X 2 +y 2 +2x + 2y + l = 0 Phân tích lời giải: Rút y 2 = xy — 1 từ phương trình đầu thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình đưa được về phương ữình tích nên ta sử dụng phương pháp thế. X 2 +xy + 2x + 2y = 0 <=> x(x + y) + 2(x + y) = 0 ■(x + 2)(x + y) = 0<=> X = -2 x = -y Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: y =xy-l X 2 +xy + 2x + 2y = 0 y -xy-1 (x + 2)(x + y) = 0 X = —2 2 _ -2y-l x = -y = -y -1 X = -2 y = -i' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (-2;-l • Bài 11. Giải hệ phương trình ■ (2x 2 + y) x(4x+r (x + y) + x(2x + r = 7-3y = 7-2y 165 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phân tích lời giải. Nếu thực hiện phép thế biến thông thường trong trường hợp này không thực hiện được để ý đến số 7 tự do ở hai phương trình thử thế từ phương trình dưới lên phương trình trên xem ta được gì? Hy vọng đưa về được một phương trinh tích. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với (2x 2 +yỊ(x + y) + x(2x + l) = 7-2y 7 = 4x 2 +x + 3y ^2x 2 + yj(x + y) + x(2x + l) = 4x 2 +x + 3y-2y 7 = 4x 2 + x + 3y Ị2x 2 + yỊ(x + y) = 2x 2 +y ^2x 2 + y)(x + y -1) = 0 7 = 4x 2 +x + 3y 7 = 4x 2 +x + 3y [y = -2x 2 [y = l-x [7 = 4x 2 + x + 3y [7 = 4x 2 +x + 3y <=> y = -2x 2 V íy = 1 —X y = 1 —X 1 2 <=M 2x 2 -x-2 = 0 1 + VĨ7 ^ X =--— 4 y = 1 + VĨ7 4 3 + VĨ7 ' 4 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 1 + VĨ7.3 + VĨ7 X 3 + 7y = (x + y) 2 + x 2 y + 7x + 4 3x 2 +y 2 +8y + 4 = 8x Phân tích lời giải. Bài toán này ta thực hiện tương tự bài toán trên rút 4 tự do từ phương trình hai thế vào phương trình đầu của hệ. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 166 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 3 + 7y = (x + y) 2 + x 2 y + 7x + 8x-8y-3x 2 -y 2 4 = 8x-8y-3x 2 -y 2 íx 3 +2x 2 -x 2 y-2xy-15x + 15y = 0^ [4 = 8x - 8y - 3x 2 - y 2 (*-»)( -y X-+2X-15 =0 4 = 8x-8y-3x 2 -y 2 |x = y jx 2 +2x-15 = 0 [4 = 8x - 8y - 3x 2 - y 2 |4 = 8x-8y-3x 2 -y 2 fx = y Jx = -5 jx = 3 íx = 3 íx = 3 [2y 2 +4 = 0 Ịy 2 +8y + 119 = 0 Ịy 2 +8y + 7 = 0 [y = -l [y = -7 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;—1);(3;— 7 ). <=> ■ <=> : (y + l) = 6y-2 4 y 2 + 2x 2 y 2 + y Ịx 2 +1 j = 12y 2 -1 Phân tích lời giải, cả hai phương trình có nhân tử chung X 2 từ phương trình của hệ rút được X 2 =-— tới đây thế vào phương trình thứ hai của hệ đưa y + 1 về phương trình đa thức bậc bốn với ẩn y . Nhưng trước tiên phải xét xem y = -1 có là nghiệm của hệ hay không? Lời giải Nhận thây y = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y & -1 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với ,2 _ 6y-2 y + 1 IV 6y -2 y + 1 \2 y 2 +2y 2 6y-2 y + 1 + y 6y -2 y + 1 + 1 = 12y 2 -1 y + 1 4(y-l)(9y + l)y (y-0 2 <=> i ■ = y-i x 2 _ 6y - 2 y + 1 V [y = l x2 = 6ỵ-2 y + 1 4(9y + l)y 2 =(y + l) 2 167 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [ X = ±\fĩ Hyll 36y 3 + 3y 2 -2y-l = 0 [x = ±\Ỉ2 o ị vi U=1 y + 1 (3y-l)Ịl2y 2 +5y + lỊ = 0 x2 = 6ỵ-2 y + 1 [x = ±yfĩ o ị Vi U=1 X = 0 1 ■ y=v Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = Ị±\/2;lj; 0;t Bài giải Hệ phương trình đã cho tương đương với [(x + y)(x + 2) = 16 [(x + y)(4 + xy) = 32' Nhận thây X = -2 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X * -2 khi đó hệ tương đương với 16 . 1 u I Y 4- V = - X + y 16 X + y = —— X + 2 o- (x + y)(4 + xy) = 32 X + y = X + 2 16 Oị ,(4 + xy) = 32 oi X + y = - 16 X + 2 x = 0 íx = 2vx = -6 16 X + y =-- X + 2 . 4 + xy = 2x + 4 x + 2<=><; v< [x(y-2) = 0 h = 8 h = 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;8);(2;2);(2;-6). Bài 15. Giải hệ phương trình (x-l) 2 +6(x-l)y + 4y 2 =20 |x 2 +(2y + l) 2 =2 Phân tích lời giải: Chưa thấy mối liên hệ nào giữa hai phương trình của hệ ta thử khai triển các biểu thức tích và hẳng đẳng thức ra xem sao? Nhận thấy có nhân tử chung X 2 + 4y 2 ta sử dụng phép thế cho hệ này. 168 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình đã cho tương đương với [x 2 - 2x +1 + 6xy - 6y + 4y 2 =20 [-2x + 1 +1 - 4y + 6xy - 6y = 20 <=> |x 2 +4y 2 +4y + l = 2 f(3x-5)y = x + 9 1 X 2 + 4y 2 = 1 — 4y <=> • X 2 +4y 2 =l-4y Nhận thấy X = không thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó với X 5É 2 “ hệ tương đương với: o< x + 9 3x-5 o< Ịx 2 + (2y + \Ỵ - 2 x + 9 y = x + 9 3x-5 x 2 + 2x +18 3x -5 + 1 = 2 Oi y=-, 3x-5 9x 4 -30x 3 +32x 2 + 190X +119 = 0 x + 9 3x-5 (x + lf( <=> • 9x- -48X + 119 =0 I X = —1 [y —1' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (— 1; — 1J. Bài 16. Giải hệ phương trình [x 3 +2xy 2 =5 Ỉ2x 2 +xy + y 2 =4x + y Lời giải Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình, với X ^ 0 rút y = 2 5-x 2x từ phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: - 3 2x 2 + xy + x = 4x + y <=> 3x 3 - 8x 2 + 5 + 2x 2 y - 2xy = 0. 2x <=> (x — 1 )^3x 2 -5x -5j + 2xy(x -l) = 0 <=> (x-l)|3x 2 -5x-5 + 2xyj = 0 . 169 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Với X = 1 khi đó hệ trở thành y = ±V2. [2 + y + y 2 = 4 + y Với 3x 2 - 5x - 5 + 2xy khi đó thay vào phương trình thứ hai ta được 2x 2 -^3x 2 - 5x - 5j + y 2 = 4x + y . « X 2 + 5x + 5 + 2y 2 = 8x + 2y « X 2 - 3x + 5 = 2y (1 - y) (1). 2 „ r ( 3Ỹ 11 11 I 2 J 4 4 Vế phải 2y(l-y)<^-(y + l-y) 2 =ị. Từ đây suy ra phương trình (1) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = íl; V 2 Ị;íl;—V 2 Lời giải XT1 X ., V* 5 .. „ . 9 ^ t X X -. 5 . y" + 4y +1 Nhận thay y = —- không thóa mãn hệ, nên với y ^ rút X = —-—f- 4 4 4 + 5y từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ nhât của hệ ta được: lV-3Í>^ÌiĨ=l.«(y-2) 3 (y + 2)(l3y 2 + 16y + 7) = 0«P^ 2 . y y J iy Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y) = (l;—. 1 xy - X + y = 2 Bài 18. Giải hệ phương trình < . |x 3 -4x 2 + x + 18 = 2y 3 + 5y 2 -y Lời giải Nhận thấy X = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. X+2 V1 . v Xét X -lrút y =-— từ phương trình đâu thay vào phương ưình thứ hai x + 1 9 , A . 3 2 in n X + 2 X + 2 1 X + 2 của hệ ta được: X -4x +x + 18 = 2 +5 - . v X + 1 J ^ X + 1 J x + 1 170 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét: Xem thêm một số bài toán cùng dạng này được đề cập trong chủ đề Kỹ thuật hệ số bất định. c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Lời giải Nhận thấy X = 3 không thỏa mãn hệ phương trình. X — 1 Xét X ^ 3 từ phương trình đầu suy ra y = -2. —— thay vào phương trình thứ hai 3-x của hệ ta được: x 2 fí ——-X -2 —- <=>x 5 -5x 4 +5x 3 +5x 2 -4x + 2 = 0. l 3 ~ x J { 3 ~ X J <=>(x + l)Ịx 4 -6x 3 + llx 2 -6x + 2j = 0. Lời giải Nhận thấy y = 3 không thỏa mãn phương trình từ phương trình đầu của hệ suy ra hệ phương trình tương đương với: 171 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (y-3)-(y-3) = 8y + 4 [(x-l) 2 y 2 + 2y = -l X - I = 4(2ỵ+Ị) y-3 X - I = 4(2y + 1) y-3 (x-l) 2 y 2 +2y = -l [(x-l)V+2y = -l : Ị- 4 ( 2y + 1 ) y-3 4(2y + l) y-3 X 2 y 2 + 2y + l = 0 o 4(2y + l) X — 1 = —-—-—-—- y-3 (2y + l)[l6y 2 (2y + l) + (y- = 0 Y _ 4(2y +1 ) X — 1 = —-—-—-—- y — 3 <=> (2y + l)(ý + l) = 0 x = 2,y = -l , 1 • x=1 - y= “Ế Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;—2 Bài 3. Giải hệ phương trình < 2(x + 2) 2 =y + 19 2 2(y + 2j =x + l Lời giải Rút X = 2(y + 2Ỵ - I tù'phương trình hai của hệ thế vào phương trình đầu ta được: -|2 <=> <=> 2(y + 2) -1 + 2 (y + l)(8y 3 + 56y 2 + 144y + 143 ) = 0 . y = _1 _ J3x/l2081-277 7 10 , = f^- y = --7-- 2 7-+ 21 V 2 3 3k 6 y +19 <=> 8y 4 + 64y 3 + 200y 2 + 287y +143 = 0. X = 1, y = -1 X = 2 1 10 k + — v 3 3k 6y , 7 10 . k ■ -l,y = -„-„+-7 3 3k 6 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = (l;-l); 172 f l_Ị0 + k^ 2 ,7 10 . k -h—T-yrr + T 3 3k 6 với k _ 3/3 Vl 2081 -277 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . 173 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Rút y = 6 x -4x 2 -1 X từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình đầu của hệ ta được: - , 6x-4x 2 -1 X 2 2x + 4. — + — 6x-4x -1 X 6 x - 4x" -1 <=> (X -1) I 8 x 3 - 20x 2 + 24x - 5 j = 0 . (x-l)(í X = 1 <=> 5 11 X = —- —3 3V3261-155 6 6 V 3^3261-155 x = l,y = 1 x = k,y = 6k-4k z -1 . ,. . 5 11 với k = —- 3 3a/3261 -155 6 6 ]Ị 3^3261 -155 6 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l); í .. 9 \ , 6k-4k-l k;-, - ... 5 11 vớik = —- —3 3^3261-155 2 6 6 V 3V3261 -155 6 Bài 6. Giải hệ phương trình |xy-3x-2y = 6 [x 2 + y 2 -2x-4y = 8 Lời giải Nhận thây X = 2 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét x^2 rút y = — + ã từ phương trinh đầu thay vào phương trinh thứ hai ta được: x -2 X 2 + 3x + 6 Ì , 3x + 6 - 4 , 3 2 . M ^ - 2x - 4. = 8 <=> X - 6 x + X + 60x + 52 = 0. x -2 X -2 X = —1 <=>(x + l)(x + 2j(x 2 - 9x + 26j = 0<=> => X = —2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là («y)-(- x = -l,y = -l x = -2,y = 0 ■ Bài 7. Giải hệ phương trình ;(x + 2)(2x + y) = 9 X 2 + 4x + y = 6 174 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Cách 1: Rút y = -X 2 - 4x + 6 từ phương trình thứ hai của hệ thế vào phương trình đầu ta được: x^x + 2^2x - X 2 - 4x + = 9 <=> X 4 + 4x 3 -2x 2 -12x+ 9 = 0 . / , \2 / \2 ^ x = -3 x = -3,y = 9 <=^>(x — 1) (x + 3) = 0<=> => v 2 v ’ L x=1 L x= 1 ’y =1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l);(-3;9). í(x 2 +2x)(2x + y) = 9 Cách 1' Viết lai hê nhiírínơ trình Hiíơi danơ- J V /' ; Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: X 2 + 2x + 2x + y = 6 Đặt u = X 2 + 2x, V = 2x + y khi đó hệ phương trình trở thành: Ịu + v = 6 < íu = 3 < íx 2 +2x = 3 < _ > x = l,y = l |uv = 9 |v = 3 (2x + y = 3 x = -3,y = 9 X 2 + xy = X + 2 Bài 8. Giải hệ phương trình < / - \ - 2y 2 +5 x + 13x 2 =26 Lời giải Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. X + 2 - X 2 Xét X ^ 0 rút y =-———— từ phương trình đầu thế vào phương trình thứ hai X của hệ ta được: ( í 7 X X + 2-X 2 ^ 2 V X V 7 + 5 7 .4 . n.,3 „2 r X = l,y = 2 X = 1 1 x=-y=- «(x-l)(2x-l)(x + 2)(x + 4) = 0« x = 2 =. x ’j’ y \ 2 2 - _x = -4 x = -4,y = ^ Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là (x;y) = (l;2);Ị^-;-jj;(-2;2);^-4;-^ . BMJ. ÍXSĐHKtó’itt^l2kGiảiM^|dngttìnfe 1 .&«. SÍSS ÍSMSSSS^ 175 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Jxy + x-2 = 0 (1) [2x 3 - x 2 y + X 2 + y 2 - 2xy - y = 0 (2) ' Lời giải Dễ thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó rút y = ——— từ (1) thế vào (2) ta được: 3 2 2 — X 2 2x 3 -X —— + x + ^2-x^ - 2x .ỉ-íTzZl = o / V J V • I 1 V I I 1 / V . \ J • X y x J X x <=> 2x 5 +2x 4 -2x 2 -6x + 4 = 0<=>2(x-l)|x 4 +2 x 3 +2x 2 + x-2j <=>(x-l) (x 2 +x)“+(x 2 +x)-2 = 0<^(x-l)Ịx 2 +x + 2j| - 2 = 0 . x z +X-1 =0 <=> X = 1 X 2 + X — 1 = 0 <=> X = 1 X = - -1±V5 • Suy ra (x;y) = (l;l); -l±y/s ■,±xl~5 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (l;l); -1 + V5 ;±V5 Bài 10. Giải hệ phương trình X +5x + y = 9 ( 1 ) 1 3x 3 + x 2 y + 2xy + 6x 2 =18 (2) Lời giải Rút y = 9 - X 2 - 5x từ (1) thay vào (2) ta được: X 4 +4x 3 -5x 2 -18x + 18 = 0. X — —3 <=>(x-l)(x + 3)|x 2 +x-ój x+x-6=0<=> X = 1 = -1 + xfĩ |_x = -l±v/ Suy ra: (x;y) = (-3;15);(l;3);(-l- Vỹ;6 + 3VỸ);(-1 + xỉĩ-,6-3yJĩỴ Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: (x;y) = (-3;15);(l;3);(-l - >/ỹ;6 + 3>/ỹ);(-l + >/ỹ;6 - 3 V 7 ). Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 11. Giải hệ phương trình 1X 2 + y 2 - xy = 1 [2x 3 = x + y Lời giải Rút y = 2x 3 - X từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương ữình đầu ta được: \2 x 2 + (2x 3 - X j - x(2x 3 - xỊ = 1« 4x 6 - 6x 4 + 3x 2 -1 = 0 . <=>(x 2 -l)Í4x 4 -2x 2 + l) = 0<=>x 2 =1<=> X = —1 => VA 1 X = 1 Vậy hệ phương trình CÓ hai nghiệm là (x;y M-M , íx 2 (y + l)(x + y + l) = 3x 2 Bài 12. Giải hệ phương trình ị ''rì ) [xy + y + l = x x = -l,y = -l x = l,y = l Lời giải x 2_!. ” Rút y = —- - tư phương trình thứ hai thế vào phương trình đâu của hệ ta được: X (2 ,ỵ v 2 , 4 2 X -1 X -1 , „ 2 X —- - —- - + X + 1 =3x -4x + l. X X V 7 V 7 x = l,y = 0 <=>x X- (x-l) 2 (x + 2) = 0 <=> X = 1 X = -2" x=-2,y = -| Vậy hệ phương trình CÓ hai nghiệm là (x;y) = (l;ơ); -2;- 9v 4 -XV 2 =12-4x Bài 13. Giải hệ phương trình < [4x 2 -y 2 x 2 =3 Lời giải Hệ phương trình tương đương với: 9y 4 -xy 2 =12-4x '2 _ , 3 < y =4-4 X )(4x 2 -3Ị 2 -x 3 Ị4x 2 -3) = (l2-4x)j X 177 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 132x 4 +3x 3 -216x 2 +81 = 0 <=><( 0.3 <=>«( y 2 =4-4- J „2 X X = 1 y±l 132x J +135x^-81 = 0' y 2 =4-A X 2 (x-l)íl32x 3 + 135x 2 -8l) = 0 y 2 =4-4 J __2 X <=> Do y 2 >0=>4-^->0<íí>|x|>^ệ X 2 1 1 2 Khi đó phương trình 132x 3 + 135x 2 - 81 = 0 vô nghiệm với |x|>-y-. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (l;— ) • (2x + y) +3y 2 =12 Hệ phương trình tương đương với Lời giải y(x 2 -l) = 2-x(l) (2x + y) 2 +3y 2 =12 (2) • Nếu X = 1 thay vào (2) ta được: (2 + y) 2 + 3y 2 = 12 <=> 4y 2 + 4y - 8 = 0 <=> Suy ra (x;y) = (l;l);(l;— 2 ) . • Nếu X = —1 thay vào (2) ta được: (2-y) 2 +3y 2 =12o4y 2 -4y-8 = 0« y = l y = -2 y = -l _y = 2 Suy ra (x;y) = (—1;—1);(—1;2) . 2 - X Nếu X * ±1 khi đó rút y = từ (1) thế vào (2) ta được: x 2 -l Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í 9_yỹ 1^9-yỹ 2x + ^—^ +3 = 12 . <=> X 6 -3x 4 -X 3 + 9x 2 - 6x +1 = 0 l X 2 -lj U 2 -lj <=> Ịx 3 - 3x +1 = 0 <=> X 3 - 3x +1 = 0 . Taxétnghiệm X e Ị^—2; 2~ị , đặt x = 2cost,Ịt e[0;7t]) phương ưìnhttở thành: 8cos 3 t - 6cost +1 = 0 <=> cos3t = -Ị- <=> t = ±~z~ + k^-,k e z . 2 9 3 ^ ^ r2 tt 4ĩi 8tc] _ 2rc - 4rc _ 871 Do t e ();7T => t e < —> =>x = 2cos—,x = 2cos—,x = 2cos— . L J 1 9 9 9 ị 9 9 9 Do phương ữình bậc ba có tối đa ba nghiệm nên đây là ba nghiệm của phương trình. Vậy hệ phương trình có bảy nghiệm là: (x;y) = (l;l);(l;-2);(-l;-l);(-l;2);l 2cost; V ,,_1 1 vđi tE | 9 ; 9 ; 9 Ị- Bài 15. Giải hệ phương trình Ịx* -4x 2 + y 2 -6y + 9 = 0 (1) [x 2 y + X 2 + 2y - 22 = 0 (2) Lời giải 22 - X 2 Rút y = —-—— từ (2) thay vào (1) ta được: X 2 + 2 «• (x 2 -4-j|x 2 - 2 ỊỊx 4 + 6x 2 + 32) = 0 o X = ±2 X = ±\fĩ Đáp số. (x;y) = (±2;3);|±V2;5j. Lời giải Viết lại hệ dưới dạng: 179 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ịx 2 +4y 2 -2x + ó(x-l)y = 19 Ịx 2 + 4y 2 =l-4y Rút y = x + 9 thế vào phương trình thứ hai tìm được nghiệm: (x;y) = (-l;-l 3x 5 Bài 17. Giải hệ phương trình < 8x 6 - —xy = y -3x 4 2 X 3 - 4x 2 y = y Lời giải Rút y theo X từ hai phương trình của hệ rồi so sánh với nhau tìm được nghiệm (x;y) = (0;0). Bài 18. Giải hệ phương trình < x 2 (y + l) = 6 y-2 x 4 y 2 + 2x 2 y 2 + y Ịx 2 + lj = 12y 2 -1 ' Lời giải |l-4y-2x + 6(x-l)y = 19 Ịx 2 + 4y 2 =l-4y Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x 2 +l) y 2 +yỊx 2 +lj = 13y 2 -1 (y + l)(x 2 +l) = 7y-l Đặt u = X 2 +1,V = y,(u > 1 j hệ phương trình ưở thành: Ịu 2 v 2 +uv = 13v 2 |u(v + l) = 7v-l -1 Rút u = —-——từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương trình đầu của v + 1 hệ ta được: / „ , \ 2 V = 1 7v-l 2 7v — 1 2 1 V + ——-.V = 13v -1 <=> 1 l v + 1 ) v + 1 V = — L 3 1 x = 0,y = - ơ . = ±\Ỉ2,y = ỉ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) Bài 19. Giải hệ phương trình y 2 V4x-l + V3 =5y 2 -V 12x-3 2y 2 V3-2x = V6 180 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải 1_3 Điêu kiện: — < X < — . 4 2 Rút y 2 = — từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương trình đầu, 2V3-2X ta được: V4x-l + Vó-4x + ^6-4x^4x-lj -5 = 0. Đặt t = V4x - 1 + Vó-4x => t 2 = 5 + 2^6-4x)^4x-lj,(t > o). Phương trình trở thành: t + — Y ~-5 = 0<=>t 2 +2t-15 = 0<=> . Suy ra t = 3 <=> V4x-1 + Vó- 4x = 3 <=> 5 + 2,^(6 - 4x)(4x -1) = 9 . 1 [ ,J| o 2 ^ 2 V 2 . 5 5 r- y_ 4 ^x = ^,y = ±V3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = ; y;±V3 . I 2 v 2 J y4 J í 1 — y 2 = 4xy Bài 20. Giải hệ phương trình ■< . [4x 2 +y 4 -4xy 3 = 1 Lời giải Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. 1-y 2 . Xét y ^ Orút X = —-4— từ phương trình đâu thay vào phương trình thứ hai của 4y 181 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X ^ 0 khi đó hệ phương trình tương đương với: Lời giải Điều kiện: y 5* 0,x > -\fĩ . Thế y = X 2 + X + 1 từ phương trình hai vào phương trình đầu của hệ ta được: 3 = |x 3 -lj|Vx 3 +2 + lj . 182 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = Vx 3 +2 phương trình trở thành: 3 = Ịu 2 - 3j(u + l) <=> u 3 + u 2 - 3u-6 = 0 <=>(u-2)Ịu 2 + 3u + 3Ì = 0<=>u = 2 «• 7x^2 = 2 X = ìỊĨ => y = ìỊà + ìỊĨ + 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ựlĩ^yỊÃ- + \fĩ +1 Bài 23. Giải hệ phương trình i y [y 3 + 3xy + 3 = 0 Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X & 0 khi đó từ phương trình đầu của hệ ta có y = : 2 -x v Thay y = ——— vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2-x / , \3 + 3x.-—+ 3 = 0«Ịx 3 -l) =7. -1 = }ỊĨ X = >/ĩ+W => y = 1 - 3/7 x/ĩ+w r _ 1 N Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = t/l7W;-ị^Ị . r ^ĨTWJ Nhân xét: Dạng hệ này được nhắc tới ưong chủ đề Cộng trừ và nhân theo theo vế hai phương trình của hệ các em theo dõi. Bài 24. Giải hệ phương trình 2x 2 y + 3xy = 4x 2 +9y 7y+ 6 = 2x 2 +9x Lời giải Nhận thấy 2x 2 + 3x - 9 = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Rút y = 2x- +3x-9 từ phương trình đầu của hệ thay vào phương trình thứ hai ta được: 183 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 7.- 4x 2x- +3x-9 + 6 = 2x 2 + 9x o(x + 2)(2x-l)Ị2x 2 + 9x-27Ị = 0 <=> X = -2 1 X = — 2 -9 ±3^33 X = -2,y = — 7 1 1 x = -,y = -- 2 7 -9 ±3^33 ,y = 3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: -2;-—ì (1. l) '-9±3^33 ' U ; V 4 V / Bài 25. Giải hệ phương trình |x 4 y 2 - 4xy + y 2 =1 [2X 2 -2x + y = -l Lờt' giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: [x 4 y 2 - 4xy + y 2 =1 ly = -2x 2 +2x-l CH 1 j - 4xỊ-2x 2 + 2x - lj + Ị- X 4 f-2x 2 +2x-l)-4xí-2x 2 +2x-l) + í-2x 2 +2x-l| =1 -r- [y = -2x 2 +2x-l cH cH X 4 (4x 4 - 8x 3 + 8x 2 - 4x + 51 = 0 y = -2x 2 +2x-l l(x 2 -X + (2x-l) -1+4 = 0 íx = 0 c>í ly —1 [y = -2x +2 x-l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;-l). x + y = l 184 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: (4 - x)(l3 - y) > 0,2x + y + 2 * 0. Rút y = 1 - X từ' phương trình đâu và thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: -X + 28 x + 3 -<=> (x + 3)^(4-x)(x + 12)=28 -X. <=> ’(x + 3)(28-x)>0 (x + 3) 2 (4-x)(x + 12 ) = (28-x)“ x = V3Ĩ-3 _ X = 4 V 2 - 4 ’(x + 3)(28-x)>0 X 2 +6x-22Ì(x 2 + 8x-16| = 0 = V3Ĩ-3,y = 4-V3Ĩ . = 4 V 2 - 4, y = 5 - 4 V 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x;y) = (V3Ĩ -3;4 - V3Ĩ);(4V2 -4;5 - 4 V 2 ). _ Í2x 3 +y(x + l) = 4x 2 Bài 27. Giải hệ phương trình < v ’ [5x 4 -4x 6 =y 2 Lời giải Nhận thây X = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. 4x 2 -2x 3 Rút y =- x + 1 -từ phương trình đầu thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 5x 4 -4x 6 = 4x -2x x + 1 <=> X (x-l)(2x-l)( -1 ){2x z + 7x + ll=0<=> X = 0 X = 1 : 1 X = — 2 X = 0,y = 0 x = l,y = 1 1 1 x = —,y = — 2 2 1 1 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = (0;0);(l;lỊ; 2'2 Bài 28. Giải hệ phương trình |x 2 -2xy + x + y = 0 |x 4 -4x 2 y + 3x 2 + y 2 =0 Lời giải 1 Nhận thấy x = 2 không thỏa mãn hệ phương trinh. 185 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 V , X 2 + X Xét X ^ -7 từ phương trình đâu của hệ suy ra y = - 7 ——- . 2 ' 2x-1 2 X + X Thay y = 77 ——- vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 x -1 4 . 2 x~ + X 2 X 4 - 4x~ ■ _ +3x~ + 2 x-l X +x 2 x-l = 0 . <=> X X- (x-l)(x- 2 )Ị 2 x 2 + lỊ = 0 X = 0 X = 0,y = 0 <=> I X = 1 X = l,y = 2 . X = 2 X = 2,y = 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = (0;0);(l;2);(2;2). Bài 29. Giải hệ phương trình IX 4 + 2 x 3 y - 2 x 2 y 2 - 12 xy 3 + 8 y 4 +1 = 0 Ỉ 2 x 3 y + y 4 =1 Lời giải Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 4 + 4x 3 y - 2x 2 y 2 - 12xy 3 + 9y 4 = 0. <=> (x 2 + 2xy - 3y 2 Ỵ - 0 <=> X 2 + 2xy - 3y 2 = 0. Ta giải hệ phương trình: |x 2 +2xy-3y 2 =0 | 2 x 3 y + y 4 =1 y = x X = -3y <=> 2 x 3 y + y 4 =1 1 1 x =—,y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x;yj: 4/34/3 ... / \ f_L._Llf__L.__L' " ghiệm:(x;y)= [j ; rìJri : "à xy + 3 = yVx 2 + 3 y 2 + 4x + 2(x-l)Vx 2 -2x + 4 =2x 2 +5 T « 2 * Bài 30. Giải hệ phương trình Lời giải Cách 1: Hệ phương trình đã cho tương đương với: y|Vx 2 +3 -xj = 3 2 + 4x + 2(x-1 )x/x 2 -2x + 4 = 2x 2 + 5 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y = Vx +3 + x y 2 + 4x + 2(x-ljVx 2 -2x + 4 =2x 2 +5 y = \jx 2 +3 + x Ị^x + \Jx 2 +3 j +4x + 2(x-l)\/x 2 -2x + 4 =2x 2 +5 y = Vx+3+x 4x - 2 + 2x^x 2 + 3 + 2(x -1) Vx 2 -2x + 4 = 0 (1) Xét phương trình (1): 4x - 2 + 2xVx 2 + 3 + 2(x -1) Vx 2 - 2x + 4 = 0 . <=> X + xVx 2 +3 = 1 -X + (l-x)^(x-l)' +3 (2). Xét hàm số f(t) = t + tvt 2 +3 trên R, ta có: ị— - t 2 f’(t) = 1 + Vt 2 + 3 + , r> 0,Vt G R nên f(t) là hàm đồng biến ưên Vì vậy (2) <=> f(x) = f(l - x) <=> X = 1 - X <=> X = Ỷ => y = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = V Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 1 1 + VÕ 1 1 + VĨ3 y = x + Vx~+3 y = x + Vx +; y 2 = Ậl-xỴ +3 +1-X íx + yjx 2 + V / íl-xì+3 + l-x Nhân xét : X + Vx 2 + 3 > 0 ,J( 1 - x)“ + 3+ l- x>0dođó x +Vx 2 + 3 ì = J(l-x)~ +3 + 1-X <=> X + 'Jx*+3=\ị(ỉ -xì” +3 + 1-x , . I I I \ 13 <=> X = 1 - X <=> X = => y = —. 2 2 v x 2 +3y = 9 Bài 31. Giải hệ phương trình { m m ỉm ầVMy 187 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải 9 _ X 2 Rút y = —từ phương trình đâu thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 9-x- V 3 , + 4(2x-3) 9-ý V 3 , -48. 9-x 2 -48x + 155 = 0. «• X 4 - 18x 2 + 36x -18 - 0 X 4 = 18(x -1) 2 . <=> X 2 =3yÍ2(x-ì) X 2 = -3^(x-l) <=> 9 + 6 V 2 x S ± ' 9 - 6 V 2 Chò Sề 6, KỸ THUẬT PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP , ÍF(x,y) = 0 Hệ có dạng < [G(x,y) = 0 Trong đó có một phương trình của hệ đưa được về phương trình tích. Chẳng hạnF(x,y) = f(x,y).g(x,y) là một đa thức phân tích được thành nhân tử. Thông thường F(x,y)là phương trình bậc hai hai ẩn hoặc là phương trình đẳng cấp tìm được mới liên hệ giữa các biến trong phương trình. Một sô" tích hay gặp: a + b = l + ab«(a-l)(b-l) = 0 au + bv = ab + uv <=> (a - v)(b - u j = 0 Khi đó hệ phương trình tương đương với: jf(x,y).g(x,y) = 0 íf(x,y) = 0 íg(x,y) = 0 [G(x,y) = 0 [G(x,y) = 0 V ỊG(x,y) = 0' Phương pháp phân tích thành nhân tử đối với phương trình bậc hai hai ẩn Phương trình bậc hai hai ẩn có dạng: F(x,y) = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 . Viết lại phương trình dưới dạng: ax 2 + (by + d)x + cy 2 + ey + f = 0. Coi đây là phương trình bậc hai ẩn X và tham sô" là y ta được: A = (by+ d)" -4Ỉcy 2 +ey + fỊ = (my + p)" ■ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy ra X = - -(by + d) + my + p 2 a -(by + d)-my-p 2 a -(by + d) + my + p Ị -(by + d)-my-p X------- 2 a V 9 X - V 2 a / Do đó F(x,y) = a Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: -(by + d) + my + p ( -(by + d) - my - p X - - - ---- 2 a V 9 X - V 2 a / G(x,y) = 0 Đối với phương trình đẳng cấp bậc cao các em xem thêm hệ đẳng cấp trong cùng cuốn sách. Chứ ý: Dấu hiệu nhận biết đưa về tích đôi với phương trình của hệ. - Hệ có một phương hoặc hai phương trình bậc hai(nhưng nhớ là có thể là bậc bôn hoặc bậc sáu vì bằng phép đặt X = t 2 ,x = t 3 đưa phương trình bậc hai về phương trình bậc cao hơn). - Hệ có phương trình đẳng cấp. - Hệ có một phương trình có dạng tích L 1 V - Av - Bu + AB = 0 . - Hệ có một phương trình là hằng đẳng thức dạng ... - Hệ có một phương trình chứa căn( thường đưa về nhân tử chung bằng phép đặt ấn phụ; phép nhân liên hợp hoặc đánh giá hàm số). Nhận xét. Ngoài ra nếu thành thạo sử dụng máy tính cầm tay ta phân tích phương trình thành nhân tử hết sức đơn giản: Một ví dụ phân tích thành nhân tử bằng máy tính Bỏ túi: x 3 -3x 2 +2-íy 2 -3Ìy = 0(l). Ta cần tìm mối liên hệ giữa X và y thông thường sẽ chúng sẽ có dạng tuyến tính y = ax + b. + Bước 1: Nhập vào máy số 1000 và lưu vào biến nhớ A(SHIFT + STO + A). + Bưức 2: Nhập vào máy tính phương trình (1) với chú ý ở đâu có y ta thay bằng biến nhớ A vừa lưu. + Bưđc 3: Giải nghiệm trên máy (SHIFT + SOLVE). ■^B ự ác 4 UVláy : hiêm^ết quả ipifch X = v~fc l- ™ gggg ™sssssi saaagg™ 189 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy ta viết lại phương trình dưới dạng: X 3 -3x 2 - y 3 - 3y = 0 <=> X 3 -3x 2 -(y + 1 Ị 3 + 3(y + lỊ 2 = 0 <=>(x —y—l) x 2 +x(y+lỊ + (y+lj — 3(x-y-l)(x + y +1) = 0. ? 2 V <=>(x-y-l) X 2 +xỊy+1 j + (y+1Ị -3x-3y-3 =0 \ ) Như vậy nếu sử dụng thành thục máy tính Bỏ túi các bài toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số việc tìm ra hàm đặc trưng khá đơn giản. B. BÀI TẬP MẦU _ Bài 1. (TSĐH Khối A 2011) Giải hệ phương trình: 5x 2 y - 4xy 2 + 3y 3 - 2(x+y) = 0 ị , . , ,(x,y e RỊ xy|x 2 + y 2 Ị + 2 = Ịx + y)" Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 5x 2 y-4xy 2 +3y 3 -2(x + y) = 0 5x 2 y-4xy 2 +3y 3 -2(x + y) = 0 xyỊx 2 +y 2 Ị + 2-Ịx 2 + y 2 Ị-2xy = 0° (xy-l)Ịx 2 +y 2 - 2 ) = 0 í 9 o 1 xy = 1 5x 2 y-4xy 2 +3y 5 -2(x + y) = 0 j 5x 2 y _4 xy 2 +3y 2 _ 2 ( x +y ) = 0 Hr*y=i «■ .2. 2 1 2 2 x +y =2 + y |5x 2 y-4xy 2 +3y 3 -2(x + y) = 0 xy = 1 ' 5x 2 y 2 - 4xy.y 2 + 3y 4 - 2Ịxy + y 2 Ị - 0 <=> } ịx 2 +y 2 -2 3yỊx 2 + y 2 j + 2x 2 y-4xy 2 -2(x + y) = 0 190 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> Ịxy = l [3y 4 -6y 2 +3 = 0 I X + y 2 = 2 <=> 6y + 2x 2 y-4xy 2 -2(x + y) = 0 I X = 1 [y=i íx=-l [y—1 [x 2 +y 2 =2 (l-xy)(2y-x) = 0 <=> I X = 1 [y = i Íx=-1 y=-i v< y = 2VĨQ 5 , Vĩõ X = — 2 VĨQ 5 Vĩõ Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: A 2VĨÕ. VĨÕ\ f 2VĨ0 Vĩõ (x;y) = (-l;-l);(l;l); Bài 2. Giải hệ phương trình |y- =(5x + 4)(4-x) ly 2 -5x 2 -4xy + 16x-8y + 16 = 0 Lời giải Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: y 2 -(4x + 8)y-5x 2 +16x + 16 = 0. Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là y ta được Ay = (4x + 8) 2 - 4 Ị- 5 X 2 + 16x + 16Ì = 36x 2 . 4x + 8 + 6x Suy ra ■ = 5x + 4 2 4x + 8 - 6x y = -—- = 4 - X THI: Vơi y = 5x + 4 , thay vào phương trình đầu của hệ ta được x = 0=>y = 4 4 x(5x + 4) = 0 <=> TH2: Với y = 4 - X , thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được x = -- 7 =>y = 0 5 191 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x(4-x) = 0<íí> x = 0=>y = 4 x = 4=>y = 0 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;4),(4;0Ị,Ị^-—;0 Nhân xét: Đây là dạng hệ phương trình bậc hai hai ẩn đã được bàn tới ta hoàn toàn xử lý bằng phương pháp đã trình bày trong chủ đề trước. Bài 3. Giải hệ phương trình I X 3 - 4y 3 = 6x 2 y - 9xy 2 [^/x + y 4-^/x-y =2 Lời giải Điều kiện: IX + y > 0 1 X - y > 0 Nhân xét: Hệ có phương trình đầu là phương trình đẳng cấp nên ta xử lý phương trình này trước tiên. X 3 -4y 3 =6x 2 y-9xy 2 <=>(x-4y)|x 2 -2xy + y 2 j = 0. <=> (x-4y)(x-y) 2 = 0 <=> X = 4y x = y THI: Nếu X = y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: \fĩx = 2<=>x = 2=>y = 2. TH2: Nếu X = 4y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: yjĩỹ + yịĩỹ = 2 <=> y = 8 - 2 VĨ 5 =^> X = 32 - 8 -VĨ 5 ". Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;2);|32 - 8Vk5;8 - 2VĨ5 j. __ xy + x + y = X 2 -2y 2 Bài 4. (TSĐH Khối D 2008) Giải hệ phương trình ị r — [x^2y -yVx-1 = 2(x-y) Lời giải Điều kiện: X > l,y > 0 . Nhân xét: Rõ ràng phương trình thứ hai chứa căn có dạng phức tạp ta không xử lý được gì nên tập trung nghiên cứu phương trình đầu của hệ có dạng bậc hai. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 192 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x + y) z -(x + y)-3y 2 -3xy = 0 <=> (x + y)(x-2y -1) = 0 <=> I x ^ 1 Do X > l,y > 0 nên X = -y vô lý. Vậy X = 2y + 1 thay vào phương ưình thứ hai của hệ ta được: (2y + l) ^2y-y^2y = 2y + 2 <=> (y + ì^ị^Ịĩỹ -2^ = 0 <=> y = 2 (do y > 0 ). Suy ra (x(ỹ) = (í) Ị^lầ nghiệm của hệ pòlĩỡng trình. Bài 5. (TSĐH Khôi B 2013) Giải hệ phương trình 1 2x 2 + y 2 -3xy + 3x -2y + 1 = 0 / \ ì ' Ị - Ị -,|x,y e RỊ. [ 4x 2 — y 2 + x + 4 = y 2x + y + y X + 4ỵ Lời giải Điều kiện: 2x + y > 0,x + 4y> 0. Thực hiện tương tự các bài toán trên ta viết lại phương trình đầu của hệ dưới y = X +1 y = 2x + í + THI : Nếu y = X + Ithay vào phương trinh thứ hai của hệ ta được: 3x 2 - X + 3 = V 3x — 1 + v5x <=> 3ỈX 2 dạng: 1 y - X - I )Ịy- 2x - lỊ = 0 <=> o X 2 - X = 0 <=> lx -x + 3 = V3x+1 + V5x + 4- ?Ịx 2 - XI + Ịx +1 - yj'3x +11 + Ịx + 2 - \/5x + 41 = 0. 1 \{ \ I 3 « x 2 -x 3 +- ■ +- -Ị— =0. I x + l + v3x + l x + 2 + v5x + 4/ X = 0 Jx = 0.y = l => . X = 1 [x = l,y = 2 + TH2: Nếu y = 2x +1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: <=>3x + |V4x + 1-iỊ + ỊV9x + 4-2Ị = 0 . 4 9 "ì <=>X 3 + -Ị -h Ị — =0ox = 0=>y=l. c v4x + l + l v9x + 4 + 2y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là I x;y j = Ịo; 1 j;Ị l;2j. 193 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận xét: Như vậy mâu chốt của bài toán là đưa về giải một phương trình vô tỷ bằng phép nhân liên hợp. Các năm gần đây Bộ giáo dục vào đào tạo rất hay đưa bài toán giải hệ phương trình về một bài toán giải phương trình vô tỷ bằng cách nhân liên hợp. Để chi tiết thêm về phương pháp bạn đọc tham khảo Cuôn “ Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh Phương trình, bất phương trình vô tỷ” cùng tác giả. Lời giải Điều kiện: X & 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: (xy + 2) + —— = 2.—^——<=> xy + 2- — = 0 <=> xy + 2= 0 <=> y ----- X 2 X V x) X X 2 X Thay y = —- - — vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X 2 X Lời giải Phương trình thứ hai nhất của hệ tương đương với: X 2 + 2x + x 2 y 2 - 2xy +1 - 2x 2 y = 0 <=> (xy - x) 2 - 2 (xy - x) +1 = 0. <=> (xy - X -1)- = 0<=>xy-x-l = 0=>y = x + - (do X = 0 không thỏa mãn hệ v ’ X p^^Mỉtrì^. 194 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X + 1 9 Thay y = —— vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X (x + l) 3 +3x 'x + p V x J -7 'x + p V x ) 3 = lox 3 |x+lỊ 3 + 3x 2 (x + l) 2 -7(x + l) 3 =x 3 \ 3 3 <=>(x(x + l) + l) =8(x + l) <=>x 2 +x + l = 2(x + l). <=>X-X-1 = 0<=> X = - 1-V5 2 I + V 5 X = I-V5 .. I-V5 2 ,y ~ 2 I + V5 I + V5 = —r L -,y = —r- Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: ' 1 - Vĩ .1-VãỊí 1+75.1+75 M= Bài 8. Giải hệ phương trình 2 , ..2 , 8xy X +y + J = 16 X + y X- X 2x _ 8^ + T = ^ +T_Z Lời giải __3 __2 V X J X Điều kiện: X + y ^ 0,y ^ 0,— + — > 0 . 3y 4 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: X 2 2x y X 3 X 2 X 2 4x + 3y X 2 í — + — + — = — + — 0 — + ————= 1— 8y + 3 + 2 V 3y + 4 8y 6 3y 3y X 4x + 3y 8y + 6 \2 X 4x + 6y = 4^-. —- <=> 8y 8 X 4x + 3y 8y 6 x + V - J \2 = 0 . _2 X 2 4x + 6y 8y 8 ^ x^ = 4x + 3y ^ 3x 2 = 2y(4x + 3y)« 8y 6 1 ’ x = 6ỵ 3x = -2y THI: Nếu X = 6y thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 36y 2 + y 2 + 48y = 16 <=> Vy 28 y_ 37. y = 168 28 x_ 37 ,y_ 37 24 4 x = —,y = — 7 7 195 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH2: Nếu 3x = -2y thay vào phương trình đầu của hệ suy ra: (x;y) = (-8;12); _ 8 _ 12 Ĩ3 ;_ Ĩ3 Đôi chiếu lại điều kiện chỉ nhận hai nghiệm (x;y) = (-8;12); 24 4 7 7 , , , , (24 4' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;yj = (-8;12j ;\ ■ V ' ' V Bài 9. Giải hệ phương trình Vx-5 + ^2y-4 - X -y +1 8^y(x-2) + 4-8y = (y-x) 2 Lờ/ giải Điều kiện: X > 5,y > 2 . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: 8^/xy - 2y + 4 - 8y = X 2 - 2xy + y 2 <=> 4(xy - 2y) + 8^/xy-2 + 4 = (x + y ) 2 <=> |2^/xy-2y + 2 j = (x + y)~ <=> 2^/xy -2y + 2 = X + y (do 2^/xy-2y + 2>0,x + y >0). Vì vậy hệ phương trình trở thành: 2^xy-2y + 2 = x + y x-2-2yỹ(x^2Ị + y = 0 [Vx-5+-y/2y-4 = x- y + l Vx--5" + ^/2y-^ĩ = X - y +1 (Vx -2 - Vỹ) =0 ÍVx -2 =7ỹ V^5+V2jTl4=x-y + l ỊV^5 + V2y-4=x-y + l fy = X -2 íy = x-2 fx = 6 Vx-5 +^2y-4 = X - y + 1 [Vx-5 + V 2 X -8 =3 |y = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (6;4). 3y 2 +1 + 2(x + l)y = 4yựx 2 +2y + l y(y-x) = 3-3x Lời' giải Điều kiện: X 2 + 2y + 1 > 0. 196 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: 4y 2 - 4y ^x 2 +2y + 1 + X 2 + 2y +1 = X 2 - 2xy + y 2 . 2y - -Jx 2 +2y+ 1 = X - y «• Ị^2y - ^x 2 +2y + l J = (x - y) 2 2y - yjx 2 +2y+ 1 = y - X THI: Nếu 2y - ^x 2 +2y + 1 = X - y kết hợp với phương trình thứ hai ta có hệ phương trình: 3y-x = i/x 2 + 2y + 1 y(y-x) = 3-3x 3y-x>0 3y-x>0 9y 2 - 6xy - 2y -1 = 0 <=> \ 9y 2 - 6xy - 2y -1 = 0 y - xy + 3x - 3 = 0 X = 1 3y - X > 0 3y -2y-18x + 17 = 0 - 2 3y -2y +17 , 9 y -y.—-22-2y-l = 0<=> 3y 2 -2y +17 18 y=i y = ■ 62 + 4VĨ78 9 13 + VĨ78 TH2: Nếu 2y - a/x 2 +2y + 1 = y - X kết hợp với phương trình thứ hai ta có hệ phương trình: f__.__-s.rv r- x = l,y = l 2 l + v/ĩõ ■ ị—) X + y > 0 x+y=Jx +2y+l '•y 3 v J <^>\ y + 2xy-2y-l = 0<=> y(y-x) = 3-3x t V / y -xy + 3x-3 = 0 x = -,y = 3 3 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (l;l); 62 + 4v/Ĩ78 13 + VĨ78" / 2.1 + Vữr l » : 3 ; ’ 3 ’ 3 V 7 Bài 11. Giải hệ phương trình < (x + y + lWx-y +2y+2=0 / 2 V 2 ,(x,yeR). (x 2 +2)(x-y-3) = y 2 +2 Phân tích tìm lời giải: Ta sẽ phân tích phương trình đầu của hệ suy nghĩ tự nhiên nhất là đặt Ị a ^ ỹ,(a > o) = [b = x + y a 2 + b y = - b-a 197 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành: (b + l)a + b-a 2 +2 = 0 «a 2 -(b + l)a-b-2 = 0 (1) . Ta có (1) là phương trình bậc 2 của a có A a =(b + + 4(b + 2) = (b + 3 )". b +1 - (b + 3 ) _ _ b + l + b + 3 2 Suy ra a =-^-- = -lhoặc a = - ' " , ~' =b + 2. Do vậy viết lại phương trình thứ nhất dưới dạng: (a + l)(a- b-2) = 0 <=> Ụx-y + l ] jỤx-y -x-y-2^ = 0 . Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Ịx + y + 2-^/x-yỊỊ^/x-y + lỊ = 0 cH cH (x 2 +2)(x-y-3) = y 2 +2 x 2 -y 2 =(x-y)(V^ỹ-2) (x 2 +2)(x-y-3) = y 2 +2 Ậ x -yf + 2 (x-y) X + y + 2 = tJx - y ^ < (x 2 +2)(x-y-3) = y z +2 2 _ 2 y =x Ịx 2 +2)(x-y-3) = x 2 +2-y(x-y ) 3 +2(x-y) y 2 =x 2 -yj(x-yf +2(x-y) X 2 (x - y - 4 ) + ^Ịx — yỹ -8 = 0 V( x -y ) 3 + 2 (x-y) X - y + 2^/x-y + 4 „2 _ 2 y - X (x-y-4) Vx-y + 2 <=> x_y = 4 «í x = 3 |x + y = 2 ly = -i’ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (3;-l). Nhân xét . Cách khác xem chủ đề Kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ Bài 1. (TSĐH Khối D 2012) Giải hệ phương trình: fxy + x- 2 = 0 [2x 3 -x 2 y + X 2 + y 2 -2xy -y = 0 Lời giải Bài toán này đã được nhắc đến trong chủ đề phương pháp thế. Tinh ý ta phân tích được phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: Ịx 2 - y j( 2 x - y +1) = 0 <=> y = x _y = 2x +1 Xét từng trường hợp kết hợp với phương trình đầu của hệ tìm được các nghiệm: (x;y) = (l;l); 1 + V5 ;-yJs -I + V5 ;V5 y 2 =(x + 8)Ịx 2 +2) |y 2 -(s + 4x)y-5x 2 + 16x + 16 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 00 + X II crì |(x 2 +2Ị - y 2 =(x + 8)(x 2 +2) o X I II v <=> (y-5x-4)(y + x-4) = 0 < y 2 =(x+s) l(x 2 + 2 ) y = 5x + 4 - x = 0,y = 4 X = —2,y = 6 x = -5,y = 9 X = 19,y = 99 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (x;y) = (0;4);(-2;6);(-5;9);(l9;99). X 2 - 3x = y 2 - y - 2 (x + y)Vx 2 -4x + 5 = ( 2 -x)-J(x + y)“ +1 r Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: X 2 - 3x + 2 = y 2 - y <=> ' o 2 v y 2 y f 3^ 2 X —— V <=> y = X -1 y = 2 -X 199 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét từng trường hợp và thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được các nghiệm: (x;y) = (0;2);(l;0). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;0);(2;0). V 'x 2 + 2y + 3 + 2y - 3 = 0 Bài 4. Giải hệ phương trình < 2 Ịx 3 +2y 3 j + 3y(x + l) +6x 2 + 6x + 2 = 0 Lời giải Điều kiện: X 2 + 2y + 3 > 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: 2x 3 + 6x 2 + 6x + 2 + 4y 3 + 3y (x +1) 2 = 0. <=> 2(x +1) 3 + 3y (x +1) 2 + 4y 3 = 0 o (x +1 + 2y)^2(x +1) 2 - y(x +1) + 2y 2 ] = 0 <=> 2y = -x-l ,2 2(x + l) -y(x + l) + 2y 2 =0 <=> 2y = -X -1 7 ly=0 THI: Nếu (x;y) = (-1;0) thử lại thấy không thỏa mãn. TH2: Nếu 2y = -X - 1 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: , “77 _ . , _ _ 14 5 X -x + 2 = x + 4<=>x = -—=>y = -. 9 8 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ■ 14 5 ’ 9 ’ 8 Bài 5. Giải hệ phương trình < X 3 + 2x 2 y - 3xy 2 + xy + X - 2y = 2y 2 (5y + 1 ) /o \2 . \/o \ * Ịx 2 +17y + 12 = 4(x + y + 7)Ịx 2 +3x + 8 y + 5 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: (x-2y)Ịx 2 +4xy + 5y 2 + y + lj = 0. <=>(x-2y)Ị^(x + 2y) 2 + y 2 +y + l1 = 0<^>x = 2y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 200 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ị4y 2 + 17y + 12Ị 2 =4(3y + 7)Ị4y 2 +14y + 5Ị<=>Ị4y 2 +lly-2Ị 2 =0. II + 3VĨ7 r II + 3VĨ7 II + 3VĨ7 y =-—— 1 — x =-—-,y =-—— 1 — 8 ^ 4 8 -II + 3VĨ7 -II + 3VĨ7 -II + 3VĨ7 8 L 4 8 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: / X í II + 3VĨ7 II + 3VĨ7\f-ll + 3VĨ7 -ll + 3y/ĩĩ' V A 7 __ fx 2 +9](x 2 +9y] = 22(y-l) 2 Bài 6. Giải hệ phương trình < ' ' ' . X 2 -2 = 4y^/y +1 Lời giải Điều kiện: y > -1. Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng: (x 2 +9)(x 2 +9 + 9(y-l)) = 22(y-l) 2 . «• (x 2 + 9Ị 2 + 9(y - l)(x 2 + 9) -22(y -1) 2 = 0 (1). Coi (1) là phương trình bậc hai với ẩn là X 2 + 9 và tham số là y , ta được: A 2 9 =8l(y-l) 2 +4.22(y-l) 2 =169(y-l) 2 . Suy ra X 2 = 2y -11 hoặc X 2 = -1 ly + 2 . THI: Nếu X 2 = 2y -11 thay vào phương trình thứ hai ta được: 2y-13 = 4yV^Ĩ. Phương trình này vô nghiệm vì để phương trình có nghiệm ta có 2y-13>0^y>y^4yựỹ+ĩ>2y>2y-13. TH2: Nếu X 2 = -1 ly + 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: -1 ly = 4y-y/y +1 <=>y = 0^>x 2 =2<=>x = +V2 . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = í±V2;ơj. <=> 4y 2 + lly-2 = 0<=> 201 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 7. Giải hệ phương trình 1 x + y = 2 4x 2 + y 2 -ỡ(2x y) X :y Lời giải Điều kiện: xy > 0 . Rõ ràng hệ này có một phương trình bậc nhất nên thế. Tuy nhiên nếu để ý phương trình thứ hai: 4x 2 + y 2 =5(2x-y)7xỹcí>(2x-y) 2 -5(2y-y)7 <=>(2x-y-^/xỹ)(2x-y-4^/xỹ) = 0<=> y A v A ’ L 2x- y- 2 Tới đây thực hiện xét trường hợp và thế từ phươns / trình trên dễ dàng tìm được nghiệm (x;y) = - V r ta có thể xử lý bằng phép xy + 4xy = 0 . fiỹ = 0 lựxỹ^O Ị trình đầu vào hai phương 25 + 8^6.28-8^6 " 25 ’ 25 Bài 8. Giải hệ phương trình < (x - y)Ịx 2 + xy + y 2 + 3 j = 3^x 2 + y 2 j + 2 4Vx + 2 + ^16-3y = x 2 +8 Lời giải ló Điều kiên: x>-2,y< —. 3 Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: x 3 -y 3 +3(x-y) = 3x 2 +3y 2 +2«(x-l) 3 =(y + l) 3 «x = y + 2. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4 A /y + 4 + ^/l6-3y =(y + 2) 2 +8. Để giải phương trình vô tỷ trên ta dùng kỹ thuật nhân liên hợp tìm được nghiệm y = 0,y = -3 . Hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;0);(-l;-3). Bài 9. Giải hệ phương trình < 3y 2 + l + 2(x + l)y = 4y y(y-x) = 3-3y \Ị X 2 +2y + l Lời giải Điều kiện: X 2 +2y + l>0. 202 Wm>. Wm #11H m ilyl Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: 4y 2 - 4y^/x 2 +2y + 1 + X 2 + 2y +1 = X 2 - 2xy + y 2 . «^2y-Vx 2 + 2y + lj 2 =(x-y) 2 2y-A/x +2y + l=x-y <^> v _ 2y - Jx 2 +2y+ 1 = y - X Xét trường hợp và kết hợp với phương trình thứ hai của hệ tìm được ^-^.^ 415.171 415 17 ~5Ĩ’Y ' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l);í X 2 + y 2 + x = 3 Bài 10. Giải hệ phương trình ị , 0 2xv X 2 - 4y 2 + — = -1 x + y-1 Điều kiện: X + y -1 ^ 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: (x + y -l)(x 2 -4y 2 j + X + y + 2xy + 1 = 0. «(x + 2y-l)(x 2 -xy-2y 2 +y + l) = 0« x + 2y 10 v ’ |_ x 2_ xy _2y 2 + y + l=0 Xét trường hợp tìm được các nghiệm của hệ phương trình là /.\ ,w 11 17\ í I + 2 VĨ 4 3 + VŨ\ v y V Lời giải Điều kiện: X * 0,y > -3,4y - X > 0 . 203 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình đã cho tương đương với: y+3+^y+3 3(4y-x) = x 2 -2x74y 7_ / J\2 x 2 -x yỹ+3+y = x-i Bạn đọc tự chia trường hợp và giải tiếp tìm được: 18 Bài 12. Giải hệ phương trình < [x 2 +r+ 2xy =i x + y Ậ + y = x 2 -y Lờí giải Điều kiện: X + y > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x + y)( x 2 +y 2 Ị + 2xy = X + y . (x + y)Ịjx + y) 2 -2xyj + 2xy-x-y = 0 . (x + y)(x + y-l)(x + y +1)-2xy(x + y -1) = 0. <=>(x + y-l)Ịx 2 +y 2 + x + yj = 0<=>^~ y_ <=> <=> x 2 +y 2 +x + y = 0 Vì x + y>0^>x 2 +y 2 +x + y>0dođó X + y = 1. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: M Ly = 0 X + y = x‘ - y I I X = -2 ịy = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;0];(-2;3). Ịx + y = 1 u <=> Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Thực hiện tương tự bài trên đưa về giải hệ phương trình: jx + y = 1 jy = l-x y = 1_x Jx = l |x 3 -y 2 = VĨTT7 ^ {x 3 - (1 - x ) 2 - 1 = 0 ^ {(x - l)(x 2 + 2 ) = 0 ^ |y = 0 ' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;0). Lời giải Điều kiện: X - y 2 > 0,x 2 y 4 + 2xy 2 - y 4 + 1 > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình nên chia hai vế phương xy 2 +1 trình trên cho V và đặt t - —ta được: y 2 1 - - , ^ [t>3-V2 Vt 2 -l=2t-2 3 -V 2 0-1 n , r-\ ! rt2»t=3. 1 1 Ịt 2 -1 = 4t 2 - 8t (3 - V 2 ) + 4 (3 - V 2 ) Vậy hệ phương trình tương đương với: Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = (2;-l);(2;l);Ị^4-V2;-VV2+l¥4-V2;VV2 + lj. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x-2y)Ịx 2 -xy + y 2 Ị + 3(x-2y) = 0 < __ 2x 3 =(l + 4y-3x 2 ) ,/2x + l *v/ r íx = 2y oi (x-2y)íx 2 -xy + y 2 +3Ì = 0 íl + 4y-3x 2 í 2x 3 = oi X = 2y x - 2) 2x 3 = Ịl + 2x -3x 2 j-/2x + 1 ” 2x 3 + x = 2y V (x + V2x + 1 j ^2x + sỊlx +7j = 0 x = ỉ-^,y = 2-2yÍ2 l-Vs ỉ-xís ■ X — ,y =—T~ 4 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: /2x +1 2x 3 + 3x 2 '\/2x +1 - Ị \/2x +1 j = 0 ‘ -x-2y x +V2x + 1 = 0 2x + V 2x + 1 = 0 <=> Bài 16. Giải hệ phương trình < X 3 -3x 2 y + 4y 3 =4(x-2y) 2 V x + y + V x_ 2y =3 Lở/ giải Điều kiện: x + y>0,x-2y>0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y)Ịx 2 -4xy + 4y 2 j 1 1 II TT ị to '< IO X = 2y x + y = l <=> ' <=>< _v x + y+v x_ 2y =3 yjx + y + yjx-2y =3 1 Ị X = 6 [y=3 [x = 2 y=-i Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (6;3);(2;-l). y 4 - 2xy 2 + 7y 2 = -X 2 + 7x + 8 ^3y 2 +13 = VĨ5 - 2x + Vx+T 206 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: -1 0,y < l,x < 5 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: x + y <5 «■< [ 2 ^/xy-y =5-x-y [yl5-x+Ạ-y =1 <=> • x + y <5 X 2 + y 2 - 2xy - lOx - 6y + 25 = 0 <=> 2 ^/ 5 -x-5y + xy = X + y - 5 [x = 5 [y = o' 4 (xy-y) = 25-10(x + y) + x 2 +y 2 +2xy. [ó - X - y + 2 ^/ 5 -x-5y + xy = 1 x + y = 5 X 2 + y 2 - 2xy - lOx - 6y + 25 = 0 2 ^/ 5 -x-5y + xy = X + y - 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;0). Bài 19. Giải hệ phương trình X- 2y = sỊxỹ V^T-723^1 = 1' Lời giải Điều kiện: x>l,y>^-. Hệ phương trình đã cho tương đương với: 207 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x-y-(y + Vxỹ) = o (Vx + Vỹ)(Vx-2^/ỹ^Ị = 0 yịx-ĩ-yj2ỹ-ĩ = l yíx-ĩ-yỊĩỹ-ĩ = 1 ị X = 4y ị X = 4y íx = 4y íx = 4y [ x = 2 , _ [ x = 10 [V4y-l = l + V2y-l [4y-l = 2y + 2V2y-l Ịy = ^ Ịy = Lờí giải Điều kiện: X + y > 0,y > 1 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: jx 2 +4y 2 =5 Ị(x + y) Vỹ-Ĩ - Vỹ-Ĩ - (y -1) v*+ỹ + v*+ỹ = 0 ^ x 2 +4y 2 =5 fx 2 +4y 2 =5 Ị(V x +yVỹ-ĩ + 1 )(V x+ y-Vỹ-ĩ) = 0 lV x +y =>/ỹ-ĩ íx 2 +4y 2 =5^ x = -l,y = -l Ịx = -1 x = l,y = l Đôi chiếu với điều kiện suy ra (x;y) = (l;l). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Hêmto|p&rììnhLđã cl^ươngđương yổk 208 ÌTm w ẾẾ Jplằ Irll m I (N Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: x + y>0,x-y>0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: ! x2+y2 ) 2=1 Ị(x 2 + y 2 ) 2 =l [x + y = l 2 \2 íx + y = 1 (( x + y) -2xyJ =1 | 4x2y2 . 0 X = o.y = 1 <=> <=> <=> x = l,y = 0 . x_y = l , x 7;‘ X = 0,y = -1 |((x-y) 2 + 2xyj=l LKy + 4xy=0 Đôi chiếu với điều kiện nhận hai nghiệm (x;y) = (0;lj;(l;0j. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;yj = (0;1 );(l;0). Bài 23. Giải hệ phương trình • 1 1 x--=y-- X y. X 3 =2y-l Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 209 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> |x = y |x 3 -2x + 1 = 0 1 y = -f X I í. _ x = y -1 x z +x-l =0 <=> X 4 + X + 2 = 0 |x = l y=i X = - -1 + 75 2 -l±7s Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: ^l + 7^.-l + 7Af 1 + Vs. 1 + 75 2 ’ 2 (x;y) = (l;l); V V Bài 24. Giải hệ phương trình [ X 3 - 3x 2 + X + 3y = xy + 3 12y 2 -9x 2 -3xy = y-3x Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: ,, X = 3 (x-3)Ịx 2 -y + lỊ = 0 (y-3x)(3x + 2y-l) = 0 <=> i X — y +1 = 0 y = 3x 3x + 2y-l = 0 <=> <=> jx = 3 jy = 3x |x = 3 [3x + 2y -1 = 0 jx 2 -y + l = 0 |y = 3x jx 2 -y + l = 0 [3x + 2y-l = 0 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: X = 3,y = -4 x = 3,y = 9 X = -ĩ,y = 2 15 x = --,y = — 2 4 (x;y) = (3;-4);(3;9) ; (-l;2);|-ỉ4 2 4 72x + l + 72y + l = ( x y ) (x + y)(x + 2y) + 3x + 2y = 4 210 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải . I 1 Điêu kiện: x>— -,y>— 2 2 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: X 2 +3(y + l)x + 2y 2 +2y-4 = 0<=> y = 1 - X X + 4 ■ y=- . THI: Nếu y = 1 - X thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: V 2x +1 + ^3-2x = ^2x-0 2 V 2 ) <=> 4 + 2 V 3 + 4x - 4x z = í 4x - 4x +1 \2 Đặt u = V 3 + 4x - 4x 2 đưa về phương trình bậc bôn với ẩn là u cuôi cùng tìm được hai nghiệm của phương trình là: 3^ ' 3 . rì 1 ĩ Ị v2 ; - -2- <=> X < —3 vô lý do X > -2-. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = _I-li.il._I 2 2 2 2 ■ V4x-3=(2y 2 + ll)(l7-y) + ^ y(y-3x + 3) = 5(3x + 2) Lời giải . , _ 3 Điều kiện: x>^,y>0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: (y + 5)(y-3x-2) = 0 < y -° » y = 3x + 2. Thay X = ~~ vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: ^4.^-3 =(2y 2 +ll)(l7-y) + Vỹ«^^-Vỹ - (2y 2 +1 1 ) ( 1 7 - y) 211 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> y-17 4y -17 3 •Vỹ = (2y 2 + ll)(l7-y) o(y-17) 4y —17 1 - + 2y 2 +11 +Vy <=> y = 17 =í> X = 5 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất. (x;y) = (5;\7 j . ĩ = 0 4x 2 =ÍVx 2 +1 + lVx 2 -y 3 + 3y-2) Bài 27. Giải hệ phương trình < / ( , 2 ^ x 2 + ( y + 1 Ị 2 =2 1 + 1 "* Lời giải Điều kiện: y itL 0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: (y + 2)|x 2 + y 2 -lj = 0<=> y=-2 x 2 +y 2 =l' THI: Nếu y --2 thay vào phương trình thứ nhât của hệ ta được: 4x 2 = X 2 í Vx 2 + 1 + lì <=> V ) |_X = ±2V2 Suy ra (x;y) = (O;-2);(-2^2;-2^;( 2 ^2;-2^. TH2: Nếu X 2 +y 2 = 1 => -1 < x,y < 1 . Khi đó phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: 4Vx 2 +l-x 2 +y 3 -3y-2 = 0. _ , . / 2 . , 2 4x 2 + 4 - X 4 Ta có: 4vx“ +1 -X" = 4 + X' : M) 4^x 2 +1 + X 2 4Vx 2 +1 + X 2 :4,Vxe Mặt khác: y 3 - 3y-2 + 4 = y 3 -3y + 2 = (y -l)“ (y + 2 ) > 0,Vy e [-l;l] • Suy ra 4Vx 2 +1 - X 2 + y 3 - 3y - 2 > 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = 0,y = 1. Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: (x;y) = (0;-2);(0;l);(-2V2;-2);(2V2;-2). Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 28. Giải hệ phương trình: X 5 +(7-4y)x 3 +(4-y)x 4 +(4-9y)x 2 +^4y 2 -6y+ 2)x-2y 3 +2y 2 -2y = 0 4^x + y 2 +l = 1 + 5x-2y 3 + 4y 2 -X 4 x/ Lời giải Điều kiện: X + y 2 +1 > 0 . Nhận xét. Việc phương trình đầu của hệ rất cồng kềnh có dụng ý của tác giả nên suy nghĩ ngay đến việc rút được y theo X và ngược lại. Viết lại phương trình thứ nhất của hệ phương trình dưới dạng: ( x - y)Ịj x +i) 4 + X 2 + y 2 + (y -1) 2 j = 0 <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4^x 2 +X + 1 = 1 + 5x - 2x 3 + 4x 2 - X 4 <=>Ịx 2 +x)(x 2 + x-5j + 4x/x 2 +x + l- l = 0. Đặt u = x/x“+x + l = , ' l' 2 x + — V 2 y 3 '\Ỉ3 + — > —-khi đó phương ưình trở thành: 4 2 (u 2 -l)(u 2 -6) + 4u-l = 0o(u 2 -u-l)(u 2 +u-5) = 0 1 + 4Ỉ u> £ u =- <=> xí X +X+1= -1 + V 21 2 I + V 5 y[: X +X+1= -I + V 2 T <=> - 1 ± V 3 + 2 V 5 - 1 ± X = 2 V 19 - 2 V 2 T 2 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: M- ( -1 + V f 3 + 2>/5 .-l±V '3 + 275 ( -l±v í 19-2x/2Ĩ_-l±V '19-2721 V 2 : 2 7 V 2 2 7 213 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 29. Giải hệ phương trình < , , 43 2xy 3 -3y 2 -4xy + ^ = 0 6 x 3 y + 3xy 3 + 5xy = 6x 2 y 2 + 2x 2 + y 2 + 1 Lời giải Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: (3xy - l)Ị2x 2 + y 2 + xy +1 j = 0 <=> xy = ^ . Vì 2x 2 + y 2 + xy +1 = 1 x + ị- V 2 7 + x 2 +^— + l>0,Vx,y ẽR. 4 Thay xy = Ỷ vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 0 0 43 2 0 - 1 4 43 2xy.y 2 - 3y 2 - 4xy + -^ = 0 <=> 4y 2 -3y 2 - „ + „ = 0 ■ 27 3 3 27 <=> 1 v __, _ 1 x= -‘' y= 3 .-1 „_ỉ X = Ly 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) ■ Bài 30. Giải hệ phương trình \ 1 í 1- l ) ( .r ) = 1 / 1 V 3J V % (xy + 1 j 3 + x(y - l) = X 3 -1 X 3 - 4xy -4 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (xy + l) 3 +xy + l = x 3 + x jxy + l = x <=> X - 4xy -4 = 0 [x - 4xy -4 = 0 x = -2,y = f x = 2,y = i Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = K) (,0 1 V Bài 31. Giải hệ phương trình 1 [2x 2 -x-y + 2 = yj [x 2 - y 2 +x-3y = : 2x + 2y + 3 + ^ 2 /4x + 2y + 6 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: 2x + 2y + 3 > 0,4x + 2y + 6 > 0 . Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: (x + y + 2)(x-y-l) = 0 <=> y = X -1 X + y = -2 Đôi chiếu với điều kiện suy ra y = X -1. Thay y = X -1 vào phương trình đầu của hệ ta được: 2x 2 - 2x + 3 = V4x +1 + Vóx + 4 . <=>2x 2 -4x = x/4x + l - (x + 1) + Ịa/6x + 4 - (x + 2)j. ( x " x ) 2 + yj4x + 1 + X + 1 + Vóx + 4 + X + 2 <=> <=> X -2x = 0 <=> x = 0 X = 2 x = 0,y = -l x = 2,y = l Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 1 (x;y) = (0;-l);(2;l). Bài 32. Giải hệ phi < rơng trình 7x 3 +y 3 +3xy(x-y)-12x 2 y 2 +7y-17 = 9x + 2(x + 6)^/ + 6x-l = 0 / 5-2y Lời giải Điều kiện: y < — . 2 Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: (2x - 1) 3 = (x -y) 3 <=> 2x -1 = X - y <=> X = 1 - y . Thay X = 1 - y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 2 + 7y-17 = 9(l-y) + 2(7-y)V5^. (l4-2y)íy 2 +16y-26)>0 ^y 2 + 16y-26 = (l4-2y)75-2y (y 2 +16y-2ó) 2 = (l4 - 2y ) 2 (5 - 2y) <=> < (l4-2y)(y 2 +16y-26)>0 1 'C II to li 1 y 4 + 40y 3 + 72y 2 - 160y - 304 = 0 00 m 1 II x = -l,y = 2 X = 39,y = -38 Wy l^ptoơnutrìnhró hai^htórn^^xỉy) 215 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 33. Giải hệ phương trình < (x + y) lo g 2 'h Ịx 2 +y 2 j + 2xy = x + y í + y = log 3 ( \/x 2 + y 2 + 1 -1 j r~ 1 ; Lồ ị giải Điều kiện: X + y > 0,x 2 + y 2 > 0. Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: (x + y-l)Ịx 2 + y 2 +x + yj = 0. THI: Nếu x + y = l<=>y = l- x thay vo phương trình thứ hai của hệ ta được: log 3 ^x 2 +y 2 + 1 - lj = 0<=>A/x 2 +y 2 +1 -1 = 1. <=> ^/x 2 + y 2 +1 = 2 <=> X 2 + y 2 = 3 . Ta có hệ phương trình: |y = 1 -X |x 2 +y 2 =3' <=>■ y = 1 - X X 2 + (l-x)~ - 3 = 0 <=> 1-V5 l + v/5 x = —-^—,y = 2 2 I + V 5 l-v/5 x= ,y = —— 2 2 TH2: Nếu X 2 + y 2 + x + y = Ovì do X 2 +y 2 > 0,x + y > Onên trường hợp này vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: l-yỈ5 1 + yỈ5\( I + V 5 .I-V 5 ' (x;y): 2 2 V y x + 3 = 2^(3y-x)(y + l) x + 5 xy-2y-2 Lời giải Điều kiện: X > -5,3y -X > 0,y > \. 3 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 216 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> (V 3 y-X - Vy + 1 )(V 3 y _x + 3 Vy +1 )= 0 <=> V 3 y _x =Vy +1 X= 2 y -1 Thay X = 2y -1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: -\/3ỹ"-2- y[ỹ+2 = 2y 2 -3y-2. <=> 2 ( y = 2 =^> X = 1. Do 2 2 2 . „ ỹ== -2y-l<-j==-2.^-l<0. V3y-2 + Vy + 2 L 2 3 2 + - Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;2). Bài 35. Tìm nghiệm hữu tỷ của hệ phương trình 3-\/l7x 2 -y 2 -6x + 4 + X = 6^2x 2 + x + y - 3y + 2 a/3x 2 +xy+ 1 = Vx + 1 Lời giải 17x 2 - y 2 - 6x + y > 0 2 x 2 +x + y>0 Điêu kiện: < J 3x 2 + xy +1 > 0 X +1 > 0 Bình phương hai vế phương trình thứ hai của hệ ta được: X = 0 3x + y -1 = 0 THI: Nếu X = 0 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3^4-y 2 + 3y-6^/ỹ-2 = 0 . Để giải phương trình này ta đặt t = yjỹ,ịt > o)phương trình ưở thành: 3x 2 + xy + l = x + l<=>x(3x + y-l) = 0<=> 3x/4 — t 4 + 3t 2 — 6t — 2 = 0 <=í> 3x/4 — t 4 =-3t 2 +6t + 2. 217 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com -3t 2 + 6t + 2 > 0 9Í4-t 4 Ị = Ị-3t 2 +6t + 2Ì 2 |-3t 2 +6t + 2>0 Ịl 8 t 4 - 36t 3 + 24t 2 + 24t - 32 = 0 |-3t 2 +6t + 2>0 Ịist 4 - 36t 3 + 24t 2 + 24t -32 = 0 (phương trình này không có nghiệm hữu tỷ). TH2: Nếu 3x + y- l = 0<=>y = l-3xthay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 3^Sx 2 +3 -8x- 6^2x 2 -2x + l +1 = 0. Để giải phương trình này ta đặt hai ẩn phu: LI = Vẽ = V8x +3 V = yỈ2x z —2x + 1 2 2 o 1 1 v v u - 4v = 8x -1 thay vào phương trình ta được: u 2 -4v 2 = 3u-6vo(u-2v)(u + 2v-3) = 0. ■ịlyị: <^>| 2V2x z -2x + l+V8x z +3-3 x z +3 -2^2x~ -2x + l 1 = 0. V8x 2 + 3 - 2 V 2 X 2 -2x + l = 0<=> \l?>x 2 + 3 =2^2x 2 -2x + l . ^8x 2 +3 = 4Í2x 2 -2x + lWx = ị=>y = -. V / 8 8 Vs Vì 2\Ỉ2x" -2x +1 + V8x z +3 - 3 = 2j2 V l" 2 X —— 2 4 + Ts 2 X +3-3. >2, ị + V3-3 = V2 + V3-3>0 V 2 Vậy nghiệm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x;yì = V 8 8 7 [x 3 +(2-y)x 2 +(2-3y)x = 5(y + l) 1 /-- Bài 36. Giải hệ phương trình ị [3^/y + l = 3x 2 -14X + 14 Lời giải Điều kiện: y > -1. Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: (x-y-l)íx 2 + 3x + 5j = 0<=> x = y+ 1. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: mĩ ì Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3 jỹ+T = 3(y + l) 2 -14(y +1) +14 <=> 3^/ỹn = 3y 2 - 8y + 3 . 3y-8y + 3>0 2 <=> 3y -8y + 3>0 9(y +1) = 3y 2 -8y + 3 [9y 4 -48y 3 + 82y 2 -57y = 0 <=> y = 0 y = 3' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (l;0j;(4;3). J^ = 8y 2 +8y + l Bài 37. Giải hệ phương trình < V 2 4Ịx 3 -8y 3 Ị-6(x 2 +4y 2 Ị + 3(x-2y)-l = 0 Lời giải Điều kiện: X > -1. Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: (2x -1) 3 = (4y +1) 3 « 2x -1 = 4y +1« 2y = X - 1 . Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: JĨ±Ĩ = 2(x-1) 2 + 4(x-1) + 1^ ] Ị- ( 9 X = 1 X + 1 =2x 2 -1. <=> ■ 12x -1 > 0 I 8x 4 - 8x 2 - X +1 = 0 <=> X = — 1 + V5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;()j; Lời giải Điều kiện: y >0,x 2 +4x-y+l>0. Nhận thây y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y > 0 phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: X 2 +2 X 2 +2 ——— + 2., __2l _3 = 0<-J£°_ >> X 2 +2 = l<=>y = x +2. 219 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Phương trình đầu của hệ tương đương với: X > y x + y-2 yịxỹ ■- 1 1 7Tvr +x ' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Hệ phương trình tương đương với: 220 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 2 . Bình phương hai vế phương trình thứ hai của hệ ta được: x + y-2 + 2^x(y-2)=(x + l)(y-l). <=> xy -2x-2yjxy -2x + 1 = 0 <=> Ụxy-2x -lj” = 0 <=> yjx y-2x = 1 <=> y = — + 2 (do X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình). X Thay y = 2 + — vào phương trình đầu của hệ tìm được các nghiệm: X 1 - (1.4Ì Í2- 5 Ì H 5 1 l 2 ) Bài 41. Giải hệ phương trình sau < 4x 2 + y 4 = 4-4xy 2 9 ^ / 9 ^ \ A * X 2 -2Íxy 2 + 8j = -y 4 Lờii giải Phương trình thứ hai của hệ phân tích được thành: Ịy 2 - x-4j|y 2 - x + 4j = 0<=> X = y- + 4 X = y 2 - 4 THI: Nếu X = y 2 + 4 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 4^y 2 +4j~ +y 4 =4-4|y 2 +4jy 2 phương trình vô nghiệm. TH2: Nếu X = y 2 - 4 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 4(y 2 - 4 Ị 2 + y 4 = 4 -4(y 2 - 4^y 2 9y 4 - 48y 2 + 60 = 0 . = -2, y = ±\fĩ lõ- <=> y 2 =2 9 10 x 3* y = ± \3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: (x;y) = Ị-2;-x/2Ị;Ị-2;V2Ị; 2. 3 ' w 2 |ĩT 221 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Sề & KỸ THUẬT ĐẶT Ấn phụ dạng đại sô A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Nội dung chủ đề này đề cập đến phương pháp chung khi đặt ẩn phụ dạng đại số đó là tìm nhân tử chung giữa hai phương trình của hệ(Các bài toán đặt ẩn phụ được còn được nhắc đến trong các chủ đề khác như hệ phương trình có chứ căn thức, đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu). Các dấu hiện đặt ẩn phụ - Hệ đối xứng loại I. - Hệ có các nhân tử lặp lại ữong hai phương trình của hệ. - Hệ có tổng và hiệu X + y ; X - y . - Có chứa căn thức đặt ẩn mới bằng căn thức(các bài toán đặt ẩn phụ đôi với hệ chứa căn thức rất hay). - Một số hệ sau khi đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại ỉ và loại II. Áp dụng với hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ. / ^ u = X ± y Thường thì các bài toán biên đối đơn giản ta đặt ấn phụ với < |v = xy Ví dụ 1. X 3 + xy 2 + x 2 y + y 3 = 4 (x + y)ựx + y) 2 -2xyj =4 ' h + y)Ư + xy + y 2 ) = 6 (x + y )^ + y ) 2 _ xy ý 6 Ta đặt ẩn phụ như sau: lu X + y kih ^ (Jược hệ m ơi; |v = xy giản hơn nhiều. Đôi khi chiaịhoặc nhân) hai vế của phương trình trong hệ với một biểu thức nào đó của biếnị thường đơn giản là x,x 2 ,x 3 ;y,y 2 ,y 3 ) lúc này sẽ được hệ mới có thể đặt ẩn phụ được. Víd»2.j x ' +xy ; 3x+ r°, . Ịx 4 +3x 2 y-5x 2 +y 2 =0 Mới đầu nhìn hệ này chưa có gì đặc biệt tuy nhiên, với X ^ 0 ta chia hai vế của phương trình đầu cho X và chia hai vế của phương trình thứ hai cho X 2 ta được hệ mới như sau: 254 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x+—+y-3=0 X x 2 +^- + 3y-5 = 0 x+—+y-3=0 X ^ V 2 x + — +y-5=0 l x z Đến đây ta đặt u = X + —; V X B. BÀI TẬP MẪU Ị u + V = 0 = y - 3 . Khi đó hê trở thành: ị [u 2 + v-2 = 0 Bài 1. Giải hệ phương trình < (2x-l) 2 +4(y-l) 2 =25 xy(x-l)(y-2) = -6 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : (2x-l) 2 +4(y-l) 2 =25 Ị|4x 2 -4xỊỊy 2 -2yỊ = -24 (2x-l) 2 +4(y-l) 2 =25 [ịx 2 -x)(y 2 -2y)l- (2x-l) 2 +4(y-l) 2 =25 (2x-l) 2 -l][(y-l)--l) = -24' Đặt u = (2x-l)~ ,v = (y -l) 2 ,(u,v > o) hệ phương trình trở thành : íu + 4v = 25 |(ư-l)(v-l) = -24*- V = 0 (2x-l) 2 =25 [(y-if = o <=> IX = 3 [y = l [x = -2 y = l Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (3;l);(-2;l). 2 3 2 5 X +y + x^y + xy +xy = —- Bài 2. Giải hệ phương trình(TSĐH Khối A 2008) < 4 X 4 + y 2 + xy(l + 2x) = -^- Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 + y + xy Ịx 2 + y +1 j = ~ (*liy) 2 .ĩ. x ỵ..°zi.. 255 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt ] u + ■ hộ phương trình trở thành : [V = xy u + v(u + l) = „2 , 5 u +V = - — oi 5 2 V = ;— u 4 u + V ("+*)- oi 5 2 V =--— u 4 u 3 + u 2 + — = 0 o< THI : Nếu 4 u = 0 5^ v = —- 4 5,2 V =--— u 4 «. Ịu(2u +1 = 0 u = 0,v = -4 4 1 3 11 = -—,v = ~— 2 2 X + y = 0 5 xy 4 TH2 : Nếu u = —- 2 3 V = 2 oi xy. oi (x-l)Í2x 2 +2x + 3Ì = 0 xy : 3 2 3 2 X = 1 y = - / 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 1;-^ Bài 3. Giải hệ phương trình I x 3 y + X 3 + xy + X = 1 14x 3 y 2 + 4x 3 - 8xy - 17x : Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : x 3 (y + l) + x(y + l) = l 4xíx 2 y 2 + X 2 + 2x 2 yỊ - 8x 3 y - 8xy - 17x = -8 ’ (xy + x)Ịx 2 + lj = l Ị4x(xy + x) 2 -8xyỊx 2 +1 j- oị - 17x = -8 256 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (xy + x)Ịx 2 + lj = l 4x(xy + x) 2 -8(xy + x)Ịx 2 + lỊ + 8xỊx 2 + lỊ-17x = -8 (xy + x)Ịx 2 + lj = l 4x(xy + x) 2 + 8x(x 2 + lỊ-17x = 0 X = 0 4(xy + x) 2 + 8|x 2 + lj (xy + x)Ịx 2 + l) = l -17 = 0 4(xy + x) 2 +8(x 2 + lỊ-17 = 0 (xy + x)Ịx 2 + lj = l Đặt u = xy + x,v = X 2 + l,(v > l) hệ phương trình trở thành : uv = 1 uv = 1 <=> ■ 4u + 8v-17 = 0 4u V + 8v - 17v = 0 <=> ■ I uv = 1 I 8v 3 -17v 2 + 4 = 0 1 u = — 2 «• V = 2 xy + X = — 2 «• X 2 +1 = 2 X = —1 X = 1 y = - Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = -1; \ 1 f , 3^ f 0 ) = -1;-- 1;-- - / 1 l 2j l 2 J x 3 (3y + 55) = 64 xy(y 2 + 3y + 3Ì = 12 + 51x' Lời giải Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X & 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: / a \ 3 = 3y+ 55 v x 7 oị y 3 + 3y 2 + 3y = — + 51 X j) =3(y+l) + 52 (y+ l) 3 =3.—+ 52 v ’ X 257 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4 Đặt ị X hệ phương trình trở thành: v = y + l u 3 =3v + 52 u 3 -V 3 =3(v-u) V = 3u + 52 u -3v + 52 (u-v)[ư 2 + uv + V 2 + 3 =0 í u = V U J =3v + 52 u 3 = 3u + 52 (u-4)Ịu 2 +4u + 13) = 0 íu = 4 - = 4 íx = l II = v Ịv — 4 ,,,1/1 |y — 3 y + l = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y j = (l;3). 2x + xy = 1 Bài 5. Giải hệ phương trình ị 9x — - =1+ J - • 2(l-x) 2(l-x)~ Lời giải Cách 1: Điều kiện : X * 1 . Đặt u =-——— khi đó hệ phương trình trở thành : 2(1-x) J Í 2x 2 _|_ xy — _ => X, u là hai nghiệm của phương trình 2t 2 + yt -1 = 0. 2u 2 +uy = l _. 1 3x 1 -l±s „ Theo vi-ét ta có : xu = —- <=>-—.X = —- <=> X =-—-— => y = 2 . 2 2(l-xf 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ^ + ]2 ; — ;2 . V ) V ) l-2x 2 Cách 2: Rút y = -——— thế vào phương trình thứ hai của hệ. X [y(2x + l) = 2x + 9 Bài 6. Giải hệ phương trình ị 0 2 v T jX X J J _ T . X +—7— —--- = -2y +4y 258 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x + — V 2; =x+ị+4 2 ( í x+4- V 2 J l 1 x + — 2 -4 = - Đặt t = X + ^ hệ phương trình trở thành: <=> I yt = t + 4 Jyt = t + 4 [t 3 +2y 3 -(t + 4)-4y = 0^|t 3 +2y 3 - fyt = t + 4 íyt = t + 4 |t 3 + 2y 3 - y (t + 4) = 0 ° |t 3 + 2y 3 - y.Ị Jyt = t + 4 íyt = t+ 4 ịt 3 + 2y 3 -y 2 t = 0^j(t-y) 2 (t + 2y) = [yt = t + 4 [t 3 -t-4 = -2y 3 +4y' yt - 4y = 0 <=> 0 y=t |yt = t + 4 [t = - 2 y Ị yt = t + 4 <=> <=> y = t [t 2 =t + 4 ft=- 2 y [-2y 2 = -2y + 4 1 1-VĨ7 x + — =-7- 2 2 1-VĨ7 y= 2 1 1 + yỊĨĨ X+ — = - 7 - 2 2 _ 1 + VĨ7 <=> • ỵ- Ịt 2 = t + 4 <=> 1-VĨ7 t = - 2 1-VĨ7 l y= 2 1 + VĨ7 t = 2 1 + VĨ7 y= ' <=> r = _VĨ7 2 < 1-VĨ7 r 2 X = VĨ7 2 1 + VĨ7 ■2y 3 +4y & 259 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: 17.1- 17' X:y H> ; 2 Ợ Nhân xét: Ban đoc tham khảo môt số bà Kỹ thuật hệ số bất định. 17 1+ 17' 2 r> i tập tương tự dí ing này trong chủ đề Bài 7. Giải hệ phương trình 1 x + y 3 = 2 xy 2 [x 3 +y 9 = 2 xy 4 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x + y 3 =2xy 2 Ịx + y 3 j|x 2 -xy 3 +y 6 j = 2xy 4 = 2xy 2 X 2 -xy 3 +y 6 j = 2xy 4 x + y 3 = 2 xy 2 2xy 2 (x 2 - xy 3 + y 6 - y 2 j = 0 x + y 3 = 2 xy 2 2 xy 2 = 0 X 2 -xy 3 + y 6 -y 2 =0 <=> <=> lx 2 -xy 3 +y 6 -y 2 =0 [x 2 -xy 3 + y 6 -y 2 =0 [x + y 3 = 2 xy 2 [x + y 3 = 2 xy 2 Xét hệ phương trình ị _ <=> ju 2 -(7-u) = 13°|u 2 + 11-20 = 0°' ju = 4 > = 3 Lờí giải Nếu x = 0^>|^ 2 oy=0=>Ịx;y| = Ị0;0| là môt nghiệm của hệ phương trình. Xét X & Ochia phương trình thứ nhất của hệ cho X , chia phương trình thứ hai của hệ cho X 2 ta được: x+—+y-3=0 X x+—+y-3=0 X x 2 +^— + 3y-5 = 0 x + — +y-5=0 l X 2 ỉ 262 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com V X+—=—1 r f 2 , „ x Jx+x+4=0 y = 4 |y = 4 íx = 1 <=> •; <=> X + — = 2 |x 2 - 2 x + 1 = 0 Ly = 1 * Lừ=i y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 10. Giải hệ phương trình • X 2 + y 2 + xy +1 = 4y y(x + yj =2x +7y + 2 Lời giải X 2 + l + y(x + y) = 4y Hệ phương trình đã cho tương đương với: ■ 2 y(x + yj =2ỈX 2 +lj + 7y Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y ^ 0 viết lại hệ dưới dạng: X 2 +1 -—— + x + y = 4 y (x + y) =2.——— + 7 y _ X 2 + 1 Đặt < y hệ phương trình trở thành: v = x + y u + v = 4 íu = 4-v Ịu = 4-v 2u + 7 = V 2 |2(4-v) + 7 = v 2 Ịv 2 +2v-15 = o' u = 9,v = -5 [x + y = -5 |~x = -2,y = 5 <=> <=> ^ <=> U=1,V=3 [x 2 +i ì |_ x = 1 ’y= 2 y x + y = 3 Vâ}Giậ phương trìr^có hmngl^mlà^;y) =Ì^ 2 l|^(|ì2)a 263 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4x 2 y+ y 2 + 2 = 7xy 16x 4 y 2 + y 4 + 4 = 25y 2 V 25, Lời giải Nhận thây xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét xy ± 0 khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng : 4x + ^—^ = 7 xy „ _ 9 y 4 + 4y 2 +4 16x 2 +--22L-= 25 „2..2 X y 2 2 Đặt u = 4x,v = —-—khi đó hệ phương trình trở thành : xy íu + V = 7 u + V = 7 <=> u 2 +v 2 =25 uv = 12 u = 4,v = 3 u = 3,v = 4 <=> 4x = 4 y 2 +2 = 3 l xy 4x = 3 y 2 +2 <=> = 4 l xy x = l,y = l X = l,y = 2 3 , x 4' y 3 _ X = ỹ,y = -3 4 (3 (3 S\ —;1 —;-3 u ) u ) Nhận xét. Ta có thể thực hiện tương tự với bài toán sau : Ỉ4x 2 y + y 2 +2 = 7y 16x 4 y 2 +y 4 + 4 = 25y 2 y-A 25 2 x-y-xy 2 = 2xy(l-x) = 12 Lời giải Điều kiện: xy & 0 . 264 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 x 2 y - xy 2 + 2 x - y = 2 xy ' 1 2 ' + — +1 Ịx 2 + 2 y 2 j x 2 y 2 x y = 12 2 x(xy + l)-y(xy + l) = 2xy «"i 1 2 x . _ 2 . J 1 . 2 y . _ 2 —r+.+x +2 —- + —+ y Ly 2 y 2 U 2 x = 12 2 xy +1 xy +1 2 y x 1 x + IV yj +2 y+- 1 V x 2 = 12 xy + 1 xy i I, „ ._ . , , . N , Đặt u = —-,v = —-hệ phương trình trớ thành: y [2u - V = 2 ..2 V = 2u — 2 <=> + 2 v 2 = 12 °ju 2 + 2 ( 2 u- 2) 2 =12 xy+ 1 <=> u = 2 ,v = 2 2 _ 22 u = -—,v = —— 9 9 - = 2 xy+ 1 = 2 xy +1 _ 2 y = ~9 xy +1 22 X <=> I X = 1 [y=i' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ^ 1; 1 j. Bài 13. Giải hệ phương trình < 6 x 4 -Ịx 3 -xjy 2 -(y + 12 )x 2 =-6 5x 4 -Ịx 2 -lỊ y 2 - 1 lx 2 = -5 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: ó(x 2 - lj -xỊx 2 -ljy 2 -x 2 y = 0 s(x 2 -l) 2 -(x 2 -l) 2 y 2 -X 2 =0 Nhận thây X = ±1 không thỏa mãn hệ phương trình. 265 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com \ 2 Xét X 2 -1 ^ 0 chia hai vế của phương trình cho Ịx 2 - 1 j ta được: x z -l u z -l 5-r- -fr 1 X 2 -1 X Đặt u = —--—khi đó hệ phương ưình trở thành: x 2 -l Ị uy 2 +U 2 y _ 6 = 0 [uy(u + y) = 6 1 uy u + y Ịu 2 +y 2 -5 = 0 (u + y) 2 -2uy = 5 (u + yf — = 5 ự 1 u + y 6 í _ 6 u + y <^>j L, + y . (u + y) 3 - 5(u + y)-12 = 0 (u + y-3)ịju + y) 2 +3(u + y) + 4j = 0 í X r [ 1 ± VĨ7 fr - —;-x=2 uy = 2 [y = l <=> ^ u + y = 3 í u = 1 u = 2 j X 2 -1 y=1 ly=1 y = 2 íl-vS.rì/ 1 + ^5 ,rì/ 1 -n/Ĩ 7.,1Í l + VÕ.d !v:> ' • . ;| ; . ' V / V ) V / V y Ỉ9xy 3 -24y 2 +Í27x 2 + 4o)y + 3x-16 = 0 Bài 14. Giải hệ phương trình < ' ' [y 2 +(9x-10)y + 3(x + 3) = 0 Lời giải Cách 1: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: y 2 +3x + 9xy + l = 2(5y-4) < , V 2 - y 2 +3x (9xy + l) = (5y-4) XĨÍĨÍK JOOOí - XXXXĨ ÍXXXK uuuc ' uuut 'oooú XXXĨ XXXXi uuuuuuuuuut XXXI 266 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = y 2 + 3x,v = 9xy + lkhi đó hệ phương trình trở thành: u +v = 2(5y-4) < => u,v là hai nghiệm của phương trình: uv = (5y-4J t 2 -2(5y-4)t + (5y-4) 2 =0«(t-(5y-4)) 2 =0«t = 5y-4. Vìvậyj U = l y -^r 2+3x = 5y - 4 « [v = 5y-4 [9xy + l = 5y-4 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: ' I + V2T x = 0,y = l I + V2T x =-f—,y = 2-. 9 V 3 -I + V2T ’ y = 2 + 'lj (x;y) = (0;-l); ; 2 - V , /7 V ® ■ Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng (y 2 +3x)(9xy + l) = (5y-4) 2 (1) y 2 + 3x = lOy - 9xy - 9 (2) 1 Nhận thấy xy = —Ẹ không thỏa mãn hệ phương trình. Xét xy ± --Ẹ khi đó nhân theo vế vào (2) với 9xy + 1 và so sánh với (1) ta được: (9xy + l)(l0y-9xy-9) = (5y-4) 2 . o (9xy +1)[2 (5y - 4 ) - (9xy + 1 )] = (5y - 4) 2 . ^[(5y-4)-(9xy + l)] 2 -0^9xy = 5y-5^xy = ^-(y-l) . Khi đó (2) trở thành y 2 + 3x - 5y + 4 = 0 . Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn do vậy nhân vào hai vế với y ta được: y 3 + 3xy - 5y 2 + 4y = 0 <=> y 3 + j(5y - 5 ) - 5y 2 + 4y = 0 . »3y 3 -15y 2 +17y-5 = 0»(y-l)Í3y 2 -12y + 5Ì = 0 y = i & 267 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com XTl , UA íu(x,y) + v(x,y) = t(x,y)_ Nhân xét: Tông quát dạng hệ này có dạng < trong đó [u(x,y).v(x,y) = s(x,y) t 2 (x,y) < 4s(x,y). Dưới đây tôi trình bày một số bài tập tương tự cho các em rèn luyện phản xạ khi gặp hệ dạng trên. Bài 15. Giải hệ phương trinh 7x 2 - 8xy + 4y 2 = 6xy + 4 12x 4 -4xy(7x 2 + 4y 2 Ị = 4 + 12xy -23x 2 y 2 ' Lời giải Hệ phương trình đã ho tương đương với: 7x 2 - 8xy + 4y 2 = 6xy + 4 12x 4 - 28x 3 y - 16xy 3 + 32x 2 y 2 = (3xy + 2 ) Í3x 2 - 4xy + 4y 2 Ị + Í4x 2 - 4xyỊ = 2 (3xy + 2 ) <=> ị 4x(x -y)Ị3x 2 -4xy + 4y 2 j = (3xy + 2 ) Đặt u = 3x 2 -4xy + 4y 2 ,v = 4x 2 -4xy khi đó ta có hệ phương trình: u + v = 2(3xy + 2) ■ =^> u,v là hai nghiệm của phương trình: uv = (3xy+ 2 ) t 2 -2(3xy + 2)t + (3xy + 2) 2 = 0o(t-3xy-2) 2 = 0ot = 3xy + 2. Vậy bài toán đưa về giải hệ phương trình: Í3x 2 -4xy + 4y 2 =3xy + 2 íx 2 -4y 2 =0 [4x 2 -4xy = 3xy+ 2 [4x 2 - 4xy = 3xy+ 2 x = 2y X = -2y <=> 4x 2 - 4xy = 3xy + 2 x = 2,y = l x = -2,y = -l X — — yỊĩs’ y = 1 VĨ5 ' 1 VĨ5 VĨ5 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: 268 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 +3x(y-4) + 4y 2 + 4 = 0 12(y 3 + l)x + 8y 2 +(3xy-34) X 2 -1 = 0 Lời giải Giải hệ phương trình đã cho tương đương với: (x 2 + 4y 2 )(3xy + 2 ) = (óx - i) 2 ^ jx 2 + 4y 2 = I X 2 +4v 2 +3xv + 2 = 2Í6x-lì [3xy + 2 = 6: = 6x-l Ịx 2 + 4y 2 + 3xy + 2 = 2^6x - 1 ) l^ x y + 2 = 6x -1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc hệ bậc hai hai ẩn tổng quát tìm được các nghiệm: (x;y) = (l;l); k; 5k-k -4 ,k = 5- 11 ^ 6^267 r + ^/267 -91. -91 Hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = (l;l); k; 5k ~f ~ 4 ,k-5- 2L + ÌÌ7-91. 4 J ĩl 61 / 267-91 2 2-1 X -xy-y =—1 gtnnh * 3yx 3 +(l-5y 2 Ịx 2 +3y(2-3y 2 Ịx = y 2 +l T ^ Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 -y 2 + 3xy + 1 = 4xy Ịx 2 - y 2 )(3xy + 1 ) = 5x 2 y 2 - 6xy + r Đặt u = X 2 -y 2 ,v = 3xy +1 hệ phương trình trở thành: Ị u + V = 4xy [uv = 5x 2 y 2 - 6xy +1 t 2 - 4xy + 5x 2 y 2 - 6xy + 1 = 0. u, V là hai nghiệm của phương trình: Suy ra t = 2xy ± ^/-x 2 y 2 +6xy-l <=> xy = 2xy + -y-x 2 y 2 + 6xy -1 xy = 2xy - \j-x 2 y 2 + 6xy -1 <=> xy = 1. s 269 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình tương đương với: !>=-> Ịxy = l íxy = l [y = -l lx 2 -xy-y 2 =-l°lx 2 -y 2 =0 O Ịx = 1 ■ Lty = 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = . Cách 2: Đặt u = X 2 - y 2 , V = xy đưa về hệ phương trình: í u — V = — 1 ju(3v + l) = 5v 2 -6v + r Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế ta có kết quả tương tự. (v-l)(3v + l) = 5v 2 -6v + l^(v-l) 2 = 0 ov = 1. Lời giải Cách 1; Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (3x + y)" + 2^3x 2 + 6xy + 7y 2 j + 3(3x + y) = 0 (3x + y)(3x 2 + 6xy + 7y 2 Ị = -2 Đặt [u = 3x + y [v = 3x 2 +6xy+ 7y 2 Khi đó hệ phương trình trở thành: Ịu 2 +2v + 3u = 0 íuv = -2 ] uv = -2 ] u 3 + 3u 2 - 4 = 0 j uv = - 2 r u = l,v = -2 |(u-l)(u + 2) 2 =0 _u = -2, V = 1 270 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com THI: Nếu u = 1, V = -2 <=> TH2: Nếu u = -2,v = lo 13x + y = 1 [3x 2 + 6xy + 7y 2 = -2 hệ này vô nghiệm. [3x + y = -2 1 3x 2 +6xy + 7y 2 =1 3 X = 4 1 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = _ '7 ; 4 4 4 Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 4(x + y) 2 + (x-y) 2 + 2(x + y) + (x - y) = 0 1 8(x + y) 3 +(x-y) 3 =-2 ^ í u = X + y _V , „ ,_ . , , í 4u 2 + V 2 + 2u + V = 0 Đên đây đặt < đưa về hệ phương trình: < |v = x-y [8 u 3 +v 3 =-2 Bài 19. Giải hệ phương trình < (x - 3y)(20x - 9y + 33 ) + 49y 2 + 33y = 0 2(x-y) 2 (x + y) + x 2 y-10y 3 + 3 = 0 Lời giải Cách 1: Viết lại hệ dưới dạng: 18(x - 2y) 2 + 33(x - 2y) + (2x 2 + 3xy + 4y 2 Ị = 0 (x-2y)(2x 2 +3xy + 4y 2 Ị + 3 = 0 Ị u = X - 2y Đặt < hộ phương trình ưở thành: [v = 2x 2 + 3xy + 4y 2 jl8u 2 + 33u + v = 0^ jl8u 3 + 33u 2 + 3 = 0 Ịuv + 3 = 0 [uv + 3 = 0 Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: Ị20x 2 - 69xy + 33x + 76y 2 - 66y = 0 [2X 3 -x 2 y - 2xy 2 - 8y 3 + 3 = 0 20(x - 2y) 2 + 33(x - 2y) + (-4y 2 +1 lxy) = 0 (x - 2y) 2x 2 + -3xy + 4y 2 + 3 = 0 271 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 20(x -2yf + 33(x - 2y) + í-4y 2 +1 lxy) = 0 (x-2y) 2(x-2y) 2 +(-4y 2 +llxyỊ +3 = 0 Bài 20. Giải hệ phương trình (x Vỹ - VỸ) + xy (x 3 y - 2xy + 2 ) = 3y X 2 -2x 2 y-Ị— = 0 „4., [ X y Lời giải Điều kiện xy ^ 0 . Khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: y(x-l) 2 +y|x 4 y-2x 2 y+ 2xj = 3y X 2 -2x 2 y-Ị- = 0 1 X y (x-l) 2 + Ịx 4 y-2x 2 y + 2xj = 3 X 2 - 2x 2 y + x 4 y = 2 1 ++ 9 _ 9 1 • X 2 — 2x 2 v -= 0 |x -2x y-^- = 0 X y X 2 -2x 2 y-^— = 0 l X y u = x 2 -2x 2 y V = x 4 y LI + V = 2 khi đó hệ phương ưình trở thành: 11 + V = 2 11 = 1 1 „<=>1 . <^í u —— = 0 (uv = l [v = 1 V X 2 -2x 2 y = 1 x 4 y = 1 x 2 -4r = l fx 4 - X 2 - 2 = 0 f7 ~ 1 y=^7 (x 2 +l)(x 2 - 2 ) = 0 ị x = ± ^ <=> < 2 <=> < 2 (thỏa mãn điều kiện). y=4 y= 4 l X 1 ( r iV (- Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y)= -V2;— , V2;— . ' > 4 4 5KKS „■ „ „ «***, SKKS xlíSS9ÍS!ỉitl v„ JLLv. 272 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 21. Giải hệ phương trình < í r - 2 ( x ì) Jx+y 2+ v '=3 x + y (x + y)-\/x-y + 2=6' N /x + y-2 Lời giải x+y=u +2 Đăt u= fEEị(u,v>0) , |v = Vx-y + 2 [x - y = y 2 -2 Hệ phương trình trở thành: 2 . u + V y = - u 2 - V 2 + 4 2 2 u + V -1 v + - u 2 +2 ■ = 3<=> P +2 H = 6u v|u 2 +2) + u 2 +v 2 - 2 = 3Íu 2 +2 (ir+2) V = 6u 6u + u 2 + V 2 - 2 = «1, „ \ Ịu 2 + 2jv = = 3 (" 2+2 ) 2u 2 - = 6u \2 2u 2 - V 2 -6u + 8 = 0 ^|(u 2 + 2)v = = 6u 6u Vu +2 6u -6u + 8 = 0 u 2 +2 (u-l)(u-2)( 6u u 4 + 6u 2 +6u + 8| = 0 V = - u 2 +2 (u-l)(u-2) = 0 6u <=> u 2 +2 l^/x + y-2 =1 u = l,v = 2 [x/x-y + 2 =2 u = 2 ’ v = 2 fVx + y-2=2 [Vx-y + 2=2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (4;2); <=> 5 X = — 2 1 y 2- |x = 4 y = 2 '5.1' v 2 ; 2 y Bài 22. Giải hệ phương trình xa/ 7+6 + yVx 2 +3 = 7xy / X — r—— „ (x,yeR). xyx 2 +3 + y\Jy 2 +6 = 2 + x 2 + y 2 273 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Với X = 0 hoặc y = 0 hệ phương trình không thỏa mãn. Xét X & 0,y * 0 khi đó biến đổi hệ phương trình thành X y u + v = 7 Ju - 7-V '^ ĩ + ụ f ĩ = 2°|3(v + l) + 6(8-v) = 2(v + l)(8-v) íu = 7 - V íu = 2 __ _<=>í V [2v -17v + 35 = 0 [v = 5 _ 7 Vx 2 +3 _ 7 2 VĨ 5 Với < 2 o < r ^-— 2 «• < 1 V = Ị yy 2 +6 7 2 V 3 Õ L 2 [ y 2 l 15 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y)= "l-iỴÍ 2 VĨ5 . 2 V3Õ 274 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 + 2y 2 +3xy + 3 = 0 Bài 23. Giải hệ phương trình < x-y + 18_9 r ụ >yõ__ Lờt giải Điều kiện: x-y>0 ,x + y*0 . J Hệ phương trình đã cho tương đương với: u = X + y X + y = u v = vx-y [X - y = V Hệ phương trình đã cho trở thành: 9 ( 2 A 2 ( 9 X / 9 9 u + v - u-v - u + v u-v _ - —+2 —+3 —— —+3 = 0 2 2 2 2 V 2 +18 6u 2 -2uv 2 + 3 0 Í3u 2 -uv 2 +6 = 0 Í9u 2 -3uv 2 +18 = 0 <=>< ' o <=>1 ' ' v 2 + 18 „ v 2 -9u 2 v + 18 = 0 V 2 -9u 2 v + 18 = 0 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: Í9u 2 -V 2 -3uv(v-3u) = 0 J(3u-v)(3u + v + 3uv) = 0 Ju = l V 2 -9u 2 v +18 = 0 V 2 -9u 2 v +18 = 0 x + y = l íx + y = 1 íx = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;-4^. . , x + Vx 2 -7-Jy 2 +24=2 Bài 24. Giải hệ phương trình ị ' _ UVx 2 -7-Jy 2 +24=7y Lời giải Điều kiện: x| > V7. 275 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X + Vx 2 -7 v = y + 7y 2 + 24 ,(v>0) I u 2 -2ux + x 2 =x 2 -7 |v 2 -2vy + y 2 =y 2 +24 X = y = - u 2 +7 2 u V 2 -24 2 v 7 X -7 = u 2 -7 Vy 2 +24 = 2 u V 2 +24 2 v (do u = 0 không thỏa mãn hệ phương trình). .2 Khi đó hệ phương ưình trở thành: v +24 _0 u---= 2 2 v u 2 -7 V 2 + 24 V 2 - 24 4,—— --= 7.- 2 u 2 v 2 v LI = - V + 4v + 24 2 v <=>< 2 . u -7 4v -72 u = - 7 V + 4v + 24 2 v V 2 +4v + 24 \2 2 . V 2 v -7 4v - 72 V +4v + 24 2 v _ V + 4v + 24 1 ~ 2v V 2 +4v + 24l -28v ■ = 4v 2 -72 V +4v + 24 V +4v + 24 u =-:- 2v (V - 6)(3v 3 + 26v 2 + 144v + 3841 = 0 I u = 7 IV = 6 x + Vx z -7=7 <=> y + Vy +24 = 1 |x = 4 ly=i' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;l). 276 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét: Với phép đặt ẩn phụ như trên ta xử lý toàn bộ những hệ phương trình có dạng: a 1 x + b 1 Va 2 x 2 + b +CjY + dj-\/c 2 y 2 +d =e < _ __ a 2 x + b 2 '\/ã 2 x 2 + b + c 0 y + d 0 Ayc^ỹ^-ữcT = f Bằng phép đặt ẩn phụ trình chứ căn thức). u = ax + V a 2 x 2 + b V = cy + ^jc 2 y 2 + d (xem thêm chủ đề hệ phương (6x + y-5)(2x-y) = l Bài 25. Giải hệ phương trình < / /■) r\ \ / \ 2 2Í6-4x 2 -y 2 j(2x-y) =1 Lời giải Nhân xét: Dễ thấy y - 2x & 0 khi đó phương trình thứ hai của hệ có dạng tích phức tạp ta không thể nhân ra để tìm mối liên hệ gì ở đó được mà ta thử nghĩ đến chia hai vế phương trình cho (2x-yJ xem sao? Và làm tương tự cho phương trình đầu của hệ. Nhận thấy y - 2x * 0 khi đó viết lại hệ dưới dạng 1 6x + y-5 : 2x-y 2Í6-4x 2 -y 2 V-!—; 1 1 (*-y) : 2(2x + y)-5 = ^— -(2x-y) 2(2x + y) + (2x-y)-5 = ^— 12-(2x + y)~ -(2x-y) 2 = (2x-y) 2 12-(2x + y) = u = 2x + y - + (*-yf Đặt (2x-y) 1 , . khi đó hệ phương trình trở thành v = T~7 _ ( 2x_ y) 2x-y v ' 2u-5 = v Í2u-5 = v 12-u 2 =v 2 +2 < ^|l0-u 2 =(2u-5) 2 ‘ 277 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í? u ; 5 r.. «Ị U=1 vj u =f. pu 2 -20u + 15 = 0 [v = -3 [v = l v = -3 2x + y = 1 ^ 1 2x-y 1 2x + y = 1 (2x-y) = -3 j(2x-y) 2 -3(2x-y)-l = 0 2x + y = 1 2x-y: 3 + VĨ3 5±VĨ3 8 -1 + VĨ3 r . 2x + m II c II u: 1 / X <=> 1 1 V = 1 - (2x-y) = l 2x - y v ’ 2x+y=3 „_-l + V5°" 2x - y =--- J r\ 5±\l~5 8 7 + V5 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: / .\ í 5±VĨ3 -1 + VĨ3\Í5±V5 7 + V 5 ( x:y )= 8 : 8 : 4 V Cách 2: Rút ——— = 6x + y - 5 từ phương trình đầu thế vào phương trình thứ hai 2x-y của hệ ta được: (6x + y-5)(2x-y) = 1 (6x + y-5) = -8x 2 -2y 2 +12 I 12x 2 - 4xy - y 2 - lOx + 5y -1 = 0 (1) <=> < [44x 2 + 12xy + 3y 2 - 60x - lOy + 13 = 0 (2) Đây là hệ được giải bằng phương pháp đồng bậc hoặc hệ sô" bất định. /- \4 /_ \4 _ Bài 26. Giải hệ phương trình (2x-y) +(2y-x) =1 (x-y)(x 2 -xy + y 2 ) = i' Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt Ị u = 2x - y 1 v = x-2y Lời giải u + v = 3(x-y) u 2 - uv + V 2 = 3 = 3(x 2 -xy + y 2 )■ Khi đó hệ phương trình trở thành: 4 . __4 1 u + V = 1 1 + V* = 1 (1) (u + v)Ịu 2 -uv + v 2 Ị = 1 Ịu 3 + V 3 = 1 (2) Từ phương trình (1) suy ra u,v e ■ Từ phương trình (2) ta có: u 3 = 1 - V 3 > 0 I V 3 = 1 - u 3 > 0 |u > 0 I v>0' Vậy u,v e [ơ;l]. Khi đó lấy (1) - (2) theo vế ta được: [u(u-l) = 0 u 3 (u-l) + v 3 (v-l) = 0 <=> • |v(v-l) = 0 Kết hợp với u 4 + V 4 = 1 ta có U = 0,V = 1 U = 1,V = 0 <=> |2x - y = 0 ix-2y = l Í2x-y = l ix-2y = 0 <=> 2 1 X = —,y = - 3 3 1 2 x = --,y = -— 3 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) : 2 1 3 ; 3 9 / V 1 _2 3 ;_ 3 Nhân xét: Nhiều em thấy khó ở biến đổi đầu thì có thể rút vào hệ ta có kết quả tương tự trên. Kết quả trên cho ta xử lý được bài toán tổng quát: íx 2n + y2n = ị Giải hệ phương trình: ị ,(n,keNÌ. |x 2k+1 +y 2k+1 =1 J 2u - V u-2v thay c. BÀITẬPRÈN Ll^ÊN 279 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1. Giải hệ phương trình X É 5y —- 2 —+ , =4 2 . 2 X - y X + y c _X 2 -5y 2 _ c ' 5x + y + —--2—= 5 Lời giải Điều kiện: xy * 0,x 2 -y * 0,x + y 2 * 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: X Ệ 5y —2—+ = 4 2 2 X -y x+y < _ _ <=> t ọ ? 9-9 5x y + xy + X - 5y X 5y —2—+ = 4 2 2 X -y x+y ĩ±iL + 5 .ĩLi =5 X y Đặt u = —,v = ——— hệ phương trình trở thành: X 2 -y x + y 2 u + 5v = 4 15« u = 4 — 5v + — = 5 4-5v + 5v = 5v(4-5v) «í 2 • v = — 1 5 x 2 -y -y |2x z -x-2 y = 0 y_ = 2 [2y 2 +2x-5y = 0 í „ , X = -2-,y = 3 _ 2x 2 - X 2 «1 2 « x = l,y = ^ . r, 2 . r, - 2x — X 2 2y +2x-5.—-— -0 3 3 L x= f’ y= f f 3 1 ^ r3 3^ Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y)= -2-;3 ; 1;2- ; 2-; 2- . v V 2 J V 2J y2 2 y , 3 , , 3-1 2 2 1 V Bài 2. Giải hệ phương trình , x + y ' 2 ..2 2x X +y - — = 4 Lời giả/ 280 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: xy 0,x 2 + y 2 5É 1. 2 2 1 X , ^ , V191V1 Đặt u = X + y -1,V = — hệ phương trình trở thành: 4 + 1-1 u V <=> u+l-2v=4 íu = 2v + 3 Ju = 2v + 3 [3v + 2(2v + 3) = v(2v + 3)^ |v 2 -2v-3=0 ' <=> u = 9,v = 3 u = 1, V = — 1 <=> X 2 +y 2 -1 = 9 — = 3 ly X 2 +y 2 -1 = 1 *=-! ly <=> x = l,y = -l x = -l,y = l x = 3,y = 1 x = -3,y = -l Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là (x;y) = (-l;l);(l;-l);(-3;-l|;(3;l). X 2 +y 2 -xy = 4y-l Bài 3. Giải hệ phương trình < X y= y +2 1 X 2 +1 Lời giải Nhận thây y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Với y ^ 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: + l + y(y-x) = 4y x-y = X 2 +1 - + 2 X 2 +1 y x-y: + y — X = 4 X 2 +1 - + 2 Đặt u = X 2 +1 , V = X - y hệ phương trình trở thành: u - V = 4 1 r , r v = u-4 1 . \ V = — + 2 u(u -4) = 2u + 1 u L V / u = 3-VĨÕ,v = -l-VĨÕ u = 3 + VĨÕ,v = -l + VĨÕ & 281 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com -=Ĩ-4ĨÕ y x-y = -l-"v/ĨÕ ^±i = 3 + ^ y X - y =-1 +-v/ĩõ Hệ phương trình vô nghiệm. Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Đặt u = X +—,v = y + —,(|u|,|v| > 2 ) hệ phương trình đã cho trở thành: X y ' ' Í2u + V = 6 jV = 6 - 2u Ịu 2 - 3u + 2 = 0 |u|>2 [u = 2 |uv = 4 |u(6-2u) = 4 |v = 6-2u [v = 2 ' 1 x+ x ^ [x 2 -2x + l = 0 Íx = 1 <=> \ <=> < <=> < y + I = 2 [y 2 -2y + l = 0 Ly = 1 . y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 J L 1 . 0 X L yj X V y ) 2,12,1 IỸ í 1Ỹ X + ^- + y + — 7 -I 6 x + — + y + — =20 — ễL s ~ 282 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X + — ,v = y + — ,(ìu|,|v| > 2 ) hệ phương trình trở thành: X y VI I I I / ' <=> I u = 2v 1 u = 2v [u 2 +v 2 = 20^[5v 2 =20^ 1 X + — = 4 X u = 4, V = 2 u = —4, V = —2 1 y + 77 = 2 y 1 . X + — = -4 X y+^ = -2 y <=> I X 2 - 4x +1 = 0 [y=i fx 2 +4x + l = 0 y=-i <=> x = 2-\Ỉ3,y = ỉ x = 2 + x/3,y = l x = -2 + V3,y = -l x = -2-\Ỉ3,y = -ỉ Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: (x;y) = (2 + V3;l);(2-^;l);(-2 - V3;-l);(-2 + V3;-l). Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X J +y 3 -xy(x + y) = 3 - y 3 + xy(x + y) = 15 Đặt u = x 3 + y 3 ,v = xy(x + y) hệ phương trình trở thành: x 3 +’ ju-v = 3 ju = 9 Ịx 3 +y 3 =9 [u + v = 15 [v = 6 xy(x + yj = 6 (x + y) 3 =27 Jx + y = 3 (x + y) 3 =27^|x + xy(x + y) = 6 l x y = 2 x = l,y = 2 x = 2,y = l' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là Ịx;y) = (l;2j;(2;l). Nhân xét: Đây là hệ có yếu tố đẳng cấp nên nhân chéo hai phương trình của hệ ta được: 15(x-y)(x 2 -y 2 ) = 3(x + y)(x 2 + y 2 )«(x + y)(x-2y)(2x-y) = 0. 283 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2x(xy + l) + y(xy + l) = 6xy 2x 1 + — +y 1 + — =6 ( , X 1 x yJ 1 x yJ (x 2 + y 2 1 1 + — + =8 2 , 2 , 2x 2y 1 1 1 ) xy X 2 V 2 , x + y + „ + _ + 2 + 2 8 l V y x y ; [ y X X 2 y 2 í/ 0. f „ 2 x + - + y+ — =6 V y M f T lì fn _ c x + — + y + — =8 A V X J Đặt u = X + —, V = y + — hệ phương trình trở thành: 284 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 1 9 x +y+7+ „ 0 X y 2 (x 2 + r) ',2 1 ' 1 H-1-——— ^ x y x 2 y 2 45 4 11 9 x+ . +y+ T; 0 X y 2 í 1 \2 x + V yy í + y + - 1 V 2 45 4 Đặt u = X + —,V = y + — hệ phương trình trở thành: y X 9 9 9 u + V = — u + V = — u + V = — 2 2 2 <=>1 <=> <=> 2 2 45 / n2 . 45 9 u + V = — u + v -2uv = — uv = — l 4 [V ) 4 l 2 L u = 3,v = ^ 2 3 u = — ,v = 3 2 x+—=3 r , x = l,y = i 13 2 y+ x~2. x = 2,y = l <=> ^ <=> . 13 v _ 1 - x + — = — x = —,y = l y 2 2 1 „ _x = l,y = 2 y+7 = 3 _ I x ị ị \ ị ị\ Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là ( x ;y) = (l;2);(2;l); 2-;l ; l; 2 - V 2 ) V 2 V Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 25 ự- + i-) '2 1 ' 1 + —+ 2 2 ^ x y X y ' . 3 3 . 1 A 1 + —+ ^-^ + ^ x y x 2 y 2 x J y 3 . 3 125 4 V 2 x + - y + y + - V 1 x + — y I A 3 í + y 1 y+7 X \2 ) \3 ) 25 : 2 125 4 285 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X + —,V = y + — hệ phương trình trở thành: y X 7 . 7 . _ 25 LI + V - 2 7 7 _ 125 u + V 4 Đây là hệ đối xứng loại I đã biết cách giải. Tìm được các nghiệm (u;v) = Ị^;-^ ;^5k;5^1 + k — 2k 2 -4k 3 , với: k = -1 ± yfĩĩ + yỊỈ. Bài 10. Giải hệ phương trình: 2 2 , 1,1 X +y +-r+-y=5 X y (x 2 - l)(y 2 + l)(xy(x + y) + X - y) = x 2 y 2 + (x 2 + y 2 )(x 2 y 2 + l) Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2,2, 1 1 _ X +y +-V+-t=5 X 2 y 1 X- X 1 y+ 77 „ V yjv 1 1 x+y y x y = i + (x 2 + y 2 ) ! + ■ , 2,2 X y 2 2 1 1 _ X +y +-V+~V = 5 X 2 y í 0 í 0 ( 1 n X — y + - x + y + — l xj l y) V y x; = 6 1 X — X X 2 f ị X 2 y+7 y ) + = 5 X — X í , X 1 „ y+7, A yj Đặt u = X ——, V — y +—,(|v| > 2) hệ phương trình trở thành: X y ' ' ' rs 1 ^ (u + v) [ u 2 + V 2 = 5 (u +v) 2 -2uv = 5 / X «■ V ' / <=>< uví u + v) = 6 LIV ( u + V ) = 6 u + V . 1 1 x+y++-+ V y x y = 5 = 6 uv = LI + V 286 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 11 + V = 3 v>2 11 — 1 <=>í „ < > 1 uv = 2 V = 2 X —— = 1 X 1 y+f- = 2 y <=> 1-^5 . x = 2 ——,y = l 2 1 + V5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (X; y j ■ 1—./5 V V ;1 ,y = i 1 + -75 V V ;1 (x 2 + y 2 -7)(x + y) 2 =-2 [(x-3)(x + y) = -l LÙ7 giải Nhận thây X + y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Với X + y ^ 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: _ 2 . _ 2 7T 2 X +y -7 = — (*+y) X -3 = — 1 (x + y) 2 4 + - h+y) ■ + (x-y) =14 Đặt u = X + y + X + y 2 x + y, (H>2jĩ). x+y+x-y+- = 6 X + y |v = x-y Khi đó hệ phương ưình trở thành: u 2 - 4 + v 2 =14^j(u + v) 2 -2uv = 18 u + V = 6 u + V = 6 <=> ■ uv = 9 <=> ■ c 2 íu = 3 X + y + - =3 x + y <=> [v = 3 x-y = 3 x = 2,y = -l 5 1 x 2’ y 2 '5 r Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;-l), 2’—2 1 Cách 2: Rút X + y =-—— thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X 3 X + y - y 2 -7 + 2(x-3) 2 =0 (1) xl+ XV -3x-3y +1 = 0 (21 287 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lấy (1) - 2.(2) theo vế ta được: (x-y-3) 2 =0<=>x-y-3 = 0. Khi đó đưa về giải hệ phương trình: jx - y -3 = 0 j(x-3)(x + y ) = ->~ X - 2,y =-l Bài 12. Giải hệ phương trình Í4x 2 +4y 2 -4xy-5lì(x-y) 2 +3 = 0 (2x-7)(x-y) + l = 0 Lời giải Nhận thấy X - y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X - y ^ 0 khi đó viết lại hệ dưới dạng: 4x 2 +4y 2 - 4xy -51 +-= 0 ( x -y ) 2 . 2x - 7 H-ỉ— = 0 x-y 3(x-y) 2 +(x + y) 2 + - 3 =51 o. y ( x -y) . X - y H--- h X + y = 7 X - y Đặt : X - y + - x-y u > 2jkhi đó hệ phương trình trở thành: [v = x + y 3 Ị 11 2 - 2 Ị + V 2 =51 jv = 7-u u + V = 7 Ị3u 2 +(7-u) 2 =57 u = 4,v = 3 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm (u; v) = (4;3). Vậy ta giải hệ phương trình: í V = 7 - u <=> < <=> [4u 2 - 14u -8 = 0 288 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 x-y + —-— = 4 X - y <=> x + y = 3 X = 5-V3 I + V3 2 2 5 + V3 l-yfỉ —, >y = —r 21 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: '5-S ỉ + s\ /_ 5 + V 3 .I-V 3 " 2 ’ 2 V 7 ’ _ 2 ’ 2 V 7 M= Cách 2: Rút X - y = thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 2x -7 4x 2 +4y 2 -4xy-51 + 3(2x-7 ) 2 =0 (1) (2x-7)(x-y) + l = 0 (2) Lấy 2.(1)-3.(2) ta được: (x + y - 3)(2x+ 2y-15) = 0 . Đến đây xét từng trường hợp thế vào hệ ban đầu ta được nghiệm tương tự kết quả trên. Bài 13. Giải hệ phương trình < ( 6 x + y-5)(2x-y) = l / 9 0 \/ \2 2Í6-4x 2 -y j(2x-yj =1 Lời giải Nhận thấy y = 2x không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y & 2x viết lại hệ phương trình dưới dạng: 1 6x+y-5= 2 x-y 2(0 - 4x 2 -y 2 ) =--—- 1 j (2x-y ) 3 2(2x + y) + 2x-y-—-—— = 5 v ’ 2 x-y ( 2 x + y ) 2 +( 2 x-y) ( 2 x-y) 2 +--—- = 12 Đặt u = 2x + y,v = 2x-y- Í2u + V = 5 1 2 x-y v=5-2u hệ phương trình ưở thành: /u + V = ơ v - ụ [u 2 + v 2 + 2 = 12 [u 2 +( 5 -2u) 2 -10 = 0 <=> u = l,v = 3 u = 3,v = -l & 289 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> 2x + y = 1 2x - y - 2x-y = 3 2x + y = 3 2x-y- <=> 2x-y = -l X \ = 5-VĨ3 VĨ3-1 ^p’ y= 4 5 + VĨ3 1 + VĨ3 8~ ,y = _ ~4 5-V5 7 + V5 s ’ y= 4 5 + V5 7-V5 “^T^y=—T^- Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: ^ 5-VĨ3 , VÕ-l \f 5 + VÕ , 1 + VĨ3 8 ’ 4 M = 5-V5 7 + V5ỴÍ5 + V5.7-V5 l 8 ■ * Ẫ' 8 ' 4 J' y(xy-l) 2 Bài 14. Giải hệ phương trình < y 2 +l x(xy-l) 5 1 . X 2 +1 2 Lời giải Nhận thây xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét xy ^ 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: 1 X - 1 + 1 5 y ~x 1 l + i 2 Đặt u = —,v = — hệ phương trình trở thành: X y ' 290 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - V 1 + v 1 __ 2 2 “5 Oi _v___Ị_ 1 + u 2 2 1 - uv uỊl + V 2 j 2 5 1 — uv _1 /Ịu 2 + 1 2 uỊv 2 +lj 1 - uv '( ,,2+1 ) l 1-uv 2 = 2 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: u-v = l<=>u = v + lthay vào phương trình đầu của hệ ta được: 1 = 1 X Jx = l ,1=1 ly=2 [y 2 f 1 ì / 2 A 5 ( (1 ^ — + V V + 1 = - 1-V — + V V / 2 V «v = 2-=>u = l .Vậy 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;2). Lời giải Điều kiện: Ịx 2 y 2 -lj(2-y)(3-x) * 0 . Đê ý các nhân tứ có hình thức tương tự nhau có dạng --— nên ta vận dụng l±xy các đẳng thức: u + v + l + uv = (u + l)(v + l) u + V -1 -uv = (u-l)(l - v) u-v+l-uv = (u + l)(l-v) u-v-l + uv = (u-l)(v + l) Nhận thây X = ±l,y = ±1 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét X ^ ±l,y ^ ±1 ta biến đổi các phương trình của hệ: 291 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: í x + y I 1 _ l-2y | 1 (x + l)(y + l) _ -3(y-l) (x + l)(y + l) _ 1 + xy x + y +1 _l-2y +1 \x + ijự + ij __ 1 + xy 1 + xy ~ 2-y 1 + xy “ 2-y 1 —3(y — l) 2-y = (x-l)(y-l) _ -(y + l) ° (x-l)(y-l) 1 + xy , 1 + x y 2-y { l + xy 2-y [ y + 1 2-y So sánh hai phương trình của hệ ta được: -(-0(y♦>) 2 :~3(“-I)(y--I) 2 0)■ Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: x-y | 1 _Ị-3x | 1 í -(x + l)(y-l) _ -4(x-l) -(x + l)(y-l) _ 1 - X y 1-xy _ 3-x 1-xy _ 3-x -4Íx-l) 3-x < <=> 1 . o , Y—V 1 — lv_lV\74-ll 1 1-xy 3-x 1-xy 3-x 4(x lj 3 y x-y t _ l-3x | (x-l)(y + l)_-2(x + l) (x-l)(y + l) _ 1-xy 1 o / \ [l-xy 3-x -2(x + l) So sánh hai phương trình của hệ ta được: Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (x + l)(y + l) 2 =-3(x-l)(y-l) 2 ^ x-1 3 (y + l (x + l) 2 (y-l) = -2(x-lf(y + l) Vx+ỊỸ ỵ IX — 1 ^y + lj x-1 ^y + 1 i±lì J =6 .Zzl x-ll y+1 7 Zzl =6 .Izl ly+ij y+1 i±Ị=^ĩĩ x-1 y-1 5ỈIỈ y + 1 V 9 ^12-1 X = -Tị= - 1 uv -1 3 —V ỉ -— 2 -• . -!—• . 3 2 . uv +1 V + 3 <=> ■ uv - V + 3uv - 3 = 3uv + 3 - uv - V 11 = 3/12 Jr V 2 2 0 II > 00 u 2 = 2 v u 01 <=>- 2 0 < = 6 1 uv 2 =3 u 5 = 12 3(x 2 +y 2 ) +- ỉ— = 2(10-xy) / \ 2 Bài 16. Giải hệ phương trình < (x-y) 2x+ 1 =5 x-y + Điều kiện X ^ y. + Hệ phương trình <=> Lời giải 2(x + y ) 2 + (X - y ) 2 + -— = 20 (x - y) 1 x + y + x-y H--— = 5 x-y s 293 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X + y; V = X - y H--— ( V > 2) , khi đó hệ trở thành x-y 1 1 2u 2 +v 2 -2 = 20Íu = 5-v u + V = 5 13v 2 - 20 3v 2 -20v + 28 = 0 1 V = 2 14 ^ V = —- u = 3 <=>1 V- + y ớ ií u=3 « x + y = 3 -<=>i 1 „ <^>i . <=>i V = 2 X - y H--— = 2 X - y = 1 y = l x-y x + y = 3 x=2 U = T x + y = - + Với v = V- x-y + - 1 14 3 4±VĨÕ 3 -3 + x/ĨÕ Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (x;y) = (2;l), —— 3 ■ V 3 3 y Bài 17. Giải hệ phương trình y +1 + xy - 6y + 1 = 0 |y 3 x-8y 2 +x 2 y + x = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Hệ phương trình đã chí y 2 + X + xy +1 = 6y (y 2 +x)(xy + l) = 9y 2 y 2 + x,xy + 1 là hai nghiệm của phương trình: 6 yt + 9y 2 = 0 <=> (t - 3y) 2 = 0 <=> t = 3y. Vì vậy I -oyi + yy = uc^[-.)yj jy 2 +x = 3y í x = 3 y-y 2 íx = 2 |xy + l = 3y y(3y-y 2 ) + l = 3y |y = l nliiyrỉnrr trìnỊì mrViÌAm níiol ( V • \ r Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). Nhân xét: Ta có thể chia phương trình đầu của hệ cho y, phương trình thứ hai của hệ cho y 2 và đặt ẩn phụ. Bài 18. Giải hệ phương trình X 4 + 4x 2 +y 2 -4y = 2 x 2 y + 2x 2 +6y = 23 294 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt t = y 2 , khi đó hệ trở thành: t - 4y = 2 - X 4 -4x 2 (x 2 +6)y = 23-2x 2 khi đó ta được hệ đơn giản với 2 ẩn là t,y . Ta có: D = X 2 + 6;D t = -X 6 - 10x 4 -30x 2 + 104;D = 23 -2x 2 . , ta coi X là hằng số 2 D. Ta có t = y 2 =>—- = D D V J <=> (x 2 +ójỊ-x 6 -10x 4 -30x 2 +104Ì = Í23-2x 2 0(1- x)(l + x)(l + x 2 )(x 4 + 16x 2 + 95) = 0 «• x = l=>y = 3 x = -l=>y = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-l;3);(l;3). Bài 19. Giải hệ phương trình |x 2 +xy + y 2 = 3y-l lx 3 + x 2 y = X 2 - x + 1 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 +l + y(x + y-3) = 0 xỊx 2 +lj + yỊx 2 +lj-y = x 2 +1 Nếu y = 0 => X = 1 . Xét y & 0 hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 +1 +x+y-3=0 oị + x 2 + 1-1 = y x 2 +l x 2 +l y x 2 +l +x+y-3=0 x 2 +l l y (x + y)-l = x 2 + l Đặt u = ——-—, V = X + y hệ phương trình trở thành: y u + V - 3 = 0 U = 1 o\ oi Ịuv-1 = u [v = 2 x 2 +l = 1 y [x + y = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = X = 1 + V5 5 + V 5 2 ,y ~ 2 -l + >/5 .. 5 -V 5 ,y = — 'l + yl5 5 + JỈ'' '-l + yBS-yls' 2 ; 2 : V / ; 2 ’ 2 V / 295 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 20. Giải hệ phương trình [ X 2 + y 2 + xy + 2x = 7y [x 3 + x 2 y - X 2 + 2xy - 6x + 3y = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: ' 2 '-2x + y(x + y-7) = 0 X + . (x 2 +2x)(x + y)-3(x 2 + 2x) + 3y = o' THI: Nếu y = 0: |x +2x = 0 I X 3 -X 2 -6x = 0 <=> X = 0 X = -2 TH2: Nếu y ^ Ochia hai vế của phương trình đầu cho y, phương trình thứ hai cho y ta được: X +2x y x z +2x Đặt u = X 2 +2x +x+y-7=0 / \ „ X 2 +2x „ „ .(x + y)-3.——— + 3 = 0 y y , V = X + y hệ phương trình ừở thành: Ju+v-7=0 Jv=7-U juv-3u + 3 = 0 ju(7-u)-3u + 3 = 0 <=> [ u = 2 - 77 '=5+77 [ u=2+77 |v=5-77 <=> X 2 + 2x = 2-77 X + y =5+77 X 2 + 2x <=> :2+77 [x + y = 5-77 4 + • y = + 1 2 '5(7 + 477) + 1 1 l Ị 5(7+477) 1 1 2" 2 '5(7+477) Vân h&^hương^àn hýQ^b ôr^ghiềm Jềs£ 296 im iiìl JPJ| ! WTW: 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nhân xét: Ta có thể rút y = ——^—— thế xuống phương trình thứ hai của hệ. Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 x 2 + y + 2Íx 2 -2yj = 2 (2x 2 +y) (2x 2 + y) 2 -3(x 2 -2y) = 8 Đặt u = 2x 2 + y, V = X 2 - 2y hệ phương trình trở thành: Lời giải Nhận thấy y = 0 không là nghiệm của hệ, khi đó chia 2 vế của phương trình (1) cho y 3 ; và chia 2 vế của phương trình (2) cho y 2 ta được: 297 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 27x 3 +^ = 9 [ 2 7x 3 +^ = 9 y _ y 3 2 <=>j 45—+ 75^ = 6 15—(3x + —) = 6 y y Ly y Đặt u = 3x; V = —, khi đó hệ trở thành: y ju 3 +v 3 =9 ^ưu + v) 3 -3uv(u + v) = 9 [uv(u + v) = 6 Ịuv(u + v) = 6 í u + V = 3 í u = 2 í u = 1 C> |uv = 2 ịv = 1 v |v = 2 ' Lời giải Điều kiện y ^ 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: 298 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 X Đặt u = X+—;v = —, khi đó hệ trở thành: y y Ju + u 2 -2v = 4 J-2v = 4-u-u 2 Ịu 3 -2uv = 4 Ịu 3 + u(4 - u - u 2 ) = 4 -2v = 4 - u - u u = 2 ' <=>i , I (u - 2) 2 = 0 \v = l 1 x + —= 2 y <=>x = y = l. = 1 [y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (l;lj. Bài 24. Giải hệ phương trình x J (2 + 3y) = l (1) [ x (y 3 -2) = 3 ( 2 ) (x,y e R) Lời giải Nhận thấy x = 0, không là nghiệm của hệ, khi đó chia 2 vế của (1) cho X 3 và chia 2 vế của (2) cho X , hệ trở thành: 2 + 3y = 4 X ý>-2-ị X 2 + 3y = 4 X 2 + — = y 3 X u = y Đặt < 2 đưa về hệ phương trình đôi xứng loại 11 tìm được: V = — X u = y = 1 íx = 1 X = — >1 2 - [u = y - 2 [y = l Ịy _ 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l);Ị^;2 [x 2 + 1 + y(x + y) = 4y (1) Bài 25. Giải hệ phương trình (x 2 +l)(x + y-2) = y (2) (x,y e R) Lời giải Nhận thấy y = 0 , không là nghiệm của hệ, nên ta chia cả 2 vế của (1) và (2) cho y ta được: X 2 +1 X 2 +1 + (x + y) = 4 (x + y-2) = l 299 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đđặt u = X 2 +1 ; V = X + y - 2 , hệ trở thành: íu + v = 2 íu = l uv = 1 [v = l [y = 2 V |y = 5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (l;2);(-2;5). X 2 +1 = 1 I X = 1 I X = -2 y o- Bài 26. Giải hệ phương trình < 1 2x x + ^/ỹ 3x 3y 2x 2 + y (x.yeR). 2ị2x + - ^2x + 6 -y Lời giải Điều kiện : -3 < X ^ 0; y > 0. íkx > 0 ly = k 2 x 2 Khi đó ta đặt yỊ y = kx <=> ■ Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành : 77 + :^TT %-2 72-2 p k+1=0ok=2 ' 3x 3k 2 x 2 2x 2 + k 2 x 2 v ’ Với k = 2ta có yjỹ = 2x=>x>0, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 4x 2 + 8x = V2x + 6 <=> (2x + lỴ - 4 - yj 2x + 6 . Đặt ^Í2x + ~6 = 2t + 2, khi đó ta có hệ đôi xứng loại II. -3 + VĨ7 2x + 6 = Í2t + 2 ) 2x + 6 = (2t + 2Ì~ 0 <=>■ V / <=> < (2x + 2) 2 -4 = 2t + 2 (x-t)(l + 2x + 2t + 4) = 0 4 13-3^17 y=— Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = -3 + VĨ7 13-3a/i7 Bài 27. Giải hệ phương trình ịx + ylỹ^ĩ = 6 \Jx 2 +2x + y + 2xyjy-l + 2yjy-ì = 29 Lời giải Điều kiện: ỵ > 1. 300 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt a = \fy-ĩ => y = a 2 +1, khi đó hệ phương trình trở thành: X + a = 6 Vx 2 +2x + a 2 +1 +2(x + l)a = 29 (x + l) 2 +a 2 +2(x + l)a = 49 (1) x + l + a = 7 (x +1+ a 2 + 2(x + l)a = 29 (x + l) +a 2 +2( x + l)a = 29 (2) Lấy phưd/g trình (1) trừ theo vế cho phương trình (2), ta được: (x + l) 2 + a 2 - J(x + l) ' 2 + a 2 -20 = 0^ 2 9 + a 2 = 5>0 =^> (x +1) 2 +a 2 =25 Vậy ta có hệ phương trình: íx + a = 6 X = 2;a = 4 , \2 9 «• <=> [(x + l) +a 2 =25 X = 3;a = 3 x = 2;y = 17 X = 3;y = 10 Thử lại thây hai nghiệm này đều thỏa mãn Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x,y) = (2,17);(3,10j. Bài 28. Giải hệ phương trình I X 2 + xy - 3x + y = 0 [x 4 + 3x 2 y - 5x 2 + y 2 = 0 Lời giải Nhận thấy (x;y) = (0;0j là một nghiệm của hệ phương trình. Xét X & 0, khi đó chia hai vế của phương trình thứ nhất cho X và chia hai vế của phương trình thứ hai cho X 2 ta được: x+—+y-3=0 X x 2 +^ị + 3y-5 = 0 X 2 X + — + y — 3 = 0 X ^ V 2 x + — V X + y-5 = 0 Đến đây ta đặt u = x + —;v = y- 3. X Khi đó hệ phương ưình trở thành: I u + V = 0 |u 2 + V -2 = 0 <=> V = —u 11 - 11-2 = 0 301 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nhận thấy y = Okhông là nghiệm của hệ, nên với y^Ota chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho y và hai vế của phương trình thứ hai của hệ X + y 2 xy + 1 —+ — - 6 9 y y cho y , ta được: < x + y 2 xy + 1 _ 9 y ' y ... . ... x + y 2 xy + 1 ... ._ . , . Vậy ta đặt u =--—; V = —-. Khi đó ta có hệ phương trình: y y [u + V = 6 < _ <=> u = V = 3 <=> |uv = 9 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải (x 2 + x]y 2 +y + 1 = 4y 2 Hệ phương trình đã cho tương đương với: ị ' ' 9 9 -5 '3. a xy + X y +1 + X y = 4y Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ, nên với y 5Ế Ota chia hai vế của phương trình thứ nhất cho y 2 và chia hai vế của phương trình thứ hai cho y 3 ta được: Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 (y + l) + 2 = 6y Ịx 4 y 2 + 2x 2 y 2 + y 2 j + yỊx 2 +1 j = 13y 2 -1 x 2 (y + l) + 2 = 6y (1) y 2 Ịx 2 +1 j 2 + y Ịx 2 + lj +1 = 13y 2 (2) Nhận thây y = 0không thỏa mãn hệ phương trình, nên với y^Ota chia hai vế phương trình (1) cho y và chia hai vế phương trình (2) ta được : 303 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 . X . 2 , X + — + — -6 ( X M y y 2 X 2 +1 1 + - y y + - = 13 2 . , . 1 . X" + 1 „ x 2 +l + - + =7 í 2 . A 2 . 1 X 2 +1 ' ' y 2 y 2 Đến đây ta đặt s = X 2 + 1 + —;P = x — ; (s 2 -4P > o) khi đó hệ trở thành: y y \ / s + p = 7 p - 7 s S 2 >4P < — >ị S 2 -P = 13 'go + GO 1 Kí o II o s = 4 p = 3 <=> i X 2 + 1 = 3 r í X 2 + 1 + — = 4 * i-1 y y l 0 <=> . <=> x+1 =3 X 2 + 1 = 1 < . y « 1 „ - = 3 .y X = ±yfĩ y = l X = 0 • 1 y =. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = Ị-x/2;lj;Ịx/2;lj; 0; 3 V -V y(l + 2x 3 y) = 3x 6 1 + 4x 6 y 2 = 5x 6 Lời giải Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ, với X ^ 0 ta chia hai vế của các phương trình ữong hệ cho X 6 ta được: 1 ,^ + 2y vx á -+ + 4y 2 = 5 = 3 y 1 7 Đặt a = -=Ị-;b = —- + 2y khi đó hệ phương ưình trở thành: X 3 X 3 I ab = 3 I b 2 -4a = 5 b 2 -5 b 2 -5 l V = 3 1 a = 1 , o> 1, Ol b = 3 4 = 1 X 3 1 <=> —+ 2y = 3 u x = l,y = 1 ,,1 1 x = ?-,y = - 2 2 304 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l); 3 Bài 33. Giải hệ phương trình < f3 Ụ xy + xy = 5 + x v 9/49 9 ^ \ - 9 • x 2 Ịx 4 y 2 -y 2 +2y| = 5 + x 2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X y + xy - X = 5 [x 6 y 2 -(xy-x) 2 =5' Đặt u = X y, V = xy - X hệ phương trình trở thành: í u + V = 5 u + v = 5 u = 3 íx 3 y =3 1 0 0 <=>‘ <=H [u 2 - V 2 = 5 u-v = l [v = 2 1 xy-x = 2 X = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;3). X 4 + X 2 + xy í X 2 - 2x - y j = -2 2 ^x 2 -yỊ-xyỊ2x 2 -2y + l) = Hệ phương trình tương đương với: Lời giải (x 2 -yf + xy(x 2 -y) -y +2 = 0 2Ịx 2 -y)(l-xy)-xy-5 = 0 Đặt <1 u x y, khi đó hệ phương trình trở thành: [v = 1 -xy [u 2 + u(l-v) + 2 = 0 Ịu 2 -uv + u + 2 = 0 2 uv + v-6 = 0 THI: Nếu u = --=>v = --o r(2u + l) = 6 2 _____ 1 x y 2 1-xy = - 1 - 2 & 305 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH2: Nếu LI ^ => V = ——— ứiế vào phươns trình đầu tiên của hê ta đươc: 2 2u +1 -^- + u + 2 = 0«>2u 3 +3u 2 -u + 2 = 0 u - --- + u + Ả = u <=> Z\T + ÓU - u + l - u 2u +1 <=> (u + 2)Í2u 2 - u + lj = 0 <=> u = -2 => V = -2 íx 2 - y = -2 |y = x 2 +2 í(x-l)(x 2 +x + 3) = 0 |x = 1 =^>í J <=>í I , \ _<=>r v ' <=>í *. [l-xy = -2 ^xỊx +2j = 3 [ y = x 2 +2 ly = 3 : y= -> 1 - xy = -2 X Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: , Jir 1\1 lí lì 2 !,.., (x;y) = (l;3); 2 ị ' ' xy(x + y) + x + y + xy-ll = 0 Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 tìm được các nghiệm: Hệ phương trình có bốn nghiệm: ệ (x;y) = (l;2);(2;l); V 5 -V 2 T 5 + V 2 Ĩ \í 5 + V 2 Ĩ 5 -V 2 T 306 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện : xy + 0,x + y + 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với : , 111 / \ X y 2 V ’ 5-2 ' 1 ,1 ' —— H-— 2 2 X 2 _ _ 2 „ X-— +y-—=2 X y X 2 + ^- + y 2 + 4r = 10 X 2 y 2 Đặt 2 u = X- X 2_ 0 V = y-= 2 y Hệ phương trình trở thành: • I u + V = 2 |u 2 +4 + v 2 +4 = 10 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm._ u + V = 2 <=> \ _ (hệ vô nghiệm). ' uv - 2 V". . 1 I 2x + 3y xy 124 1 [4x 2 +9y 2 x 2 y 2 = 1 Lời giải Điều kiện : xy + 0,2x + 3y + 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với : 10 + 2x + 3y =2x + 3y xy 124 - — o + ^ y = 4x 2 + 9y 2 x 2 y 2 3 _ 2 2x-- + 3y-- = 10 X y .2 9 „9 4 4x 2 + —- + 9y 2 + —- = 124 X y 3 2, a Đặt u = 2x - — ,v = 3y - — hệ phương trình trở thành : X y íu + V = 10 u + V = 10 <=> - „ „ <=> [u 2 + 12 + V 2 +12 = 124 u 2 + V 2 = 100 u = 0,v = 10 u = 10,v = 0 s 307 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> 2x - — = 0 X 3y-- = 10 y 2x - — = 10 X 3y-- = 0 y <=> |2x -3 = 0 [3y 2 -10y-2 = 0 [2x 2 -10x-3 = 0 13y 2 -2 = 0 <=> x= -^y= 5 - VgT 3 5 + V3Ĩ X= - J 2’ y= - 3 x= ^’ y: x = ^2’ y = ' 5-V3Ĩ 3 5 + V3Ĩ V X = ■ 5-V3Ĩ ->y = - 5 -V 3 Ĩ _ x= 2 ’ y = 5 + ^ , x= 2 ’ y = 5 + V 3 T _ x = ' »y = Vậy hệ phương trình có tám nghiệm như trên. Bài 38. Giải hệ phương trình [x 2 +y 2 =x-4y-4 ly 4 + 8y 3 -3x 3 + 24y 2 -9x 2 + 32y-9x + 37 = 0 Lời giải Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x + l) 2 + (y + 2) 2 -(x + l) = 0 [3(x + l) 3 -(y + 2) 4 =24 Đặt < x + 1 hệ phương trình trở thành : ly = y + 2 í u 2 + V 2 - u = 0 V 2 = -u 2 + u Ị <=>1 [3u 3 -v 4 =24 3u 3 -Ị-u 2 + uj =24 1 2 2 V =-u +u u 4 - 5u 3 + u 2 + 24 = 0 Phương trình cuối là phương trình bậc bốn tổng quát đã biết cách giải (xem chương 1). 308 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện : 2x - y + 1 * 0 . Đặt u = ———— V = X 2 + 3y hệ phương trình trở thành : 2x-y+l 17 í , 17 f 3 u + v = -— u + v =—— u = -5,v = — 4 _ 4 _ 4 15 ° | 11 f_ỊZ_ Yl5 ° 3 uv = --f LI ----u +-f- = 0 u = ~r,v = -5 4 [ V 4 J 4 L 4 '[— 3x ,=-5 r , = , ]2x-y + l 3x = -10x + 5y-5 X 2 +3y = 4 x 2 +3y = 4 «• l 4 l 4 <=> í 3x _ 3 Í4x = 2x-y + l <2x-y + l _ 4 |x 2 +3y = -5 X 2 + 3y = -5 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. 4 = 21y-20 Xét X & 0 hệ phương trình viết lại dưới dạng : ị x y 3 = —-20 X Đặt u = —, V = y hệ phương trình trở thành : X x = 2,y = -3 x = 4,y = -7 15 37 X = -—,y = —— 2 2 3 _ 11 X =——,y = — —- 10 50 s 309 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com I u =21v-20 I V 3 =21u-20 <=> u 3 =21v-20 2l(v-u) „3 3 u -V <=> u = V = 1 u = v = 4 <=> u = V = -5 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (l;l);Ị^;4 X = l,y = 1 x^,y = 4 . x = -ị,y = -5 5 V J V x+ y +xl*-y =6 Bài 41. Giải hệ phương trình • J, .T, , >2 [ự(x + y) (x-y) =8 Lời giải ĐÍêu kiện : X + y > 0 . Đặt u = yịx + y,v = yjx - y,(u > o) hệ phương trình ữở thành 11 -I- V = f\ r- i u +v = 6 =8 <=> 1 u +V = 6 uv = -8 <=> uv = 8 I u + V = 6 |uv = -8 u + v = 6 uv = 8 u = 4,v = 2 u = 2,v = 4 u = 3 + n/Ĩ7,v = 3-VĨ7 Thay ngược lại ta tìm được nghiệm của hệ phương trình : (x;y) = (l2;4);(34;-30);Ịl03-lWĨ7;25VĨ7-77Ị. . í\/2x -y + 2 + a/x + 2y - 3 = 3 Bài 42. Giải hệ phương trình -ị 'y ' ^ |x 2 -y 2 -xy + 9x + 9y-25 = 0 Lời giải Điều kiện : 2x-y + 2>0,x + 2y-3>0. _ \u = J2x-y + 2 t _ s Đặt V ,(u,v>0): |v = > /x + 2y-3 Hệ phương trình đã cho trở thành : íu + v = 3 X = - 2u 2 + V 2 -1 2v 2 - u 2 + 8 u + v = 3 <=> • u -V* + u V + 8u + 19v -73 = 0 u* + 6u’ - 18u -6u +17 = 0 310 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 11 + V = 3 ( u.v^O ) -1)1 LI 2 +6u-17Ì = 0 ^|Ịu 2 -lỊỊu 2 +6u-17Ị: “ = 1 [v = 2 ị\l = -3 + yỈ26 ' I V = ỗ-^ịĩỏ Thay ngược lại tìm được các (x;y) = (l;3) nghiệm của hệ là: /131-24-72697-18^26 ^ ’ 5 ’ 5 V 7 Bài 43. Giải hệ phương trình < X 2 + xy + y 2 = 19(x-y) 2 X 2 -xy + y 2 =7(x-y) 3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : (x-y) +3xy = 19(x-y) [(x-y) 2 +xy=7(x-y) 3 Oi xy = ó(x-y) 2 [(x-yf+6(x-y) 2 =7(x-y) 3 <=> [x-y = 0 [xy = 0 [x-y = 1 lxy = 6 <=> |x = 0 ly = 0 [x = 3 [y =2 fx =-2 y=-3 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(3;2);(-2;-3). X 2 +xy+ y 2 = 19(x + y) 2 Ị^x 2 -xy + y 2 = 5(x + y) 3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : (x + y) -xy = 19(x + y) [(x + y) 2 -3xy = 5(x + y) & 311 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com r 2 |x + y = 0 x = 0,y = 0 xy = -18(x + y) 2 jxy = 0 11//— 11 5(x + yf=55(x + y) 2 |x + y = ll 2 ' ' 2 1 Lỉxy=-2178 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (0;0);í-y(./73-l);y(./73 + l)];íhỊ,/^ + l);_h -- r í , yv 8 X 2 +y 2 +4xy +-^- = 13 Bài 45. Giải hệ phương trình < ( x + ^) . 2x H--— = 1 X + y Lời giải Điều kiện : X + y & 0 . 5(x + y) 2 + 3(x-y) 2 +-^— Hệ phương trình tương đương với : < ' x ' / 1 X + y + X - y H-= 1 X + y Đặt u = X + y -4--— ,v = X -y,(|u| > 2 ) hệ phương trình trở thành: x + y \\ ì / ■ u + V = 1 u = 2,v = -l 5 u — 2 +3v =13 u = ——,v = — V / L 4 4 u>2 u = 2 - >< V = —1 X + y + —-— = 2 (x + y = 1 x = 0 <=> í x + y <=>1 <=> 1 U-y = -i [y = -l x-y = -l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;-l). Bài 46. Giải hệ phương ưình : 5^x 2 +y 2 j 1 + „2 „2 X -y “-r +2xy 1 - - — =35 „2 .2 X -y „2 ,2 X -y + 3x + y = 9 312 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện : X * ±y khi đó hệ phương trình được viết lại: 2 3(x + y) 2 3 . -/ \2 +-+ 2(x-y) (x +y ỵ Vrì = 35 í 2 l V x + y+ - X + y +x-y+- = 9 x-y Đặt { u = X + y + - X + y v=x-y+- u >, V > 2 Ị khi đó hệ phương trình trở thành : x-y N" 2 - 2 M v2 - 2 H 5 «1 2u + V = 9 _ J 3u 2 + 2v 2 = 45 _ <=><; <=> 2u + V = 9 u = 3 v = 3 39 u = — 11 21 V = ■ Do ( u >, V > 2 j nên chỉ nhận nghiệm u = V = 3 . o 1 x + y + —-— X + y = 3 (x + y) 2 >(x + y) + l = 0 <=> < <=> 1 = 3 M -3 >(x-y) + l = 0 i x-y 11 3 x = -,y = ±y— 2 2 3±V5 ,y = 0 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: M í 3 - ( 3 , 45 ), / 3 -V 5 . \ A /3 + ^.4 2 ’ 2 f 2 ; 2 f ’ 2 ’ V u : / ; -y ;0 V y Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : X 2 +y 2 +2x = 3 |x 2 +y 2 +2x = 3 2x 3 + 2y 3 = 3y 2 + 3x 2 - 6x 2 + 5 0 [2x 3 + 2y 3 = 3 (3 - 2x) - 6x 2 + 5 ' (x + l) 2 +y 2 =4 (x + 1 ) + V 3 =8 . Đặt u = x + l,v = ydễ tìm được (u;vj = (0;2);(2;ơ) 313 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy ra (x;y) = (l;0);(-l;2). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (l;0);(-l;2). Bài 48. Giải hệ phương trình ị |2x 2 +xy + y = 5 X + X y + X í y +11 + xy + y = 9 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : X 2 + 1 + X 2 +xy + y = 6 x 2 +l + x 2 +xy + y = 6 Jx 2 + 1 = 3 X = -yjĩ,y = -1 - s Ịx 2 + lỊỊx 2 + x y+ yj = 9 Ịx 2 +xy + y = 3 x = -JĨ,y = \ỊĨ-ỉ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị-x/2;-x/2 - lj;ỊV2;V2-lj. í V - _L_ \J~ _1_ V\T - "Tv _ 1 Bài 49. Giải hệ phương trình < X 2 +y 2 +xy = 3x-2 / 0 \4 / , \4 ■ x 2 +xy +(y +2 = 17x 4 Lời giải Nhận thấy X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X ^ 0 hộ phương trình đã cho tương đương với: X 2 +xy y 2 +2 = 3 ( 2 , > 4 ( 2 , X +xy + y +2 l x J X V / = 17 X 2 +xy y 2 +2, A , . V V , Đặt u =-—,v = --hệ phương trình ướ thành : X í u + V = 3 X I v = 3-u [u 4 + v 4 =17^ > u 4 +(3-u) 4 = 17 <=> u = 2,v = l u = l,v = 2 <=> 2 X' + xy = 2 y 2 +2 = 1 2 X' + xy <=> = 1 y 2 +2 |x +xy = 2x [y 2 + 2 = X [x 2 + xy = X ly 2 + 2 = 2x <=> x = l,y = 0 x = 3,y = -2 x = 2,y = 0 ■ x = 3,y = -l = 2 Vây hêoh^ng tình tóbôn^mhiêmL ]jy^xryỊ = 314 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 +y 4 + xy = 2xy 2 +7 Bài 50. Giải hệ phương trình ị , , / „ \ xy 3 -x 2 y + 4xy + ll x-y 2 =28 Lời' giải íx-y 2 ì + xy-7 = 0 Hệ phương trình đã cho tương đương với: < ' ' xyỊy 2 - xj + 4xy + 1 lỊx - y 2 j = 28 Đặt u = y 2 - X, V = xy hệ phương trình trở thành : |u 2 +v- 7 = 0 ^ v = 7-u 2 |uv + 4v-llu = 28 u|7-u 2 Ì + 4Ị7-U 2 j-llu = 28 ju = 0 |y 2 -x = 0 |x = 3 v = 7-u 2 Ị V = 7 |xy = 7 \y = 1 <=>í , - <=> , <=> ^ _ <=> r u(u + 2) =0 |u = -2 í y~ — X — —2 1 X = y 49 Ll v = 3 |jxy = 3 [|y = ^7 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;l);Ịx/49;x/7 j. __ , _ í(x 2 + y 2 )(x + y + l) = 25(y + l) Bài 51. Giải hệ phương trình ị ' ' v . X 2 + xy + 2y 2 + X - 8y = 9 Lời giải . í(x 2 + y 2 )(x + y+ l) = 25(y+ 1) Hệ phương trình đã cho tương đương với: ị X 2 +y 2 +x(y + l) + (y + l) 2 =10(y + 1) Nhận thấy y = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. 2 . 2 X +y / —.(x + y + 11 = 25 ... , ^ y + 1 v ’ Xét y & — 1 hệ phương trình đã cho tương đương với : [x + y + 1 = 5 x = 3,y = 1 3 11 x = -—,y = — 2 2 3 11 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;l); Bài 52. Giải hệ phương trình 2 2 [8 lx 3 y 2 - 8 lx 2 y 2 + 33xy 2 - 29y 2 = 4 125y 3 + 9x 2 y 3 - 6xy 3 - 4y 2 = 24 Lời giải Nhận thây y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y ^ Ochia hai vế phương trình đầu của hệ cho y 2 , chia hai vế phương trình hai của hệ cho y 3 ta được : 81x 3 -81x 2 +33 x-29 = Ạ 25 + 9x 2 -6x-- = ^ị y y 3 3(3x-l) 3 +2(3x-l) = 24 + - I + 2.- = 24 + (3x-lf y Đặt u = 3x - 1, V = — hệ phương trình trở thành : y 13u 3 + 2u = 24 + V 2 Ỉ3v 3 +2v = 24 + u 2 Đây là hệ đối xứng loại 11 dễ tìm được u = V = 2 <=> Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ 3x-l = 2 r X = 1 2 l Ệ = 2 [y = i ly 1 1 „ „ , + 2-0 Bài 53. Giải hệ phương trình < (x + y-l) (x-y + l) X 2 -y 2 +2y-2 = 0 Lời giải Điều kiện : x + y-1^0,x-y + 1^0. Đặt [ u = X + y -1 1 v = x-y + l y = - u + V 2 u - V + 2 Htotemg trình đã chơ trở thầnh I 316 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com -Ị- + -Ị-- 2 = 0 3 3 u V íu + vì 2 ÍU-V+2Ì l 2 J l 2 J oi - u-v+2 _ + 2 .-—- 2 = 0 - l - + - l --2 = 0 ..3 .3 u V uv = 1 <=> ■ u 3 +v 3 -2 = 0 í(u + v) 3 - 3uv(u + v)-2 = 0 uv = 1 uv = 1 oị u + v = 2 íu = l 1 [x + y-l = l í u + v = -l<=>‘ o\ uv = 1 [v = l 1 Ịx - y +1 = 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ [ 1 I 1 0-0 Bài 54. Giải hệ phương trình < (2x-3y + 2) 3 (4x-2y-l) 3 8x 2 +2(3-8y)x + 6y 2 -y-3 = 0 Lời giải Điều kiện : 2x-3y + 2^0,4x-2y-1^0. u = 2x-3y + 2 / \ I Đặt ị ,(u,v^ 0) => ị |v = 4x-2y-l v ’ I Hệ phương trình trở thành : - Ị - + -!--2 = 0 „3 ,3 u V X = ■ 3v-2u + 7 y = - v-2u+5 /r 3v-2u + 7Ỹ +2 / 3-8. v-2u + 5 3v-2u + 7 + 6 v-2u + 5 oi V u y V ^ y u V \ + ^- 2 = 0 ^j(u + v) J -3uv(u + v)-2 = 0 uv = 1 v-2u + 5 -3 = 0 u V uv = 1 Oi u+v=2 ( , r „ _ r 1 u = 1 |2x-3y + 2 = l [ X = 1 u + v = -l <=>3 _<=>3 [v = l [4x -2y -1 = 1 [y = 1 uv = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. s 317 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com xy - X = 2 Bài 55. Giải hệ phương trình < 1 + 16 .1- Ị(x + 1) 4 (y + i) 4 Lời giải Điều kiện : x,y ^ -1. Hệ phương trình đã cho tương đương với : í(x + l)(y + l) = 2 (x + l) + y + l 1 16 (x+l) 4 + (y + l)‘ = 1 = 1 - 7 ^- 7 x+l y+l I _ 16 _(x + l) 4+ (y + l) 4 = 1 .. 1.2 Đặt u = —,V — x + 1 y + u + V = 1 I 4 , _ 4 1 u + V = 1 Ỵ.ị u,v ^ 0 ) hộ phương trình trở thành : <=> ■ , í u + V = 1 - V = 1 + v 4 =l Ịju + v) 2 -2uvj -2u 2 v 2 =l u + v = l [u = 0,v = 1 <=> (không thỏa mãn). 2u 2 v 2 - 4uv = 0 U = 1,V = 0 u + V = 1 <> U = 1,V = 0 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 56. Giải hệ phương trình < ịx + ^ + Ạ + y-3 =3 2xy + y 2 + l = 8y Lời giải 1 Điều kiện : x + y-3>0,x + — >0,y^0. y Chia 2 vế phương trình thứ hai của hệ cho y ta được : 2x + y+ —= 8 y x + y-3 =3 Đặt u = u + v = 3 u + V = 3 «■ [u 2 + V 2 + 3 = uv = 2 X + y - 3 => hệ phương trình trở thành: u = 2;v = 1 u = 1; V = 2 318 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com THI: Nếu u V = 1 x + — = 2 I y «• [-v/x + y - 3 = 1 |x = 3 [y = i [x = 5 y=-i TH2: Nếu u [oi V = 2 1 x + - = l (X = 4 + x/ĩõ I r^— ^|y = 3 ±Vio' [Vx + y-3=2 ư Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: (x;y) = (3;l);(5;-l);(4-VĨÕ;3 + VĨÕ);(4 + VĨÕ;3-VĨÕ). (x-201l)(2011 + 2012^2ÕĨ3) = l 3/x - 2010 (y- 4024) = 2012 LỜ7' giải Đặt u = yjx- 2010,V = ^/y — 2013 , khi đó hệ trở thành íu 3 -lỊ(2011-2012v) = l uỊv 3 -201lj = 2012 Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được : 201 lu 3 + 2012u 3 v + 201 lu - uv 3 - 2012v = 0 o u = V = 0 o X = 2010,y = 2013 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2010;2013). Bài 57. Giải hệ phương trình (x + y-3) 3 =4y 3 x 2 y 2 +xy + — Bài 58. Giải hệ phương trình < x ì \ 4 ). X + 4y - 3 = 2xy 2 Lời giải (x-3) 3 =0 THI 1 X ét y = 0 => ị V - -ì o x-3 = 0 X = 3 => ( 3 , 0 ) là một nghiệm của hệ. TH2 : Xét y ^ 0, khi đó chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho y 3 và chia hai vế phương trình thứ hai của hệ cho y , ta đươc: 319 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com r x 3? _/ —+ 1-— = 4 \ x 2 y 2 + xy+ 7^. V 4 y u y J X 3 - —+ 4-—= 2xy ly y X 3 9 Đặt u = —+ 1-—,v = xy khi đó hệ phương trình trở thành: y y u 3 =4 11 + 3 = 2v ( 2 45^ u 3 = 4 f l, + 3 ì 2 l 4 ) \ ^ ) u + 3 45 + —— + — 2 4 V = LI + 3 u 3 -u 2 -8u-60 = 0 V = - LI + 3 I (u-5)Ịu 2 +4u + 12Ị = 0 <=> \ V = - LI + 3 u = 5 X 3 —+1-—=5 1 <=> • y y «7 II >. II • X xy = 4 <=> X = - X = - 3-773 2 3 + 773 8 3 + 773 2 -3 + 773 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (3;0); 3-773. 3 + 773 ì í 3 + 773.-3 + 773 _ 9 _ 5 9 (x-y + l) 3 =4x 3 7 2 2 , 251 a x y -xy+TT 1 V 16 y 1 - y + X = -16x 2 y Lời giải THI: Nếu x = 0=>y = llà nghiệm của hệ. TH2: Nếu x^Ochia hai vế phương trình đầu của hệ cho X 3 , chia hai vế phương trình hai của hệ cho X ta được: 320 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 'i-Ị + Ị' J V x x / = 4 r 02 . 251 a x y -xy + ^T 1 V 16 J —- —+ 1 = -16xy LX X 1 y Đặt u = —— — +1, V = xy khi đó hệ phương ưình trở thành: XX 3 ,1 ( 2 251^1 3 4 ( 2 25 0 u =4 V - V + 1 — u =4 V -v + —— 16 J <=> • 16 J u = -16v LI = -16v [(4v + l)( 11 = -16v 4096v -1020V + 251 =0 u = 4 V =--V 4 I-I+1=4 X X xy = - 1 — y + X = 4x 1 «• xy 4 x = 2’ y: 2 1 3 X = -—,y = — 6 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;l);f^-;-^- _Ị_ 3 6 ; 2 X 4 + y 4 +16 = óỊx 2 y 2 -X 2 +2xy + y 2 j Bài 60. Giải hệ phương trình < X 2 -y 2 -3 = 3Í—- —1 U x xy ) Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: Ịx 2 -y 2 Ị 2 +16 = 4x 2 y 2 -ó(x 2 -y 2 Ị + 12xy í 1 o . A X 2 -y 2 - 3 = 3 í 7 „2 , X -y -1 xy Thấy sự lặp lại của xyvà x 2 -y 2 nên ta đặt u = X 2 -y 2 ,v = xy,(v * 0)hệ phương trình trở thành: 321 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u 2 +16 = 3óf——ị- -óu + 36.——ị- ^ u-3 J u-3 „_3(u-l) V = —- u-3 lu = 0 uíu 3 -83u + 174) = 0 Ịv = 1 3(u-l) ° [u 3 -83u + 174 = 0 (1)- y = v = 3(u-l) 1 u-3 Phương trình (1) là phương trình bậc ba giải được bằng phương pháp lượng giác hóa tìm được u,v suy ra x,y . Lời giải Điều kiện : y ^ 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với : 1 X Đặt u = X -—,V = — hệ phương trình trở thành : y y ~ju = 0 [u 3 + uv = 0 |u(u 2 +v) = 0 Ịu 2 +2v-u = 2 [u 2 +2v-u = 2 [u 2 + 2 v - u = 2 l v = -u 2 [u 2 +2v-u = 2 322 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u 2 - 2u 2 - u = 2 . 1 u = 0 y <=>í <=>í [v = l X = 1 .y X - — = 0 r y |x = -l,y = -l x = l,y = 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = . X 2 + l + y 2 + xy = 4y Bài 62. Giải hệ phương trình x+y-2: x 2 + l Lời giải Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trinh. x 2 +l Xét y chia hai vế phương trình đầu của hệ cho y , ta được : ——'— h X + y = 4 y X 2 +1 + x + y = 4 Ta có hệ phương trình : x+y-2= X 2 +1 x 2 + l Đặt LI = ——-—, V = X + y hệ phương trình trở thành : y u + v = 4 Ju = 4-V Ju = 4-V v-2 = - < ^ > |(4-v)(v-2) = l ^ Ị-v 2 +6v-9 = 0 íu = l — = 1 t íy = 3-x Ị"x = l,y = 2 |v = 3 |x 2 + 1 = 3 -X X = —2,y = 5 x + y = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;2);(-2;5). Bài 63. Giải hệ phương trình hy + 2y + 16 = 1 lx y |x 2 +2y 2 + 12y = 3xy 2 Lời giải Nhận thây y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y ^ 0 chia hai vế phương trình của hệ cho y 2 ta được : 323 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2 +2+ 4 = 11Ì y 2 y X 2 . 12 _ —~ + 2 + — = 3x ly 2 y f 4^ 2 X- V yy / \ 2 X „ „ X + 2 = 3- l \J) + 2 = 3 ' 4^ X- V yj 4 X 9 Đặt u = X-,V = — hệ phương trình trở thành : y y u + 2 = 3v I V 2 +2 = 3u <=> u = l,v = 1 u = 2,v = 2 <=> X — —- = 1 *=1 <=> X- — = 2 — = 2 1-VĨ7 1-VĨ7 x = —,y = —f— 2 2 1 + VĨ7 1 + VĨ7 x = —,y =—T— 2 2 x = -2,y = -l x = 4,y = 2 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: (x;y) = (-2;-l);(4;2); (\-4ĩĩ Ỉ-4ĨĨ\ /1 + VĨ7 _ 1 + VĨ7 N { 2 ; 2 ) ’ 2 ’ 2 V y Bài 64. Giải hệ phương trình X 2 Ịy 2 + lj + 2y Ịx 2 + X + 11 = 3 (x 2 +x)(y 2 +y) = l Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : (xy + x) 2 +2(xy + y) = 3 (xy + y)(xy + x) = l "u = l,v = l I x 2 y 2 + 2x 2 y + X 2 + 2xy + 2y = 3 [(xy + y)(xy + x) = l Đặt u = xy + x,v = xy + y dễ tìm được u = -2,v = -f- 2 <=> j xy + X = 1 [xy + y = l xy + X = -2 ^ 1 xy + y = -T- 1 + V5 1 + 4Ỉ X = ——^,y = —— 2 2 -1+45 -1+45 ’ x =- ——,y- --- 2 2 324 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: ' 1+Vs. Ì+Trì.í-I+Tĩ.-I+Ts M' Bài 65. Giải hệ phương trình: X 2 + y 2 =3x-4y + l 3x 2 (x 2 + 9 ) - 2y 2 Ịy 2 + 9 ) = 18(x 3 + y 3 Ị + 2y 2 (7 - y) + 3 ' Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : Đặt u = x 2 -3x,v = y 2 +4y, u > ,v > -4 4 X -3x + y +4y = 1 3(x 2 -3xỊ 2 -2(y 2 +4yỊ 2 =3 hệ phương trình trở thành : 3-VĨ3 I u + V = 1 13u 2 -2v 2 = 3 u>-^,v>-4 f u = 1 [x 2 - 3x = 1 <- - - >ị <=> ị <=> ->< <=>< v = 0 |y 2 +4y = 0 X = - X = - X = ■ 2 3 -V 13 2 3 + VĨ3 ~2 3 + VĨ3 ,y = 0 ,y = -4 ,y = 0 ,y = -4 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: M ị 3 +A / 3 + VĨ 3 \ " 3 -VĨ 3 \ 0 /3-704 2 ’ : V 7 ’ 2 ’ V 7 ; 2 ; V . / 2 V 7 Bài 66. Giải hệ phương trình < 2 2 y 3 X + xy + y + X + —— = 2 x + 1 2 2x + y + —— = 2 x + 1 Lời giải Điều kiện : X & -1. Hệ phương trình đã cho tương đương với : (x + y + l) ' y 2 _ + x v x + 1 , = 2 x + y + l + ^—+ x = 3 x + 1 325 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X + y +1, V = ^ + X hệ phương trình trở thành : x + 1 I uv = 2 u + V = 3 <=> u = l,v = 2 u = 2,v = l <=> X + y +1 = 1 ỉ- + x = 2 X + 1 X + y +1 = 2 2 <=> y x + l - + x = l x = 0,y = l X = l,y = 0 1-a/Ĩ7 -1 + VĨ7 x = -—— ,y = - 4 1 + VĨ7 ->y = 4 1 + a/Ĩ7 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: (x;y) = (0;l);(l;0); 4-VĨ7 .-1 + VrT 1 + \ỊĨĨ _ 1 + VrT 4 ’ 4 V y ’ 4 ’ 4 V y Bài 67. Giải hệ phương trình [3x 4 - 4x 3 y 2 - 4x 2 y + 6x 2 - 4xy 2 +3 = 0 1 5x 4 - 4x 4 y 2 - 8x 2 y 2 + 6x 2 -4y 2 + 5 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : íx 2 +1 \ - 4xíx 2 + 1 jy 2 -4x 2 y 5(x 2 +lỊ 2 -4Ịx 2 +lỊ 2 y = 0 2 - 4x 2 = 0 3_4^—-4 X 2 +1 ( V 2 5-4y 2 -4 u +1/ V 2 = 0 y=° „= <— x +1 > <; X Vx +1 4Ịu 2 y + y 2 uỊ-3 = 0 4(u 2 +y 2 Ị-5 = 0 y = i 1 «• X 1 f = 4 - X=1 2 + 1 2 X [y = l y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 68. Giải hệ phương trình j^ 2 x ~ y + ^ 3x ~ 2y = 2 . [2^/3x-2y+ 5x + y = 8 326 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: u = ỊỊ: 2x-y ìỊĩĩt-ỹ + ịịĩx-ĩỹ = 2 lẸx - 2y +13 (2x - y) - 7 (3x - 2y) = Đặt hệ phương trình trở thành: u +v = 2 = 7 3x-2y Ju+V=2 [2v + 13u 3 -7v 3 =8 < ^ > |2(2-u) + 13u 3 -7(2-u) 3 = 8’ Ju + V = 2 |u +v = 2 ^Ị20u 3 -42u 2 +82u-60 = 0°' (u -l)^20u 2 -22u + 6o) = 0‘ Ịv = l [^3x-2y =1 [3x-2y = l [y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 69. Giải hệ phương trình < y 2 xJ y2 x +2 -2x 2 3 2 4 2 29 X + 4x - 12x = y + y - — l 8 Lời giải Điều kiện: X > 0 phương ưình thứ nhât của hệ tương đương với: 2 y 2 +2 y 2 + 2 - X, -——-2x = 0 <=> V X X y 2 +2 y 2 +2 -2 = 0 ( 1 ). <=> ]j^~~ = 2 <=> y 2 = 4x - 2. Thay y 2 = 4x - 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 3 + 4x 2 - 12x = (4x - 2) + 4x - 2 - ^ o X 3 - 12x 2 + ^ - 0 . V / 8 8 o (2x - l)(4x 2 - 46x - 23 ) = 0 < — > 1 X = — 2 23 + 3769 327 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 4 y=0 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: Lời giải . y 2X Điêu kiện: xy * 0,9x + — > 0,y + — 1 > 0 . X y 328 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 11 + 2v = 4 u = 2 <=>< <=> ■ uv = 2 V = 1 9x + —= 2 9x + —= 4 ... . zx , V . ±1=1 y + —— = 1 y + — = 1 _ Í9x 2 +y = 4x„ Ịy=4x-9x 2 r* = <=>1 <=>± >2 <=> [y 2 +2x = y Í4x-9x 2 j +2x = 4x-9x 2 x = / I l'' Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm (x;y) = . y9 3 y x = 0,y = 0 «■ 1 1 ■ Ị 9 3 Bài 71. Giải hệ phương trình (x-Ỹ + y 2x - y y 2 |l + — = 2x 2 + y 2 - 4x Lời giải Điều kiện: y*0,l + — >0. y X 2 3x X --- . 1 + — = 2--l y y;v y y L 3x íxỴ , X Ỉ1 + — =2 - +1-4-. y vy Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 1 , _ , , |V , (u-2v)Vl + 3u =2u-l Đặt u = —,V — — hệ phương trình trở thành: < v _ y y [Vĩ +3u = 2u 2 - 4uv + 1 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: [u-2v + ljVl + 3u = 2u[u -2v +1 j. <=>(u-2v + l)(VĨ+~3Ũ-2u) = 0<=> ~~ r -. v ’ L 2u = Vl + 3u Xét trường hợp suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là [x;y) = [0;2);[4;4 ]. .Lỳịặgịậl m s ỈSS KSSSSSS 329 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: x^0,2x-y>0. ( . \2 _ 2(x + y) 1 Hệ phương trình đã cho tương đương với: < X X X 2 + xỊy-^2x-yj = 2x-l ( 1Ỹ \( V. x + y + — + 2(y-2x) = 7 x + y + — + 2(y-2x) = 7 V x ) <=> < V X J x + v —a/2x—V =2—— X + V + — - ,/2x - V =2 -2 + —- + 2y = 4x + 5 X + y - x/2x - y = 2 - — X X + y + — - J2x - y = 2 X Đặt u = X + y + —,v = x/2x-y,(v> 0)hệ phương trình trở thành: X v ’ [u 2 -2v 2 =7 [v = u-2 u-v = 2 [u 2 -2(u-2) =7 u = 3,v = 1 u = 5,v = 3 "r 1 x = l,y = 1 x + yH— = 3 r f , 1 1 1 X Ix +xy + l = 3x X =— ,y =—— [x/2x — y =1 [2x-y = l 3 3 <=> r , ° , <=> 7-V46 13 + 2V46 (thoamãn) Ịx + y+ —= 5 x 2 + xy + l = 5x x _ 3’^~~ 3~ _ x [[2x-y = 9 2x-y=3 7 + V46 -13 + 2746 x = —f—,y =-—- . 3 3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: 2-^46 . 13 + 2V467 + V46 -I3 + 2V46 (x;y) = (l;l); ; Bài 73. Giải hệ phương trình Điều kiện : y > >/ 7 . X 4 +2x 3 -5x 2 +y 2 -6x-ll = 0 .,2 , „_3Vy -7-6 X + X = , — y 2 -7 Lời giải X +X-6 ỊỊx 2 +x) + y 2 -11 = 0 Hệ phương trình đã cho tương đương với : - 3/2 -7-6 X 2 + X = , — ^ iKBBB ® 330 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt ị u = x^ + X v = Vy -7 ,Ịv > 0) hộ phương trình trở thành : (u-ó)u + v 2 - 4 = 0 LI = 3v-6 V 3v-6 V , 3v-6 2 , rv -6.——- + v -4 = 0 LI = 3v-6 V V 4 -13v 2 +36 = 0 LI = ■ 3v-6 u = 0,v = 2 u = 1, V = 3 V <=> X 2 + x = 0 Uỹ^7=2 X 2 + x = 1 VỸ^7=3 <=> X = 0,y = ±yfĩ I X = —1, y = ±VĨT -l + yỈ5 X = X = — 2 1 + V5 ,y = ±4 ■ ,y = ±4 Vậy hệ phương trình có tám nghiệm là: (x;y) = (o ; ±Vn);(-l;±Vlĩ); -l + \Ỉ5 \( l + yỊs -;±4 -;±4 Bài 74. Giải hệ phương trình X 2 +l-ỴyJx + y = y x 2 (x + y-2) + x-2 = 5y Lời giải Điều kiện : X + y > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với : < X 2 +i-yV x +y = y Ịx 2 (x + y-2) + x + y-2 = 6y Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y ^ 0 hệ phương trình đã cho tương đương với : x 2 + l x 2 + l l y -yỊx+ỹ=ỉ .(x + y-2) = 6 & 331 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x z -j- Ị Ị - ^ Đặt u = ——-—,V = Jx + y > Ohệ phương trình trở thành : y " Lời giải Điều kiện : y > 0 . Đặt t -sịỹhệ phương trình trở thành : x 4 -3t = 3x + t 2 x 4 -t 2 =3(x + t) xt(t 2 -l) = 3(x + t) xt 3 -xt = 3(x + t) Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được : X 4 -t 2 =xt 3 -xt <=> xỊx 3 -t 3 j + t(x-t) = 0. <=>(x-t)(x(x 2 +xt + t 2 ì + t) = 0<=> / , ,\ y \ II X X 2 +xt + t 2 +t = 0 THI : Nếu X = t <=> X = yjỹ thay vào phương trình đầu của hệ ta được : y 2 -3Vỹ = 37Ỹ + y<^y 2 - y - 6x/ỹ = 0 x/ỹ (y Vỹ-x/ỹ-6^ = 0 . TH2 : Nếu xíx 2 + xt +1 2 j +1 = 0 ta có hệ phương trình : xỊx 2 + xt + t 2 j + t = 0 xt 3 -xt = 3(x + t) 332 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi tị x| X 2 +xt +1 2 ) +1 -xt 3 + xt + 3x + 3t = 0 H Ịxt 3 -xt = 3(x + t) (* + *)( X t + t + 3|-0 I X = —t <=> • xt - xt = = 3(x + t) Ịxt 3 -xt = 3(x + t) _ x = -t <=>< „ X <=> t 2 -t 4 =0 X = 0,t = 0 X = — 1, t = 1 <=> x = 0,y = 0 x = -l,y = l' Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(-l;l);(2;4). (2x + y - l)|Vx + 3 + sjxỹ + Vx Ị = 8-v/x ỊVx + 3 + + xy = 2x(6-x) Lời giải Điều kiện : X > 0,xy > 0. Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X > 0 chia hai vế phương trình đầu của hệ cho Vx , phương trình thứ hai của hệ cho X ta được : Ạ í 1 - 7 yfỹ + ỉ = 8 (2x + y-l) |x + 3 +Vy+1 rì x ) / ( 2 * + y-4ếr- + £ V ' J ÍJ^ + rìf + y = rì«- x ) irì x J [rì x / Đặt u = + ,v = 2x + y,(u ,v > 0)hệ phương trình trở thành: f/ . 1\ / 1 \ í.. lo ..2 r + 2x + y = 12 (u + l)(v-l) = 8 |u 2 +v = 12 V = 12 -u <=> |(ư + l)(ll-ư 2 ) = 8*- u,v >0 1 ư — 3 1V = 3 Ễr+^oị^ (2x + y = 3 í-2x=3 [y = 3-2x & 333 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Để ý hàm sô" f(x) = , j x + ^ + V 3 - 2x nghịch biến trên V X trình có nghiệm duy nhâ"t X = 1 => y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (l;l j. 0 ;: nên phương Bài 77. Giải hệ phương trình < X + - y -+ y 2 = 0 Vx 2 +1 + x 2 I - —+ 2Vx 2 +l+y 2 =3 [y 2 Lời giải Điều kiện : y & 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: — + y + |Vx 2 +l-xj = 0 ụ 7+y lU J + 2 vx +1-X =3 Đặt ị X u = — + y y ,(v > o) hệ phương trình trở thành : v = Vx 2 +1 -X u + V = 0 u = -V <=> ■ u 2 +2v = 3 V 2 + 2v - 3 = 0 v>0 , u = -l <— > < V = 1 -+y = -i 1 x = -y-y <=>< y oị r—- «• Vx 2 +1-X = l [Vx 2 +l=x + l L x = 0,y = 0 X = 0,y = -1 Đôi chiếu với điều kiện suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;~l). X 2 +2y 2 +3xy-2 = 0 Bài 78. Giải hệ phương trình < - 3^=7 ' ( x+ yf Lời giải Điều kiện: x-y>0,x + y^0. Hê#ỉy^igáíìnMã chiơrìươna;, đươn gA&áẩã 334 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u = X + y X + y = u ịv = Ậ-y [X - y = v‘ Hệ phương trình đã cho trở thành: X = ■ u +V u — V í 2 4 u +V 2 + 2 ( 2 4 u-v 2 + 3 ( 9 4 u +V f 24 u — V 2 V / 2 V 2 2 V 7 2 V 2 V 2 +20 -2 = 0 = 3v u <=> ■ 6u 2 -2uv 2 4 Í3u 2 -uv 2 -4 = 0 Íu = 2 <=>t 2 -3u 2 v + 20 = 0 |v = 2 V 2 + 20 = 3v v“ u x + y = 2 fx + y = 2 íx = 3 r— <=>■ <=>■ / v/x-y =2 II **. [y = -l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-l). V2x-l-y(l + 2V2x-lj = -8 y 2 + y- N /2y-4x-l -2x + y = 13 Lời giải Điều kiện: X > ^-,2y -1 - 4x > 0 . Đặt u = V2x--I,(u>0)=>x- u 2 + l u + 8 Từ phương trình của hệ suy ra y = thay vào phương trình thứ hai của 1 + 2u hệ ta được: ' u + 8^ 2 <=> v l + 2u y +1 + 8 ' 2 +-++A 2.- i r±A_ 1 _4. 1 + 2u V 1 + 2u u 2 + 1 u 2 +1 u + 8 1 + 2u = 13. v l + 2u y u + 8 -4u 3 -2u z -4u + 13 2 . 11 + 8 „ ... + — - . -—--u - -14 = 0 (1). l + 2uV 1 + 2u 1 + 2u & 335 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số: f(u) = trên 1^0; +co). Ta có: f'(u) = -30.- u + 8 ỵ 1 4- 2u j LI+ 8 u + 8 -4u -2u -4u + 13 2 . u + 8 + ——,-—-—-u +—-14 l + 2u 15 l + 2u 1 + 2u -4u 3 -2u 2 -4u + 13 (2u + l) (2u + l)~ 1 + 2u -16u 3 -16u 2 -4u-30 u + 8 (2u +1 j 2u + 1 0 -4 u 3 -2u 2 -4u + 13 "ị 1 + 2u --2u -- 15 (2u + l) 2 < 0,Vu > 0 Nên f(u) là hàm nghịch biến trên ^0;+ r 4^ Vì vậy: (1) <=> f(u) = f(l) <=> u = 1 <=> V 2 ~ĩỆ -1 = l<=>x = l^>y = 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;3). Chá Sề 9. KỸ THUẬT ĐẶT Ẩn phụ dạng TổNG - HIỆU A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP u + V Đặt I LI = X + y |v = x-y thay vào hệ đưa về giải một hệ phương trình y=- u-v đôi với (u;v)dỗ xử lý hơn. Dâ"u hiên nhân biết: Phương trình trong hệ có chứa các đại lượng đối xứng đi cùng nửa đối xứng dưới đây: ' 2 -y 2 =(x + y)(x-y) = uv. X - ’ x 3 +y 3 = (x + y)(x 2 -xy + y 2 ) = (x + y) 2 3(x-y) +(x + y) 2 ^ = ịuÍ3v 2 + u 2 4 ) 336 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - X 3 - y 3 = (x - y||x 2 + xy + y 2 j = (x - yj 3 ( xty ) : +( x ÌL = I,( 3 u 2 +v 2 ) - x 4 -y 4 =(x 2 -y 2 )(x 2 + y 2 ) = (x-y)(x + y) (* + r) 2 +(*-y ) 2 = ìuv(ll 2 +v 2 ) 4 4 ị 2 ,.2 \ 2 „ 2..2 ( u " +v ) 1 / 2 2 \ 2 u 4 + 6 u 2 v 2 +v 4 - x‘ + y 4 =(x 2 + y 2 ) -íxy.^-^-^-v 2 ) =-^- „3 , ,„„2 u 3 +v 3 3 2 u 3 -v 3 - X + 3 xy =—-— ;y + 3 yx = —^— . _ 1 u = mx + ny Tổng quát ta đặt < [v = px + qy A. BÀI TẬP MẪU í 2 2 3 1 x - y X. ( x + y) 3 =5 Bài 1. Giải hệ phương trình ■ Điều kiện: xy ^ 0 . Lời giải 2xyíx 2 - y 2 ) - 3x - 2y Viết lại hệ phương trình dưới dạng: ị ( x + y) 3 -5 L u 2 -v 2 Í11 = X + V x : 4 _ _ u = X + y 9 9 Đặt < =>< X -y = uv lv = x-y , X 3x-2y=^-rìi-2.^ = ^ 2 2 2 Khi đó hệ phương trình trở thành: 2uv. 1,2 - y2 = [uv(u 2 - V 2 ) = u + vu 3 4 2 <=>j v ’ u 3 =5 i 1,3=5 337 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > y . Phương trình đầu của hệ tương đương với: (x + y + 3)^/x-y+x + y + 3 + l-(x-y) «>(x + y+3)ỊV x -y + i)+(i-V x_ y)( 1+ V x_ y) = 0 <=> Ị\/ x --ỹ' + lỊỊ x + y + 4-7 x ^-ỹ'j = 0<=>x + y + 4 = A /x _ ^ỹ' X + y + 4 = \jx-y Vậy hệ phương trình ưở thành: ị / , (x-y)(x 2 + 4) = y 2 +l Đến đây có nhiều cách xử lý hệ phương trình trên: Cách 1; Thế 4 = ^Jx--ỹ - X - y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (x-y)Ịx 2 +V x -y — x — y) = y 2 + 1 338 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com fx + y = -3 jx = -l U-y = i [y = -2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = . x 2 -y 2 =(x-y)(V x -y- 4 ) (x-y)Ịx 2 +4) = y 2 +l Cách 2: Viết lại T y 2 =x 2 +4(x-y)-^(x-y) Ị(x-y)(x 2 + 4) = x 2 + 4(x-y)^í^ỹ 4(x-y)-^(x-y) 3 + 1 2 2 y = X + + 1 3 x 2 (x-y) = x 2 -^(x-y) y 2 =x 2 +4(x-y)-^(x-y) x 2 (x-y-l) + ^(x-y) 3 -1 = 0 4(x-y)- A /(x-y) 3 x-y + -\/x-y +1 Vx-ỹ + 1 4(x-y)-^(x-y) 3 2 2 y =x + (x-y-l) = 0 2 2 y =x + (_x-y-l = 0 .j x+y= ; 3 «í x= ~; [x-y = 1 [y = -2 Cách 3: Thây xuất hiện dấu hiệu của tổng và hiệu nên đặt <=> ■ u = y/x /x - y ,(u>0): 1 V = X + y X = - 2 u + V u 2 -v 339 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có hệ phương trình: Ll = V + 4 í 2 , 4 2 u + V V 2 , + 4 í 2 4 2 u -V V 2 , + 1 <=>< V = u - 4 (u-l)íu 5 +3 u 4 -5u 3 -liu 2 + 12u + 20| = 0 Ta có: u 5 + 3u 4 -5u 3 -1 lu 2 + 12u + 20 > > 3u 4 - 5u 3 -1 lu 2 + 12u + 20 > 0, Vu > 0 _ ^ ^ ...... .... .. í u = v-4 X + y = -3 X = -1 Do đó hệ phương ưình tương đương với: 4 <=> < <=> < U = 1 |x-y = l ly = -2 Nhận xét. Nếu ta đặt ị r — ,(v > o): |v = yx-y u + V" X = - ngay từ đầu phương u-v trình thứ nhất của hệ trở thành: (u + 3)v + u-v 2 +4 = 0. <=>(v + l)(u-v + 4) = 0<=>u-v + 4 = 0 . Ta có các kết quả tương tự trên. '( 2 x-y) 4 +( 2 y-x) 4 =l Bài 3. Giải hệ phương trình < / \ 1 " (x-y)(x 2 -xy + y 2 ) = ^ v /9 Lời giải Bài này đã được nhắc đến trong chủ đề đặt ẩn phụ dạng đại số. Ta trình bày lời giải cho dạng đặt ẩn phụ tổng hiệu. Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: ( 2 x-y) 2 +( 2 y-x ) 2 - 2 ( 2 x-y) 2 ( 2 y-x ) 2 =1 5Ịx 2 +y 2 Ị-8xy 2 -2(5xy-2x 2 -2y 2 ) 2 <=> <=> c (x + y) 2 +(x-y ) 2 5.4-2—4-— 8 xy - 2 x z - ~]2 -2Í5xy- = 1 (x + y) 2 +(x-y ) 2 -1X2 = 1 340 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt <1 x + y khi đó hệ phương trình trở thành: Ịv = x-y Lời giải Hệ cho có sô" khủng ta chưa quan tâm đến điều này. Phương trình thứ hai của hệ có tích số (x - yj( X + y ) và phương trình đầu viết được X 4 -y 4 =2013(x-y) + x = 2013(x-y) + x + y — _y biểu diễn được theo X - y và X + y nên thử đặt ẩn phụ xem sao. Hệ phương trình được viết lại: X 4 -y 4 =2013(x-y) + x [(x-y)(x + y)] 3 =4027 / \t . \ ( x_ y)~ +( x + y)" \ x-y + x + y (x-yj(x + yj ---— = 2013(x-yJ +- J 2 —— [(x-y)(x + y)] 3 =4027 Đặt ị y từ phương trình thứ hai của hệ suy ra uv 0 . [v = x-y 341 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình trở thành: uv.-^-p^ = 2013v + -^_ [uv(u 2 +v 2 ) = 4027v + u 2 2 <=>i v ’ U 3 V 3 =4027 l 11 ^ 3 = 4027 Để ý một chút nếu thế 4027 theo uv từ phương trình thứ hai lên phương trình thứ nhất ta có nhân tử chung u . Do vậy ta có: uvỊu 2 + V 2 j = u 3 v 3 .v+ u <=> u U 2 V + V 3 -U 2 V 4 -1 =0. "u = 0 <=> u "u 2 vỊl-V 3 j + V 3 -l" = 0 <=> uỊu 2 v-ljỊl-V 3 j = 0 <=> U 2 V = 1. [ v 3 =l Đôi chiếu với uv * 0 ta được U 2 V = 1 hoặc V 3 = 1 . THI: Nếu V 3 = 1 đưa về giải hệ phương trình: _ ^4027 + 1 v 3 =l Ịu = ^4027 Ịx + y = ^4027 1 x “ 2 U 3 V 3 = 4027 lv = l Ịx-y = 1 1 74027-1 [ y = ~2~ TH2: Nếu U 2 V = 1 đưa về giải hệ phương trình: f 2 , [uv = 74027 11 = J— u V = 1 74027 -ị <=>1 1 <=>1 l LlV=4027 1 u=3 /Ể7 Ịv=(^7) 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: /74027 + 1 .74027-lì. 74027 + ụ^) 3/^7 (V4Õ27) _ ? _ 9 _ 5 _ 2 2 2 2 V 7 342 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í 2 2 _ g Bài 5. Giải hệ phương trình ị y |x 3 -7x + y 3 - 13y + 18 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: í(x-y)(x + y) = 3 (x + y) 3(x-y) 2 +(x + y) 2 -7 (x + y)-3(x + y-(x-y)) + 18 = o' Đặt u = x + y,v = x- yhệ phương trình trở thành: íuv = 3 ( u z +3v“ l V uv = 3 íuv = 3 7u - 3(u - v) +18 = 0 Ịu 3 + 3uv 2 -40u + 12v + 72 = 0 ’ <=> ■ irì +9v-40u + 12v + 72 = 0 3 V = — u , 63 u 3 + — -40u + 72 = 0 3 V = — u <=> { u 4 - 40u 2 + 72u + 63 = 0 <=> u = 3,v = 1 u = -7,v = -— 7 «. u = 2-V7,v = -2-V7 u = 2 + \fĩ, V = -2 + V7 l u 3 V = — (u-3)(u +7)Ịu 2 x + y = 3 X - y = 1 X + y = -7 3 - 4u - 3 = 0 7 [x + y = 2-\fĩ [x - y = -2 - \fĩ |x+y= 2 +V7 ix-y = -2 + \fĩ <=> x = 2 ,y = l x = ±\íĩ,y = 2 26 ' 23 x = —- L ,y = —— 7 7 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là (x;y) = (2;l);Ị±V7;2j; Cá®^pfhiffihS X -Okhôagthỗa mân hệ phưỡ|| tjifii| 343 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét X ^ 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: X 3 -7x + y 3 — 13y+ 18 = 0 X 3 - xy 2 - 3x = 0 Trừ theo vế hai phương trình trên ta được: x(y 2 -4Ì + y 3 -13y + 18 = 0. «(y-2)íx(y + 2) + y 2 +2y-9Ị = 0. y = 2 x(y + 2) + y 2 + 2y-9 = 0‘ THI: Nếu y - 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2 — 4 = 3 <=> X = T-v/ỹ . TH2: Nếu x(y + 2) + y 2 +2y-9 = 0<=>x= 9^ -y(do y =-2 không thỏa mãn hệ phương trình). Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Lời giải Viết lại hệ phương trình dưới dạng: í(x + y) 2 + x 2 -ỵ 2 -3(x-y) 2 +lj(x + y) 2 --48 [x 2 -y 2 + (x-y) 2 + l](x-y) 2 =-12 Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: 344 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ịu 2 + uv-3v 2 +l]u 2 =-48 Ịv 2 +uv + lỊv 2 =-12 Nhận chéo hai phương trình của hệ ta được: u 2 Ịu 2 +uv-3v 2 + lj = 4v 2 Ịv 2 + UV + 1 Ị 0 Ị 11 2 -4v 2 ỊỊu 2 +UV 7 .7 „ u = 2v x + y = 2x-2y x = 3y <=> u 2 - 4v 2 = 0 <=> ' o J l J . _u = -2v [x + y = -2x + 2y Ị_y = 3x THI: Nếu X = 3y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Íl2y 2 + lj.4y 2 +12 = 0 vô nghiệm. TH2: Nếu y = 3x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (1 -4x 2 j.4x 2 +12 = 0 » 4x 4 - X 2 - 3 = 0 . «(x 2 -lì(4x 2 +3) = 0«[ X = ;U[ X = ; 1 ’ y r 3 . V A ' L x=1 L x=1 ’y= 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = (-1;— 3);(l;3) . r + V 2 +11 = 0 Bài 7. Giải hệ phương trình < 4 4 3 1 x y ( x + y) 5 =5 Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình tương đương với: 4xy Ịx 4 -y 4 j = 3x -2y [(x + y f= 5 Đặt ị 11 x + ' khi đó hệ phương trình trở thành: v = x-y 4.^^.^fu 2 +v 2 ] = 3.^-2.-^ 4 2 V / 2 2 u 5 =5 uvỊu 4 - V 4 Ị = u + 5v uv Ị u 4 - V 4 Ị = u + U 5 V u 5 =5 V 5 = 5 345 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Đặt ị u x + y khi đó hệ phương trình trở thành: |v = X - y uv(u 4 - V 4 ì = u - U 5 V 6 [v(u 4 - V 4 ì = 1 - U 4 V 6 <=>t ' ' <=>< ' ' „5 5 _ c „5..5 _ c u V =-5 [u V =-5 ríu 5 =5 (v 5 +l](u 4 v-l) = 0 Ịv = -1 oị ' ' <=> ị. U 5 V 5 = -5 1 u4y = 1 _|u V - -5 346 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> í u = yfs I V = -1 11 = -- 1 «• l tỈ5 V = ^625 \x + y = yÍ5 U-y = -l X + y = ■ 1 <^> 'ĨỈ5 [X - y = 1 -^625 y=- ^5-1 2 yfs + l è +,fe ' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: M= ^5-1.>/5 + 1 _ 5 ề + '^rề-' & _ 5 6 6 \ — 4 2 -24 2 3 3 X -y +7x y -7x y =- Bài 9. Giải hệ phương trình < \ ) y 2x (x 2 -y 2 )V-7 Lờ/ giải Điều kiện: xy ^ 0 . Viết lại hệ phương trình dưới dạng: _3(x‘V) + 7*y(x»-y»)-í^ F-> J Ĩ=- 7 2xy Ịx 2 -y 2 ^3x 2 + y 2 )(3y 2 + X 2 Ị = 4x - 3y <=> \ , i7 W)- = -7 Đặt I u = X + y |v = x-y 9 9 9 9 X + 3y =u -uv + v 3x 2 +y 2 =u 2 +UV + V 2 . 4x-3y = u + 7v Sứtg^b f trc|||^ận^| 347 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com uv(u 6 -v 6 ' = uV =-7 = LI + 7v u(v 7 +lỊ(u 6 v-lỊ = 0 uv(u 6 -v 6 Ị = u-u 7 v 8 lV=- 7 u = lỊĨ ,w = -\ <=> U 7 V 7 =-7 u = --ị=,w = 3 ^' 3 ^7 Thay ngược lại biến (x;yj , 11V r / f #7-1. #7+1 Suy ra: lx;yj - 1 3 I 3 -\/7^ 'W , _3 ?r Bài 10. Giải hệ phương trình < y 3 +3xy 2 =-^ 5x 2 + 5y 2 + 2xy + 5x + 13y = 0 LÙ7 giải Đặt u = x + y,v = x- ykhi đó hệ phương trình trở thành: „3 .3 u -V 35 2 <=> • u 3 -v 3 +35 = 0 (1) 5/2 , _.2\ ,li 2 -v 2 , - . - 1 3u 2 + 2v 2 + 9u -4v = 0 (2) ^-Ịu +v j +— Ỳ~ + 9u-4v = 0 L Giải hệ này bằng phương pháp hệ số bất định bằng cách lấy (1) + 3.(2) theo vế ta được: (u-v + 5)íu 2 + UV + 4u + V 2 - v + 1\ = 0. Tìm được: (u;v) = (-3;2);(-2;3). Cách khác: Lấy (1) + 3.(2)ta được: fl. 5 Ì 1 5 Ì U ; 2 , V 2 ; 2 J (2y + 5) \2 3 x + 4- 2 + . 5 y+ 2, V L J \2 = 0^ y = - X = —- • 2 y = - B. BÌW 348 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1.1. Giải hệ phương trình 2 2 I X + y = xy + X + y U 2 -y 2 =3 Lời giải Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: 2.2 22 u + V u -V r 2 . „2 . . „ —: = —— -+11 u + 3v - 4u = 0 uv = 3 l" v = 3 u 2 +^Ị-4u = 0 u 2 3 v = — u u 4 -4u 3 +27 = 0 V = ■ (u-3) 2 (u 2 +2u + 3) r 3 r x + y= 3 | x = 2 „ <=>1 . <=>i ' v = - l v = 1 V = — u o V = 1 [x-y = l [y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). Bài 1.2. Giải hệ phương trình j^ x + "- x + 6 y + 1 1 X 2 + xy + y 2 = 7 Lời giải Điều kiện y > -1, khi đó hệ tương đương với: X 2 +2x + 6 = y 2 +2y+ 1 X 2 -y 2 +2(x-y) + 5 = 0 i((x- y ) 2 + 3( X + y ) 2 ) = 7 C 'Ịi(( X - y f + 3( X + y f) = 28' Đặt u = x + y,v = x- y, khi đó hệ trở thành: íuv + 2v + 5 = 0 Ju = —1 íu = 3 [3u 2 + v 2 =28 |v = -5 V |v = -l' + Với i u 1<=>J X+ y 1<=>< X 3 (thỏa mãn điều kiện). [v = -5 [x-y = -5 [y = 2 .... [u = 3 [x + y = 3 íx = l x + Với ị <=>< <=>{ (thỏa mãn điều kiện). [v = -l Ịx-y = -1 [y = 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (l;2),(-3;2). 349 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 - y 2 - 4 X y= ; Bài 1.3. Giải hệ phương trình • 5 3x 2 -4y 2 +y(x + y) = 16 Lời giải Đây là hệ tổng quát bậc hai đã biết cách giải dưới đây trình bày theo phương pháp đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu. Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 -y 2 -4 x-y =--- 5 y(x 2 + y 2 ) + |(x 2 -y 2 ) + y(x + y) = 16 Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: _ uv - 4 v_ 5 Juv-4-5v = 0 1/2 , 2 \ . 7 45_ , 1 14uv - u 2 - V 2 + 90u = 64 4 V /22 uv - 4 - 5v = 0 í uv - 4 - 5v = 0 (u + v) 2 - 16(7 + 5v)-90u + 64 = 0 j(u + v) 2 -90(u + v) = 0 "u = l,v = -l u + v = 0 u = 4,v = -4 uv-4-5v = 0 95-9789 85 + 9789 11 =---. V =---• u +V = 90 2 ’ 2 uv-4-5v = 0 95 + 9^89 85-9789 u =-y—,v =-y— L 2 2 Thay ngược lại tìm được nghiệm của hệ là: ( \ _ ( t\ i\ 1 a\ ,c 5-9789 'ì 5 + 9789 (x;y) = (0;l);(0;4J; 45;-y— ; 45;-y— . V ) \ Lời giải Đặt u = x + y,v = x- yhệ phương trình trở thành: 350 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3u 2 + V 2 4 = V 4 u 2 + 3v 2 oị { 4 2 4v u = — 4v 4 - V 2 .2 4v 4 -v 2 u =--- <=> < 3 v(v-l)(4v 2 + 4v + 12 j = 0 -V 2 3 - + 3 v 2 - 4 v = 0 <=> u = 0, V = 0 u = —1, V = 1 u — 1, V — 1 <=> jx + y = 0 Ịx-y = 0 jx + y = -l U-y = i U-y = i <=> X = 0,y = 0 x = 0,y = -l x = l,y = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0);(l;0);(0;-l). Cách 2: Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng < (x-y) 2 +3xy = (x-y) 4 =>I (x -y) + xy = X - y (x-y) 4 -(x-y) 2 = 3 Ị 'x-y-(x-y) 2 }. Bài 1.5. Giải hệ phương trình < X 2 -y 2 =8x-6y+ 1 (x 2 -y 2 ) 2 =10(x-y ) 2 -l' Lời giải Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: 7v +1 r „ , u=-— uv = LI + 7v + 1 V -1 ju 2 v 2 =10v 2 -l^ v 2Í7v + lf 10y2 _ 1 [v-l ) Do V = 1 không thoa mãn hệ phương trình. ' 7v + l f u = 11 = ——— u - <=> < v ~ 1 <=> (v + l)(3v + l)Ịl3v 2 -6v + lỊ = 0 [ u = u = 3,v = -l u = 1 , V = —-7- 3 351 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> - x + y = 3 x-y = -l < X + y = 1 ^ 1 - { 3 LI 1 3 2 3 X = 1 y = 2 y = - Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y+ x-y) 2 (x + y) 2 =2(x + y) + 9 Ị^x + y)~ +2(x-y)(x + y) = ó(x + y) + 6 Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: Ịu 2 +uvj =2u + 9 2 \ 2 o (u + v) u 2 = 2u + 9 u + 2uv = 6u + 6 6u+6-u uv ■ ^ 7 ÓU + 6-U 2 u +-—- \2 = 2u + 9 6u + 6-u“ uv: u 4 + 12u 3 + 48u 2 + 64u = 0 uv = - ÓU + 6-U o u(u + 4) 3 =0 uv = - 6u + 6 - u u = -4 X + y = -4 <=>- 17 17 V — - x-y = — 4 [ 8 1 X = — 33 \ 1 1 33 Hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x;yj = £ £ 352 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1.7. Giải hệ phương trình: (x + y) 2 (x - y +1) = 6x - 6y - 2 Ịx 2 -y 2 jỊ/x 2 -2y 2 + Ịx 2 -y 2 j(x + y) 2 + X + y j = 12(x -y) 2 - X + y -1 Lời giải t 11 = X + V. V = X - V hê nhương trình trở thành: Đặt u = x + y,v = x- yhệ phương trình trở thành: u 2 (v + l) = 6v-2 uv|u 3 v + 2uv + uj = 12v 2 -v-1 Nhận thây V = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét V & -1 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với 6v-2 6v-2 ì 2 , - 2 Í 6v-2 ì 6v-2 10 2 — V 2 + 2v 2 — + — -~ .v = 12y -v-1 v+1 v+1 v+1 2 _ 6v — 2 u T7T Í u 2 = 6 v- 2 u 2 =^ff 4(v-l)(9v + l)v 2 <=>< V + 1 v ‘ V + 1 - , ' 1 =v-l Ịv = l 4(9v + l)v 2 =(v + l) 2 (v + l) L u = ±\fĩ íu = ±^Ỉ2 <=> 1 V 36v 3 +3v 2 -2v-1 = 0 I 2 6v - 2 -1) 12v 2 +5v + 1 =0 (3v-l)( 2 6v-2 u =—- íu = ±7ỈĨ <=>•< V- Thay ngược lại x,y ta tìm được: ^vì-íl-l/í1_J_._I_1 \(l 1.11 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: , 3 f 1_L._I_LÌ/14 1 1 I 1 B^.^^Rnffigl®n dp||g j|F 353 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ’(2x-7)(x-y) + 3 = 0 Í3x 2 - 4xy + 4y 2 - 7Ì(x -y) 2 = 1 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y + x- y-7)(x-y) + 3 = 0 '(3(x + y) 2 -2(x 2 -p) + ll(x-y) 2 -28}(x-y) 2 =4' Đặt u = X + y, V = X - y,(u > 0] hệ phương trình ưở thành: (u + v-7)v + 3 = 0 Ị3u 2 -2uv + llv 2 -28)v 2 = 4 ‘ Giải hệ này bằng phương pháp thế chú ý u > 0 tìm được u = 4 => V = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất (x;y) = (3;l). Lời giải Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: uv , u2+v2 =4 .—-3 ■— íuvfu 2 +v 2 ] = u + 7v 2 2 2 <=>s v ' u 3 =7 [u 3 =7 uv(u 2 +V 2 ) = U + U 3 V u(v 3 -l) = 0 <=>í ' > <=>í ' > u 3 =7 [ư 3 =7 [ _ ìỊĩ +1 |a = ^/Ỹ |x + y = w | x_ 2 ịv = l Ịx-y = 1 1 [ y 2 354 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt là: Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 2 -y 2 =5(x + y)-(x-y) X 4 + y 4 -|Ịjx + y) 2 + (x -y) 2 j = 2x 2 y 2 - lOxy Đặt u = x + y,v = x- y hệ phương trình đã cho trở thành: uv = 5u-v ■ u%6uV + ơ _5 (uĩ + v2 , 10 uW. 8 2\ / 4 2 l V J Juv = 5u-v juv = 5u-v [8u 2 v 2 + 20u 2 - 60v 2 = 0 [8(5u - v) 2 + 20u 2 -60v 2 = 0' 355 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> u = 0,v = 0 1 + V8Ĩ5 75 + V8Ĩ5 _I__ \r — _-_ u =-—-,v 11 <=> -1 + V8Ĩ5 75-V8Ĩ5 11 ,v_ 3 X = — X = 0,y = 0 8 I 2 + 2 V 8 Ĩ 5 _ 838 + 24V8Ĩ5 143 ,y_ 143 812 + 2V8Ĩ5 -838+ 24^815 143 ,y_ 143 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (0;0); 812 + 2x7815 838+ 24-'/815 143 143 812 + 2V815 .-838 + 24V815 143 143 Bài 1.12. Giải hệ phương trình 2xy + yựx 2 -y 2 14 x + y | /x-y ^x + y ^ 3 V 2 , + , f X - y^ 3 V 2 y = 9 Lời giải Điều kiện: x + y>0,x-y>0. Đặt u = ^| x 2 y ,v = y x — y từ phương trình thứ hai của hệ suy ra u + V > 0 khi đó hệ phương trình trở thành: ' 2 Ịu 2 +v 2 )(u 2 -v 2 ) + 2uv(u 2 -v 2 ) 14 = u + V u 3 + V 3 = 9 (u 2 + v 2 jỊu 2 -V 2 j + uvỊu 2 -v 2 j = 7(u + v) u 3 + V 3 = 9 (u-v)Ịu 2 +v 2 j + uv(u-v) = 7 j(u-v)Ịu 2 + uv + v 2 j u 3 +v 3 =9 u 3 - V 3 = 7 íu = 2 <=>í „ „ <=>í _ <=>1 u 3 + V 3 = 9 [v = 1 u 3 + V 3 = 9 x + y _ 0 2 _Jx = 5 x-y =1 ừ = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;3). 356 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X - y ^ 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: [(x + y)(x-y) = 6 (x + y-1) 2 --3 = 0' Đặt a = x + y;b = x- y khi đó hệ trở thành: ab = 6 (a-.) 2 -A_ 3 = o oi b J- a a 2 -2a + l- —-3 = 0 h-y) b=ậ a 8a 2 -18a-18 = 0 <=> x + y = 3 "a = 3,b = 2 a = ,b = -8 4 < x+y=-— 4 X + y = -8 5 .. 1 x = -,y = - 2 2 35 29 x = -„ «y = o Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y) : f5.l\ í 35 _ 29 ì U ; 2/ ^ Ị oo 1 oo 1 y/x + 1 + yjỵ + l =2 Bài 1.14. Giải hệ phương trình < 72xy + 29^7 = 4' [x-y Lời giải Điều kiện: X - y ^ 0,x,y >-1. Bình phương hai vế phương trình thứ nhât của hệ ta được: X + y + 2 + 2-ựxy + X + y +1 = 4 <=> 2-ựxy + X + y +1 = 2 - X - y . íx + y<2 íx + y<2 |4(xy + x + y + l) = (2-x-y) 2 Ị(x-y ) 2 = 8(x + y) Đặt u = X + y, V = X - y,(v ^ 0,-2 < u < 2 ] khi đó ta có hệ phương trình: 357 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com v z = 8u 18 1.2 2 \ |v 2 =8u ( u 2 - V 2 ) _ j ' 3 „ 1 _ —L + 29\ỊŨv = 4 [9v 3 -112v-108 = 0 V <=> V = 4,u = 2 v = --,u = — <=> 3 9 4 2 v = -—,u = — 3 9 [x + y = 2 U-y = 4 X + y = — 9 <=> x-y = -- 3 X + y = ■ x-y = - IX = 3 y = -i X = —- 9 16 ' y 9 X = — y = ■ Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (3;- , r 8.i6\r 5.7^ ,; r 9 ; 9j ; r 9 ; 9 y Bài 1.15. Giải hệ phương trình , 1 ^x 2 + V 2 =4x 3x 4 + 3y 4 + 10x 2 y 2 = 2 - 6x 2 + 6y 2 3x 2 + y Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) 4 +(x-y) 4 + Ịx 2 -y 2 Ị 2 +6Ịx 2 -y 2 Ị = 2 |^(x + y) 2 + (x-y) 2 + x 2 - y 2 = 2(x + y + x-y) Đặt u = x + y,v = x- y khi đó hệ phương trình trở thành: u 4 + V 4 + U 2 V 2 + 6uv = 2 lu 2 + UV + V 2 = 2(u + v) Đây là hệ đối xứng loại I đã biết cách giải. Chú ý đẳng thức u 4 + V 4 + U 2 V 2 = (u 2 + V 2 -uvVu 2 + V 2 + uv = 2 (u + v)Ịu 2 + v 2 -uvj = 2Ịu 3 +v 3 j 358 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy ra <=> I u 3 + V 3 + 3uv = 1 u 2 +v 2 + uv = 2(u + v) 1-75 <=> u = 1-75 . 1 + 75 2 ,v 2 I + V5 __ I-V5 2 ,v 2 X + y x-y = X + y = x-y = 2 I + V 5 2 1 + 75 2 1-75 <=> x = —,y = 2 2 7 ị 2 TÍ x = -,y: 2 2 Cách 2: Rút y 2 = 4x -3x 2 từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu của hệ ta được kết quả tương tự. 3x 4 + 3^4x - 3x 2 Ị 2 + 10x 2 Ị4 x - 3x 2 Ị = 2 - 6x 2 + óỊ4x - 3x 2 Ị . «• (2x - l)(8x 2 - 14x -1) = 0 o 1 X = — 2 X = - 7-757 8 7 + 757 x = 2’ y: 75 2 75 ' x = —,y = - 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = ( 1 . Vsì fl.7sì v 2 ; 2 J 1^2’ 2 y Bài 1.16. Giải hệ phương trình X 3 +y 3 +x|3y 2 + lj + y|3x 2 +1 j = —— 4(x 2 -y 2 Ị 2 +4(x + y) 2 -8x + 8y-17 = - X + y Lời giải Điều kiện: Ịx + yỊỊx-y + lỊíO. Hệ phương trình đã cho tương đương với: 359 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x + yV + X + y =-ỉ-- v ’ x-y +1 4 ^x 2 -y 2 j" + 4 (x + y ) 2 - 8 (x-y) -y -17 = - X + y ( . >2 n \ 4 x 2 -y 2 +4(x + y) 2 -l i(x-y )-17 k v ' / Đặt u = x + y,v = x- yhệ phương trình trở thành: 1 U 3 V + u 3 + uv + u = 1 [ 4 u 3 v 2 + 4u 3 - 8uv - 17u = -8 Nhận thấy u = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét LI + 0 khi đó hệ phương trình tương đương với: (u 3 + uj(v + l) = l 4 u 3 v 2 + 4u 3 - 8uv - 17u = -8 4 u- V = 1 u 3 + u 1 •ỹ + u 1 \2 -1 í + 4u -8u 1 -1 U J + U ) 1 -17u = -8 u 3 + u u|8u 6 +7u 4 -10u 2 - 51 = 0 v = ^— u + u -1 -1 8u H + 15u" +5=0 u 2 =l 1 V = ^7 _1 u + LI I LI = —1, V = - — 2 „-1 u = 1, V = —— 2 Thay ngược lại tìm ra (x;y) : f 5.0 'ụ' 4’ 4 V ^ V I 4 4 ) 5.0 'n' 4’ 4 V ^ 4’ 4 360 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chò êề 10, KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM số A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Đinh lý 1: Nếu f(x)là hàm đồng biến(hoặc nghịch biến) trên (a; b ) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhât trên (a; bị. Đinh lý 2: Nếu f(x)là hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a;b)khi đó với mọi u,v e(a;bjthỏa mãn f(u) = f(v) <=> u = V. Một số dạng phương trình xuất phát từ hàm sô" như sau: Dang 1: Phương trình có dạngf(u) = f(v). - Thông thường từ một phương trình của hệ ta nhận ra đẳng thức f(u) = f(v). - Cộng, trừ theo vế hai phương trình của hệ đưa về f(u) = f(v). - Việc cần làm là xét hàm hàm ưưng f(t) chứng minh f(t) nghịch biến hoặc đồng biến trên tập K . Dang 2: Phương trình có dạng f(x) + g(x) = 0. - Từ một phương trình của hệ ta tìm được miền xác định X G ^a; b I và y e [ c ;d] ■ - Chứng minh min f(x)+ min g(y) = f(x 0 ) + g(y 0 ) = 0. xe[a;b] ye[c;d] - Chứng minh max f(x)+ max g(y) = f(x 0 ) + g(y 0 ) = 0. y^d] 9 v 1X = x 0 - Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi < [y=y 0 Do vậy kỹ năng xử lý là tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số và nhớ kiểm tra nghiệm (x 0 ;y 0 ) có thỏa mãn hay không. Chú ý. Đối với các em lớp 10 chưa được học về đạo hàm để chứng minh hàm đồng biến, nghịch biến ta xử lý như sau: Xét tý sô k =- - -—với mọi XpX, e (a; b 1 và Xj ^ x 2 . x l _x 2 - Nếu k > Othì f là hàm đồng biến trên (a;b). - Nếu k < Othì f là hàm nghịch biến trên (a;b). Một số dạng hệ thường sử dụng phương pháp hàm số - Hệ đối xứng loại II. - Hệ hoán vị vòng quanh(xem chương 4). 361 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lưu ý. Với hệ xử lý được bằng phương pháp hàm số thì cũng có thể xử lý được bằng phương pháp nhân liên hợp. Chẳng hạn hệ phương trình + Vx 2 +1 + Vy 2 + 1 j = 1 (1) x 2 +y 2 ) 2 =4(x-y) + xV (2) Phương trình (1) <=> X + Vx 2 +1 = \Ị y 2 + ĩ - y (3). Đến đây ta có hai hướng xử lý cơ bản hay được xử dụng như sau: Hưởng 1: x + y + Vx 2 +1 -Jy 2 +1 =0<=> x + y + — J x ~ y =0. Vx 2 +l+A/y 2 +l <=> (x + y) 1 + x-y Vx 2 +1 + \Ịy 2 +1 = 0 <=> X = -y . Do 1 + x-y Vx 2 + l+'Jy 2 +1 V X 2 +1 +X + Jy 2 +1-y x+x+y-y v =—— >0. Vx 2 +1+ \Ịỹ 2 +1 V- Hưởng 2: Xét hàm số f(t) = t + V t 2 + ĩ trên R, ta có: Vt 2 +1+t |t|+t X 2 +1 + Jy 2 + 1 f'(t) = l + > Vt 2 +1 Vt 2 +1 V t 2 +1 >0nên f(t)là hàm đồng biến trên R vì vậy phương trình (3)«f(x) = f(-y)«x = -y. Việc còn lại là thế vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0). A. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải hệ phương trình 1X 4 - 4x = y 4 - 4y (1) 1 X 2014 + y 014 =1 (2) Từ phương ttình (2) suy ra ,2014 Lời giải <1 [-1 < y < 1 X 2014 <1 1 < X < 1 Xét hàm số f(t) = t 4 -4ttrên đoạn [-l;lj ta chứng minh f(t)là hàm nghịch biến trê^ ; 1X b ằ n^^ai cimhiứm’ £ 2 ^™^ 362 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 1: Phù hợp với kiến thức lớp 10 chưa được học về đạo hàm. Với mọi tj,t 2 e [-l;l],tj ^ t 2 ta có l l l 2 L l l 2 Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên [-l;l] vì vậy (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay vào (2) ta tìm được X = y = ± 201 ^ . Vậy hệ phương trình có Cách 2: sử dụng đạo hàm Ta có f'(t) = 4t 3 -4<4-4 = 0 nên f(t)là hàm nghịch biến trên [-l;i] đến đây xử lý tiếp như lời giải trên. ' ., . f(t,)-f(t,) Nhân xét. Với cách xét tỷ sô k = ——-—ta chứng minh được hàm đông t 1 -t 2 biến hoặc nghịch biến rất phù hợp với kiến thức của một học sinh lớp 10 nhưng hạn chế của phương pháp này là nếu hàm f(t) có dạng phức tạp thì bước chứng minh k>0(k< 0j khó khăn hơn rất nhiều. Bài 2. Giải hệ phương trình < Vx-2-^y-l =27-x 3 (1) / \4 (x-2) +1 = y (2) Phân tích lời giải. Nhận thấy từ (2) ta có thể rút y tự do theo biến X do vậy việc thế được lựa chọn đầu tiên tuy nhiên sau khi thế đưa về một phương trình có chứa các nhân tử từ X 3 cho đến Vx - 2 do vậy ta suy nghĩ đến một cách nào đó có thể tìm được nghiệm của phương trình một cách dễ dàng. Như đã nói ở phần trên đó là nhẩm nghiệm và xử lý theo hai hướng - Hướng 1: Xét hàm số - Hướng 2: Nhân liên hợp. Lời giải Điều kiện X >2,y > 1 . Thế y = (x - 2) 4 + 1 từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: Vx-2 - (x - 2Ỵ - 27- X 3 <=> X 3 -X 2 + 4x + Vx -2 -31 = 0 (3) . 363 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm sô" f(x) = X 3 -X 2 + 4x + Vx-2 -31 trên Ị^2;+oo) . Ta có f'(x) = 3x 2 -2x + 3 4- > 0,Vx e (2; 4-00) nên f(x)là hàm đồng 2vx-2 biến trên (2; 4-00) .Mặt khác f(3) = 0dođó (3) <=> X = 3 suy ra (x;y) = (3;2). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;2). Do đó hàm sô" f(x) đồng biến ttên R . Nên f(x) = f(-y) <=> X = -y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có phương trình : ÍS 364 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện *4 4 '4 Lời giải , khi đó phương trình (ĩ) tương đương với: (4x 2 + l)x + ( (5 l )yl5-2y = 0 ■ <=> (4x 2 + l)(2x) = (4/5-2y ) 2 + 14 / 5 -2y (3). Xét hàm số f(t) = tít 2 + 1 j trên R, ta có: f’(t) = 3t 2 + 1 > 0,Vt e Rnên là hàm đồng biến trên R. Vì vậy: (3) ^ f(2x) = f(^5-2y) o 2x = ^5-2y X > 0 5-4x- Thay y = 5 - 4x J vào ( 2 ) ta được phương trình: 4x 2 + ( 5 -j^- ) 2 + 2 V 3 - 4x = 7 (4). 2 Suy ra 0 f(x) = f — <=> X = — => y = \ 2 ) 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Ị^;2 Nhân xét . Ngoài ra hệ trên còn giải được bằng cách đưa về hệ hoán vị lặp vòng quanh(xem chương 4). Qua bài toán trên ta có một dấu hiệu nhận diện phương pháp hàm số khi một phương trình của hệ có dạng: (mx + nWãx+~b=ípy + q)\/cỹ+~d . 365 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 5. (TSĐH Khối A,A1 2013) Giải hệ phương trình: Vx + l + \/x-l-^/y 4 +2 = y X 2 + 2x(y-l) + y 2 - 6y + l = 0 Lời giải Điều kiện X > 1. Khi đó biến đổi phương trình thứ hai của hệ trỏ thành: (x + y -1) 2 = 4y > 0 => y > 0 . Viết lại phương trình thứ nhất của hệ thành +2+tl^ĩ=jy 4 +2+y (!)• Đến đây ta xét hàm số f(u) = u + Vu 4 +2 trên nửa khoảng 1^0; +co). 2 3 Ta CÓ f'(u) = 1 + — 7 == > 0,Vu > Onên f(u) là hàm tăng trên Ị^0;+co). VII 4 + 2 Do đó (1) <=>f|^x-lj = f(y) <=> y = \lx- 1 <=> X = y 4 + 1. Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình (y 4 + y) =4y . Với y = 0 => X = 1 . Với yíy 3 + lY" - 4 = 0ta xét hàm số g(u) = uỊu 3 +lj -4. Ta có: g'(u) = Ịu 3 +1 j 2 + 3u 3 Ịu 3 +1 j > 0, Vu > 0. Mặt khác: g(l) = 0. Do đó y = lsuyra (x;y) = ^2;l) . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;0);(^2;l j. Nhân xét. Như đã nói một bài toán xử lý được bằng phương pháp hàm số thì cũng có thể xử lý bằng phương pháp nhân liên hợp. Vì vậy ta có thể tìm ra X = y 4 +1 bằng nhân liên hợp như sau. Với y > 0 và từ (1), ta có: 366 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com /x + 1 “Vy 4 +2 =y-Vx-l . _ X - ỵ 4 -1 _ y 1 X ! I Vx +1 + i/ỹ 4 +2 Ịy + x/x-ljỊy 2 +\/x-lj «-(x-y 4 -l) 1 r +7 - ' ! -■== ^ 7x + 1 + sjy 4 + 2 Ịy + 4 /x-ljỊy 2 +Vx^ <=>x-y 4 -l = 0 <=> x^y 4 + 1 /T 2 + 2\/4v 2 + 1 _ \ _ _ _ Bài 6. Giải hệ phương trình < x + yjx 2 -2x +2 -1 y(x -1) 2 • 4yVx-l - X 2 - 4y 2 + 3x - 3 = 0 Điều kiện: x>l,y^O. 2 + 2\/4v +1 Lời giải 2 + 2\ 4y 2 + 1 x + a/x 2 -2x + 2 -1 X-1 +Jíx-lì 2 +l >0 nên để hệ phương trình có nghiệm ta phải có y > 0 . Phương trinh thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: Ị ——- X-1 +J(x-l)~ + 1 M «2y + 2yV4y 2 + l=-i- + -i- —+ 1 (1). x ~ 1 ]j(x-l) Xét hàm sô" f(t) = t + t\t 2 + 1 trên (0;+co),ta có: ị— - t 2 : 1 + \t 2 +1 + , > 0, Vt > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên (0;+oo). \ 1 Vì vậy (1) <=> f(2y) = f í ——Ị <=> 2y = ——— <=> y = / 1 7 - • l^x-Ụ X — 1 2(x-l) Thay y = ——-—- vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 (x-l) 367 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: -1 < X - y ^ 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) 2 =4(x-y) 2 +5 f \ _ '*TiỊi^jM x -y) +ĩ ‘( x+ yf " 4 (x + y) 2 =4(x-y) 2 +5 f \ _ 1+ 2(^) V 2 ( x -y) +2 = 4 ( x -yf +1 (x + y) 2 =4(x-y) 2 +5 (2(x-y) + 3)^2(x-y) + 2 = 8(x-y) 3 +2(x-y) (1) Phương trình (1) chỉ chứa biến t = X - y nên ta đặt t = X - y đưa về phương trình: ( 2 t + 3)V2t + 2 = 8t 3 + 2 t «• ỊV 2 Ĩ+ 2 Ị 3 + V 2 t + 2 = ( 2 t) 3 + 2 t ( 2 ). Phương trình này có dạng hàm đặc trưng f(u) = f(v) nên ta xử lý bằng hàm số. Vậy xét hàm số f(u) = u 3 + u trên R , ta có: f'(u) = 3u 2 + 1 > 0,Vu > 0 nên hàm sô" f(u) đồng biên trên R . Do đó (2) f ỊV 2 Ĩ+ 2 Ị = f(2t) o \Ỉ2t + 2 = 2t 368 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> • 11 > 0 Ut 2 -2t-2 = 0 <=> t = 1 <=> X - y = 1 . Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) 2 =4(x-y) 2 +5 [x-y = l Oi x + y = 3 X + y = -3 <=> [x-y = l X = 2,y = 1 X = —l,y = —2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;yj = (-l;-2);(2;l). Nhân xét. Ví dụ này cho ta thây để xét hàm đôi khi từ một phương trình của hệ ta chưa có dấu hiệu của hàm đặc trưng và phép toán thế hoặc cộng trừ theo vế hai phương trình của hệ sẽ cho ta một hàm đặc trưng. Điều này đòi hỏi các em tinh ý nhìn nhận hai phương trình của hệ có điểm nào chung. Bài 8. Giải hệ phương trình X + Vx 2 -2x + 5 = 3y + ^Jỹ 2 X 2 -y 2 -3x + 3y + l = 0 + 4 Phân tích lời giải. Phương trình thứ nhất được viết lại thành : x + ^(x-l) 2 +4 = 3y + ^/y 2 +4. Hai vế có dạng gần tương tự nhau ; tuy nhiên sai khác nhau đại lượng X và 3y ; bây giờ thế 3y từ phương trình thứ hai của hệ vào chúng ta sẽ được gì . X + ^(x-l) 2 +4 = y 2 + 3x -1 - X 2 + i/ỹ 2 + 4 <=> (x -1) 2 + ^(x-l) 2 +4 = y 2 + yỊy 2 +4 . Lời giải Rút 3y = y 2 + 3x -1 - X 2 từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : X + Ậx-lỹ +4 = y 2 + 3x -1 - X 2 + Jy 2 +4 . o(x-1) 2 + ^(x-l) 2 +4 = y 2 + ^Jỹ 2 + 4 . o(x-lf -y 2 + ^/(x-l) 2 +4-^y 2 +4 = 0 - / \ 2 2 (x-l) 2 -y 2 <=> (x - l) - y 2 + = =— = 0. ^(x-l) 2 +4 + Vy 2 +4 369 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> 1 + 1 + 4 + .^y 2 +4 y = x- r Ly=!-• Nếu y = X - 1 khi đó ta có hệ phương trình : íy = x-l I y = X -1 1X 2 - y 2 - 3x + 3y +1 = 0' <=> X — X —. (x- 1J -3x + 3(x-l) +1 = 0 Nếu y = 1 - X khi đó ta có hệ phương trình : 3 X = — 2 1 ' y 2 y = 1 - X [x 2 - y 2 - 3x + 3y +1 = 0' <=> • y = 1 - X X 2 -(l-x) 2 -3x + 3(l-x) + l = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = . 2 2 _ 3 ” 4 1 ' ~4 '3' r /3 r 'J ; 2/ ’ 4 ’ 4 3x“ - 2x-5 + 2x X 2 +2y 2 = 2x-4y+ 3 Vx 2 + 1 = 2(y + l)-Jy 2 +2y + 2 Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được : 2x 2 -2y 2 - 2x-5 + 2xVx 2 + 1 = 2(y + l)-^(y +1)- +1 -2x + 4y-3 . <=> 2x 2 + 2 xVx 2 +1 = 2y 2 + 4y + 2 + 2(y + l)^(y + l) 2 +1 ■ <=> X 2 + xVx 2 +ĩ = (y + l) 2 + (y + l)^/(y + l) 2 + 1 (1). Xét hàm sô" f(t) = t^t + v/t 2 +1 ìtrên R, ta có : ' ' {t + Jẽíĩ) f'(t) = t + Vr + l + t V t 2 +1 Vt 2 +1 370 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ịt+^ẽTĨỊ > 0, V t e M nên f(t) là hàm đồng biến trên + 2 Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y +1) <=> X = y +1. Hệ phương trình đã cho tương đương với : íx = y + l |x = y + l < 2 + 2y 2 = 2x - 4y + 3 (y + l) + 2y 2 = 2(y + l) - 4y + 3 <=> • |x = y + 1 [3y 2 +4y-4 = 0 <=> I X = — 1 Ịy =-2 5 X = — ■ 3 \ í 5 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-l;-2); . 3 3 X 3 -3x 2 -9x + 22 = y 3 +3y 2 -9y 2x 4 + 2y 4 - 4x 3 + 4y 3 + 3x 2 + 3y 2 = X - y + n ~ Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: \3 , „ / , \ / „ \3 (x-l) -12(x-l) = (y + l) -12(y + l) (1) V 4 1 X —— 2 í 1 + y + T- = 1 ( 2 ) Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra: <1 1 x 2 1 1 y + i o <1 1 _3 -2-2y + 8 y +15y +14y + ^- = 0. r lỴ„ , 3 V ,,, ,llì y = “i 2 ,y = _ 2 ự 2 ự 2 2 3 1 3 y = -— x = — ,y = -— L 2 L 2 2 f 3 ịUị 3^ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y)= ^ ; yr',—y- ■ y2 2) y2 2 y Nhân xét. Như vậy phương trình đầu của hệ cho ta một hàm đặc trưng tuy nhiên bản thân hàm số f(t) = t 3 - 12 t không thực sự đơn điệu trên một tập số thực. Chính điều này làm ta suy nghĩ đến việc tìm miền của nghiệm. Dưới đây tôi trình bày một bài toán có hình thức tương tự nhưng cách áp dụng hàm số tương đối khác. 2x 2 (4x + 1 ) + 2y 2 (2y + 1 ) = y + 32 Bài 11. Giải hệ phương trình ■ 2 2 1 X +y -x+y=| Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 8 x 3 + 2x 2 + 4y 3 + 2y 2 - y - 32 = 0 (1) X + y + — = 1 Từ phương ưình thứ hai của hệ suy ra: Xét hàm số f(x) = 8 x 3 + 2x 2 trên -- 7 ;^- , ta có: 1 <1 X- 2 <=>< 1 <1 y + ị 2 13 -^- f(x) + g(y) = 0 <=> < y = . t r 2 Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ ta được nghiệm (x;y) = . ^2 2 y 7 2 2 N Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = • y 2 2 y Bài 12. Giải hệ phương trình • 4x 3 -3x4- (y-l)V2j^I = i (1) 2x + X + ^ Ly(2y + l)=0 (2) Lời giải Điều kiện -— < y < 0 . 2 Viết lại phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: 8x 3 - 6x + [(2y + l) - 3 ] ^/2y +1 = 1 . 373 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com «(2x) 3 -3.(2x) + (V2y + l) - 3 ^ 23^1 = 1(3) . Từ (2) ta có 2x 2 + X + ^-y(2y + l) = 0 => 2x 2 + x<0<=>-l<2x<0 . Và ta cũng có 0<2y + l f(2x) + f Ị^/2y + 1 j = 1 . ác f(2x) + f (V 2 y + 1) < f(-l) + f(0) = 1. Vì vậy j 2x = _1 Mặt khác 1 2y + 1 = 0 X = —- 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj \_í 1 rì 2 ’ 1 0 A y = (x -6) 2 -4^x 2 -7x + 14Ì> 0 „_ 10 2 < X < A- 3 __7 ỉ 0, Vy e 1; ĩ min e(y) = g(l) = ~ Ta có: f’(x) = 1 — n 2x 2 14 x 3 .l + — r;f'(x) = 0<=>l- ye u_ 2x 2 14 = 0 . x 3 .l + — & 374 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com «• 2x 2 -11 Wx 2 +7=28o x> ỊỊ ;» V2 _^ i( 2x2 -ựf( x2 + 7 ) <=> X = 3 (vế trái ĩà hàm đồng biến). Tacó : f(2) = iNVn,f(3) = ậ,fM 4 2 V 3 J = 784 10Ì 299 VĨ63 . .. 15 — 1 - —— + ——- =^> min f(x) = f(3) = — 60 5 " n 10 Do đó (1) <=> f(x) + g(y) = mm f(x)+ min g(y) = ^-^ = 0»- x 3 2 ^ 3 y e 2 2 y = i (thử lại thây thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x;y' H«) 1. Bài 14. Giải hệ phương trình: < (x + y)Vx 2 (2 2 ] x-y( x -y y lx + 5 + 1 = 2 ( 1 - (x-2j^/x 2 + 2xy + y 2 +1 = 0 x 2 + y ) Lời giải Nếu X = 2 => y = -2 . Nếu x + y = 0=>x = 2,y = -2. Xét với (x + y)(2 -Xj 5* 0 phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: ^(2-x) 2 +1 ^(x + y) 2 + l ^ 2-x x+y Từ (1) suy ra (2 - x)(x + y) > 0 . /ÕTTT ố f(t)= 1 trên (-co;0)u(0;+co), ta có: Xét hàm sô f'(t) =-J^<0,Vtí0. t 2 7ỠT7 Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (-co;0) và (0;+oo). Vậy (1) <=> f(2 - x) = f(x + y) <=> 2 - x = X + y <=> y = 2 - 2x . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x -(2 -2x)Ị^x 2 - (2 -2x) ì = 2 Í 1 -x 2 +(2 -2x) ì. o 6x 3 - 16x 2 + 7x + 2 = 0 » (x -2)Ịóx 2 - 4x -1) = 0 . 375 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trước tiên ta có: (2 - x)(x + y) > 0 => (2 -x)(x + 2 -2x) > 0 <=> X ^ 2 . Do đó 6x 2 - 4x -1 = 0 <=> X = - 2 -yỊĨÕ 6 2 + yĩÕ 6 2-VĨÕ 4 + VĨÕ 2 + VĨÕ 4-VĨÕ 6 ,y_ 3 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: / 2-VĨÕ_4 + VĨÕ\f2 + Vĩõ 4-Vĩõ / \ 2 -V 10 4 + V10 2 + V10 4-V10 ( x:y )= 6 ; 3 6 : 3 , v [x 2 -12xy + 20y 2 =0 Bài 15. Giải hệ phương trình < ln(l + x)-ln(l + y) = x-y TWT1_~___' .i. T~»1___ì; -_ A-X _ _»_ ;( 2 ;- 2 ). Nhân xét. Phương trình thứ hai cho ta hàm đặc trưng y = ln(l + X j - X tuy ydồng biến trên khoảng (-00; 0 ), nghịch biến trên nhiên y' = —— - 1 = — x+1 X+J khoảng (0;+co). Do vậy ta cần xác định được miền giá trị của hai ẩn x,y . Ta có: X 2 -12xy + 20y 2 = 0 <=> (x -2y)(x -lOy) = 0 <=> Suy ra x,y cùng dấu với nhau do đó ta xét hàm sô" được. Lời giải Điều kiện: x>—l,y>—1. Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x = 2y x = 2y X = lOy (x-2y)(x-10y) = 0 <=> X = lOy Suy ra x,y cùng dấu với nhau. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: ln(l + X] - X = ln(l + y) - y (1). Xét hàm sô" f(t) = ln(l +1) -1 trên (-l;+co)ta có: f'(t) = -!-—1 =- í-;f'(t) = 0ot = 0. t+1 t+1 Suy ra f(t)đồng biến trên khoảng (—1:0) và nghịch biến trên khoảng (0;+co). Mặt khác x,y cùng dâu nên (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . ÍS 376 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 X =2y X = 0 Khi đó ta có hệ phương trình: ) <=> < |x = y 1 y - 0 |x = lOy Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y j = (0;0j ■ Nhân xét. Như vậy với một số bài toán tính mà hàm số đơn điệu trên hai khoảng (- 00 ;0 j và (0;+xJ ta không trực tiếp sử dụng được tính đơn điệu của hàm sô" khi đó cần tìm miền giá trị của xyvà thường là chứng minh xy>0(tức hai ẩn cùng dâu khi đó chúng cùng thuộc khoảng(-co;0j hoặc (0;+oo) lúc này ta sử dụng hàm số như các bài toán hay làm. x y+1 =(y + l) x Bài 16. Giải hê phương trình ,- r. 2 r, / " 2 77 2x -9x + 6 /—— V- 4x“ +18x - 20 + —-— -= Jy +1 2x 2 -9x + 8 Lời giải -4x z + 18x - 20 > 0 Điều kiện : < 2x 2 - 9x + 8 * 0 <=> y + 1 > 0 2 < X < — y>-l Đặt t=V-4x 2 +18x-20 = J-4 x + - + -<ị=>te 0;ị . ỵ y 4 J 4 2 [2 Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành : t + 1 + —-— = ^y + 1 . t 2 + 4 Xét hàm số f(t) = t +1 + ———, ta có: t 2 +4 8t t 4 + 7t 2 +(t-4) 2 f'(t) = l->- v „ ’ >0. (t 2 +4 ) 2 (t 2 +4 ) 2 Do đó f(t) là hàm đồng biến trên 0;^- => f(t) > f(0) = 2 . Từ đó suy ra ta phải có yjy + l > 2 <=> y > 3 . 377 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ phương trình thứ nhát của hệ lấy logarit tự nhiên hai vế ta được : (y + l)lnx = xln(y + l)<^> — = ln ( y+ ^) (*) y + 1 x V , . Inu , ,, N 1 -lnu „ Xét hàm sô g(u) = , ta có g (u) = —= 0 <=> 11 = e u u 2 Suy ra hàm số tăng trong khoảng (0;e), giảm trong khoảng (e;+oo) Vậy ta có: X e 4 , , _ ln2 •g(x)>g(2) = -^± r-, \ , , ln4 ln2 Và y G [3;+coj => g(y) < g(3) = -2- = Từ đó suy ra phương trình (*) tương đương với : X = 2;y = 3 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;3). 2y(4y 2 +3x 2 Ị = x 4 Ịx 2 +3) 2 x Ị^/2y-2x + 5-x + lỊ = 4 Lời giải Điều kiện : 2y - 2x + 5 > 0 . Nhận thấy X = 0 không là nghiệm của hệ ; nên chia hai vế phương trình thứ nhất của hệ cho X 3 , ta được: + 3.—= x 3 +3x. Xét hàm sô" f(t) = t 3 +3t có f'(t) = 3t 2 + 3 > 0,Vt e M nên suy ra f(t) đồng f ~ \ r\ 2 v ^ 2y 2y X biên trên R. Vì vậy f — = f(x) <=> X = — <=> y = — ; thay vào phương 1 X X 2 Xét hàm sô" trình thứ hai của hệ ta được: 2 í f(u) = 2 u |V = 2 u ^/u ^(x-l) 2 +4-(x-l) = 2 ( 1 ). u 2 + 4 - u - 2 trên R, ta có f'(u) + 4 - u ln2- x/ũ 2 + 4 > 0 ; do ị & ln 2 > 1 > + 4 > u >u 1 u 378 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy f(u) đồng biến. Mặt khác f(0) = 0 dođó(l)<=>x-l = 0<=>x = l ; Suy ra y = Ỷ . Điều kiện x + y>0,x<2 . Phân tích lời giải. Nhận thấy (2) là phương trình chứa căn thức bậc ba việc tìm ra mối liên hệ đơn giản giữa hai ẩn X và y không khả thi vậy ta tập trung xử lý phương trình (1). Nhận thấy có nhân tử chung x + y hai vế và 2x-lcó thể biểu diễn theo V 2 - X nên chưa cần xét vội liệu (x + y)V 2 - X = 0 hay không ta chia hai vế phương trình cho (x + yW2-x ta được: ã x y _ 1 yx + y 4 2-x Điều này làm ta suy nghĩ đến việc xét hàm số và phương trình trên có dạng f(u) = f(v). 6 ^ 3 2 2 Đơn giản ta đặt u = Jx + y và V = V 2 -X khi đó ta được: -— =-— u V Phương trình này ta chưa thể xét hàm được tuy nhiên để ý ta tìm cách biểu 3 2v 2 diễn ———— cho có dạng vế trái và viết lại: V 6 - u 2 3 -2v 2 6 - 4v 2 6 - (2v) 2 u “ V “ 2v “ 2v Rõ ràng đây có dạng f(u) = f(v) và đi vào giải chi tiết ta đặt u = \Jx + y và V = 2 V 2 -X . Lời giải Nếu X + y = 0 khi đó từ (1) suy ra X = 2, y = -2 thay vào (2) thấy không thỏa mãn. Vậy X + y > 0 và V 2 - X > 0 khi đó viết lại (1) dưới dạng: 379 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 6-x-y_ 2x-l 6 - —— = ỉ- = <=>- — ■sịx + ỹ V 2-x 7^ Ụx + yỴ 6-Ị2V2-XỊ" 2 V 2 -X (3). X + y Xét hàm sô" f(t) = 6-t 6 với t>0 ta có f'(t) = —-^--l<0,Vt>0 t 2 Do đó f(t) là hàm nghịch biến trên (0;+co) . Vì vậy (3) tương đương với: f(V x + y I = f|2V2-xj <=> yjx + y =2^2-x <=> y = 8-5x . Thay y = 8 - 5x vào (3) ta được: 2^12x 2 +3x(8-5x)-18x =x 3 -6x-(8-5x) + 5 . 3<=>x 3 -3x-l = 2^v/-3x 2 +6x -(x-ljj . <=> 2\/-3x 2 + 6x = X 3 - X - ^x 3 -3x-1 = —2. _ X 3 -3x-l _ ịl]-3x 2 +6x 1 + (x-1)a/-3x 2 +6x + (x-l)~ f \ <=> Ịx 3 -3x- lì 1 +----- =0 . ịyj- 3x 2 + 6x j + ịx-ì}yj-3x 2 +6x + (x-l)~ <=> X 3 - 3x -1 = 0 . Để giải phương trình này ta xét nghiệm xe|^-2;2j và đặt X = 2cost,t e [0;7tj ta được 2cos3t = 1 <=> cos3t = Ậ <=> t =+^- + k-^ . 2 9 3 XT1 _. r- 1 . , 17T 57t Vrt 1 L n „ 5rc ^ ln\ Nhưng vì te 0;rc nên te -> suy ra: xe 12cos—;2cos—;2cos— > LJ [ 999 ] [9 9 9 j nhưng vì phương trình bậc ba có tôi đa ba nghiệm nên đó là tât cả các nghiệm của phương trình trên. Kết hợp với điều kiện x + y>0 ta có suy ra (x;y) = Ị2cos-^-;16cos^--5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 2cos-^;16cos-^-5 380 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > -2; y > -2. Coi (1) là phương trình bậc 2 với ẩn là y và viết lại ta được: y 2 + (3 -5x)y + 6x 2 - 7x + 2 = 0, ta có: = 5x-3 + x-l =3x _ 2 = 5x-3-(x-l) = 2x _/ 2 Từ phương ttình (2) ta có: X - 3 ln(x + 2) = y - 3 ln(y + 2) o f(x) = f(y); f(t) = t - 3 ln(t + 2), t > -2 Ta có f'(t) = -—^-=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;l)và đồng biến t+2 ' trên khoảng (l;+cc). Nhận thấy với X = y = 1 là nghiệm của hệ. |~y-x = 2x-2<0 , , , Với X<1^> =^>y f(y) >f(x)=^> VN . y-x=x-l<0 Vớix>l=> y x ^ > 0=> y > X > l,Vx > 1 =í> f(y) > f(x)=> VN y-x=x-l>0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x;y j = (l,l) ■ Lời giải Điều kiện y - X + 2 > 0 . Đặt t = X 2 - 2y khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành 4 + 3 t+2 = (4 + 9 £ Ị.7 2_t «• 4+ t ^ = 4+ 2 ^~ f(t + 2) = f(2t). 381 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4 + 3 X Xét hàm số f(x) = —— = 4 T v7y v7 , là hàm nghịch biến. Do đó f(t + 2) = f(2t) <=>2t = t + 2<=>t = 2. Từ đó suy ra X 2 - 2y = 2 <=> 2y = X 2 - 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 4 X + 4 = 4x + 4x/x z -2-2x + 4o4” = x- Với s = x-l. Do A x-l 1 + Ậx-lỹ +1 <=> 4 S = s + Vs z +1 Ị^s + Vs 2 + ljỊVs 2 +I-sj = l=>4 s =Vs z + l-s Từ đó ta có phương ttình : 4 S - 4 s - 2s = 0(*) Ta xét hàm sô" f(x) = 4 x -4“ x -2x ta có: f'(x) = ln4Í4 x +4“ x ì-2>21n4-2>0. Do đó hàm số đơn điệu tăng trên R . Mặt khác f(0) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất s = 0. Từ đây suy ra X = 1 => y = --Ì . í ị\ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = 1 1,—^ . Bài 21. Giải hệ phương trình: 4 x2-16 + 3x/x + Vx 2 + 1 = 4 y2 “ 8y + 3^/y — 4 + 3 /y 2 - 8 y + 17 yíx 2 -lj-4x 2 +3x-8 + lnỊx 2 -3x + 3Ì = 0 Lời giải Điều kiện : X > 0,y > 4 . Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất thành : 4 x 2 -16 + 3 ^ + ^/ x 2 + l - Ậ y ~ A ) + 3^y-4 + Ậỵ-4j 2 +1 Xét hàm số f(t) = 4* _16 + 3-v/t + Vt 2 +1 trên đoạn [0;+co). Ta có f'(x) = 2t4 r ~ 16 ln4 + — * > 0, Vt e 1^0; +co) ■ Nên hàm số f(t) 2 vt Vt 2 +1 đơn điệu tăng trên đoạn [0;+coj. Vậy phương trình f(x) = f(y-4)<=>x = y- 4<=>y = x + 4 lúc này thay vào phương trình thứ hai củ||h|pĩ' »c n 'íỷ/, M ; IIIP^ 382 lim Wm. <#111 11 mễ Hyn '1; 111 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 3 +2x-12 + lníx 2 -3x + 3Ì = 0(*) Ta xét hàm sô" f(x) = X 3 + 2x -12 + lníx 2 - 3x + 3Ì. Ta có: f (x) = 3x 2 + 2 + ———-— = 3x 2 + —-——-> 0, nên hàm sô f(x) x 2 -3x + 3 x 2 -3x + 3 đơn điệu tăng trên đoạn Ị^0;+co). Mặt khác nhận thấy f(2) = 0, từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất X = 2 => y = 6. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y) = (2,6). Lời giải Điều kiện X > 0, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y < 0 . Từ phương trình thứ hai ta suy ra: 16(x + l) = x 2 y 2 Ị4 + y 2 j<=>x 2 y 4 +4x 2 y 2 -ló(x + l) = 0 Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là y 2 , ta được: A' 2 = 4x 4 + 16x 2 (x +1) = 4x 2 (x + 2) 2 , -2x 2 +2x(x + 2Ì 4 y =-—----- Từ đó suy ra: 2 -2x y = — Chỉ nhận nghiệm y = — <=> X = —-, thay vào phương ữình thứ nhất của hệ ta được : x y log 2 4 = 2 y+2 02-log 2 y 2 - 2 y+2 = 0 (*) y Xét hàm số f(y) = 2 - logT y 2 - 2 y+2 với y < 0 Ta có f’(y) = -2 y+2 ln2 - 4r = 44( 1 - y (ln2) 2 ,2 y+1 ì > 0, Vy e (-00; 0) yln2 yln2v y ) v Vậy f(y)là hàm đơn điệu tăng trên khoảng (-co;0). Mặt khác lại có £Ct11j 5J)V ãããã-1 lừ nghiêm duy.n hấLưủa phương trìnỈ4X|)wK»»5s ss™™ 383 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ đây suy ra X = 4 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;-l). x(y 3 -x 3 ) = 7 [x 4 + x 3 y + 9y = y 3 x + x 2 y 2 + 9x o Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : x(y 5 -x 3 ) = 7 xỊx 3 -y 3 j + x 2 y(x-y)-9(x-y) = 0 xỊy 3 -x 3 j = 7 xỊy 3 -X 3 j = 7 (x-y)ỊxỊx 2 +xy+ y 2 j + x 2 y-9j = 0 xỊx 2 + xy + y 2 j + x 2 y -9 = 0 xíy 3 -x 3 Ị = 7 Do X -£■ y không thỏa mãn hệ phương ttình <=> < x(x + y) =9 Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra X > 0 do đó từ phương trình thứ nhất 3 của hệ ta có y > X > 0 và từ phương trình thứ hai rút ra y = —- X , thay vào vx r X 3 J=-X V x/x J - X = 7. phương trình thứ nhất ta được: X Đặt t = yfx,ịt > o) phương trình ttở thành : t 2 -1 2 " - 1 6 = 7 Ịt 3 - 3 Ị 3 + 1 7 + 7t = 0 (1). Xét hàm sô" f(t) = Ịt 3 -3j +1 7 + 7t trên (0;+oo), ta có : f'(t) = 9t 2 Ịt 3 -3j +7t 6 +7>0,Vt >0nên f(t) là hàm đông biến trên (0;+cx>). Vì vậy phương trình (1) <=> f(t) = f(l) «t = l<=>Vx=l<=>x = l=>y = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;2j. ÍS 384 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com *(y 3 -* 3 ) = 7 ta có cách khác như sau Nhân xét. Để giải hệ phương trình [x(x + y) z =9 xuất phát từ hệ đưa được về dạng đồng bậc được nên ta xử lý như sau : Đặt y = tx,(t > 0 j ta có hệ phương trình : x 4 (t 3 -l) = 7 (t 3 -l) 3 7 3 x 3 (t + lf=9^ (t + l) 8 = 9 4 ' Xét hàm số f(t) = — đồng biến trên (0;+co)và f(2) = 0nên (t + l) 8 9 4 phương trình trên có nghiệm duy nhất t = 2 <=> y = 2xthay ngược lại phương trình thứ hai của hệ ta được (x;y j = (l;2). + Ngoài ra ta hoàn toàn có thể rút X = 3 VT y ’ x>0^>y<. và thay vào phương trình đầu của hệ đưa về xét hàm sô" f(y) = y ~r~y -y 3 \ 3 Ty -7 trên f |

—— . • J Khi đó phương trình thứ hai của hệ tương đương với : -^8y 2 +24y+ I8 + 2V2 + l 4 ĩy + 3V2 = Vx 2 +V2 + X . Ị2y + 3j -1-7/2 + 2y + 3 = + V2" + X . 385 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đến đây ta xét hàm số : f(x) = \Ịx 2 + V 2 + X, ta có Vx 2 +V2 ■ f'(x) = - + 1 = Vx 2 + V2 Suy ra hàm số f(x) đơn điệu tăng . Vậy f (2y + 3 ) = f (x) <=> X = 2y+ 3 <=> y của hệ ta được : X 2 + \fĩ + X ^ Vx^ + x _ |x| + x Vx 2 +x/2 Vx 2 +V 2 _ Vx 2 +V 2 > 0 . x-3 , thế vào phương trình thứ nhất -x-3 = \/4x + 5 <=> x 2 -x-3>0 x 2 -x-3Ì = 4x + 5 x> 1 + VĨ3 2 1-VĨ3 L x “—2 (x-l)(x + l)( X -2x-4 =0 <=>x 2 -2x-4 = 0<=>x = l±x/5=>y = -1 ±4—, thỏa mãn điều kiện (*) 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN i±s-.-i±4 2 Bài 1. Giải hệ phương trình < Vx-1 -yjỹ = 8-x 3 lư-o Lời giải Thế y = Ị X - I ị vào phương trình đầu của hệ ta được X 3 -(x-l) 2 + yfx — ĩ - 8 = 0 <=> X 3 -x 2 +2x + Vx^Ĩ-9 = 0. Xét hàm sô" f(x) = x 3 -x 2 +2x + x/x-l-9 trên [l;+Go) là hàm đồng biến trên ~l;+coj 1. Mặt khác f (2) = = 0 suy ra (x;y) = ( 2; 1Ị là nghiệm duy nhất của hệ. Bài 2. Giải hệ phương trình 1 [x/x + l + x/x + 3+ x/x + 5= A J [x + y+ x 2 +y 2 =80 'y-1+v 'y-3+v ; y-5 Lời giải Điều kiện: x>-l,y>5. 386 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x/x + 1 + Ậx +1) + 2 + Ậx + 1) + 4 = yjy-5 + Ậy-5^ + 2 + ^(y-5) + 4 (1) Xét hàm số" f(t) = Vt + Vt + 2 + Vt + 4 đồng biến trên [0;+oo). Vì vậy (1) <=> f(x +1) = f(y-5) <=> X +1 = y-5 <=> y = x +6 . Thay y = X + 6 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: o„2 , ÌA „ TO n, X>-1 , „ 5\Í5-T 5^5+5 2x + 14x -38 = 0 < — > x =--—-=> y =-——. 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Lời giải Điều kiện: -4 < X < 1. Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: 2y 3 + y = 2(Vl-x) + Vl-x<=>y = Vl-x<=>Ịy _ v ’ [x = 1 -y 2 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: ^2y 2 +1 + y = 4 + \js-y 2 . vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến suy ra nghiệm duy nhất y = 2 => X = -3 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( _ 3;2). [x 3 +y 3 = 3x 2 -6x-3y + 4 Bài 4. Giải hệ phương trình < __ [x 2 +y 2 -6x + y-10 = ^/y + 5-^4x + y Lời giải Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: (x-l) 3 +3(x-l) = (-y) 3 +3.(-y)«x-l = -y«y = l-x. Thay y = 1 - X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2x 2 -9x-8 = Vó-X - V3x + 1 ^2x 2 -9x-5 + (V3x + 1-4) + Ịi-V6-x) = 0 5^5-7 5 V 5 + 5 " 2 ’ 2 / 387 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>(x-5)(2x + l)+ jẤ ^ + x 5 — V3X + 1+4 V6-X+1 3 1 ; V 3x +1 + 4 Vó -X + 1, <=> (x -5) 2x +1 + = 0 . = 0<=>x = 5=>y = -4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;-4). liệm duy nhất ^x;yj = (5;-4j. X 6 - y 3 + X 2 - 9y 2 - 30 = 28y 2|Vx - Vx-lỊỊl + Vy + 2j = ^x(y + 3) T Lời giải Điều kiện: X > l,y > -2 . Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: (x 2 ) 3 +x 2 = (y + 3) 3 +(y + 3)«x 2 = y + 3<=>y = x 2 -3 . Thay y = X 2 - 3 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2|Vx - Vx-1 jỊ^l + Vx 2 -1 j = xi/x . Phương trình này có nghiệm và kỹ thuật xử lý rất đẹp mắt. Để giải phương trình này ta dùng kỹ thuật nhân liên hợp đưa về hệ (xem thêm cu ổn Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh phương trình, bất phương trình vô tỷ cùng tác giả). , _ , ., x ( r 2~ 2 Hệ phương trình có nghiệm duy nhât (x;y] = 2 + —y=; —7=-l yị V 5 V 5 Bài 6. Giải hệ phương trình: 6^2-x + 3y yỊĨ-ỹ + 2y + 2 = 3yjỉ-y + 3xV2 - X + 2x V4y + X + 7 - Vy +1 = \lỏ + x-x 2 Lời giải Từ điều kiện của hệ phương trình và viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: 2(2-x)-3(2-x)V2^ = 2(l-y)-3(l-y)VĨ :: ỹ. <=> V 2 -X = Ạ-y oy = x-l. Thay y = X -1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: ,^4(x-l) + x + 7 - Vx = Vó + X-X 2 <=> V5x + 3 - Vx =Vó + x-x 2 . 388 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải phương trình này bằng cách bình phương hai vế và kết hợp điều kiện Lời giải Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: (V2^) 3 + yỊĨ—x = Ụly-ìỊ + yỊly-1 <=> V 2 -X - ^2y-l <=>2y-l = 2- x Thay 2y - 1 = 2 - X vào phương trình đầu của hệ ta được: X < 2 Ị"x = —1 fx = -l,y = 2 2x 2 + 7 = X 2 - 4x + 4 |_x = -3 [x = -3,y = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-l;2);(-3;3). Lời giải Điều kiện: l^x>0,y>0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: ln(l + X j - X = ln(l + y j - y . Xét hàm sô" f(t) = ln(l +1) -1 trên (0;+oo),ta có: f'(t) = —!—-1 = —— <0,Vt>0nên f(t)là hàm nghịch biến trên (0;+oo). t+1 t+1 v ’ Vì vậy f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhâ"t của hệ ta được: 2.x log 2 x =x 2 « log 7 x(l + log 7 x) = 21og, X « ~ < — > x = 2=>y=2 |_log 2 X=l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2j. 389 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 9. Giải hệ phương trình 2x 2 -llx = 2y -9 (1) y 3 + 3y 2 + y + 4x 2 - 22x + 21 = (2x +1) , 2x -1 (2) Lời giải Thế 4x 2 - 22x = 4y -18 từ (1) vào (2) đưa về phương trình dạng (y +1) 3 + 2(y + l) = Ị \/2x -1 j 3 + 2x/2x-l . ể^-yũ Xét hàm số f(t) = t 3 + 2t và tìm được _ 4 ^. . [x/2x-l = y +1 Ta có hệ phương trình: { <=> X = l,y = 0 x = 5,y = 2 [2x -llx = 2y-9 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;0j;(5;2j. 2x 3 y - X 2 = x/x 4 + x 2 -2x 3 y^4y 2 + l (1) [ 4^1 + 2x 2 y -1 = 3x + 2-y/l - 2x 2 y + V 1 - X 2 (2) Ị^-yn-zx y — 1 = JX + Z-^1-ZX 1 Lời giải 3 yí 1 + 4y 2 +1 j = Vx 4 +x 2 + X 2 . 1 77TỸ1 io 1 + A 1 + - of( 2 y) = f 3 , V V X J V X J Viết lại (1) dưới dạng 2x ; o2yfl + V4y 2 +l) = - V ) x^ V yx; j Trong đó: f(t) = t^l + x/t 2 +lj làhàmđí đồng biến suy ra 2y = — . X Bài 11. Giải hệ phương trình 5^x 2 +y 2 j = 6xy-l ' ^2x-2y + 1 + (x + y)~ = 0 1 + IV x -y. Lời giải Điều kiện: < X - y 5* 0. 2 Phương trình thứ nhát của hệ biến đổi thành: (x + y)~ = -4(x - y)~ -1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 1 ì^/2x-2y + l = 4(x-y) 2 +1. 1 + - x-y 390 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>(x-y + l)^/2x-2y + l =4(x-yJ + (x-y). <=> (2x -2y + 2^2x -2y +1 = 8(x-y) 3 + 2(x-y). Xét hàm chú ý x-y > 0 ta tìm được 2(x-y) = -Jlx -2y +1 <=> x-y = 1 + Aei nam cnu y x-y>u la um auọc z^x-yj = ựzx-zy+ 1 <=> x-y =—- Thay ngược lại phương trình đầu ta tìm được nghiệím của hệ phương trình. r X r- X yT Bài 12. Giải hệ phương trình < (x-y)^3x 2 -xy + 2y 2 + 2+1 1 = 3 2x 2 + y 2 + dy - 1 Lời giải Bài này tương tự bài trên ta không xử lý được độc lập hai phương trình của hệ nên ta xem chúng có mối liên hệ nào với nhau. Ta có: 3x 2 -xy+ 2y 2 + 2 = Ỉ2x 2 + xy + y 2 j + X 2 -2xy + y 2 +2 = 3 + (x -y)~ • Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: (x-y) 2 í > /(x-y) 2 +3 1 V = 3 (1) 2x 2 + y 2 + xy = 1 Xét hàm số ) f(t) = t|Vt + 3 + lj trên 1^0;+ 00 ), ta có: f’(t) = Vt + 3 +1+ —!=>(), Vt>0 Vt + 3 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là (x;y) l 4 ; 4j\4 ; 4 391 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 13. Giải hệ phương trình: (x + y) ( 3Ỹ 9 Jx 4 +y 4 +3x 2 +3y 2 -2 xy-- -- + 1 = 2 < (x 2 -y 1 r 2J 2 j 2 )i 1 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Vì vậy (1) <=> f(x + y) = f(l) <=> X + y = 1. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: gsg J&r m » ễềịềị&Êầ. ® ss 392 111 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: 4y 2 -5xy + 2 > 0 3x 4 + 6xỊy 2 +l-3x 2 j + 3y 2 +1>0 Nhận thây không thể xử lý độc lập hai phương trình của hệ vậy ta xem chúng có môi liên hệ nào với nhau. Thực hiện phép thế y 2 = 3x 2 - xy -1 từ phương trình thứ hai của hệ vào vế trái phương trình đầu của hệ; thế xy = 3x 2 - y 2 -1 vào vế phải phương trình đầu của hệ ta được: < ( x2 -y)V 3 ( y _x ) 2+1 = (y~ x )J 3 ( x2 ~ y f +1 . 3x 2 -xy-y 2 =1 THI: Nếu X = y khi đó thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3x 2 - X 2 - X 2 = 1<=>X = ±1^> x = -l,y = -l x = l,y = l Thử lại thấy cả hai nghiệm này đều thỏa mãn. TH2: Nếu X 2 - y = 0 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3x 2 - x.x 2 - X 4 = 1 <=> X 4 + X 3 - 3x 2 +1 = 0. <=> (x-l)(x + l)Ịx 2 + X — 1 j X +x-lU0o X = —1 X = 1 -1±4Ỉ X =- x = -l,y = l x = l,y = 1 _-l±yfs (-l±yls Ỹ x= 2 ’ y = 2 V J Thử lại chỉ có nghiệm (x;y) = (l;l j thỏa mãn. TH3: Xét (x-y)Ịx 2 -yWo. Khi đó phương trình thứ nhất suy ra (y - x)íx 2 — yì > 0 và viết lại dưới dạng: ( 1 ). Xét hàm số f(tì = Tì t 2 +i ưênl-), tacó' 393 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f '(t) =- < 0, Vt 0 nên f(t) là hàm nghịch biến hên (-oo;0)u(0;+oo). I 1 t 2 V3t z + l Mặt khác y-xvà X 2 - y cùng dấu nên (1) <=> f(y - x) = f(x 2 - y) <=> y - X = X 2 - y <=> y = 2 X +x iđó (y-x)Ịx 2 -y) = X ~( X ìì >0^x*{o ; l}. Khi Thay vào phương trình thứ hai của hệ và tìm được nghiệm của hệ. Bài 15. Giải hệ phương trình < 2x + l Ị X 2 + X + 1 2y x 3 (3y-ll y 2 + 3 ) = 2-^(xy-x + 2) 3 Lời giải Điều kiện: xy-x + 2>0,y^0. Nhận thây X = không thỏa mãn hệ phương trình. Xét x?t ~2 phdơng trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với: Vx 2 +X + 1 _ y/ỹĩ+ 3 a / 4 x 2 + 4x + 4 _ Jy 2 +3 2x +1 2y 2x +1 y 0 V(2x + 1) 2 +3 _ ựy 2 +3 2x +1 y Từ (1) suy ra (2x + l)y>0. i, 2 1 o Xét hàm số f(t) =- trên (-co;0) u(0;+co) ta có: 3 f'(t) = - fsl? -< 0, Vt ^ 0. + 3 Do đó hàm sô" f(t) nghịch biến trên mỗi khoảng (-;0) và (0;+). Mặt khác (2x + l]y>0nên (1) <=> f(2x +1) = f(y) <=> y = 2x +1. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 394 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com l-3x 4 +4x 3 = ÌM- Để giải phương trình vô tỷ này ta có các cách xử lý như ^jau: Cách 1: Ta có: í(l + x 2 ) 5 - ( r. \ l4x 2 l 2 J X 6 +3x 4 +3x 2 -—X 4 -3x 2 1 + x~ ) +l + ^x 2 2 6 3 4 X +—X l + x +l + : Do đó Ặ l + x 2 j > l + ^-x 2 ,\ực e R . Suy ra 1 - 3x 4 + 4x 3 > 1 + ^-x 2 <=> X 2 Ịóx 2 -8x + 3j<0<=>x = 0. Thử lại thây thỏa mãn vậy X = 0 => y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). Cách 2: Phương trình tương đương với: 9x 4 - 12x 3 + 4x 2 + 3 |Vx 2 + 1 j -4^x 2 + lỊ + l = 0. (3x 2 -2x) 2 +^x 2 +l-lj[3x 2 +2 - Vx 2 +1 j = 0 <=> j 3x 2 -2x = 0 v/x /x +1 -1 = Cách 3: Xét hàm số f(x) = 3x 4 -4x 3 -Jịx^+ĩj -1, ta có: Ị^4x 2 - 4x + Vx 2 +1 j x z +l-l ;f'(x) = 0ox = 0 f'(x) = 12x 3 -12x 2 +3xVx z +1 =3x| 4x z -4x + = 3xỊ^2x-l) 2 + \f: Suy ra minf(x) = f(0) = 0 và phương trình có nghiệm duy nhất X = c xeR Cách 4: Nhân liên hợp ta được: X 2 (3x 2 - 4x) = 1 - ịx 2 + 1) 3 = í 1 .- + 2 + X 2 l* 2 + 2 + V 'x 2 +lj X 2 +1 +1 — > 0,Vx X 2 <=>x = 0 0 395 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> X" f 2^ 1 2 X —— V 3 y |Vx 2 + 1 - lj +5 x 2 +2 l X +1 + 1 = 0<=>x = 0. Bài 16. Giải hệ phương trình < 5 + 3x -1 + V2x + 1 = ; y + 3y — 1 + +1 — Lời giải Điều kiện : x,y > —^. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 3 + 4x + V2x + 1 = y 3 + 4y + ^2y +1 <=> f(x) = f(y) Xét hàm số f(x) = X 3 + 4x + yfĩx +1 trên đoạn ;+G0 2 2 1 Ta có : f'(x) = 3x +4+ Ị > 0 , nên f(x) đơn điệu tăng trên đoạn 4ĩx + l 1 ;+co 2 Vậy phương trình f(x) = f(y) <=> X = y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được phương trình: X 3 + 2x -1 + V2x + 1 = 0 . 1 Ta xét hàm sô" f(x) = X 3 + 2x -1 + V2x + 1 trên đoạn 1 ;+G0 2 Ta có f'(x) = 3x +2 + V2x + 1 >0, nên hàm số f(x) đơn điệu tăng trên đoạn 1 ;+oo 2 Mặt khác nhận thây f(0) = 0 . Vậy phương trình f(x) = 0có nghiệm duy nhất x = 0, từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x,y) = (0,ũj. Bài 17. Giải hệ phương trình: ^(x + l) 2 +21 - A /ỹ = (y + l) 2 (1) ^(y + l) 2 +21 -Vx =(x + l) 2 (2) Lời giải 396 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thấy xy = 0 , không là nghiệm của hệ nên X > 0; y > 0. Trừ theo vế 2 phương trình của hệ ta được Ị^ĩ) ~+2l + Vx + (x +1) — +21+ yịỵ + ^y +1 j . <=> f(x) = f(y), trong đó f(t) = ^(t + l)- +21 + '/t+ ( t +1 ) 2 ,t > 0. _ _ , 1 t +1 \ v~~ Ta có f’(t) = 2(t + l) + — r + - r === v > 0,Vt > 0 ■ 2Vt ^(t + l) 2 +21 Vậy hàm sô f(t) đồng biến trên (0;+oo) . Suy ra f(x) = f(y) <=> X = y, khi đó thay vào (1) ta được: (x + l|“ + y/x -yj(x + l)~ +21 =0 (3). Xét hàm số g(x) = (x + 1 Ỷ + Vx -Jịx + iy +21 . Ta có g’(x) = 2x + 2 H— ị= X + 1 >2-|^LÌ>0. 2^ A /(x + lf+21 l x + 1 l Vậy hàm sô g(x) đồng biến. Mặt khác ta có, g(l) = 0. Vậy X = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3) . Suy ra y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. 397 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt y = u -1, khi đó phương trình thứ nhất trở thành X 3 - 3x 2 = u 3 - 3u 2 . Xét hàm sô" f(t) = t 3 — 3t trên miền xác định, ta có f ’(t) = 3t 2 - 3 nên đơn điệu trên miền xác định. Do đó f(x) = f(u) <=>x = u<=>x = y + l. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta suy ra nghiệm X = 2012 . X 2 - y 2 + 1 = 2 (Jỹ - VxTT - x) Bài 19. Giải hệ phương trình < ' '. Vx + l + ^/y-3 + x-y = 2 Lời giải Điều kiện: X > -l,y > 3. Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x +1) 2 + 2Vx +1 = y 2 + 2-y/ỹ <=> Vx +1 = yfỹ <=> y = X +1 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Vx + 1 +Vx-2 = 3<^>x = 3^>y = 4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;4). x 4 +2x 3 y-2x 2 y 2 -12xy 3 +8y 4 + l = 0 Bài 20. Giải hệ phương trình ị , ,2 r - y 4 + Ị x 3 +y Ị 2 =1 + x 6 + ^_ 2x 3 y Lời giải Điều kiện: 1 - 2x 3 y > 0 . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: y 4 +y 2 =Ị^V 1_2x3 yj (!)• Hàm sô" f(t) = t 2 +1 đồng biến trên Ị^0;+coj Do đó (1) <=> f(y ) = f ơl-2x y ^y z =dl-2x J y ^ y^ +2x"y = 1. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: jy 4 + 2x 3 y = 1 Ịx 4 + 2x 3 y - 2x 2 y 2 - 12xy 3 + 8y 4 + 1 = 0 jy 4 +2x 3 y = l Ịx 4 + 4x 3 y - 2x 2 y 2 - 12xy 3 + 9y 4 = 0 398 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: ỊVx+lj + Vx +1 = (Vỹ) + x/ỹ (!) • Xét hàm sô" f(t) = t 3 +1 trên [0;+co), ta có: f'(t) = 3t 2 +1 > 0,Vt G Rdo đó f(t) là hàm đồng biến trên 1^0; +GO ). Vì vậy (1) <=> f(Vx + 1) = f XyỊỹ) <=> Vx + 1 = . Thay = Vx + 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X + 3 Vx = 0<=>x = 0^>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Phương trinh thứ nhất của hệ tương đương với: 399 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3(x + ^/ỹj + ^/x + ^/ỹ = 3|Vx + lj + Vx+1 (1). Xét hàm sô" f(t) = 3t 2 +1 trên Ị^O;+co) ta có: f’(t) = 6t+ 1 > 0,Vt > Odo đó f(t) là hàm đồng biến trên Ị^O; +co). Vì vậy (1) <=> f(yjx + jỹ[ ) = f(Vx +1) <=> Ậ + ^ = Vx +1 . <=> X 4- yỊỹ = X +1 + 2\fx <=> yỊỹ = 2ylx+l. Thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm (x;y) = (ơ;l );(l;9). (x-y)Ịx 2 +xy + y 2 - 2j = 61n x-^ = l-^2(x 2 -y + lỊ y + \Jy 2 + 9 x +Vx 2 +9 Lời giải Điều kiện: y>0,x 2 -y + l>0. Khi đó viết lại phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: y + sjy 2 +9 x 3 -y 3 -2(x-y) = 6 x + Vx z +9 ự 1 1 V «x 3 -2x + ólnỊ^x + Vx 2 + 9 j = y 3 -2y + 6\nịy + ^y 2 +9 j (1). Xét hàm số f(t) = t 3 -2t + ólnỊ^t + \j t 2 +9 jtrên R, ta có: 9 6 f'(t) = 3t 2 - 2 + 3 . 3 =- + —F =- + Vr+9 \lt 2 + 9 Vt 2 +9 t 2 +9 , 8t 2 , —_— + ——-1 9 9 >33 3 t 2 +9 8t 2 8t 2 Vr+9 Vt 2 +9 9 9 + ^—1 = 2 + —— > 0, Vt e R. 9 Do đó f(t) là hàm đồng biến trên R nên (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X - Vx = l-^ĨỊx 2 - x + lj <=> ^Ịx 2 - x + lj = Vx +1 - X <=> 2Ịx 2 - X +1 j = X 2 + X +1 - 2x -2xVx + 2 a/x 400 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> X 2 - X + l + 2xVx-2Vx =0 <=> (x -l) 2 + 2Vx~ (x -l) + X = 0 Lời giải Điều kiện: x,y > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: e x -x = e y -y. Xét hàm số f(t) = e £ -t trên (0;+oo)tacó f'(t) = e l -1 > 0,Vt > Onên f(t) là hàm đồng biến trên ( 0;+'xj. Vì vậy f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: log 2 X + 3 log 1 X + 2 = 0 <=> log 2 X - 3 logT X + 2 = 0 . log 0 X = 1 |~x = 2 |~x = 2,y = 2 <=><=> => . log 2 X = 2 x = 4 X = 4, y = 4 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là Ịx;y) = (2;2);(4;4j. Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại thành: ^(2x + l) 2 +l-(2x + l) 2 -log 3 (2x + l) = ^/(x-y) 2 +l-(x-y) 2 -log 3 (x-y) 401 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số f(t) = Vt 2 +1 -1 2 - log 3 t với t > 0 , ta có f’(t) = —p== - 2t - —— < 0 nên hàm số f(t) nghịch biến. v ^+1 tln3 Do đó phương trình đầu tiên f(2x + l) = f(x-y)<=>2x + l = x- y (*) Xét hàm sô" f(x) = log, Í2x) + 4x 2 - v4x 2 + l,Vx > 0 Ta có f’(x) = 4x 2- V Mặt khác: ta có f 1 ị 'ì' v 2 y 4x +1 = l-y/ĩ. ■4 —-ỉ— > 0 , nên hàm số đơn điệu tăng. xln3 Suy ra X = 1 - V 2 kết hợp với phương trình (*) ta có nghiệm y = ——. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Ị1 - \Ỉ2; ệm duy nhất (x;yỊ = fl-x/2;—^ . 5 X +4 2y =3 X +2 X + 10x 2 -12y e x +(x-2y)lnÍ2x 2 + y 2 - 2xy+ x + 2Ì = e 2y Lời giải ( \2 ( 0 x-y + V / 1 l 2 J Tacó: 2x 2 +y 2 -2xy + x + 2 = (x-yj + + ->-,Vx,ỵeR. 4 4 Ta xét phương trình thứ hai của hệ như sau: - Nếu X > 2y => VT > e x > e 2y = VP hệ phương trình vô nghiệm. - Nếu X < 2y => VT < e x < e 2y = VP hệ phương trình vô nghiệm. - Nếu X = 2y thây thỏa mãn phương trình. Vậy X = 2y thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 5 X +4 X =3 X +2 X + 10x 2 - 6x «• 5 X + 4 X - 3 X - 2 X - 10x 2 + 6x = 0 . Nếu X < 0 khi đó VT < 0 phương trình vô nghiệm suy ra X > 0 . Xét hàm số f(x) = 5 X + 4 X -3 X -2 X - 10x 2 + 6x trên 1^0;+co), ta có: f'"(x) = 5 X ln 3 5 + 4 X ln 3 4 -3 X ln 3 3 -2 X ln 3 2 > 0, Vx > 0 nên phương trình f”(x) = 0 có tối đa một nghiệm. Lập bảng biến thiên suy ra phương trình 402 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f'(x) = Ocó tôi đa hai nghiệm. Lập bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 0 có tôi đa ba nghiệm(chú ý có đây là một tính chất của định lý Rolle). Mặt khác f(0) = f(l) = f(2) = 0. Do đó phương trình có đúng ba nghiệm x = 0,x = l,x = 2. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = (0;0|;(l;2);(2;4). Í3 X+1 -3 y =v-x-l Bài 27. Giải hệ phương trình ị |2.3 X +2 y =3x 2 +2y 2 -2x-y + 3 Lời giải Viết phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: 3 X+1 + x + l = 3 y +y.Từ phương trình này dễ tìm được y = X + 1. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2.3 X + 2.2 X -5x 2 -X - 4 = 0. Xét hàm số f(x) = 2.3 X +2.2 X -5x 2 -x-4và thực hiện tương tự bài toán trên tìm được các nghiệm X = 0,x = l,x = 2 . Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;l);(l;2);(2;3). Bài 28. Giải hệ phương trình: 4 X+1 - 4 y_1 = 2y 2 - 2x 2 - 4y - 4x - Vx + 1 + \fỹ -T y + Vx 2 +2x + 2 -1 = 4 X+1 Lời giải Điều kiện: X > -l,y > 1. Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng: 4 X+1 + 2(x +1) 2 + Vx+T = 4 y_1 + 2 (y-1) 2 + yfỹ ^I (1 ). Xét hàm sô" f(t) = 4' +2t 2 + Vt trên 1^0; 4-00), ta có: f'(t) = 4* ln4+ 4t 4— > 0,Vt > Onên f(t)là hàm đông biến trên 1^0;4 -go). 2vt Vì vậy (1)« f(x 4-1) = f(y -1) « X 4-1 = y - 1« y = X 4- 2 . Thay y = X 4- 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4 X+1 = X 4-1 4- Ậx 4-1) 2 4-1 <=> 4 X+1 Ậx + lỹ 4-1-X-l V = 1 ( 2 ). 403 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hàm số g(t) = 4 l ỊVt 2 + l-tjcó gXt) = 4'(ln4-l).^== 1 > 0, Vt e R nên r_ là hàm đồng biến trên R. r Vì vậy (2) <=> g(x +1) = g(0) ox + U0ox = -l=>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (-l;l) ■ (x + Vx 2 +1 jỊV + yjy 2 + 1 j = 1 4Vx + 2 + V 22 - 3x = y 2 + 8 Lời giải Điều kiện: -2 < X < 22 Từ phương trình đầu của hệ dễ tìm được y = -x . Thay y = -x vào phương trình hai của hệ ta được: 4Vx + 2 + V22-3x = X 2 + 8 . Để giải phương trình này ta có hai cách xử lý bằng nhân liên hợp như sau(xem thêm kỹ thuật và phương pháp giải đặc sắc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ). Cách 1; Phương trình được viết lại dưới dạng: 4(Vx + 2-2Ị + V22-3x-4 = x 2 -4. <=> S + JSr< x - 2 ><* +2 >- _/ V 4 3 ^ x ~ lVx + 2 + 2~ V22^3x+4 -x-2 = 0 . <=> X = 2 --x-2 = 0 Vx + 2+2 V 22 - 3x + 4 Xét hàm số f(x) = . 4 - = -X - 2 trên VX + 2+2 V22-3x + 4 22 -*? , ta có: f’(x) = - _4_9_ 2 VX + 2 ỊVX + 2 + 2 Ị 2 2 V 22 -3x ỊV 22 -3x +4j f 22 nên f(x) là hàm nghịch biến trên -2;^ . --1 < 0,Vx e ^ 22 ^ - 2 ;- V 404 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì vậy , 4 - . = - X - 2 = 0 <=> f(x) = f(-l) <=> X = -1 . VX + 2 + 2 V22 -3x + 4 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;-2);(-l;l). Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: Lời giải Điều kiện: x>-2,y<^-. Nhận thấy X = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét X ^ 0 viết phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: Từ đây dễ tìm được 1- —= J3-2y . Thay J 3-2y =1- —vào phương trình X X thứ hai của hệ ta được: Vx + 2 = \J 15 - X + l<=>x = 7=>y = (vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến). í 111'' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 7;-^— . 405 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x;y) = - V I + V 5 . 3 -V 5 Lời giải Điều kiện: X > — . 2 Phương trình thứ hai của hệ được viết lại dưới dạng: 406 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>y + l = V2x-l<=><; [y 2 + 2y-2x + 2 = 0 VXiU5 , _ _ _ , [2x 2 -llx-2y + 9 = 0 Xét hệ phương trình < [y 2 +2y-2x + 2 = 0 Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế tìm được các nghiệm (x;y) = (l;0);^|;-3j;(5;2). Kết hợp với điều kiện chỉ nhận hai nghiệm (l;ơ);(5;2). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;ơ);(5;2). Lời giải Điều kiện: X 3 - 2y +1 > 0 . Đặt t = a/x 3 -2y +1 thì phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành : X 5 +5x + Ịt 2 +5jt = 0<=>x 5 +5x = (-t) 5 + 5(-t). Xét hàm số f(u) = u 5 +5u có f'(u) = 5u 4 +5 >0 nên hàm số f(u) đơn điệu tăng trên R, từ đó suy ra: _ íx < 0 f(x) = f(-t)<=>x = -t<=>x = -ơx 3 -2y + l <=> \ ị/ [y = ị(x 3 +l-x 2 ] Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : r _ A x = 0,y = -Ị- , 2 X = 0 J 2 1-x =x + l<=> => . X = —1 , 1 P = -‘- y 2 /' ịU ị\ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 0;^- ; -1;-“ . 407 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 34. Giải hệ phương trình 3 3 5 / \2 2 8 100 X -y +^-Ịx + yJ + 5x --^xy + 13x = — X 2 + y 2 + xy - 3x - 4y + 4 = 0 Lời giải Từ phương trình thứ hai của hệ ta có : X 2 +x(y-3) + y 2 - 4y + 4 = 0 y 2 +y(x-4) + x 2 -3x + 4 = 0 A x =(y-3) 2 -4Íy 2 -4y + 4Ì>0 0 < <=> < Ay = (x-4) 2 -4^x 2 -3x + 4j>0 l (3) <=> < . xJo4l xJl;ỊĨ 4 L ; 3j L [y - 3 Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy thỏa mãn. . ,( 44 ' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = —. 8888 ^ m 'm 'M 39 L 3 ẩs) 9999 9995 408 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 35. Giải hệ phương trình: (x-y)Ịx 2 + xy + y 2 + 15j-(x + y ) 2 = X 2 -9y 2 -15y + 94 4x 2 + 4y 2 + 6 x + 6 y - 2xy -9 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : |x 3 -y 3 + 15x-2x 2 + 8 y 2 -2xy-94 = 0 (1) [4x 2 +4y 2 + 6 x + 6 y + 2xy-9 = 0 (2) Từ phương trình (2) suy raxE [-3;l],y e [-3;l] . Lấy (1) - (2) theo vế ta được : X 3 - 6 x 2 + 9x - y 3 + 4y 2 - 6 y - 85 = 0 (3). Xét hai hàm sô" x 3 -6x 2 +9xvà g(y) = -y 3 + 4y 2 - 6 y - 85 trên [-3;l] thực hiện tương tự bài toán trên ta được: (3)<=>f(x) + g(x) = max f(x)+ max e(y)oJ X = 1 . xe[-3;l] xe[-3;lj [y =-3 Thử lại thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (l;-3j. Bài 36. Giải hệ phương trình [ X 3 - y 3 - 3x 2 - 3xy + 17x + 13y -27 = 0 (1) Ị X 2 + y 2 + xy - 5x - 6y +10 = 0 (2) Lời giải 2 „ "5 " X G —;2 -ye —;3 3 3 Lấy (l) + 3.(2)theo vế ta được : (y -l) +2(y -l) = X 3 +2x (3). Xét hàm số f(t) = t 3 + 2t trên !* là hàm đồng biến. Do đo: (3)of(y-l) = f(x)oy-l = x. Thay y = x + lvào phương trình thứ hai của hệ tìm được các nghiệm í ^ g Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;2);| 409 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 3 -y 3 +x 2 -2y 2 + xy -^px - lOy =-12 [x 2 + y 2 + xy - 7x - 6 y = -14 Lời giải 2 „ 5 - X e —;2 .ye -;3 3 3 Lấy (1) - (2) theo vế ta được : x 3 -yX-y 3 -3y 2 -4y-2 = 0(3). 73 Xét hàm số f(x) = X 3 - — xtrên 9 ‘7 2 ; 10 và g(y) = -y 3 -3y 2 -4y-2trên Ta có : max f(x) = f 2 ;^ 3 / K) X ' = 10 ; và maxg(y) = g(l) = - 10 . Do đó: (3) <=> f(x)+ g(x) = max f(x)+ maxg(y) o r toi r 1 .vT 2 ;- L 3J 10 3 • y = i Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy không thỏa mãn. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 3 3 2 o 2 136 76 X - y + X + 3y + xy - —— X - 6 y = -— - 9 27 X 2 + y 2 + xy — 7x — 6 y — -14 Lời giải o 10 , 7 suy ra X G 2; . .ye 1;- 3 3 Lấy (1) - (2) theo vế ta được : x 3 --^x-y 3 +2y 2 -^- = 0 (3). 9 27 73 Xét hàm số f(x) = X 3 - —-X trên 9 „ 10 v , N 32 302 , 7 2 ;^ và g(y) = -y + 2 y ---—trên 1 ;^ 3 27 3 410 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ' 10 ' í 4 " Ta có : max f(x) = f = 10 ; và max 2 (y) = g JJl V 3 ) V 3 v = - 10 . Do đó (3)<=>f(x) + g(x)= max f(x)+ max g(y) <=> ■! -.10] r,.7f xe 2;— xe 1 — V : _ 3j L 3j y Thử lại thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1^-^-;^- r 10 3 4 X 3 +2x 2 - 2xy - y 3 + ậ- - = 0 3 54 2x 2 - X - 2xy + 2y 2 + 3y + ^ = 0 Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được : X + X = ' , 2^ 3 y+ f 2 2 2 + y + T-<=>x = y + ^-<=>y = x-^-. Thay y = X - J vào phương trình thứ hai của hệ ta tìm được các nghiệm / \_f_i _Ị _._5 _0/1 J _._5 _L s'’~6~ sf{~6 + T'~6 + s _i. '„1. _ ' _ :_£_ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: (x;y): 1 1 5 lì ( 1 1 _______5 1 'C S’~ c s)ị~ 6 * S’~ 0 * s (x + l)V^I-4y(2y 2 + lj = 0 2y 2 - 3xy + X + 8 = 0 Lời giải Điều kiện : X > 1. Viết lại phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng : Ụx -1 j + 2 -n/x -1 = (2y) 3 + 2.2y <=> Vx-1 = 2y <=> I y > 0 X = 4y 2 +1 411 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay X = 4y 2 +1 vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm (x;y) = (5;l). Lời giải Điều kiện : 2y - X + 1 > 0 . Lấy (1) + 3.(2) theo vế ta được : (x-2y) 3 +3(x-2y) + 3 = 3^1-(x-2y). ^(x-2y) 3 +3(x-2y) + 3-3^1-(x-2y) =0<=>x-2y = 0. Thay X = 2y vào phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được nghiệm duy nhất Lời giải Điều kiện : y > 0 . Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng : ỊVx 2 + 1-iJ +ĩịjx 2 + 1 -lj =(\/ỹ) +3(VỸ) 2 ■»Vx 2 + l- l = ' N /ỹ<^>y = í'\/x 2 +l-lì . Thay y = vào phương trình đầu của hệ ta được : 412 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện : X > l,y > ^. Phương trình đầu của hệ tương đương với: (x-l ) 3 + 3(x-l') + y/x-l =(2y-lỴ +3(2y-l) + - s / 2 y-l <=>x-l = 2 y-l<=>x = 2 y. Thay X = 2y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Lời giải Ta có : ^3y 2 - 6 y+ 4j-y/3y 2 - 6 y + 7 = ^3(y —+ lj-^3(y-l ) 2 +4 >2. X > 2 => 4x 3 - 4x 2 - 7x > 2 <=> (x - 2)|4x 2 + 4x + 1 j > 0 <=> ị . _ x= 2 Nhận thấy X = không thỏa mãn hệ phương trình vì vậy X > 2 . Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng : x 3 -3x 2 = ] Ịx 2 +(y-lf -3Íx 2 +(y-l) 2 ì (1). Hàm sô" f(t) = t 3 - 3t 2 đồng biến trên ^ 2 ;+'xj nên phương trình (1) Cí> f(x) = f Jx 2 + (y-l)~ <^>x = yjx 2 +(y-l)" oy = l. 413 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được X = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1 j. Bài 45. Giải hệ phương trình 1 Vx -yj [Vx + 9+V 1 -y ^1-y - Vl-X =0 Lời giải Điều kiện : 0 2^x(l-x) = 1 <=> 4x(l - x) = 1« X = ^- => y = ^ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ■ Ị_ Ị_ 2 " ’ 2 " Bài 46. Giải hệ phương trình < 8 x 3 - 4x 2 - 3x = 3y - — 2 x 3 +5x + (x 3 -2y + óWx 3 - 2 y + l =0 Lời giải Điều kiện : X 3 - 2y +1 > 0 . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với : yx 3 -2y + l +5^/x 3 - V ) - 2y +1 = (-x) 3 + 5.(-x). V J rr — 7 íx<0 íx<0 oV x - 2 y + 1= - xo 1 3 2 ~: 3 2 • [x 3 -2y + l = x 2 [ 2 y = X 3 - X 2 +1 x 3_ x 2 + 1 ., Thay y =- ị -vào pl nhất của hệ là (x;y) = íl;-^ ĩì. • An 1-£ „1__^_^_ vào phương trình thứ nhất của hệ tìm được nghiệm duy Bài 47. Giải hệ phương trình: ÍS 414 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>x 2 -y 2 + x- y = 0<=>(x-y)(x + y + l) = 0<=> X + y +1 = 0 Xét trường hợp và tìm được nghiệm của hệ phương trình là Lời giải Điều kiện : x + y>0,x + 3y + 19>0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x 3 +x = (y + l) 3 +y + l<=>x = y + l. Thay X = y +1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V2y + l+3V4y + 20 = 105-y 3 -y 2 -y. <=> y 3 + y 2 + y + 2y + ĩ + 6 ^/y + 5 -105 = 0 . Hàm số f(y) = y 3 +y 2 + y + ^/2y + l + 6 - N /y + 5 -105 đông biến trên -i;+oo nên y = 4 là nghiệm duy nhất suy ra X = 5 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4j. Lời giải 415 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện : y < ^-,8y - 7 + 8^/3 - 3y > 0. Nhận thây X = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét x^O khi đó phương trình đầu của hệ tương đương với : 1 -- + 1 -- = +^3-2y = Thay — = 1 - J3 - 2y vào phương trình thứ hai của hệ ta được : X 18 W3-: l-J3-2y +1 - + 9j9-4(l- > /3-2y ) 2 = 25-2(W3- Đặt t = Ịl - yỊĨ-ĩỹỴ ,t > Ophương trình trở thành: -^ + 9>/9-4t =25-2to9(t + l)V9-4t =(25-2t)(t + l)-18t. t>0 o9(t + l)V9-4t = -2t 2 + 5t + 25 <=> j -2t 2 + 5t + 25 > 0 ot = 2 8l(t + l) 2 (9-4t) = (-2t + 5t + 25) 2 ^(l-V3-2y) 2 = 2 <=> l - ^- 2y ^ 2 r ^^-2y^ + ^2 v ’ [l-V3-2y=-V2 <=> y = -yfĩ =^> X = — -Ị= . V2 ( ị A Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = — j=;-\Ỉ2 . V V 2 , 7x-^ = 2x3/xÍ4 + 3y-x 2 )+-———- Bài 50. Giải hệ phương trình < x ’ 2y - X + 2 2Vx-y + l-6(x-y) 2 +3 = 2^2(x-y)-3(x-y) Lời giải Phương trình thứ hai của hệ có chỉ có nhân tử x-y nên ta có thể tìm được t = X - y khi đặt ẩn phụ. Dưới đây sử dụng hàm số như sau: Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: 2(x-y + l ) 2 +x-y + l + 2- N /x-y + l =2.4(x-y) 2 + 2(x-y) + J2(x-y). 416 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>x-y + l = 2(x-y)<=>x-y = l<=>y = x- l. Thay y = X -1 vào phương trình đầu của hệ ta được: Lời giải Điều kiện : X > l,y > 1. Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được biến đổi thành : X 3 + X + log-, X = (2y)~ + 2y + log-, 2y Ta xét hàm sô" f(t) = t 3 +1 + log 9 t,t > 0 . Ta có f'(t) = 3t 2 +1 + —> 0,t > 0. - tln 2 Suy ra hàm số đơn điệu tăng. Từ đó suy ra f(x) = f(2y) <=> X = 2y . Thay X = 2y vào phương trình thứ hai ta được : -l = 0<=>2y-l = y- 2yjỹ-ĩ <=> 2^/y-l = l- y<íí>y = l=>x=2 417 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). ệm duy nhất ^x;yJ = Ị2;lj. 2(x-2)Vx + 6 =6-y (x-2\ Jy + 2 - Jỵ + 1.\Jx 2 -4x + 5 1JT Bài 52. Giải hệ phương trình Lời giãi Điều kiện : X > -6,y > -1. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: /ỹ+^ \2 Xét hàm số f(t) = x-2 _ :Jý + l +1 ẬJy+ 1 ) t . m ( 1 ) +1 Vt 2 + ĩ trên R, ta có: /777 f'(t) =-——7 LJlL = --— >0, VteR nên f(t) là hàm đồng 7+1 (, 2 ! l)vt- + I biến trên R. Vì vậy (1) <=> f (x-2) - f(\fỹ~+ĩ) <=> X - 2 = -i/ỹTT<=> ] x - v ’ 1 ’ [y = x 2 -4x + 3 Thay y = X 2 - 4x + 3 vào phương trình đầu của hệ ta được : 2(x-2)Vx + 6 = 3-x 2 +4x<=>x = 3=>y = 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;0). Bài 53. Giải hệ phương trình (53-5x)Vl0-x + (5y-48)V9-y =0 yj 2x - y + 6 + X 2 - 2x - 66 = yj-2x + y +11 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : 5|Vl0-xỊ + 3 V 10 -X = 5|^9-yj + 3^/9 — y o7l0-x = ^9-yoy = x-l Thay y = X - 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Vx + 7 + X 2 -2x- 66 = VlO-x <^ÍVx + 7 -4 j + X 2 -2x-63 + Ịl-Vl0-xỊ = 0 418 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com «■ Ị x 9 — + (x-9)(x + 7) + — x 9 =0. Vx + 7 + 4 1 + VlO-x Ị 1 1 N <=>(x-9) -+ X + 7 +- , = 0<=>x = 9^>y = 8 . VVx + 7 + 4 1 + V10-X y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (9; 8 ). Lời giải Điều kiện : X > — . 2 Phương trinh thứ hai của hệ tương đương với: (y + l)" +y + l = (V 2 x-l) + V 2 x -1 y +1 = V 2 x-lof " v ’ x > [y 2 + 2 y + l = 2 x-l y>-l Ta có hệ phương trình : < y 2 + 2y + 1 = 2x -1 <=> X 2 -llx-2y + 10 = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;0). Lời giải Điều kiện : x>—2-,y>2. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với : 2(2x + l) 3 +2x + l = 2Ị7Ỹ-2) 3 +VỸ-2 (1) Xét hàm số f(t) = 2t 3 +1 trên R , ta có f '(t) = 6 t 2 +1 > 0, Vt > 0 nên f(t)là hàm đồng biến trên R . Vì vậy (1) o f(2x +1) = fỊ A /y-2j »2x + l = Vy-2 « y = 4x 2 + 4x + 3 . Thay y = 4x 2 + 4x + 3 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 419 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4x + 2 + J2 4x~ +4x+ 3 +4=6. vế trái là hàm đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhấ t X = 7 => y = 6 . (l \ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Ị ^-;6 . Bài 56. Giải hệ phương trình Lời giải Từ phương trình đầu của hệ suy ra X = -y . Thay X = -y vào phương trình thứ hai của hệ ta được : y + - r 2—^y>0 Jr4 12 Bình phương hai vế của phương trình ta được : 2 o.,2 /~ c \ 2 4 0,2 rìocA 2 2 y 2y 35 _ y 2y 35 _ y 2 -i ->/y 2 -1 V 12 J y 2 - 1 Vy 2 - 1 5 r 5 5 / v 2 12 5 _ 5 5 V y 1 y = 7 x = - 7 ,y = 7 L 4 L 4 4 ( 5 5^1 ( 5 5^ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (^x;y) = - 7 ;^- ; -- 7',-7 ■ y 3 3J ^ 4 4 y x 3 -3x 2 +2 + (y 2 +2Wl-y 2 =0 Bài 57. Giải hệ phương trình < ' ' V 2 x-x 2 = 2 ^ 1 -y 2 + 2 x -1 Lời giải Điều kiện : 0 X -1 = -\/l-y 2 . Hệ phương trình tương đương với: Lời giải Điều kiện : -1 < X < 1,0 < y < 2. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với :(x + l)‘ -3(x + l)~ =y 3 -3y 2 . Xét hàm sô" f(t) = t 3 - 3t 2 trên [0;2j , ta có : f '(t) = 3t 2 - 6 t < 0,Vt e [0;2] nên f(t) là hàm nghịch biến trên [0;2j . Vì vậy f(x +1) = f(y) <=> X +1 = y . Thay y = X +1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được : X 2 +Vl-X 2 -3^2(x + l)-(x + lj” =-2. «-x 2 +Vl-X 2 - 3 V 1 -X 2 +2 = 0o2\ll-x 2 =x 2 + 2 ox = 0 =>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). Bài 59. Giải hệ phương trình \ x [ +x ~ 2 = y + 3y 2 + 4y [x 5 + y 3 +1 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 3 +x-2 = (y + l) 3 +y + l -2 Íx = y + l íx = 0 X 5 + y 3 +1 = 0 jx 5 +y 3 +l = 0 Ịy = -1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhâ"t (x;y) = (0; _ l) ■ 421 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 60. Giải hệ phương trình V3x-1 + 4(2x + 1 ) = -y/y -1 + 3y (x + y)(2x-y) + 6 x + 3y + 4 = 0 Lời giải Điều kiện : x>^,y>l. 3 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với : (x + y + l)(2x-y + 4 ) = 0*—2lll— > y = 2 x + 4 . Thay y = 2x + 4 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : a/3x-1 + 2x - 8 = ^2x + 3 . o 2(3x - 1 ) + V3x -1 = 2(2x + 3 ) + V2x + 3 <=> V3x-1 = + Ĩ <=>x = 4^>y = 12 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;12). ... ÍÍ8x - 3 ) V2x -1 = 4y 3 + y Bài 61. Giải hệ phương trình ị ' |4x 2 -8x + 2y 3 +y 2 -2y + 3 = 0 Điều kiện : X > — . 2 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : 4|\/2x-lj + a/2x- 1 = 4y 3 + y <=>y = V2x-1 . Thay y = V2x -1 vào phương trình thứ hai của hệ thực hiện xét tính đơn điệu của hàm số tìm được nghiệm duy nhất của hệ là (x;y) = (l;l). Bài 62. Giải hệ phương trình (2012-3x)V4-x + (6y-2009)^/3-2y =0 2^/7 X - 8y + 3^/l4x-18y = X 2 + 6x +13 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : 3(V4-xỊ 3 + 2000 V 4 -X = 3(73-2yỊ 3 + 2000^/3 -2y . <=> V4-X = yỊĨ-ĩỹ <=>4-x = 3-2y<=>y = x - ' . £Rg8 ssss ỈSSSỉ 2Ỉ8888& gggỉ ^ M & ggĩg 55? 422 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay y = —-— vào phương trình thứ hai của hệ ta được : 2^3x + 4 + 3a/5x + 9 = X 2 + 6x +13 . <=> 2a/3x + 4 -2(x + 2) + 3^5x + 9 -3(x + 3) =x 2 +x. J 1 1 A «x(x + l) 1 + -+ - =0. ^ V3x + 4+x + 2 V5x + 9 + x + 3 y _ / , Tx = 0 x = 0,y = --Ị- <=>x(x + l = 0<=> => 2 • _x = -l , , L |_x = —1, y = -1 í ị\ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = ^0;--j ;(-l;-l). Bài 63. Giải hệ phương trình I y x Ịxy 2 + 2x 2 y + X 3 = 18^2 Lời giải xíy 3 -x 3 Ị = 28 Hệ phương trình đã cho tương đương với : - => Hệ phương trình đã cho tương đương với : -< => x,y > 0. Ịx(x + y)“ =18^2 118y/ĩ 3^8 -_- _ , _ , . . _ Rút y = J— 1 - X = — - X thay vào phương trình thứ nhât cúa hệ ta được: V X Vx í ( 3\/s ? X ^-x -X 3 =28. {{^ ) ) (Vo 4/T ỹ Đặt t = Vx,(t> o) phương trình trở thành : t 2 — -t 2 -t 6 =28. V 1 ' , <=> t 9 - ịĩils - 1 3 j 3 + 28t = 0 . vế trái là hàm đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất: t = iịĩ. => X = V 2 => y = 2 V 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (yỈ2',2^\. 423 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thấy xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét xy ^ 0 viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng : f \ 2015 X X 2015 ..... x ...... ..2 . — + —= y +y<=> —= y<=>x = y >0. vyj y y Thay y 2 = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được : Lời giải Nhận thấy xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét xy ^ 0 viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng : ( V 2015 30 - + 4,— = 30y 2015 +4y<=> — = y<=>x = y 2 >0. \y) y y Thay y 2 = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 424 Wm. Wm. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Để giải phương trình này ta đưa về giải hệ bằng phép đặt ẩn phụ 8 x 3 - -v /3 = 611 ta được: Í8x 3 -V3 = 6 u Í6u = 8x 3 -V3 [ 162 X + 27 V 3 =216u 3 Ịôx = 8 u 3 -yfò Đây là hệ đối xứng loại II dễ ủm được nghiệm X = y là nghiệm của phương ttình : 8 x 3 - V 3 = 6 x <=> 8 x 3 - 6 x - V 3 < — > X = cos-^-=> y = ±J cos-^- 18 V 18 (xem thêm chương 1). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: Nên f(t) là hàm đồng biến vì vậy f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được : 425 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f'(x) = 3 x_1 In 3 (x-l) 2 + l-(x-l) + 3 X—1 = 3 X—1 (x-l) 2 + l-(x-l) x-1 V ( x_1 ) 2+1 \ -1 1 - 1 3^- 1 ) 2+1 > 0,Vx e ] Nên f(x) là hàm đồng biến ttêỉ Vì vậy (1) f(x) = f(l) o X = 1 => y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ Chò Sề 11. KỸ THUẬT SỬ DỤNG ĐIÊU KIỆN có NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1. Dạng hệ phương trình I / trong đó f 2 (x,y) = 0 là một phương [g k (x,y) = 0 trình bậc hai hai biến và g k (x,y) = 0 là một phương trình bậc cao hoặc có chứa căn đối với hai biến. Suy nghĩ đầu tiên là coi f 2 (x,y) = 0 là phương trình bậc hai đối với một biến và biến còn lại ta coi là tham số từ đó tìm ra miền giá trị của từng biến. Ta dựa vào miền giá trị của biến để đánh giá phương trình còn lại. Ví dụ 1. Phương trình X 2 + y 2 + xy - 7x - 6y +14 = 0 (1). Coi (1) là phương trình bậc hai với ẩn là X và y là tham số ta được Ư + (y~7W + y 2 -6y + 14g||p. íssgipi! 426 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A y = (y - 7) 2 - 4-Ịy 2 - 6y + 14-j > 0 <=> -3y 2 +10y-7>0<=>l 0 <=> -3x 2 +16x-20>0<=>2 0 B(x;y)>0 ta tim được ràng B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải hệ phương trình (x-l) 2 =-y 3 -3y 2 -3y X 2 +2x(y-l) + y 2 -6y+ 1 = 0 Lời giải Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng X 2 + 2x(y-l) + y 2 -6y + l = 0. Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là X và tham sô" là y ta được A’ x =(y-l) 2 -(y 2 -6y + lì = 4y>0«y>0. \ 2 / \ 3 Khi đó phương trình đầu của hệ được viết lại: (x -1) = 1 - (y + l) . Do y > 0 nên VT = (x -1)~ > 0 > VP = 1 - (y + l) . Do vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khix = l;y = 0 thử lại vào phương trình thứ hai g#rh g^âte hỏ^jgl n . ||||. ềỂT^ềầ ff| Jf * 427 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;yj = (l;0). Nhân xét. Ngoài cách tính A' x như trên để tìm điều kiện của y ta có thể viết lại phương trình như sau (x + y -1) 2 = 4y => 4y > 0 <=> y > 0 . Bài 2. Giải hệ phương trình < ỊlOx 2 +5y 2 -2xy-38x - 6y + 41 = 0 [-y/x 3 + xy + 6y - -y/y 3 + X 2 -1 = 2 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 10x 2 -2(y + 19)x + 5y 2 -6y + 41 = 0. Suy ra A' x = (y + 19) 2 - lo(5y 2 - 6y + 4l) = -49(y -1) 2 > 0 ^ y = 1 => X = 2 . Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1 j. Bài 3. Giải hệ phương trình 1 [ X 3 - 3x 2 + y 2 - 2y + 5 = 0 [x 2 + y 2 + xy - 7x - 6y + 14 = 0 Lời giải Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng X 2 + y 2 + xy - 7x - 6y +14 = 0 (1). Coi (1) là phương trình bậc hai với ẩn là X và y là tham số ta được X 2 +(y-7)x + y 2 - 6y + 14 = 0. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: A y =(y-7) 2 — 4^y 2 -6y +14^>0<^> —3y 2 +10y-7>0<=>l 0 <=> -3x 2 +16x-20>0<=>20,Vxe f(x) = X 3 - 3x 2 g(y)=y -2y + 5 nên f(x) là hàm đồng biến trên . Suy ra f(x) > f(2) = -4. g'(y) = y 2 -2y + 5 = (y-l) 2 + 4>4,Vy e 1 ;- Do đó f(x) + g(y)>0. Vì vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi ^ ( ) ' ■ ^ ^ thử lại thấy thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. |g(y) = 4 [y = l Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y j = (2;l) • (2x 2 -l)(2y 2 -l)=|xy X 2 + y 2 + xy - 7x - 6y +14 = 0 Lời giải 10 7 Theo trên ta có 2 < X < — ;1 < y < 2-. 3 3 Khi đó viết phương trình của hệ dưới dạng ' l v 2 x- X 2y “v y Xét hàm số f(t) = 2t -- với t > 1. Ta có f'(t) = 2 +> 0,Vt > 1 vì vậy f(t) t t 2 là hàm đồng biến trên [l;+oo) và rõ ràng f(t) > 0,Vt > 1. Do đó VT (1) =f(x).f(y)>f(2).f(l) = ( 0 í 0 2 . 1 -- l 2 J = ^ = VP 2 (1) Vì vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi X = 2;y = 1 thử lại phương trình thứ hai của thấy không thỏa mãn. ^yJ^PÌSÉ*^ r ì n ,JýÉĨ m 429 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 5. Giải hệ phương trình < Í2x 2 -3x + 4ÌÍ2y 2 -3y + 4 ) = 18 X 2 + y 2 + xy - 7x - 6y + 14 = 0 Lời giải Tương tự bài trên ta có f(t) = 2t 2 - 3t + 4 là hàm đồng biến trên [l;+co). Suy ra Í2x 2 -3x + 4^2y 2 -3y + 4 ) = f(x).f(y) > f(2).f(l) = 6.3 = 18. Vì vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi X = 2;y = 1 thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). Bài 6. Giải hệ phương trình < X 4 + y 2 =9 X 2 + y 2 + xy - 3x - 4y + 4 = 0 Viết lai phương trình thứ ha * +( Coi đây là phương trình bậc \=(y-3) 2 -4(y 2 - Tương tự viết lại: y 2 + (x - Coi đây là phương trình bậc A y =(x-4) 2 -4(x : f a\^ ( n Khi đó X 4 + y 2 < - + - w {3 Lời giải i của hệ dưới dạng y-3)x + y 2 -4y+ 4 = 0 . hai với ẩn là X ta được - 4y + 4j = -3y 2 + lOy - 7>0<=>l0<=>0 0 ^ 1 < y <|. Tương tự viết lại: y 2 +y(x -4) + x 2 - 3x + 4 = 0 . Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là y và tham số X ta được 4 3' Rút xy từ phương trình thứ hai của hệ thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 3x 3 + 18x 2 + 45x - 3y 3 + 3y 2 + 8y -108 = 0 (1). A y = (x-4) 2 -4Íx 2 -3x + 4 ) = -3x 2 +4x>0«00,Vxe 4 °4 nên f(x) là hàm đồng biến trên 0 ;- Suyra f(x) 0 «• -15y 2 -30y + 45 > 0 o -3 < y < 1. Tương tự viết lại phương trình dưới dạng 4y 2 +2(3-x)y + 4x 2 +6x-9 = 0. Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là y ta được A' y =(3-x) 2 -4Í4x 2 +6x-9Ì>0«-30,Vxe[-3;l] nên f(x) là hàm đồng biến trên [-3;lJ. Suy ra f(x) < f(l) = 4 . Xét hàm số g(y) = -y 3 + 4y 2 - 6y - 85 trên [-3; 1 ]. Ta có g'(y) = -3y 2 +8y-6<0,Vy e[-3;l] nên g(y) là hàm nghịch biến trên [-3; 1 ]. Suy ra g(y) < g(-3) = -4 . Vì vậy VT (3) = f(x) + g(y) < f(l) + g(-3) = 0 . Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi X = l;y = -3 thử lại phương trình thứ hai của hệ thây thỏa mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;-3). 432 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 9. Giải hệ phương trình 2(x-y) 3 -4xy-3 = 0 (x - y) 4 - 2x 2 + 4xy + 2y 2 + x + 3y + l = 0 Lời giải Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x - y) 4 + 2(x - y) 3 - 2x 2 + 2y 2 + X + 3y - 2 = 0 . •^(x-y) 4 + 2 (x-y) 3 - 3 + 2y 2 -2x 2 + x + 3y + l = 0. ^(x-y-l)Ịjx-y) 3 +3(x-y) 2 + 3(x -y) + 3j + (y +1 -x)(2x + 2y + l) - 0 . <=>(x-y-l)í(x-y) 3 + 3(x-y) 2 +x+y+2l=0 y = X - 1 (x-y) 3 + 3(x-y) 2 + x + y + 2 = 0 THI: Nếu y = X -1 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 2- 4x(x -1) - 3 = 0 <=> 4x 2 -4x + l = 0<=>x = ^-=>y = ^-. TH2: Nếu (x-y) 3 + 3(x-y) 2 +x+y+2=0. Kết hợp với phương trình thứ nhất của hệ ta được: (x-y) 3 +3(x-y) 2 +x + y + 2 = 0 . .2 < _ =^>4xy + 3 + 6(x-yj + 2x + 2y + 4 = 0 2(x-y) 3 -4xy-3 = 0 <^> 6x 2 + 2x(l - 4y) + 6y 2 - lOy + 7 = 0 . =>À' X = (l-4y)~ -óỊóy 2 — lOy + 7^ = —20y 2 + 52y - 41 <0 (phương trình vô nghiệm). / I ị n Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = . V 2 2 / Bài 10. Giải hệ phương trình jy 3 +3xy-17x + 18 = x 3 -3x 2 +13y-9 Ịx 2 + y 2 + xy - 5x - 6y + 10 = 0 Lời giải Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: X 2 + (y - 5)x + y 2 - 6y +10 = 0. Coi đây là phương trình bậc hai ẩn X ta được 433 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com A x = (y-5) 2 -4(y 2 -6y + loỊ = -3y 2 + 14y-15>0^!0<=>^ 0,Vt e ^;2 _ ^ , v . . ^[2 Do đó f(t) là hàm đông biên trên —;2 . Vì vậy (1) <=> f(x) = f(y - 1) <=> X = y -1. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Lời giải Điều kiện: xy > 0,5y 4 -X 4 > 0. Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: Í5y 2 + X 2 + 2-y/xỹÍ5y 2 + X 2 j -12-sịxỹ-36-0 . Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là 5y 2 + X 2 , ta được: A' x = xy + 12-y/xỹ + 36 = Ị-y/xỹ + óỊ" . Suy ra 5y 2 + X 2 = 6 hoặc 5y 2 + X 2 = —2yfxỹ - 6 (loại do vế trái không âm vế phải âm). Vậy ta có hệ phương trình: ss ss SỆ ỊSI SẵS ss Kt ygSHSteị. TO S99Ệ S9999SSSSSS SSSTOKSS 434 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com -^5y 4 -X 4 -óỊx 2 -y 2 j-2xy = 0 5y 2 +x 2 =6 <=> V^y 4 -X 4 -(5y 2 + x 2 )(x 2 -y 2 ) -2xy = 0 [5y 2 +x 2 =6 -X 4 + 5y 4 -X 4 = 4x 2 y 2 + 2xy ị ^5y 4 -X 4 = 2xy <=> Ị5y 2 +x 2 =6 15y 2 + X 2 = 6 X = -l,y = -1 X = l,y = 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (—1;—. Tổng kết: Vấn đề đặt ra khi sáng tác hệ phương trình dạng này là tạo ra một phương trình bậc hai hai ẩn x,ysao cho X e ^a,b],y e [c;d]ta xuất phát từ một hằng đẳng thức sau: y = mx + n + p^Ị-ịx -a)(x- b] . Chuyển vế bình phương ta được: Ịy-mx-nỊ’ =-p 2 (x-a)(x-b) đây là một phương trình bậc hai cho ta tìm được miền giá trị của hai ẩn x,y . c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Giải hệ phương trình Ị 2 2 I x + xy = y - y [x 3 + y =2 Lời giải Từ phương trình hai suy ra: „2 + x y + y 2 -y = 0=> A x =y(4-3y)>0<=>0 0 X 3 =2-y 2 >2- UỸ 2 ,3j 9 Ị-3 x +1 <-x/ó +1 <0 ' Mặt khác y 2 + y(x -l) + X 2 = 0 => A y = (x + l)(-3x + l) < 0 . Từ đó suy ra hệ vô nghiệm. Bài 2. Giải hệ phương trình < x 2 +2x = —-27 2 9 X 2 + y 2 + xy - 3x - 4y + 4 = 0 435 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Coi phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y, khi đó phương trình này tương đương với: y 2 + (x-4-)y + X 2 -3x + 4 = 0 , phương trình này có 4 3 nghiệm nếu : A y = (x-4) 2 -4^x 2 -3x + 4j>0<=>0 y = —. ( 4 4 " M= J’3 y Bài 3. Giải hệ phương trình X 3 +2y 2 = x 2 y + 2xy 2 Ậ 2 - 2y + 1 + ^/y 3 - 14 = X - 2 Lời giải Điều kiện : X 2 - 2y -1 > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành: (x 2 -2y)(x-y) = 0, so sánh với điều trên suy ra X = y, lúc này ta thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2\Jx 2 -2x-l + \/ X 3 - 14 = X-2 , phương trình này có nghiệm nếu: ^/x 3 -14x 2 - 2x -1 < 0 . Kết hợp với điều kiện suy ra x 2 -2x-l = 0<=>x = l± \Ỉ2 , thử lại ta thấy nghiệm thỏa mãn. Vậy hệ có hai nghiệm là (x,y) = Ịl + yỈ2,ỉ + xÍ2 xỈ2,ỉ-y/2 j. Bài 4. Giải hệ phương trình y 2 (x + 15 ) + 4 = Ỉ2y + (7y 2 -2y)^ x + 1 y 2 + 7y 2x +1 ,(x,yeR) Lời giải Điều kiện -1 < X & . 2 Nhận thấy y = 0 không là nghiệm của hệ nên viết lại hệ dưới dạng 436 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com . .4 12 í 2 X + 15 + —— = — + 7- — k/x + 1 y 2 y V y; 2x + l +—\/x + l =-^-Í2x + l) X? __2 V / u = a/x + 1 > 0 Đặt 2 2 V = — y Khi đó hệ phương trình trở thành: ị u 2 + v 2 +14 = 7u + 6v ( 2 u 2 -l)( 2 v 2 -l)rìuv' Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm đối với phương trình đầu ta được: u e . 10 và ve , 7 2;— 1;- 3 3 Kết hợp với phương trình còn lại suy ra nghiệm u = 2, V = 1 thử lại thây không thỏa mãn. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. , , X + Jx + 2y = y 2 + y + 2 Bài 5. Giải hệ phương trình < ^ . 1 y 2 + 3xy + x + y-10 = 0 Lời giải Điều kiện: X + 2y > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: X + 2y + ^/x + 2y - y 2 - 3y - 2 = 0 <=> *Jx + 2y +j- V 2 X 2 í 3 X 2 y + 2, V Ả J = 0 . <=> - I 3 ựx + 2y + i = y + ± ự x + 2y+ r = _y_£ <=> ^x + 2y = y + l V x + 2 y =-y-2 Xét trường hợp và thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm (x;y) = (2;l). Chò Sề 12 . KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ A. ròiauigỉ BpJ(|^PHÁp m m , 437 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nội dung chủ đề này tôi đề cập đến đánh giá hệ phương trình thông qua điều kiện nghiệm của hệ phương trình và các bất đẳng thức Cơ bản như Cô si, Bunhiacopski, bất đẳng thức Véc tơ. BẤT ĐẲNG THỨC cô SI (AM-GM) Cho hai số thực không âm a, b ta có: ~~ - Vãb . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b . Tổng quát, Cho n số thực không âm a 1? a 2 ,...,a n ta có âf + + ... + 3 , 1 _ 2 _n_ > V a i a 2- a n • Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ã l = a 2 = ... = a . Một sô" dạng tương đương của bất đẳng thức Cô si hay được sử dụng: ( x + y 1 x y^ y . \ z J (x + yf<2( xy + yz + zx), (xy + yz + zx)“ ÍS 438 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER Định lý(Bất đẳng thức Holder) Với m dãy SỐ dương (a u ,a 12 ,...,a ln ),(a 21 ,a 2 ; 2 ,...,a 2 n ),..., (a ml ,a m 2 ,...,a mn ) Một hệ quả thường sử dụng khi vận dụng bất đẳng thức Holder Hệ quả 1. Với dãy sô" dương a 15 a 2 ,..,a n ta có (l + a 1 )(l + a 2 )...(l + a n )>|l + ^a 1 a 2 ...a n Ị . Chứng minh, sử dụng bất đẳng thức Cô si cho n sô" dương ta có: 1 1 1 - 1 - t-... 4- 1 + 3 | 1 4 - 3^2 1 4 “ 3 3i 3ọ 3 1 4“ 3j 1 4“ 32 1 4- 1 _n_ ' a n ^(l + a 1 )(l + a 2 )...(l + a n ) 1 n?/a,a,...a„ _n_>_ V 1 2 n _ ' a n p/(l + a 1 )(l + a 2 )...(l + a n ) Cộng theo vê" hai bâ"t đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI (C-S) Cho bôn sô thực a,b,x,y. Tacó: (x 2 +y 2 )(a 2 + b 2 )>(ax + by)-. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ị nếu xy ^ 0 thì — = — . [b = ky X y Tổng quát. Cho 2 bộ số thực a^bị^i = l,2,...,nj ta có Ịa 2 + a 2 +... + a 2 j|b 2 + b 2 +... + b 2 j > (a 1 b 1 +a 2 b 2 + ... + a n b n )‘. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a ; = kb;,i = l,2,...,n . Bâ"t đẳng thức véc tơ u + V > u + V . Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = kv,(k € K.). 439 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bất đẳng thức Mincopski Cho a,b,c,dlà các số thực ta luôn có: Va 2 + b 2 + Vc 2 +d 2 >A^(a + c) 2 +(b + d) 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ad = bc. Bất đẳng thức Mincopski hay còn được gọi là bất đẳng thức Véc tơ. Một số bài toán vận dụng bất đẳng thức Véc tơ bạn độc xem chủ đề kỹ thuật sử dụng tính chất hình giải tích trong cùng cuốn sách. B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải hệ phương trình -4V3x-2-2y = -10 — 6^/4y — 3 -X = -11 Lởi giải 2 3 Điêu kiện: x>—,y> —. 3 4 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 +y 2 -4VÍ3x^2-6^4y--^3 -x-2y = -21. «(x-2) 2 +(y-3) 2 +ỊV 3 X- 2 - 2 Ị 2 +(^4y-3-3Ị 2 =0. X = 2 y = 3 íx = 2 <=>• V3x-2 =2 Ịy = 3 ' >y-3=3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;3). y^(4x-lf^4x( 8 x + l) íxveRV 40x 2 + X = yVl4x-l Điều kiện: X > — ^> y > 0 . 14 Nhận xét. Rõ ràng rất khó để tìm được một mối liên hệ đơn giản nào giữa hai ẩn từ một trong hai phương trình của hệ.Phép thế từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất của hệ không khả thi khi một phương trình của hệ có chứa căn bậc 3. 440 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài toán đánh giá thông qua bất đẳng thức nhưng cái khó nhất đó chính là dự đoán dấu bằng đạt tại đâu? Vậy chú ý đến y 2 xuất hiện ở phương trình đầu của hệ. Phương trình thứ hai của hệ có y vậy ta thử dùng AM-GM đánh giá cho xuất hiện y 2 xem sao? Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có . - 2 /77- 7 V 2 + 14x -1 40x + X = yvl4x -1 < --- 2 => y 2 > 2 Ị 4 OX 2 + xỊ - 14x + 1 = 80x 2 - 12x + 1 Do vậy kết hợp với phương trình đầu của hệ ta được: y 2 = 3^4x(8x + l) - (4x -1) 2 > 80x 2 - 12x +1. «3^4x(8x + l) >96x 2 -20x + 2. Lúc này dùng máy tính bỏ túi ta tìm được 1 nghiệm X = -ị-. Thay ngược lại hệ ta có y = - Vl4x -1 tức hướng đi của chúng ta đã đúng. Tiếp tục lời giải như sau: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2^4x(8x + l) = 3^2.16x(8x + l) < 2 + 16x + 8x +1 ■2|96x 2 -20x + 2)< 2 + 16x + 8x + 1 >(96x 2 -2OX + 2Ị: <=í> (8x — l) 2 <0<=>x = -^-=>y = ^- 8 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Bài 3. (A/Al 2014) Giải hệ phương trình: xJl2-y + Jy(l2-X 2 ) = 12 , v y r 1 / ,(x,yeR) X 3 -8x-l-2yjỹ-2 Lời giải Điều kiện: 2 < y < 12,-2-73 < X < 2V3 . 441 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình thứ nhất của ta có: 12-x VĨ2^7 = ^y(l2-x 2 ). ■ y (12 - X 2 ) = 144 - 24x^12 - y + X 2 (12 - y). _ 2 V_ ị <=>Ịx-^/l2-yỊ = 0 « X = Ạ2-y <=> ị X > 0 y = 12 - X 2 Thay y = 12 - X 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 3 -8x-1 = 2\IĨÕ- x z <=>X J -8x-3 + 2| 1- <=> (x -3) 2 ~ , - X + 3 X + 3x + 1 + 2.- l + VĨÕ-x' ^1-VlO-x 2 1 = 0. = 0<=>x = 3=>y = 3. Vì X 2 +3X + 1 + 2.- * + 3 > 0,Vx > 0 ■ 1 + VlO-x 2 Thử lại thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3; 3 ). Cách 2: Đ iêu kiện - 2 V 3 < X < 2 V 3 và 2 < y < 12 . Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có Xyjỉ2-ỹ < x 2 + 12-y . vâ + 2 + 2 \ y + 12-x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Do đó x^/l2-y + ^y|l2-x 2 j |x > 0 Íy = i2-X 2 ' + x ! + 12-y y + 12-x 2 = 12 . Do đó phương ưình thứ nhất của hệ tương đương với: X > 0 y = 12 - X 2 Thay y = 12 - X 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 3 -8x-1 = 2 V 1 Õ- x z <=>X J -8x-3 + 2| 1- <=> (x - 3 ) 2 . ~ 1 . r\ X + 3 x z +3X + 1 + 2.- ^1-VlO-x 2 j = 0. = 0<=>x = 3=>y = 3. 442 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì X 2 + 3x +1 + 2.- * + 3 > 0, Vx > 0 ■ 1 + VlO-x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;3). Nhận xét. Dựa vào bất đẳng thức cơ bản ta tìm được môi liên hệ giữa y và X từ phương trình đầu của hệ. Ngoài ra ta có một số cách khác như sau: Cách 1 : Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có: 12 2 =1 = Ị^/l2-y+^ y Ịl2-x 2 )1 <Ịx 2 +12-X 2 )(l2-y + y) = 12 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \ 12 - X _v 12-x 2 j x - u Jx>0 ■slĩĩ^ỹ- VỸ ^jx 2 y = (l2-y)(l2-x 2 pjy = i 2 ách 3: Xét hai véc tơ u = ị^x]^|ỉ2--x 2 \v = Ụỉ2--ỹ;^^ ta có: ũ.v = Xyjĩĩ^ỹ + Jyịl2-X 2 ĩ = ũ . V C( < = , x 2 +12-x 2 (l2-y + y) = 12 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u = kv,(k > o) \ x 1 — - \lũ- ’ Ậ2-y ì X > 0 2 X > 0 X y = (l2-y)(l2-x 2 )% = = 12 -X X > 0 Do đó phương trình đầu của hệ tương đương với: y = !2-x 2 Bài 4. Giải hệ phương trình: X 3 +3x 2 y-2|y 4 + y 2 j^2y-l =0 2x 2 + 2y 2 + 4x-y- V2-X - 2^3x + 6 = 0 Lời giải Điều kiện: -2^-. Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: 443 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( \3 / \ 2 - +3 - =2(y + l)j2^ĩ. yy) Vy) ( Ỹ (xÝ _ \3 «> - +3 - = 72 ^ 1 + 372 ^ 1 ( 1 ). [yj yy) 1 ’ Có dạng hàm đặc trưng tuy nhiên để chỉ xử lý được khi: 2 ^ c \ 3 - +6—= 3—. - + 2 >0. y yly J Vì vậy ta cần sử dụng phương trình thứ hai của hệ để tìm điều kiện của —. y Từ phương trình thứ hai của hệ ta có 2 x 2 + 2 y 2 + 4x-y = V 2 -x +2^3x + 6 =7 1 ( 2_x ) + |\/ 9 ( 3x + 6 ) • Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có /771 7 l + 2-x 3-x 1 2-x <- /9(3x + 6): 2 2 9 + 3x + 6 3x + 15 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1. - 2 .- 2 ., 3-x 3x + 15 x + 13 Suy ra 2x +2y +4x-y< 2 + ~ 3 — = — 2~' <=> 4x 2 + 4y 2 + 7x -2y -13 < 0. ^ 4 y 2 - 2y- 2< -4x 2 -7x + ll. «2(y-l)(2y + l)<-(x-l)(4x + ll) (2). + Nếu y>l^>(2)^>x1 3 + 3x/ĩ = 4 . ^x 1 Vx i -Ỵ^ r ._x <=> —-1 — + 2 >0<=> — >l<=>x>y(vô lý). vy Ẫy ) y ( Yx Ỹ Vậy y< 1 => —-1 - + 2 <0=>x2 Ịx 2 + 2x-V3x + 6Ị + Ị2y 2 -y-lỊ + Ịl-V2-xỊ = 0. <=>- <=> 2(x-l)(x + 2ÌÍx 2 +3x + 3Ì ^ (y-l)(2y + .) X + 2x + V 3x + 6 íx-1 = 0 = <=> < (thứ lại thây thoa mãn). y-i=o ly=1 x-l + ; r -■ 1 + -x/2 - X V Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. Nhận xét. Đây là một bài toán hay và khó một phương trình của hệ có dạng hàm đặc trưng đánh lừa được rất nhiều học sinh khi tập trung khai thác phương trình này. Điểm nhấn của bài toán dựa trên đánh giá thông qua các bất đẳng thức cơ bản. Bài 5. Giải hệ phương trình ịxyỊy 2 +16 = yVx 2 -16 + 16 (x-y) 3 +X + 4 = 4y + (y + 2)^2 ,(x,y gR). Lời giải Điều kiện: y>2,x>4hoặc x<-4. Bình phương hai vế phương trình đầu của hệ ta được X 2 Ịy 2 + 16 j = y 2 (x 2 - 16 j + 32y -\Ịj /x -16+256. o X 2 - 16 - 2y Vx 2 - 16 + y 2 = 0 «• |Vx 2 - 16 -y y =0. Vx 2 -16 =y^Ị y f° [x 2 =y 2 +16 Phương trình thứ hai của hệ ta có: (x-y) 3 +x-y = 3y-4 + (y+ 2)7^2 . (x-y) 3 +(x-y) = ỊVỹ-2+l) +(v/y- 2 + 1 ) (!) • Xét hàm số f(t) = t 3 +tvới teR,tacó: f ’(t) = 3t 2 +1 > 0, Vt e R. Vì vậy f(t) đồng biến do đó (l)<=>f(x-y) = fỊ7y-2 + lj«'X-y = Vy-2 + 1 ■ Vì vậy hệ phương trình đã cho tương đương với 445 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y >0 x 2 => x-y=Vỹ-2 +1 X 2 = y 2 +16 <=> y > 0 2 = } = y +Vy-2 +1 X 2 = y 2 +16 <=> y > 0 X = V y 2 +16 Vy~ +16 = y + Vy-2 + 1 y > 0 X = ^/ỹ 2 +16 x =y+Vy-2+l V. y > 0 x = Vy 2 +16 Vy 2 + 16-5 = (y-3) + (V^2-l) y > 0 x = -y/ỹ 2 +16 y-9 Vy 2 +16+5 J Vỹ-2+1 ■ = y-3 + - y > 0 X = Vr+Ĩ6 <=> (y-3) IX = 5 y=3 = 0 y + 3 1 1 Vy 2 + 16 +5 Vỹ-2+1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (5;3). Chú ý: - y + 3 1—i=L—<^tl-l—P=L— Vy 2 +16+5 Vy- 2 + 1 y+5 Vy-2 + 1 < 1 - 1 - VV^V+I . X 2 =y 2 + 16 Nhận xét. Ta có thể giải hệ phương ưình < _ như sau: [x-y = Vy-2 + l Đặt a = Vy-2,(a > o) => y = a 2 + 2 hệ phương trình trình trở thành: X 2 = (a 2 +2Ỷ +16 fa 2 +2Ì 2 +16 = ía 2 +a + 3f a = l 1 V / <=>• \ J V / <^>< =H x = a 2 + 3 + a x = a 2 + a + 3 [x = 5 [ + Ta có một bất đẳng thức giả C-S như sau: ab-xy >jị a 2 -X 2 ỊỊb 2 - y 2 j, Vab > xy,Ịa 2 “y 2 ^ > 0 . <0 446 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thật vậy bất đẳng thức tương đương với: a 2 b 2 -2abxy+ x 2 y 2 >Ịa 2 -X 2 j|b 2 -y 2 j. <=>b 2 x 2 -2abxy + a 2 y 2 > 0 <=> (bx - ay) 2 >0<=>bx = ay. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bx = ay. Áp dụng vào bài toán ta được 16 = x^/y 2 +16 - yVx 2 -16 > Ặx 2 -Ịx 2 -lóỊỊỊy 2 +16-y 2 ) =16. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .^Ịỹ^-ĩỏ - xy <=> xy > 0 í (x 2 -16)(y 2 + 16) = x 2 y 2 ^| xy > 0 X 2 =y 2 +16 \jỉ-2y -X 2 + x-l = ^2|x 2 -y 2 +2j ^l + 2x-y 2 - y-l = ^2|y 2 - X 2 +2 ,(x,y gR). Lời giải Điều kiện: l-2y-x 2 > 0,l + 2x-y 2 > 0,-2 l,y < -1 _ <=>< l-2y-x 2 = y 2 +2y + 1. ■\Ịỉ + 2x - y 2 = X -1 1 + 2x - y 2 = X 2 - 2x +1 ^l-2y-x 2 = -y -1 447 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X > l,y < -1 X 2 + y 2 + 4y = 0 <=> X 2 +y 2 -4x = 0 X > l,y < -1 y = -x X 2 +y 2 +4y = 0 X > l,y < -1 y = -x 2x 2 - 4x = 0 X > l,y < —1 y = -x x = 0 X = 2 <=> ■ IX = 2 [y = - 2 ' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;-2). Bài 7. Giải hệ phương trình ■ình| x ^ 8y “ 5+y ^ 8x “ 5= ^ 24(x2+y2+4) ,(x,ye] |l lx 2 - 6xy + 3y 2 = 12x - 4y Lời giải Điều kiện: x,y> —. 8 Phân tích tìm lời gỉái: Nhận thấy sự phức tạp đến từ phương trình đầu hệ và phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai tổng quát không phân tích được nghiệm nên ta chỉ khai thác được điều kiện của x,y để phương trình đó có nghiệm. Vậy điều cần làm là xử lý phương trình đầu của hệ với hình thức như trên kỹ thuật đánh giá thông qua bất đẳng thức cơ bản được nghĩ đến đầu tiên. Vậy trước tiên dự đoán nghiệm của hệ dễ thấy (x;y) = (hl) là nghiệm. Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta được V3x y< (.7 8y -5 = 7-ĩx. yVBx-5 = \lĩy.J — -1 < 8y-5 3 8x-5 .!< ^ V 8y-5 3 8x-5 + 1 + 1 73 3 s 3 x(4y-l) y(4x-l) 3 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = y = 1. Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên và sử dụng AM-GM ta được x^8y -5 + yyjsx~5 < ^-ịsxy - X - y) < ^y-Ị^2(x + y)’ - X - y j. 448 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác sử dụng bất đẳng thức C-S ta có Để chứng minh bất đẳng thức trên đúng ta cần có t = X + y < 2. Ta tìm điều kiện này từ phương trình thứ hai của hệ llx 2 -6xy + 3y 2 =12x-4y <=> 1 lx 2 -6x(t -x) + 3(t -x)~ = 12x-4(t -x) <=> 20x 2 -(l6 + 12t)x + 3t 2 +4t = 0 ^A' x =(8 + 6t) 2 -2o(3t 2 +4tỊ>0 «(t-2)Ị^t + ^<0«~ X = y = 1 Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj Nhận xét. Bằng sự khéo léo đánh giá X + y < 2 ta có lời giải hoàn thiện của bài toán. Nhiều em có kỹ năng cần thiết xử lý 1 phương trình bậc hai dạng tổng quát tìm cách chặn miền giá trị của X và y sau đó suy ra miền giá trị của X + y . Tuy nhiên khi áp dụng cho bài toán này ta có: A’ x = 9(y + 2) 2 -1 l(3y 2 + 4y) > 0 A’ y =(3x-2) 2 -3(llx 2 -12x)>0 449 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 +Vó5 ^ -1 + a/ó5 __ __ __ _ 6 ~ y “ 6 _-1 + V65 3 + VĨ5 2 + V65+VĨ5 =>« r— /— ^>x + y< — +-j— =---. 3-V15_ 3 + V15 6 6 6 --—-3,y>-l. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: íl + x 2 ỊV3 + x+2Íy 2 +3y + 2Ì = 2x 2 + (y 2 + 3y + ỳẶ+ỹ «(x 2 + l)(V^3-2) = (y 2 +3y + 3)(Vỹĩĩ-2) (1) (x 2 +l)(x-l) Jy 2 +3y + 3)(y-3) 's/x~+ 3 + 2 yỊy + 1 + 2 $ 450 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ị [y = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;3). Chú ý. Trong (1) ta không sử dụng hàm số được vì không đưa được về hàm đặc trưng. Nhưng mấu chốt của bài toán là đánh giá phương trình đầu của hệ nên nghĩ ngay đến việc nhân liên hợp để chặn miền giá trị của X và y. Điều này hợp lý vì phương trình thứ 2 của hệ là một hàm đồng biến của X hoặc của y. Dưới đây ta cùng xét một bài toán cùng dạng nhưng xử lý theo 1 hướng khác. Lời giải Điều kiện: y>0,x + y>0. Nhận thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Với y > 0 viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: Suy ra X < -1, Vy e (ơ;2] và X >-l,Vy e (2;+oo). + THI: Nếu ve(0:2]ta có X 3 + y 3 + X + y + 3-ựx + y < -l 3 + 2 3 - 1 + 2 + 3-7-1 + 2 =11. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = -l,y = 2 . + TH2: Nếu V e (2; + 00 ) ta có X 3 +y 3 + x + y + 3^x + y >-l 3 +2 3 -I + 2 + 3 V-I + 2 =11 (hệ phương trình vô nghiệm). Vây hê phươmyrmhcó nghiêm«4 u VS^^( x ’yI^( _ ll^]UịịỊ 451 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận xét. Nhờ dự đoán trước được nghiệm (x;y) = ta có thể đánh giá từ phương trình thứ hai của hệ. Cách hay dùng đó là dựa vào hàm số để tìm giá trị biến nọ theo biến kia hoặc rút biến nọ theo giá trị biến kia như lời giải trên. -- 8x + 2 V 1 - 2 X =?- + -*— Vx X 4xy,(x, |_4x = ^[ĩỹ~+3 - *Jĩỹ (x,yeR). Điều kiện: y > 0 từ phương trình đầu của hệ ta có => 0 < X < ^ . Phân tích tìm lời giải: Bài toán này cũng tương tự bài toán trên đó là tách được riêng X và y. Ta thực hiện đánh giá phương trình đầu của hệ như sau Phương trình đầu của hệ tương đương với: ^2x(l-4x 2 ) + 2 > /x 2 (l-2x)=y + -i-. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có y + Ậ- > 2 t y.Ạ- - 1. 4y ]Ị 4y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = . Suy ra ^2xỊl — 4x 2 j + 2^x 2 (1 -2x) > 1. <=>^2x(l-2x)ỊVl + 2x +V2 xỊ> 1 <=>^2x(l-2x) > Vl + 2x ~^Ỉ2x «>2x(l-2x)>l + 4x-2^2x(l + 2x) «• 4x 2 + 2x - 2^2x(l + 2x) +1 < 0. «• Ị^2x(l + 2x) - 1 Ị 2 < 0 «• ^2x(l + 2x) = 1. -1-V5 X = <=> 2x(l + 2x) = 1 <=> 4x 2 + 2x -1 = 0 <=> X =-- 4 -I + V 5 ' X =--— 452 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đôi chiếu với điều kiện ta có X = 1 ^ . 4 . f 1 /5 1 1 Thử lại với (x; y) = -——; 4- vào phương trình thí v ’ 4 r 2 / Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = V 5ài 11. Giải hệ phương trình |^ x ~ 1 + l^ x l(x 2 + y 2 ) 2 +1 = X 2 +2; 1 + ' 5 ; -i- vào phương trình thứ hai của hệ thấy thoả mãn. -1+V5 ,r 4 ’ 2 Bài 11. Giải hệ phương trình i ( x + l + l)( x y + 3y ^,(x,yef). ị(x 2 + y 2 ) 2 +1 = X 2 + 2y v ' Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 4x 2 |Vx 2 + 1 - lj = x 2 Ịx 2 -y 3 +3y-2j (x 2 + y 2 ) 2 +1 = X 2 +2y + THI: Nếu X = 0 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 4 - 2y + l = 0<=>(y-l)|y 3 + y 2 + y-lj = 0 . 0 -I + Ẳ/17 + 3V33 + ^/17-3V33 • y _ 3 + TH2: Nếu 4 x/x 2 +1-1 = x 2 -y 3 +3y-2=> 4^'VX 2 + 1 - lj = X 2 -y 3 + 3y -2 (x 2 + y 2 ) 2 +1 = X 2 +2y 4 Vx 2 +1-1 = X 2 -y 3 +3y-2 (x 2 +y 2 )(x 2 +y 2 -l) = 2y-y 2 -l = -(y-l) 2 Từ phương trình thứ hai suy ra X + y -1 < 0: Khi đó biến đổi phương trình đầu của hệ thành -1 x‘ <=> X" 4 . — 1 X +1 +1 -(y-lf(y + 2). 3-Vx‘ + l 4 X +1 +1 = -(y-if(y+2) (1). Với mọi x,ye -l;lj => VT (1) > 0, VP (1) < 0. X — 0 Do đó (1) <=> VT = VP = 0 <=> ị thử lại vào phương trình thứ hai của hệ [y= 1 thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = (0;l); 0 ; -1 + ^17 + 3733 +^17-3a/33 V J Nhận xét. Khá dễ dàng ta có trường hợp X = 0 tuy nhiên để xử lý trường hợp còn lại bạn đọc cần khéo léo biến đổi phương trình thứ hai của hệ để có điều kiện ràng buộc X 2 + y 2 < 1. Bài 12. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình Lời giải Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có: 7 , \ 2 . 1 X + 9 \ 2 V 2x + y = 2 + 40x [x 2 + 5xy + 6y = 4y 2 + 9x + 9 9 \ 2 1 ' X + V 2x + y = ?.IÍ9 2 + 1 2 2 1 ' X + 2x + y í \ >_ị 2 í 9x + V V 2x +y • 3 + 40x > - 9x + - 9x + 6 3 í > — 2 9x + - 6 2x + y+ 9 2x+y+9 <=> 3x - 2x 2 - xy + 6y > 0 (1) Cộng theo vế bất phương trình (ĩ) có phương trình thứ hai của hệ ta được: 3x - 2x 2 - xy + 6y + X 2 + 5xy + 6y > 4y 2 + 9x + 9 . <=> (x - 2y + 3) 2 < 0 <=> X = 2y - 3 . 454 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì vậy tất cả các dấu bằng xảy ra <=> X = 2y - 3 2x + y = 9 <=>• X _ 1 9 V 2x+ y Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;3). X = 3 y = 3 Bài 13. Giải hệ phương trình < xy+1 x+y-4 ——— +---— = 0 x+y-1 x+y-xy tl x + y - x y + \/ x + y - 1 = Vx + yỊỹ Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0,x + y > l,x + y > xy . Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra hệ phương trình có nghiệm khi x+y-4<0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: = 0 . x 2 y 2 -xy| (x + y) l + xy- -(x + y) 2 +41 -+ ỉ ^ 1 + X (x + y-l)| (x + y-xy) 2 .2 <=> X y - y 2 -xy(x + y) + xy-(x + y) + 4(x + y)-4 = 0. xy(xy-x-y + l)-(x + y-2) 2 =0. THI: Nếu xy-x-y+ l<0suy ra xy(xy-x-y + l)-(x + y-2)~ <0. <=> Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \ y ^ o x +y=2 TH2: Nếu xy-x-y + l>0khi đó ta có: |x = 0 ly=2 ịx — 2 y = 0 (thử lại thấy không thỏa mãn). \ 2 xy(xy-x-y + l)-(x + y-2) < xy (x + y ) 2 -x-y+1 (x + y-2) 2 = I( xy -4)(x + y-2) 2 455 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com \ 2 Suy ra (xy - 4)(x + y - 2 y > 0 <=> x + y = 2 xy >4 (x + y) 4 2 Mặt khác: xy < --—7— < — = 4 nên X + y = 2 4 4 Khi đó: xy - 2 + 1 > 0 <=> xy > 1 xy > ( x+ yf <=>x = y=>x = y = l. Thử lại thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ X 2 + 2x - 2 = \Ị-y 2 -4y -2 y-6x + ll: x/ĩõ -4x-2x Lời giải Điều kiện : 10-4x-2x 2 > 0,-y 2 -4y-2 > 0. Sử dụng bất [Hg thức AM-GM ta có: „ / 2 — - l + (-y 2 -4y-2) X 2 +2x-2= yj-y ' 2 -4y-2 <— - — —- <=> 2x 2 + y 2 + 4x + 4y - 3 < 0 (1) y-6x + ll: n/ĨÕ 10-4x-2x I , , , A , 0 2 -4-2x 2 - V i_ 1 ^ 4 + 10-4x-2x <=> X 2 - lOx + 2y + 15 < 0 (2) X = 1 y = -3' Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được : 3x 2 + y 2 -6x + 6y +12<0<=>3(x-l) 2 +(y + 3) 2 <0^1 Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;-3). Nhân xét . Từ hai bài toán trên ta cần tinh ý kết hợp hai phương trình của hệ trong quá trình đánh giá, thông thường là các phép cộng và trừ theo vế hai phương trình của hệ. Bài 15. Giải hệ phương trình (x + 6y + 3)^/xy + 3y = y (3x + 8y + 9) J-x 2 +8 x-2 4y + 417 = (y • 3) Jy I • 3y • 17 ®M. ®$® M Mỉm®!® ®!ấỉm®!®. 456 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: y > l,x > -3,-x 2 + 8x-24y + 417 > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x + 3 + 6y) J y(x + 3) =3(x + 3)y + 8y 2 ( X + 3 ^ fx + 3 _ X + 3 ly Jv y y o, ^^-=2«x + 3 = 4y«x = 4y-3. V y Thay X = 4y - 3 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4Ậy + 4)(6-y) = (y + 3) Vỹ-Ĩ + 3y +17 (1). Ta có: 4^(y + 4)(6-y)<2(y + 4 + 6-y) = 20 (y + 3)Vỹ^ĩ + 3y + 17>3y + 17>3.1 + 17 = 20 _ ^ Í4 + y = 6-y Do đó (1) <=> ị 3 3 y = 1 => X - 1 . [y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Cách 2: Để ý một chút nhận thấy phương trình (1) có vế trái là hàm nghịch biến và vế phải là hàm đồng biến trên Ịj;+cej từ đó suy ra (1) có nghiệm duy nhất y = 1. |2x + ^4x 2 +lì Í7y 2 +i-y] = i Bài ló.Giải hệ phương trình < V 1 ) 1 'o' AI >ỉ CT ■ + —-— + -=- _1 + 3 X 1 + 2 y 1 + 5 X 1 + 4 X Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2x + V4x 2 + 1 = y + \jy 2 + 1 <=> y = 2x. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 1 1 1 3 - 1 - 1 -— - . 1 + 3 X 1 + 4 X 1 + 5 X 1 + 4 X 457 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác theo bất đẳng thức Holder ta có: 1 1 j_ > 3 ^ 3 _ 3 1 + 3 X 1 + 4 X 1 + 5 X 1 + ^3 X .4 X .5 X 1 + ^64^ ~1 + 4 x ' Í3 X =4 X =5 X Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ị <=>x = 0=>y = 0. [óO x =64 x Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0). _ [J 4 x 2 + y 2 Ị Ỉ4x 2 + 2xy + y 2 =2x | Bài 17. Giải hệ phương trình: < ỵ 2 V 3 y x^/xy + 5x + 3 = 2xy - 5x - 3 (2) Phân tích lời giải: Ta không xử lý được gì từ phương trình (2) quay lại phương trình (1) thì rõ ràng đây là phương trình đồng bậc ta có thể đặt y = tx hoặc đánh giá bất đẳng thức như sau Lời giải Điều kiện xy + 5x + 3>0. Khi đó điều kiện để phương trình có nghiệm là 2x + y > 0 . Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Cô si ta được: Cộng theo vế của (3) và (4) ta được: Do đó (1) <=> các dấu bằng ở bất đẳng thức (3),(4) xảy ra <=> y = 2x . Thay vào (2) ta được: x^2x 2 +5x + 3 = 4x 2 - 5x - 3 (5). Nhẩm được nghiệm x () = 3 đến đây có các hướng xử lý sau: 458 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hưởng 1: Biến đổi tương đương Để ý là y + 2x = 4x > 0 nhưng do X = 0 không thỏa mãn hệ nên X > 0. Do đó: (5)0 X > 0 4x 2 -5x-3>0 x 2 Í2x 2 + 5x + 3| = 4x 2 -(5x + 3) í 5 + V73 X > ——-— o 14x 4 - 45x 3 - 2x 2 + 30x + 9 - 0 , 5 + V73 X >--- 8 (x-3)(l4x 3 -3 x 2 -11x + 3Ì = 0 <=> X = 3 . Do với mọi x>^ thì f(x) = 14x 3 -3x 2 -1 lx + 3> 0 . 8 Suy ra (x;y) = (3;ô). Vây hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (3;6). Hưởng 2: Nhân liên hợp (5) <=> xív^x 2 + 5x + 3 -óì = 4x z -5x-21 . (x-3)(2x + ll) <=> í 2x z +5x + 3 + 6 :(x-3)(4x + 7) . x = 3 0 x(2x +1 1 ) = (4x + 7)^2x 2 + 5x + 3 + 6j (6) ■ 5 + ^73 Với mọi x>--- thì: 8 (4x + 7)^2x 2 +5x + 3 +ój>(4x + 7) ^2(x +1) 2 + X +1 + 6 >(4x + 7)(x + l + 6Ị = (4x + 7)(x + 7) >x(2x + ll) Nên phương trình (6) vô nghiệm và ta có kết quả tương tự trên. 459 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X eZÌ;—^> 0;—0;x +y * 0 . 2 2 v ’ x+y x+y Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: Sử dụng bất đẳng thức Mincopski ta có: Tương tự ta có: sin 2 y + —-— + cos 2 y +-—— > Vĩõ . ]Ị sin 2 y ]Ị cos 2 y ísin 2x = 1 X = — + X7Ĩ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ị <=> < 4 sin2y = 1 7t 1 y = —+ l7t l 4 - , I 20x 20y ^ 177 20x 20y 'ì - /777 Mặtkhác: —— + —2 ——+ —=2V10. v x + y V x + y \ u + y x + yj / v XV Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ——— = —-— <=> X = y . X + y X + y Vậy nghiệm của hệ phương trình là X = y = -4 + k7t,k e z. 460 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 19.Giải hệ phương trình: < \js + 2x 2 y - x 4 y 2 + X 2 Ịl - 2x 2 j = y 4 ỉ + \jx 2 +y 2 -2xy + l + x 2 Ịx 4 -2x 2 -2xy 2 + lj = 0 Lời giải Điều kiện: 3 + 2x 2 y - x 4 y 2 > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: ^4-Ịx 2 y-lỊ 2 +x 2 -2x 4 -y 4 =0 (1) ^(x-y)" +1 + x 6 -2x 4 -2x 3 y 2 + x 2 +1 = 0 (2) Lấy (1) - (2) theo vế ta được: Ta có: ^-(xVl^x-y ) 2 + l = l + (x 3 -y 2 ) 2 . l + (x 3 -y 2 ) 2 >l Do đó dấu bằng xảy ra <=> „3 _ 2 X =y X = y <=>x = y = l (thử lại thấy thỏa mãn). x 2 y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ A 2 ^2ịx-3) + xy + y- x- l = ^ x ~2 Vx 2 + x + l-yjy 2 - y + 1 = ^/x 2 -xy + y 2 Lời giải Điều kiện: X > 3. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: •>y y 2 - y + 1 + *Jx 2 -xy + y 2 = Vx 2 +X + 1 . 461 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có: VT = > í ' 1Ỹ (S V 2 y V 2 y + , \2 í r \ 2 -x-y + X V 2 , 1 1 yx-y 2 2 \2 + s . s. \2 _ - + —X 2 2 = Vx z +x + l=VP. V3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi -^-x <=>xy-x + y = 0. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: Nhân xét: Phương trình vô tỷ này rất đẹp mắt cả hình thức và cái đẹp ở nghiệm duy nhất X = 1 + ỉịĩ + — tuy nhiên để xử lý nó không đơn giản. 1 vó I = -— —x-y <=>XV-XH 9 9 9 ực:x 2 > /2(x-3)-l = ^3x-|. A __ ^4. ’ 1 _ 4 - 1 _ nghiệm duy nhất X = 1 + v2 + —pr tuy nhiên để xử lý nó v2 Ta có: X 2 -1 = ^3x--^ <=> 2x^2(x-3) - —= 3 Ị ■ ^)- 2= f + íF5- 2 2 Í_A ,2 „3 X X <=> 4Í2x 3 -6x 2 -l' / 0 9 \ -4 2x 3 -6x 2 -1 2xJ2(x-3) + 2 4ỈẸI4 vVx 2 X 3 , + 4 - — 2 24 4 3 ——-— + V ,2 „3 V X X / rì 2 2-2 <=> 412x 3 -6x 2 -1 2x42 (x- 3 )+2 '24 4 \2 „2 „3 v ,x X , ^2 - —^ 3^-4+ Ix 2 X 3 V 4 2 V x y = 0 «2x 3 -6x 2 -l = 0»(x-l) 3 -3(x-l)-| = 0. «(x-1) 3 -3(x-1) = ^ + ^ A 3 / -3 V ® + ả «f(x-l) = f[» + J= <=> X 462 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (với f(t) = t 3 - 3t đồng biến trên [l;+co). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) ■ l + 3/2+J=; 1 + líl + i Cách 2: Đặt r 2 2+Ì?+^= r f u -v ' 2 b-3) ITT H 3x- — 2 v i u 2 +6 X = - 2v 3 +1 V r 3| u" + 6Ị = 2v J + !<=>2v 3 -3u 2 -17 = 0 r Phương trình đã cho trở thành: ^ u 2 +6^ V 2 J 2v 3 -3u 2 -17 = 0 u -1 = V =^> ị ^u 2 +6^ u - 1 = V Ta có phương trình: 2 •( “|3 u 2 +6 V 2 7 u-1 -3u -17 = 0. o I u 3 + 6u - 2 ỊỊ u 12 + 30u 10 + 2u 9 + 360u 8 + 36u 7 + 2164u 6 + 216u 5 + 6528u 4 + 440u 3 + 7968u 2 + 48u + 304 Ị = 0 <=> u 3 + 6u - 2 = 0. <=> u = ìỉĩịy/ĩ-ỳo^x-ĩ) =ỊỈĩịịỈ2-ỉj <=> X . 1+^+4- =i + t/2 + ‘ * >* E *Ế Để rèn luyện cho kỹ năng giải phương trình vô tỷ bằng kỹ thuật nhân liên hợp mời bạn đọc xử lý phương trình sau X 2 ^3(x -3) -5x + 4 = yj -5x 2 -4 . 463 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1 . Giải hệ phương trình < Vx 2 - 2x + 2 + ^/y 2 - 2y + 2 = 2 x/x +^jy + 3 =3 Phương trình thứ nhất của 1 Lời giải lệ tương đương với: íx = 1 = 2 <=> < (thay vào phương trình thứ hai của \/( x ~ 1 ) 2+1 + \/ (ỵzl£±l hệVhấy thỏa mãẠi. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (l;l). Bài 2. Giải hệ phương trình 7a/i 6 — y 2 =(x-l)(x + 6) (x + 2) 2 +2(y-4) 2 =9 Từ phương trình Tù phương trình Vì vậy X = 1 => < Vậy hệ phương l Lời giải đầu của hệ suy ra (x-l)(x + ó) > 0 <=> . thứ hai của hệ suy ra (x + 2Ỵ <9<=>-5 y = 4. (y-4) 2 =0 rình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;4). Bài 3. Giải hệ phương trình Ậ 2 y 2 - 36xy + 324 = 12 - X 2 1 9 xy = 9 + —y l 3 Lời giải Ta có 12 - X 2 > 0 => |x| < 2 V 3 . Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: ■ = 9 + ị>2-S[ xy = y + y > zvơ |y| =^> xy > xy > 2 V 3 y X > 2 V 3 . Vậy |x| = 2^/3 <=> I x 2 ^: X = 2v3 X = -2\Ỉ3,y = -3\Ỉ3 X = 2yf3,y = 3^Jĩ £ 464 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 1 —2 3;-3 3 Ị;ị2 3;3 3 v ' V /— /—/ V /— 1- Bài 4. Giải hệ phương trình a/x + yj32 — X = y 2 -3 r r \r r + V 32 - X = -6y + 24 Lời giải Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được : Vx + V32-X + ^ + \l32-x = y 2 -6y + 21. <=> Vx + V 32 -X + v/x + v/32-X =(y-3) 2 +12 . Vx + V 32 - X < ự(l + l)(x + 32 - x) = 8 Ta có: < _ I-——- 1 ^=- \/x +v/32-x < j(l + l)ỊVx + V32-x) <4 Suy ra: Vx + V 32 -X + x/x + \I 32 -X < 12 . Mặt khác (y- 3) 2 +12 >12. , ... _ [x = 32-x íx = 16 Dâu bâng xay ra <=> < <=> < . ly = 3 ly = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l6;3). Bài 5. Giải hệ phương trình x 3 y = 1 [3x + y = 4 Lời giải íxy>0 íx>0 Hệ phương trình có nghiệm khi < <=> < [3x + y > 0 [y > 0 Ta có :3x + y = x + x + x + y>2x + 2^/xy > 4^x 3 y = 4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lời giải Từ hệ phương trình suy ra 0 < X < 1,-1 < y < 1. 465 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay y 1 = 1 - X 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: |Wl + x 2 +I3V1-X 2 j = = 16. Ta có: L^Vl + x 2 +13x/l-x 2 j = |.3x.2Vl + x 2 + ^-.x.2\íĩ^: ạ 4 Ị9X 2 +4(l + x 2 ỊỊ + ^Ịx 2 + 4Ị1 - X 2 jj = 16 Dấu bằng xảy ra <=> rì 3x = 2 Vl + X [x = 2-\/ĩ-x z Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) <=>x = -^=^>y = ± f 2^. _0/ 2 1 A Vs’ Vs V 5 ’ Vs 3V1 + 2X 2 + 2-^40+ 9y 2 =5 Vu Lờỉ' giải Ta có: Vl + 2x 2 > —^=(2x+ 3),Vx ( VI1 7 ^40 + 9y 2 >-/L(l8y + 10),Vy. =>3^1+ 2x 2 + 2-^40+ 9y 2 Dấu bằng xảy ra <=> X = J, > ^L(6x + 36y + 29) = 5VĨT. 2 y 3' Bài 8. Giải hệ phương trình < Vx" + ^/ỹ + 2Ịx 2 +y 2 j = 2xy + 4 x^3x 2 + 6xy + y^3y 2 + 6xy = 6 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Từ phương trình đầu của hệ ta có: 2xy + 4 = Vx + ^/ỹ + 2|x 2 + y 2 Ị>2ị[xỹ + 4xy =>2 > %Ịxỹ + xy => xy < 1 466 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 6 = x^rì6^ + y^rì^< 9xĩ+3 ~ ĩ ' f6xy + 9yĩ+3y 6 2 ' f6ly = 2(r + r) + 2xy Lại có: 2^x 2 +y 2 j + 2xy = 4xy + 4-ỊVx + sịỹ j<4.1 + 4-2 = 6. ị xy — 1 ị X — 1 Do đó dấu bằng xảy ra <=> < <=> < [x = y [y = i Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) ■ Bài 9. Giải hệ phương trình y 2013 _2xỵ_ 2 2013 “^- 2 7 + 2»“ + i y 2013 + _ 2xỵ _ = y 2 + x 2013 201^ y 2_ 2y + 2 2014 + 1 Lờỉ' giải Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: 2xy 2xy _ 2 2 201 ^/x 2 -2x + 2 2014 +1 + 201 ^y 2 -2y + 2 2014 + 1 " x +y ' Mặt khác: _2xỵ_^_2xỵ_ 2|xy| | 2|xy| < 201 Ấj/x 2 - 2x + 2 2014 +1 + 20^y 2 _2y + 2 2014 +1 201 #ÕĨI + 201^ĨĨ X 2 +y 2 >2|xy| Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lởi giải Nhân thêm 2 vào hai vế của phương trình thứ nhất sau đó cộng theo vế với phương trình thứ hai, ta được: 2 V 5 -X 2 +X + - + 2. 5—ỉ- = 2y 2 -4y +12 . 467 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Sử dụng bất đẳng thức cauchy-shar ta có Mặt khác lại có VP = 2y 2 -4y +12 = 2(y -l) 2 + 10 > 10. Vậy VT = VP = 0<^J y = 1 . U = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. Lời giải Điều kiện : x>l,y>l. X | y _ 2^/xỹ y + 1 x + 1 Jxỹ + 1 5 3 _ v/x-1 7y “1 Bài 11. Giải hệ phương trình Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y . Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm (x;y) = (5;5). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5; 5 ). Lời giải Từ phương trình đầu của hệ suy ra -1 < X < 1 . Ta có : x + y + xy + 2014 = (x + l)(y + l) + 2013>2013>0. Do đó phương trình thứ hai suy ra X = y . 468 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay vào phương trình đầu của hệ ta được : X = y = —ị=,x = y = —= . V2 4 2 Ị ị 1 ' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ——;—— ; ' V 4 2 4 2 Lời giải Từ phương ttình thứ hai của hệ , ta có: y 3 + 6x 2 y = 7 <=> yỊy 2 + 6x 2 j = 7 => y > 0 . Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra X > 0. Vậy x,y > 0 . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x-y)(4x 2 -2xy + y 2 Ị = 7(y-l)(*) Xét phương trình (*). THI : Vơi 0 < y < 1 thì VP < 0 VT <0<=>x0l=>7(y-l)>0=> VP > 0 => VT >0=>x>y>l,từđó suy ra y 3 + 6x 2 y > 7 , hệ vô nghiệm. Vậy với y = 1, ta có nghiệm X = 1 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) = (l,l) ■ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;2). 469 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + 2 - VỸ = 1 Bài 15. Giải hệ phương trình ị 1 /4x + y Lời giải Điều kiện: -2 < X ^ 0,y > 0,4x+ y 2 > 0 . Vì y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình nên y > 0 suy ra VX + 2 = 2__ 1 X 6 yfỹ + 1>1 1 1 1 =^ x> - ==<-7 + - 7 = /4x + y 2 6 V4x [y>0 (7-V33) THI: Nếu y < X - 1 Suy ra: 3Í7-V33) X > ————- 2 Vx + 2= ^/ỹ + lx>2=> —- 1 1 1 11 -- , <--—-<-7 X , „2 X x + l 6 /4x + y (hệ vô nghiệm). TH2: Nếu y > X -1 thực hiện tương tự ta có hệ vô nghiệm. TH3: Nếu y = x-l thay vào phương trình thứ hai của hệ suy ra x = 2=>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (2;l). [ 2 Vx-^ĩ - Jỹ-Ĩ. = 2 Bài 16. Giải hệ phương trình < , -— [x + a/12x + y =19 Lời giải Điều kiện: X > 4,y > 1. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2\jx- 4-4 = -y/ỹ--I - 2 <=> ^( x ~ 8 ) = _L=^ ^ (x - 8 Ì(y - 5 ) > 0 ■ 2 vx-4+4 Vy-1+2 Nếu x>8,y>5^>x + \j\ 2x + y 2 > 19 hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x<8,y<5^>x + \j\2x + y 2 < 19 hệ phương trình vô nghiệm. Nếu X = 8,ỵ = 5 hệ phương trình thỏa mãn. 470 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (8;5j. Nhân xét: Hê trên hoàn toàn giải được bằng phép đặt ẩn phụ u=Vx-4 =VỸ-Ĩ Bài 17. Giải hệ phương trình X y + y = 2x y 4 -x- =2(l-x)' Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: y=- 2x 1 + x 2 y 4 = (x-if+i Từ phương ttình thứ nhất của hệ suy ra -1 < y < 1 => y 4 < (x -1) 2 +1. Dấu bằng xảy ra <=> X = l,y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. Lời giải Từ phương ttình thứ hai của hệ suy ra: 5 - X = Ịx 2 + ljỊy 2 + ljthay vào phương trình đầu của hệ ta được: (x 2 + l)(y 2 + l)(xV + l) = (l + x 2 y 2 ) 3 . Mặt khác theo bất đẳng thức Holder ta có: (x 2 + l)(y 2 + l)(xV +1) > [ 1 + j = (l + x 2 y 2 ) 3 . Dấu bằng xảy ra <=> X 2 = y 2 = 1 thử lại vào phương trình thứ hai của hệ suy ra (x;y) = (l;-l);(l;l). Bài 19. Giải hệ phương trình x^/l-y 2 + yv/l-x 2 = 1 3x 2 -xy 2 +4x = l 471 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Ta có x^/l-y 2 +yVl-x 2 < Ậx 2 +1 -X 2 jỊĨ - y 2 + y 2 Ị = 1. Dấu bằng xảy ra <=> X 2 + y 2 = l,(x,y > o). Khi đó thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 3 +3x 2 +3x-l = 0«(x + l) 3 = 2ox = 3/2-l=>y = l-Ị^2 2 - 11 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = \fĩ — 1; 1 — (\ịĩ V v -1 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Ta có: r yV x + — xy + — X > 2.ỈX.—.2. xy,- =4y . X V X Dấu bằng xảy ra <=> ị x <=> < 1 >' - I I xy = - u X = - X = 1 X Thử lại vào phương trình đầu của hệ thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. Bài 21. Giải hệ phương trình \ 2 (x 2 -l) +l = 2y(2x + l) [x 2 -y 2 =3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x 2 -1 + 1 = 4xy + 2y Ịy 2 + 2 + 1 = 4xy + 2y „2 2 , o „2 2 , T l x = y + 3 [ x = y + 3 V ộ 472 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có:4xy + 2y Ịy 2 + 2j 2 +1 < 5y 2 + 2y + 3 <=> y 4 - y 2 - 2y + 2 < 0 <=> (y -l) 2 Ịy 2 + 2y + 2 j < 0 <=> y = 1 => X = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). Bài 22. Giải hệ phương trình < 2 Vy 2+x + y + 3 = 3 Vỹ + ^ x + 2 . y 3 + y 2 - 3y - 5 = 3x - 34^ + 2 Lời giải Điều kiện: y > 0,x > -2 . Ta có: Vx + 2 + 3 yjỹ < + 3)(x + 2 + 3y) = 2 4 tí + 3y + 2 < 2-Jy 2 +x + y+ 3 Vx + 2 _ ^/3y Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi < 1 ^3 <=> x + 3y + 2 = y 2 +x + y + 3 Thử lại thấy thỏa mãn phương trình thứ hai. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( - l;l) ■ 2 ... 2 , ? x + y 4- 97 +x _ 0 Bài 23. Giải hệ phương trình ị 4 ỊVx + yỊỹ = 2 _ Lờ/ giải Điều kiện: x,y > 0. x + y>ịỉ4x + 4ỹ) =2 Ta có: < => X 2 + y 2 + X + y > 4 . X 2 +y 2 >^-(x + y) 2 >2 Suy ra: 2 x2+y + 2 y2+x > 2^2 x2+y2+x+y >2\l¥ = 8. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj. 473 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 24. Giải hệ phương trình: jjx 9 - 18y -27x - 29 = 2x +VTm xỊx 3 +2xy-2x + 2Ị + (y-2) 2 + 7 = 6^4(x-y + l) Lời giải Điều kiện: X - y -1 > 0, X>1 X < -2 Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: X 4 + 2x 2 y -2x 2 + 2x + y 2 - 4y +11 = 6^4(x-y + l) . <=> Ịx 2 + yj~ -2|x 2 + yj + 2(x-y +l) + 9 = 6^4(x-y +1) . <=>Ịx 2 +y-lj + 2(x-y + l) + 8 = 6^4(x-y + l). Mặt khác: <=>Ịx 2 +y-lj + 2(x-y + l) + 8>2(x-y + l) + 8 = 2((x - y +1) + 2 + 2 ) > 2.3^2.2.(x-y + l) = 6^4(x-y + l) _ [x 2 +y-l=0 _ |~x = l,y = 0 [x-y + l = 2 |_x = -2,y = -3 Thử lại chỉ có nghiệm (x;y) = (-2;- 3 ) thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (-2;- 3 ). Bài 25. Giải hệ phương trình < x + y + — + — = 2|Vl-2x + ^/l + 2yj X 2 + y 2 - 7xy +1 = 0 Lời giải Điều kiện: 0 ^ x < Ạ,-Ậ< y * 0 . 2 2 Phương trình thứ nhất của hệ suy ra x + — -2Vl-2x + y + — -2-Jl + 2y = 0 . X y 474 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com . X 2 -2xV 1 -2x + 1 -2x . y 2 -2yJl + 2y +l + 2y <=>-———-+ --—— : — -- = 0 . X y i(x - Vl-2x) 2 + ^-Ụl + 2y - y ) 2 = 0 (1). Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 7xy = X 2 + y 2 + 1 > 0 => xy > 0 . ^ ^ [x = Vl-2x ịx--l + yỈ2 Do đó (1) ị «• ị JL . [y = Ạ + 2y [y = l + V2 Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = í-1 + y/2;l + 4Ĩ Lấy (1) - (2) theo vế ta được: ^25-(x 2 y-4) 2 - A /l6 + (x-2y) 2 = (4y 3 -x) 2 +l. j25-fx 2 y-4) 2 -J 16 + (x-2y) 2 < V 25 - VTó = 1 Ta có: < ’ V / V V (4y 3 -xj +1>1 x 2 y = 4 Do đó dấu bằng xảy ra <=> ị X = 2y hệ này vô nghiệm. 4y 3 = X Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 475 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 27. Giải hệ phương trình: < y 6 + y 3 + 2x 2 =\Ịxy- x 2 y 2 8xy 3 + 2y 3 + i = 4x 4 + 3x 2 + X + 2^4x 2 - 4xy + y 2 +1 Lời giải Điều kiện: 0 < xy < 1. / 2 2 1 Ị Jxy-x y = 4 l xy- < ị => 2y 6 + 2y 3 + 4x 2 < 1. 8xy 3 + 2y 3 +I = 4x 4 + 3x 2 + X + 2^14x 2 - 4xy + y 2 +1 > 4x 4 + 3x 2 + X + 2 2y 6 + 2y 3 + 4x 2 < 1 4x 4 + 3x 2 + X + 2 < 8xy 3 + 2y 3 + ị Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên suy ra: 2(y 3 -2x) + / iX 2 2x 2 -ị V 2 y + ' l' 2 x + — V 2 J <0« y 3 = 2x 2x 2 - — <=>< i X = —- l 2 (ị \ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = . 2 (thỏa mãn) y = -i Ta có: Lời giải ^r^) + 2s s±izs +2 .| X + y - <0 Suy ra: ^- + x 2 y 2 + 4x 4 y 2 +4x 2 y 4 4 2 -xy -2^xy(x+ y) < 0 476 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được: Lời giải Điều kiện: x>l,y>2,l-x + (y-l)~ >0. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: (V^-Vỹ)(x + 3^ỹ + 4y) = 0^x = y . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 8x 2 + 8x^(x-l)(x-2) = 12x +1 + 7ỊVx-1 + Vx-2 j. Để giải phương trình này ta có hai cách xử lý như sau: 8x./(x-l)(x-2) >7Vx-2 2 /7 T7 77 _ / [ 7 /—-\ < A Ị ^>8x 2 +8xJ(x-l)(x-2)>12x + l + 7U/x-l + Vx-2 8x 2 -12x-1-7a/x^Ĩ>0 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). Cách 2: Đặt u = Vx^T + Vx-2 > ^Í2^Ĩ + V2-2 = 1 =7> u 2 = 2x - 3 + 2^(x -l)(x -2) . Suy ra:8x 2 + 8x^(x-l)(x-2) — 12x — 1 — 7^x/x — 1 + >/x — 2^ = 8x 2 +4xíu 2 -2x + 3]-12x-l-7u = 4xu 2 -7u-l>8u 2 -7u-l = (u-l)(8u + l)>0 477 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 <=> X = 2 . u = 1 Bài 30. Giải hệ phương trình Zx + 1 -yỊ2y + ỉ =y-x 16x y + 5 = 6ư4x y + x Lời giải Điều kiện x,y > khi đó hệ tương đương với: 2 h-y) L 2 < '\j2x + 1 + ^2y + 1 < ^ 'Ịĩx-ĩ-X + ^2ỵ + 1 16x 2 y 2 + 5 = 6^4x 2 y + X 16x 2 y 2 + 5 = 6^4x 2 y + X 16x 4 + 5 = 6V4x 3 +x Từ đây suy ra x,y > 0 Ta có y/ 4x 3 +x = ^-< |^4x + 4x 2 +1 + 2 Ị = ^4x 2 + 4x + 3 ) Từ đó suy ra : 16x 5 + 5 < ^4x 2 + 4x + 3 ) o 2^2x 2 + 2x + lj(2x -1) 2 < 0 o X = -ị Thử lại thây X = — ^ thỏa mãn phương trình trên ( ỵ ỵ ^ Vậy hệ CÓ nghiệm duy nhất (x;y) = -yr\-~r ■ V 2 2 y X 2 - 8y 2 =2xy(l-2y) ỉ': ^ -t A „ u. _4-' „ u Bài 31. Giải hệ phương trình < I - ,2 . 1 . u/x 3 +4x = 1 + y + 4y - Lời giải Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra X 3 + 4x > 0 => X > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x-2y)Ịx + 4y 2 j = 0< ► X = 2y . Thay y = -^ vào phương trình thứ hai ta được: 3 Vx 3 + 4x = X 2 + 2x + 4. 478 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có : 3 ^ X + 4x = 3J2x. X 2 + 4 , 3 f < — 2 2 2x + X +4 y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). Bài 32. Giải hệ phương trình (x + y -1) ^/x + y -1 + 6x + 2y = 20 ị(3x + y - 2^3x + y - 2 +2x + 2y = 18 Lời giải Điều kiện vv 1 ". 0 [3x + 2y-l>0 Khi đó hệ phương trình tương đương với (x + y-l)V^I + 2(3x + y-2) = 16 (3x + y-2^3x + y-2 + 2(x + y-l) = 16 Trừ theo vế hai phương trình trên ta được (x + y-l)^/x + y-l - 2(x + y-l)-(3x + y-2)^/3x + y-2 + 2(3x + y-2) = 0 <=> (x + y-l)ỊV x + y -1 - 2j + (3x + y -2^2-^/3x + y-2 j = 0(*) Từ (*) ta có nhận xét sau : Nếu X + y -1 > 4 thì từ (*) suy ra 3x + 2y - 2 > 4 Nếu X + y -1 < 4 thì từ (*) suy ra 3x + 2y - 2 < 4 Như vậy hệ có nghiệm khi ị X + y -1 > 4 |3x + y-2>4 [x + y-l<4 [3x + y - 2 < 4 Từ đây kết hợp với hệ (T) ta suy ra hệ tương đương với: |x+y-l=4 í 3x + y-2 = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1 X = — 2 y '19' M = v 2 ; 2 y 479 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 33. Giải hệ phương trình xy + 1 x + y- 4 —2—— +---- = 0 x+y-1 x+y-xy yjx + ỵ-l + yỊx + ỵ-xy= 2x 2 + 3y 2 -3 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0,x + y > l,x + y > xy . Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra hệ phương trình có nghiệm khi x+y-4<0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x 2 y 2 -xy(x + y) + xy-(x + y) 2 +4(x + y)-4 (x + y-l)(x + y-xy) 2 2 <=> X y - y 2 -xy(x + y) + xy-(x + y) + 4(x + y)-4 = 0. xy(xy-x-y+ l)-(x + y-2) 2 =0. THI: Nếu xy-x-y+ l<0suy ra xy(xy-x-y + l)-(x + y-2)~ <0. <=> Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy = 0 X + y = 2 <=> |x = 0 iy=2 ịx — 2 y = 0 (thử lại thấy không thỏa mãn). TH2: Nếu xy-x-y + l>0khi đó ta có: \ 2 xy(xy-x-y + l)-(x + y-2) < xy (x + y ) 2 -x-y+1 (x + y-2) 2 = ỉ( xy -4)(x + y-2) 2 \ 2 Suy ra (xy - 4)(x + y - 2 y > 0 <=> x + y = 2 xy >4 (x + y) 2 4 2 Mặt khác xy < --< — = 4 nên X + y = 2 4 4 Khi đó: xy - 2 + 1 > 0 <=> xy > 1 xy > (x + y) 2 <=> X = y =^> X = y = 1. 480 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Lời giải Điều kiện: x,y > 0. Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 4 í 2 ỊVx + ^/3yỊ <4(x + 3y) 2 <4(l + l)Ịx 2 +9y 2 j = 72 ^- + y 2 => +Jỹỹ < Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Vx = ^Ịỹỹ <=> X = 3y. Thay X = 3y vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 27y 3 -27y 2 +9y = l»(3y-l) 3 = 0oy = |=>x = l. ( ị\ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1 1;^- . y ! £ „1 __ Bài 35. Giải hệ phương trình X 2 + y 2 + xy - 3x - 4y + 4 = 0 ?(x 4 +y 4 -14y 2 +49)-(x + 2y) 4 =-8(xy + 7)(x 2 +2xy + 4y 2 -14Ì Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: [x 2 + y 2 + xy - 3x - 4y + 4 = 0 ĩ X 4 + íy 2 - 7 Ị 2 = (x 2 + 4y 2 - 2^\ ' V 7 Ta có: 17 X 4 +Ịy 2 -7Ị 2 >Ịl.x 2 +4^y 2 - 7 ỊỊ 2 =Ịx 2 +4y 2 -28)\ 481 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 v 2 -7 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ^j- = 44—— <=> 4x 2 - y 2 + 7 = 0 . Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: Í4x 2 -y 2 +7 = 0 [x 2 + y 2 + xy - 3x - 4y + 4 = 0 A 4 , 7 0;- .ye 1;- 3 3 Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra X G (Xem thêm kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình). + 7 > 0 nên hệ phương ưình đã cho vô nghiệm. Do đó: 4x 2 - y 2 + 7 > - f T ^ 2 v3y /x + ^2x-y + ^3x-2y (x + l)Ịóx 2 +2y 2 -7xy + 5x-3y + l) = ^ Lời giải Điều kiện: x>0,3x-2y>0. Để ý một chút ta nhận ra: / _ 2 V/ (x + l)Í6x 2 +2y 2 -7xy+ 5x-3y + lj = í(Vx) 2 + lj Ụĩx-yỴ +1 Uĩx-2y\ \2 ^ + 1 Ta có ố bất đẳng thức: ía 2 + ljỊb 2 +1 Ịc 2 +1 > 125 a,b,c > 0,a + b + c = 4 2 Chứng minh bất đẳng thức này ta xét hàm số: 4 f(t) = ln|V + lj-—t,t e «4 2 Suy ra: ln|t 2 +l)>ln---=>lníl + a 2 Ulníl + b 2 Ulníl + c 2 ì>31n--- = ln 125 4 5 4 5 64 <=> (l + a 2 )(l + b 2 )(l + c 2 ): 125 64 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = ^. 482 Lời giải Điều kiện: xy > 0,x 2 + y 2 > 0 . Từ phương trình đầu của hệ ta có: 6 = X + 6 s]xỹ -y2x + y>3. 483 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 6 " 2 '"-'y 2 2 ,2 , X 2 + y 2 X 2 + y 2 VI M J X +y +-42— J 2 3 = X + X" + xy + y ^>2x + y>3. >x+x+y=2x+y X = y IX = 1 Vì vậy tất cả các dấu bằng xảy ra <=> < ' <=> < [2x + y = 3 [y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). (x -1) VỸ + (y -1) Vx = ^2xỹ ịx^2y-2 + y\Ỉ2x-2 = Vĩxy Lời giải Điều kiện: X > 1,y > 1. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với Vx-1 1 + x-l_ 1 8i; 2Eì + iELi. X y Ta có: X 2x 2 Vx--I + -y/ỵ — 1 < Ị V^i+y-Ị _i x y l y 2y 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y = 2 thay vào phương trình đầu của hệ thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). Vx +\Ịx 2 +y + 3 = 2 [2Vx + 4+3jỹ+8 = 13 Lờ/ giải Điều kiện: X > 0,y >-8,x 2 + y + 3 > 0 . Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: 484 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). V1 + V 1-x 2 = X ỊV 4 - 2-Jl-y 2 j Bài 41. Giải hệ phương trình 1 1 2 Vĩ+X yỊĨ+ỹ - Ạ + ^7 Lờí giải Điều kiện: 0 < x,y < 1 . 1 1 17 ĩ ĩ \ 2 Tacổ:— T +— p- — < 2 —-— + ——— < . =,Vxv < 1 . Vi+X V 1+ y V v 1+x 1+ yJ Vi+Vxỹ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y . Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: y/1 + VĨ--X 2 " = xí 1 + 2 Vĩ -X 2 (Xem chủ đề kỹ thuật lượng giác hóa). 485 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải X — 3 Điều kiện: —— 7 - > 0,y ^ 3. y-3 Tacó: (x + y) 4 +3 = (x + y) 4 +l + l + l>4^x"+~ỹỹ" = 4|x + y| > 4(x + y). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X + y = 1. Do ——^ > 0 -2 < x,y < 3. y-3 Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: X 4 _ 9x 2 _ 7x _ - 1-——-1-—-h 64 32 8 31n(3-x) = ^- + ^- + -^ + v ; 64 32 8 31n(3-y) (1) 4 _ 2 1-1 Xéthàmsô" f(t) = +31n(3 -1) trên (-2;3Ì. 64 32 8 v ’ v ’ Ta có: f'(t) = M 2 (t 2 -H 16(t — 3 ) 0,Vt e (-2;3) nên f(t) là hàm nghịch biến trên - (-2;3). Do đó (1) <=> f(x) = f(y) <=>x = y=>x = y = -r Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ^x;y) = 0 ’ 0 ' y2 2 y Bài 43. Giải hệ phương trình: X 2 +2xjxỹ = y 2 Jỹ ^4x 3 +y 3 +3x 2 VxỊỊl5x/x + yj = 3\/xỊy^/ỹ + x^/ỹ + 4xVxj Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Đặt u = vx,v = ^/y,(u,v > 0)hệ phương trình trở thành: u +2u v = v ^4u 6 + V 6 + 3u 5 j|l5u + V 2 j = 3u^4u 3 + U 2 V + V 3 j Nếu u = 0=>v = 0=>(x;yỊ = (0;0). 486 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét u > 0 đặt V = tu.ịt > o)phương trình thứ nhất của hệ trở thành: l + 2t u 4 + 2u 4 t = t 5 u 5 «u = t 1 + 2t Thay u = ———- vào phương trình thứ hai của hệ ta được: t 5 í . , t 6 . 3t 4 + t +- 1 + 2t r c l + 2t A 5 + —4- 3t = t + t + 4 . Dấu bằng xảy ra <=>t = l=>u = v=>u = v = 3<=>x = y = 9. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0);(9;9 ')• Bài 44. Giải hệ phương trình: r < (x-y)" + 4x + 12y-28 = 8^y(x-2Ị +8^(y-2)| ^/y-2 + Vx-4 =(x-y) 2 :*-«) Lời giải Điều kiện: X > 4,y > 2 . Xét phương trình đầu của hệ ta có: 8ựy(x-2)<4(x-2 + y) 8ự(y-2)(x-4)<4(x-4 + y-2) VP<8(x + y)-32. Mặt khác: VT-(8(x + y)-32) = (x-y) 2 - 4x + 4y + 4 = (x - y-2) 2 >0. Vì vậy dấu bằng xảy ra <=> y = X + 2 . Thay y = X + 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y]y-2 + yjy-2 = 4<=>y = 6^>x = 8. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (8;ó). 487 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 45. Giải hệ phương trình: « xy ]Ị{y xj y Ậx + lỴ + xy + 3x + 2y + 5-2x^x(y + 3) = Vx + ^y + 3 Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: Ta có: VT>^2(x + y + 3) = ^(1 + TịỊx + (y + 3)) > Vx + ^y + 3 =VP . Dấu bằng xảy ra <=> X = y + 3 thay vào phương trình đầu của hệ tìm được nghiệm (x;y) = (4;l). Lời giải Cách 1 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: X y _2ỵ_ 1 + y 2 2x 1 + x 2 Suy ra x,y e -l;lj . Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: xy = THI: Nếu xy = 0=>x = y = 0. TH2: Nếu Ịl + x 2 ỊỊl + y 2 Ị = 4. Tac 0 tlp < 2^( 1 + x2 )( 1 + y2 ) í4 ' Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = ±l,y = ±lthử lại nhận hai nghiệm 488 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = . Cách 2: Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X — y + xy 2 - yx 2 = 2y - 2x <=> 3(x - y) + xy (y - x) = 0. o(x-y)(3-xy) = 0 <=> y = x xy = 3' Xét trường hợp thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có kết quả tương tự. Vx + l + ^/x + y= 3 Bài 47. Giải hệ phương trình < [— ~2 Vx +Ặy-4j +9 =3 Lời giải Điều kiện: x>0,x + y>0. Ta có: V^ + ^(y-4)" +9 = 3>Vx+V9>3. íx — 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ị ly = 4 Thử lại vào phương trình thứ nhất của hệ thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;4). 4y 2 +3x + 8 = 5y(x + l) Bài 48. Giải hệ phương trình < r ( 4 4 ,(x,yeR + ). J 5 X 2 + —— =x + 3 ' ' li l x + yj Lời giải Điều kiện: x,y > 0 . Sử dụng bất đẳng thức C-S cho phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 , 4 X +-- X + y = . 2 2 + l 2 2 , 4 X +-- X + y > 2x + ị x + y 0 9 X 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ^ = , 2 Ạ + y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có V^ỹ=ịV 4 ( x+y ) x + y + 4 489 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X + y = 4. 8 > 2x + - Suy ra x + 3= 5 ' , 4 y X +—-— X + y x + y+ 4 <=>x 2 +xy-3y + x- 4<0. Cộng theo vế với phương trình đầu của hệ ta được X 2 + 4y 2 - 4xy - 8y + 4x + 4 < 0. <=> (x + 2 - 2y) 2 <0<=>x + 2-2y = 0. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: X + 2-2y = 0 X _ 2 ^ Jx = 2 2 = ^Ịy = 2 x + y = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2j. x + - 2xy 2 -= x 2 +y Bài 49. Giải hệ phương trình < 3. V y + 7 X 2 -2x + 9 2xy 2 /-7— 2 - = y +x 3| 1 V y 2 -2y + 9 Lời giải Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: 2xy 2xy 2 . _ 2 -7 -+ / = = x +y . ịỊx 2 -2x +9 ^/y 2 -2y+ 9 Phương trình này có nghiệm nếu xy > 0 . Nhận thấy X = y = 0 là một nghiệm của hệ. Xét xy > 0 Phương trình này có: VP > 2xy; VT = . 2xy = + 2xy = < xy + xy = 2xy ^l(x-l) +8 ^(y-l)‘+8 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = y = 1. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là£x,yj = (ỌjO)ỉ(l>l) ■ 490 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chỏ Sề 13. HỆ PHƯƠNG TRÌNH có CHỨA CĂN THỨC A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Trong các năm gần đây không riêng gì kỳ thi TSĐH mà các kỳ thi HSG các tỉnh, Thành phố bài toán hệ phương trình được đề cập luôn xoay quay các hệ chứa căn thức. Bởi lẽ hệ chứa căn thức có rất nhiều cách tiếp cận và cuối cùng đưa về một phương trình vô tỷ từ cơ bản đến hay và khó. Do vậy với xu hướng ra đề kết hợp 2 trong 1 vừa xử lý hệ phương trình vừa xử lý phương trình vô tỷ đòi hỏi bạn đọc cần trang bị những kiến thức cơ bản nhất đến dạng toán này. Dưới đây tôi đề cập các phương pháp cơ bản đứng trước một hệ phương trình có chứa căn thức. 1. Phương pháp Biến đổi tương đương Phản xạ tự nhiên khi đứng trước một phương trình của hệ có chứa căn thức đó là khử căn. Để thực hiện đưa về hai vế không âm rồi bình phương(hoặc bình phương luôn đưa về phương trình hệ quả) để tìm ra mối liên hệ giữa hai ẩn x,y. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của việc đặt ẩn phụ đôi với hệ có chứa căn thức là chuyển hệ ban đầu về hệ phương trình có hai phương trình dạng đa thức. Các phép biến đổi đôi với hệ đa thức được xử lý dễ dàng hơn với hệ có chứa căn. Tôi đề cập thêm một phép khử căn sau đây: Nếu đặt t = ax + Va 2 x 2 + bta hoàn toàn rút được X theo t. Thật vậy: t - ax = V a 2 x 2 + b => t 2 - 2atx + a 2 x 2 = a 2 x 2 + b <=> X = t 2 -b X = —- 2at V a 2 x 2 + b = t - a. t 2 -b 2at t 2 +b 2t (Xem bài tập mẫu). Chú ý. Xem thêm kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số. 3. Phương pháp xét hàm số Khi phương trình của hệ có các tích của đa thức và căn thức thông thường ta sử dụng phương pháp hàm số. Áp dụng định lý. Nếu hàm sô" f(x) đơn điệu trên (a; bị Khi đó: Vu,v e (a;b);f(u) = f(v) <=> u = V. 491 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ đây suy ra mối liên hệ giữa hai biến x,y . Việc còn lại là thế vào phương trình còn lại của hệ để tìm ra nghiệm của hệ phương trình. Chú ý. Xem thêm chủ đề kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm sô". 4. Phương pháp nhân liên hựp Các bài toán vận dụng kỹ thuật này tôi đề cập chi tiết trong chủ đề 19. 5. Phương pháp đánh giá bát đẳng thức Đối với hệ phương trình có chứa căn thức thường đánh giá thông qua các bất đẳng thức cơ bản sau(rõ hơn về phương pháp này xem chủ đề kỹ thuật đánh giá): + Bất đẳng thức Côsi(AM-GM) cho hai số không âm: 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b . + Bất đẳng thức Bunhiacopski(C-S): ^2Ịa 2 + b 2 Ị>|a + b|. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b . + Bất đẳng thức Mincopski: Ậ 2 + y 2 + Va 2 + b 2 >yỊịx + aỴ +(y + b)“ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay . Chủ ý. - Phương trình chứa căn thức ừong hệ nên ta phải đặt điều kiện. Điều kiện có thể đặt điều kiện thô(hệ phương trình có nghĩa) hoặc đặt điều kiện chặt(hệ phương trình có nghiệm). - Phương pháp chung là xử lý đôi với phương trình đơn giản hơn của hệ. Nếu cả hai phương trình của hệ không có không biến đổi đơn giản được nghĩ đến cộng trừ theo vế hai phương trình của hệ. 6. Đẳng thức cơ bản f(x) + 7f 2 (x) + aYg(x) + -\/g 2 (x) + a j = a <=> f(x) + g(x) = 0, Va > 0 . Chứng minh: Nhân vào hai vế của đẳng thức trên với yjg 2 (x) + a - g(x) ta được: a idi 2 (ĨỹYm & » SgịSSSSSÍ 5ĨSS8SSSSÍ 492 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> f(x) + g(x) + ^f 2 (x) + a - \jg 2 (x) + a = 0 . of(x) + g(x) + f2(x) -g^ _ = 0. A /f 2 (x) + a + ^/g 2 (x) + a <=> (f(x) + g(x)) 1 + f(x)-g(x) >/f 2 (x) + a + ^g 2 (x) + a = 0 . <^f(x) + g(x) = 0 vì . l4 f(x)-g(x) _ Vf 2 (x)+ã + A /g 2 (x) + a + f(x)-g(x) sjf 2 (x) + ã +^g 2 (x) + a Ay/f 2 (x) + a + -\/g 2 (x) + a |f(x)| + f(x) + |g(x)|-g(x) > rrr—— -° yf 2 (x) + a +^/g 2 (x) + a Từ đây ta có một phương trình đẹp mắt thường xuất hiện trong các hệ phương trình: Ta có một nhận xét là hai đẳng thức trên tương đương(xem bài tập mẫu). Các bài toán xoay quanh hai đẳng thức trên rất đẹp và có nhiều hướng xử lý bằng kỹ thuật đặt ẩn phụ cũng như hàm sô". Để chi tiết hơn về các phương pháp này xem thêm các chủ đề tương ứng trong cùng cuốn sách. B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải hệ phương trình: < 5/ X ^2x 2 +6xy + 5y 2 + 5 = ^ 2 2 _x-y + 44 2 ^2x 2 + 6xy + 5y 2 + 14x + 20y + 25 Lời giải Cách 1; Điều kiện: 2x 2 + 6xy + 5y 2 > 0,2x 2 + 6xy + 5y 2 + 14x + 20y + 25 > 0. Nhân xét: Phương trình của hệ có sự lặp lại 2x 2 +6xy + 5y 2 ở hai vế nên phép bình phương hai vế để loại đi nhân tử chung này là điều tự nhiên. Bình phương hai vế phương trình đầu của hệ ta được: 493 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 10 + 6xy + 5y 2 = 14x + 20y <=> 7x + lOy > 0 25Í2x 2 +6xy + 5y 2 j = (7x + 10y) 2 <=> ■ 7x + lOy > 0 7x + lOy > 0 Í7x + 10y>0 <^> < 2 <^> < + 10xy + 25y 2 = 0 1 (x + 5y) =0 |x = -5y Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 'y = i 16y 2 = 6y 2 + 44 22 16y 2 + 6y - 22 = 0 22 y = X = - 11 => 4 — X = - 8 - ị 55. ir 8 , L í 55 11 11 ■ Cách 2: Viết lại phương trình thứ nhất dưới dạng: ^(x + y) 2 + (x + 2y) 2 + V 4 2 + 3 2 = Ậx + y + 4) 2 + (x + 2y + 3) 2 . Đặt u = (x + y;x + 2y),v = (4;3) ta luôn có u Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = kv <=> 2-4-2 - 242 <=> X = -5y (xem thêm kỹ thuật sử dụng tính chất hình giải tích giải hệ phương trình). + V > u + V . x+y x+2y Bài 2. Giải hệ phương trình X 3 +2y 2 = x 2 y + 2xy 2aJx 2 - 2y - 1 + ^/y 3 - 14 = X - 2 ,(x,y ẽR|. Lời giải Điều kiện: X 2 - 2y -1 > 0 . Phương trình đầu của hệ tương đương với: xỊx 2 - 2yj - yỊx 2 -2yj = 0 22 (x -y)Ịx 2 -2yj = 0 Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm X = y . Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 22 x = y X 2 = 2y ' 2 Vx 2 -2x-l + \jx 3 -14 = X - 2 <=> 2\lx 2 -2x-ỉ -x-2- v/x 3 -14 494 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 1; Xuất phát từ Vx 2 - 2x-l > 0 ta phải có: x-2-n/x 3 -14>0«(x- 2) 3 >x 3 -14 <=> X 2 -2x-l<0. ox i -2x-l = 0ox = l± \Ỉ2 => (x;y) = Ịl + V2;l ± \Ỉ2 j Do đó: |x -2x-l>0 2 X -2x-l<0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = [ 1 ± 2;1 + 2 Ị. Cách 2: Ta đặt u = 2 -x,v = Vx 2 -2x-l => u 3 -6v 2 = 14 -X 3 . Khi đó phương trình trở thành: \J u 3 -6v 2 = u + 2v<=> u 3 -6v 2 = (u + 2v) 3 <=>v V 2 + 3(u + v) 2 +3v = 0 <=> V = 0 (do V > 0 ). u = V = 0 Khi đó ta có hệ phương trình: Vx 2 -2x-l =0 |Vx 2 -2x- 1=0^^ x2 “ 2x “ 1=0 ^ X = 1± ^- [2-x = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ịl± yfĩ;ỉ± V 2 j. „ , [2 Jĩx + 3y + J5-x-ỹ - 7 Bài 3. Giải hệ phương trình ■< ^ x _ [3^/5-x^y -A/ĩx + y^l = 1 Lời giải 2x + 3y >0 Điều kiện: <5-x-y>0 . 2x + y - 3 > 0 Phân tích. Nhận thấy hệ có chứa ba căn thức khác nhau trong đó ^5-x-y lặp lại nên ta có thể đặt ẩn phụ u = ^/ 5 -X-y và một ẩn phụ khác là một trong hai căn thức còn lại. Lời giải = V5-x-y Đặt ■■^2x + 3y ,(u,v>0): 15-X-y = u Ỉ2x + 3y = v 2 <=> • I x = -3u 2 -V 2 + 15 ly = 2u 2 + V 2 -10 495 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u + 2v = 7 3u - ^2^-3Ũ^-v^~-hT5y+2Ĩr~-i-v^-K)--3^ = 1 <=> I u + 2v = 7 u -4u 2 -V 2 +17 =3u-l V = - 7-u hi -4u 2 - 7-u V =—— 2 3u -1 > 0 (n ..\ 2 oi -4u - 7 - u V 2 J + 17 = (3u-l) 2 ^7-u^ 7-u + 17 =3u-l _ 1 u>-r 3 53u 2 -38u-15 = 0 fu = l L/5-x-y =1 [x + y = 4 [x = 3 V , ... [v = 3 [^2^ = 3 [2x + 3y = 9 [y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1 ]. Nhân xét: Hệ phương trình có chứa căn và không chứa các nhân tử bậc cao nên ta có thể xử lý bằng cách bình phương hai vế không âm đưa về giải hệ phương trình đa thức. Hoặc đặt ẩn phụ như sau: Đặt a = -y/2x + 3y,b = ^/2x + y-3,c = ^/5-x-y,(a,b,c>0). Khi đó a 2 + b 2 +4c 2 =(2x + 3y) + (2x + y-3) + 4(5-x-y) = 17. Ta có hệ phương trình: a 2 +b 2 +4c 2 =17 2a + c = 7 <=> ( 3c-b = l 7-c a ■ 2 b = 3c-l r l-c^ V ^ J + (3c-l) +4c 2 =17 a = 3 b = 2 . c = 1 Ta có kết quả tương tự. Ta cùng xem xét một hệ phương trình có chứa nhiều căn khác. 5x-y -J2y-X = 1 Bài 4. Giải hệ phương trình ị ^ _ v * * \2J2y-x + 3xy = 2X 2 t y 2 ! 3x 1 496 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nhân xét. Hệ phương trình này ta hoàn toàn thực hiện tương tự bài toán . , \u-J5x-y trên băng cách đặt ân phụ < __ sau đó rút x,y theo u,v . Tuy nhiên |v = V 2 y-x nếu thực hiện phép bình phương hai vế phương trình đầu của hệ ta có lời giải gọn như sau: Hệ phương trình đã cho tương đương với: ÍV 5x -y =l + ^2y-x 2yj2y - X + 3xy = 2x 2 + y 2 + 3x -1 J5x-y = l + 2y-x + 2 V2y - X 1 2^2y - X = 6x - 2y - 1 [2^2y -X + 3xy = 2x 2 + y 2 + 3x -1 [2^2y -X + 3xy = 2x 2 + y 2 + 3x -1 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x-y)(2x-y-3) = 0« x = y y = 2x - 3' Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ tìm được: Ịx;yj = (l;lj; ' 22 . 35 ^ v T ; T y Bài 5. Giải hệ phương trình [V3x + ^8y-l+2 = 16y 2 +9x [V x -y + V 7x_ y+V 3x -y = V x+7 y+2^ Lời giải Không xử lý được phương trình đầu gì ngoài điều kiện nên chuyển hướng xuống phương trình thứ hai tuy nhiên nó nhiều căn . Để ý một chút là nó chỉ có x,y nên đặt y = tx như phương trình đẳng cấp là hợp lý nhất. Vậy ta đưa về giải phương trình vô tỷ. Vĩ — t + sỊl — t + -\/3 — t = Vl + 7t + 2 . Giải phương trình này để ý hai vế là hai hàm đơn điệu ngược chiều nên .3 4 phương trình có nghiệm duy nhất t = y hay X = — y . 4 v .. Thay X = —y và phương trình đau ta được: 2-y/ỹ + v§y - 1 + 2 = 16y 2 + 12y 497 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com «• 2^ ^-ị j + ( Vs^TT-1) = 16y 2 + 12y -4 <=> 2 <=> l 4 , sy-2 ri Jỉ^ĩ + 1 y 2 :4(4y-l)(y + l). (4y-l) 4y + 4-- r ^ rT - jL \ yỊSy-1+l 2 Vy + 1 <=> y = \ (do 4y + 4 — . - -ịL — 4 V 8y-l+l 2^/y + 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = fi;i >4-ệ-ị=l>0) 1 1 1 X = —. 3 Bài 6. Giải hệ phương trình [ ^2x-y + 2^/x + y = 2 V 2x +y +2 J x + ạ y =3 Lời giải 31 Điều kiện: 2x-y > 0,2x + y > 0,x + y > 0,x + ^y > 0 . 8 Nhân xét. Hệ này tương tự hệ phương trình trên khi xuất hiện đến bốn căn thức khác nhau. Tuy nhiên tinh ý một chút ta nhận ra tính đẳng cấp của hệ phương trình: Nhân chéo theo vế hai phương trình của hệ ta được: ^2x + y +2^x + yy =3(^2x-y + 2yJx + yỴ Đến đây chú ý ta có \ y 0 => 3x > 0 => X > 0 . [x + y > 0 Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình: Xét X > 0 ta đặt y = tx và phương trình trên trở thành: x/2 + t+2 ] Ịl + Ỵt =3(>/2^t +2VT+Ĩ). t 10 _ 10 Giai phương trình này ta được t = — <=>y = —X. Ế® ímL sL. ^3^Ll3 «8* ÍSS& 498 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 4 ... 10 „ . „ 10 „ , 2x X + 2 . X + —X = 2 <=> X = 13 V 13 í 40 4 , . 23 h V13 Ị4 + 2V23Ị 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;yj = 40 vv UíM 5 'ỉ 13 2 ’ 4 + 2423 __, , \Jx + 3y + 2 + V3x-2y-5 = 3+1 Bài 7. Giải hệ phương trình ự , _ 21 _ Lờỉ’ giải r Điều kiện: y >-l,x > ^-,3x-2y-5 > 0. Nhân xét . Hệ phương trình này có nhiều căn như hai hệ đã trình bày ở trên tuy nhiên xuất hiện các số 2 và 5, 1 nên ta không được phương trình đầu của hệ về dạng thuần nhất. Tuy nhiên để ý một chút ta có: x + 3y + 2 = x-l + 3(y + l) 3x-2y-5 = 3(x-l)-2(y + l)‘ Vì vậy đặt u = x-l,v = y + lphương trình thứ nhất của hệ phương trình trở thành: Vu + 3v + V3u-2v = 3a/v <=> 4u + V + 2^(u + 3v)(3u-2v) = 9v. r -—-- Í4v-2u>0 ° > + 3v)(3U ~ 2v) = 4v - 2u °|(ù + 3v)(3u-2»)-(4V-2»r u = V u = V = 0 íx —1 — 0 íx — 1 THI: Nếu u = V = 0 <=> < <=> < không thỏa mãn hệ phương trình, [y +1 = 0 [y = -l 4v-2u>0 (u-vì(u-22vì = 0^ TH2: Nếu u = v<=>x-l = y + l<=>y = x- 2 thay vào phương trình thứ hai aảa l^taịsđưỢTO «TO TO. TO TOKTO TO TO TO TOTOTO TOTOTO 499 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 2x - 3 - Vx =2x-6 . = 7= = 2(x-3). v2x 3 i v\ / r rz -r\ . <=> x = 3 => y = 1. 2Ịvx + x/2x-3 j = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;l). Bài 8. Giải hệ phương trình: /y - 8x + 9 - ^/xy +12 - 6x = 1 /2x 2 +2y 2 + 2(2-y)(3 + x) + 6x -yjỹ - x/xỡ- Lờí giải Điều kiện: X > -2,y > 0,2x 2 + 2y 2 + 2 ( 2 - y)(3 + x) + 6x > 0,y 2 - 8x + 9 > 0. Nhận xét. Phương trình thứ nhất của hệ có chứa hai căn bậc khác nhau nên không hy vọng xử lý được nên tập trung vào phương trình thứ hai của hệ. Loại phương trình này tôi đã đề cập đến trong chủ đề kỹ thuật nhân liên hợp khi giải hệ phương trình có chứa căn thức. Viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: ^2x 2 + 2y 2 - 4xy + lOx - 6y + 12 - 2^Jx + 2 = yjỹ - x/x + 2 . 2x 2 + 2y 2 -4xy + 6x-6y + 4 _ y-x-2 ^2x 2 +2y 2 -4xy + 10x-6y + 12 + 2\jx + 2 \Ịỹ + x/x + 2 2(x + l-y)(x + 2-y) __ x + 2-y ^2x 2 + 2y 2 - 4xy + lOx - 6y +12 + 2x/x + 2 >/ỹ + Vx + 2 f y / _ \ 2x + 2-2y 1 <=>(x + 2-y) - -- + -p— ,- =0 [a^x 2 +2y 2 -4xy + 10x-6y + 12 +2^x + 2 V y+x/x + 2^ Do vậy với cách này nếu nhân liên hợp trực tiếp rất khó xử lý nhân tử lúc sau ở phương trình tích trên. Ta biến đổi tương đương phương trình thứ hai của hệ như sau: yị 2x 2 + 2y 2 - 4xy + lOx - 6y + 12 = ^/ỹ + x/x + 2 . « 2x 2 + 2y 2 - 4xy + lOx -6y + 12 = x + y + 2 + 2^jỹJx + Ỹj. <^> 2x 2 + 2y 2 - 4xy + 9x - 7y + 10 - 2 Ịy(x +2) = 0. 500 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com vy + 2x 2 + 2y 2 - 4xy + 8x - 8y + 8 = 0. 2 íx-y + 2 = 0 = 0 <=> ( Ị- . - <=>y = x + 2. [7y-Vx + 2 = 0 \ 2 <=>(- x /ỹ--v/x + 2 1 +2(x-y + 2) = u<=>( Ị- Ị - <=> y = v ' v ' [Vy-^ x + 2=0 Thay y = X + 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: ■\Ị( x + 2Ỵ -8x + 9 - 3/x(x + 2) + 12-6x = 1 <=> \lx 2 -4x + 13 - \/x 2 -4x + 12 = 1 Đệì u = x/x 2 - 4x + l$l= yịịx -2.Ỵ + 9 > 3 phương trình trở thành: u -1 = a/u 2 -1 <=> (u-l) 3 =u 2 -1 <=> (u-l)Ịu 2 -3uj = 0 < — > u - 3 . Vì vậy \Ịx 2 -4x + 13 = 3<=>x = 2=>y = 4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 2 ;4). Bài 9. Giải hệ phương trình: [yjx - y - 2 - ^2 + 2y - 3y 2 - X 2 + 2xy + 2x + lOy + 8 [■^x + Sy + l ~^x + 3y + 5 =x-4 Lời giải Điều kiện: y >-l,x-y-2> 0=> X > y + 2> 1. MA-.. [x-y-2 = 0 fx = l , Nêu < <=> < không thóa mãn hệ phương trình. [2y + 2 = 0 ly = -l Xét (x - y - ÌỴ + (2y + 2Ỵ > 0 khi đó phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: ^+X+r (3y -* +4)(y+x+2) - í <=> (3y-x + 4) x+y+2+ <=>3y-x + 4 = 0(do X + y + 2 + .- .- yJx-y-2 + yj2y + 2 Thay 3y = X - 4 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V3x-3 -\J 2x + l = x-4 <=> X -4 V 3x -3 + \Ỉ2x +1 : X - 4 <=> X = 4 =^> y = 0. 501 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (4;0). Bài 10. Giải hệ phương trình Ị^x + Vl + x^y + ^/l + y 2 j = l [x^/3x-2xy+ 1 = 4xy + 3x +1 Lời giải Điều kiện: 3x - 2xy +1 > 0. Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: X + Vl + X 2 = V 1 + y 2 -y = -y + Ậ + (-yÝ (1). Thấy dấu hiệu của hàm đặc ưưng nên đến đây xét hàm sô" hoặc nhân liên hợp để tìm ra X = -y . Cách 1; X + Vl + X 2 = -y + -Jl + (-y) 2 <=> X + y + V 1 + x 2 - - -sỊĨ+y = 0 . <=> (x + y) 1 + x-y Vl + X 2 + x/l + y 2 = 0<=>x + y = 0<íí>x = -y. Vì 1 + V 1 + x 2 + Vl + y 2 +x-y X + y| + X - y x-y _\1 + X +\jt + y + n/i + x 2 + Vl + y 2 a/i + X 2 + Vl + y 2 Vl + X z + Cẩeh 2: Xét hàm số f(t) = t + Vl + t 2 trên R , ta có: Vi+t 2 +t |t| + t Vĩ+r > 0 . f'(t)=i+ t _ V1 + Vi+t 2 Vĩ /i+t z vi+t z vĩ+t z Do đó (1) <=> f(x) = f(-y) <=> X = -y . Nhân xét . Đôi với học sinh lớp 10 chưa được trang bị kiến thức về đạo hàm có thể chứng minh tính đồng biến của hàm số f(t) như sau : Vtpt 9 e R,tj 5* t 9 ta có : - > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên k = f(t 1 )-f(t 2 ) _ tị -t 2 +Vi+t 2 -Vi+t = 1 + tj + t 2 tj t 2 tj t 2 1 + t 2 + Jl + t 2 ■> 0 . Do đó f(t) là hàm đồng biến trên R . Cách 3 : X + Vl + X 2 = Vl + y 2 - y <=> X + y = Vl + y 2 - Vl + X 2 . Suyraíx -y/) 2 = 1 + X 2 + 1 + 3kskỊ ■ ^ 502 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> \ẫ i+x2 )( i+y2 )= 1-xy <=> 11 - xy > 0 1 1 + X 2 + y 2 + x'y z = 1 - 2xy + x'y' | 1_xy - 2 ° ^ Ị ^- 1 Ị(x + y) 2 =0 Ịx + y = 0 Như vậy với cách 3 ta có thể tìm ra môi liên hệ giữa (x;y) trong trường hợp không áp dụng được phương pháp hàm sô" hoặc nhân liên hợp. Ngoài ra dạng bài toán này có thể xử lý bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Trở lại bài toán. Với y = -X thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : x\Ịĩx + 2x~ + 1 = -4x~ + 3x +1 => x^ I2x~ + 3x + 11 = I -4x~ + 3x +1 Ị2x 2 + 3x + iỊ = Ị- ‘) 2 o 14x 4 - 27x 3 - 9x z + 6x +1 = 0 o 2x - 3x -1 7x - 3x -1 = 0. <=> X = - 3±77 4 3 ±V37 14 X = 3±77 _ 3±77 4 3±T37 _ 3±V 37 14 ,y_ 14 Đôi chiếu lại điều kiện chỉ nhận nghiệm (x;y) = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = "3 + 737, 14 ’ "3 + 737 14 V 3 + 737 " 14 / 3 + 737 " ’ 14 Bài 11. Giải hệ phương trình l^x + 7l + X 2 jị^y + a/ 4 + y 2 j = 1 100x 2 + 56xy + 10y 2 -39x -3y = 18 Lời giải Nhìn vào phương trình đầu của hệ tưởng chừng như ta liên hợp được và rút được X theo y tuy nhiên biểu thức trong căn của hai biểu thức sai khác nhau hằng sô" 1 và 4. Nên cách này không thực hiện được. Ta thử đặt ẩn phụ cho hai biểu thức đó xem sao. 503 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = X + J 1 + x 2 + II > i 4 + y 2 í + X = 11 - X Oi 4 + y = v-y X = - y=- U 2 -1 2u V 2 - 4 2v ,(u>x,v>y) . >: U = x + Vx Ta có: U = x + Vx Do đó u > 0,v > 0 . Mặt khác uv = 1 =^> y = — 2 = x+ x>0;v = y + 3/4 + y 2 >y + yịy = — 4 1 - 4u 2 2u Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 100 uM V 2u 7 + 56. u 2 -l 1 -4u 2 í. + 10 2^1 l -4u V 2u ) 2 -39. u 2 -1 1-4u 2 2u --3,- 2u = 18 = 72u 2 2u 2u <=> lOoỊu 2 -lj 2 +5óỊu 2 -lỊỊl-4u 2 Ị + loỊl-4u 2 j 2 -78u|u 2 -lj-6u|l-4u 2 Ị =' o 36u 4 -54u 3 -72u 2 + 72u + 54 = 0 o (u + l)(2u -3)(^2u-1 -x/5^2u -1 + V 5 Ị = 0 Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm: 3 u = — 2 u = l + x/5 3 u = — 2 2 V = — 3 V = ■ I + V 5 2 x/5-1 <=> X + V X 2 + 1 — T" 2 y + x/ 4+ y 2 =■ X + Vx 2 +1 = y + V 4 + y 2 = 1 + V 5 2 V 5-1 <=> X = 12 y 3 1 X = — 2 5 + 3 V 5 4 (thỏa mãn điều kiện X < u,y < V). Vậy hệ có hai nghiệm là ( x; y) = í ]^ ;_ 3 > 2 ^ — 4 ^ V ) v z J Cách 2: Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ thành: fx + Vx^+lYy + 3 /y 2 +4 j = loy + x/y 2 +4 = V = Vx +1 -X. 504 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> X + y = Vx 2 + ĩ - ^/y 2 +4 => (x + y) 2 = X 2 + y 2 + 5 - 2^|x 2 + lj|y 2 + 4 j ■ <=> 2^4x 2 +y 2 +4 + x 2 y 2 = 5-2xy <=> < 5 - 2xy > 0 4^4x 2 + y 2 + 4 j = 25 - 20xy + 4x 2 y 2 <=> 16x 2 + 4y 2 + 20xy -9 = 0. Vậy đưa bài toán về giải hệ phương trình: |l 6x 2 + 4y 2 + 20xy -9 = 0 ỊlOOx 2 +56xy + 10y 2 -39x-3y = 18 Hệ này đã biết cách giải bằng phương pháp đưa về hệ đẳng cấp hoặc phương pháp hệ sô" bất định(giải xong cần thử lại vì phép bình phương đầu tiên là không tương đương). Hướng đi này rất tự nhiên đơn giản vì chỉ bình phương hai vế. Tuy nhiên lại đưa về một hệ tương đôi phức tạp với các em không được rèn luyện giải dạng hệ phương trình cuối cũng như nếu vế phải của phương trình đầu khác 1 sau khi bình phương đưa về phương trình cuối phức tạp hơn cách 1 rất nhiều(Chi tiết xem chủ dề 1). Bài 12. Giải hệ phương trình I x+ x ^ - y + ỵỹ + 3 ,íx.y e rỊ (x 3 - y 3 =3x-3y+ 4 Lời giải Cách 1; Điều kiện: |x| > V 3 . Đặt u = X + Vx“ - 3 -<=>1 v = y + Vy +3 u > x,v > y u 2 +3 y = - 2u V 2 -3 2v Từ phương trình đầu suy ra u = V => y = u 2 -3 2u •x-y = - Phương trình thứ hai của hệ được biến đổi thành: (x-y)Ịx 2 +y 2 + xyj = 3(x-y) + 4. \ 2 <=>(x-y) (x-yj +3xy-3 = 4<4 u ( _9_ + 3 u 2 +3 u 2 -3 u 2 2u 2u -3 = 4. 505 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com e> 9u 4 - 16u 3 - 36u 2 + 27 = 0 o (u - 3)(9u 3 +1 lu 2 - 3u - 9 ) = 0 (1). Nếu X< 0X + Vx 2 -3 y + |y| > 0 do đó vô lý. Vậy X > 0 đối chiếu với |x|>V3=>x>V3=>u>V3>l. Khi đó 9u 3 +1 lu 2 -3u-9>9.1 3 +3u(u-l) + 8u 2 -9>0. „ ... _, _ íu = 3 X + Vx 2 -3 =3 íx = 2 Do đó (1) <=> u = 3 =^> ị _ <=> ị ' __ <=> ị h = 3 [y + 7Ã3=3 h = l Đối chiếu với điều kiện u > X, V > y thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;l) • Cách 2: Biến đổi phương trình đầu của hệ thành: Xét hệ phương trình: f(x-y)(x + y) = 3 Jx 2 -y 2 =3 ì . 2 2 ] |x 2 -y S =3(x-y) + 4~ (x-y) Mdíĩlrì = 3 (x-y) + 4 ■ Đặt u = X + y, V = X - y hệ phương trình ưở thành: uv = 3 2 , ,2 4 „ V ——- = 3v + 4 4 V 7 Juv = 3 Ịv 4 -12v 2 -16v + 27 = o' uv = 3 °'(v-l)Ịv 3 +v 2 -llv-27Ị = 0' Thực hiện đánh giá như cách 1 và thử lại nghiệm tìm được (x;y) = (2;l) là nghiệm duy nhất của phương trình. 506 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 3: Vì X + Vx 2 -3 = y + -\/y 2 +3 > 0 =>X> yfĩ . Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: Vx 2 -3 + JVx 2 -3 j +3 = y + 7y 2 +3 (1). Xét hàm số f(t) = t + Vt 2 +3 , ta có: f'(t) = l + + 3 + t t+t Vt 2 +3 •nÍ 2 ^ t 2 +3 > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên Vì vậy (1) <=> f(y) = f^Vx 2 -3 1 <=> y = V: = Vx -3. Khi đó đưa về giải hệ phương trình : I „2 2 _ o X -y =3 -.3 ..3 X y 3 =3(x-y) + 4 Bài 13. Giải hệ phương trình X 2 + Vx 4 + 1 = 1 - y 2 + yịy 4 -2y 2 [4Vx 2 + ĩ = X 2 - y 3 + 3y + 2 + 2 Lờ/ giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với : X 2 + y 2 -1 + Vx 4 +1 - Ậy 2 -1 j +l = 0<=>x 2 +y 2 =l. Từ X 2 + y 2 = 1 => -1< x,y < 1. Khi đó phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: 4^x 2 + 1-X 2 + y 3 -3y-2 = 0. Ta có: 4^/x 2 Mặt khác: y + 1- X- = 4x 2 +4-X 4 4 + x' 4 Vx 2 +T + X 2 4 Vx 2 +1 + X 2 >4,Vxe -l;l] . -3y-2 + 4 = y 3 -3y + 2 = (y -l) 2 (y + 2 ) > 0,Vy e -l;l] . Suy ra 4 a/x 2 +1 - X 2 + y 3 - 3y - 2 > 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = 0,y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). Bài 14. Giải hệ phương trình: 507 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện : 13x 3 + 2y 2 +2 > 0 hy 3 +x 2 +2x-l>0 Nhân xét. Nhìn vào hai phương trình việc tìm ra mối ràng buộc giữa hai ẩn từ phương trình đầu đơn giản hơn. Vậy ta tập trung vào nó. Đặt u = X + V 1 + x 2 v = y + A /l + y 2 ,(u,v>0): X = - u 2 -l 2u í X + 1 = u - v 2 -l u 2 -l u 2 +l 2u 2u 2v Vy 2 + 1 = V 2 +1 2v Khi đó phương trình đầu tiên viết lại thành : u +1 V -1 ■ + 2u 2v v~ +1 u-1 V 2v + 2u y = 1 « uv = 1 uv(u + v) 2 + (u-v) 2 =0 2 \ 2 Nhưng do uv(u + v) + (u - vj > 0, Vu,v > 0 nên uv = 1. Vậy ta có: Ị^x + Vl + X 2 jỊ^y + yỊl + y 2 j = 1 <=> X + \Jl + X 2 =-y + \jl + y 2 ■ Là một phương trình quen thuộc ta nhân liên hợp hoặc sử dụng hàm số suy ra X = —y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được : V3x 3 +2x 2 +2 + V^3x 3 + X 2 + 2x -1 = 2Í X 2 + X + 1 1. Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có: V 3x 3 + 2x 2 + 2 + V -3x 3 + x 2 +2x-1< 3x 3 +2x 2 +2 + 1 -3x 3 +x 2 +2x-1 + 1 3x + 2x + 3 / 2 . _ ì\ -—-= 2 X- + X + 1 -- = 2Ịx 2 +x + lj-^-(x + iy <2Ịx 2 + x + lj 508 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3x 3 + 2x 2 + 2 = 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi < -3x 3 + x 2 +2x-l = l<=>x = -l=>y = l. X +1 = 0 Thử lại thấy thỏa mãn điều kiện. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( - l;l) ■ Nhận xét. Như vậy mấu chốt của bài toán là đắng thức sau : Lời giải Nhân xét. Bài toán trên tôi đưa lên một diễn đàn toán và nhận được nhiều phản hồi và các hướng xử lý đẹp mặt cho hệ phương trình dưới đây tôi trình bày các cách tiếp cận khác nhau hệ phương trình trên và có thể tổng quát được hệ lặp nhiều ẩn. u 2 - 1 V 2 + 1 V 2 - 1 u 2 +1 -.- 1 -.- Hệ phương trình trở thành : < ? u u 2 -1 u 2 +1 V 2 -1 V 2 +1 —7 •—7-I 1-•—7 2u 2u 2v 2v 509 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ịu 2 - l)(v 2 + lj + (v 2 -lỊỊu 2 + lỊ = 8uv ° v 2 (u 4 -l) + u 2 (v 4 -l) = 12u 2 v 2 2u 2 v 2 -2 = 8uv uv = 2 + V5 Ịju + v) 2 -2uvjỊu 2 v 2 - lj = 12u 2 v 2 u + v = ^wf) Đây là hệ đối xứng loại I dễ tìm được: Thay ngược lại ta tìm được nghiệm của hệ phương trình là (x;y): íựỹp 4+75 í y/ỹp .*=£ 2 2 2 22 2 2 V A Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( n =— /— \ í («y)= ỈẸi i i±Ế..fin Ị MÃ; 2 2 2 22 Nhân xét: . Nếu hệ có dạng đối xứng tức Xijl + y 2 + y\/l + x 2 = 2 xx/l + X 2 + y^/l + y 2 = 2 Trừ theo vế hai phương ưình của hệ ta được: (x-y)Ị7T7-xíTT): x = y x = -y Xét trường hợp thay ngược lại hệ phương trình ta có kết quả bài toán. Tuy nhiên với hệ mà có dạng không đối xứng như bài toán trên ta có thực hiện được cách trên hay không. Ta quay trở lại bài toán bằng các cách xử lý khác sau đây. Cách 2 : 510 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình trở thành: 1 1 1 1 1 — a-— b + — +— b- — a + — = 2 1 1 1 1 1 a 1 2 [ a j 2 — a-— a + — +— b-— b + — =3 Ịa 2 -l)(b 2 + lỊ + Ịb 2 -lỊỊa 2 + lỊ = ! b 2 Ịa 4 - lj + a 2 Ịb 4 - lj = 12a 2 b 2 Đây là một hệ phương trình tương tự cách 1 trình bày ở trên. Cách 3 : Đặt a l = V 1 + x 2 +-Jl + y 2 ,a 0 -4 1 + x 2 -yjl + y 2 .bị = ,!>! = x + y,b 0 =x-y Suy ra a 2 + a 2 - b 2 - b 2 = 4;aja 9 = b 1 b 2 . Cộng ttừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x + y)|Vl + x 2 +\jl + y 2 j = 5 /l + y -x/1-x 2 =-l a 1 bj =5 a 2 b 2 =1. bj > 0 Vậy ta có hệ phương trình : a 2 + a 2 - b 2 - b 2 = 4 aja 2 = b 1 b 2 a^! =5 a 2 b 2 =1 m 2 2 ,2.2 , , - ,2 5 2 25 2 1 bị la CÓ: araí — b, b4 = a.a-b.b- = 5 =^> b: = —— ,a, - — -,a~ = —— = — 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 >2 2 >2 < Dị D2 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : 4^- + -^--b?-4r = 4obf + 5b? -25ob, = b 2 5 1 b 2 11 1 5 ( 45 - 1 ) ^b 2 =± V 5 -I 511 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mọi thứ trở nên đơn giản rồi. (x + y)í rì + x 2 + Ịĩ+ỹ 2 Cách 4 : Theo trên ta có = 5 (x-y) yi + y 2 -ví-x- Ĩ4.. ì = -1 Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x 2 -y 2 )(y 2 -x 2 )=-5«(x 2 -y 2 f=5. U = x,/T7_í" + V = 2 . Ịu 2 - V 2 Ị 2 = Ịx 2 Ịl + y 2 j - y 2 Ịl + X 2 jỊ 2 = Ịx 2 - y 2 Ị 2 Đặt V = yVĨ+ x‘ = 5 <=> ■ I u + V = 2 |( u+v ) 2 ( u _ v ) 2 =5 ' LI + V = 2 u - V = — 45 LI - V : 4~5 <=> 4-45 . 4 + 45 u= ,v =—— 4 4 4 + 45 .. 4-45 u = ——-—,v — 4 4 <=> x a/Ĩ+ y' Vĩ 4 -V 5 4 yV1 + x 7 = ±ự5 4 4 + 45 4 4-45 x V 1 + y 2 = yVl + x “ Hệ phương trình cuối là hệ đôi xứng loại II đã biết cách giải. Tổng quát: Xj^l + X 2 ~ 1~^2 X 2 1 + + x^-y 1 + X 4 — 3^2 (a k > 0,k = l,2,...,n) (xem chương 3). x „\/l + x l + x iV^"*" X ĩ — a n Nhân xét . Với phép đặt ẩn phụ như trên ta xử lý toàn bộ những hệ phương trình có dạng: 512 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a 1 x + b 1 Va 2 x 2 +b + c 1 y + d 1 yc 2 y 2 + d = e a 2 x + b-, Va 2 x 2 + b + c 2 y + ả 2 \Ịc 2 y 2 + d = f Bằng phép đặt ẩn phụ u = ax + va 2 x 2 + b V = cy + Jc 2 y 2 +d Bài 16. Giải hệ phương trình x + v — \/x — V -2 X +y + 1 - ơx -y =3 Lời giải Nhân xét. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta thây hệ có nghiệm khi N /x + y-- N /x-y>0<=>y>0=>x>y>0. Khi đó bình phương hai vế phương trình thứ nhất ta được: 2x-2ơx-y =4<=>x-2 = ơx 2 -y <=> |x>2 jx>2 |(x-2) 2 =x 2 -y 2 ^|y 2 =4x-4 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Vx 2 +4x-4 + l-(x-2) = 3<=>Vx 2 +4x-3=x + l<=>x = 2^>y = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (2;2). Cách 2: Ta có thể đặt: u = dx + V = A X- ,(u>0,v>0): 2 „ 2 __ /x -y =uv u 4 +v 4 =(x + y) 2 +(x-y) 2 =2(x 2 +y 2 )' Khi đó hệ phương trình trở thành: u - V = 2 u - V = 2 +1 - uv = 3 lu 4 + V 4 <=>< ( u - v) 2 + 2uv -2 u 2 v 2 IV 2 [f-^-+ 1 u ~ v = 2 íu-v = 2 ^2(2 + uv) 2 -2u 2 v 2 +1 =uv + 3 Ịa/8uv + 9 =uv + 3 = UV + 3 u - V = 2 4 uiy 2 ±,uv = 0 u - V = 2 uv - 0 u>0,v>0 u = 2 X = 2 vĩp~w Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (2;2). Bài 17. Giải hệ phương trình X 2 + 2 + Ịy 2 -y-lỊVx 2 +2 = y 3 -y (1) 2x + xy + 2 + (x + 2)^y 2 +4x^4=0 (2) Lời giải V Điều kiện : y 2 + 4x + 4 > 0 . Nhận thấy nhân tử Vx 2 + 2 lặp lại ở phương trình (1) làm ta suy nghĩ đến phương trình bậc hai phụ thuộc tham số. Đặt t = Vx 2 + 2 > yịĩ khi đó (ĩ) trở thành: t 2 + Ịy 2 - y-ljt-y 3 +y = 0. Coi đây là phương trình bậc hai ẩn t phụ thuộc tham số y, ta có: A t = (y 2 -y-i) 2 -4(-y 3 + y) = (y 2 +y-i) 2 - -(y 2 -y-i)+y 2 +y-i Suy ra t = —if-= 2 ~(y 2 -y-i)-(y 2 +y-i) , t= 2 = -y 2 + i Do t > V 2 nên t = y <=> y = VX 2 +2 khi đó đưa về giải hệ phương trình : |y = V* y = Vx 2 +2 2x + xy + 2 + (x + 2)^/y 2 +4x + 4 = 0 y = Vx 2 +2 2x + xVx 2 + 2 + 2 + (x + 2)Vx 2 + 4x + 6 =0 y = Vx' +2 = -x l + V(-xr+2 (3) (x + 2)^1 + y(x + 2j + 2 Phương trình (3) có dạng hàm đặc ưưng nên lựa chọn phương pháp hàm sô": Xét hàm sô" f(t) = t^l + Vt 2 + 2 j trên R , ta có: 514 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f'(t) = 1 + \j t 2 + 2 + , - > 0, Vt e R nên f(t) là hàm đồng biến trên 4 t 2 +2 Vì vậy (3) <=> f(x + 2) = f(-x) <=>x + 2 = -x<=>x = -l=>y = V3. Đôi chiếu với điều kiện thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = í-1; /3 y 2 -5\lx+5 = 0 Bài 18. Giải hệ phương trình < Vx + 2 =Jy 2 +2y + 3 y 2 +y 1 5 Lời giải Điều kiện : X > 0 . Khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: jy 2 -5Vx" + 5 = 0 (1) p-\/y 2 + 2y + 3-y 2 +5y-5-\/x + 2= 0 (2) Lấy (1) + (2) theo vế ta được : 5^/y 2 +2y + 3 + 5y + 5-5Vx-5Vx + 2 -0 Phương trình (3) có dạng hàm đặc trưng nên lựa chọn phương pháp hàm sô". Xét hàm số f(t) = t + Vt 2 +2 trên R , ta có: f'(t) = l + - t _ Vt 2 +2 +t t +t Vt 2 +2 - Vt 2 +2 Vt 2 + 2 Vì vậy (3) f(Vx) = f (y + 1 ) <=> Vx = y +1. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được : - > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên -5(y + l) + 5 = 0<=> y = 0 y = 5 : x = l,y = 0 X = 36,y = 5 (thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;0);(36;5). Nhân xét. Có thể dùng phương pháp thế để giải. 515 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 19. Giải hệ phương trình < 2| y ị2x + l) 3 + 2x + 1 = 1 4x + 2 + \/2y + 4-1 (2y-3)v 6 'y- V -2 r~^ V Lời giảiy 1 Điều kiện : X > -2-,y > 2. Khi đó viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: 2(2x + l) 3 + 2x + l = 2ỊVy-2) 3 + y-2 (1). Phương trình (1) có dạng hàm đặc trưng nên sử dụng hàm số. Xét hàm số f(t) = 2t 3 +1 trên R, ta có : f'(t) = 6t 2 +1 > 0,Vt G M nên f(t) là hàm đồng biến trên R . Vì vậy (l)^f(2x + l) = fỊVy-2)^2x + l = 7y-2. Thay vào phương trình thứ hai ta được : ^/y-2 + ^2y + 4 = 6^:ự4y-8 + 72y + 4 = 6. Hàm số g(y) = ịj 4y - 8 + yj 2y + 4 đồng biến trên 1^2;+GO j mặt khác g(6) = 6 . Do đó phương trình tiên có nghiệm duy nhất y = 6 => X = ^ (thỏa mãn điêu kiện). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = |^;6 r I- Bài 20. Giải hệ phương trình ị 2\jx + y 2 +y + 3 - 3yjy =^Jx+ 2 y 3 +y 2 -3y-5 = 3x-3^/x + 2 Điều kiện: Lời giải |x>-2 [y - 0 Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: 2-^/x + y 2 + y+ 3 = Vx + 2 + 3-y/ỹ. Ta có: 2^x + y 2 + y+ 3 = 2<^x + 2 + (y-lj‘" +3y > 2yjx + 2 + 3y > Vx + 2 + 3 yfỹ. 516 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi I + 2 _ \jỹỹ Ịx = -1- 1 \fĩ ly = i Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (-l;l) ■ (x-2)(2y-l) = x 3 +20y-28 Bài 21. Giải hệ phương trình 2Ụx + 2y + yj = x 2 +x Lời giải Điều kiện: X + 2y > 0 . Phương trình thứ hai của hệ được viết lại: X + 2y + 2^/x + 2y +1 = X 2 + 2x + 1 <=> Ụx + 2y +1 j =(x + l) 2 . /x + 2y +1 = X + 1 /x + 2y = X /x + 2y + l = -x-l \Jx + 2y=-2-x THI: Nếu Jx + 2y = X <=> x + 2y -X 2 12y -X 2 -X Thế vào phương trình đầu của hệ ta được: (x-2)íx 2 -x-lj = x 3 + loíx 2 -xj-28. <=> 13x 2 -1 lx - 30 = 0 <=> Kết hợp với điều kiện chỉ nhận nghiệm X = 2 => y = 1 => (x;y) = (2;l). _ . I -— „ íx<-2 íx<-2 TH2: Nếu Jx + 2v = -2- X <=>ị O-T , [x + 2y = x 2 +4x + 4 [2y = x 2 +3x + 4 Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: (x-2)Ịx 2 +3x + 4-lỊ = x 3 + lo(x 2 +3x + 4)-28. X = -3 <=>9x 2 +33x + 18 = 0«> 2- X = —— 517 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm: Lời giải Để phương trình có nghiệm ta phải có: Vx + y-ựx-y >0<=>x + y>x-y<=>y>0. Khi đó điều kiện của hệ phương trình là: X > y > 0 . Cách 1; Biến đổi tương đương Hệ phương trình tương đương với: 2x 2 +2^Jx^-ỹ^ = 16 ^/x 4 -y 4 =8-x 2 2x-2 yịx 2 -y 2 = 4 a/x 2 -y 2 = X-2 x-2>0,8-x 2 >0 Í 2 < x < 2 ^ <=> < X 4 -y 4 = |8 -x 2 j <=> < y 4 = 16x 2 - 64. 2 2 / _ 0 \2 y 2 =4x-4 X -y =(x-2 ) l 2 < X < 2 V 2 2 < X < 2 V 2 <=>< 16x 2 -64 = (4x-4)~ <=>< x = -^ <=> y 2=4x -4 y = ±Vó Đối chiếu với điều kiện suy ra (x;y) = í-^-; Vé Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 518 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 2: Bình phương hai vế của phương ưình thứ hai của hệ ta được: a/x 2 + y 2 +Ậ 2 -y 2 =4 x-a/x 2 -y 2 =2 x + a/x 2 +y 2 =6 X-Ậ 2 -y 2 =2 x + ^x 2 +y 2 =6 X-Ặ 2 -y 2 =2 6-x>0,x-2>0 ' 2 +y 2 = (6-x) y 2 =M ) 2 X 2 — 2 5 X = — 2 ■=±Vó Đôi chiếu lại điêu kiện suy ra (x;y) = Vó 2 Cách 3: Đặt ẩn phụ Nhận thấy có sự lặp lại của hai căn thức ^/x + y,^Jx - y nên ta đặt ẩn phụ như sau: Đặt r ^ +y ịu>o,v>o): l v =v x ~y uv - a/ „2 ,2 X -y .4 , 4 |lrì +V^ Ị 2 , 2 =V x + y Khi đó hệ phương trình trở thành: u 4 + V 4 V 2 +uv=4 «< u - V = 2 lu 4 +(u-2) 2 V = u - 2 + u(u-2) = 4 <=> 4 + 2u-u 2 >0 4 - = Ị 4 + 2u - u 2 j <=><: u 4 +( u - 2) 4 / ,\2 2 v = u-2 u = 1 + 2 v=./ r . V x +ỹ= 1+ ^| ^ = Ì2 l x + y ■■ x-y -- 5 + 2 V 6 2 5-2^6 5 X = — 2 . y = \fẽ 519 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 4: Nhận thấy vế trái phương trình thứ nhất có bậc 1, vế trái phương trình thứ hai của hệ dạng bậc nên ta đưa về phương trình đẳng cấp như sau: a/x 2 +y 2 + Ậ 2 -y 2 =(V x +y-V x -y)~ <=> >/x 2 + y 2 + aJx 2 -y 2 = 2x-2-^/x 2 -y 2 <=> ijx 2 + y 2 +3\Jx 2 -y 2 -2 x <=> X 2 + y 2 +9^x 2 -y 2 j + 6-Jx 4 -y 4 =4x 2 . <=> 3-y/x 4 -y 4 = 4y 2 - 3x 2 4y 2 -3x 2 >0 ọỊx 4 - y 4 Ị = 9x 4 - 24x 2 y 2 + 16y 4 4y 2 - 3x 2 > 0 y 2 |25y 2 - 24x 2 I = 0 2^6 Đối chiếu với điêu kiện suy ra y = ^ X thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: L , 2 Vó r 2 Vó „ _ 5 /7 . XH- : —X - . X- : —X = 2<=>x = — => y = V6 . V 5 V 5 2 Hoặc đơn giản ta đặtx = ty,t > 1. Cách 5: Lượng giác hóa: ( ( \ /—- -4 Đặt X = Rsina,y = Rcosa, a G V 0; f V z 9 ,R = ^/x +y / Khi đó hệ phương trình trở thành: ^/RỊ^/sina + cosa -Vsina-cosaỊ = 2 R (1 + V cos 2 a - sin 2 a =4 ỊVsina + cosa - Vsina-cosa = 1 + Vcos 2 a-sin 2 a R í 1 + V cos 2 a - sin 2 a =4 520 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải 3 Điêu kiện: X > . 2 Phương trình đầu của hệ được viết lại dưới dạng: X 6 + X 2 = y 3 + 9y 2 + 28y + 30 <=> X 2 Ịx 4 +1 j = (y + 3 ) (y + 3) 2 + l (1). Xét hàm số f(t) = t(t 2 +1) trên R, ta có: f’(t) = 3t 2 +1 > 0, Vt e R. Do đó f(t) là hàm đồng biến trên M . Vì vậy (l)of(x 2 ) = f(y + 3)ox 2 =y + 3oy = x 2 -3. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Ỉ2x + 3 + X = X 2 - 3 <=> V 2 X + 3 = X 2 - X - 3 . x2 - x " 3 ^ 0 fx 2 -x-3>0 2x + 3 = (x 2 - X - 3 Ịx 4 - 2x 3 - 5x 2 + 4x + 6 = 0 X 2 - X - 3 > 0 X = -3 X = -3, y = 6 ^(x-3)(x + l)Ịx 2 -2Ị = 0^ X = yịĩ ^ x = yỊĨ,y = -l' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-3;ó),í—\/2;-lì. 521 Vì I (N Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét . Phương trình vô tỷ cuối có dạng cơ bản nên phép bình phương hai vế là tự nhiên ngoài ra có thể đặt ẩn phụ t = V2 X + 3 hoặc viết lại dưới dạng: Lời giải Điều kiện -1 < X < 1 . Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng: THI: Nếu y 2 +x + l = 0<=><| 0 thử lại thấy không thỏa mãn. l x = - 1 TH2: Nếu y = V1 - X 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: x 3 + Ị 1 _ x 2Ị7]T^ = x ^ 2 Ị 1 _ x 2Ị Để giải phương trình này ta có thể quy về giải hệ phương trình hoặc đặt ẩn phụ: Cách 1: Nhận thấy X = ±1 không thỏa mãn phương trình. Xét X & ±1 khi đó viết lại phương trình dưới dạng: 522 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi >0 t +2t +1 = 2t 11 +1 t>0 t>0 t<-l t 6 -2t 4 +2t 3 -2t 2 + 1 = 0 M 2 ( t 4 +2t 3 +t 2 + 2t + 1 j = 0 t>0 o L^- 1 (t-i) 2 Ịt 2 +Ịi+V2)t+iỊ(t 2 +Ịi- /2Ịt+iỊ=0 =1 <=> t=- 1+V2+V2V2-1 .X fV2.V2\Í 1-V2-V2V2-1 1-V2+V2V2 Đáp số: (x;y)= ^- X ' V Cách 2: Đặt ] Ị --,(ue[-l;l],ve[0;l|. [v = Vl-x 2 T^Víi /ÍẤ to KẨ nliiiVtnrr n K • -1 Khi đó ta có hệ phương trình: |u 3 + v 3 = V 21 uv I u 2 + V 2 =1 (u + v)Ịu l(u + v) 2 -2uv = 1 /j = 'Ịĩu 2 + V 2 - uv I = V2uv (u + v)(l-uv) = Ị^u + v) 2 -2uv = ] Đây là hệ đối xứng loại I đã biết cách giải: Đặt P = u + V ,ls 2 ì 4 p|. p = uv \Ịs 2 >4pỊ. Khi đó hệ phương trình trở thành: [s(l-P) = V 2 P I s 2 - 2 P = 1 í í 1- s -1 = >/ 2 . s 2 -l s 4 -2P = 1 V 2 uv 523 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ís = V2 Ịs - V2 j|s 2 + 2V2S + lj = 0 s 2> 4 p p = ^ S 2 -2P = 1 ịs = 1 - \fĩ [p = 1-V 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: Lời giải 7 - X > 0 6 -y >0 Điêu kiện: < 2 x + y + 2 > 0 524 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Để ý phương trình đầu của hệ ta viết lại dưới dạng: [3(7-x) + 2]-'/7^x=[3(6-y) + 2] x /6^y (3) Xét hàm số f(t) = Í3t 4 + 2jt, ta có: f’(t) = 3t 4 + 2 + 12t 4 > 0, Vt e M . Do đó f(t) là hàm đồng biến trên Suy ra (3) <=> ỉỤl-x j = ĩỤỏ-y j <=> V7-X = ^6-y <=> y = x-1. Thay vào phương trình (2) ta được: V3x + 1 - V-x + 6 + 3x 2 - 14x - 8 = 0. Suy ra Ln <=> = -— + — == -t3(x-5) x + 2-4 =0. V3X + 1 + 4 V -X + 6 + 1 1 15 J <=> (x-5) 3 | 1 V 3x + 1 + 4 V-x + 6+1 + 3 X + — 0 . 15 3 | 1 V3x + 1+4 V-x + 6 + 1 11 + 3 x + ±4 = 0 15 3x +1 + 4 V-x + 6 + 1 + 3 X + — > 0 . Do đó phương trình trên chỉ có nghiệm X = 5 => y = 4. Đối chiếu lại điều kiện thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4 j. Bài 26. Giải hệ phương trình: y 3 +Ịy 2 -2x-4)Vx + 2 =0 (1) |4y 2 -7ỊVx + 2-(4x-l)7y 2 -4 =21 (2) Lời giải Điều kiện X > -2,|y| > 2 . 525 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó phương trình (1) <=> y 3 + y 2 Vx + 2- 2|Vx + 2j = 0 . <=> Ịy - Vx + 2j|y 2 + 2yVx + 2 + 2x + 4 j = 0. y = Vx + 2 «■ y- Ịy + Vx + 2j" +X + 2 = 0 0 Ịy + Vx + 2 j +x + 2 = 0 . . / f -—\ 2 íx + 2 = 0 fx = -2 .. V > [y + vx + 2 = 0 [y = 0 với điều kiện thấy không thỏa mãn. TH2: Nếu y = Vx + 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (4x + l)Vx + 2-(4x-l)Vx-2 = 21 (3). Để giải phương trình (3) ta sử dụng phương pháp đưa về hệ tạm như sau: (4x + l)Vx + 2-(4x-l)Vx-2 =21 (4x +1) 2 (x + 2) - (4x -1) 2 (x - 2) = 4 Ị 2 OX 2 + lj f(4x + l)Vx + 2-(4x-l)Vx-2 =21 (4x + l)Vx + 2 + (4x - l)Vx-2 = ^20x 2 + lj Suy ra: 42(4x + 1 ) Vx + 2 = 80x 2 + 445 . Để giải phương trình cuối bình phương hai vế hoặc đặt t = Vx + 2 ta tìm 17 5 Để giải phương trình cuối bình phương hai vế hoặc ( uĨa_ .. n „ 5 được nghiệm X = — => y = — . 4 2 ( Y~Ị 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = v ’ \ 4 2 Jx + y + 1 + l = 4(x + y) 2 + ìài 27. Giải hệ phương trình < V5x 3 -1 -ỉịĩỹ + X = 4 \ Bài 27. Giải hệ phương trình < • s /x + y + l+l = 4(x + y) / +ự3(x + y) V5x 3 - 1 - ịfĩỹ + X = 4 Lời giải Điều kiện X > —^,x + y > 0. V5 526 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình thứ hai không rút ra được gì ta đi xử lý phương trình đầu của hệ có nhân tử chung X + y . Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: 1 - 4 ( X + y) 2 = ^3(x + y) - ựx + y + 1. ^[l-2(x + y )](l + 2(x + y)] = y*-- ■ y3Ịx + yj + yíx + y + l / \ <=>Í2x + 2y-lj . =—. ^ + l + 2x + 2y =0. ^(x + y) + yx + y+l <=> 2x + 2y -1 = 0 (do X + y > 0 ). Suy ra 2y = 1 - 2x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V 5x 3 -1-a/1-2x+x = 4 . vế trái là một hàm đồng biến nên phương trình trên nếu có nghiệm thì đó là duy nhất. Nhận thấy X = 1 thỏa mãn phương trình. f Ị \ Suy ra (x;y) = Ị^l;—^ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. /x + y + Jx-y=3 Bài 28. Giải hệ phương trình x + y - \/x-y = 4 Lời giải Điều kiện: X + y > 0,x - y > 0. Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: Khi đó hệ phương trình trở thành: y/x + 6 + Vx - 6 = 3 y/x + 6 -Vx-6 = 4 527 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số f(x) = Vx + 6 + Vx - 6 - 3 Đây là một hàm đồng biến trên (ó; +co)nên phương trình nếu có nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Nhận thây f(10) = 0vậy (1) có nghiệm duy nhất x = 6thử lại vào (2) thây thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;yj = (lO;ó). Lời giải Điều kiện: y > 1. Khi đó phương trình đầu của hệ tương đương với: 2x í x = ° 1 VỸ+Ĩ + VỸ^Ĩ xỊVỹ+T + Vỹ^ĩ) - n 017 170 A loâ to Ýrir* 17 — 1 —X ( V • \ r\ — / n* lx 2 +1 + -1 =V2x +1+1 THI: Nấu x = Othayvàohệ ta được y = 1 => (x;y) = (0;l). TH2: Nếu ^2x 2 + 1 +1 = xỊ^ỹ+ĩ + x/ỹ-ĩ) ■ Cộng theo vế với phương trình đầu của hệ ta được: 'ịĩx 2 +1 = x^i => y = x . X 2 +1 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x(x-2) + X 2 +1 -1 = 2x. X +1 X +1 X V X <=>Ịx 5 -lj =0<=>x = l=>y = 2. Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;lj;(l;2). 528 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > 2,y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: x 3 -3x 2 + 2 = yJỹ+3 (x-l) 3 -3(x-l) = (7y + 3) -3^/y + 3 < _ Ị -——- <=> t ' > _3x/x-2 = Vy 2 + 8y 3 Vx - 2 = ựy 2 + 8y Phương trình (ĩ) có dạng phương trình đặc trưng nên xét hàm sô". Xét hàm số f(t) = t 3 -3t trên [l;+oo),ta có: f’(t) = 3|t 2 -lj>0nên f(t)là hàm đông biến trên 1^1;+oo). Do đó (l)of(x-l) = fỊ-y/y + 3j<=>x-l = -y/y + 3 . Xét hệ phương trình: \ 2 (x-l) =y + 3 x>2,y>0 Jx = 3 9(x-2) = y 2 +8y |y = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;l). Lời giải Điều kiện : X - 2y +1 > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 529 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ỊVy 2 + 1 + yJ =2(x-2y + l) x-l + ^(x-l) 2 + 4 =4^y 2 +ĩ + yj |Vy 2 + 1 + y) =2(x-2y + l) . -1 + ^/(x -1) 2 +4 = 2y + 2^y 2 + ĩ ỊJ_X -1 + ^(x-l) 2 +4 = -2y - 2\Jy 2 + 1 Do x-l + ^(x-l)~+4>x-l + |x-l|>0và -2^y + -^/y 2 + 1 j X-1 + -\J(x-1 )” +4 > -2y -2 -^/y 2 + ĩ . Vì vậy hệ phương trình tương đương với: (Vy 2 + 1 + yJ =2(x-2y + l) X -1 + yỊịx-l)~ +4 = 2 y + 2 -y/y 2 +1 |Vy 2 + 1 + y) =2(x-2y + l) X-1 -2y + -Ậx-ĩỹ + 4 -2^y 2 +1 = 0 ^y 2 + l + yj =2(x-2y + l) <0 nên: x-l-2y + (x-l-2y)(x-l + 2y) <=> — 1 ) +4 + 2 yỊỹ 2 +1 |Vy 2 + 1 + yì = 2(x - 2y +1) í x + 2y-l ■J(x — ĩy + 4 + 2^ (x-l-2y) = 0 530 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 0< (\/y 2 + 1+ y) =2(x-2y + l)^^Vy 2 +l + yJ=4 x-l-2y = 0 [x -1 - 2y = 0 ^ỊV7TĨ + y = 2^ s X 4_ |x-l-2y = 0 2 l 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Lời giải Điều kiện: 5x - y > 0,x - y > 0,2x - 4y > 0. Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: [L x=1 °y THI: Nếu X = 0 => y = 0 thử lại thấy không thỏa mãn. TH2: Nếu X = I Oy suy ra X > y > 0 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 10y + y 2 -ll = 0^(y-l)(y + ll) = 0 < y -° » y = l=>x = 10. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (lO;l j. Lời giải Điều kiện: X > ^-,x + 3y > 0,3x + y > 0,x + y > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 531 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 7 x + 3y - 2 Vx = ^2x + 2y - ^3x + y =^> 5x + 3y - 4^x(x + 3y) = 5x + 3y-2 A /2( x + y)(3x + y) «• 2ựx(x + 3y) = A /2( x + y)(33^ ỹ) _ <=> 2x(x + 3y) = (x + ýị^3x + y'j <=> ộí - y) 2 = 0 <=> X = y Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 72x-l + x 2 -3x + l = 0<=> 72x-l = 3x-x 2 -1 <=>] 3x-x- -1>0 2x-l = 3x-x 2 -lj 3x-x -1>0 2 X = 1 . = 2-72 x = l,y = 1 X = 2 - 72 , y = 2 - V 2 (x-l) 2 Ịx z -4x + 2j = 0 Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l);|2 - 72 ;2 -72 j. Bài 3. Giải hệ phương trình [x + y+ a/x 2 + y 2 - 4xy =37xỹ 2x(x-6y) + x 2 +y 2 =1 Lờỉ' giải Điều kiện: X 2 + y 2 -4y > 0,Jxy > 0 . Nếu y = 0: |x + Vx z =C) 1 UA ._,. A _ <=> X = —= , hệ phương ưình có nghiệm: 13x 2 = 1 73 M= f 1 * —7=40 V 73 J Với y 5* 0, ta xét hai trường hợp: THI: Nếu y > 0 => X > 0 khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương vơi: *+ 1+ 4-4*+ 1=3 *. y ịy- y \y Đặt t = — > 0 phương trình ưở thành: t = — > u pnương trmn ơơ tnann: y t + l + 7t 2 -4t + l= 3yft <=> 7t + 4 + Jt + -- 4= 3. ........ ' .... .77t.....J t 532 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Với X = 4y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 8y(4y-6y) + 16y 2 +y 2 = 1 <=> y 2 =1 < — > y = 1 => X = 4 . - Với y = 4x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2x(x -24x) + X 2 + 16x 2 = 1 phương trình vô nghiệm. TH2: Nếu y < 0 => X < 0 khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: ^ + 1 + -. \-4^ + l=-3 y ỵy y u Đặt t = — > 0 phương trình ưở thành: y Lời giải Điều kiện: X > -2,y > 0 . , [x 2 \/2x + 4 = 0 , Nêu y = 0 => < hệ phương trình vô nghiệm. [x 2 =2x-4 Xét y > 0 khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 533 ư~> I ‘ 3rì+6t-4>0 (t 2 +4) 2 (2t + 4) = (3t 2 +6t-4) 2 3t +6t-4>0 2 « t = 1 + -Ịl> <=> X = Ịl + ',/5 jy. Ị(2t + 3)(t 2 -2t-4) =0 ^ v Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta đưcp: r y 2 Ị5 + 2V5) = 2Ịl + V5)y-y + 4«Ị5 + 2V5Ịy 2 -Ị2^ + l)y-4 = 0. y = i <=> 4 =>y = l=>x = l + ^. _ y= 5 + 2 V 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Ịl + >/5;lj. x-\/xỹ = y-J2|x 2 -xy + y 2 1 Bài 5. Giải hệ phương trình < V V / . X 2 +3y 2 =3x + 5y-3 Lời giải Điều kiện: xy > 0 từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 9 „ „ „ 9 f 3^1 3 „ 9 „ 5y = x -3x + 3 + 3y = +-^- + 3y >0^>y>0^>x>0. Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: r 77 2 7 7 2 V* + 1 . y h i{y 2 y Đặt t = — > 0 khi đó phương trình trở thành: y t-V^=i-^2Ịt 2 -t+iỊ^2(t 2 -t+iỊ=i+Vt-t i+Vt-t>0 íi+Vt-t>0 , \ / r N 2 <=> ' \9 r / 2 t 2 - t + l]= 1 + Vt-t [(t-l) +t + 2Vt(t-l) = 0 534 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 + ,, r „„ 3-7Ì 3-7Ĩ , ,2 <=> t-1 + vt = 0 <=> t =—<=>x =———y . (t-1+VĨ) 3_ c Thay X = —— y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3-S y ; + 3 y 2=3.^ y + 5 y -3« 1 ^- 1 ^ y+ 3 = 0 _ _ 3-V5 . x = —^-,y = l 13-3^5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: 2 3 ( 3 - 75 ) 6 13-3^5 ,y 13-3^5 hai nghiệm là: f 3 -25.,lf 3(3-Vs) v 2 7 13-375 I 3 - 3 V 5 Bài 6. Giải hệ phương trình /x + 2y + 3^4x + y - lOyịỹ + ịx + y + yjy + 3 = ^5y + lOx + \/3y - X Lời giải Điều kiện: y > 0,x + 2y > 0,4x + y > 9,3y - X > 0,2x + y > 0 . Nhận thây y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y > 0 khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: —+ 2 + 3,14—+1 = 10+. 3-—. vế trái là một hàm đồng biến và vế phải là một hàm nghịch biến với —nên y CÓ nghiệm duy nhất — = 2 <=> X = 2y. y Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3^ + yfỹ~+3 - 5-y/ỹ <=> -Jỹ~+3 = 2yfỹ <=>y = l^>x = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1 j. 535 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 7. Giải hệ phương trình x + ơx 2 -y 2 x-ựx 2 -y 2 X 5 + 3x ỹ = 6(5-y) 9x 5 Lời giải y|,y *{o-,5},x-Ậ 2 -y 2 *0. __^___ .1 _ 1 _ £ : Điều kiện X > I Khi đó viết lại phương trình thứ hai của hệ thành: 6x(5-y) = y(5 + 3x) <=> 9xy + 5y-30x = 0 <=> -^- = 6 — -1 (1). ^ y 9 9 x + -v/x^—y X Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: - , : = 6— -1. ■Ặ , 2 2 x-ơx -y Đây là phương trình đồng bậc nên nghĩ đến đặt X = ty. THI: Nếu y > 0khi đó phương trình ưở thành: X y + ( ■v 2 -1 x=ty X y yy rì + V ^=(6 -1 <=> 6t 2 — 6tx/1 2 -1 - 2t = 0 <=> t 3t — 1 — 3x/t~ -1 = 0 . <=> t = 0 3^t z —1 =3t —1 <=> t = 0 _ 1 t>4- 9(>’--l) = <=> -1 = 9t z -6t + l t = 0 5 • t = v 3 - Với t = 0<=>x = 0^>y = 0(không thỏa mãn). - Với t = ^- <=> X = ^-y khi đó thay vào (1) ta được: 9x 5 ^ = 6.^ - 1 <=> X = 5 => y = 3 (thỏa mãn). 5 3 TH2: Nếu y < 0 khi đó viết lại phương trình dưới dạng: 536 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com «• 6t 2 - 2t + 6tVt 2 -1 - 0 o t Ị 3t -1 + 3^t 2 -1 ì = 0 1 ^- V 7 |_3Vt 2 -l=l-3t "t = 0 Ị 1 <=> <=>t = 0ox = 0=>y = 0(loại). 9(t 2 -lỊ = 9t 2 -6t + l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5; 3 ). Lời giải Điều kiện: X , y > 1 . Khi đó phương trình đầu của hệ được viết lại: Thay vào phương trình thứ hai của hệ, suy ra: X 2 + x 2 -X 2 =l<=>x = ±l=>(x;y) = (±;±l). Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-l;-l);(l;l). 537 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Cách 1: Điều kiện: x>-J,7x + y > 0,2x + y >0 . Khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: Ị yj 7x + y = yj 2x + y + 4 7x + y = 16 + 2x + y + 8^2x + y ị2^2x + y- 2 = V5x + 8 4(2x + y) + 4 - s^ịĩx + ỹ = 5x + 8 >x + y-5x + 16 = 0 l8^/2x + y-5x + 16 = 0 Ix + y + 3x + 4y-4 = 0 Ị-2x + 4y + 12 = 0 8^2(2y + 6) + y-5(2y + 6) + 16 = 0 x = 2y + 6 4^/5y + 12 =5y + 7 x = 2y + 6 4^/5y + 12 = 5y+ 7 x = 2y + 6 Thử lại thây thỏa mãn. 13 y 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ■ V 5 5 , Cách 2: Đặt u = J7x + y>0 0 0 . Ỵ 3 ^u 2 -v 2 =5x. v = -y/2 x + y >0 Ta có hệ phương trình: Ị u - V = 4 Ị u = V + 4 í u = 9 [2v - Vu 2 -V 2 + 8= 2 |V8v + 24 =2v-2 |v = 5 Lòi giải Nh|pjjỊ^qsl|ai |ả|uơi»Mnhg^ M t>ec: 538 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> V 7 x+ y- V 7x +y + 7 ĩõ ^2x + y =2 2yj2x + y V -^yj 5x + 10y = 5y]2x + y <=> ^5x + 10y . / y = 2x 2587x • L 369 Đối chiếu với điều kiện có nghĩa của hệ suy ra y = 2x . Thay y = 2x vào phương trình đầu của hệ ta được: V7x + 2x - V2x + 2x = 4<=>x = 16=>y = 32. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l6;32). Bài 11. Giải hệ phương trình: -y/x + 2y + 3 + ^9x + lOy + 11=10 7l2x + 13y + 14 + ^/28x + 29y + 30 = 20 Lờỉ' giải Điều kiện: X + 2y + 3 > 0,9x + lOy +11 > 0,12x + 13y +14 > 0,28x + 29y + 30 > 0 Hệ phương trình đã cho tương đương với: ^/x + y + l + y + 2 + ^9(x + y + l) + y + 2 =10 ^12^x + y + lj + y + 2 + ^28^x + y + l) + y + 2 = 20 Đặt u = x + y + l,v = y + 2hệ phương trình trở thành: 1 Vu + v + V9u + v =10 I Vl2u + V + V28u + V = 20 Suy ra \]l2u + V + V 28 U +V =2|Vu +V + v/9u +V j <=> u = — V. Vì vậy < 5 u = —V 4 u = 5 x+y+l=5 x = 2 <=> < <=> < <=> • 1 v = 4 Ịy + 2 = 4 ^ + >/9^ = 10 lv = 4 ly + z = 4 ly = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2j. ___ _ . . . k/7x + y + J2x + y =5 Bài 12. (VMO 2001) Giải hệ phương trình 1 'Ị ^ [^2x + y +x-y = 2 Lời giải Điều kiện: 2x + y > 0,7x + y > 0. 539 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u = v 7x + y , \ 7x + y = u 2 ,(u,v>c ' V = v í 2^ v / 2x + y = V Đặt Hệ phương trình trở thành: í u + V = 5 2 .,2 n. .2 o..2 11 - V 7v -2u v + - X = - „2 2 LI - V "5 7v 2 -2u 2 5 u = 5 - V y = ■ u + V = 5 = 2 15v + 3u 2 -8v 2 = 10 <=> • u=7-v Ju=5-V 5v + 3(5-v) 2 -8v 2 =10 [5v 2 +25v-65 = 0 u,v>0 v = - 15-^77 2 -5 + V 77 <=> *Jĩx + y =■ Jĩx + y =- 15 -V 77 2 -5 + V 77 7x + y = I 5 -V 77 \2 2x + y = -5 + V 77 X = 10-V77 II-V 77 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 2 Í \/l lx — y — \/y — X =1 7^/y-x + 6y - 26x = 3 Điều kiện: llx-y>0,y>x. Đặt u = Jllx-y , s 1 V l_\(u,v>0): I V = ^y-X Lờỉ' giải 11 lx - y = u 2 |y-x = v 2 X = - 2 . 2 u + V 10 u 2 +1lv 2 ĩõ Hệ phương trình trở thành: íu-v = l 7v + 6. u 2 +1lv 2 ĩõ -26. u 2 + V 2 ^ 10 u - V = 1 = 3 |4v 2 -2u 2 +7v-3 = o' 540 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> ■ <=> u = V +1 í 11 = V + 1 J ( u.v^o ) 4v 2 -2(v + l) 2 +7v-3 = 0 [2 v 2 +3v-5 = 0 r u,v>0 1 ư — 2 1 V = 1 ' ịj 1 lx-y =2 íl lx - y = 4 1 <=>1 <=>1 |y-x = i yj y-x = l 1 X = — 2 y = - Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = f Ị_ Ỷ v 2 ; 2 y . , í Jx + 2y + Jlx+ 2y + 3 =5 Bài 14. Giải hệ phương trình ■< ____ [y2x + 2y + 3 + X 2 -2y = 5 Lời giải Điều kiện: X + 2y > 0,2x + 2y + 3 > 0. _ u = Jx + 2y , , íx + 2y = u 2 Đặt A —— ,(u,v>o)=>r y |v = ^/2x + 2y + 3 [2x + 2y + 3 = v 2 X = V 2 -u 2 -3 y = - 2u 2 - V 2 + 3 ' Khi đó hệ phương trình trở thành: íu + v = 5 2 „2 Q \ 2 ^ 2u 2 -v 2 + 3_ c °i v+ V -u -3 -2.---= 5 u + v = 5 v + (5(v-u)-3)‘-2. 2 „ 2u 2 -V 2 +3 = 5 V = 5 - u / / „ > \2 2u 2 -(5-u) 2 +3 5-u + (5(5-2u)-3J -2.-- = 5 <=> ■ |v=5-u 199u 2 - 45 lu + 506 = 0 <=> " \u = 2 17 [v = 3 [u = “~ 9 < 22 < - l 9 [x/x + 2y = 2 ị^2x + 2y + 3=3 yjx + 2y = 23 <=> V2x + 2y + 3=^ I X = 2 y=i 32 X = — 9 817 162 32 817 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;l); 1 9 162 541 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình trở thành: Lời giải Phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: y = 2x (2x-y)(7x-4y-12) = 0«> _ 7x-12- Y = -- 4 Xét trường hợp và thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được các nghiệm (x;y) = (-7;-14);(-4;-8). Bài 17. Giải hệ phương trình: ^Wỹ(x > /ỹ + 4Ị + (x-y)^x(y + 2)+4 = > /ỹ(x + l) + 2—s/x X 2 -2x-3y+ 4y 2 =0 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 ,Xyfỹ |x^/ỹ + 4j + (x-y)^x(y + 2 ) + 4>0. Pl«M¥fìi^thfehấí cỏa h|||ươ|i m igp 542 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ^/ỹ(x + l) + 2-Vx>0 Wỹ( x >/ỹ + 4 ) + (x - y)^x(ỹ+2) + 4 = (Vỹ( x + 1 ) + 2 - Vx) 2 yỊỹịtí + 1 ) + 2 - Vx > 0 (■VỸ - Vx ] Ị 4 + 2xựỹ + VỸ - Vx + x^ỹ+2 j = 0 Thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được các nghiệm: (x;y) = (0;0);(l;l). Bài 18. Giải hệ phương trình < (x + l) 2 +yự 2 . 3 y +1 =x+— 2 X-1 + \Jx 2 - 2x + 5 = 2^2x - 4y + 2 Lời giải Điều kiện: X - 2y + 1 > 0 . Viết lại hệ phương trình đã cho dưới dạng: 2x-4y-2 = ỊV7+ĩ + yì 4(2x-4y-2)= X - 1 + yịịx - 1) 2 + 4 V Suy ra 4^-y/y 2 +1 +yj = x-l + <^(x-l) 2 +4 <=> Ị^2y + x/4y 2 +4 j = x-l + ^(x-l) 2 +4 <=>x-l = 2y<=>x = 2y + l 5 3 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ tìm được nghiệm (x;y) = ị;- \ /12 4 Bài 19. Giải hệ phương trình |4x - y + 3-y/ỹ+ĩ = 0 4^(x + l)(y + l) - 6-v/x + l +1 = 0 Lời giải Điều kiện: x>—l,y>—1. Í u = Vx +1 / \ . , . . . _,^u, V > 0) hệ phương trình trở thành: V - V y + 1. 543 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4Ịu 2 -lỊ-Ịv 2 -lỊ + 3v = 0 Í4u 2 -v 2 +3v-3 = 0 4uv-6u + l = 0 [4uv-6u + l = 0 Nhận thấy u = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét 11 > 0 hệ phương trình tương đương với: Lời giải Phương trình đầu của hệ tương đương với: X = y -1 Ịy 2 -2xj(x - y +1) = 0 <=> _ y 2 _ x= 2 Xét trường hợp và thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm. Lời giải Bình phương hai vế phương trình đầu của hệ tìm ra y = 4x - 4 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Jx^Ĩ4= Z±,^x-A^Ẩx 2 = J6, -Lr 1 544 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> 2 Ị X -5 x-5 / _\ x + 5 1 I = -= r—- - <=>(x-5) , - ỹ== Vx 2 -16 +3 Vx-4 + l \yx 2 -16+3 Vx-4 + l = 0 <^>x = 5=>y = 16. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;ló). __, ÍJx + y + 5 -J3x + 2y +1 = 0 Bài 22. Giải hệ phương trình < ^ 1 ^ [Vx+1 +x-y+3=0 Lờí giải Đặt t = 7x+T,(t >())từ phương trình thứ hai của hệ rút ra y = t 2 +1 + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: Suy ra V 2t 2 +1 +1 +1 = V5t 2 +2t +1 . ^5t 2 +2t + l-V2t 2 +t + l = l V 5t 2 +2t + l+y/2t 2 +t + l = 3t 2 +t = 3t 2 +t , -\/ 5t 2 + 2t +1 — V 2t 2 +1 +1 ■ 2 V 5 Ĩ 2 +2t + l = 3t 2 +1 +1« 4^5t 2 + 2t +1) = (3t 2 +1 + 1 Ị 2 «t = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y j = (3; 8 j. /x +3 = xy + l X' + y“ = y 2 =^x 2 Ịy 2 +y + lj + yỊy 3 + y 2 + lỊ Lời giải Bình phương hai vế phương trình thứ hai của hệ ta được: Ịx 2 +y 2 + l)Ịy-x 2 ) = 0^y = x 2 . Thay y = X 2 vào phương trình đầu của hệ ta được: Vx 3 +2 =x 3 +l<=>x = l=>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 24. Giải hệ phương trình X 2 + y 2 - -y/x 2 y 2 +x 2 +y 2 +1 = 3 Vx 2 " + ^/ y 2 +2=4 545 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 + y 2 - a/x 2 ỵ 2 +x 2 +y 2 + 1 = 3 X 2 + y 2 + 2 + 2^Ịx 2 ịy 2 +2 Ị =16 Đặt u = x 2 ,v = y 2 ,(u,v > o) hệ phương trình ttở thành: [u + V - Vuv+u+v+1 = 3 I u + V + 2\Juv + 2u = 14 /x 2 +3y 2 - 3 + 2 ^2x 2 - 2y +1 = 3y [3x 2 + y 2 = 2y + 2 Lời giải Điều kiện: X 2 + 3y 2 - 3 > 0,2x 2 -2y +1 > 0 . Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: ỈẬ 2 + 3y 2 - 3 + 2^2x 2 - 2y +1 = 3y 2x 2 - 2y +1 = -X 2 - y 2 + 3 /x 2 +3y 2 - 3 + 2\J-X 2 - y 2 + 3 = 3y [2x 2 - 2y +1 = -X 2 - y 2 + 3 ( 1 ) Ta xử lý phương trình (1) như sau: Nhận thây y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Xét y > 0 khi đó (1) <=> X 2 - 3 _ _ X 2 - 3 X + 3+2. = y y Đặt t = X 2 -3 -ta có phương trình: Vt + 3 + 2\J-t -1 = 3 . <=> t + 3 + 4(-t-l) + 4^(t + 3)(-t-l)=9 <^^ị -t- -4t-3 =10 + 3t 3t +10 > 0 X 2 3 16Ị-t 2 -4t-3Ì = 9t 2 +60t + 100 ^ t_ y 2 Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: 546 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com "í [ x2 " 3 =-2 X 2 = -2y 2 + 3 1 y z <=> • 3Í-2y 2 + 3 ) + y 2 = 2y + 2 ^ J 3x 2 + y 2 = 2y + 2 V ì [1 I X = —1 [y=i M ' y=i Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = . X 1 Ịỹ_ 1 Bài 26. Giải hệ phương trình < ]Ị 3 y 3 - 4xy 2 2x V X .ựxỹ X 2 +4y 2 -2x -2y = —— l 9 Điều kiện: xy > 0, 3y 3 - 4xy 2 Lời giải >0,3y 3 -4xy 2 * 0. Từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 2(x + y) = X 2 + 4y 2 + ^ > 0 => X + y > 0 => x,y > 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 1 3y 3 — 4xy 2 2Vx ]Ị y / \ 3 X Ỡs — + - /T r~t Đặt t = — > 0 phương trình trở thành: —- vy h-4t z «• (2t 4 - lỊ(2t 4 + 5t 2 + 3 ) = 0 «• t = 4= 6 1 .6 1 r ■ = t + —- <=>■ 2 t 3-4t 2 - = t z +l + - 4t 4/2 Wrè~ y=,& - Thay y = \[ĩx vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2 +8x 2 -2Ịx + V í 2xỊ = -i«9x 2 - 2 ỊV 2 +ljx + ^ = 0 547 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 548 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vx 2 + 1 3 x,y >0 <=> • y = 2 <=> 4Íx 2 +l) = 9y 2 ^y 2 +1 _ 3 V / / 0 \ 0 X 2 4ỉy 2 +lỊ = 9x 2 X = 45 2 [ y = 45 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Lời giải Điều kiện: -Vô < X < Vó,-1-V 2 < y <-1 + V 2 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: [12 - 2x 2 = y 2 + 8y +16 <=> ■ 2x 2 + y 2 + 8y + 4 = 0 (1) [1 -2y-y 2 = 25-20x + 4x 2 ị4x 2 +y 2 -20x + 2y + 24 = 0 (2) Đây là hệ bậc hai hai ẩn tổng quát đã biết cách giải hoặc xử lý nhanh như sau: Lấy (1) + 2.(2) theo vế ta được: íx = 2 10(x-2) 2 + 3(y + 2) 2 =0«j^ 2 (thử lại thấy thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = l ( 2 ;- 2 ). Bài 29. Giải hệ phương trình 1 X 2 +2xy 2 +z 2 V 3 X -5 + %l ly = x + 2xy + 4y 3 8 y 3 - 3x + 9 = 7 Lời giải Điều kiện: X > —. 3 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (2y-x)(2y 2 +x-lỊ = 0<- x>| —2—>x = 2y . Thay 2y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2V3x - 5 + Vx 3 -3x + 9 = 7 . vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm hằng nên phương trình có nghiệm 3 duy nhất x-3 549 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ự ’2 Bài 30. Giải < hệ phương trình: ■sỊsx 2 + 6xy + 4y 2 4-y/x + y + 2 + 4y^j + 2y + 1 =3x + 2y-l , 2(y + l)=5y 2 +6x + 3 + ^| k(x + y 2 ) Lời giải Điều kiện: 3x 2 + 6xy + 4y 2 +2y + l>0,y>-l,x + y 2 >0,x + y + 2>0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: ^3(x + y) 2 +(y + l) 2 =3(x + y)-(y + l). Í3x + 2y-l>0 [3(x + y) 2 +(y + l) 2 =9(x + y) 2 -6(x + y)(y + l) + (y + l) 2 3x + 2y -1 > 0 x+y=0 <=><; X + y = y +1 3x + 2y -1 > 0 y=-x x = 1 THI: Nếu X = 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4^3 + 4yự2(y + l) = 5y 2 + 9 + ^(y 2 +1) . Để giải phương trình này ta đánh giá thông qua bất đẳng thức Cô si như sau: 4-y/ỹ +3<4+y+3=y+7 - < r— -- " x „ =^> VT < 2y 2 + 7y + 7 4yự2(y + l)<2y(2 + y + l) = 2y 2 +6y 5y 2 + 9 + ^Ịy 2 +lỊ > 5y 2 + 9 + y +1 = 5y 2 + y +10 VP > 5y 2 + y +10 Mặt khác: 5y 2 + y +10-2y 2 -ly -1 - 3y 2 -6y + 3 = 3(y -l) 2 >0. Vì vậy dấu bằng xảy ra <=> y = 1. Vậy trường hợp này hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (l;l). TH2: Nếu y = -X thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4 V 2 -4x^2(l-x) = 5x 2 -6x + 3 + ^2Ịx 2 +xỊ . Đây coi như một bài tập dành cho bạn đọc. 550 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 31. Giải hệ phương trình ■3 = 2ly + l)(3y- /3y-2 - J^=xV r 2^2 Lời giầi . , _ _ 2 „ Điều kiện: y > — ,3y - X > 0,x > -5 . 3 Phương trình đầu của hệ tương đương với: 3(y + l)-(3y-x) = 2J(y + l)(3y-x). j x + 3 ^° |x + 3>0 |x + 3>0 |9(y + l) 2 -10(y + l)(3y-x) + (3y-x) 2 =0 |y + l = 3y-x |x = 2y-l Thay X = 2y -1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: / 3^2 - VỸ+2 - = 2y 2 -3y-2 o (^3^2 - 2 ) + ( 2 - Vỹ^2) = 2y 2 -3y-2 ^Ềzắ- + -^JL, = ( y-2)(2y + l). /3y -2+2 2 + Vy + 2 <=> - 1 - —í— V 3 y _2 +2 2 + sj y + ^-{ 2y + l + jT2 ATH-- __„ = 0<=>y = 2^>x = 3. <^iy-zi z,y T1 -1- -j ==— , —- = u<^>y = z^> \ Vy +2+2 py- 2 + 2 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 3 ; 2 ) • ... y ! (y I I) X - yx 2 y' N |-44 Bài 32. Giải hệ phương trình ị V J X 2 + xJx 2 - y 2 =40 Lời giải Điều kiện: X 2 - y 2 > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: y + (y + l)fX + Ậ 2 -y 2 j = 44 x + Jx 2 -y 2 +y 2 =80 Đặt 1 11 x + V x y hệ phương trình trở thành: 551 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u 2 + V 2 = 80 TV — uu u 2 + V 2 =80 + u(v + l) = 44 Ịu + V + uv = 44 <=> I u = 4 ịv = 8 fu = 8 |v = 4 <=> X + Ậ 2 -y 2 =4 y = 8 <=>< I X + yx 2 - y 2 [y = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4). Lời giải Điều kiện: 4x ~ 3x2y ~ 9xy2 > 0,x + 3y * 0 . X + 3y Để hệ có nghiệm ta phải có 3y - X > 0. Khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: 6 x 5 y = Ịx 2 +2j|x 4 -2x 2 +lj + 3|x 2 +2 (x + 3y)(3y - x) 2 = 4x - 3x 2 y - 9xy 2 Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình <=> ■ 6 x 5 y = X 6 + 8 X 3 + 27y 3 = 4x Xét X & 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: ^ 3 vx 2 J + l = 2.^ỵ 1 + ^3y4 3 = 24 X 2 |x = 5 y = 4 Đặt u = x ,(u > o) hệ phương trình trở thành: 3y I u 3 +1 = 2v I V 3 + 1 = 2u . 3 3 I u - V = - <=> ■ 2 (u-v) <=> V - 5 +1 = 2u (u - v)Ịu 2 + uv + V 2 + 21 = 0 V +1 = 2u 552 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ju = v Ju = v ju = v |v 3 +1 = 2u Ịu 3 -2u + 1 = 0 (u-l)Ịu 2 +u-lỊ = 0 u = l,v = l - 1 +V 5 -1 + V 5 <=> u =-- JL —,V =- 2 2 I + V5 I + V5 u =-—— ,v =-— : — 2 2 Đôi chiếu với điều kiện suy ra u = v = l,u = v = -I + V 5 r 1 — = 1 X = ±\Ỉ2 THl:Nếu< U _ <=>i x ~ <=>< ÍT. l v = 1 3ỵ = 1 y = ±^~ [x 1 1 3 Đôi chiếu với điêu kiện suy ra (x;y) = V 2 ;—- ; -y/ĩ ;—— . V ) \ — 1 + SỈ5 2 — I + V 5 í r 7 = u= % ~7 = 9 X = ±vl + v5 TH2: Nếu z «■ ị x ^ _ ị -- W _-1 + V5 3y_-l + V5 y = ±H v5 -l]vl + v5 2 1x2 1 6 Đối chiếu với điều kiện suy ra (x;y) = Ị^-a/i + V5;-|V5 -lj\/l + V 5 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là Lời giải Điều kiện: |y| > 1. Cách 1; Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: 553 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> [xy > 0 2 „2 Xét hệ phương trình: |x 2 +y 2 -xy = l 2x 2 -xy = 0 y 2 -x 2 = i y 2 -x 2 = i Thử lại nghiệm chỉ có (x;y) = (ơ;l), x = 0,y = ±l vr y= vr 2 7T y = rì thỏa mãn. 1 2 x =—7=,y 1 2 X = -F=,y ^ 1 _ 2 A Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;l); Cách 2: Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: x-^y 2 -1 = y-Vx 2 +1 ^Ị^x-^y 2 -1 j = Ịy-Vx 2 ~+ĩY. <=> -2x^y 2 -1 - 1 = -2y Vx 2 +1 +1 <=> yVx 2 + 1 = 1 + x^Ịy 2 - ĩ. => y 2 Ịx 2 + lj = 1 + 2x Ị^x-^/y 2 -1 j = 0 <=> X = y 2 -X 2 = 1. |y 2 -X 2 =1 lx 2 +y 2 -xy = 1 Vậy đưa về giải hệ phương trình: Thực hiện tương tự cách 1. Cách 3: Vì X + Vx 2 +1 >0 =>y + \Ịy 2 -1 >0o \Ịy 2 -1 >-yo Kết hợp với điều kiện suy ra y > 1. Khi đó viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: -y<0 Ị-y > 0 |y 2 -i>y 2 xWx 2 + i=Vy 2 - 1 + A x/y 2 -11 +1 ( 1 ). oy>0. 554 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình (ĩ) có dạng hàm đặc trưng nên sử dụng hàm số. Xét hàm sô" f(t) = t + x/t 2 +1 , ta có: t vt +l + t f’(t) = 1 + - = - > 0 nên f(t) là hàn Vt 2 +1 vt 2 +l Vì vậy (1) <=> f(x) = f ị^\jy 2 - 1 j <=> X = \Ịy 2 - 1 <=> Đưa về giải hệ tương tự cách 1. > 0 nên f(t) là hàm đồng biến trên R . \ rx íx > 0 y 2 -X 2 = 1 _ , _ LI = X + Vx 2 + 1 (u-x) -x 2 +l Cách 4 1 Đăt =>j v \ V = y + Vy 2 -1 (v-y) =y 2 -l u 2 - 1 V 2 +1 Khi đó hệ phương trình trở thành : fu = v /9 \ u 2 -l 2 /9 X v 2 +l 2 u 2 -lv 2 +l 2u V / + 2v V ) 2u 2v u = V = — 1 u = V = 1 = 1 u 4 -4u 2 + 3 = 0 u u = V = -\Ỉ3 u = v = V 3 ... . (y-x + l)(2x + y-l) 3 =8x 3 Bài 35. Giải hệ phương trình < ^ ’ x + y + ^/y-x + 1 =3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với : (y-x + l)(2x + y-l) 3 = 8x 3 [(3 - X - y)(2x + y-l)] 3 = 8x 3 y-x + l = (3-x-y) 3 y-x + l = (3-x-y) 3 (3-x-y)(2x + y-l) = 2x y 2 + (3x-4)y + 2x 2 -5x + 3 = 0 (1) <=> - 3 <=>' 3 y-x + l = (3-x-y) y-x + l = (3-x-y) Coi phương ưình (1) là phương trình bậc 2 với ẩn là y và tham số là X . Ta có A y =(3x-4) 2 -4^2x 2 -5x + 3 Ì = (x-2) 2 . Suy ra y 3 , y 3 -xy = x/x + l Bài 36. Giải hệ phương trình < __ [Vx-2+Vy-2=l y = 1 - X 555 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện x,y > 2 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: ]y 3 -xy = Vx + l j y 3 -xy = Vx +1 Ịa/x-2 + Vy-2 =1 |Vy-2 = l-Vx-2 y 3 -xy = Vx+ĩ y 3 -xy = Vx + 1 <=> < 1 - Vx — 2 > 0 <=> < X < 3 y-2 = x- l- 2 V X - 2 y = X + l-2y/x-2 Mặt khác y 3 - xy = y Ịy 2 - X j > 2 í 2 2 - 3j > 2 > Vx + 1 . Dấu bằng xảy ra khi X = 2,y = 3 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;3). Í2x(y + l)-2y(y-l) = -186 2 vx +y Lời giải Điều kiện: X 2 + y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 xy -2y 2 + 2x + 2y + 186 = 0 2 ^x 2 + y j - 2x-y/x 2 +y : 4 + y <=> 2 xy-2y +2x + 2y +186 = 0 , Ỹ „ ^ ^ X +y -X =4 2 xy - 2y 2 + 2x + 2y +186 = 0 Ia/x 2 +y =x + 2 <=> 2 xy - 2y 2 + 2x + 2y +186 = 0 a/x 2 + y =x-2 2xy - 2y 2 + 2x + 2y +186 = 0 [x 2 + y - 2 x-^/x 2 +y + X 2 = 4 2xy-2y 2 +2x + 2y + 186 = 0 ly/x 2 +y -X = 2 X 2 +y - x = -2 2xy - 2y 2 + 2x + 2y +186 = 0 X > -2 y = 4 + 4x 2xy - 2y 2 + 2x + 2y +186 = 0 X > 2 y = 4 - 4x 556 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> -23 + ^4417 1 + V4417 24 ,y_ 6 X = 3,y = -8 Đôi chiếu lại điều kiện thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = (3;-8); í -23 + 74417 1 + 74417 2 Í ĩ 2x+y-2 +7 y-x+1=3 Bài 38. Giải hệ phương trình < x + 2Íy Vx l)- 19 + 1 ' ' 5 y 2 +l Lời giải X>1 Điều kiện: < 2x + y - 2 > 0 . y - X +1 > 0 Bình phương hai vế phương trình đầu của hệ ta được: X + 2y — 1 + 2^(2x + y-2)(y-x + l) = 9 <=> 2Ậ2x + y -2)(y - X + l) = 10 -X -2y Ịl0-x-2y >0 [4(2x + y-2)(y-x + l) = (l0-x-2y) 2 |7ơ-X -2y > 0 Ị4y = x 2 -4x + 12 = (x-2) 2 +8 Phương trình thứ hai của hệ được viết lại dưới dạng: <=> ■ <=> • y>2 -2V^Ĩ + 2y = ^ + -^—«(V^T-l) 2 +2y--í— 5 y 2 +l ' ' v 2 +l 2 + (y - 2 ) (io^ 1 ’ 5y 2 +l 19 5 - —= 0 . + 12 ' ư7T7_i=0 = 0<=>t <=>• y-2 = 0 ( y2+1 ) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2j. X = 2 y = 2' 557 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Từ phương trình của hệ suy ra X = y (xem chủ đề hệ phương trình đối xứng Loại I). Thay vào phương trình thứ hai của hệ và đặt t = VX 2 + 2x -1 đưa về phương trình bậc hai không hoàn toàn(xem cuốn phương trình, bất phương trình vô tỷ cùng tác giả). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x;y) = Ị-l + Vô;-1 + Vó). f (x-y) 4 = 13x-4 [V x + y + yỊỉx-y = V2 Điều kiện: Lời giải (x + y>0 [3x - y > 0 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: Vx + y + V 3x-y = V 2 <=> 4x + 2^(x + y)(3x - y) = 2 [1 Ậx + y)(3x-yj = l-2xo< ~2 (x + yỊ(3x-yỊ = l-4x + 4x 2 Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X = 1 (4x-l) z =13x-4<=>| 5 . v 2 1 x = — 16 <=> o „ 1 X <=> 1 f 3x 3x 2 9x yy ) y 2 y y 1 -X vy . f 1 ^ — x -3 1 -X vy J \2 +3 1 -X yy J , n , 3x + 9 + — + — X - 3 = 21 . y yy = 0 <=> — = X + 3. y Đáp sô": ịx;y^j = ị2^;3 - 2^Ỵ Bài 42. Giải hệ phương trình |^ 2 x + V 4 x 2 + 3 j^ 3 y + ^ 9 y 2 + 3 j = 9 , „2 , 2 19 xy + x +y = 42 36 Lời giải Phương trình đầu của hệ tương đương với: 2 x 3 v3y + 1 ịy + yỊy 2 +1 j: , ^ Tr _ 2 x :1 ° y 3 ■ 2 x 9 Thay y = ~~~ vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 2 , „2 , 4 _ 2 19 _ 7x 19 , -^x + x +4x = ~4<=> —— = 4-<=> 3 9 36 9 36 IM 2 V 7 1 ÍĨ9 x ~2 V 7 1 19 .. X = --J4- ,y : 2 V 7 1 Ịũ x ~2 V 7 ,y_ I 11 3 V 7 I ÍH 3 V 7 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: M= 1 19 1 19 2 vT ; 3 \V 559 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2 2 Thay y = -^-vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 61-— 1 +51-— 1 + - = Vx 3 +1 6x 2 - lOx + 2 = Vx 3 + ĩ . X 2 - x + lj . I x + l _ V 97 -1 06 X -x + l - l)-4(x + l)= /(x + l)( 06-4, x-x+1 Vx-x+1 Vx-x+1 8 121 +V97 - V8H4 + 530V97 _ _ 121 + V97 - V8114 + 530V97 144 ’ y_ 288 121 + >/97 + >/8114 + 530v/97 I2I + V97 + ^8114 + 530^97 144 ,y_ 288 Bài 44. Giải hệ phương trình X 3 + y 3 - 6x 2 - 6y 2 + 13x + 13y = 20 X + 2-Jx 2 -y + 8 = 8 J2x + y - 4 + 2 Lời giải Điều kiện: X 2 - y + 8 > 0,2x + y - 4 > 0 . Phương trình đầu của hệ tương đương với: (x-2) 3 +x-2 = (2-y) 3 +2-y<=>x-2 = 2-y<=>y = 4- Thay y = 4 - X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X + 2Vx 2 +X + 4 = 8>/x + 2 <=> X-2 + 2Vx 2 +X + 4 = 8\/x . Nhận thấy X = 0 không là nghiệm của phương trình. Xét X >0 chia hai vế^toơngtrình chox^ta đươc: 560 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vx --^= + 2./x + l + — = 8 <=> Vx -4 + 2,, Vx V X Vx V Đặt t = Vx —phương trình trở thành: vx / \ 2 /X 2 , x X V V X / + 5=8. t + 2 Vr75 = 8 o 2 Vr+5 = 8 -1 o ^ t < 8 4Ỉt 2 + 5| = 64-16t + t~ <=> t = 2 22 <=> T /x -~J= = 2 Vx £-4 22 <=> X = 4 + 2V3 26O-22VĨ39 X = 4 + 2^3, y = -lS 260 - 22 VĨ 39 22VĨ39 - 224 ■ x =-X-,y =--- 9 9 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (4 + 2^x{ (x 3 -y 3 )V x y _x_ y + 1 = Vi-x -Ạ-y 2x 3 - y 3 + X 2 - 2y 2 - 2x - 2y + 4 = 0 Lờí giải Điều kiện: X < l,y < l,xy - X - y + 1 > 0. Nếu X = 1 => y = 1. Xét x,y < 1 khi đó phương trình đầu của hệ viết lại dưới dạng: (x 3 -y 3 Uxy-x-y + l=^ —ỵ x / — • ' yl-x+Ạ-y »(x-y) (x 2 +xy + y 2 )Vxy-x-y + l+ -- 7 — v 2 V l-x + Ạ-y 0<íí>x = y. Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ tìm được các nghiệm (x;y) = (-2;-2). 561 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: Thay X = y + 3 vào phương trình thứ nhât của hệ ta được: 2(y + 3) 2 +4y 2 _ /i j (2y + 3)(6-y) i y(y + 3) \ y(y + 3) " L _ 7y 2 +15y + 18 |-2y 2 +9y + 18 ° y(y + 3) = i y(y + 3) ^4^y(y + 3)(-2y 2 +9y + 18) = 7y 2 + 15y +18 ^16y(y + 3)Ị-2y 2 +9y + 18) = Ị7y 2 +15y + 18) 2 . . , [Í!: 1 , «8.(y-.) í (y + 2) 1 -0o[j:^ p 2 . [ỉy = l Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;-2);(4;l j. 562 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phân tích lời giải. Nhận thấy hệ có đến bốn căn thức trong đó lặp lại ^5 - X + y nên ta đặt một ẩn phụ u = ^5-x+y đặt tiếp một trong hai căn còn lại là ẩn tiếp theo vì khi đó căn thức còn sót lại cuối cùng đều biểu diễn được theo hai căn thức đã đặt ẩn phụ ở trên. Lời giải Điều kiện 5-x + y > 0,2x - y-3 > 0,2x-3y > 0. Đặt ị Ỵ 2x - 3y = 17 - 4u 2 - V 2 . |v = ự2x-y-3 Khi đó hệ phương trình trở thành Í3u-V = l jv = 3u-l Ị2V17-4U 2 - V 2 +11 = 7 2^/17-4u 2 -(3u-l) 2 =7-u <=>tv = 3u-l 0 < u < 7 <=>s v = 3u-l 413u 2 + 6u + 16j = u 2 -14u + 49 [ 53 U 2 -38u-15 = 0 4 U ^F^ =1 4: x+y= ; 4 4 x=3 ,' |v = 2 ụ 2 x-y-3 = 2 |2x-y = 7 [y = -l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;-l) ■ Bài 48. Giải hệ phương trình x + y-Jx-y +2 X +y +1 =Jx -y +3 563 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com j u = V + 2 ị u = V + 2 [VuV + 8uv + 9 = uv + 3 [u 2 v 2 + 8uv + 9 = u 2 v 2 +ÓUV + 9 fu = v + 2 Íu = 2 íu = 0 _ ^ n a , , , , . a <=> < <=> < V < . Nhưng do u,v>() nên chỉ nhận nghiệm [uv = 0 [v = 0 [v = -2 u = 2,v = 0 . <=> jv^+ỹ = 2 jx = 2 = 0 |y = 2 ' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). Bài 49. Giải hệ phương trình < —+ J3x + 2y =6y-2 (1) y 2^3x + ^3x + 2y =3x-3y + 2 (2) Lời giải Điều kiện y * 0,3x + 2y > 0,3x + ^3x+2y >0. Đặt u = sj3x + 2y => 3x = u 2 - 2y khi đó (1) trở thành —-— + u = 6y - 2 <=> LI 2 + u.y - 6y 2 = 0 . y <=> (u + 3y)(u-2y) = 0 <=> u = -3y u = 2y Với u = -3y khi đó (2) trở thành: 2^3x-3y = 3x-3y + 2 <=> Ụ3x-3y -1 j +1 = 0 (vô nghiệm). Với u = 2y khi đó ta có hệ phương trình: - Với u = 2y khi đó ta có hệ phương trình: _ ok=°V-2y J X= "Ẳ' y = 4 [2-y/3x + 2y = 3x - 3y + 2 Ị 4y = 3x_3y + 2 [x = 4,y = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị^-y^-;^j-j;(4;2). . , (x + l)“+3(x-l)Jy + l+ y + l = 0 ài 50. Giải hệ phương trình ị ^ 7x + (2 + xWy + l =5 564 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện y > -1. í u = X + 1 Đặt ị Lời giải ,(v > o) khi đó hệ phương trình trở thành VỸ+Ĩ u 2 +3(u-2)v + v 2 =0 7(u-l) + (u + l)v = 5 u 2 +3(u-2)v + v 2 =0 (1) u(7 + v) = 12-v (2) 12 -V Rút u = ——- từ (2) thay vào (1) ta được 7 + V 12 -V V 7 + v J + 3 12 - V 7 + V -2 v + v =0 <=> (l2-v) 2 -3v(7 + v)(3v + 2) + v 2 (7 + v) 2 =0 . <=> V 4 + 5v 3 - 19v 2 - 66v +144 = 0 . <=> <=> (2v 2 +5v-25) 2 =(v + 7) 2 . v = -l±VĨ7 V- + 2v-16 = 0 V 2 + 3v-9 = 0 <=> v=-f(l±^)' Nhưng do V > 0 nên v = -l + VĨ7 3 / V — — y = 17-2VĨ7 Suyra(x;y) = ( )y = 17-2x/Ĩ7;y = ^6- 2 V 5 Ị-I . Bài 51. Giải hệ phương trình Vx - 1 + a/x |3\/x - yj + xVx = 3y + yjỹ 3xy 2 + 4 = 4x 2 + x + 2y -1 Lời giải Điều kiện: X > l,y > 1 . Nếu X = 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y = 1. Xét X > 1 khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (Vx-l-Vy-l) + 3(x-y) + V^(x-y) = 0. 565 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>( x -y) - + 3 + "V X :0«>x = y. v /x-l+yy-l Thay y = X vào^hương ựình thứ hai của hệ ta được: 3x 3 -4x 2 -3x + 4 = 0^(3x-4)Ịx 2 -lj = 0 < — » x = ệ=>y = ệ. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (l;l); Bài 52. Giải hệ phương trình ■sjx - y + -Jx 2 + 4xy + 4y 2 = 9 x(x + 4y-2) + y(4y + 2 ) = 41 Lờỉ' giải Điều kiện: X - y > 0 . Đặt u = yjx - y,v = aJx 2 + 4xy + 4y 2 ,( LI, V > 0 ) khi đó hệ phương trình ữở thành: I u + V = 9 |v 2 -2u 2 =41 < u ’ v -° > U ~^ V = 7 v*-y =2 -Jx 2 +4xy + 4y 2 =7 x-y = 4 X + 2y = -7 <=> x+2y=7 X = 5 y = l 1 X = — y = - 11 1 11 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (5;l); . 3 3 ' 2 2 2 2 X +—=y +— Bài 53. Giải hệ phương trình < y X 3| 4 (x 3 +y 3 )=-2xy Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 566 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( x=y (x - y) X + y + — = 0 <=> 2 v '1 xy ) X + y + — = 0 xy THI: Nếu y = X thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2x = -2x 2 < x ^° > X = -1 => y = -1. ^ 2 TH2: Nêu X + y H-= 0 khi đó ta có hệ phương trình: xy x + y + —= 0 x y (xV-l)(xV+4) = 0 x + y + — = xy xy = 1 _xy = -y[Ị 0 ’ í x+y ;- 2 W = 1 j x - 2 jx + y = ^2 -ịíĩ + ^Ụế Ịxy = -yỊà [ y= 2 -y/ĩ + \[5\Ỉ4 x =-—-- 2 _-^/ 2 -^/ 5^/4 y = 2 567 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com , „ , [V3x+j3y=6 Bài 54. Giải hệ phương trình ị _ [v3x + 16 + ^/3y + 16=10 Lời giải Điều kiện: x,y > 0. Ta có: a/3x + 16 + ^3y + 16 > Ậ^/3x + -JỹỹỴ + (4 + 4 )“ = V = V6 2 +8 2 =10. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y=>x = y = 3. 4 4'' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;3). Bài 55. Giải hệ phương trình: < xy + XA J (i-y)\ f y 2 +1 + yVx 2 +1 + Ậx 2 + l)(y 2 + 1 ) = 1 /x 2 + 2x + 3 = x 2 + 1 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: ^y+Vy 2 + i] + Vx 2 + i(y+Vy 2 +ĩj = i (x + VV7ĩ)(y + ^) = i (l-y)Vx 2 +2x + 3=x 2 +1 (l-y)Vx 2 +2x + 3=x 2 +l - _y j V A -r A T J — A Ti 1^1 — T^AT J - x +Vx 2 + 1 = -y +v~y) 2 +ĩ J x = _ y (l-y)Vx 2 +2x + 3 = x 2 +l [(1 — y)x/x 2 + 2x + 3 =x 2 + 1 r <=> Jy = -X j(x + i)V X 2 +2x + 3 = x 2 +1 y = -x X>-1 (x + 1V (x 2 + 2x + 3 j = (x 2 + 1 j 568 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Lời giải X + 2xy > 0 Điều kiện: < X - 2xy >0^>2x>0=>x>0. 1 - 4y 2 > 0 Ềteận^âjfex =Sịịâ khâns thảa^imhèi^^ng trình. 569 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét X > 0 khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: -y/x + 2xy - yjx - 2xy = 2 2x - 2,/x 2 -4x 2 y 2 = 4 . X > 2 <^X-2 = Ậ 2 -4x 2 y 2 <^Ị X>2 [x 2 -4 X 2 - 4x + 4 = X 2 - 4x 2 y 2 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X — 1 ■ Vx 2 +4x-3-Vx 2 -4x + 4= 3 . Vx 2 + 4x - 3 - Vx 2 - 4x + 4 =3 Vx 2 +4x-3 - Vx 2 -4x + 4 3 Suy ra: / ị —— 8x- V X + 4x - 3 + V X - 4x + 4 = . = =— Vx 2 +4x-3 => 2^x 2 +4x-3 = 3\/x 2 + 4x -3 = 4x + l<=>x = 2=>y = ±- 3 : \ í 0 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm (x;yj = Ị 2;^- . l' rì Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1^2;^ . 8x -7 Bài 58. Giải hệ phương trình 1 Íx-4 V [2y + v 9 + 2, 9=9 /x - y = 4,/xỹ x-y Lời giải Điều kiện: x,y>0,x-y>0. Nhận thây X = 0 =^> y = 0 . Xét X > 0,y > 0 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: X - 4^/ỹ + 2^x^ỹ = 4^/xỹ <=>< X- 4-yịỹ +2^x-y -4^jxỹ 2y + Vx - ^x-y = 0 y l V 2 + 1 Vx + 9 x-y = 0 Jx-4 A /ỹ + 2 A /x-y =47xỹ Íx + 2 a/x =0 Jx = 0 |y = 0 |y = 0 Ịy = o' Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0j 570 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 59. Giải hệ phương trình Vx + 1 -Ạ-y = 4xy , /2 3 + Jx 2 -y 2 =x + y Lời giải Điều kiện: X * 0,x + y * 0,x > -1,^—-> 0,x 2 -y 2 > 0. X Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: / \2 / ■ = -y/x -y «• h-y) _ / 2 „2 _ ( x -y) _ 2 „2 =v x -y => , 9 =x -y ( x+ y) <=>(x-y) (x- y) -(x + y) = 0<=> ^ <=> . v 'L v ’ v ; J L x -y= x+ y Ly=° THI: Nếu y = 0 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: I —TT , X — 1 /——7 X — 1 , X — 1 "V X + 1 — 1 — . - <=> v X + 1 — .-|- 1 <=> X + 1 —-h 1 + 2 V X V X X <=>x + — -1 = 2. —— 1 <=> X V X X-1 x -x + l „ X-1 -7^ = 2 V X X V X X > 0 ^ ‘ X 2 - X + 1 X _ l <=> X ■ 1 + V 5 TH2: Nếu y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: y/x + ĩ-y/ĩ^x = iJ?—^=>2-2y/ L 21 ( X + 1 ) 2 ^T X — 1 V ) X 2 [4x 2 (l x=_1 ?cr~ =>2-2Vl-x = ——7 <=> 2 a/1-x =1 + 4. / t \2 r / 2 \ ( x + l x = - 1 X* = v „ — <=> - , 1 ' X 2 4x 2 (: 1 1 X — —-- =■ 3 6x/28- 3 V 8 Ỹ í 2 (l-x)-x-l = 0 28-3V87 Thử lại thây không thỏa mãn. 571 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 'Ỉ5 N Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ——— ;0 V J x + y =- Bài 60. Giải hệ phương trình 2 x + y r_ _ x + Vx 2 +1 , .,2 y + ơl-y Lời giải Điều kiện: -1 < y < l,y + a/i- y 2 ^0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x + y 2 1- ị x + vx + „ . . 2 Vx +1 + X-1 0 <=> X + y - . = 0 ■ X + Vx + <=> x + y . x + vx 2 +l vx 2 +l-x + l 0x1 + X + vX 2 + 1 'VX 2 +1-X + 1 = 0ox = 0 (do Vx 2 +l + x>0,Vx 2 +l-x + l>0. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y + yi-y [y + ^ỉ-y y = 0 fy = o <=> /-- <=> \/l — y 2 — 0 _y = ±l -1 = 0 <=> y ^,~ y =0. y + dl-y Suy ra (x;y) = (0;0);(0;-l);(0;lj thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = . 572 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 2 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Vx + ^y-2 = ^(x + l)(y-l)^x + y-2 + 2^x(y-2) =(x + l)(y-l) ^xy-2x + l-2^x(y-2) = 0^Ị^x(y-2)-lỊ 2 = 0^x(y-2) =1. <=> x(y - 2 ) = 1. Nhận thây X = 0 kh(Wg thỏa mãn hệ pt/ương trình nên với X ^ 0^> y = — + 2 . Thay y = — + 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 1 X- \2 + (x 2 +4x + 3) - + 2 -1 <=> 2(x + l) = 9x 2(x + l) 2 =-9x V = 81«>4(x + l) 4 =81x 2 . 1 X = — 2 : X =2 x = -,y = 4 - 5 x = 2 ’ y 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) ■ :*£ Bài 62. Giải hệ phương trình 1 + 2x - 2x 2 yỊĨ+ỹ = 4x 3 y + 7x 2 Ịx 2 (xy + 1 ) + (x + l) 2 = x 2 y + 5x Lời giải Điều kiện: y > -1. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: x 2 y(x - 1 ) + 2x 2 -3x +1 = 0 (x - l)Ịx 2 y + 2x - lỊ = 0 o THI: Nếu X = 1 thay vào hệ ta được y = -1. TH2: Nếu x 2 y + 2x-l = 0=>y = -—^í_(do x = 0không thỏa mãn hệ X 2 phương trình). X = 1 x 2 y + 2x -1 = 0 573 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com l-2x , Thay y = -—vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X 2 1 + 2x -2x 2 ịl + —^ = 4x 3 ^ + 7x 2 <^> 2x 2 Jịx-l) 2 =(l-2x |ì-2x>0 Í1 -2x > 0 ° [4x 4 (x -1) 2 = (1 - 2x) 2 X 2 ^^[4x 2 (x -1) 2 = (1 - 2x) 2 ■ x = —\= X = — Ị=,y = 2 + 2 V 2 V2 _ v2 <=> => X = 1 —\= X = 1—Ị=,y = 2 + 2 V 2 V2 L V2 <=> => X = 1 —^ X = 1 — j=,y = 2 + 2 V 2 V2 L V2 Vậy hệ phương trình / j \ 7 , (x;y)= —^-,2 + 2^2 ; 1—2=-,2 + 2^2 V v2 J V V2 có hai nghiệm là Bài 63. Giải hệ phương trình: lệ phương trình: (x-y)ịjx + 3) 2 +(y + 3) 2 + xy-2j = 3y 2 +15y + 13 [x 2 + 2x + y + 2 = 3 Lời giải Điều kiện: 2x + y + 2 > 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x + 2) 3 + 4(x + 2 ) = (y + 3) 3 + 4(y + 3)<=>x + 2 = y + 3<=>y = x- l Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2 + V3x + 1=3 <=> Ịx 2 — lj + (V3x +1 - 2Ị = 0 . 3(x-l) (x-l) ■ = 0 . + 2 <=> X- x + 1 + - = 0<=>x = l^>y = 0. V 3x +1 + 2, Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;0). 574 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > l,y > -1. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: (x 3 -y)(x-y-2Ì = 0<=> y = x . v ' |_y = x-2 THI: Nếu y = X - 2 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: Vx-1 +Vx-1 = 4<=>x = 5=>y = 3. TH2: Nếu y = X 3 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: Vx-l + Vx 3 + l= 4<=>x = 2=>y = 8 . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (5;3);(2;8). Lời giải Điều kiện: X > ^,y > -3 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: J(x-y)(x + 2) = 0 [4x 2 + 3x + 3 = 4y^y + 3 + 2 V 2 X-I Jx = y [4x 2 + 3x + 3 = 4x\/x + 3 + 2 V 2 X-I x = y (2x-Vx + 3Ị 2 +ỊV2x-l-lj 2 =0 <=> Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). 575 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chà Sề 14, KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA Nội dung chủ đề này đề cập đến phép thế lượng giác khi giải hệ. Ky thuật này tôi đã nhắc đến trong cuốn phương trình, bất phương trình vô tỷ. Mục đích cung cấp cho các em đầy đủ các công cụ khi tiếp xúc với hệ phương trình giúp phản xạ khi hệ có các dấu hiệu nhận biết phép thế lượng giác. Kỹ thuật này được nhắc lại một lần nữa trong chương 3 khi xử lý hệ lặp nhiều ẩn. A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phương trình lượng giác cơ bản: cosx = cosa <=> X = ±a + 2kĩt x = a + 2kĩt sinx = sina<=> X = 7ĩ-a + 2kxc,kGz . tan X = tan a <=> X = a + kĩt cot X = cot a <=> X = a + kít Dấu hiện nhận biết - Một phương trình của hệ có dạng: (px - a)~ + (qy - b j c 2 đặt Đặt ,a e [ 0 ; 27 ĩJ . L ,(a,| 3 e[ 0 ; 27 t]). px = a + csina qy = b + ccosa Nếu từ hệ phương trình suy ra XẼ [-a;a],y e[-b;b] X = asina y = b sin p Dạng này thường đi cùng các căn thức Va 2 -X 2 và -y/b 2 -y 2 . Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: 271 >/ 5-1 471 V 5 +I - cos—= ———;cos—=———. 5 2 5 4 71 V 6 +V 2 571 7n -.cos—= —--—;cos— =— 1 -—- cos -,cos- _ 12 4 12 4 12 Một số công thức lượng giác hay sử dụng: Công thức cộng, trừ bậc nhất: sinx ± cosx . 1 . sin X —j= ± cosx —ị= V 2 V2 \ = V 2 sin í x± - = Vĩcos ( \ 7Ĩ X + — / l 4j l 4 J 576 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com smx ± \Ỉ3 cosx = 2 - V 3 sinx ± cosx = 2 Góc nhân đôi: 1 . —sinx ± ——cosx 2 2 = 2 sin >/3 . , 1 _ sinx ± —cosx 2 2 ' V x± — 3 = 2 sin = 2cos . 7C x± — 6 '7^ x+ 6 = 2cos _ TC x + i - sin2x = 2sinxcosx;cos2x = 2cos 2 X -1 = 1 -2 sin 2 X . 2tanx . „ 2tanx „ l-tan 2 x - tan2x =-—-—;sin2x =--—-—;cos2x =-——— 1 - tan 2 X 1 + tan 2 X 1 + tan 2 X Góc nhân ba: - sin3x = 3sinx -4sin 3 x;cos3x = 4cos 3 X -3cosx . tanxị3 - tan 2 X Ị cotxícot 2 x-3 - tan3x =---;cot3x =--- 1 -3 tan X 3cot“ X -1 Góc nhân bốn: - sin4x = 4cosx(sinx -2sin 3 xj;cos4x = 8cos 4 X - 8cos 2 X +1. Góc nhân 5: - sin5x = 16 sin 5 X - 20sin 3 X + 5sinx;cos5x = 16cos 5 X -20cos 3 X + 5cosx . Tổng quát: cosnxlà đa thức bậc n với cosxvà sinnxlà đa thức bậc n với sinx (với n lẻ). B. BÀI TẬP MẪU xựi-y 2 =7 Bài 1. Giải hệ phương trình < v 4 yv/l-x 2 =1 l 4 Lời giải Cách 1 : Điều kiện: |x| < l,|y| < lđể hệ phương trình có nghiệm ta phải có X > 0,y > 0 vậy 0 x 2 Ịl-y 2 j -y 2 Ịl-X 2 j<=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: Lời giải Đặt ị a ,ía e r 0;2ĩtlj phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa v L AỊ 3sina - 4sin 3 aìÍ3cosa - 4cos 3 aì = — <=> sin3acos3a = . 578 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com . .. . Tt . TC <=> sinoa = -1 <=> a = ——+ k — 3 w Sill uu — —1 w u. —-— 1 12 Do a G [0;27ĩJ =>ae ; y^ ; Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm là: 7Ĩ lĩt llĩĩ 5 tc 19tc Ĩ2" ; T ; T2~r / \ . \ í 7T 7rt 1 Itĩ: 15tc 197Ĩ x;y = sina;cosa ,ael —(■■ v ’ v ’ [4 12 12 12 12 Bài 3. Giải hệ phương trình [V2(x-y)(l + 4xy) = V 3 1 X 2 +y 2 =1 Lời giải Cách 1: Vì X 2 + y 2 = lnên tôn tại a e |^0;2tcJ sao cho X = sina,y = cosa . Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành: V 2 (sina - cosa)(l + 4sinacosa) = V 3 . ._„ 1-t 2 Đặt t = sina-cosa =>sinacosa = —-—,te 2 Phương trình trở thành: -V2;V2 yfĩ\ r 1 + 4. 1 -ứ = V3^3V2t-2V2t 3 -V3=0. V / Phương trình này có nghiệm lẻ nên ta xử lý theo hướng khác. fi( sina-cosa)(l + 4sinacosa) = V 3 <=>4sin = s. ( K \í a-— 4 r y sin2a + sin^ =\Ỉ3 6 J <=> 8sin <=> 4cos <=> 2cos ( \ ( \ ( \ n n 1 n OL- — sin a + — cos OL- — { 4 j l 12 J l 12 J r a-- 12 a-- 12 cos—-cos 3 -4cos 'ỉa-4%-ã. V 6 ( \ n í \ - , Tt OL- — cos 2a~ — { 12 ) { 6 J = £. £ 579 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( <=> -2cos 3a -- V <=> - n _ 5n , 3a- — = — + k2n 4 6 ~ rc _ 57Ĩ 3a- — = —— +k2rc 4 6 <=> 1371 , 2rc ot = ——+ k—- 36 3 In . 2n’ a = + k—- 36 3 ,keZ. Vì a G [0;2jĩ] =^> a = I 13tĩ 37tc 6 lrt 1771 4 Itx 65tx 36 ’ 36 ’ 36 ’ 36 ’ 36 ’ 36 ị ■ Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm (x;y) = (sinot;cosa),a = | 13tc 37rt 61rt 1771 41 tx 65tc ~ 36 ’^ 6 ’~ 36 ’^ 6 ’~ 36’^6 1 ■ Nhân xét. Để giải phương trình V 2 (sina -cosa)(l + 4sinacosa) = \Ỉ3 ta có thể thực hiện cách khác như sau: 46 sin a - cos a + 2 sin a sin 2a - 2 cos a sin 2a = - 46 <=> sina - cosa + cosa - cos3a - sin3a -sina = ——. 2 Vó <=> cos 3a + sin 3a = —— <=> cos 2 A 2 Lời giải Cách 1: Nhận thấy X = +l,y = ±1 không thỏa mãn hệ phương trình: 2 y Xét x,y ^ ±1 khi đó hệ phương ưình tương đương với: 1-y 2 x Đặt X = tana,y = tanp, 2tanỊ3 a,p e 4 7Ĩ 7^4 V "2 ; 2 y 'H hệ phương trình trở thành: tana = ■ tanp = l-tan 2 P Ítana = tan2p Ía = 2p + k7t K <=> t " o' 2 tana [tanp = tan2a Ịp = 2a + lrt toi ịgto k + 21 a =--—7T n _ l + 2k p=—, 580 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com T TV n _ Tĩ Tĩ Vì a,p G ; ' 1 2 - 2 ) Suy ra (x;y)-(():());( 3; 3);( 3;- 3 ). v / v 7 \ /— /—/ V /— H .777" y . , r-\ / Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (():0);|- 3; . 3 );( 3;- 3 Ị. ,' ■ ’ _ ‘ ' , 77 v z 7 _ Cách 2: Đ ây là một hệ đôi xứng loại II nên trừ theo vê hải phương trình của hệ <=> ta được: X - y-xy 2 + yx 2 = 2y -2x <=> 3(x - y) + xy (x - y) = 0. x = y xy = -3 Xét từng trường hợp thay ngược lại hệ ta có kết quả tương tự trên. Chú ý với trường hợp xy = -3 ta cần cộng theo vế hai phương trình của hệ đưa về hệ mới dạng đối xứng loại I dễ xử lý hơn(hoặc có thể thực hiện phép thế). <=>(x-y)(xy + 3) = 0 Bài 5. Giải hệ phương trình x(l-y 2 ) = 2y ’ 7 ) = 3x-x 3 Lời giải Nhận thây y = ±l,x = ±—Ị= không thỏa mãn hệ phương trình. v3 Xét y ^ ±l,x ^ ±—j= khi đó hệ phương trình tương đương với: V3 Đặt X = tana,a e 2y y = - 2y 1 -y 2 3x-x 3 l-3x 2 ( \ K ĩĩ \ị n } ±- 2 ’ 2 V z A ) \ 6 j \ I±|j hệ phương trình trở thành: tana = ■ 1 -y tana^3-tan 2 aj l-3tan 2 a tan a = 2y 1-y 7 [y = tan3a tana =- 2tan3a 1 - tan 2 3a y = tan3a 581 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com tana = tan6a o< , Oi ly = tan3a a =- kĩĩ ae f 71. 1— ì |\Ị±7 > < —- l 2 ; 1 6j V [y = tan3a Vậy hệ phương trình có năm nghiệm là: (x;y) = (tana;tan3a),a e| 2n n n 2n I 'T ;_ 5 ; ; 5 ; yI 2n n n 2n I Bài 6. Giải hệ phương trình X 2 -y 2 = 1 4x 3 + 4y 3 = 3x 2 y + 2\Ỉ3xy + 2x Lời giải Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra X 2 = y 2 +1 > 1 => |x| > 1. Đặt X = —,ae[ 0 ; 7 ĩ]\j^j cosa L J [2] — >=>y = tana. Phương trình thứ hai của hệ trở thành: 4 . 3 . 2^3 . 2 + 4tan a = ———tan an--—tan an- cos 3 a cos 2 a cosa cosa í \ <=> sin3a + \Ỉ3 sin2a + cos2a = 3 <=> sin3a + 2sin 2a + — <=> sin3a = 1 í ^ = 3. sin 2a + -7 6 = 1 e|"0;ji 1 Tt 2 1 J > a = —^>x = —ị=^>y = —=. 6 s V3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ■ f 2 1 A Bài 7 . Giải hệ phương trình y = ^2 + ^2 - V 2 + X Lởí giải Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là: Jx,y>0 ^Joy=>x-y = ^2 + ^2-^2 + y - ^2 + yỊĨ- V 2 + X < 0 vô lý. 582 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nếu xx-y = ^2 + -^2-^2 + y - ^2 + sỊĨ- V 2 + X > 0 vô lý. Vậy X = y <=> x-^2 + ^2-yl2- Đặt X = 2cosa,a e : + x . n TC 2 ; 2 Khi đó phương trình trở thành: 2cost = ^2 + \fĩ-yj2 + 2c^ <=> 2 cos t = ^Ị2 + ^2-2cos^- . <=> 2cost =2cos TC 71 t l — 4 4 8 ( 7t tìì 2 1 + cos — V 12 4 JJ <=> TC t , - , 2n . , 1677 t = —--7 + k 2 ĩt t = ^- + k-_ 4 8 9 9 <=> 7Ĩ t 2n , 1Ó7T t = —- + - + k 2 ĩt + -- + k2Tt t = -^3- + k^— 4 8 L 7 7 Vì te -J-,J =>t = y,-y=>(x;y) = (2cost;2cost),t = |y,-y|. Í2k 2711 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2cost;2cost),t = TVT1_ £ ' A. rr-l , 1_ A , s. 1 Nhân xét. Ta có thể tổng quát cho n dấu căn: X — ■y 2 + ^2 +... + ^2 — yị2 + y y — ^/2 + -^2 +... + V 2 — 4Ĩ- (n dấu căn). Bài 8. Giải hệ phương trình (^/x(l-y)-^y(l-x)ỊỊ3 + V3) = V2x + V2ỹ Ị7xỹ + ^(l-x)(l-y)ỊỊl +V3Ị = V2x + ^2y Lở/ giải Điều kiện: 0 0,y > 0 khi đó đặt Vx = cosa ,yjỹ = cosb, Hêmhi^ghừnlvtrở thành: ; a,b e »7 w 583 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com cos 2 a(l - cos ? b) -cos 2 bí 1 - cos 2 a ] ỊVcos 2 acos 2 b + ^Ịl-cos 2 ajỊl-< í 3 + \Ỉ3) sin Ị b - a) = V2 (cos a + cos b) (1 + V3jcos(b - a) -y/ĩị cosa + cosb) j Ị 3 +V3^ = Vĩ^cosa + cosb) j (l + V3)-V2(cosa + cosb) o Í3 + V3jsin(b-a) = V2(cosa + cosb) e>< Ị 3 +V3jsin(b-a) = V2(cosa + cosbj tan(b-a) = -!= v ' V3 [ 3 + V 3 /^- a + b n = 2v2cos—:—cos — 2 2 12 1 n _n b-a = — 6 a + b cos—:— - 3 + V 3 2 . 2 V 23 1 + cos = JĨ 7Ĩ 2 6 o b-a = - 1 „ _ Tt b-a = — 6 . 7 t a + b = — 3 b-a = — 6 a = — 12 b = T 4 X = cos- 12 1+ms 6_Jĩũ! n V 2 y = cos— = -— 4 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0); .nghiệm là (x;y) = (0;0); + -2^ . V ) x + 3y 2 -2y = 0 3ó(xVx + 3y 3 Ị - 27^4y 2 - yỊ + Ị 2 V 3 - 9 ] Vx = 1 r 'i* • 2 • Lời giải Điều kiện: X > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: 584 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ỊVTxỊ +(3y-l) 2 =1 36 xVx + Ị 2 V 3 -9) Vx + 4(3y -1) 3 -3(3y - 1 ) = 0 ,^a e khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành: Đặt ÍV3x = sina [3y-l = cosa 3 6 sin 3 a ( 2 V 3 - 9 ) sma . _3 o_ „ + 4cos^ a-3cosa = 0 . 3^ 1 > £ <=> 4 V 3 sin 3 a - 3V 3 sin a + cos 3a = -2sin a . <=> V 3 sin 3a - cos 3a = 2 sin a <=> sin 3a-Ị 6 ■ sin a. <=> 3a- —= a + k27ĩ 6 3a~ —= Tt-a + k27t 6 <=> a = --7 + k7ĩ [- -1 r _ 12 _ ae|0;7c] ^ I n ln \9tl 7tĩ . kít 12 24 24 a = 7 — + - 7 - 24 2 Suy ra (x;y) ■ í sin 2 a 1 + cosa 71 771 1971 ,ae 77,- 12’24’ 24 í' Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: M' r sin 2 a 1 + cosa Ti Tn 1 9tc I ,ae 77,- 12’24’ 24 í■ c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN X 2 +y 2 =1 Bài 1. Giải hệ phương trình < 2x 2 + 3y + V 3 (2xy - 3x) 4\íd>xy - 3 Lời giải Cầch 1: Điều kiện: xy 5É £ X = sin a Đặt ị ,a e r0; 27x1 khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa L J 2sin 2 a + 3cosa + \fd> (sin2a -3sina) = 2 V 3 sin2a -3 . 585 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (- 2rì ( rì <=> cos 2a + — + 3cos l 3 J l 3 J í <=> 2cos‘ n a + — V 3 y + 3cos f rì a + -f V 3 y + 2 = 0 . + 1 = 0 « - ( \ n cos a + — V 3 J ( \ n cos a + — V 3 J = -l 2 <=> a + Ạ = n + k2n 3 a + -^- = ±- 7 - + k27i 3 3 <=> „ _27ĩ a = — + k27ĩ 3 a = ^ + k27ĩ . 3 a = -7ĩ + k27t Do a e :[0;27ĩ]=>aejy;|;7ĩj. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = (sina;cosa),a e ' Cách 2: Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: ị\Ỉ3 - 2xjỊx - rìy - -v /3 j = 0. Xét trường hợp thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có kết quả tương tự. Bài 2. Giải hệ phương trình < X 2 +y 2 =1 Ỉ3x - 4x 3 ) Í3y - 4y 3 ) = -— 4 A 1 2 Đặt I X = sin a [y = cosa Lời giải ,(a e [0;2ĩtJ) phương trình thứ hai của hệ trở thành: [ 3sina -4sin 3 a)Í3cosa-4cos 3 a) = <=> sin3acos3a = —. Ị3sina-4sin 3 aj|3cosa-4co . y. . TC . 7T <=>sin6a = l<=>a = — + k —. 12 3 Do aer0;27rl=>ae|-^-;-^;-^; L J [12 12 4 Vưy^êntoơng trình dẵ nghmmig: TC 57t 37Ĩ 1 3 tc lVrx 7 tc 1 Ĩ2~ ; l2~ : T| ' 586 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com / \ / • \ 7t 5 7t 3 tc x; y = sin a; cos a , a e 1 —; —-;—; v 7 v 7 [12 12 4 Tt 5n 3rc 13rc 17rc 77: 12 12 4 Bài 3. Giải hệ phương trình < X 2 +y 2 =1 _ / \ . / 3 3 \ 3(x + y)-4Ịx +y j = x-y Đặt Lời giải a ,(a e r0;27tl) phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa 3 L J7 3(sina + cosa) -4sin 3 a - 4cos 3 a = sina - cosa . ( - 7t 'ì ( \ 7t sina - cosa <=> sin u. s 1 1 = sin a- — l 4 ) l _ 7t 7Ĩ I 3a—- = a- — + k2tc a = k7t 4 4 «■ _ .371 . ,.7I- lĩ 5tc a = —-+k— 3a- —= —-a + k27t 8 2 L 4 4 L _ r- - -1 . L - 3tt 771 llrc 157:1 Do a e IO;27rl^> a e 10;7t;27t;—1. [ 8 8 8 8 J Vậy hệ phương trình có bẩy nghiệm là / \ t ■ \ í_ _ „ 3rx 7 tt 1 Itt 15tc1 (x;y) = 1 sina;cosaJ,a e 10;rc;27:;-— 1 8 8 s 8 Bài 4. Giải hệ phương trình X 2 +y 2 = 1 Í3x-4x 1 j + 3y-4y 3 = = 2 Đăt Lời giải [ a ,(a e r0;27tl) phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa 3 L J7 V3Í3sina-4sin 3 a j + 3cosa - 4cos 3 a = 2 <=> V3sin3a-cos3a = 2. 7X I _ TC 7t 2rt . 2n = l<^3ot-- = - + k27t»a = ^ + k^. 9 3 ( \ 7T Tí 71 f <=>sin 3a= l<=>3a--7 = -7 + k; l fij 6 2 r„ - -1 f27t 8 tc 147:1 Doae L 0;27ĩ J ^ ae |9 ; 9 ; 9 |- V||LhêmhiffingMnh ^ịha Jmhiệm,làr, 587 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í \ í . \ 2tc 87ĩ 1471 ^x;yj = ^sina;cosaJ,a G < —1. X 2 + y 2 = 1 Bài 5. Giải hệ phương trình \ , w \\- y(x-2 x 3 )(8y 4 -8y 2 +l) = ^ Lời giải Đặt ị a ,(a e r 0;27ĩl) phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa ' L 4cosaỊsina -2sin 3 ajỊ8cos 4 a - 8cos 2 a +1 j = 1. Lời giải Đặt ị a ,(a e rO;27ĩ”|] phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa 3 L 4cosaỊsina -2 sin 3 a j + 8cos 4 a -8cos 2 a +1 = sina + cosa . Lời giải íx = sina / r_-|\ , . Đặt < ,1 a e 0;27ĩ ) phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa v L 588 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4cosaỊsina -2 sin 3 a j + 8cos 4 a - 8cos 2 a = 0. Lời giải Đặt ị a ,ía e r 0;2tc 1) phương trình thứ hai của hệ trở thành: [y = cosa v L 4^3 cos a Ịsin a - 2 sin 3 a j + 8 cos 4 a - 8 cos 2 a = 1. Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Đặt j 5 a , a e r0;2jt]\< 0 ;tc;2tc;^-;^- i phương trình thứ hai của hệ trở thành: Ịy = cosa t L J 1 2 2 (16sin 4 a -20sin 2 a + 5Ì(l6cos 4 a -20cos 2 a + 5 ) = ——ỉ-. ' /V / sinacosa Lời giải Điều kiên: XV ^0. 589 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt |x = sina [y = cosa ae[0;2n]\jo; Tự,2ĩự,^-r K 2 2 s ) + (' ^16sin 4 a-20sin 2 a + 5 ) + (lócos 4 a-20cos 2 a + 51 = phương trình thứ hai của hệ trở thành: )=V- + -2-. / sina cosa <=> sin5a + cos5a = sina + cosa r \ _ 7t Ti 0 sin 5a + — = sin a + — 0 l 4; l 4 J a = k- Đặt IX = cosa ly = cosb Lời giải ,Ịa,be [ơ;7tjjhệ phương trình đã cho trở thành: cosa + x/l-cos 2 b =1 Ịcosa + sinb = l cos b + \fỉ - cos 2 a = V 3 Ịcosb + sina = V 3 Nhân chéo hai phương trình của hệ ta được: V 3 (cosa + sinb) = sina + cosb <=> V 3 cosa - sina = cosb - V 3 sinb . ( \ ( \ n , n <=> cos a + — = cos b + — <=> l 6 J l 3j Tí I Tí 1 —_ a + — = b + — + k 27 t 6 3 a + —■ = -b - -7- + k 27 t 6 3 Do a,b e r0;7x1 => a - b = Tl thay vào phương ttình thứ nhất của hệ, suy ra: L J 6 7t 1 V 3 >x = —,y = . 3 6 2 2 a = — ,b = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = í Là v 2 ; 2 590 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 -y 2 X =--— t 2 Bài 12. Giải hệ phương trình < 1 + y 1 -x 2 y= 2 . 1 + x 2 Đặt X = tana,a e r K 2’2 Lời giải hệ phương trình trở thành: 1 -y 2 tana =— ± — 1 -y 2 1 + y 2 tan a =-— <=H ọ 1 + y 2 ^ 1 — tan a y= 2 y = cos2a 1 + tan a tana = - sin 2 2a 1 + cos 2a 1 + h-ta+a' 2 ' V 1 + tan 2 a tana = V 2tana 1 + tan 2 a y = cos2a \2 y = cos2a tan a = 0 tan a = 1 1 tana = - 3 3^/17 + 3733 + 7l7 + 3V33 <=> [y=cos2a X = 0,y = 1 x = l,y = 0 1 x = y = ~- 3^/17 + 3^33 + 7l7 + 3T33 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: nnnm Sịt tsị aHHHHHh, m ỊSSH 5® s? tts SịSSSSSSỈ !Ễ 591 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x;y) = (0;l);(l;0); \ / \ / V / 7 2/ 1 3 |Ị 17 + 3 ,r^r 3 32 + LO LO s_ r Bài 13. Giải hệ phương trình < V .V ^F = l-y 2 A ^ = l-x 2 ‘ / xT ài 13. Giải hệ phương trình < _ . ựy f -l X 2 Lời giải Nhận thấy nếu (x 0 ;y 0 j là nghiệm của hệ phương trình thì (±x Q ;±y 0 ) cũng là nghiệm của hệ vậy ta chỉ cần xét các nghiệm không âm sau đó lấy ± ta sẽ được đầy đủ nghiệm của hệ. Đặt <1 sm ạ,(a,b efO;7tl)khi đó hệ phương ưình trở thành: [y = sinb v L Vsin 2 a = 1 - sin 2 b ịsina = cos 2 b Vsin 2 b = 1 - sin 2 a [sinb = cos 2 a • 2 1 41 • sinb = l-sin a = l-cos b. 1 1 (ì , 0 sin b = 1 - 1 - sin b I <——» sin b = 0 sin b = 1 sinb = >/5-1 Vậy hệ phương trình có bảy nghiệm: (x;y) = (0;l);(0;-l);(l;0);(-l;0); V5-I.V5-1ỊÍ V5-I.I-V5 _ 9 _ ĩ _ 9 _ 2 2 V / 2 2 V J -yỊs + 1. V 5 - lì (-yỊs + 1.-V 5 + 1 T 5 T •> T •> T " J I - y 2 + yVl- X 2 = 1 [(l-x)(l + ý) = 2 Cách 1: Điều kiện: -1 < x,y < 1. Đặt I X = sin a [y = sinb a,b £ 71 Tt 2 ’ 2 IV Lời giải hệ phương trình ưở thành: 592 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ísinacosb + sinbcosa = l ịsin(a + b) = l |(l -sina)(l + sinb) = 2 1^1 - sina)(l + sinb) = 2 , I Jt K a.be — 2 2 , TC a + b = — a T ư — — ■* 2 (l-sina)(l + cosa) = 2 , , n a + b = — 2 sina = -1 cosa = 1 <=>< , Tí a + b = — 2 n ■ a = -— 2 a = 0 a = 0 X = 0 b = ^ ly = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). Cách 2: Nhận thấy X = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. 2 x + 1 Xét X & 1 từ phương trình thứ hai của hệ rút ra y = —-1 = 1 — X 1 — X Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 1 1- ^x + 0 2 yX-ly x + 1 1 — X rì -X = 1<=>X -4x X +1 rì*- 1 ) + x+ y/l-x - 1 =^> X < 0. 2 1 — X Mặt khác: -4x x + 1 + x/l-x =: -4x x + 1 < x + 1 y (x -1 ) 2 rì-x _ rì-x V(x-l ) 2 l ~ x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X = 0 => y = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;l). < x + 1< l,Vx < 0 . | = 3x-x y(i-3x 2 ) = : x(l-3y 2 ị = 3y-y 3 Lời giải Nhận thây X = ±—Ị=,y = ±—Ị= không thỏa mãn hệ phương trình. v3 v3 Xét X & ±—Ị=,y ^ ±—Ị=khi đó hệ phương trình tương đương với: v3 v3 y = - X = 3x - X l-3x 2 3y-y 3 593 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com / \ K 71 \\ 7t 1 ±- 2 ’ 2 \ L L ) \ 6j Đặt X = tana,a e 3 tan a - tam a y= , , — r l-3tan a _ y = tan3a <=> m <=> <( 3y-y 3 tana = tan9a tana = ——— L hệ phương trình trở thành: k7t a 8 ,keZ. y = tan3a Vì a e 1 “3y ^ n í , Ttì ( 3rc 7t 7Ĩ „ 7t 7t 3xc ì \í ±-7>=>ae<-^ >. [6] [ 8 4 8 8 4 8 ] 2 ’ 2y Vậy hệ phương trình có bẩy nghiệm là (x;y) = (tana;tan3a),a e| 3rc 7 ĩ 7t 7t 77 371 "Y ;_ 4 ;_ 8 ; ; 8 ; 4 ; Y| Bài 16. Giải hệ phương trình |y+ 2x + 2x 3 =3x 2 y [x 2 -y 2 =-l Lời giải Nhận thây X = 0,x = ±—!= không thỏa mãn hệ phương trình. v3 Xét X^0,XÍ ±—Ị=khi đó từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: V3 _3x - X 3 x-y = ——^ ^>x-y ^0. l-3x 2 Đặt X = tana,a e Ị Từ phương ưình thứ hai của hệ ta có: 7t 7t^ \| 7Ĩ ) -- • — ±-;0 l 2 ; 2j [« j X 2 - y 2 = -l<=>(x-y)(x + y) = -l<=>x + y =--— v /v ’ x-y x + y + x- y x-y 1 tan 2 3a - 2 =^>x =-■ -— = ——=■-= —--— 2 2 x-y 2tan3a .._ . 71, 71 I 8uy ra tana = -cotoa <=> a = — + k— =^> a G \ 10 5 [ = -cot6a 3tc 7t 7t 3 tx ] ĨÕ ;_ ĨÕ ; ĨÕ ; ĨÕ 594 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là 3rc Tt 7t 3ĩtì ’ĨÕ ;_ ĨÕ ; ĨÕ ; ĨÕ| ■ (x;y) = (tana;tana -tan3a),a e |- Bài 17. Giải hệ phương trình I X 2 +4y 2 =1 16x 5 - 20x 3 + 5x + 512y 5 - 160y 3 + lOy + V 2 = 0 Đặt X = sin a Lời giải ,a e 1^0;2nJ phương trình thứ hai của hệ trở thành: [2y = cosa ^16sin 5 a -20sin 3 a + 5sinaj + Ịlócos 5 a -20cos 3 a + 5cosa j + V 2 = 0 <=> sin 5a + cos 5a = -yịĩ <=> sin I ( 7T^ 5a + — 4 Do a e[0;27 ĩ] =>aeỊ-^-; V J TC 1371 2l7t 29rc 377t I 3tt . 2ĩt . „ = -1 <=> a = + k—,k 6 z . 20 5 20 ’ 20 ’ 20 ’ 20 J ■ Vậy hệ phương trình có năm nghiệm là: (x;y)= sina; cosa ,ae 7 C 13rc 2l7t 29n 37tc 4 ' , ~2Õ'’~2Õ'’~2Õ’~2Õ ị' Lời giải Điều kiện: -1 < X < 1 . Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra X = y (xem chủ đề kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số). Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4x 3 - 3x = V 1-x 2 . Đặt X = cosa,a e [0;7tJ phương trình trở thành: 7t kĩt a = —+ — 1 8 2 3 2 . 4cos a-3cosa = Vl-cos a <=>cos3a = sina<=> a = —- 7 + kĩt 4 595 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do aG[0;7i]=>ae||;^;y|. Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (x;y) = (cosa;cosa),a e i v ’ v ’ [8 4 8 Bài 19. Giải hệ phương trình Điều kiện: 0 < x,y < 1. /1 + x/l — X 2 =y l + 2ơl-y 2 Vx - ln(y +1) = yfỹ - ln(x +1) Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: Vx + ln(x + l) = ^/ỹ + ln(y + l) (1). Xét hàm sô" f(t) = Vt + ln(t+ l) trên 1^0; +co) , ta có: f'(t) = —Í-P + —!—>0,Vt>0nên f(t) là hàm đồng biến ttên rO;+co). 2Vt t+1 L ’ Do đó (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: /l + Vl-x 2 =x l + 2vl-x 2 . 7C Đặtx = sina,ae 0;-^ khi đó phương ưình trở thành: \ĩ+ Vĩ- sin 2 a = sin a ^1 + 2 \/d- sin 2 a j <=> Vl + cosa = sina(l + 2cosa). COS-- = 0 „dn-i r ì rr a - . 3a a 2 ° 2 . [ TC Tt 1 <=> V2 cos- 1 = 2sin—:-cos- 1 ^ „ , <- L J > ae - >. 2 2 2 . 3a 1 62 sin—- = — L > L 2 V 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = Ị^;-iì;(l;l j. „. e s] 2Í3y 5 -10y 3 + 3yWx 2 + 1 = (x 2 + l)(y 2 Bài 20. Giải hệ phương trình ị \ / l )v ___ _ a/3x - 2y + J2x - y =Jỹ -yx _ XxCXX -ứứC XV vữứứC ứứứữ. OOOOữữ 'tũờũí, ũũũt ^ữõ&kxx*. 'OOOƠ MŨC tótìtìí ứôôữôôôôôíx ’(3y 5 -10y 3 + 3y)Vx 2 +1 =Ịx 2 +l)(y 2 + 1 ) 596 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: x,y > 0,3x-2y > 0,2x-y > 0. Nhận thấy X = y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X 2 + y 2 > 0 phương trình thứ hai của hệ tương đương với: x-y Ị x-y ^3x-2y + ^2x-y Vx + ^/ỹ í ! ^( x -y) 7= = 1^ =+- Ị v ^3x-2y+ ^/2x-y y /3x-2y+ ^2x-y Vx + ./ỹ = 0<=>x = y. Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 2 3x 5 -10x 3 + 3xWx 2 +1 = jVx 2 +1=Ịx 2 +ij 3 1 6x T= — = —y-4 /9 . 1 I „2 ( 2 + 1 l + x- u + x r _\ Tl Đặt X = tana,a G O;^ 1 phương trình trở thành: _ 2) cosa = 3sin2a - 4 sin 2a <=> cosa = cos — - 6a 2 TC 2 n a = —+ k — 14 7 . n , 2n a = — -k — 10 5 Tt 3rc 5 tt: 1 14 14 14 í' Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là: 597 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: Lời giải Điều kiện: X < 1,-1 < y < 1. Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra y = x(xem chủ đề hệ phương trình chứa căn thức). Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: Vl-X = 2x 2 -1 + 2xVl - X 2 . 598 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt X = cosa,a G [0;nj phương trình trở thành: Lời giải Điều kiện: -1 < X < 1 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2y 3 + y = 2^Vl-xj + Vl-X Ịy = Vl-X y = 2x 2 — 1 + 2xyVlĩx" |y = 2x 2 -1 + 2xyVĩ^ Ịy = Vl-X = 2x 2 -1 + 2xVl-x 2 (1) Để giải phương trình (1) thực hiện tương tự bài toán trên tìm được nghiệm của hệ phương trình. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1 cos^; COS 90 599 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chồ Sề 15, KỸ THUẬT HỆ SÔ BẤT ĐỊNH A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP DANG 1: HỆ sô BÂT ĐỊNH LÀ HANG sô PVllMn „ , , Ja = F(x,y) = 0 (1) Phương trình có dạng < Ịb = G(x,y) = 0 (2) Khi đó lấy a.(l) + b.(2), (trong đó a, b là các hằng sô" được xác định sau) ta được một phương trình và mục đích của ta là đưa phương trình đó về dạng tích(hay phân tích được thành nhân tử). Thông thường lây a = 1 hoặc b = 1 . Nếu F(x,y) bậc cao hơn G(x,y) khi đó lây (l) + k.(2) . Thông thường việc dùng hệ số bất định mục đích chúng ta hướng tới là đưa về các đẳng thức có dạng sau: Dang 1: qỊmx + nvỊ~ + p(mx + nv) + À - 0 . Dang 2: (x + a)~ = (y + b) 3 hoặc (ax + b)' =(cx + d) 3 . Dang 3: (x + a) 4 = (y + b) 4 hoặc (ax + b) 4 = (cy + d) 4 . Chứ v: - Hệ phương trình bậc hai giải được bằng phương pháp hệ sô" bâ"t định. - Nếu trong hệ phương trình có đa thức bậc cao nhất là bậc 2 ta nghĩ đến dạng 1, nếu đa thức cao nhâ"t là bậc 3 ta nghĩ đến dạng 2 và nếu đa thức bậc cao nhâ"t là 4 ta nghĩ đến dạng 3. - Nếu cả hai phương trình của hệ đều viết lại được thành phương trình bậc hai của X hoặc y ta thử cho các hệ sô" của hai phương trình tỷ lệ với nhau (xem dạng 2). - Hạn chê" của phương pháp này là việc đồng nhất hệ sô" để tìm các hệ sô" bâ"t định ở trên lại đưa về giải một hệ phương trình nhiều ẩn, các bước tính toán phải hết sức cẩn thận và như vậy việc giải bài toán bằng phương pháp này làm ngược lại tư duy giải hệ. DANG 2: HỆ sô BÂT ĐỊNH LÀ BIÊU THỨC CHỨA BIÊN n . lMn ' f . , Ja = A(x,y) = 0 Hệ phương trình có dạng ( Ị B = B(x,y) =0 Trong đó A(x,y) có bậc cao hơn bậc của B(x,y). Trường hợp hệ sô" bất định là ^^ì^ịícchứaBiếni^: ta lấy Ạj+JSÍJU^)-B , (với PÍẴ, ỵL= 600 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com p(x,y) = ax 2 + by 2 + cxy + d ) mục đích là đưa phương trình A + p(x,y).B = 0 phân tích được thành nhân tử. Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình ít nhất là hai cặp nghiệm phân biệt chẳng hạn là (x;y) = (m;n);(p;q) . Việc tìm nghiệm này bằng cách thử các giá trị đặc biệt của ẩn như 0;±ị;±l;±2;±3;... 2 Bươc 2: Xác định mối liên hệ giữa hai nghiệm đó bằng cách xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trên là: A : (n-q)x-(m-p)y + mq-np = 0 . Mục đích của chúng ta là phân tích phương ưình A + p(x,y).B sao cho có nhân tử chung (n-q)x-(m-p)y+ mq-np . „ m-p mq-np , n-q mq-np _ , . Bươc 3: Thay x = — ——y- ——— hoặc y = — —l x + ——— vào hai n-q n-q ' m-p m-p phương trình của hệ ta được |A = A 1 (x,y) lB = B 1 (x,y) Khi đó biểu thức chứa biến(hệ số bất định ở đây) là p(x,y) = - Aj(x,y) B^x.y) Ưu điểm: Bài toán có thể giải theo rất nhiều cách với mỗi hệ sô" p(x,y) xác định ta có một cách. Han chế: Phương pháp này yêu cầu chúng ta phải đoán trước được ít nhất hai nghiệm của hệ và dễ mắc sai lầm trong khi tính toán. Trong chủ đề này đề cập lại 1 số hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát đã biết cách giải trong chủ chương 1 hoặc chủ đề 1 trong chương 2. Với hy vọng cung cấp cho bạn đọc nhiều hướng tiếp cận khác nhau với một bài toán hệ phương trình. B. BÀI TẬP MẪU 2 2 1 X +y =7 Bài 1. Giải hệ phương trình < 5 2 57 4x + 3x + 3xy + y = — l 25 Nhận xét. Đây là hệ phương trình bậc hai hai ẩn dạng tổng quát ta dễ dàng xử lý được bằng kỹ thuật đưa về hệ bậc nhất hai ẩn đề cập ữong chủ đề 1. Dưới đây trình bày lại lời giải bài toán bằng kỹ thuật hệ số bất định. 601 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Cách 1; Viết lại hệ dưới dạng X 2 +y 2 - ị = 0 5 ( 1 ) 4x 2 +3x + 3xy + y-^ = 0 (2) Lấy a.(l) + b.(2) (trong đó a,b là các hằng số xác định sau) theo vế ta được 2.2 1 X +y 5 + b 9 „ 57 4x +3xy+ 3x + y-^ 25 = 0 . 4b 'ì 2 3b <=> a 1 + — X + —xy + y A a J a + b(3x + y) -ỉ-|b = 0. Ta tìm các hằng số a,b thích hợp sao cho ( . 4b^ 1 + — X 2 +—xy + y 2 =k(3x + y) z , điều này tương đương với k = 1 , , 4b 1 + —= 9 <» a — = 6 l a ík = 1 j * . Chọn (a;b) = (l;2) và ta được phương trình (3x + y) 2 + 2(3x + y) - = 0 <=> 3x + y = . 5 17 3x + y ----- 5 Với 3x + y = Ỷ ta có hệ phương trình: 3x + y = . 5 2.2 1 X +y =4. 5 y =.-3x 5 0 42 44 10 x 2 -^fx+ỊỊ=0 5 25 <=> 2 1 x 5 ;y 5 11 2 x = —;y = — 25 25 17 Với 3x + y = —— ta có hệ phương trình: 17 3x + y = 5 2.2 1 X +y =2- 5 „__Ị7 y = ——-3x 5 ,„ 2 , 102 284 _ A lOx + 2-122 X + —1- = 0 5 25 (vô nghiệm). 602 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = -A;- . 5 5 n_ 2_ 25 ’ 25 Cách 2: Viết lại hệ dưới dạng (2x-y) 2 +(x + 2y) 2 =l (2x - y)(x + 2y) + (2x - y) + (x + 2y) = 47 • 25 Đến đây đặt ẩn phụ u = 2x - y, V = X + 2y và giải bằng phép thế. . . A = a,x 2 + b,y 2 +c,xy + d,x + e,y + f, =0 Tổng quát : Giải hệ phương trình < 2 2 1 1 1 B = a 0 x 2 + Ky 2 + c 0 xy + d 0 x + e 2 y + f 2 = 0 Ta cần tìm hằng số k sao cho A + k.B phân tích được thành nhân tử. Cách 1: Ta tìm ít nhất hai cặp nghiệm của phương ưình(thông thường là thử thay các giá trị ±2,±1,0 vào hai phương trình của hệ) giả sử hai cặp nghiệm đó là (x;y) = (m;n);(p;q) . Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là: A : (n-q)x-(m — p)y + mq-np = 0 . Gọi (a;bj là một điểm nằm trên A khác hai điểm trên. A, Khi đó tại (x;y) = (a;b j thì A = Aj ,B = Bị và hệ số k cần tìm là k =-- . Áp dụng vào bài toán trên ta biết hai nghiệm là —nên đường '2.1\ /11 2 N v5 ; 5/ \25 ; 25 y thẳng đi qua hai điểm này là A : 3x + y -. , í 7 ) 44 22 Lấy điểm A 0;-- e A khi đó A, = -2Ạ,B 1 =-Ạr. k - 2 . [ 5 ) 1 25 1 25 Như vậy với mỗi cách lấy điểm A ta lại có một giá trị của k và đưa bài toán đến rất nhiều cách giải. Cách 2: Đặt a = & 1 +ka.,,b = bj + kb 9 ,c = Cj +kc 7 ,d = dj ±kd, và e = ej + ke 2 ,f = fj +kf 2 Khi đó k(k ^ oj là nghiệm của phương trình sau: (cd-2ae)" = fc 2 -4abj|d 2 -4afj Haăp ãggCẶÚẬ gm thànỉu cềggt- 4ftlpfjã#§ỉL + bd2 #h fc ÍW «666 603 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đây là phương trình bậc ba đối với k nên luôn có nghiệm do đó hệ phương trình trên luôn giải được bằng phương pháp hệ số bất định(một trường hợp đặc biệt của hệ này đã được bàn ở hệ đẳng cấp). (x —yì +y = 3 Bài 2. Giải hệ phương trình <' ' X 2 + 2xy - 5y 2 - 5x + 13y = 6 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: I X 2 + y 2 - 2xy + y - 3 = 0 (1) Ịx 2 +2xy-5y 2 -5x + 13y-6 = 0 (2) Thử các giá trị đặc biệt ta tìm được hai nghiệm của hệ là (x;y j = (l;2j;(3;3). Đường thẳng đi qua hai điểm này là X - 2y + 3 = 0 . Lấy điểm A(-3;0) thuộc đường thẳng trên. , . A I 1 Khi đó A. = 6,B, =18 hệ sô bât định cân tìm là k =- L = —-. 11 Bị 3 Vậy lấy (1) --^.(2) theo vế ta được: X 2 + y 2 - 2xy+ y-3-^-Ịx 2 +2xy-5y 2 -5x + 13y-= 0 . <=>^-(2x-4y-l)(x-2y + 3) = 0<=> x 2y + 3 r°„- 3 V A ; L 2x - 4 y- 1=0 THI: Nếu X - 2y + 3 = 0 khi đó ta có hệ phương trình: x-2y + 3 = 0 jx = 2y-3 r x = l,y = 2 (x-y) 2 + y = 3 j(y-3) 2 +y = 3 _x = 3,y = 3 TH2: Nếu 2x - 4y -1 = 0 khi đó ta có hệ phương trình: Í2x-4y-l = 0 X = 2y+ 2 x = ~-y/Ĩ5,y \. -2 \2 <=> 2 l(x-y) +y = 3 ( 1V - 3 /77 V ' y + — +y-3 x = -^- + V15,y X L 2 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: 1 Vĩ5 2 =-1 M 604 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x;y) = (l;2);(3;3); V 2 2 , Cách 2: Đưa về hệ đẳng cấp Đặt I u = X - 1 1 X = u + 1 [v = y -2 Ịy = V + 2 Khi đó hệ phương ưình trở thành: (u-v-l) +v + 2 = 3 Ị(u + l)~ + 2(u + l)(v + 2)-5(v + 2)~ -5(u + l) + 13(v + 2) = 6 <=> ■ I u 2 + v 2 -2uv = 2u-3v I u 2 -5v 2 +2uv = 5v-u THI: Nếu V = 0khi đó u = 0^(u;v) = (0;0). TH2: Nếu V ^ 0 đặt u = tv hệ trở thành: vỊt 2 + 1 -2t j = 2t -3 vít 2 +2t-5Ì = 5-t Suy ra Ịt 2 +1 - 2t)(5 -1) = (2t - 3)(t 2 + 2t- 5 ) o 3t 3 - 6t 2 - 5t +10 = 0 . v 2 Ịt 2 +l-2t) = v(2t-3) v 2 ít 2 +2t-5) = v(5-t) <=> t = 2 Bài 3. Giải hệ phương trình jx 2 +8y 2 -6xy + x-3y-624 = 0 (1) [21x 2 -24y 2 -30xy-83x+ 49y +585 = 0 ( 2 ) Lời giải Lấy (1) + k.(2) ta theo vế ta được: X 2 +8y 2 -6xy + x-3y-624 + k(21x 2 -24y 2 -30xy-83x + 49y + 585 Ị = 0 . Với k là nghiệm của phương trình cde + 4abf = ae 2 + bd 2 + fc 2 . Với a = l + 21k,b = 8-24k,c = -6-30k,d = l-83k,e = -3 + 49k và f = -624 + 585k. 605 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì vậy (9k -11)(3lk - l)(5265k - 227 ) = 0 <=> k = 11/9 k = 1/31 k = 227 /5265 Vậy theo cách này có ba cách lấy giá trị của k và sẽ có 3 cách xử lý bài toán theo hướng trên. Bài toán này ta lấy k = 1/ 31 khi đó ta được 52x 2 + 224y 2 - 186xy -52x -44y -18.759 = 0 . 2x - 4y + 37 = 0 o (2x - 4y + 37 ) (26x - 56y - 507 ) = 0 o 26x-56y- 507 = 0 Bài 4. Giải hệ phương trình [^2x-y + 2 + • s /x + 2y-3 = 3 X 2 -y 2 -xy + 9(x + y) = 25 Lời giải Nhân xét . Phương trình đầu của hệ chứa căn nên ta bình phương hai vế của phương trình đưa về một phương trình đa thức bậc hai cùng dạng với phương trình thứ hai của hệ. Cách 1: Điều kiện | 2X ; y + ?-“ . (x + 2y-3>0 Khi đó bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được 3x + y -1 + 2^2x - y + 2 .^x + 2y - 3 = 9 . ^2^(2x-y + 2)(x + 2y-3) = 10-3x-y . 10 - 3x - y > 0 4(2x-y + 2)(x + 2y-3) = (l0-3x-y) 2 ' <=> <=> ■ 110 -3x - y > 0 1 X 2 + 9y 2 - 6xy - 44x - 48y +124 = 0 . X 2 - y 2 - xy + 9Íx + y) -25 = 0 (1) Vậy ta có hệ phương trình < |x 2 + 9y 2 - 6xy - 44x - 48y +124 = 0 (2) Lấy a.(l) + (2) theo vế ta được: (a + l)x 2 -[(a-6)y + 9a -44]x + 9y 2 + (9a-48)y +124-25a = 0 (3) . Ta sẽ tìm hằng sô" a sao cho phương trình (3) có Deltal là sô" chính phương. 606 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tính được A x =[(a-6)y + 9a-44] 2 -4(a + l)(9y 2 +(9a-48)y + 124-25aỊ = ía 2 -24ajy 2 + 2^9a 2 +70a + 362)y+ 181a 2 -792a + 1440 . Để A x là sô" chính phương ta cần có: A’ y = 0 <=> Í9a 2 + 70a + 362Ị 2 - ía 2 - 24a)(l8 la 2 - 792a + 144oỊ = 0 . Nhập phương trình này vào máy tính bỏ tính và tìm được nghiệm a = . Suy ra 3x - 4y -1 = 0 2x-y+l=0 Với3x-4y-l = 0 khi đó ta có hệ 3x-4y-l = 0 1 X 2 - y 2 - xy + 9(x + y) = 25 3x-l <=> -5x- +262x- 437 = 0 X = 13 1-Vl 4.976 388-3V14.976 V —;y = - 20 X = 131 + ^14.976 388 + 3^14.976 --ỊỊ-;y =-- 20 Í2x-y + l = 0 - Với 2x - y + 1 = 0 khi đó ta có hệ ị , , , . [x -y -xy + 9(x + y) = 25 x = l;y = 3 17... 39 ■ x 5 ;y 5 íy = 2x + l <=> < <=> [-5x 2 + 22x -17 = 0 Đôi chiếu lại điều kiện ta có ba nghiệm thỏa mãn là ' 131 + V14.976 388 + 3^14.976 (x;y) = (l;3); 17 39 5 ’ 5 20 V J Cách 2: Ngoài phương pháp hệ số bất định như trên khi nhìn vào phương trình có chứa hai căn thức mà biểu thức trong căn có dạng bậc nhất đôi với hai biến X và y nên ta có thể đặt ẩn phụ mới đưa hệ về dạng : 607 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt u = 2x - y + 2 V = ^x + 2y-3 và biến đổi rút gọn ta được ,(u,v > o) khi đó 2u 2 + V 2 -1 X y 2v 2 -u 2 +8 thay ngược lại hệ I u + V = 3 I u 4 - V 4 + U 2 V 2 + 8u 2 + 19v 2 - 73 = 0 <=> ■ |v = 3-u I u 4 +6u 3 -18u 2 -7u +17 = 0 V = 3 - u i^|Ịu 2 -iỊỊu 2 +6u-17Ị = 0 Đến đây đã đơn giản các em tìm ra u rồi suy ra V từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình. Nhân xét. Đ ôi với hệ phương trình mà phương trình của hệ có chứa căn thức ta có thể bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ để đưa về hệ đơn giản hơn. Qua bốn bài toán trên bạn đọc tự đúc rút kinh nghiệm cho mình nên sử dụng kỹ thuật hệ hệ phương trình bậc nhất hai ấn hay là hệ số bất định đối với hệ phương trình bậc hai hai ấn dạng tống quát. Bài 5. Giải hệ phương trình 2x + ^2-x + y -X 2 -y 2 = 1 2x 3 =2y 3 +l Lời giải Điều kiện : 2-x + y-x 2 -y 2 >0. Chuyển vế bình phương hai vế phương trình đầu của hệ ta được : -y/2-x + y-x 2 -y 2 = 1 -2x „ 1 x<4 2 «><1 2-x + y-x 2 -y 2 = 1 -4x + 4x 2 „ 1 x6x 2 -6x+l=0 x<' ->x : 3-V3 3 + V3 6 6 TH2 : Nếu 2x 2 + 2y 2 + 2xy - 3x - y = 0 kết hợp với phương trình (1 ) ta được hệ phương trình: Í2x 2 +2y 2 +2xy-3x-y = 0 [5x 2 + y 2 -3x-y-l = 0 xem chương 1). (đây là hệ bậc hai tổng quát đã biết cách giải 1 Hệ phương trình này có hai nghiệm không thỏa mãn điều kiện X < ^ nên loại. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ■ 3-V3. 3 + V3 , 9 _ ... . .. Í2(x + y)(25-xy) = 4x 2 + 17y 2 +105 Bài 6. Giải hệ phương trình ị 1 / [x 2 +y 2 +2x-2y = 7 Lời giải Viết lại hệ phương trình dưới dạng : y 2 - 2y + x 2 + 2x-7 = 0 (1) ịịlx + 17 )y 2 + 2 ỊX 2 - 25jy + 4x 2 - 50x +105 = 0 (2) Cả hai phương trình của hệ được viết lại dưới dạng phương trình bậc hai của y. Ta có một kinh nghiệm nhỏ là thông thường cho hệ số hai phương trình tỷ lệ với nhau để tìm nghiệm. Cho hệ số các phương trình tỷ lệ với nhau ta được: 2x +17 _ z \ x ~ ZJ j _ 4x--50x + 105 1 ” -2 x 2 +2x-7 Thay X = 2 vào hai phương trình của hêtrên ta đươc : <=> X = 2. 609 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com J y 2 — 2y +1 = 0 I Ì2lỊy 2 -2y + lỊ = 0 =>k= 21 ’ Lấy (1) -^—.(2) ta được : 21 Ịx - 2)|2y 2 + 2xy + 4y - 17x - 12óỊ = 0 X = 2 2y 2 + 2xy + 4y- 17x —126 = 0 THI : Nếu X = 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 4 + y 2 +4-2y-7 = 0<=>y = l. TH2 : Nếu 2y 2 + 2xy + 4y - 17x -126 = 0 ta có hệ phương trình : 12y 2 + 2xy + 4y -17x — 126 = 0 (3) Ị X 2 + y 2 + 2x-2y - 7 = 0 (4) Lấy 3.(4) - (3) theo vế ta được : 3x 2 +y 2 -2xy + llx-10y +105 = 0 <=> Ịx - y + 5Ị + 2x 2 + X + 80 = 0 (phương trình vô nghiệm). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l). Bài 7. Giải hệ phương trình: 2.2 1 x+y-x+y=L \ w 2 ,(x, ye ]R). (x + y)(l7 - 4xy) = 6x 2 + 8y + y Lời giải Viết lại hệ phương trình dưới dạng: A = x 2 +y 2 - x + y-^=0 (1) B-4x 2 (2y + 3) + (8y 2 -34Ịx + 21 - 18y = 0 (2) I \ __i Ả _.4___ Lấy 2.(1) - (2) theo vế ta được: í 1 N r- 2.2 t x+y-x + y-2- V 2 4x 2 (2y + 3) + (8y 2 - 34Ì X + 21 -18y = 0 . 610 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> -2(x + y-l)(4xy + 5x-y-ll) = 0<=> y = 1 - X 4xy + 5x-y-ll = 0 THI: Nếu y = 1 - X thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: X- + 1- (l-xf-x + (l-x) = h <=>2x 2 -4x + —= 0<=> 1 X = — 2 . 3 : X = — 2 1 X = — 2 1 y = « 3 X = — 2 y = - 1 TH2: Nếu 4xy + 5x-y-ll = 0 với X = không thỏa mãn hệ phương trình. Với X ^ — rút được y = ——— thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 4 ' 4x -1 x 2 + ll-5x V 4x -i J -x + - ll-5x 1 4x -1 2 «• 2x 2 (4x -1) + 2 ( 1 1 -5x) - 2x(4x - 1 ) + 2 ( 1 1 -5x)(4x - 1 ) = (4x - 1 ) . <=> 32x 4 - 48x 3 + 12x 2 -116x + 219 = 0 (vô nghiệm). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (x;y) = 3 __Ị_ 2 ’ 2 Nhận xét. Câu hỏi đặt ra là tại sao ta tìm được hai nghiệm như trên. Cái này dựa vào kinh nghiệm vì bài toán này không cho phép ta thế để đưa về phương trình đa thức rồi dung Casio tìm nghiệm. Có cách tìm nghiệm như sau: Trực quan ta viết lại phương trình đầu của hệ trở thành: 611 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com í 0 l ( 0 X- + y + — l 2) { 2) = 1 : 1 X-H 2 1 y+ ị <1 Oi <1 1 _3 -2- ị a <=> 15a - 6b - 6ab + 29 > 29 -15 - 6 - 6 = 2 > 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Cách 2 : Từ phương trình thứ hai của hệ ta được / \2 / N.2 Í2x + iỊ 2 <9 [-2<| ' <=> < v ' v ' |(2x-l)<9 l-l 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất tại y = 25 - 4x- ÌUIV ỉỉỉỉti v XUI y — , , . 2(4x + 17j Giá trị nhỏ nhất bằng A (4x 2 - 25 Ị 2 -4(4x + 17)Ị^4x 2 -25x+ 1 ^" 4a = 4(4x + 17) 2x 4 -8x 3 -9x 2 +160X-145 2(4x + 17) 613 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy ta phải có - 2x 4 - 8x 3 - 9x 2 + 160x -145 > 0 . 2(4x + 17) <=>(x-l)|2x 3 -6x 2 - 15x +145 j > 0,Vx e [~2;lj 1 , I X -1 < 0 <=>x = l=>y = 2-vì 2 12x 3 -6x 2 - 15x + 145 > 0 ,Vxe[-2;l] . í ị\ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1 1;2- . Cách 3: Tương tự trên ta tìm được -2 < X < 1,-1 < y < 2 . Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: (x + y)(25-4(xy + x-y)) = ^ + 21y 2 . Thay 4(x - y) = 7 - 4x 2 - 4y 2 từ phương trình thứ hai của hệ vào ta được: (x + y)Ịl8 + 4Ịx 2 +y 2 -xyỊỊ = ^ + 21y 2 . <=> 4x 3 +18x - ^ + 4y 3 - 2 ly 2 + 18y = 0 (1). Xét hàm số" f(x) = 4x 3 +18x- — trên đoạn T-2;ll và g(y) = 4y 3 -21y 2 + 18y 4 ■ L J trên đoạn [-l;2]tacó f(x) + g(y)<0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1, y = ^ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1, y = i . X = 1 Vì vậy (1) <=> < I . [ y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = f 1;-^- 'í A f ~\: 2 : £ „1__. Bài 9. Giải hệ phương trình: [x 2 + y 2 + 2xy -2x+y-9=0 2x + 8 + V2x +1 = 4y 2 -Ìy + Ạy-Ì ,(x,y gM). 614 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải 1 I Điêu kiện: x>— ,y> — . 2 2 Viết lại hệ phương trình dưới dạng: jx 2 + y 2 + 2xy -2x+y-9=0 |V2x +1 - ^2y -1 + 2x + 8 - 4y 2 +3y = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: V2x + 1 - y]2y-l + X 2 - 3y 2 + 2xy + 4y -1 = 0 . Nhận thấy X = -^,y = 2 không thỏa man hệ phương trình. Xét X ^ —^-,y ^ 2 thực hiện nhân liên hợp đưa phương trình về dạng tương đương: <=> ^±2g_ + (,- y + .)(x + 3 y -l) = 0. <=> (x-y +1) . . + X + 3y -1 V2x + l+y2y-l y = 0 ( 1 ). „ _ 1 _ 1 Do x>—-,y>— nên: 2 2 ->0;x + 3y-l>0: r - 7 r - 7 ” —r r -- r -- V2x + 1 + y2y -1 V2x + 1 + yJ2y -1 Do đó (l)<=>x-y + l = 0<=>y = x + l. Thay y = X +1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (x + l) 2 +2x(x + l)-2x + (x + l)-9 = 0 . X = 1 + x + 3y-l>0. X 2 + <=>4x + 3x-7 = 0<=> 7 : X = —- 4 x = l,y = 2 7 3 (chỉ nghiệm (l;2) thỏa x = --,y = -- 4 4 mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x;y) = (h2). 615 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận xét: Cơ sở của lời giải bài toán dựa vào kỹ thuật hệ số bất định như sau: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: |a = X 2 + y 2 + 2xy-2x + y- 9 = 0 (1) Ịb = V2x +1 - ^2y -1 + 2x + 8 - 4y 2 + 3y = 0 (2)’ Nhận xét: Dự đoán V2x +1 = ^2y-l <=> y = X +1 khi đó A = x 2 +(x + l) 2 +2x(x + l)-2x + (x + l)-9 = 4x 2 + 3x-7 < B - 2x + 8 - 4(x + l) 2 + 3(x + l) = -4x 2 - 3x + 7 Hệ số bất đỉnh k = = 1 tức là ta thực hiện phép toán lấy (1) + (2) theo vế B như lời giải trên. Bài 10. Giải hệ phương trình [x 3 -y 3 =35 Ỉ2x 2 +3y 2 =4x-9y Cách 1: Viết lại hệ dưới dạng Lời giải [x 3 -y 3 -35 = 0 (1) [2x 2 + 3y 2 -4x + 9y = 0 (2) Lấy (1) + k.(2) theo vế ta được: x 3 -y 3 -35 + kÍ2x 2 + 3y 2 -4x + 9yỊ = 0 . <=> X 3 + 2kx 2 - 4kx - y 3 + 3ky 2 + 9ky - 35 = 0 (3) . Ta sẽ tìm các hằng số k,a,b sao cho (3) <=> (x + a) = (y + b j Khai triển đồng nhất hệ số ta được a 3 -b 3 =-35 3a = 2k 3a 2 = -4k k = -3 a = -2 b = 3 Suy ra (x-2) 3 =(y + 3) J <=>x-2 = y + 3<=>x = y + 5 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2(y + 5) 2 +3y 2 -4(y + 5) + 9y = 0 . <=>5y 2 +25y + 30 = 0«> y= = _y = -2;x = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2; —3);(3; —2) . 616 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 2: Đặt u = x + y,v = x- y đã được nhắc đến trong chủ đề đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu. Bài 11. (VMO 2010) Giải hệ phương trình: X 4 - y 4 = 240 x 3 -2y 3 =3(x 2 -4y 2 Ị-4(x-8y) ' Viết lại hệ dưới dạng Lời giải [x 4 -y 4 -240 = 0 (1) |x 3 -2y 3 -3x 2 + 12y 2 +4x-32y = 0 (2) Lấy (1) + k.(2) ta được: X 4 -y 4 -240 + kíx 3 -2y 3 -3x 2 + 12y 2 + 4x - 32yỊ = 0 (3) Ta sẽ tìm các hằng số a,b,k sao cho (3) <=> (x + a) 4 = (y + b) 4 . Đồng nhất hệ sô" ta được k = -8;a = -2; b = -4. Suy ra (x-2) 4 =(y-4) 4 <=> X = y-2 X = 6 -y Với X = y - 2 thay vào (1) ta được 8y 3 - 24y 2 + 32y + 224 = 0 . <=> (y + 2)(8y 2 -40y + 112) = 0^y = -2 => X = -4 . - Với X = 6-y thay vào (1) ta được y -9y 2 + 36y-44 = 0 . <=> (y -2)Ịy 2 - 7y + 22 j = 0<=>y = 2=>x = 4 . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (4;2);(-4;-2) . Bài 12. Giải hệ phương trình (x 2 +2y 2 =xy + 2y 1 2x 3 + 3xy 2 =2y 2 +3x 2 y Viết lại hệ phương trình dưới dạng Lời giải r x 2 +2y 2 -xy-2y = 0 (1) 2x 3 + 3xy 2 - 2y 2 - 3x 2 y = 0 (2) Tìm hê sô bất đinh: Thử các nghiệm X = ±2,±1,0 vào hệ ta thây hệ có hai nghiệm là (x;y) = (0;0];(l;l] nên đường thẳng đi qua hai điểm này là y = x. 617 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt A = x 2 +2y 2 -xy-2y;B = 2x 3 +3xy 2 -2y 2 -3x 2 y . Thay X = yvào hai biểu thức trên ta đượcAj (x, y) = 2y 2 - 2y = 2y (y -1 j và B 1 (x,y) = 2y 3 -2y 2 =2y 2 (y-l). _ ,, , . . ,. A,(x,y) 1 Do đó hệ sô bât định là p(x,y) = . B^x.y) y Vậy để có nhân tử chung ta thực hiện phép tính (2) - y.(l). - Với y = 0=>x = 01à một nghiệm của hệ. - Xét y 0, Lấy (2) - y.(l) theo vế ta được: 2x 3 + 3xy 2 - 2y 2 - 3x 2 y - y íX 2 + 2y 2 - xy - 2y) = 0. <=> 2x 3 - 2y 3 - 4x 2 y + 4xy 2 = 0 <=> (x - y)fX 2 -xy + y 2 j = 0 x = y X 2 -xy + y 2 =0 o ọ Nhưng do y ^ 0 nên X - xy + y = x-ỉ V 2 y 3y + —— > 0 vì vậy X = y . Thay vào phương trình (1) ta được: 2y = 2y <=> y = l,(y ^ 0) X = 1 . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;ơ),(l;l). Bài 13. Giải hệ phương trình Ịx 3 -3x + 2 = y 3 +3y 2 [x 2 +3y 2 +x-y = 2 Tini hê sế hất đinh: Tìm được các nghiệm của hệ phương trình (x;y) = (l;0);(-2;0). Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là y = 0 . Thay ngược lại hai phương trình của hệ ta được: Aj(x,y) = X 3 -3x + 2 = (x-1)~ ( x + 2 ) Bj(x,y) = X 2 +X-2 = (x-l)(x + 2) Suy ra p(x,y) = - = - (x - 1 ) . B 1 (x,y) v ’ 618 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Viết lại hệ dưới dạng ị** - 3x + 2 - y 3 - 3y2 ■ 0 (1) . ( x 2 +3y 2 +x-y-2 = 0(2) Nhận thấy X = 1 => y = 0 thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X * 1 khi đó lấy (1) - (x -1).(2) theo vế ta được X 3 -3x + 2-y 3 -3y 2 -(x-l)Ịx 2 +3y 2 +x-y-2Ị = 0 . 2 2 l 2 n. \ y — 0 <=>-3xy + xy-y -y = 0<=>y y +3xy-x + l =0<=> ' ' |_y 2 +3xy-x + l = 0 - Với y = 0 thay vào (2) ta được x 2 +x-2 = 0<=> 2 , , ,, . _ , , íy 2 + 3xy-x + l = 0 - Với y +3xy-x+ 1 = 0 khi đó ta có hệ phương trìnhl [x 2 +3y 2 +x-y-2 = 0 Hệ này thực hiện cách tương tự dạng 1 ta có kết quả: Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm: Bài 14. Giải hệ phương trình: 7x 3 - y 3 - 24x 2 + 25x - 3xy (x + y) - y -10 = 0 7x 2 + 4xy - lOx + y 2 - 2y + 3 = 0 Lời giải Nhân vào hai vế của phương trình thứ hai với -(x-y-2)rồi cộng theo vế với phương trình thứ nhất của hệ, ta được: 7x 3 -y 3 -24x 2 + 25x-3xy(x + y)-y-10 -(x-y-2)Ị7x 2 +4xy-10x + y 2 -2y + 3Ì = 0 <^>2x-2y-4 = 0<^>x = y + 2, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 619 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 12y 2 + 24y + ll = 0«>y = -l±-^-^x = l±^- 6 6 Thử lại thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) : ' , , , -VP -1+ ;l± ; r Bài 15. Giải hệ phương trình: x 4 +2(3y + l)x 2 +Ị5y 2 + 4y + llỊx-y 2 +10y + 2 = 0 y 3 + (x-2)y+ x 2 + x + 2 = 0 Tini hê số bất đinh: Nhân thây hê có hai nghiệm (x;y) = (-1;1 );(2;-2) nên đường thẳng đi qua hai điểm này là y = -X . Thay ngược lại hai phương trình của hệ ta được: A 1 (x,y) = (x + l) 2 (x-l)(x-2) A (x,y) ■ ' => p(x,y) - - 1 =x-l ■ B 1 (x,y) = -(x + l) 2 (x-2) B i (x ’ y) Ta có thể nhân vào hai vế của phương trình thứ hai với x-1 hoặc (-y)-l = -(y + l) ở đây ta lựa chọn y + 1 để xuất hiện một đa thức cùng bậc với đa thức ở phương trình thứ nhất. Lời giải Viết lại hệ dưới dạng: X 4 + 2(3y + l)x 2 + (5y 2 + 4y +1 lỊx - y 2 + lOy + 2 = 0 (1) y 3 +(x-2)y + x 2 +x + 2 = 0 (2) Nhận thấy y = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với y 5* -1 khi đó lấy (1) - (y +1).(2) theo vế ta được: (x + y)(x-y + 2)íx 2 -2x + y 2 +3y + 5Ì = 0 . Với X = -y thay vào (2) ta được (y + 2)(y-1)“ = 0 <=> Với x = y-2 thay vào (2) ta được (y-1)~(y + 4j = 0 <=> y = -2 X = 2 y = 1=>X = -1 y = l=>x = -l y = -4 => X - -6 620 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Với X 2 -2x + y 2 + 3y + 5 = 0<=>(x-l)~+Ịy + -^ +J = 0(vôlý). V 2 / 4 Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là (x;y) = (-l;l);(2;-2);(-6;-4) . .. . . 1 xy - X + y = 3 Bài 16. Giải hệ phương trình ị [4x 3 + 12x 2 +9x = -y 3 +6y + 5 Lời giải Cách 1; Hệ phương trình đã cho tương đương với: 3xy-3x + 3y = 9 (1) 4x 3 +12x 2 +9x = -y 3 +6y + 5 (2)‘ Lấy (2) - (1) theo vế ta được: 4x 3 + 12x 2 + 12x + 4 = -y 3 + 3xy + 9y . <=>4(x + l) 3 +4y 3 =3y 3 +3xy+ 9y. <=>4(x + l + y)Ịjx + l) 2 -y(x + l) + y 2 j = 3y|y 2 +x + 3j. Thay X = xy + y - 3 vào vế phải của phương trình trên ta được: 4(x + l + y)ựx + l) 2 -y(x + l) + y 2 j = 3yỊy 2 + xy+ yj. <=> (x + y + l)Ị^4(x +1) 2 - 4y (x +l) + 4y 2 j = 3y 2 (x + y + l). <=>(x + y + l)(2x + 2-y) =0<=> _ v A ’ |_y= 2x+2 THI: Nếu y = -1 -X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x(-l-x)-x-l-x = 3<=>x 2 + 3x + 4 = 0(vô nghiệm). TH2: Nếu y = 2x + 2 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x(2x + 2)-x + 2x + 3 = 3<=> 2x 2 + 3x -1 = 0. 3 + VĨ7 r 3 + VĨ7 _ 1-VĨ7 x =-— 1 — x =-—-—,y = — 4 4 2 -3 + VĨ7 -3 + VĨ7 1 + VĨ7 x =-—^— x =-—^—,y = —f— 4 L 4 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: SK ss ÍSị SỈS: 'sị í® ss SịSSSSSSỈ !S 621 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com M 3 + yfn _ 1 - VĨ7 \ ị -3 + VĨ7 _ 1 + VĨ7 « ’ z 9 " 9 T 4 2 4 2 Cách 2: Nhận thấy X = -1 không thỏa mãn phương trình. X + 3 9 Xét X & -lrút y = —-^-thay vào phương ưình thứ hai của hệ ta được: x + 1 4x 3 + 12x 2 + 9x = - ^x + 3^ 3 x + 1 , £ X + 3 , c + 6 ,—^- + 5 . x + 1 «• (x 2 + 3x + 4)(2x 2 + 3x - lỊ 2 = 0 2x 2 + 3x -1 = 0 Cách 3: Hệ phương trình đã cho tương đương với: y(x + l) = x + l + 2 ■ 4 , 4(x + lj -3(x + l) = -y 3 +6y + 6 Đặt t = X + 1 hệ phương trình trỏ thành: íyt = t + 2 íyt = t + 2 [4t 3 - 3t = -y 3 + 6y + 6 ^ [4t 3 + y 3 - 3(t + 2 ) -6y = 0 ■ Jyt = t + 2 Ịyt = t + 2 ^[4t 3 +y 3 -3yt-6y = 0^|4t 3 +y 3 -3y(t + 2) = 0‘ 3 + VĨ7 X = — 4 -3 + VĨ 7 ' X = ———— 4 <=> Jyt = t + 2 Ịyt = t + 2 [4t 3 + y 3 -3y 2 t = 0 0 |(t + y)(2t -y) 2 = 0 y = -t _y = 2 t . [ỹ =t +2 Nhân xét. Cách 3 tự nhiên hơn cách 1 nhưng cùng một ý tưởng đó là phép thế. Cách 4: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x + l)(y-l) = 2 4(x + l) 3 -3(x + l) + (y-l) 3 +3(y-l) 2 -3(y-l)-ll = 0 Đặt ẩn phụ u = x + l,v = y- lsau đó dùng phép thế. c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 622 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com «x:i ; 1,0 n u lMn „ ^ , Jx 2 + 2x y + 2 y 2 + 3x = '0 (1) Bài 1 . Giải hệ phương trình: < { xy+y 2 + 3y + l = 0 (2) Lời giải Lấy (1) + 2.(2) theo vế ta được (x + 2y) 2 + 3(x + 2y) + 2 = 0 x + 2y = -l X + 2y = -2 (x;y) = Ị-3±V2;l + V2); ( -3 ± ~J 5 mS] 2 V / Cách khác: Xem phương pháp giải hệ đẳng cấp. Bài 2 , Giải hệ phương trình - X 2 + xy + y 2 = 3 (1) X 2 +2xy-7x-5y + 9 = 0 (2) Lời giải Lấy (l) + (2) theo vế ta được (x + y-2^2x + y - 3 ) = 0 . Đáp số. (x;y) = (l;l);(2;-l) . Bài 3. Giải hệ phương trình • x 2 y + xy 2 +x-5y = 0 (1) 2xy + y 2 -5y + l = 0 (2) Lời giải Lấy (l)-2.(2) theo vế ta được (x + y -2)(xy - 2y + 1 j = 0 . Bài 4. Giải hệ phương trình - X 2 -3x + 2y 2 +2xy = 0 (1) xy(x + y) + x 2 +3y 2 -2x-3y + l = 0 (2) Lời giải Lấy (2)-(l) theo vế ta được (x + l)Ịxy + y 2 - 3y + lj = 0. Bài 5. Giải hệ phương trình • x 2 +x + y 2 -3 = 0 (1) X 2 -2y 2 -xy + y + l = 0 (2) Lời giải Lấy 2.(1) +(2) theo vế ta được (x -l)(3x - y + 5 ) = 0 . Hoặc lấy 5.(1)+ 13.(2) theo vế ta được (2x -3y + l)(9x + 7y - 2 ) = 0 . 623 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hoặc lấy (l)-(2) theo vế ta được (y +1 + 3y - 4 ) = 0 . Lời giải Lấy (1) + 3.(2) theo vế ta được: Lời giải Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x + y-2)(x 2 +2x + y) = 0<=> y = 1 ’ x v 'V ’ [y = -x 2 -2x THI: Nếu y = 2 - X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X 2 +(2-x)~ +x(2-x) + 2x = 5(2-x). 7 _ , „ X = 1 X = l,y = 1 <=>x 2 +5x-6 = 0<=> => 3 x = -6 |_x = -6,y = 8 TH2: Nếu y = -X 2 - 2x thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 624 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 2 + (-x 2 -2xỴ + x|-x 2 -2xj + 2x = 5|-x 2 -2xj. X = 0 <=>x(x + 2)(x + 4) = 0<=> X = -2 => X = -4 Vậy hệ phương trình có năm nghiệm là: (x;y) = (0;0);(l;l);(-2;0);(-6;8);(-4;-8). Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 3x 3 + y 3 - 10x 2 + 17x - 8 = 5x - 2x 2 y . <=>(x + y-2)Ị3x 2 - xy - 4x + y 2 + 2y + 4 j = 0 y = 2-x 3x 2 - xy - 4x + y 2 + 2y + 4 = 0 THI: Nếu y = 2 - X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X 3 + (2 - = 5x <=> 6x 2 - 17x + 8 = 0 17-VÕ7 r 17-VÕ7 7 + V 97 x = - 7 — x = - 7 —,y =— ' 12 12 12 17 + VÕ7 17 + VÕ7 7 -V 97 12 L 12 12 TH2: Nếu 3x 2 - xy - 4x + y 2 + 2y + 4 = 0 <=> 3x 2 - x(y + 4 ) + y 2 + 2y + 4 = 0 . Suy ra A x = (y + 4 )” -12^y 2 + 2y + 4 Ì = -1 ly 2 - 16y-32 < 0,Vy e R nên phương trình vô nghiệm suy ra hệ vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: / X í 17-VÕ7 7 + V 97 YÍ17 + VÕ7 7 -V 97 " V / V 7 x = 0,y = 0 x = -2,y = 0 X = —4,y = —8 625 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 10. Giải hệ phương trình < [4x 2 +3y 2 =16x + 9y (2) Lời giải Lấy (1) - 3.(2) theo vế ta được (x - 4-) 3 = (3 - y) 3 <=> X = 7 - y . Thế vào phương trình thứ (2) tìm được hai nghiệm của hệ là: (x;y) = (3;4);(4;3) . Jx 3 +3xy 2 =25 (1) Bài 11. Giai hệ phương trình < [x 2 + 6xy + y 2 = 10x +6y-1 (2) Lời giải Lấy (1) — 3.(2) theo vế ta được (x-l) (x -l) 2 + 3(y - 3) 2 =0 . r _ , Ị~x = 1 X = 1 , ,2 _/ _x 2 <=> íx = l . _(x-l) +3(y-3) =0 ^|* = 3 Với X = 1 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: y 2 = 8 <=> y = ±2V 2 . Cặp nghiệm (x;y) = (l;3) không thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Lời giải Lấy (1) - 3.(2) theo vế ta được: X 3 - 3x 2 + y 3 - 6y 2 = 9 - 3x - 12y. « X 3 - 3x 2 + 3x -1 = -y 3 + 6y 2 - 12y + 8 . <=> (x -l) 3 = (2 - y) 3 <=> X -1 = 2 - y <=> y = 3 - X. Thay y = 3 - X vào phương trình đầu của hệ ta được: X 3 +(3-x) 3 =9<=>x 2 -3x + 2 = 0<=> x = l=> X = 1 ; y = ^. v ’ [x = 2 [x = 2,y = l Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;2);(2;l). 626 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 13. (VMO 2004, bảng B) Giải hệ phương trình: íx 3 +3xy 2 =-49 (1) Ịx 2 -8xy + y 2 =8y-17x (2) Lời giải Lấy (1) + 3.(2) theo vế ta được: (x + l) (x + l) 2 + 3(y-4) 2 = 0 <=> Cách khác: Xem phương pháp giải hệ đẳng cấp. -l;y = -4 -l;y = 4 Bài 14. Giải hệ phương trình: X 4 - y 4 = 1215 (1) < 2 x 3 - 4y 3 = 9(x 2 - 4y 2 Ị - 18(x - 8y) (2) ' Lời giải Lấy (1) - 6.(2) theo vế ta được: (x 4 - 12x 3 + 54x 2 - 108x + 8 lỊ - Ịy 4 - 24y 3 + 216y 2 - 864y + 129ó) = 0 . «(x-3) 4 =(y-6) 4 <=> x-3=y-6 <=> y = x + 3 y = 9-x x-3=6-y THI: Nếu y = X + 3 thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X 4 -(x + 3) 4 = 1215<=>(x + 6)(2x 2 -3x + 36j = 0cí>x = -6^>y = -3. TH2: Nếu y = 9 - X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 4 -(9-x) 4 =1215«(x-6)Í2x 2 -15x + 72Ì = 0«x = 6 ^y = 3. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (6;3);(-6;-3). Bài 15. Giải hệ phương trình |x 3 + y 3 = 91 (1) |4x 2 +3y 2 =16x + 19y (2) Lời giải Lấy (1) - 3.(2) theo vế ta được: \3 / _\3 (4-x) =(y-3) «4-x = y-3<^>y = 7-x. Thay y = 7 - X vào phương trình đầu của hệ ta được: 627 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com / „ \ 3 ^ ^ 9 _ . _ ^ r x =3 r (7-x) = 91<=>x-7x + 12 = 0<=> ữ II X _1 x = 3,y = 4 _x = 4,y = 3' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;4);(4;3). Bài 16. Giải hệ phương trình Ịx 3 - y 3 = 35 (1) [2x 2 +3y 2 = 4x-9y (2)' Lời giải Lấy (1) - 3.(2) theo vế ta được: (x-2) 3 =(y + 3) 3 <=>x-2 = y + 3<=>y = x-5. Thay y = X - 5 vào phương trình đầu của hệ ta được: x 3 -(x-5) 3 = 35<=>x 2 -5x + 6 = 0<=> X = 2 => X = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là M = (2 x = 2,y = -3 x = 3,y = -2 Bài 17. Giải hệ phương trình Í4x 2 + y 4 - 4xy 3 = 1 [4X 2 + 2y 2 - 4xy = 2 Lời giải Lấy (1) -(2) theo vế ta được: Ịy 2 - ljíy 2 -4xy-lj = 0 . — A „ _ 1 THI: Nếu y 2 = 1 <=> y = ±1 : x = 0,y = l x = l,y = 1 X = 0,y = -1 ' X = —l,y = —1 2 ^ TH2: Nếu V 2 = 4xv + l<=>x = ---,(v=£0Ì thav vào phươns trình thứ hai 4y v ’ của hệ ta được: y - 1 4y \2 2 y 2 — 1 + 2y 2 - A ,——-.y = 2 . 4y 628 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>5y 4 -6y 2 +1 = 0 <=> y = -l r x = 0 ,y = -l y — 1 x = 0,y = 1 y = ~v^ x = ử’ y = "ử' y= jĩ _ x= ~J?’ y= jĩ Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm: Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Í3xy-3x-3y = 3 [4x 3 - 12x 2 + 9x = -y 3 + 6y + 7 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 4(x -1) 3 = -y 3 + 3xy + 3y <=> 4Í X -1) 3 + 4y 3 = 3y 3 + 3xy + 3y. 629 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>4(x + y-l)ựx-l) 2 -y(x-l) + y 2 j = 3y|y 2 + x + lj. Thay X = xy - y -1 vào vế phải của phương trình ta được: 4(x + y-l)Ịjx-l) 2 -y(x-l) + y 2 j = 3y 2 (x + y-l). «(x + y-l)(2x-2-yf = 0«[ y = ^\. v A ’ |_y= 2x “ 2 Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ ta được: / X Í5-VĨ7 1-VĨ7\Í5 + VĨ7 1 + VTỹ" M = —4 ; . V J \ / X + 1 V 9 Cách 2: Rút y - từ phương trình đâu thay vào phương trình thứ hai của hệ X — 1 ta được: Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 13xy -3x + 6y = 12 [4x 3 + 24x 2 + 45x = -y 3 + 6y - 20 ' Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 4(x + 2) 3 = -y 3 + 3xy + 12y <=> 4(x + 2) 3 + 4y 3 = 3y 3 + 3xy + 12y . <=>4(x + y + 2)í(x + 2) 2 -y(x + 2) + y 2 1 = 3y|y 2 +x + 4j. Thm 2m 4 yịMgyế Mi trìr 630 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>4(x + y + 2)|jx + 2 ) 2 -y(x + 2) + y 2 ì = 3yỊy 2 +xy+ 2yj. <=>(x + y + 2)(2x + 4- y ) 2 = 0<=> y = ~ 2 X - v A ’ |_y = 2x + 4 Xét trường hợp thay vào phương trình đầu của hệ tìm được: / \ Í-7 + VĨ7 ỉ + yịĩĩM 7 + VĨ7 1-VTT x;y = —;— 7 — ; —- 7 —;— 7 — ■ v ' 4 2 4 2 V / V 7 X + 4 Cách 2: Rút y = ——— thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x + 2 Lời giải Điều kiện: Hệ phương trình đã cho tương đương với: A = 4y 2 -4y-4x-4 + ^2y-l-V2x + l = 0 (1) B = x 2 +y 2 -x-y-2 = 0 (2) Nhận xét. Dự đoán yj2y-l =^2x + l <=> y = X + 1 thay vào hai phương trình của hệ ta được: A = 4(x + l) 2 - 4(x + 1 ) - 4x - 4 = 4x 2 - 4 B = X 2 + (x +l)~ -X -(x + l)-2 =2x 2 -2 Hệ số bất định là k = - — = -2 tức ta thực hiện phép toán lấy (1) - 2.(2) theo vế: HSii. SI .ííSSS. Sẫ. s? su ÍSSSSSSSSỈ 631 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thây X = --i-hoặc y = -ì không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X > -^,y > 2 khi đó lấy (1)-2.(2) theo vế ta được: 4y 2 -4y -4x-4-2^x 2 + y 2 - X - y - 2 j + |^2y -1 - ■'./2x + ĩj = 0 . <=> 2y 2 -2y-2x 2 -2x + (V 2 y - 1 - V2x + lỊ = 0 . ^ <=> <=> 2(y _ x _ l)(y , x) + ^J_ .o. y + x + 2(y-x-l) <=> y = X +1 (vì y + X + 1 = 0 . ^2y -1 + V 2x +1 1 1 l_ n , y2y-l + v2x + l 2 2 Thay y = X +1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2 +(x + l)~ -x-(x + l)-2 = 0<=>2x 2 -2 = 0<=>x = l=>y = 2(do x>-^-). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;2). Bài 22. Giải hệ phương trình [ 2x 2 + X + Vx + 2 = 2y 2 + y + yj 2y +1 [x 2 + 2y 2 -2x+y-2=0 ,(x,yeM). Lời giải Điêu kiện: X > -2, y > Phương trình thứ hai của hệ tương đương với X 2 = -2y 2 + 2x - y + 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được X 2 + (-2y 2 +2x-y + 2) + x + Vx + 2 = 2 y 2 + y + I^2y + 1 <=> X 2 + 3x + 2 + Vx + 2 = 4y 2 + 2y + ^2y + 1 «(x + l) 2 +(x + l) + V-l. 632 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có f’(t) = 2t +1 + ị ; f "(t) = 2- - 1 ; f "(t) = 0 o t = -ị. 2vt + l 4V(t + l) 3 4 3 ^ 1 . Suyra f'(t)>f' --- - 2-> 0 với mọi t e(-l; +oo). y A) 2 Do đó hàm f(t) đồng biến trên [-1; +oo). Suy ra phương trình (1) <=> f(x +1) = f(2y) <=>x + l = 2y<=>x = 2y-l. Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được (2y-1) 2 + 2y 2 -2(2y-l) + y- 2 = 0 ^6y 2 -7y + l = 0^ 1 Suy ra nghiệm (x; y) của hệ là (1; 1), -7-; 2- ■ 3 6 Nhận xét. Để đưa đến lời giải trên ta có suy nghĩ đơn giản là hai căn triệt tiêu nhau tức '\/x _ + - 2 — +1 hay X = 2y -1 thế vào phương trình thứ hai của hệ tìm được nghiệm thây thỏa mãn. Vậy là hướng đi đã đúng. Đây là cơ sở để tìm cách cộng gộp hai phương trình của hệ một cách hợp lý và đưa về xét hàm số như trên. Một số bài toán cùng dạng trên nhưng đưa về phân tích nhân tử đã được trình ở trên các em chú ý. Với dạng hệ đa thức tôi đã trình bày trong chủ đề kỹ thuật hệ số bất định. Áp dụng vào bài toán này ta thực hiện như sau: Ta viết lại hệ dưới dạng sau: íA = 2x 2 -2y 2 + X-y + Vx + 2 - J2y+I = 0 (1) Ịb = x 2 +2y 2 -2x + y-2 = 0 (2) A = 2Í2y -l) 2 -2y 2 + Í2y -1)-y = 6y 2 + 7y +1 Với x = 2y-l=>< v B = (2y-l) 2 +2y 2 -2(2y -1) + y-2 = 6y 2 -7y +1 A Hệ sô" bất định cần tìm là k = -— = -ltức ta lấy (1)-(2) theo vế ta có lời giải của bài toán trên. 633 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X < 2,y > 1. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 2x 2 -2y 2 = 3xy + X - 2y <=> (x -2y)(2x + y -1) = 0 <=> * = 2y + Nếu x = 2y=>2>x = 2y>2=>x = 2,y = lthử lại thấy thỏa mãn. + Nếu y = 1 - 2x thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 6x 2 - 3x - 34 + V 2 - X + V-2x = 0 . «3(x + 2)(2x-5)--^---g2rì = 0 V2-X+2 V-2x+2 «(x + 2)Í3(2x-5)-- 7 =L— -j =-) = 0 k V2-X+2 V-2x+2y < — > x + 2 = 0^x = -2=>y = 5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;l);(-2;5). Bài 24. Giải hệ phương trình: J X 2 + y 2 + xy + 2x = 5y [x 3 + x 2 y - X 2 + 2xy - 6x + 3y = 0 Lời giải Cách 1: Hệ phương trình đã cho tương đương với: íx 2 +y 2 +xy + 2x-5y = 0 (1) |x 3 +x 2 y-x 2 +2xy-6x + 3y = 0 (2) Tì ni hê sế hất đinh: Dễ thấy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (ơ;0);(l;l). Đường thẳng đi qua hai điểm này là y = X. Thay y = X vào hai phương trình của hệ ta được: Ịa^xỊx-I) = ^ k = _A L = _3_ Ịr. =^x-^(2x + 3L^ B jx + 3 • 634 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Lấy -(2x + 3).(1) + 3.(2) theo vế ta được: (x-y)íx 2 +2xy-10x + 3y-24Ì = 0. Đáp số: (x;y) = (0;0);(l;l);(-2;0);(-6;8). —X + X + 6x Cáeh 2: Rút y = ————- từ phương trình thứ hai thay vào phương trình X +2x + 3 đầu ta được: x(x-l)(x + 2)(x + 6)Ịx 2 + X + 6 j íx 2 +2x + 3Ì = 0 <=> X = 0 X = 1 X = -2 X = -6 X = 0,y = 0 x = l,y = 1 X = -2,y = 0 X = -6,y = 8 Cầeh 3: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: X 2 +2x + y(x + y-3) = 2y (x 2 +2xì(x + y-3) = -3y ’ Với y = 0 X = 0 . Với y ± 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: X 2 +2x X 2 +2x +x+y-3=2 (x + y-3) = -3 Đến đây đặt X 2 +2x v=x+y-3 Đưa về hệ phương ưình đôi xứng loại ỉ I LI + V = 2 I uv = -3 Bài 25. Giải hệ phương trình [3x 2 +xy-9x-y 2 -9y = 0 [2x 3 - 20x - x 2 y - 20y = 0 Tini hê số bất đinh: Nhẩm được hai nghiệm của hệ là (x;y) = (0;0);(2;-l) khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là X = -2y thay ngược lại hai phương trình của hệ ta được 635 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ÍA 1 (x,y) = 9y(y + l) , A^x.y) _ 9 [B 1 (x,y) = -20y(y + l)(y-l) B i(vy) 20(y-l) Viết lại hệ phương trình dưới dạng Lời giải r 3x 2 +xy-9x-y 2 -9y = 0 (1) 2x 3 - 20x - x 2 y - 20y = 0 (2) Nhận thây y = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với y^l khi đó lấy 20(y-l).(l) + 9.(2) theo vế ta được: (x + 2y)(l8x 2 + 15xy - 60x - 10y 2 - 80y) = 0 . Khi đó đưa về giải hai hệ phương trình: Í3x 2 + xy-9x-y 2 -9y = 0 hoăc Í3x 2 +xy-9x-y 2 -9y = 0 [x = -2y Ịl8x 2 +15xy-60x-10y 2 -80y = 0 Giải hai hệ trên tìm được hai nghiệm (x;y) = Bài 26. Giải hệ phương trình: jx 2 y 2 +3x + 3y-3 = 0 [x 2 y - 4xy - 3y 2 +2y-x + l = 0 Tìm hê số bất đinh: Nhân thấy hệ có hai nghiệm (x;y) = (0;l);(l;0) khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là X = 1 - y thay ngược lại hai phương trình của hệ ta được: A 1 (x,y) = y 2 (y-l) 2 B 1 (x,y) = y 2 (y-l) Viết lại hệ dưới dạng A (x,y) I>p(x,y) = - 1 =l-y • Bj(x,y) Lời giải [x 2 y 2 +3x + 3y-3 = 0 (1) ix 2 y-4xy-3y 2 +2y-x + l = 0 (2) Nhận thây y = l=>x = 0 là nghiệm của hệ phương trình. Xét với y ^ 1 khi đó lấy (1) + (l-yj.(2) ta được 636 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x + y-l)Í3y 2 + xy -2y + 2Ị = 0 <=> x + y-l = 0 3y 2 + xy-2y + 2 = 0 Với X + y -1 = 0 khi đó ta có hệ phương trình X + y -1 = 0 x 2 y 2 +3x + 3y-3 = 0 , ịx+y=1 X = 0; y = 1 x = l;y = 0 Với 3y 2 + xy - 2y + 2 = 0 khi đó ta có hệ phương trình: Ị3y 2 + xy - 2y + 2 = 0 [x 2 y - 4xy - 3y 2 + 2y - X + 1 = 0 Cộng theo vế hai phương trình ta được (x - 3)(xy -1) = 0 <=> X = 3 xy -1 = 0 Thay ngược lại hệ thấy vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;1 . Bài 27. Giải hệ phương trình: (x-y) 2 + X + y - y 2 =0 (1) X 4 - 4x 2 y + 3x 2 + y 2 = 0 (2) Tìm hê số bất đinh: Nhân thấy hệ có hai nghiệm (x;y) = (0;0);(2;2) khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là y = X . Thay ngược lại hai phương trình của hệ ta được A,(x,y) = -x(x-2)_ B,(x,y) , , 2 =»p(x,y) = -^^ = x(x-2) . Bj(x,y) = x 2 (x-2) Aj(x,y) Lời giải Nhận thấy X = 0 và X = 2 thì hệ có nghiệm (x;y) = (0;0);(2;2) . Xét với xể| 0;2| khi đó lấy x(x-2).(l) + (2) theo vế ta được x(x-2)fx 2 -2xy + x + yj + fx 4 -4x 2 y + 3x 2 + y 2 j = 0 . <=> (x - y)Ị2x 3 -x 2 +x-yj = 0<=> x = y 2x 3 -x 2 +x-y = 0 637 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Với x = y thay ngược lại (1) ta được 2x-x -0<=> x = 0 x = 2 (loại do XỂ Ị0;2|). Với 2x -X +x-y = 0 khi đó ta có hệ phương trình |2x 3 -x 2 +x-y = 0 ix -2xy+ x + y = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ này ta được: 2xíx 2 +1 -yj = 0 <=> y = X 2 +1 (do X * 0 ). Thay vào (1) ta được: -2x 3 +x 2 +l = 0«(x-l)Ị-2x 2 -x-lj = 0«x = l=>y = 2 . Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(2;2);(l;2) . Bài 28. Giải hệ phương trình I x 1 - v ^- v 1 ^ ^ ^ . [ x 2 y + x 2 + 2y - 22 = 0 (2) Phân tích lời giải: Nếu đặt t = X 2 ta đưa về dạng 1 và cách giải đã được xác định, ở đây ta xử lý bài toán theo một hướng khác đó là lấy (1) + k.(2) và áp dụng phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát với mục đích đưa phương trình này về dạng tích: x 4 +(k-4 + ky)x 2 +y 2 -6y + 22ky + 9-22k = 0 (3) . Ta sẽ tìm k sao cho (3) phân tích được nghiệm. Muốn vậy A 0 là số chính phương. A 2 =(k-4 + ky) 2 -4-Ịy 2 -6y+ 22ky + 9-22kỊ . = Ịk 2 -4Ìy 2 +Í2k 2 - 16k + 24Ìy + k 2 + 80k-20 có dạng chính phương. Muôn vậy ta chọn k thỏa mãn A y =0<=>(2k 2 -16k + 24) 2 -4^k 2 -4^(k 2 + 80k-2ơỊ-0 . Nhập phương trình vào máy tính bỏ túi ta tìm được k = 2 . Lời giải Cách 1: Lấy (1) + 2.(2) theo vế ta được: 638 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 4 -4x 2 + y 2 6y + 9 + 2(x 2 y + x 2 +2y-22Ị <^Ịx 2 +yỊ 2 -2Ịx 2 +yỊ-35 = 0»Ịx 2 +y + 5ỊỊx 2 +y-7Ị = 0 . - Với y = -5 - X 2 thay vào (1) ta được X 4 + 6x 2 + 32 = 0 (vô nghiệm). - Với y = 7-x 2 thay vào (1) ta được: X 4 - 6x 2 +8 = 0«- Ịx 2 - 2 jỊx 2 - 4j = 0 <=> X = ±\Ỉ2 V X = ±2 . Suy ra (x;y) = Ị±V / 2;5j;(±2;3) . Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là (x;y) = Ị->/2;5j;Ị>/2;5j;(-2;3);(2;3) . 22-X 2 Cách 2: Đê ý từ phương trình thứ hai của hệ rút được y = —-—— . X- +2 Thay y = vào phương trình đâu của hệ ta được: x z +2 x 4 + 6x 2 +321=0 639 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Sề 16. KỸ THUẬT PHỨC HÓA Số phức có một ứng dụng rất rộng trong giải toán Sơ cấp từ Đại số, hình học và giải tích cho đến Toán cao cấp. Nội dung chủ đề này tôi trình bày một ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình. Trong bài viết này tôi tạm gọi là phương pháp phức hóa giải hệ phương trình. A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp chung Phương pháp chung là đặt z = X + iy . Khi đó chuyển bài toán tìm nghiệm (x;y) về tìm phức z thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Dùng phương pháp giải phương trình nghiệm phức tìm được: [x = a z = a + bi <=> < ừ = b Căn bậc n của sô" phức: n _( _, • • „ n/J __ọ + k2rc cp + k2rcV z = rlcos(p + i.sin(p)=>z = vr cos J -t-i.sin-- ,k = 0,l,...,n-l. V n n Một số đẳng thức thường sử dụng. - z = X - iy . - z 2 =x 2 -y 2 +2xyi. - z 3 =x 3 -3xy 2 +Í3x 2 y-y 3 ji. - z 4 =x 4 -6x 2 y 2 +y 4 +4Ịx 3 y-xy 3 ji. - z 5 =x 5 +5xy 4 -10y 2 x 3 +iíy 5 +5x 4 y-10x 2 y 3 j. - z 6 = X 6 - 15y 2 x 4 + 15y 4 x 2 -y 6 + iỊóyx 5 -20y 3 x 3 + 6y 5 xỊ. - z 7 =x 7 -21y 2 x 5 +35y 4 x 3 -7y 6 x + iỊ-y 7 +21x 2 y 5 -35x 4 y 3 +7x 6 yj. - z 8 = X 8 - 28y 2 x 6 + 70y 4 x 4 - 28y 6 x 2 + y 8 + i(8yx 7 - 56y 3 x 5 + 56y 5 x 3 - 8y 7 xỊ 1 1 X - yi z x + yi X 2 + y 2 640 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 i(x-yi) xi + y z X 2 + y 2 X 2 + y 2 1 X 2 - y 2 2xyi z2= (* 2+ ý 2 ) 2 (* 2+ y 2 )' Nhân thêm vào một phương trình của hệ với đại lượng i sau đó cộng(ưừ-có hệ số nếu có) theo vế hợp lý đưa về phương trình có chứa các nhân tử 2 _3 1 i z,z ,z , , 5 ... • z z 2. Dâu hiệu nhận biết Hai phương trình của hệ có dạng: Dạng 1: F x;v; = 0^>z = x + yi. V x +y J / ị \ Dạng 2: F Vx;Jỹ;—— ^z = Vx + i Jỹ. V x + yj ( 1 \ Tổng auát: F x k ;v k : - —- - .ía.b >o.k ez = ^x k + i^v k . t ax 2k +by 2k J V ’ Chứ ý. Đôi khi đề bài làm triệt tiêu dấu hiện nhật biết ta cần biến đổi hệ trước tiên. (6-x)(x 2 +y 2 ) = 6x + 8y Ví dụ. Giải hệ phương trình < (3-y)íx 2 +y 2 j = 8x-6y Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 6 - X = 3-y = 6x + 8y | 6x + 8y X 2 + y 2 ^ x + x 2 +y 2_ 8x-6y 8x-6y - —- — y + —r -^ = 3 X +y [ X +y 8x-6y 3. Một sô" hệ xử lý bằng phương pháp phức hóa đồng thời cũng xử lý được bằng phương pháp khác. x(x 2 -3y 2 ) = l 1 7 ' 2 : u A „1 u V / Ví dụ 1. Giải hệ phương trình y(3x 2 -y 2 ) = l 641 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải phức hóa: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: Ịx 3 -3xy 2 = 1 1-y 3 +3yx 2 = 1 íng trmn ơươi dạng: X 3 -3xy 2 = 1 ^|i(-y 3 +3yx 2 ) = i k 1 Mn rr trì rì f r*^f f n n lr => X - 3xy 2 +(3x 2 y-y 3 Ịi = l + i. Đặt z = X + yi phương trình trở thành: z 3 =l + i«z 3 =V2 <=> z = ^2 cos V n k2n — + ^—- ỉ n . . cos—+ i.sin— 4 4 / 12 'N í + i. sin V Tt k27ĩ — 7 " - 7 — 12 3 ,k = 0,1,2. Lời giải Nhận thấy vế trái của hai phương trình của hệ cùng bậc ba nên ta nghĩ đến phương pháp đồng bậc ,3 Ta có: xíx 2 -3y 2 j = yÍ3x 2 -y 2 j <=> X 3 +y 3 -3xy(x + y) = 0 . (x + y)|^x 2 + y 2 -4xy <=> = 0 <=> x + y = 0 X 2 + y 2 - 4xy = 0 THI: Nếu x + y = 0<=>y = -x khi đó hệ phương trình trở thành: Ị_ ĩỊĨ y = -x xỊx 2 -3x 2 = 1 <=>< X = — y = 1 !ỊĨ TH2: Nếu X 2 + y 2 - 4xy = 0 đến đây ta hoàn toàn có thể rút X theo y hoặc y theo X thế vào hệ tuy nhiên lúc sau được phương trình bậc ba mà các hệ số có chứa căn, điều đáng ngại nữa là hệ không có nghiệm đẹp. Vậy ta suy nghĩ tìm hướng xử lý khác: Để ý hai phương trình của hệ ta nhận thấy xyỊx 2 -3y 2 jíy 2 -3x 2 j^0nên nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được: xyỊx 2 -3y 2 j|y 2 -3x 2 j = 1<=> xy ^3x 4 + 3y 4 - 10x 2 y 2 Ị = 1. <=> xy l|x 2 +y 2 j-16x 2 y 2 = 1 . 642 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Kết hợp với X 2 + y 2 - 4xy = 0 ta đưa về giải hệ phương trình: xy 3Íx 2 +y 2 ì-16x 2 y 2 = 1 < L V / _ <=> < X 2 + y 2 - 4xy = 0 r 1 L. 1 xy < II to Ọ >< II to 1 X 2 + y 2 =4xy (x + y k so II OỊ_ xy(3.16x 2 y 2 -16x 2 y 2 Ị = l X 2 + y 2 = 4xy xy: 2^4 T+v=+ >/r y h Hệ phương trình cuối là hệ đối xứng lại 1 đã biết cách giải. Đáp số: ^ 3 - 5 . 2 + - ' 1 1 '' ìỊỈìẵ' ỉ 2 2 -5 2 2 V A J Nhân xét. Lời giải phức hóa cho ta nghiệm nhanh gọn tuy nhiên không biểu diễn trực tiếp được nghiệm như lời giải đại số thuần túy như trên. B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải hệ phương trình |2x + 5y = xy + 2 |x 2 +4y + 21 = y 2 + 10x’ Lời giải Cách 1: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: ^2i(xy + 2 -2x -5y) = 0 [x 2 +4y + 21-y 2 -10x = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 +4y + 21-y 2 - lOx + 2i(xy + 2 -2x-5y) = 0 . <=>(x + iy) 2 -10(x + iy)-4i(x + iy) + 4i + 21 = 0 (1). Đặt z = X + iy khi đó (1) trở thành: z 2 - 10z - 4iz + 4i + 21 = 0 « z 2 - 2z(2i + 5 ) + 4i + 21 = 0. Phương trình có A'= (2i + -4Ĩ-21 = lói = 8(1 + i) 2 . z = 2i + 5 + 2V / 2(i + l) Suy ra I y . ỷĩề + ẩ^ 2 ỉẵlả + ũ&, Sỉ _ X® 643 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x + iy = 5 + 2^2+ (2 + 272)1 Ị~ x = 5 4 - 2 V 2 , y - 2 + 2 V 2 <=> ' <=> X + iy = 5- 2 V 2 + ( 2 - 272)1 [x = 5-2^2,y = 2-2^2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: M-(5 + 2'ỉịĩ + 2 ,/ĩ);Í 5 -2+2- 2,/ĩ). __.... .. .+ + 7 , 7 „ Cách 2: Nhận thây phương trình đâu rút được X theo y hoặc y theo X nên ta sử dụng phương pháp thế. Nhận thấy y = 2 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y ^ 2 khi đó viết lại hệ dưới dạng: 2-5y X = 2-5y <=> 2-y |y-4y_x 2 +10x-21 = 0 2-5y x = ——— 2-y L y 4 -8y 3 +24y 2 -32y-48 = 0 2-5y x = —-— 2-y Ịy 2 - 4y - 4 )(y 2 - 4y + 12 ) = 0 X = 5 + 2 V 2 ,y = 2 + 2 V 2 2-y 2 , Í2-5yỴ 2-5y - y -4y- — + 10.2——-21 = 0 V2-y ) 2-y x.^ o 2 ~ y , Ịy 2 -4yỊ'+8Íy 2 -4yỊ-48 = 0 \_2-5y <=> j 2-y y 2 -4y - 4 = 0 x = ơ + 2Vz,y ■ X = 5 - 2 V 2 ,y = 2 - 2 V 2 Bài 2. Giải hệ phương trình 1 X 3 - 3xy 2 - X +1 = X 2 - 2xy - y 2 [y 3 -3x 2 y + y-l = y 2 -2xy-x 2 Cách 1: Đặt z = X + iy: Lời giải ■■ X 2 - y 2 + 2xyi _3 „3 z = X ■3xy 2 +(3x 2 y — y 3 )i Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 644 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 3 - 3xy 2 - X + 1 - X 2 + 2xy + y 2 = 0 iỊ-y 3 + 3x 2 y-y+ 1-X 2 -2xy + y 2 j = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 3 -3xy 2 - x + l-x 2 + 2xy + y 2 + iỊ-y 3 + 3x 2 y-y + l-x 2 -2xy + y 2 j = 0. <=>x 3 -3xy 2 +Ị3x 2 y-y 3 ji-Ịx 2 -y 2 +2xyij + 2xy+ iỊ-x 2 + y 2 j-x + l + i(-y+ l) = 0 »x 3 -3xy 2 +Ị3x 2 y-y 3 ji-(l + i)Ịx 2 -y 2 +2xyij-( x + yi) + l + i. <=>z 3 -(l + i)z 2 -z + l + i = 0<=> (z-l)Ịz 2 -iz -1 - ij = 0. Z = 1 x + yi = l x = l,y = 0 <=>(z-l)(z + l)(z-l-i) = 0<=> z = —1 <=> X + yi = -1 <=> x = -l,y = 0. z = l + i x + yi = l + i x = l,y = l Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là (x;y) = . Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x-l)(x 2 -l-y 2 ) = 2xy(y-l) (y-l)(y 2 +l-x 2 ) = 2xy(x-l) X = 0 y = 0. X = 1 [y 2 + l = 0 - Nếu X = 0 hệ trở thành \ . . ( - \ hệ vô nghiệm. (y-l)(y +l) = 0 (x-l)(x 2 -l] = 0 - Nếu y = 0hệ trở thành ox=il=>(x;y) = (-l;0Ị;(l;0) -(l-x 2 ) = 0 1 ; 1 n } - Nếu X = 1 hệ trở thành ^ 2 0 <=> y ~~ 0 =^> (x;y) = (l;0);(l;l). TH2: Nếu 2xy (x -1)^1 khi đó chia theo vế hai phương trình của hệ ta được: THI: Nếu 2xy (x -1) = 0 <=> 645 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x-l)(x 2 -l-y 2 ) _ 2 xy(y-l) (y-l)(y 2 +l-x 2 ) 2xy(x-l) <=^> (x — 1) = -(y - l) <=> X = y = 1 không thỏa mãn điều kiện 2xy(x -1) 5* 0 . Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (-l;0);(l;0);(l;l). 3x-y . x+ 42 2-= 3 2 , 2 Bài 3. Giải hệ phương trình ■ X + y x + 3y y———— = 0 J 2 2 X + y Lời giải Cách 1: Hệ phương trình đã cho tương đương với: L . 3x-y í , . , 3x - y - xi - 3yi 3x-y „ X + „ ĩ- = 3 2 . 2 X +y X + yi + - 2 . 2 X +y -3 = 0 x + 3y 2 . 2 X +y .1 = 0 yi- x + 3y . —-—V-i 2 2 X +y X + yi + 3(x-yi)-(y + xi) 2 . 2 X + y -3 = 0 (1) . x + 3y ._ A yi———^-.i = 0 J 2 2 X +y ^ w . 1 x-yii y + xi Đặt z = x + yi=>2-= : J ,f = ị , • 7 X 2 + y 2 z X 2 + y 2 Khi đó phương ttình (1) trở thành: z-t-3 = 0 <=> z 2 — 3z + 3 — i = 0 <=> z z = 1 — i x + yi = 2 + i [x = 2,y = l <=> . <=> x + yi = l-i |_x = 1, y = —1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;-l);(2;l). Cách 2: Nhận thây xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với xy ^ 0 khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: 646 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3xy-y xy+ ị , =3x X +y X 2 + 3xy *y- . ,2 =0 X +y Cộng theo vế hai phương trình của hệ trên ta được: ..... , ... ... 31 2xy -l = 3x<=>x = — + —. 2 2y Thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được: /3 Vị u 2y 1 3 , 1 — + — + 2 2y ( 1 - = 3o(y + l)(y-l) = 0 <=> y = -l=>x = l y = l=>x = 2 ,ĩ + 2ỹj +y Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;-l);(2;l). Ị(6-x)(x 2 + y 2 j = 6x + 8y (3-y)Ịx 2 +y 2 Ị = 8x-6y Lời giải Cách 1: Nhận thấy X = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình. Xét X 2 + y 2 > 0 khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: 6 -x = 3-y = 6 x + 8y 2 . 2 X +y 8 x-6y 2 . _.2 X +y o 6 x + 8y . x + ———^- = 6 X 2 + y 2 8 x-6y X +y Rõ ràng đến đây hệ phương trình có dạng như các bài toán trên. Viết lại hệ phương trình dưới dạng: 6 x + 8y+ 8xi-6yi 6 x + 8y . x + —r-— t = 6 2 2 X +y , 8x-6y . o; iy+ , , -i = 3i X +y X + yi + - 2 2 X +y = 6 + 3i 6 x + 8y . X H-2——^- = 6 X 2 + y 2 £ 647 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi X + yi + 6(x-yi) + 8(y + xi) 2 . 2 X +y = 6 + 3i (1) 6x + 8y , x + ———- = 6 2 . 2 X +y Đặt z = X + yi: 1 X - yi i y + xi Khi đó phương trình (1) trở thành: z + 6 + 8i _ã + 3 i <^ z 2 -(6 + 3i)z + 6 + 8i = 0 . X = 2,y = 1 X = 4,y = 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;ơ);(2;l];(4;2). 6x + 8y z = 2 + i X + yi = 2 + i <=> <=> <=> z = 4 + 2i X + yi = 4 + 2i Cách 2: Xét hệ phương trình: x + - = 6 2 . 2 X +y , 8x-6y 0 y + 5 r ^" =3 X +y Nhận thây nếu nhân vào phương trình đầu với y và phương trình thứ hai với X sau đó cộng theo vế sẽ triệt tiêu hạng tử chứa X 2 + y 2 . Nhận thây xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình: Xét với xy ± 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: xy + 6xy + 8y 2 _2 . 2 X +y = 6y 8x 2 -6xy x y + , ò = 3x X +y Cộng theo vế hai phương trình của hệ ưên ta được: í 2xy + 8 = 3x + 6y<=>x = 6y-8 2y-3 . 3 y *f Thay vào phương trình đầu tiên của hệ ban đầu ta được: 6y-8 —;r + 8y 6y-8 + —2y-3_-= 6 <=> (y-l)(y-2)(3y-4)(4y 2 - 12y + 13 ) = 0. 2y-3 ( 6y - 8^ 2 2y-3 + y 648 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y = l=>x = 2 <=>| y = 2^>x = 4 . 4 y = — =>x = 0 3 Đôi chiếu với điều kiện suy ra (x;y) = (0;0];(2;1 );(4;2). Nhân xét . Rõ ràng nếu nghiệm của hệ là lẻ khi đó việc rútx theo y rồi thế vào phương trình của hệ đưa về một phương trình bậc cao của y tỏ ra không hiệu quả trong khi sử dụng sô" phức ta hoàn toàn tìm được nghiệm của z và tất nhiên tìm được (x;y). Bài 5. Giải hệ phương trình [x 3 - 3xy 2 = -4 ly 3 -3x 2 y = -4^3 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 3 -3xy 2 =-4 iỊy 3 -3x 2 yỊ = -4V3i X 3 - 3xy 2 -íy 3 -3x 2 yỊi = -4 + 4^i (1)' Đặt z = X + yi khi đó (1) trở thành: = -4 + 4V3Í = 8 2n . . 2n cos—+ i.sin — 3 3 <=> z = 2 cos ( 2 Tí k2n 3 - + - 9 3 + i.sin ^27ĩ k27t 3 + - 9 3 ,k = 0,1,2. Suyra(x;yJ = 2cos—;2sin — 19 9 _ 871 _ . 871 2 cos—;2sin— 9 9 - 14 TC - . 1471 2 cos ——; 2 sin —— Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y)= 2cos-^-;2sin^ v M 9 9 __87T _ 87T 2 cos—;2sin— 9 9 - 14 7T - . 14tc 2 cos^—;2sin— 9 9 Bài 6. Giải hệ phương trình |x 4 -6x 2 y 2 + y 4 = 8x/3 1 x 3 y - xy 3 = 2 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 649 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ịx 4 -6x 2 y 2 +y 4 =8V3^ X 4 -6x 2 y 2 + y 4 =8^3 [4x 3 y-4xy 3 =8 i(4x 3 y-4xy 3 Ị = 8i x 4 -6x 2 y 2 +y 4 +iÍ4x 3 y-4xy 3 Ị = 8^ + 8i (1) iÍ4x 3 y-4xy 3 j = 8i Đặt z = x + yi^>z 4 =x 4 -6x 2 y 2 +y 4 + iỊ4x 3 y -4xy 3 j. Khi đó phương trình (1) trở thành: / \ ^ + k2n ^ + k27ĩ z 4 =V3+i = 16 cos— + i.sin— oz=2 cos—— -+ i.sin— — - ,k = 0,l,2,3 l 6 6 ) 4 4 V Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: / \ 7Ĩ 7Ĩ "ì f 13rt 1371^1 f 25 tc 25tc^ x;y = 2cos—;2sin— ; 2cos—;2sin— ; 2cos—;2sin— . v ’ y 24 24 J y 24 24 ) ^ 24 24 ) Nhân xét. Qua hai bài toán trên hoàn toàn xử lý được với hệ cho bậc 5,6,7 và điều lưu ý là hệ dạng này là hệ đẳng cấp tuy nhiên bậc cao và nghiệm lẻ nên kinh nghiệm là các em sử dụng số phức như trên. ^Ỉ3x f u 1 ì = 2 Bài 7. (VMO 1996) Giải hệ phương trình • 's x + yj / „ \ ypỹ 1 1 = 4^2 l x + y y Lời giải Điều kiện: x>0,y>0,x + y>0. Nhận thấy xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Vì vậy điều kiện của ẩn để hệ phương trình có nghiệm là X > 0,y > 0 . Khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: [— ( 1 'ì r~ Vx 2 v3x 1 + —-— =2 \Jx +—— = J J= V x+ y ) 1 x +y V3 'wíi--7-ì=Wĩ V x + yJ [ x+y Ta đặt u = Vx, V = yjỹ hệ phương trình trở thành: 650 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 11 + V - u 2 +v 2 73 V = 4 JI u 2 +v 2 V7 ( 1 ) ( 2 ) Hệ đã đưa về dạng quen thuộc của số phức. Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được: u + vi + = ^= + 4.ị^-i. u 2 + v 2 v3 V 7 Đặt z = u + vi khi đó ta có phương trình: 12 . 2 . 2 z + —= —= + 4, —i<=>z - z 73 V 7 ir 4 # Z + 1 = 0. <=> -ị + 4j|i + 272Ĩ + 2l72i 73 V 7 <=> -í + 4jịi-2 Đặt z = x + yi phương trình trở thành: z 2 -(2-3i)z-2-4io z = -2i z = 2 - i <=> X + yi = -2i X + yi = 2 - i <=> X = 0, y = -2 x = 2,y = -l' Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;-2);(2;-lj. 651 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (2x-l)(x 2 +y 2 ) + 2y = 0 Bài 2. Giải hệ phương trình ■ (2y-3)(x 2 + y 2 ) + 2x = 0 Lời giải Nếu X = 0 <=> y = 0 => (x;y ) = (0;0) là nghiệm của hệ phương trình. Xét xy & 0 viết lại hệ phương trình dưới dạng: 2 . 2 X +y + 2y-3 = 0 2 2 X +y + 2yi-3i = 0 2(xi + y) 2 . 2 X +y + 2(x + yi)-3i-l = 0 2 . 2 X +y - + 2x -1 = 0 2 . 2 X +y - + 2x -1 = 0 2 . __2 X +y - + 2x-l = 0 Đặt z = X + yi ta có phương trình: - + 2z-3i-l = 0<^2z 2 -(3i + l)z + 2i = 0. Phương trình này có A = (3i + l)" — 1 6i = —8 — 1 Oi = — 4^ — iVVĨT + 4 j . Suy ra: 1 + Vv41 -4 + 3-VV41 + 4 i 1-VV41-4+ 3 + VV41 + 4 i 1 +Vv41 -4 3-VV41 + 4 x =-V-,y =--r—- 4 2 1-VV4Ĩ-4 3 + VV4Ĩ + 4 x =-V-,y =-V- 4 4 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x;y) = (0;0); 1 + VV41-4 3-VV41 + 4 1-VV41-4 3 + VV41+4 Bài 3. Giải hệ phương trình : X 3 - 3xy 2 - 2x 2 + 2y 2 - 2xy + 3x + 5y - 2 = 0 -y 3 + 3x 2 y - 4xy + X 2 - y 2 + 3y - 3x = 0 Lời giải Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được: -3xy 2 +(3x 2 y-y 3 Ịi-(2-i)íx 2 -y 2 +2xyiU(3-3i)(x + yi)-2 + 2i = 0. ■Jx + yi) 3 -(2 -i,)(x + yi) 2 + ( 3 -3i)(x +yi) -2 + 2i = 0 652 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt z = X + yi khi đó ta có phương trình: z 3 -(2-i)z 2 +(3-3i)z-2 + 2i = 0<íí>(z-l)(z + 2i)(z-i-l) = 0. z = 1 <=>(z-l)(z + 2i)(z-i-l) = 0<=> z = -2i . z = i +1 X + yi = 1 X = l,y = 0 <=> x + yi = -2i <=> x = 0,y = -2. X + yi = i +1 X = l,y = 1 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (l;0);(0;-2);(l;l). Bài 4. Giải hệ phương trình: jx 4 - X 3 - 6x 2 y 2 + 6x 2 y - 4x 2 + 3xy 2 + 2xy - X + y 4 - 2y 3 + 4y 2 - 4y = 0 (1) [4x 3 y-2x 3 -3x 2 y-x 2 -4xy 3 +6xy 2 -8xy + 4x + y 3 +y 2 -y + 13 = 0 (2) Lời giải Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được: (x + yi) 4 -(l + 2i)(x + yi) 3 -(4 + i)(x + yi) 2 -(l-4i)(x + yi) +1 + 3i = 0 . Đặt z = X + yi phương trình ưở thành: z 4 -(l + 2i)z 3 -(4 + i)z 2 -(l-4i)z + l + 3i = 0. z = -1 <=>(z + l) 2 (z-2-i)(z-l-i)<=> z = 2 + i. z = 1 + i z = -l x + yi = -l x = -l,y = 0 <=> z = 2 + i<=> x + yi = 2 + i<=> x = 2,y = l . = 1 + i Ị-X + yi = 1 + i l^x = 1, y = 1 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (-l;0);(2;lỊ;(l;l) . Lời giải 66666« 666« 56« .«6WỉggH. sgsssssỉ s 653 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (^x) 2 £ V y y -ịylĩ +1ỊV2X-- 2x 2x 2 +^r -(>/2 + 1) r V2 — 2.V2X.—+-ỊV2+iỊ,—+-=0 y - 2.2 J 2x“ + —- /V Đặt u = V2x, V = —,(v ^ 0 ) khi đó hệ phương trình trở thành: < 2uv -ÍV 2 + l]v + —j—^—r- 0 (2) v ' u +v Lấy (l) + i.(2)ta được: (u + vi) 2 -ÍV 2 + lVu + vi)-1--^- = -(>/2 + lì. Đặt z = u + vi ta có phương trình: z 2 -(^ + l)z-^ = -(7ĩ + l) z^ — + lj+ 1^/2 + ljz — '\fz — 0. z = V 2 u + vi = V 2 o(z-VĨ)(z 2 - Z + l)o z = - 1 ^ 3 « u + vi = l + ú /3 . . l + rì /3 z =-—— 11 + vi = 2 _ 2 <=> u = \Ỉ2, V = 0 1 >/3 u — _ ,v — — 1 <=> 2 2 1 V 3 u = —, V = —— 2 2 1 2^6 x = —^,y = —r 21 2^’ 1 2 V 6 x=^,y = ^2 2V2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) ■ ị 1 . 2 -v/ó \ r 1 .2>/6ì Uv 2 : 3 / U-JĨ ’ 3 J 654 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com r 4Ĩ Nhân xét. Như vậy bằng việc thay X := v^2x,y := —— ta đưa về một phương y trình hết sức cồng kềnh. Mục đích của bài tập này là rèn luyện cho các em khả năng nhận biết dấu hiện sử dụng sô" phức. Bài 6. Giải hệ phương trình X 3 -3xy 2 =-l y -3x 2 y = -\Ịị Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 3 -3xy 2 + 1 = 0 X 3 -3xy 2 =-l iỊy 3 -3x 2 yj = —s/3i X 3 - 3xy 2 -Ịy 3 -3x 2 yji = -l +V3i (1) Đặt z = x + yi khi đó (1) trở thành: = -1 + V3i = 2 2n . . 2n cos—+ i.sin — 3 3 3 pr ( 2n k 2 nì (2n k 2 rc <=>z = v 2 cos +i.sin ,k = 0 ,l, 2 . L l 9 3 J {9 3 )\ Suy ra: (x;y) = ị\Ỉ2 cos^-;x/2 sin^ ; ^/2 cos-^-;x/2 sin-^ v ’ { 9 9 J y 9 9 fecos^;^sin^ì. I 9 9 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: / \ f 3AT__ 2 tc _ 3/7 2n 3/7 87 ĩ _ 3/7 . 87 t 3 /—_1471 3/7 . 147t lx;yj= v 2 cos—-;v 2 sin— ; v 2 cos——;v 2 sin— ; y 2 cos——-;v 2 sin—— V 9 9 /v 9 9 7 V 9 9 X 4 -6x 2 y 2 +y 4 = V 3 ( 1 ) Bài 7. Giải hệ phương trình < x 3 y-xy 3 =i l 4 ( 2 )' Lời' giải Lấy (1) + 4i.(2) theo vế ta được: X 4 -6x 2 y 2 + y 4 + 4Ịx 3 y -xy 3 ji = SỈ3 + i. 'S .ì (x + yi) =2 _ - + i,— 2 2 = 2 4 7t . . cos—+ i.sin— 6 6 V 655 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ^ + k2n ^ + k2n <=>x + yi = V2 cos—— -t-i.sin—— - ,(k = 0,1,..., 3 ) ■ 4 4 v ’ Hệ phương trình có bốn nghiệm là: Lời giải Lấy (1) + i.(2) ta được: X 5 + 5xy 4 - 10y 2 x 3 + iíy 5 + 5x 4 y - 10x 2 y 3 Ị = Vã - i. Hệ phương trình có năm nghiệm là: 656 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được: 1 . V3 2 X 6 -15y 2 x 4 + 15y 4 x 2 - y 6 + i Ịóyx 5 - 20y 3 x 3 + 6y 5 x) = 2 +i / . \6 I \/3 n . . n <=> x + yi = — + i—— = cos— + isin— { ’ 2 2 / 3 3 - + k2ĩt - + i sin — - + k27T <=> X + yi = cos- 0 0 Hệ phương trình có sáu nghiệm là: M -,k = 0,1,...,5 . f n Tt . _ > ^ + k2 n ^ + k2ĩt _ 3 ■ 3 cos —— -; sin —— - 6 6 ,(k = 0,l,2,3,4,5). Bài 10. Giải hệ phương trình x 7 -21y 2 x 5 +35y 4 x 3 -7y 6 x = -^ (1) V2 y 7 -21x 2 y 5 +35x 4 y 3 -7x 6 y =—\= (2) ■Ĩ2 Lời giải Lấy (1) - i.(2) theo vế ta được: ' 7 -21y 2 x 5 +35y 4 x 3 -7y 6 x + iỊ-y 7 +21x 2 y 5 -35x 4 y 3 +7x 6 y X <=> /_ . .\7 1 . 1 _7Ĩ . .... 7t x + yi = —= + i,—= = cos— + i.sin — y ’ 4Ĩ 4Ĩ 4 4 - + k2ĩt - + k27ĩ ... ___ 4 , . ... 4 <=> X + yi = cos—- h i.sin- 7 7 Hệ phương trình có bẩy nghiệm là: -,(k = 0,l,...,6) (x;y). ^ 7t , _ 7Ĩ —+ k2rc —+ k2 n „4 ..„4 cos—-;sin 7 7 ,(k = 0,l,...,6). V Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Lấy (1) + i.(2) ta được: 8 Q,, 2 6 ^7 /~v 4 4 o,, 6 2 8 X -28y X +70y X -28y X +y +i(8yx 7 -56y 3 x 5 +56y 5 x 3 -8y 7 xỊ = ^ + i.|. / __.\8 '/3 .1 n . . n <=> x + yi = -—+ i,—= cos—+ i.sin— v ’ 2 2 6 6 7Ĩ , _ 7X , _ ^ + k27ĩ -^ + k2ĩt <=> X + yi = cos-^— - -+ i.sin —- -,(k = 0,1,...,7ì 8 8 Hệ phương trình có tám nghiệm là: Lời giải Nhận thấy X = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình. Xét X 2 + y 2 > 0 khi đó viết lại hệ phương trình dưới dạng: -5x + 5y 2 , 2 X +y 5x + 5y _ 2 . 2 — X +y <=> 658 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi -5Íx - yi) + 5Íxi + y) X + yi + — -V—^--2 + 5Ĩ (1) 2 2 X +y . 5x + 5y . yi+ ; ; .1=51 X +y Đặt z = X + yi khi đó phương trình (1) trở thành: 5i-5 z + - <=> z z = 2i + 1 z = 3i +1 : 2 + 5i <=> z 2 -(5i + 2)z + 5Ĩ-5 = 0. X + yi = 2i + 1 <=> X + yi = 3i +1 <=> x = 2,y = l x = 3,y = l Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là (x;y) = (0;0);(2;l);(3;l). Bài 13. Giải hệ phương trình 3x- 2x -2 (1) 2 2 X +y 3y + 2y -4 (2) 2 2 X +y Lời giải Lấy (l) + i.(2)ta được: 3(x + yi)-—c—^J- = 2 + 4i. 2 . 2 X +y Đặt z = X + yi khi đó ta có phương trình: 2 z 3z - — = 2 + 4i <=> 3z 2 - (2 + 4i)z-2 = 0. x = l,y = l z = 1 + i X + yi = 1 + i <=> 1 1. ■» 1 1 . <=> z =-ì—i X + yi =-1—i 3 3 3 3 1 1 ■ x = --,y = - 3 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l); f I.l' V 3 ; 3 y [ x+ 5x : 7 ^=7(D Bài 14. Giải hệ phương trình < X +y y+ 7 f x -f=0(2)' X +y Lời giải Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được: X + yi + 5(x - yi) + 7^*5 (xi + y) 2 . 2 X +x = 7. ssss 659 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt z = X + yi khi đó ta có phương trình: z + — 7 ^ i =7 qz 2 -7z + 5 + 7a/5ì = 0. z Z = 7-V5i x + yi = 7-V5i (x = 7,y = -V5 <=> <^> <=> <1 _ . _z = \[5i _x + yi = x/5i [x = 0,y = V5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = 7; —'75 ; 0;\/5 . v ' \ I 7 V /—/ , 5x-y X + —-—— = 3 2 , 2 —V-V (1) Bài 15. Giải hệ phương trình ■ X +y x + 5y y ; 2=0 (2) x 2 +y 2 Lời giải . .. . 5(x + yi)-(xi + y) Lây (1) + i.(2) theo vê ta được: X + yi + —-V—V-- 3 . x 2 +y 2 Đặt z = X + yi khi đó ta có phương trình: z + ——- = 3<=>z 2 -3z + 5- i = 0. z ’ 3 + Jfe + i(„ + VŨ7)Jfeĩi « z= _ 2 3-Jfel-ỉ(i, + ^37)Jfeli z =------------- L 2 \ / o \ 7 1-» A nKiyrỉnrv trì n K o n Loi nrrLiâm lò • Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: L . /VĨ37-11 (x;y) = ^;I(ll + V^) VĨ37-11 1 2 660 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 16x -1 ly x + ———-42-= 11 (1) 2 2 v 7 Bài 16. Giải hệ phương trình ■ X +y y _llx + 16y = _ 17 (2) X + y Lời giải 16(x-yi)-ll(xi + y) Lấy (l) + i.(2) theo vế ta được: x + yi + —--2--1-4 = 11-171 X 2 + y 2 Đặt z = X + yi ta có phương trinh: z + 16 ~ lh = 11 - 17i«• z 2 -(l 1 - 17i)z +16-1 li = 0 . z = —i x + yi = -i X = 0,y = -1 z = 11 — 16i x + yi = ll-16i X = 11 , y = -1 6 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;-l);(ll;-16). Lời giải Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được : X + yi + —^^ = 3 V 2 + i. X 2 + y 2 Đặt z = X + yi khi đó hệ phương trình trở thành: z + — = 3 V 2 + i <=> z 2 -Ị 3 V 2 + ijz + 6 = 0. Ta có A = Ị3^ + iỊ 2 -24 = 6V2i-7 = (V2 + 3iỊ 2 . 3 V 2 + i + V 2 + 3i Suy ra 2 3V2 + i - V2 - 3i z =-—- 2 661 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3V2 + i + /2 + 3 i í = —---- . V ** 1 A 1 V 1 1 _ x + yi= - 2 -_ X - 2 ' j 2 ,y - 2 <^> <=> __ . 3V2 + Ì-V2-31 X = 77,y = -1 X + yi = — -:- L L 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị 2 2 ^; 2 ];Ị -./2;— 1 ) —-—- T '77 / v -0 1 12 1 l y + 3 xj 77 í, 12 ì l y + 3 xj = 2 = 6 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0,y + 3x > 0 . Đặt u = 777 > 0,v = yfỹ> 0 . Khi đó hệ phương trình trở thành: 77 í 1 --11- V u 2 + V 2 ; = 2 12 1 + - „ V u 2 +v 2 ; = 6 U-- 12u 2 . 2 u + V 12v V + -^T = 6 u + V = 2\Ỉ3 ( 1 ) ( 2 ) 12(u-vi) Ị- Lấy (l) + i.(2)theo vế ta được: u + vi-2- T 2- = 2v3+6i. 2 2 u + V Đặt z = u + vi khi đó ta có phương trình: z - — = 2 V 3 + 6i «• z 2 - 2 Ị 77 + 3iỊz -12 = 0. z = 77 + 3i + 3 + 77i — 3 + 77 + í 3 + 77ji z = 77 + 3i-3-77i = 77-3 + Ỉ3-77)i Ta có u, V > 0 nên chỉ nhận nghiệm [11 = 3 + 77 [777 = 3 + 77 jx = 4 + 277 Ịv = 3 + 77 [77 = 3 + 73 Ịy = 12 + 677 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = [4 + 273; 12 + ó77 662 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 19. Giải hệ phương trình 2Vx x + —— = l + y X + y 1 , 1 _ r —— + —]= = Vx x + y 2^/y Lời' giải Điều kiện : X > 0,y > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2a> /x -1 / r- r-\ x-y + - JL f- = l _ 2l\/x- a/vìi x + y /—. z |xx V yij < <=> x-y + 2JxyiH— -- = l + i. x + y Đặt z = Vx + ta có phương trình: z 2 + — = l + i<=>z 3 -(l + i)z + 2 = 0<=>(z-1 -i)Ịz 2 + (l + i)z-l + ij = 0. z = 1 + i z = 1 + i .. _ -I + V2 + V5 .1 + VV5-2 z 2 +(l + i)z-l + i = 0 2 2 -I-V2 + V5 _ : -l + VV 5-2 L 2 2 Vì Vx,^/ỹ > 0nên phần thực và phần ảo của z đều không âm do đó chỉ nhận nghiệm z = 1 + i. r r. . . ÍVx=l fx = l <=> vx +Jyi = l + i<=>< ” <=>< 1^ = 1 ừ = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Bài 20 . Giải hệ phương trình : I X 3 - 3xy 2 + X +1 = y 2 + 2xy - X 2 |y 3 - 3x 2 y - y -1 = X 2 + 2xy - y 2 663 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Viết lại hệ phương trình dưới dạng: (x + l)Ịx 2 + l-y 2 Ị = 2xy(y + l) (y + l)(y 2 -l-x 2 ) = 2xy(x + l) Đáp số: (x;y) = (—1;—l);(O;—l);(O;l). Bài 21. Giải hệ phương trình: jx 4 - x 2 y 2 + 2x 3 - 4xy 2 + 2x + 1 = y 2 + 2xy - 2x 2 Ịy 4 - x 2 y 2 + 2y 3 - 4x 2 y - 2 y -1 = X 2 + 2 xy Lời giải Viết lại hệ phương trình: (x + l) 2 (x 2 +l-y 2 ) = 2xy(y + l) (y + l) 2 (y 2 -l-x 2 ) = 2xy(x + l) Đáp số: (x;y) = 664 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Sề 17, KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH CHAT HÌNH HỌC GIẢI TÍCH A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Nội dung chủ đề này đề cập kỹ thuật sử dụng các tính chất cơ bản của hình giải tích phẳng Oxy và giải tích không gian như tính chất véc tơ, mối liên hệ giữa đường thẳng và đường tròn, giữa mặt phẳng và mặt cầu trong quá trình giải hệ phương trình hai ẩn và nhiều ẩn. Ta cùng xét các bài toán cơ bản. Bài toán 1. Cho hai véc tơ u,v ta có: u.v = u . V cosỊu; vj. a) Nếu u.v = u . V khi và chỉ khi tồn tại k > 0 sao cho u = kv . b) Nếu u.v = - u . V khi và chỉ khi tồn tại k < 0 sao cho u = kv . c) Với hai véc tơ ta có u + V > u + V dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, V cùng hướng. d) Mở rộng cho ba véc tơ ta có u + v + w>u + v + w. Bài toán 2. Cho đường thẳng d : Ax +By+ c = 0 ,Ía 2 +B 2 > ojvà đường tròn (c): (x - a)” + (y -b)” = R 2 có tâm l(a;b), bán kính R . a) Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn(c] <=> d(l;d) = Rkhi đó đường thẳng được gọi là tiếp tuyến với đường tròn (c) và tiếp xúc tại duy nhất một điểm M(x 0 ;y 0 )là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d . b) Đường thẳng d cắt đường tròn (c) <=> d(l;d) < R khi đó đường thẳng cắt đường tròn (c)tại hai điểm phân biệt A,B . c) Đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (c)od(l;d)>R. Bài toán 3. Cho hai đường tròn (Cj ): (x -aj) + (y -bj) = R 2 có tâm Ij ^a 1 ;b 1 ) , bán kính R 1 ; đường tròn (c 2 ):(x-a 2 ) - +(y - b 2 )’ = R 2 CÓ tâm ụ(a 0 ;b 2 ), bán kính R 0 . 1,1, — Ri 4- Rọ , _ , khi đó M 2 = | R 1 — R 2 I ¥ ^ in Hai đường tròn tiếp xúc nhau khi và chỉ khi ềùể eà 665 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài toán 4. Cho mặt phẳng (p) : Ax + By + Cz + D = O.Ịa 2 + B 2 + c 2 > oj và mặt cầu(s):(x-a) +(y-bj + (z-c) = R 2 có tâm l(a;b;c), bán kính R . Mặt phẳng (p) tiếp xúc với mặt cầu (s) <=> d(l;(p)) = R khi đó (p) tiếp xúc với (s]tại duy nhất một điểm M^x 0 ;y 0 ;z 0 jlà hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (p). Bài toán 5. Cho tam giác nhọn ABC và M là một điểm tùy ý nằm trong mặt phẳng khi đó gọi Tlà một điểm nhìn các cạnh BC,CA,ABdưới cùng một góc 120° thì T nằm trong tam giác ABC và MA + MB + MC > TA + TB + TC. B. BÀI TẬP MẪU Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt (x^y^và (x 2 ;y 2 ). Tìm m để p = (xj - x 2 )~ + (yj-y 2 ) 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải ím 2 +2mjx + Ịl -m 2 jy + m 2 -2m-2 = 0 Viết lại hệ phương trình dưới dạng: < (x +1) 2 + y 2 =10 Nghiệm của hệ đã cho là tọa độ giao điểm của đường tròn (t) có tâm 1 ( -1;0), bán kính R = Vĩõ và đường thẳng d: Ịm 2 +2mjx + Ịl -m 2 jy + m 2 -2m-2 = 0. Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định N(l;2). Vì IN = 2 V 2 < R nên N nằm trong đường tròn do đó đường thẳng d luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A,B hay hệ phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. Khi đó p = (xj -x 2 ) 2 +(yj -y 2 ) 2 =AB 2 =2ÍR 2 -d 2 (l;d)Ị > 2^R 2 - IN 2 Ị. Dấu bằng xảy ra: <=> IN ± d => lN.u d = 0 <^> 2^m 2 -lj + Ịm 2 + 2mj.2 = 0 <=> m = . 666 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X + y + z = 3 Bài 2. Giải hệ phương trình • x 2 +y 2 +z 2 =3 x 2014 +y 2014 +z 2014 = 3 Lời giải Xét hai véc tơ 11 = (x;y;z),v = ta có : u.v = x + y + z = 3 = 1 Jx 2 +y 2 + z 2 .Vl 2 + 1 2 +1 2 = u . V . Dấu bằng xảy ra <=>x:y:z = l:l:lvà X + y + z = 3 suy ra X = y = z = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z j ■ Nhân xét. Xuất phát từ bất đẳng thức cơ bản X 2 + y 2 + z 2 > — ngay X = y = z = 1. Bài 3. Giải hệ phương trình : X 2 -2y 2 -7xy = 6 Vx 2 +2x + 5 + yjy 2 -2y + 2 = yjx 2 +2xy+ y 2 +9 Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: [/ 77 77 ĩ/ 77 77 7 7 77 Ậx + lỴ + 2 2 + Ậy-lỴ + Ỷ =Ậx + yỴ + 3 2 . Xét hai véc tơ u = (x + l;2),v = (y -1; 1 jta có : u + V > u + V suy ra ^(x + l) 2 +2 2 +^(y-l) 2 +l 2 >J(x + yf+3 2 . ^V , V , x + ly-1 Dâu bang xảy ra <=> - = ^-j-— <=> X = 2y - 3 . Thay X = 2y - 3 vào phương trình đầu của hệ tìm được các nghiệm: 6 ÍỊ 1 N Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y^ = (——o ’4 ■ ( x+ y +z ) 2 667 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: x(x + y) + y(y + z) = 0 x(x + l) + y(2z + l) = 0 4(x + y)" +4-(y + z) 2 =(x + l)~ + (2z + l) 2 Xét ba véc tơ a = (x;y),b = (x + y;y + z),c = (x + l;2z + l) Khi đó: a.b = 0,a.c = 0,4b = c . THI ; Nếu a = 0<=>J X = 0=>z = _i_ ly = 0 2 ã.b = 0 fr - “ b//c a.c = 0 => < ^2 => -2 -2 4b = c 4b = c íx + l = 2Íx + y) x-0 + Nếu c = 2b <=> < 1 thay vào phương trình đầu của [2z + l = 2(y + z) Ịy = 2 hệ ta được z = . 2 f 1+3X x + l = -2Íx + y) y~ 2 + Nếu c = -2b <=> ị , , <=> < thay vào phương trình [2 Z+ l = -2(y + Z ) 3 l 4 đầu của hệ ta được: TH2 : Nếu a * õ => 668 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ^x 2 +y 2 +(3-z)" + -Jy 2 + z 2 + (3-x)~ +-J z 2 +x 2 + (3-y)“ =3^6. Xét ba véc tơ u = (x;y;3 -z),v = (y;z;3-x);w(z;x;3-y). Ta có : + + w > u + V + w , ta có : - - — /2 2 í' , \2 /2 2 (. , \2 / u + V + w = v x +y + ( ; 3-z) +yỊy + z +(: 3-x) +^z T-y) + <=>x = y = z = l. -(x + y+ zj +(9-x-y-z) = ^3(x + y + z-3)~ +54 >3 a/6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: íx + y + z = 3 |x : y :z = y : z : X = (3-z): (3 -x): (3-y) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z j ■ Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất x+y+z-m-6=0 [Vx-1 + -\Jy -2 + \[z — 3 = m Lời giải Điều kiện : X > l,y > 2,z > 3 Đặt X = V^Ĩ,Y = Vy-2,Z = ^,(x,Y,Z>0). í X + Y + z = m (1) Hệ phương trình đã cho ttở thành : < [X 2 +Y 2 +Z 2 =m (2) Nếu m < 0 hệ phương trình vô nghiệm. 669 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét với m> 0 : khi đó phương trình (1) là mặt phẳng (p) :X + Y + Z- m = 0 nằm trong góc phần tám thứ nhất của hệ trục tọa độ OXYZ . Phương trình (2) là mặt cầu (s) có tâm là gốc tọa độ 0(0;0;ơ), bán kính R = Vĩn,(m > o). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=> Ịpj có một điểm chung duy nhất với (s) tại điểm thuộc góc phần tám thứ nhất, m > 0 I m = 0 <=> < —m I — <=> . l V3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0,m = 3 . Xét tam giác ABC có các cạnh tương ứng AB = 13, AC = 5.BC = 12 . Suy ra ABC là tam giác vuông tại c . Xét Olà điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn AOC = 90°,BOC = 135°. OA 2 +OC 2 =AC 2 =5 2 Khi đó: I OB 2 -2OA.OBcosl35 0 + OA 2 = AB 2 = 13 2 . OB 2 -2OB.OCcosl35 0 + oc 2 = BC 2 = 12 2 y z 0 Suy ra -^=,-^=,x tương ứng là độ dài các đoạn thắng OA,OC,OB . v2 v2 Khi đó p = xy + yz + zx = 4s OBC + 4S OAC + 4S OAB = 4S ABC = 2AC.BC = 120. 670 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực dương : X + y + -yịxỹ = 16xy < y + z + - s fỹz =25yz z + X + Vzx = 36zx yfxỹ + yjỹz + Vzx = myjxyz Lời giải Giả sử (x;y;z),(x,y,z > 0)là nghiệm của hệ phương trình. 1 =16 Khi đó: = 25 x+ y + V^ỹ 11 1 ỹ + ĩ + 7^ - + - + -^ = 36 z X Vzx = m a 2 +ab + b 2 =4 2 b 2 +bc + c 2 =5 2 9 ọ ọ c + ac + a = 6 Đặt a = -Ị=,b = -Ị=,c = -Ị=,Ịa,b,c>0) hệ phương ữình trở thành: < vx ^y v z [a + b + c = m Trên mặt phẳng tọa độ Oxyvẽ ba đoạn thẳng MA = a,MB = b.MC = c đôi một hợp nhau góc 120° khi đó theo định lý hàm số Côsin và hệ trên suy ra AB = 4,BC = 5,CA = 6. Vậy tam giác ABC nhọn và M nằm trong tam giác ABC. Khi đó theo diện tích tam giác ta có: ^ABC = ^MAB + ^MBC + ^MAC ► — c) =—I absinl20° + bcsinl20°+casinl20° j ^ựp(p-a)(p-b)(p-c)=^( £ <=> ab + bc + ca = 5V2T Mặt khác cộng theo vế ba phương trình đầu của hệ ta được : 2^a 2 + b 2 + c 2 j + ab + bc + ca = 77 => 2^a + b + c) -3(ab + bc + ca) = 77 671 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> a + b + c = , 77 + I5V2Ĩ m - 77 + I5V2Ĩ Vậy hệ phương trình có nghiệm dương khi và chỉ khi m = 77 + I5V2Ĩ V 2 Bài 9. Giải hệ phương trình X 2 + y 2 = (a - x) 2 + b 2 = (b - y)~ + a 2 . Lời giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét ba điểmA(a;bj,B(x;0),C(0;y)từ hệ phương trình. Suy ra: AB = BC = CAtức tam giác ABC đều. Vậy bài toán quy về tìm tọa độ điểm B trên trục hoành và điểm c trên trục tung sao cho tam giác ABC đều. Đây là bài toán khá quen thuộc (xem thêm cuốn Hình học phẳng Oxy cùng tác giả trong cùng bộ sách). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: _X A +X B +X C _x + a G- 3 - 3 _ y A + y B +yc _ y + b y G o 3 ^x+a y+b N r 3 3 Do tam giác ABC đều nên G đồng thời là trực tâm tam giác ABC suy ra: í í _ . í .. , [ga.bc = o I GB.ÃC = 0 -X a- V -aíx - X + a X + a + y b-^uo y + b ) (y-b) = 0 -x(2a-x) + y(2b-y) = 0 jx 2 -y 2 -2ax + 2by = 0 a(2x-a) + (y + b)(y-b) = 0 [2ax + y 2 -a 2 -b 2 =0 THI ; Nếu a = 0=>y = ±b=>x = ±V3b . 2 |2 2 TH2 : Nếu a ^ 0 từ phương trình thứ hai của hệ suy ra X = —-—-— 2a 2 ị^2 2 Thay X = --—-— vào phương trình thứ nhất của hệ ta được : 2a r a 2 + b 2 -y 2 2a \2 - y 2 + y 2 - a 2 - b 2 + 2by = 0 . 672 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> Ịjy-b) 2 + a 2 )((y + b) 2 -3a 2 } = 0 <=> x=y=a=b=0 X = —V3b - a; y = —s/3a - b . X - 3b - a;y . 3a - b Kết luân : Nếu a = b = Ohệ phương trình có nghiệm^Ịuy nhất (xi^=(0;0). Nêu a~ + b" > 0 hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (- 3b-a; —\Ỉ3ã - b);(-./ 3 b - a; -\Ỉ3a - b). ' r r r r ' Nhân xét. Như đã trĩnh bày trơng cuốn hình giải tích phẳng Oxy việc tìm các điểm B,c được thực hiện bằng phép quay ta có kết quả tương tự. c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ Bài 1. Giải hệ phương trình: Í3x + 4y = 26 X 2 + y 2 - 4x + 2y + 5 + Ậ 2 + y 2 - 20x - lOy +125 = 10 Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: Ậx- 2) 2 +(y + l) 2 +^(l0-x) 2 +(5-y) 2 =s Xét hai véc tơ U = (x-2;y + l),v = (l0-x;5-y), ta có: 2 + 6 2 . U + V (x-2J +(y+ 1 ) +JịlO-xj + (5-y) > 10 . .__ x-2 10-x Dâu băng xay ra <=>-- = —-<=> 3x - 4y = 10. y+1 5-y Kết hợp với phương trình đầu của hệ suy ra (x;y) = (6;2). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y j = (6; 2 ). Bài 2. Giải hệ phương trình: 2x 2 + 6xy + 5y 2 + 5 = -\l 2x 2 + 6xy + 5y 2 + 14x + 20y + 25 [x 4 +25y 2 -2 = 0 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Ậx + ỵỴ + (x + 2y)“ + V 4 2 + 3 2 = Jịx + ỵ + 4 )“ + (x + 2y + 3)*" . Xét hai véc tơ u = (x + y;x + 2y),V = (4;3), ta có : u + > 11 +V 673 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy ra: ^(x + y) 2 + (x + 2y) 2 + i/ 4 2 +3 2 >^(x + y + 4) 2 +(x + 2y + 3) 2 . ,5,_,__ x + y X + 2y Dâu bang xảy ra <=> — -Ỵ- - — <=> X = -5y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 1 625y 4 +25y 2 -2 = 0«y 2 = y = - y=- 1 x = 1,y 5 x^l, y =I Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) ■ v" 1; C V 1; "C Bài 3. Giải hệ phương trình ■ X 2 + y 2 +z 2 =1 2x-y + 2z + 3 = 0 Lời giải Xét mặt cầu (s) có tâm là gốc tọa độ 0(0;0;0), bán kính R = 1. Mặt phẳng (p) :2x-y + 2z + 3 = 0. h (p) do đó hệ phương 0 lên mặt phẳng (p). Dễ tìm được (x;y;z) = + (-l) 2 +2 2 trình có ng Ị 21 2 ^ liệm duy nhất là tọa độ hình chiếu của [ 3 ; 3 ; 3J Bài 4. Giải hệ phương trình ■ 2x + y + 4z-5 = 0 X 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y + 6z - 7 = 0 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Í2x + y + 4z-5 = 0 (1) Ị( x + l)- + ( y + 2 ) 2 + (z + 3) 2 =21 (2) Phương trình (1) là mặt phẳng (p): 2x : +y + 4z -5 = 0 và (2) là mặt cầu (s) có tâm l(-l;-2;-3), bán kính R = V 2 T . 674 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ... -1.2 + -2.1 + -3.4-5 =- , =-= V21 = R nên ^SJ tiếp xúc với mặt V 2 2 + l 2 +4 2 phẳng (p), suy ra nghiệm của hệ là tọa độ hình chiếu của I trên mặt phẳng (pj. X = -1 + 2t Đường thẳng d đi qua I và vuông góc (p) có phương trình là d : < y = -2 +1 . z = -3 + 4t Tọa độ hình chiếu của I trên ( pj là nghiệm của hệ phương trình x = -l + 2t X = 1 1 =>(x;y;z) = (l;—l;l). z = -3 + 4t z = 1 v v 2x + y + 4z-5 = 0 t = l Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z) = (l;-l;lj. Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: íx + y + 2z + m- 2 = 0 [x 2 + y 2 + z 2 - 2mx + m 2 + m -1 = 0 Lời giải íx + y + 2z + m-2 = 0 (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với: ị 2 [(x-m) +y 2 +z 2 =l-m (2) Phương ưình (1) là mặt phẳng (p): X + y + 2z + m -2 = 0 và (2) là phương trình mặt cầu (s)có tâm l(m;0;0),R = vĩ-m,(m < lì. Hệ phương trình có nghiệm <=> d(l;(p)j < R m > -^-=> m “ ' ' Bài 6. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: jx 2 + y 2 + z 2 - 2x - 4y + 1 < 0 Ịx 2 + y 2 + z 2 - 2y + 2z - m < 0 Lời giải Hệ bất phương trình đã cho tương đương với: (x-l)~+ (y-2) 2 +z 2 <4 (1) < 675 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com THI : Nếu m + 2 < 0 <=> m < -2 hệ phương trình vô nghiệm. TH2 : Nếu m = -2 hệ phương trình trở thành: +[y -ìỹ +z 2 <4 X 2 + (y -1 Ỷ + Ịz +l) 2 < 0 oi x = 0 y = i z = -1 TH3 : Nếu m>-2tập nghiệm của bất phương trình (1) là các điểm nằm trong mặt cầu (s,)có tâm Ij (l;2;ơ), bán kính Rj -2 ; tập nghiệm của bất phương trình (2) là các điểm nằm trong mặt cầu (St )có tâm I 2 (0;l;-lj, bán kính R 0 = x/m + 2 . Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất <=> (s | j tiếp xúc ngoài với (s 2 j. <=> Ijl, = Rj + Rt <^> V 3 -2 + Vm + 2 (vô nghiệm). Vậy m = -2 là giá trị cần tìm. Bài 7. Cho x,y,z là các sô" thực thỏa mãn hệ phương trình: í 2 . . y 2 x+ xy + — = 25 3 3 z 2 +zx + x 2 =16 Tính giá trị biểu thức p = xy + 2yz + 3zx. Lời giải Xét tam giác vuông ABC có AB = 5,BC = 3,CA = 4 khi đó ABC vuông tại c . Lấy o là một điểm trong tam giác ABC thỏa mãn: Ấõc = 120°,BOC = 90°,ẤỠB = 150° . Khi đó: AB 2 = OA 2 -2OA.OBcosl50° + OB 2 ;BC 2 = OB 2 + oc 2 ; . AC 2 = OA 2 -2OA.OCcosl20° + oc 2 Suy ra OA = x;OB = -Ẹ=;OC = z . v3 Vì vậy p = xy + 2yz + 3zx = 4x/3S ABC = 24^3 . 676 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chò Sề 18, KỸ THUẬT NHÂN LIÊN HƠP đôi với HỆ PHƯƠNG TRÌNH có CHỨA CĂN THỨC A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Vận dụng kỹ thuật nhân liên hợp cơ bản khi giải phương vô tỷ vào bài toán giải hệ cho ta kết quả nhanh gọn. Mục tiêu của phương pháp này đó là tìm ra môi liên hệ giữa hai ẩn X và y từ một trong hai phương trình của hệ(thường là các phương trình có chứa căn). Ta cần tìm đẳng thức px + qy + r = 0. Nhân liên hợp một cách hợp lý sao cho xuất hiện nhân tử px + qy + r và đưa phương trình của hệ về dạng: (px + qy + r).A(x,y) = 0. Thông thường chứng minh được A(x,y)>0hoặc A(x,y) < 0,Vx,y G K (K là tập điều kiện của hệ phương trình). Chú v : Khi vận dụng kỹ thuật đòi hỏi khéo léo một chút khi xử lý phương trình tích sau cùng. Trong trường hợp khó chứng minh được phương trình A(x,y) = 0 vô nghiệm ta quay ngược lại phương trình đó và tìm cách biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế của phương trình. Điều cần lưu ỷ tiếp theo đó là nếu giải được băng nhân liên họp ta cũng có thế xử lý được bằng ẩn phụ. Ngoài ra cần kết hợp 1 số phương pháp khử cãn(xem thêm chủ đề kỹ thuật xử lý hệ phương trình chứa cản thức). B. BÀI TẬP MẪU nx: 1 niẰi ÍV 2x + y - 1 - V x + 2 y -2 = y - x - 1 (!) / „ Bài 1. Giải hệ phương trình 1 , x,yeR |x 2 +y 2 -2xy + 4x-3y = 0 (2) Lời giải Điều kiện 2x + y -1 > 0,x + 2y - 2 > 0 . Í2x + y- l = 0 íx = 0 A' 1 . _ Nêu) <=>) thư lại thây không thóa mãn. [x + 2y - 2 = 0 [y = 1 Vậy 2x + y -1 và X + 2y - 2 có ít nhất một số dương. Khi đó viết lại (1) dưới dạng: <=>(x-y + l) x-y +1 ^2x + y -1 + ^x+2y-2 \ - -+1 = 0 <^ x -] (x-y + l) = 0 . = 0<^>x-y + l = 0. Ịj2x + y-l + yj X + 2y- 2 677 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Với y = X +1 thay vào (2) ta được: \2 X 2 + (x + l) -2x(x + l) + 4x-3(x + l) = 0<^x-2 = 0<=>x = 2. Suy ra y = 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;3). Lời giải . 1 2 Điều kiện x-y*0,x>^-,x -x-y>0. Nếu X 2 - X - y = 0 từ (1) suy ra y = 0 và X 2 - X = 0 <=> thấy không thỏa mãn. Với X 2 - X - y > 0 khi đó viết lại (1) dưới dạng: y X = 0 X = 1 thay vào (2) ■ựx - y = y <=> ^/x - y -1 = y -ỉ \Ịx 2 - x-y x/X 2 - X - y x-y-1 _ (x + y)(x-y-l) ịịl x ~ ỹj + \l x ~y + 1 Ạ~~ x ~y <=> (x-y-l) 1 x + y - + / == ịyj x ~ y j +^/x-y +1 vx“-x-y ~ / 1 \ „ 2 : _ = 0 (3) Để ý từ phương trình (1) nếu y < 0 thì vế phải âm do đó vô nghiệm. 1 x + y Vậy ta phải có y > 0 . Vì vậy ụi x ~yỴ +^/x-y + 1 x/ x ~ — X — y >0 . Vì vậy (3)<=>x-y-l = 0<=>y = x- l. \2 Thay vào (2) ta được: (2x - 1 j -3yj2x-l -10 = 0 . «• (V2x - ĩ - 2)((2x -1) V2x -1 + 3(2x -1) + W2x -1 + 5) = 0 . 678 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> \fĩx -1=2<=>X = -J. Suy ra (x;y) = . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ■ 5.3 2 ’ 2 Bài 3. Giải hệ phương trình: (l-y)-Jx + y + x + 3y = 6 + (x + y- X - 2y - V X +1 =--—— T-*- y - 7 y Lời giải Điều kiện: x>2y>0,x-y-7^0. Phương trình đầu của hệ tương đương với: (l-y)(Vx+ỹ-2) + (x + y-4)Ịl-ựỹỊ = 0. (l-y)(x + y-4) (x + y-4)(l-y) <=> o 1- Vx + y +2 1 + VỸ (l-y)(x + y-4) 1 + ~v 'Ựx + y+2 1 + Vy = 0 . = 0 <=> y = i X + y - 4 = 0 + THI: Nếu y = 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: [— 5 _ -3 5 Vx-2 - vx + 1 = <=> . ,- = ■ X-B vx -2 +VX + 1 x-8 o 5 ỊVx-2 + Vx+TỊ = - 3 (x-8)«• 5 (Vx-2 + Vx+TỊ + 3 x- 24 = 0 . ^ 5 ỊVx- 2 -lỊ + 5 (Vx+T- 2 Ị + 3 (x- 3 ) = 0. 5 5 (x-3) Vx — 2 +1 Vx +1 + 2 + 3 : 0ox = 3=>(x;y) = (3;l)(thỏa mãn). Va/a — z-I-1 \Atitz, / + TH2: Nếu x + y- 4 = 0<=>y = 4- x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: _5_ — (4 — x) — V <=> V3x-8 -VxTT- 5 =0 2x -11 ( 1 ). 679 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: X 6 -;+co Xét hàm sô" f(x) = V3x - 8- Vx + l- -—-với xeD = f'(x) = 2X-11 3-v/x + l -V3x-8 -;+oo ta có 2 3 _ 1 10 3Vx + l-V3x-8 | 10 2V3x-8 2Vx+T (2x-ll) 2 _ 2^(3x-8)(x +1) (2x-ll) ■> 0,Vx G D Vì 3Vx+ĩ-V3x-8 =V9x + 9-V3x-8 =- 6 x + 17 V9x + 9 W3x-8 Vì vậy/to) là hàm đồng biến trên mỗi khoảng Ta có f(3) = f(8) - 0. Do đó (1) f(x) = 0 > 0 . "8 n) (11 ^ — •- và —;+oo L3 2 J l 2 J X = 3 X = 8 IX = 3 [y = i [x = 8 y = -4 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm ( x;y ) = ( 3; 1 ị. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;l). Cách 2: Đặt í - ^,(a.b > 0)4 X+y =“ 2 4 X =*’ - b2 . Ịb = VỸ 1 ’ Ịy = b 2 [y-h 2 Phương trinh đầu của hệ trở thành: íl - b 2 ja + a 2 + 2b 2 = 6 + Ịa 2 - 4j b . <=>a|l-b 2 j + a 2 (l-b) + 2b 2 + 4b-6 = 0. (l-b)(l + b) + a 2 (l-b) + (b-l)(2b + 6) = 0. (l-b)Ịa(l + b) + a 2 -2b-óì = 0. ^(l-b)Ịb(a-2) + a 2 +a-6) = 0^(l-b)(a-2)(b + a + 3) = 0. Vx+ỹ = 2 VỸ = 1 <=>aự- o(l- a = 2 b = 1 x + y = 4 ,y = i Ta có kết quả tương tự lời giải ttên. 680 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chú ý. Nhiều học sinh sai lầm khi cho rằng (1) có nghiệm duy nhất vì là hàm đồng biến. Điều cần lưu ý là f(x) đồng biến trên mỗi khoảng 11 8 11 3’ 2 và -;+co . Do đó nếu có nghiệm trên mỗi khoảng thì nghiệm đó là duy nhất V J trên khoảng đó. 8 Ngoài ra nếu chặn điêu kiện y = 4- x>0<=>x<4=>^ 2y > 0,4x-5y-3 > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (l-y)ỊVx-y-l) + x-y + l = 2 + (x-y-l)7ỹ. <=>(l-y). f y — + x-y-l-(x-y-l)^ = 0. Vx-y +1 l-y -+1 - VỸ = 0 . V x “y + 1 (x - y - l)(l - y íụ^I + WF «■ x-y- = 0 . <=> X —y —1 = 0 y = i o 1-y = 0 [y = x-l + THI: Nếu y = 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 9-3x = 0<=>x = 3. + TH2: Nếu y = X -1 khi đó điều kiện trở thành: 1 < X < 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2x 2 -X- 3 = SỈ2 — X (1). 681 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>2^x 2 - x-lj + Ịx-l --\/2- X j = 0 ■ «(x 2 — X — 1 j í 1 2 H— V X - 1 + - X 2 — X — 1 = 0 < > x = Ì+V5 _ . -1 + V5 —— =>y =—- JL — 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;l); ^1 + J_-ịW5 A ~\r~Xr^ Chú ý. Ta có thể giải phương trình (ĩ) bằng nhiều cách khác: Cách 2: (!)<=> 2x“ - X - 3 > 0 2x 2 - x-3 =2-x 2x“ -X -3 > 0 (4x 2 - 7)Ịx 2 - x-lỊ = 0 „ 1 x ■ I + V 5 Hoàn toàn tương tự bài toán trên ta có thể đặt a = yjx - y,b = yfỹ và phân tích a theo a từ phương trình đầu của hệ(ta có một công cụ hết sức mạnh đó là máy tính bỏ túi). Bài 5. Giải hệ phương trình x/x-y+Vx-2 =2 < ĩ— -—---- r— -- _ . x,yel . ^x 2 +y 2 -xy(x-y)+^y(x-y) =2^(x-y-l) Lời giải Điều kiện: x>2,x>y,x 2 +y 2 - xy(x-y)>0. + Nếu X = y vế trái phương trình thứ hai của hệ âm nên vô nghiệm. + Nếu X > y viết lại hệ phương trình dưới dạng: +^/(x-2)(x-y) 2 =2(x-y) .^x 2 + 2y 2 -2xy(x - y) + ^2y(x - y) = 4(x - y - 1 ) Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 682 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>x-y-2 = 0<=>y = x-2. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: V 2 + Vx —2 = 2 <=> Vx —2 = 2 — V 2 X = 8 — 4 V 2 => y = 6 — 4 V 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ^8 - 4V2;6 - 4 V 2 Bài 6. Giải hệ phương trình Lờt' giải Điều kiện: 13x 3 + 5x - 2> 0. Nhận xét. Phương trình đầu của hệ có dạng tích để nhân liên hợp quen thuộc. Tuy nhiên bài toán sai lệch hằng sô" 1 bằng hằng số 2. Do vậy không đơn thuần X = — y . Để ý phương trình thứ hai của hệ phần tử -4y xuất hiện trong 1 phương trình chỉ có chứa X. Vì vậy suy nghĩ cơ bản là rút y theo X. Vậy ta cần nhân liên hợp cho cả hai nhân tử của phương trình đầu của hệ. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: y + Vy 2 + 1 = 2 |Vx 2 + 1-X x + v/x 2 + 1 =2ị + 1 -y Bằng cách loại bỏ Jy 2 +1 từ hai phương trình của hệ trên ta được: 683 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 2vx 2 +l-2x - Vx 2 +1 + X = 2 y + vy 2 +1 H 2 Vy 2 +1 - 2 y <=> 3Vx 2 + 1 - 5x = 4y <=> 3Vx 2 +1 -4y = 5x . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 5x(x + 3 ) = 5x/l3x 3 + 5x-2 <=>X 2 + 3x = Vl3x 3 +5x-2 . X 2 +3x>0 (x-l)Ịx 3 -6x 2 +3x-2j = 0 x 2 +3x>0 [x = 1 (x-l)|^3(x-l) 3 -(x + 1) 3 j = 0 x = 2 + ịị3 + ịf9 . 3^-5 X = l,y = ——;- x = 2 + ^3 + W,y = —-—- Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = [l,;^M; 2 + ìlĩ + fid V ) V TVT1_ & 'ả. a.t__ _ ĩì : A .„ _ ' ắ 4_1 »_ : £ _ 3Ặ2 + 1/3+ w) 2 +1 - 5 Ị 2 + ^3 + ệ/ộ ] 3 Ặ2 + ^3 + >/9 Ị 2 +1 - 5 (2 + ^3 + 3/9 Ị Nhận xét. Ngoài ra ta có thể thực hiện nhân liên hợp rồi biến đổi tương đương như sau: x + Vx 2 +l=2^y 2 +l-yJ o X + 2 y = 2 -ựy 2 +1 - vx 2 +1 . <=> X 2 + 4xy + 4y 2 = 4^y 2 +1 j - lẬx 2 + lj|y 2 +1 j + X 2 +1 <=> 4 ị X 2 + l)(y 2 +1) = 5 -4xy <=> 5 - 4xy > 0 í "|(5 x+ 4y) 2 -9(x 2 +l) = 0^| Ta có tót. quả tương tưtrên. 5 - 4xy > 0 )Ịx 2 + lỊỊy 2 + lỊ = 25 - 40xy + 16x 2 y 2 5 - 4xy > 0 X +1 = 5x + 4y 684 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: 2(x -y)~ + 10x-6y +12 > 0,x + 4-y 2 > 0,y > 0,x > -2 . Viết lại phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: 2x 2 + 2y 2 -4xy + 6x-6y + 4 _ y-x-2 ^2x 2 +2y 2 -4xy + 10x-6y + 12 +2^x+2 ^ + Vx + 2 _ 2(x + l-y)(x + 2-y) __ x + 2-y yj: 2x 2 + 2y 2 -4xy + lOx - 6y + 12 + 2yjx + 2 VỸ + Vx + 2 ( \ <=>(x + 2-y) . - -- + —ị =— ,- =0 [-Ự2X 2 +2y 2 -4xy+ 10x-6y + 12 +2^x + 2 V y+vX+2^ Do vậy với cách này nếu nhân liên hợp trực tiếp rất khó xử lý nhân tử lúc sau ở phương trình tích trên. Ta biến đổi tương đương phương trình (1) như sau: yị 2x 2 + 2y 2 -4xy + lOx - 6y + 12 = ^/ỹ + Vx + 2 . <=> 2x 2 + 2y 2 - 4xy + lOx -6y + 12 = x + y + 2 + 2^y(x + 2). «2x 2 +2y 2 -4xy + 9x-7y + 10-2,Jy(x + 2) - 0. <=> Ị-v/ỹ - Vx + 2 + 2x 2 + 2y 2 - 4xy + 8x - 8y + 8 = 0. <=>(Jỹ-Vx + 2)"+2(x-y + 2)"=0<=>| I~y ị <=>y = x + 2. v ì \ ) [vy -Vx + 2 =0 Thay y = X + 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: _ n Tx = o = 0 <=> X = -3 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm X = 0 => y = 2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;2). 685 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 8.Giải hệ phương trình: (x-l)Vx + 1 -ỵĩc + X-y + \jy-2 + 4x-3y - 0 y 2 ,Ịx,y e mỊ. X + xy+1 3/3 , 2 . 2 yx' +x + y + xy = Lời giải Điều kiện: X > -l,y > 2,x 2 + x - y > 0,x + xy + 1 > 0 . Phương trình thứ hai của hệ viết lại dưới dạng: 3 / 3 2 . 2 ■'x + x +y +xy - y : <=> íx 2 + y 2 + xy y y ^/x + xy +1 )(x-y + l) y(y + l)(y-x-l) 3/3 . __2 . __2 J/ x +x +y +xy )~+y>í 3 . __2 . __2 . ____ . __2 X +x +y +xy + y yjx + xy +1 <=> y = x + l Thay y = X +1 vào phương trình đầu của hệ ta được: (x-ljx/x + l- Vx 2 -l+x/x-l + x-3 = 0. <=> \ Jx 2 - iỊVx-1-iỊ + a/x <=> Vx z -1.- 2 - x-2 «(x-2) x/x-1 + 1 Vx-1 +1 Vx 2 -1 1 /x-1 -l + x-2 = 0. x-2 + X-2 = 0. Vx-1 + 1 Vx-1 +1 + 1 0«>x = 2^>y = 3 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (2;3). Bài 9.Giải hệ phương trình: 25y+ 9V9xy-4 = 2y2 + 18x2+2 (1) x(y 2 + l) [x 2 + y 2 + \Ị&X 2 -12xy+ 8y 2 = X + y + 2xy (2) Lời giải Viết lại (2) dưới dạng (x - y)~ + ^Jsx 2 - 12xy + 8y 2 - (x + y) = 0 686 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f \ <=>( x “y) 2 1+ , 7 - =0 (3). ^ y8x 2 -12xy + 8y 2 +x + y y Mặt khác: Ậx 2 -12xy + 8y 2 + x + y = Ậx + yỴ + ĩịx-yỴ + x + y>|x + y| + x + y>0 ỉìn An ỉ V — V 1 — 0 Y = V Do đó (3) <=> (x - y)" = 0 X = y . Thay vào (1) ta được: -9V9 25x + 9V9x -4 = 20x 2 +2 4 <=> 9xV9x -4 = 2 - 25x 4 -5x 2 X 2 +1 x(x 2 +l) Bình phương hai vế phương trình ta được 4Ỉ2x 2 - l](l3x 6 + 117x 4 + 78x 2 +1] I, -2-21_---- = 0 <=>2x 2 -1 = 0<=>X = +J— . M Thử lại chỉ nhận nghiệm X = ■ Suy ra (x;y) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Bài lO.Giải hệ phương trình: V ' 2 V2, /2 (x 2 + y“ ] + 2Ỉ5x- 3vì — 4| xy - 3 ] - \fỹ = Vx + 2 (1) 1 ix.yeM ^y 2 -4(x + ỵj + 17 -^/\y-3' \ ỉ > Ị I ]K = 1 (2) Lời giải Viết lại (1) dưới dạng ^Ịx 2 +y 2 j + 2(5x - 3y) - 4(xy - 3 ) = + x/x + 2 «2Ịx 2 +y 2 Ị + 2(5x-3y)-4(xy-3) = x + y + 2 + 2^y(x + 2) «2x 2 +2y 2 +9x-7y-4xy + 10 = 2^y(x + 2) <=>2x 2 +2y 2 -4y(x + 2) + y + 9x + 10 = 2^ỹ(x"+2y <=>2(x + 2)“ -4y(x + 2) + 2y 2 + X + 2 + y = 2^jy (x + 2 ) / \~ í I - /— íx + 2-y = 0 <=> 2(x + 2-y 1“ + a/x + 2 - Jy) = 0«>< r - r- <=>y = x + 2 . v ; v ’ [x/x + 2 -\]y =0 687 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay vào (2) ta được: ^(x + 2) 2 -4(2x + 2) + 17-3^x(x + 2)-3(2x + 2) + 18 = 1. «• Vx 2 -4x + 13-\/x 2 -4x + 12 = l^Ậx-2) 2 +9 = ^(x-2) 2 + 8 + 1 (3). Đặt u = ^j(x-2j+8,ịu> 2 ). Khi đó (3) trở thành: Vu 3 +1 = u + 1<=>u 3 -u 2 -2u = 0. <=>u(u-2)(u + l) = 0<=>u = 2<=>(x-2)“=0<=>x = 2. Suy ra (x;y) = (2; 4 ). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;4j. c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cách 1 . Điều kiện: X > 0,x 2 - y 2 > 0 . Từ phương ttình đầu của hệ suy ra y > 0. Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình xét y > 0. Viết lại phương trình đầu của hệ dưới dạng: 4 2 Thay y = -2=7 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V5 y/x +2x = 3<=>x = l=>y = -^= . V 5 688 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com v, 4~5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = V x~> / Cách 2: Ta biến bình phương hai vế phương trình đầu của hệ ta được: X 2 +y 2 = 2y-\Jx 2 -y 2 =^x 2 +y 2 =x 2 + y = 0 y = 2 \l 3y 2 -4yị x 2 -y 2 . <=> 2y| y-2-dx 2 -y 2 | = 0o 2 2 X -y <=> y = 0 y > 0 v=4(* 2 -y 2 ) Xét trường hợp thay vào phương trình thư hai của hệ ta có kết quả tương tự. X - 3^x + 3 = 3-y/y-5 - y ^x 2 +16(y-x)+y = 2V^ỹ Lờí giải Điều kiện: X > 0,y > 5 . Khi đó phương trình thứ hai của hệ tương đương với: yx 2 +16(y-x) + y V x y+y x-16 2y ^x 2 +16(y-x)+y Vxỹ + y <=>(x-y) = 0 ( 1 ). V V \- / - y Ta chứng minh X < 16 . Thật vậy từ phương trình đầu của hệ ta có: _ _ Ị ' _ ,\ 2 _ x-3Vx + 3=3^/y-5-y<=> yjy-5-^- + X - 3Vx + 3 +-!-í-= 0 . { 2J 4 X - 3\lx + 3 + ^- < 0 «• 4 11? .„/ „ . .7 + 6VĨÕ X H-— V 4 y < 9(x + 3 ) <=> -3 < X < - <16 Do đó (1) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: 2 x = = 3Ụx + 3 + Vx -5 j <=> 4x 2 - 9^2x - 2 + 2^J X 2 -2x-15 |. 689 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com r— - Í2x 2 -9x + 9>0 <=>9vx 2 -2x-15 =2x 2 -9x + 9«>< , . , >2 81 X 2 -2x-15 j= 2 x 2 -9x + 9 <=> X = 6. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (6 ;ó). Nhận thấy X = --^Ị-hoặc y = không là nghiệm của hệ khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2(x-y) , Y 2 7 ===- /— + x-y = 0^(x-y) 1+ 7 == V2x + l + .ự2y + l \ V 2x + l + - N /2y + l Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 16x 4 + 5 = 6v/4x 3 + X . Để giải phương trình này ta đánh giá như sau: 16x 4 + 5 = 6x/4x 3 + x = ĩ.^Ax.ịếx 2 + lj < 2 + 4x + 4x 2 +1. «(2x-l) 2 Ị2x 2 +2x + lỊ<0x = ^=>y = ^. \ = 0«>x = y. 690 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: 1 3 --r—T J r\ x 3 (y + l)>0 X 3 +x 2 > 0 i + ỵ±2>0 <=> ■ IX > 0 y>-l v< X = —- 2 3 ' y 2 THI: Nếu X = —- 2 3 y 2 thử lại hệ thấy không thỏa mãn. TH2: Nếu X > 0, y > -1 khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: 2 (y + l-x) x-y- ■l + ^/2y + 3 -V2x + 1 = 0<=>x-y-l + ^2y + 3 + \Ị 2x +1 = 0 . <=> (x-y-i) 1- V 2x +1 + ^2y + 3 = 0 . , 2 \Ỉ2x^-ĩ + ^J2ỹ^-3 -2 <=>x-y-l = 0 (do 1 — - = — . I '\J2.X +1 + -y2y + 3 V2x + 1 +y2y+ 3 Thay y = X - 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: >0). 2x 3 +x 2 + 3x +1 = 2 xV X 3 + X 2 + 2x 2 Jl + x + 1 <=> 2x 3 + X 2 + 3x +1 = 2x 2 \/x + 1 + -h 2 V ' J Để giải phương trình vô tỷ này ta có hai cách xử lý như sau: Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 x J Vx + 1 + + 2 =2x^x 2 (x + l) +2x J : X 2 —X — 1 — 0 < x>0 X 2 Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Cách 2: Phương trình tương đương với: Lời giải Điều kiện: X - y + 3 > 0 . Phương trình thứ hai của hệ được biến đổi thành: Ịx 2 + xj7 x -y + 3 =2^x 2 + xj -(x-y - lj. o(x 2 +x)fJx-y + 3-2) + x-y-U0o(x 2 +l).^ llZJl 1 tx-y-PO v A ' x 1 Ậ-y + 3 + 2 1 + 75,75-1" 2 ’ 2 / o(x-y-l) 2 X +x /x-y + 3 +2 + 1 =0oỊx-y-lỊ. x 2 +x + 2 + 7x-y + 3 Jx-y + 3 +2 <=>x-y-l = 0<=>y = x-l. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: (7 + l)7x 2 -x + 2+(x-2)7x 2 +x + l =2x -1. Để giải phương trình vô tỷ này ta đặt 692 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó phương trình trở thành: Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0,xy + (x - y)Ị^/xỹ- 2j > 0 . Nhận thấy xy = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X > 0 và y > 0. Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Ta chứng minh y + yfxỹ - 2 > 0 . Thật vậy từ phương trình thứ hai của hệ ta có: I — 4 ( \ ( x — l) + I — y + Jxy =—— -x(l-x) = --- - + 2>2=>y + Jxy - 2 >0. x+1 v ’ x+1 Do đó (1) <=> X = y . Thay y - X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 693 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (x + l)Ị3x-x 2 ) = 4^(x-l)Ịx 2 -x-4) = 0 < — > X = 1 X = ■ 1 + VĨ7 • Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;l); 1 1 + a/i 7\ l + ^'/l7 X X 3 + a/x 2 +2y + l = x 2 y + y +1 [(x + y-l)7y + l =10 Lời giải Điều kiện: X 2 +2y +1 > 0,y >-1. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: X 2 (x -y) + ^/x 2 +2y + 1 -(y +1) = 0 . <=> X' 2 2 (*-y)+ ,- Ịpp -- -y X + 2y +1 + y +1 r = 0 . <=> (x-y) X 2 + X + y -y/x" + 2y +1 + y +1 = 0 ( 1 ). Để hệ có nghiệm ta phải có X + y > 1 nên (1) <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (2x-l)Vx+I = 10. vế trái là một hàm đồng biến suy ra có nghiệm duy nhất X = 3 => y = 3. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;3). x(x + y) + Vx + y =2y 2 -^2y Bài 8. Giải hệ phương trình ị x 2 y - 5x 2 + 7x + 7y - 4 = 6^/xy - X +1 Lời giải Điều kiện: y > 0,x + y > 0 . Nhận thây y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên với y > 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: X 2 + xy - 2y 2 + 1 ^/x + y - yjĩỹ - 0 . 694 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ^(x-y)(x + 2y)- <=>(x-y) x + 2y- V x +V +- /x + y+ V 2 y :0<íí>x = y . Thay vào phương trình t^ứ hai củiTEẹ ta được: X 3 -5x 2 + 14x-4 = 6^/x 2 -x + 1 . «• (x +1) 3 + 3(x +1) = 8x 2 -8x + 8 + 3\J$X 2 -8x + 8 <=> X + 1 = a/8x 2 - 8x + 8 <=> X = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). X 2 +y 2 +2ơ2x 2 -3xy + 2y 2 = x + y + 2xy Bài 9. Giải hệ phương trình v \Ịx + y + \Jx-y = 3x - 4y + 4 Lời giải Điều kiện: x + y>0,x-y>0 Nhận thây X + y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét với X + y > 0. Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: (x-y)“ + 2^2x 2 -3xy + 2y 2 -(x + y) = 0 ~(*-y f 7x 2 — 14xy + 7y 2 2-J2x 2 — 3xy + 2y 2 + X + y \ 2 <=>(x-y) 1 2ơ2x 2 - 3xy + 2y 2 + X + y = 0<=>x = y. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: yỊĩx = 4-x <=> x z -8x + 16 = 2x <=> X = 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). 695 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Thực hiện tương tự bài tập mẫu sô" 6 từ phương trình đầu của hệ ta được: 16x 2 +4y 2 +20xy-9 = 0. Vậy bài toán quy về giải hệ phương trình Jl6x 2 +4y 2 +20xy-9 = 0 ỊlOOx 2 + 56xy + 10y 2 - 39x - 3y = 18 <=> 14y 2 + 20xy = -16x 2 + 9 10y 2 + (56x - 3)y = -lOOx 2 + 39x +18 Sử dụng kỹ thuật hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta tìm được \JAÍ ^ _ 1 . Ir _ 5 + 3^ Với X = — => y =-—-. 2 4 1 , 2 184x 2 -3ƠX + 9 3-20x Vớix^—tacóy =----,y=---. 2 4 2 Ta có phương ưình 184x" -3Qx + 9 4 3 - 20x \2 <=> X = 0 => VN 5 8' x = —,y = -- 12 3 ( 5 8 Ì 1 5 + 3 V 5 " U2 ; V 2 ’ 4 V / Bài 11. Giải hệ phương trình ( X + Vx 2 +1 )(y + Vy 2 +11 = 2 11 ' < V A ) ,XE 18x 3 +16y 2 +40xy + 34x 2 =9a/i + 2xa/1-3x 2 3 Lời giải Tương tự bài tập mẫu số 06 và bài tập rèn luyện 10 từ phương trình đầu ta có: 40xy = 9 -16 Ịx 2 + y 2 j. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3 2 . /1 4 3/1 1 1 +1 + 2x 1 +1 + 1 — 3x 2 2x 3 +3x 2 + l = vl + 2x.yl-3x <—--—--= l-x 2 . <=> 2x 2 (x + 2 ) < 0 <=> X = 0 => y = — . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn yêu cầu đề bài là: (x;y) = fo;2 696 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Từ phương trình đầu của hệ ta có (x-y + l)=0<=>y = x + l. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V3x - 8 - Vx +1 = ———. 2 x-ll Thực hiện tương tự bài tập mẫu sô" 03 ta được (x;y) = (3;4);(8;9). Lời giải Điều kiện: 0< X < l,x - y > 0,x + y + 3 > 0,2x + y * Q Q 2 x + y Từ phương trình đầu của hệ ta được: (x-y -l)ÍVx -lj + x-y -1 + 2 = 2x-y + ịl-x'ịsjx-ỹ . o(x-y-l)-p- = (x-l)(l-Vx-y). <=>(x-l)(x-y-l) —pi—+ , 1 - =0« x 1 . v V^ỹ+U Ly = *-1 + THI: Nếu X = 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;0). LMggiải 697 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện: 2xy - X 2 > 0,2 - xy 2 > 0 Hệ phương trình có nghiệm khi y > 0. Nhận xét: Thế 2 - xy 2 = X 2 - 2y(x - y) từ phương trình hai vào phương trình đầu ta được một phương trình đẳng cấp. Khi đó: ^2xy-x 2 + yjx 2 -2y(x-y) = 2y <=> ^2xy -X 2 -y + sịĩỹ 2 + x 2 -2xy -y = 0 „2 .,2 2 , ,2 ~ 0 2 xy - x z - y ^ y + x^ - 2xy ^2xy -X 2 +y ^2y 2 +x 2 -2xy + y »h-y) 2 í T-T ' ■ -1- = 0 ( 1 \ 1 + X 2 _ 2xy + y ^2xy-x 2 +y y <=> x = y x = y 2y 2 + X 2 - 2xy = ^2xy -X 2 <=> = 0 <=> X = y . 2 (x-y) =0 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 = xfx + x 2 j <=> X 3 + x 2 -2 = 0 <=>(x-l)Ịx 2 +2x + 2j = 0<=>x = l=>y = l. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l j. Bài 15.Giải hệ phương trình 1 y + v 3y 2 - ^3y 2 - 2y + 3x 2 + 6 = 3x + V -4x 2 -3y + 3x + l = 0 f 7x 2 +7+2 Lời giải Điều kiện: 3y 2 -2y + 3x 2 +6>0 Hệ phương trình đã cho tương đương với: y - 3x - 2 + ^j3ỹ 2 ^-2ỹ~+3x 2 ^ị-~6 - VỸX 2 + 7 = 0 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 y - 3x - 2 + 3y 2 -4x 2 -2y -1 ìịĩỹ 2 -2y+ 3x 2 +6 + VỸX 2 + 7 = 0 [3y 2 - 4x 2 - 3y + 3x +1 = 0 698 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Í3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l) + y-3x-2 y-3x-2 + V ’ - = 0 V3y 2 -2y + 3x 2 +6 + V7x 2 + 7 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 y - 3x - 2 + y-3x-2 ^3y 2 -2y + 3x 2 +6 +^7x 2 +7 = 0 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 (y-3x-2) 1 + ■\Ị 3y 2 - 2y + 3x 2 + 6 + \Itx 2 +7 = 0 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 <=> ■ y = 3x + 2 Jy = 3x + 2 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 [23x 2 +30x + 7 = 0 <=> Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = x = -l,y = -l 7 25 x = -—,y = — 23 23 7 25 23’23 Nhân xét: Bằng kỹ thuật nhân liên hợp và sử dụng phép thế ở trên ta có thể sáng tác rất nhiều bài toán hay có dạng tương tự. Vận dụng kết hợp các phép toán này có nhắc đến một lần nữa trong kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Bài 16. Giải hệ phương trình: ^5x 2 +2xy + 2y 2 + ^2x 2 +2xy+ 5y 2 =3(x + y) yj 2x + y +1 + 2^/7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 Lời giải Để ý phân tích phương trình đầu của hệ dưới dạng: yịĩx 2 + 2xy + 2y 2 + yj2x 2 + 2xy + 5y 2 Ta có: = ^4x 2 +y 2 + (x + y) 2 + ^(x + y) 2 +x 2 +4y 2 ^ + y 2 + (x + y) 2 >Jy + í(3x + yf ỊýMăkkhứaìĩ 699 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu bằng xảy ra <=> X = y > 0 . Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V3x + 1 + 2^/l9x + 8 = 2x 2 + X + 5. «• X +1 - V3x + 1 + 2 Ịx + 2 - 3/l9x + 8 Ị + 2x 2 -2x = 0. ^ X Ỵ +2.--- x3+6x2 ~ 7x — + 2 (x 2 -x) = 0 . X + 1 + V3X+1 Ị x + 2) 2 + ịx + 2Ịv/l9x + 8 + Ịựl9x + 8] 2 ( \ o(x 2 -x) - — +2.- x + 7 - - +2 =0 ^x + l + V3x + l (x + 2) 2 +(x + 2)^/l9x + 8+Ị^/l9x + 8Ị 2 2 ^ X = 0 X = y = 0 <=> X -x = 0<=> X = 1 |_x = y = 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0];(l;l). /xy + (x-y)(7xỹ-2)+Vx=y + 7ỹ (1) Bài 17. Giải hệ phương trình < V v \ ' V^ĩ + Vỹ r ĩ = 4 (2) Lời giải Điều kiện x - l>y - 1 . Viết phương trình thứ nhất của hệ dưới dạng: ^xy + (x-y)Ị7xỹ-2j-y = x/ỹ-Vx xy-y 2 +(x-y)(x/xỹ-2) _ y _ x ^xy + (x-y)(V^-2)+y x/ỹ + v^ /■ \ /„ \ x + x/xy-2 1 _ <=^> (x — yj ầ== _ _ + = 0 <=> X = y Uxy + (x-y)(Vxỹ-2)+y V x + v/y 700 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (Do X + ^Jxỹ - 2 > 0 ). Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2-y/x-l = 4<=>x = 5=>y = 5. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (5;5). mMo .. [Jx 2 +2(y-l)(x-y) + 7xy =2y (1) Bài 18. Giải hệ phương trình < v v /—^- - 1 - ,— x(2x + 2yf 5) + y(y-3) + 3 = 0 V (2) Lời giải Điều kiện X 2 + 2(y-l)(x-y),xy >0 Để hệ phương trình ta phải có y > 0 => X > 0 . Nhận thấy X = 0 hoặc y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Với X > 0,y > 0 khi đó viết lại (1) dưới dạng: ^/x 2 + 2(y-l)(x-y)-y = y-. N /xỹ• 0 x 2 -y 2 +2(x-y)(y-l) _ y?- xy . tỊx 2 + 2(y-l)(x-y) + y y + Vxỹ f \ <=>(x-y) 7= = == =—+— -J= =0 . ^x 2 +2(y-l)(x-y)+y y + V x yJ Do vậy việc xử lý phương trình tích sau cùng tương đối khó khăn ta biến đổi tương đương phương trình đầu của hệ như sau: ^x 2 +2(y-l)(x-y)=2y-7^ỹ 2y-Vxỹ^0 <=> 1 ' ,— x 2 + 2(y-l)(x-y) = 4y 2 -4y^xy +xy Í2y-7xỹ>0 [óy 2 -4y^Jxỹ -xy + 2x-2y-x 2 =0 2 y “ Vxỹ > 0 4y(y-^ỹ) + (y-x)(2y + x) = 0 701 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com oi 2y~Vxy>0 4y 2 .^^ + (y-x)(x + 2y) = 0 y+v x y Í2y-V^>0 (y- x ) 4y y + Jxỹ + x + 2y = 0 <=>x = y. Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: | X = 1 x(4x-5) + x(x-3) + 3 = 0<=>5x 2 - 8x + 3 = 0<=> 3 : X = — 5 x = l,y = l 3 3 x 5’ y 5 \ í 3 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l); . 5 5 A /4x 2 +(4x-9)(x-y)+^ỹ = 3y (1) 4^(x + 2)(y + 2x)=3(x + 3) (2) Lời giải Để phương trình có nghiệm ta phải có y > 0 do đó X > 0 . Viết lại (1) dưới dạng ^4x 2 +(4x-9)(x-y) -2y = y -yfxỹ . 4x 2 -4y 2 +(4x-9)(x-y) y(y-x) ^4x 2 + (4x-9)(x-y) +2y y + Vxỹ <=>( x -y) 8x + 4y-9 y ^4x 2 +(4x-9)(x-y)+2y y + v*ỹ = 0(3) . Mặt khác từ (2) ta có ló(x + 2)(y + 2x) = 9(x + 3 )’ <=>8x + 4y = n 9 (x + 3) 2 9x 2 +3ÓX + 45 Do đó 8x + 4y -9 = —7 -4-- 9 =- 7 — 2 - > 0 . 2 (x + 2) 2 (x + 2) Vì vậy (3) <=> X = y . Thay y = X vào (2) ta được: 9(x + 3) 2 2(x + 2) 702 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X = 1 4 Í3x(x + 2) = 3(x + 3)■=■ 39x 2 + 42x -81 = 0 o 27 ' Ị— . L x= -Õ Đôi chiếu với đĩeu kiện suy ra (x;y) = (l;l) ■ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). Nhân xét: Từ phương trình đầu của hệ ta có thể tìm ra X = y bằng phép biến đổi tương đương như sau: ^4x 2 +(4x-9)(x-y) = 3y- ựxy . 3y-Vxỹ>0 <=> \ _ 4x 2 + (4x-9)(x-y) = 9y 2 + xy -6y^jxy Í3y-^>0 [8X 2 - 9x - 5xy + 9y - 9y 2 + ỎỴyịxỹ = 0 3y-^xỹ>0 8 ^x 2 -y 2 j + yỊ6^/xỹ-5x-yỊ-9(x-y) = 0 3y-^/xỹ>0 (x-y) 8x + 8y+ y~ 25x - 9 =o' ^ 6^xy+5x + y y Do 8x + 8y + Z-~ — -9 = 8x + 4y - 9 + 4y + y~ 25x 6 ^/xy + 5x + y 6yxy + 5x + y y-25x 24y Jxỹ + 20xy + 4y 2 + y - 25x > 4y + — -Ị ==———-= — v Ị — J — ---> 0 6yjxy + 5x + y 6yxy + 5x + y Vì vậy X = y ta có kết quả tương tự. 703 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá 3ề 19, MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VÀ RÈN LUYỆN NÂNG CAO + Nội dung chủ đề này cung cấp một sô bài toán tổng hợp để các em rèn luyện các kỹ thuật đã được học từ các chủ đề trước đó. + Bao gồm 60 bài toán chọn lọc đề cập đến phần lớn các kỹ thuật xử lý hệ phương trình. + Các bài toán đề xuất chọn lọc hay và khó đồng thời chứa đựng nhiều tư tưởng mới do đó sẽ kèm theo 1 số bài tập rèn luyện dành cho bạn đọc rèn luyện. Nguồn: Được sưu tầm từ đề thi thử của Newstudy.vn, báo toán học tuổi trẻ và một số đề thi khác. Bài 1. Giải hệ phương trình: « Vx + 2 +3^y-ỉ = ^j (2 x-l) 2 + (2y-lf Í5(x 2 + y 2 -3) v ; ,(x,y Ẽ R). = 18 Lời giải Điều kiện: X > -2,y > l;x 2 + y 2 -3 > 0 . Phân tích tìm lời giải: Nhìn nhận hệ phương trình ta có 2 nhận định: + Phương trình thứ hai của hệ dạng bậc hai thử xem có phân tích được nhân tử hay khôhng. + Phương trình đầu của hệ chứa 3 căn thức thông thường suy nghĩ bình phương khử căn đầu tiên nếu không được thử áp dụng bất đẳng thức. + Nếu các hướng trên không được vậy thử xem cả 2 phương trình của hệ có mối liên hệ nào giữa 3 căn thức Vx + 2,^/y - l,^5|x 2 +y 2 -3j và thông thường để tìm môi liên hệ này ta cần tách phương trình thứ hai theo x + 2;y-l;x 2 +y 2 -3. Như đã phân tích 2 hướng đầu tiên không xử lý được vậy viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: 4x 2 - 4x + 4y 2 - 4y -16 = 0 . <=> X 2 + y 2 - 3 = X + y + 1 <=> (x + 2 ) + (y - 1 ) = X 2 + y 2 - 3. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: x/x + 2 + 3^/y-l = ^Ịx 2 +y 2 -3j (x + 2)^-lj = x 2 +y 2 -3 ' 704 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Rõ ràng khi viết lại hệ dưới dạng trên ta chỉ cần sử dụng phép thế để tìm môi liên hệ giữa 2 căn thức đầu tiên. Thật vậy ta có Vx + 2 + 3-y/y-l = + 2 ) + (y-. ox + 2 + 6^(x + 2)(y-l)+9(y-l) = 5[(x + 2) + (y-l)]. <=> Wx + 2 -6^(x + 2)(y-l) -4(y-l) = 0 . <=> ỊVx + 2 -2-Jỹ--TjỊWx + 2 + 2-y/ỹ--7j = 0 . r /-- _ /- 7 x=4y-6 VX + 2 =2yy-l <=> ,- ,- <=> X = -2 . Wx + 2+2Vy-l ịy =1 + THI: Thử lại (x;y) = ( _ 2;l) thấy không thoả mãn. + TH2: Với X = 4y - 6 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: (8y-13) 2 +(2y-l) 2 =18. y = 2 x = 2,y = 2 <=>68y 2 -212y + 152 = 0<=> 19^ 26 19- y = 73 X = -72Ị, y = 73 L 17 L 17 17 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (2;2); Với hình thức phương trình đầu của hệ thật khó để khai thác được gì. Phương trình thứ hai của hệ có nhân tử đi cùng với -^2 - y 2 dạng bậc 2 nên tìm cách phân tích thành nhân tử. Ta có: X 2 +xy-x + y-2 = x 2 +x(y-lj + y-2 . 705 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Coi đây là tam thức bậc 2 của X ta có: A x = (y -l) 2 -4-(y - 2 ) = (y -3) 2 . „ l-y+y-3 ,, _ l-y-y+3 Suy ra X = —-= -1 hoặc X =--= -y + 2 . 2 2 Do đó phương ttình thứ hai của hệ tương đương với: (x + l)(x + y-2) ^2-y 2 =x + y-2. Vậy hệ phương trình đã cho tương âưẬng với: 312 - 4,^7 = 2 -,^ (x + l^x + y-2y^2-y 2 =x + y-2 3(2-x)^2V=2-y + x+y-2=0 (x + l)^7 = l x + 1 <=> X + y-2 = 0 x + 1 3(2-x)^2^ 2 =2-y + (x + l)ự2-y 2 =1 3(2-x)v / 2^ 2 =2-y+ 4 ( 1 ) ( 2 ) x + 1 Ta có: (1) y = 2 -X 3(2-xjJ2-Ị2-xj =x + x + 1 Chú ý hệ phương trình này có nghiệm khi ị2 - x)(x + 1) > 0 <=> -1 < X < 2 . Khi đó sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: , x r 77 Tã" ( 2 -x) 2 +2-(2-x) 2 3(2-x) a /2-(2-x) <3.2- Ỉ-^LA - L = 3 4 4 X + —— = X +1 + — 2--1 > 2 x+1 x+1 Ậx+l). x + 1 ■-1 = 3 Hệ phương trình có nghiệm khi đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1 => y = 1. (x + i)^r=ì 3(2-x)(x + l)V2-y 2 =(2-y)(x + l) + 4 Ta có: (2) <=> s 706 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận xét. Đây là một bài toán hay và khó mấu chốt của bài toán là phân tích thành nhân tử từ phương trình thứ hai của hệ. Đoạn xử lý phương trình lúc sau cần khéo léo. Lời giải Điều kiện: X > 3,y > 0 . Đặt t = *Jy + 3,ịt > V 3 j => y = t 2 -3phương trình thứ nhất của hệ trở thành: x(x- 3) 2 = 2 + Ịt 2 - 3Ìt <=> x(x-3) 2 - 2 = t 3 -3t. «(x-2) 3 -3(x-2) = t 3 -3t (1). Với X > 3=> x-2> l,t :> V 3 > 1. Xét hàm số f(u) = u 3 -3u với u>ltacó f'(u) = 3u 2 - 3 > 0, Vu > 1. Vì vậy f(u) là hàm đồng biến với u > 1. 707 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do đó (1) <=> f (x - 2 ) = f(t) <=>x-2 = t<=>x = t+ 2. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3VTn=.J(t 2 -3)(t 2 + 5 ) ^9(t-l) = (t 2 -3)(t 2 + 5 ). <=> t 4 + 2t 2 -9t-6 = 0«(t-2)ít 3 +2t 2 +6t + 3Ì = 0«t = 2 (vì t 3 +2t 2 + 6t + 3>0,Vt > V 3 ). Với t = 2 <=> sjy+ 3 = 2<=>y = l=>x = 4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;l). Nhận xét. Sau khi đặt như trên suy nghĩ đến việc đưa phương trình về dạng hàm đặc trưng và vấn đề của ta làm tìm môi liên hệ giữa X và t. Muôn vậy ta có một công cụ rất mạnh là Máy tính cầm tay và ta thực hiện như sau: Bước 1. Nhập vào máy tính số 1000 và gán vào biến nhớ A. Bưởc 2. Nhập vào phương trình trên ở đâu có t ta thay bằng A. Cụ thể như sau: x(x - 3 ) — 2 = A 3 — 3A . Bước 3. Nhấn SHIFT +SOLVE máy hiện kết quả 1002 tức là X = t + 2 hay t = X - 2 do đó ta viết lại phương trình dưới dạng: (x -2) 3 - 3(x - 2 ) = t 3 - 3t. Ngoài ra sau khi biến đổi phương trình về dạng như trên ta có thể phân tích nhân tử như sau: «(x-t-2)íx 2 +(t-4)x + t 2 - 2t + lj = 0 (1). Do X > 3,t > \Ỉ3 nên X 2 +(t -4)x +1 2 -2t + 1 = (x -l)(x -3) + (t -1)~ + tx-3 > 0 . Vì vậy (l)<=>x-t-2 = 0«>x = t + 2. Lời giải Điều kiện: 3x - y > 0 . ... 2(3x-y) + y-J6x-2y =5 Hệ phương trình đã cho tương đương với: < , (3x-y) 2 -2(y-J^) 2 =2 Đ|fe Up3?toy,^= đó h^hiMfi^'ìi^^ỔsílỊ| ; ^fc 708 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Í2u + V = 5 |u = 2 |u 2 -2v 2 =2 < ^|v = l hoặc THI: Nếu Ju = 2 Í3x-y = 2 Í3x = y + 2 iv = ĩ 0 f y -^ = l 0 iy-2 = l ° (thỏa mãn điều kiện). TH2: Nếu Lời giải Phân tích tìm lời giải: Bài toán có nhiều hướng tiếp cận: + Phương ữình thứ nhất của hệ chứa 2 căn thức vậy đơn giản chuyển vế về dạng: Tiếp đến khử căn hai vế bằng phép bình phương. Với cách này ta chuyển vế như vậy vì sau khi bình phương ta lược bỏ đi được X 2 + y 2 chung ở hai vế. + Nếu x,y cùng dương ta phát hiện được tính chất hàm đặc trưng từ phương 709 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + Ngoài ra tôi trình bày với bạn đọc 1 phương pháp khử căn khác đó là phép đặt: u = x + v/x 2 -3 < __ . v = y + ìjy 2 +3 Với cách này có thể xử lý rất tốt các bài toán mà hệ chỉ chứa hai căn thức dạng Vx 2 + a;-Jy 2 +b . Điều kiện: |x|>v3. Đặt u = x + \/x -3 V = y + VỸ Z + 3 u > X, V > y u 2 +3 y = - 2u V 2 -3 2v Từ phương ttình đầu suy ra u = V => y = u 2 -3 2u x-y=-. u Phương trình thứ hai của hệ được biến đổi thành: (x-y)Ịx 2 +y 2 +xyj = 3(x-y) + 4. \ 2 <=>(x-y) (x-y) +3xy-3 -4«Ạ u ' - u 2 +3 u 2 -3 2 4 + 3.: , . u 2 2u 2u — 3 = 4. o 9u 4 - 16u 3 -36u 2 + 27 = 0 »(u -3)(9u 3 +1 lu 2 -3u - 9 ) = 0 (1). Nếu X<0 =>X + Vx 2 -3 y + |y| > 0 do đó vô lý. Vậy X > 0 đối chiếu với |x| > V 3 => X > V 3 => u > V 3 > 1. Khi đó 9u 3 +1 lu 2 -3u-9>9.1 3 +3u(u-l) + 8u 2 - 9>0. Do đó (1) <=> u = 3 \ u \ <^> ị V = 3 ■ Vx X + Vx -3=3 |x = 2 <=> y + ựy 2 +3 =3 ư = ì Đôi chiếu với điều kiện u > x,v > y thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y j = (2;l). 710 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cách 2: Biến đổi phương trình đầu của hệ thành: Biến đối phương trình đâu của hệ thành: X -y = ly/y 2 +3 - Vx 2 -3 => X 2 -2xy + y 2 = X 2 + y 2 - 2Ậx 2 — 3^y 2 + 3j . / 2 YYTY? TY xy>0 íxy>0 « x /(x -3)(y ĩ + 3)=xy ° |( x 2 _ 3 Ị( y2 + ,Ị = x 2 y 2 «_ y2 = 3 • Xét hệ pỊmững trình: 17X - vìí X + vì = 3 (x-y)(x + y) = 3 J:ỷ 3 : 3 3 (x-y) + 4~ (x _iT^tzii =3(x _ y)+4 ■ Đặt u = x + y,v = x- yhệ phương trình trở thành: uv = 3 ( 2 2 ^ 3u 2 + V 2 <=> I V 4 = 3v + 4 1 uv = 3 (v-l)Ịv 3 +v 2 -llv-27Ị = 0‘ Thực hiện đánh giá như cách 1 và thử lại nghiệm tìm được (x;y) = (2;l) là nghiệm duy nhất của phương trình: Chú ý. Theo trên ta có x;y > Odo đó ta có thể viết phương trình đầu của hệ dưới dạng: Vx 2 -3 + ^|Vx 2 -3^ +3 =y + \jy 2 +3 . Việc còn lại ta chỉ cần xét hàm số f(t) = t + Vt 2 + 3,t > 0. 711 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Phân tích tìm lời giáỉ: Bài toán có phần tương tự bài toán 2 với 2 đặc điểm phương trình đầu chứa căn thức; phương trình thứ hai có dạng phân thức. + Vậy đầu tiên quy đồng phương trình đầu của hệ ta có ngay nhân tử (x+i)Vy+Ị. + Khi maynhân tử trên ta nghĩ ngay đến việc chuyển \Ịy + 1 sang phải rồi bình phương để có nhân tử ( x + 1) y + 1 từ phương trình đầu của hệ. + Do vậy cả 2 phương trình của hệ đều liên hệ với (X + I ị -yjy + I do đó nghĩ ngay đến sử dụng phép thế. Điều kiện: y > -l,x * -l,2y 2 -7y + 10-x(y + 3 ) > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: ^'ly 2 -7y + 10-x(y+ 3 ) = x + l-^/y + l (x + l)Vy + l=(x + 2y)(x + l)-3 X+1-Vy+1>0 2y 2 -7y + 10-x(y+ 3) = (x + l)" -2(x + l)^/y + 1 + y + 1 . (x + l)Vỹ^ĩ = (x + 2y)(x + l)-3 Thay (x +1 j^/ỹ+ĩ = (x + 2y)(x + 1 ) - 3 từ phương trình dưới lên phương trình trên ta được: 2y 2 -7y + 10-x(y + 3) = (x + l) 2 -2[(x + 2y)(x + l)-3] + y + l. <=> X + 3x(y-l) + 2(y-l) 2 =0 <=> X = 1 - y X = 2-2y THI: Nếu X = 1 - y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: íy>2 (y-2)Vỹ+ĩ = y 2 -y + l <=> • |y>2 ly 4 -3y 3 +6y 2 -2y-3 = 0 (y-2 ) 2 (y + i) = (y 2 -y + i) y>2 2 . í -3 X 2 3y 15 í 6 Ì í 2 ì y + — y-T y+. l 2 ) 4 l 5 J 3 V = 0 712 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (vô nghiệm). TH2: Nếu X = 2 - 2y thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: <=> (3-2y)Vy7l=3-4y ^f _ j(3-2y)(3-4y)>0 [4y 3 -24y 2 +21y = 0 (3-2y)(3-4y)>0 [(3-2y) 2 (y + l) = (3-4y) 2 (3-2y)(3-4y)>0 yỊ4y 2 -24y+ 2lj = 0 <=> X = 2 y = 0 x = -4-VĨ5- 6 + VĨ5 y= 2 Đối chiếu với điều kiện ta chỉ nhận nghiệm (x;y) = (2;0). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;0j. Bài 7. Giải hệ phương trình < 12x + — -6 = ^4xy + 33-V2y-3 y ,(x,yeR). 8-y/xy - 2y - 8y + 4 = (x - y) 2 Lời giải Điều kiện: X > 2,y > . Xét phương trình thứ hai của hệ ta được: 8^/xy -2y - 8y + 4 = X 2 - 2xy + y 2 . <=> 4(xy - 2y) + 8^/xy - 2y + 4 = (x + y) 2 . oị 2 yỊxy- 2 y + 2 Ỵ = (x + y)~ <=> 2yjxy -2y+2-x + y. <=>2^(x-2)y +2=x+y <=>(x-2)-2^(x-2)y + y = 0. <=> Ụx-2 —s/ỹ) -0<=> Vx-2 = ,yỹ<=>y = x-2. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: ' 2 ỉíy - 6 y+m =MĨTỉ-^ỉ. 12xy-6y + 108 _ 4xy-2y + 36 713 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>2(2xy-y + 18)Ị^4xy+ 9 + ^2y-3 -3yj = 0. ~2xy - y + 18 = 0 ^ ^ ^4xy + 33 + sj2 y - 3 = 3y THI: Nếu 2xy - y +18 = 0 khi đó ta có hệ phương trình: Í2xy-y + 18 = 0 Í2x(x-2)-(x-2) + 18 = 0 Í2x 2 -5x + 20 = 0 |y = x-2 [y = x-2 |y = x-2 (vô nghiệm). TH2: Nếu ^4xy + 33 + V2x-3 = 3y khi đó ta có hệ phương trình: ịfi^33+j2Ì^3 = 3y Ừ4x(x-2) + 33 + ^2(x-2)-3 = 3(x-2) [y = x-2 [y = x-2 I V4x 2 - 8x + 33 + V2x - 7 = 3(x - 2 ) jx = 8 |y = x-2 ly = 6 ' Nhận xét. Để giải phương trình V4x 2 - 8x + 33 + V2x - 7 = 3(x-2)ta thực hiện như sau: V4x 2 - 8x + 33 -15 + V2x - 7 - 3 = 3x - 24. <=> <=> 4x 2 -8x-192 _ 2x-16 0 X I = =-+ 7 ===r - =3ỉx-8j. V 4x 2 -8x + 33 + 15 V 2x-7 + 3 4(x-8)(x + 6) 2(x-8) 3(x-8). 4 l x + M 2 V4x 2 -8x + 33 + 15 V2x-7 +3 V4x 2 -8x + 33 + 15 V 2 X -7 + 3 «(x-8)l 4 ( X + 6 > = 0 ( 1 ). Với mọi X > — ^> 7 -< — ta chứng minh ' 2 ^7+3 3 4(x + 6) 7 „ r~T — 7 77 v L -<4-^7V4x 2 -8 x + 33 >12x-33. V 4x 2 -8x + 33 + 15 3 7^4x 2 -8x + 33 > 12x -33 o 49^4x 2 - 8x + 33 Ị > 144x 2 - 792x +1089 . «• 52x 2 + 400x + 528 > 0 (luôn đúng). (n<77í-8 = 0 K ox = 8^ỵ = 6.^ 714 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (B;ó). Nhận xét. Một số hệ phương trình có một phương trình được tạo thành từ 1 hằng đẳng thức cơ bản. Ta cần khéo léo phân tích để nhận ra hằng đẳng thức đó. + Rõ ràng ta có thể xử lý phương trình đầu của hệ rồi thế vào phương trình còn lại. Tuy nhiên việc thế như vậy đưa về 1 phương trình vô tỷ hết sức phức tạp. í(6-x) (x 2 + y 2 ) = 6x + 8y (1) Bài 8. Giải hê phương trình < V / |(3-y) íx 2 +y j = 8x + 6y (2) Lời giải Nếu x 2 +y 2 =0<=>x = y = 0 thỏa mãn hệ phương trình. Nếu X 2 + y 2 > 0 khi đó nhân chéo theo vế hai phương trình của hệ ta được (ó-x)(8x + 6y) = (3 -y)(ôx + 8y) <=> 4x 2 -4y 2 -6xy- 15x + 30y = 0 . Coi đây là phương trình bậc với ẩn là X ta được: 4x 2 - (óy +15 jx - 4y 2 + 30y = 0 Ta có A x = (6y +15) 2 - ló(-4y 2 + 30y) = (lOy -15) 2 . 15 y Suy ra x = 2y hoặc x = —- — . 4 2 y = 0 Với X = 2y thay vào (1) ta được (ó - 2y)5y 2 = 20y <=> y = 2 Suy ra (x;y) = (l;2);(2;4) . 715 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta thấy X 2 +y 2 lặp lại ở 2 phương trình của hệ và các nhân tử khác chỉ là bậc nhất của X và y do đó hoàn toàn xử dụng được kỹ thuật hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã đề cập trong chủ đề 1. Ngoài ra nếu chia mỗi phương trình của hệ cho X 2 +_p 2 ta lại có dấu hiệu của kỹ thuật số phức. Dưới đây tôi chỉ trình bày lời giải theo 1 hướng khác đó là suy nghĩ nhân chéo 2 phương trình của hệ tìm nhân tử chung. Hai cách kia xin dành cho bạn đọc. Điều kiện -2 < X < 2,y > 0 . Khi đó viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: 3xỊx 3 -2-y/ỹ j + 2yjỹị^iỊỹ - X 3 j = 0 <=> Ịx 3 - 2^/ỹj|3x - 2-^/ỹj = 0 . - Với 2yjỹ = 3x khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành: ,-VS í 3 = V4 - X 2 + 3x <=> X 3 -3x = V4-x 2 ( 1 ) <=>■ |x J -3x > 0 |x 6 -6x 4 +9x 2 = 4 - X 2 <=> • X J -3x > 0 X 6 - 6x 4 + 10x 2 -4 = 0 X 3 -3x > 0 0 Ịx 2 - 2 -VĩỊỊx 4 + Ị4-V2jx 2 + 4 + 2V2j = 0 <=> X = ^2 + V2 => y = — Ị2 + V2 j . Cách khác: Đặt X = 2cost,t e [0;7ĩ] và: (1) <=> 2cos3t = 2sint <=> cos3t = cos 2--t v2 , - Với 2yịy = X 3 khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành V 4 -X 2 = 0 <=> X = ±2 . Suy ra (x;y) = (2;ló) . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = ( 2 ; lô); ^>/2 + V2 ;^2 + V2 j Bài 10. Giải hệ phương trình: 8 716 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 y 2Vx —ị= + — = — ! — + 2 (1) « Vx X y ,(x,yel) . yỊVx 2 +1 -1 J = ^3x 2 +3 (2) Lời giải Dễ nhận thấy từ phương trình đầu của hệ có được nhân tử chung y - 2x. Điều kiện X > 0 khi đó y > 0 . Viết lại (1) dưới dạng: yVx +y 2 = 2xVx +2xy <=> (y -2x)|Vx + yj = 0 <=> y = 2x . Thay vào (2) ta được: 2xíVx 2 ~T7-l1 = V3x 2 ”-i-3" <=> x/x 2 + 1 Ị 2 X- j = 2x . V3 Để phương trình này có nghiệm ta phải có X > -ị- khi đó viết lại phương trình dưới i dạng^ x z +1 =■ 2x 2x-S Xét hàm sô" f(x) = Vx 2 +l- ■ yfx ^Vx 2 +1-^ = 0 (3) 2x-S Ta có: f'(x) = í 2x~s 2V3 trên s. -;+G0 X 2 +1 V J í > 0, Vx e ;+G0 V (2X-V3) đông biên trên ;+00 . V 7 Vì vậy (3) <=> f(x) = f(V3) <=> X = V 3 . Suy ra (x;y) = ^V 3 ; 2 V 3 j . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ỊV3;2 a/3 j . nên f(x) là hàm Bài 11. Giải hệ phương trình < ựx^Wr + 2y-4 = 4, vx 2 +9 + y = 5 Điều kiện: y 2 + 2y - 4 > 0 <=> Lời giải y>-ỉ + \Í5 y < —1 — V 5 717 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: \]x 2 +9 - Vx 2 +4 + y-y/y 2 +2y-4 =1. <=> Vx 2 +9 -Vx 2 + 4 + (y + + l) 2 -5 = 2. 5 <=> _ _5_ \jx 2 +9 + Vx 2 +4 y +1 + ->/(y +1) 2 - 5 = 2 . X +9 + Vx +4 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: Vx 2 +4 + Vx 2 +9 + y + l + ^(y + l)~ -5 =10. Đặt u = Vx 2 + 4 + Vx 2 +9,v = y +1 + ^y + lj“ -5 ta có hệ phương trình: u + v = 10 u = 5 5,5 «1 — + — = 2 [V = 5 lu V v/x 2 +4 + Vx 2 +9 =5 X = 0 y + l + ^(y + l) 2 -5=5 ly - 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (0;2j. Nhân xét . Đây là một bài toán hay trước khi đặt ẩn phụ cần nhân liên hợp. Xem thêm kỹ thuật đặt ẩn phụ đại số tôi có trình bày một bài toán dạng tương tự nhưng khó hơn bài toán trên. Bài 12. Giải hệ phương trình: 2,2 , X + y 2 _ 1 xỵ X + y xy ~> 1 X +y - 1 X + y -\ 2 ! 2\ I I ,(x,yeR). Điều kiện: xy(x + y]^0. Lời giải Hệ phương trình tương đương với: \ 2 (x + y) -2xy 2 _ 1 xy X + y xy (x + y) 2 -2xy--i- = 2-(x-l) 2 s 718 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com o (x + y) 2 -l + - xy X + y \2 _ 1 ■ = 2 o ( x+ y) (x + y-l) x + y+ 1 xy X + y = 0 (x + y) 2 -2xy-—!—= 2-(x-l) 2 X +y THI: Nếu x + y = l=>y = l- x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: \2 <=> -2x(l-x) = 2-(x-l) «3 x 2 -4x-1 = 0 2 - \ỊĨ 3 2 + Vỹ 2 -yfĩ l + yfj 3 ,y_ 3 2 + Vỹ l-yjĩ 3 ,y_ 3 TH2: Nếu x + y + 1 -^- xy X + y thứ hai của hệ ta được: - 0 <=> 2xy = (x + y)~ + X + y thay vào phương trình -x-y- 1 X + y X + y Suy ra X-1 = 0 17 x+y+l=0 X ^ 1 <=> * x+y+1^0 < x + y >0 X = 1 y = -2 X *1 x + y + 1^0 x + y >0 Thử lại (x;y) = (l;-2) thấy không thỏa mãn. Với X + y > 0 khi đó 2xy = (x + y)~ + x + y<=>x 2 +y 2 +x + y = 0 (vô nghiệm). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: í. rz . rz\ í (x;y) = 2-yỊĨ l + yjĩ\( 2 + VỸ _ 1 - Vỹ T 9 “ 9 ~ 9 — Bài 13. Giải hệ phương trình: j 2y 3 + y+ 2xVl - X = 3\/ 1-x (1) ị : yị 2y 2 +l+y=4+Vx+4 (2) ' 719 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện -4 < X < 1. Khi đó viết lại (1) dưới dạng 2y 3 + y = Vĩ^x(3-2x) = Vĩ^x[2(l-x) + l]-2ỊVĨ^xỊ 3 + Vĩ^x (3) . Xét hàm số f(t) = 2t 3 +t ta có f'(t) = 6t 2 +1 > 0,Vt e M nên f(t) là hàm đồng biến trên (-co;+co) . Vì vậy (3) <=> f(y) = f Ị Vl - X j <=> y = Vl - X . Thay vào (2) ta được: V3-2x+Vl-x=4 + Vx + 4<=>Vx + 4- Vl-x-V3-2x+4 = 0 . Đến đây xét hàm sô" hoặc nhân liên hợp ta có nghiệm duy nhất: x = -3=>y = 2 . Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (-3;2) . Bài 14. Giải hệ phương trình: i/9 + 8x 2 y-x 4 y 2 = y [l 6y 5 -3x 2 y 2 +1Ị (1) < 1 —7-rì w , ,v -(vyeR) 'rì 16 + ^x-2ỵj =x 2 Í5y 3 -x 2 j + y (2) Lời giải Lấy (1) -(2) theo vế ta được: ^9 + 8x 2 y-x 4 y 2 --Jl6 + (x-2y)~ = l + y|l6y 5 -3x 2 y 2 = íx 2 -4y 3 j 2 + l>l,Vx,yeM Mặt khác: j9~+~8x^ỹ^-x^ỵ^ - j25-ịx^y--4j < 5< 1 +^16 + (x-2y) 2 ,Vx,y ( \ n .X., UA 1 4- ' „ u ' u: A 1.1' . .X 1.1,: _4-1, ’ Vì vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi các dâu đắng thức xảy ra íx = 2 đồng thời, điều này tương đương với x 2 y = 4 x-2y = 0 <=> • X 2 - 4y 3 = 0 y = i Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;l) . Bài 15. Giải hệ phương trình: 2-ì/xỹ + 2xy 2 - y 4 + 1 = 2Í3-V2-x)y 2 (1) « _____ v ’ ,(x,yeR) Ậ-y 2 +x = 3 (2) 720 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện X - y 2 > 0,x 2 y 4 + 2xy 2 - y 4 +1 > 0 . Viết lại (1) dưới dạng: 2^xy 2 +lj-^|Ịxy 2 + lj-y 4 =Ịó-4^jy 2 (3). Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y & 0 khi đó chia hai vế của (3) cho y 2 ta được xỵNy íxr_ ti '| 2 ^ y Vv y ) 2 Đặt u = x y 7"~ khi đó ta có phương trình 2t - x/t 2 -1 = 6 - 4 V 2 . y 2 <=> x/t 2 -1 = 2t + 4^2-6 <=> 2t + 4 V 2 - 6 > 0 t 2 -l = 4t 2 + 4^4V2 - 6^)t + ( 4 V 2 -ó)" <=> t = 3 . xy 2 +1 Vì vậy ta có hệ phương ưình ị y 2 /x-y +x = 3 3v 2 -1 :: 3y 2 -l x = ^—— x_ 9 y 2 <=> < y 3y 4 - y 2 - y 6 -1 = 0 (y 2 - l)(-y 4 + 2y 2 + 1 ) = 0 , [ _ 8 + 6^2 X - 2 X -— ; -— . 3y 2 -i 3y 2 -1-y 4 _ 1 y 2 =i 3 + 2\Ịl đối chiếu với điều kiện x-y 2 > 0 ta chỉ nhận y 2 =1 + 72 x = 2,y 2 =l«(x;y) = (2;±l) . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y j = [2\-\ );(2;1 j . Lời giải 721 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ (1) <=> (x -2y)Ịx 2 -x + lj = 0<=>x = 2y . Thay vào (2) ta được 2y 2 - 2y + 3 = ^4y +1 + ^6y + 4 . o(2y 2 -4y)=74yĩl-(y + l) + V6yĨ4-(y + 2) . VT 1 «(y 2 -2y) 2+ < ' =0 . v ' [ -Ự4Y +1 + y +1 y 6y + 4 + y + 2 <=> y 2 - 2y = 0 <=> ^>/0 .Suy ra (x;y-^= (ơ;0);(4;2) . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;0];(4;2) . Nhận xét. Bài toán trên có dạng quen thuộc từ 1 phương trình của hệ bằng phương pháp hàm sô" hoặc phân tích nhân tử tìm được môi liên hệ tuyến tính giữa 2 nghiệm của hệ. Quan trọng nhât của loại toán này đó là xử lý phương trình vô tỷ lúc sau. Với loại có 2 căn thức trở lên như trên kỹ thuật được sử dụng đó là nhân liên hợp. xy - X - y = 1 Bài 17. Giải hệ phương trình < [4x : - 12x 2 + 9x = -y 3 + 6y + 7 Lời giải Cách 1; Hệ số bất định chứa biểu thức của biến ...V, , fxy-x-y-l = 0 (1) Viết lại hệ dưới dạng < |4x 3 -12x 2 +9x + y 3 -6y-7 = 0 (2) Nhận thấy y = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y*l khi đó lấy (2)-3(y + l).(l) ta được 4x 3 -12x 2 +9x + y 3 -6y-7-3(y+ l)(xy-x-y-l) = 0 . / w_ _\2 „ x+y-l=0 o x + y-1 2x-y-2) =0o _ . v A ’ l2x-y-2 = 0 - Với y = l-x thay vào (1) ta được: x(l-x)-x-(l-x)-l = 0<=>-x 2 +x-2 = 0 (vô nghiệm). - Với y = 2x-2 thay vào (1) ta được: 722 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x(2x-2)-x-(2x-2)-l = 0o2x 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: M Cách 2: Phương pháp thế " 5 -VĨ 7 l-x/ĨỸ" / 5 + VĨ7 _ 1 + yíĩĩ N 4 ’ 2 V 7 ’ 4 ’ 2 V 7 r r Nhận thấy y = 1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét y * 1 khi đó rút X = y + j từ phương trình (1) thế vào (2) ta được y-1 y 6 - 3y 5 - 3y 4 +1 ly 3 - 6y 2 + 32 „ / 2 n,\í..2 .. rì 2 „ zz - 3 ---= 0<^(y 2 -y + 2j(y 2 -y-4j =0. (y-ự Cách 3: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp Viết lại hệ phương trình dưới dạng y(x-l) = x + l ■ ' '3 4(x-l) -3(x-l) = -y 3 +6y + 6 y(x-l) = x + l <=> < ' [3 . 4(x-l) +y 3 =3(x + 2y + l) = 3[2y + y(x-l)J y(x-l) = x + l <=>< , ^3 4(x - 1 ) + y 3 = 3y (x + 1 ) = 3y 2 (x - 1 ) Vì vậy 4(x -1) 3 + y 3 - 3y 2 (x - 1 ) = 0. Bài tập tương tự xem thêm chủ đề hệ số bất định. Bài 18. Giải hệ phương trình: < y + ^y 2 -2y + 3x 2 + 6 = 3x + \hx 2 + 7+2 (1) [3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 (2) Lời giải Điềưkiên 3v 2 -2 v,+,3 x 2 .±,.6 >„Q 723 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Viết lại hệ dưới dạng: jy-3x-2 + -y/3y 2 -2y + 3x 2 +6 -\Jlx 2 + 7= 0 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 3y 2 _4x 2 -3y + 3x +1 + (y-3x-2) y - 3x - 2 + , ===== \ ’ = 0 -^3y 2 - 2y + 3x 2 + 6 + 7x +7 [3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 (y-3x-2) 1 + 3y 2 - 2y + 3x 2 + 6 + v7x 2 + 7 = 0 [3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 <=> ■ <=> ■ y = 3x + 2 [y = 3x + 2 3y 2 -4x 2 -3y + 3x + l = 0 [3(3x + 2j -4x 2 -3(3x + 2) + 3x + l = 0 |y = 3x + 2 |23 x 2 +30x + 7 = 0 <=> x = -l;y = -l 7 25 x = -—;y = — 23 23 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-1;—l); J7_ _ 25 23 ; 23 Bài 18. Giải hệ phương trình: < 3x 2 - 2x-5 + 2 xVx 2 + 1 = 2(y + l)-\/y 2 + 2y+ 2 (1) X 2 +2y 2 = 2x-4y+ 3 (2) Lời giải Lấy (1) - (2) theo vế rồi rút gọn ta được 2 X + X^ cx/x^ữT = (y +1) 2 +(y + l)^(ỹ+ĩ)^TĨ (3) . Xét hàm số f(t) = t 2 + tVt 2 + 1 trên (-co;+co) ta có : f'(t) = 2t + Vt 2 + l+ , > 2t + 2 Vt z +1 Do đó f(t) là hàm đồng biến trên (-co;+co). Vì vậy (3) <=> f(x) = f (y +1) <=> X = y +1. /X- t 2 I I Vt 2 +1. , = 2|t| + 2t > 0,Vt e (-co;+co) 724 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay vào (2) ta được (y +1 ) 2 + 2y 2 = 2 (y +1)-4y + 3 . y = -2 <=> 3y 2 + 4y -4 = 0 <=> 2 • _ y = 3 Suy ra (x;y) = Ị^;| ;(-l;-2) . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Ị^; jj;(-l;-2) . Bài 19. Giải hệ phương trình + + y^+ốxy = 6 [Vx + ^/ỹ + x 2 +y 2 = 2 + 2xy (2) Phân tích lời giải. Dự đoán (x;yj = (l;lj nên ta sử dụng đánh giá bất đẳng thức qua bất đẳng thức cơ bản Cô si. Lời giải Điều kiện x>0,y>0 . Khi đó sử dụng bất đẳng thức cô si cho vế trái của (1) ta được xJĩx 2 + 6xy + yjỹỹ 2 + 6xy > 2 JxyJĩx 2 + 6xy .J3y 2 + 6xy . = 2^3xỹjxy 5xy + 2|x 2 +y 2 j >2^3xy^xy[5xy + 2.2xy] =6xy Do đó xy < 1 . Mặt khác cũng theo Cô si ta có: xa/3x 2 + 6xy + yư3y 2 + 6xy < 2 ^ 9x 2 +3x 2 +6xy 9y 2 +3y 2 +6xy t 2 . 2 . \ + 6xy <- -ị -- + —--— = 2Ịx +y +xyj . Do đó X 2 + y 2 + xy > 3 . Mặt khác xy < 1 => X 2 + y 2 > 2 . Nên từ (2) suy ra 2 + 2xy > Vx + + 2 > 2 ịfxỹ + 2 <=> xy > ịfxỹ <=> xy > 1. Vì vậy xy = 1 điều này kéo theo tất cả các dấu đẳng thức xảy ra <=> X = y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;lj . Lời giải 725 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét. Đây là hệ đối xứng loại II phương pháp giải dạng hệ này là trừ theo vế hai phương trình của hệ. Điều kiện x>—,y>— . 9 9 Khi đó trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được xị^9y^-5 -\Í9x--5^ + yịy9x--5 --y/9y^-5j = 0 . <=> (x-y)ị J9y -5 - \/9x - 5) = 0 <=>— , 9 ( x y j_^ = Q^x = y . v ’ 9y - 5 + 9x -5 Khi đó thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 2xx/9x -5 = 4x 2 <=> 2x|V9x -5 -2xj = 0 <=> \l9x-5 = 2x (do X >Ẹ- ). <=>9-5x = 4x 2 <=>(x-l)(4x + 9) = 0<=>x = l=>y = l . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất X = y = 1 . Bài 21. Giải hệ phương trình 2sjx + y-1 = (x 4 -lj\/2x -1 + y 4 + 1 3x 2 -y 2 -2xy + 3x-3y = 0 ( 1 ) ( 2 ) Phân tích lời giải. Nhận thây nếu X = y thì (2) thỏa mãn vì vậy (2) đưa được về dạng tích. Ta xử lý (2) trước. Lời giải Điều kiện X > 2-,x + y-1 > 0 . Viết (2) dưới dạng (x - y)(3x + y + 3) = 0 . Do X >-ì,x + y > 1 => 3x + y+ 3 = x + y+ 2x + 3 > 1 + 2.-Ì + 3 > 0 do đó y = x. - Nếu y = X thay vào (1) ta được 2 V 2 X-I = íx 4 - lj\j2x-l + X 4 +1 . «• 2 V 2 X -1 + x/2x -1 -1 = X 4 (x/2x -1 + lỊ . «• ịiỈ2x - ĩ + lỊ(2x/2x -1 - lỊ = X 4 ịihx -1 + lỊ . «• 2\Ỉ2x - 1 - 1 = X 4 X 4 + 1 = 2x/2x - ĩ . Đặt \/2x - I = y đưa về hệ phương trình: s 726 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ịx 4 + l = 2y jx 4 + l = 2y jy 4 + l = 2x (x-y) (x + y)Ịx 2 +y 2 ) + 2 =0 Jx = y x = y ^ịx 4 -2x + l = 0^ > (x-l)Ịx 3 +x 2 + x-lỊ = 0 ■ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành l|2 ~ 17 + v2 ~ 19 =3 3 Ịu 2 -17) + 2 (10-u) 2 -19 =36 u + v = 10 [v = 10-u Í5u 2 -40u + 75 = 0 íu = 5 íu = 3 Ịv = 10-U |v = 5 |v = 7 727 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Với [u = 5 2x + Vl7-4x 2 =5 7 1 <=> T7 II cu 3y + yi9-9y 2 =5 [7 17 - 4x 2 =5-2x \jl9-9y 2 =5-3y X < 5/ 2;y <5/3 17 - 4x 2 = 25 - 20x + 4x 2 19-9y 2 = 25-30y+ 9y 2 X = 2V X = — 2 y = 15±VĨĨ7 ' Suy ra (x;y) = x = 2; 15+ „117 18 V 18 1 15 ± vTrỹ 2’ 18 Với m II p 2x + Vl7-4x 2 =3 7 r -— ° II 3y + V19-9y 2 =7 17 - 4x 2 =3-2x ^19-9y 2 =7-3y x<3/2;y<7/3 17 - 4x 2 = 9 - 12x + 4x 2 19 - 9y 2 = 49 - 42y + 9y 2 hệ này vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: í .I5±7ĩĩn/ X — 1 15 + VŨ7 2’ 18 :(y + 2)ự(x + l)(y + l) = 4x -4x-3K/x + l Lời' giải Điều kiện X>-I;y>-1 khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ trỏ thành: 3 . 2 X + X + X x + l rìy + 2)^õ(^«^ỊỊ=( y + 2)^T. V 3 (x + ljVx + l 7—— + 7——=(y+i)Vy + 1 + Vy + 1 (!) • Vx + ly Vx+1 Xét hàm sô" f(t) = t 3 +1 trên (-co;+co). Ta có f '(t) = 3t 2 +1 > 0, Vt e (-co;+oo) do đó f(t) là hàm đồng biến trên (-co;+co). íỉ 728 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì vậy (1) <=> f Thay yjy + l ' X x Vx + 1 =f(VỸ+ĩ' <=> Vx + 1 =VỸ+Ĩ- Vx + 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được 4x Vx +1 + 8x = (4x 2 -4x-3]Vx+ĩ«^l + -^L= ' x + 1 Vx + 1 8x = 4x 2 - 4x-3. <=> 2x Vx + 1 + 2 = (2x-l) -1 o 2x Vx + l 2x Vx + 1 + 2 = 2x-l <=> + 2 — — 2x +1 2x Vx + l 2x Vx + 1 -2x + 3 = 0 + 2x + l = 0 (2) Vì yỊy + 1 = x => X > 0 do đó (2) vô nghiệm nên ta chỉ cần giải phương vx + l trình: ^ x - 2x + 3 = 0 <=> 2x = (2x - 3 ) Vx +1 (3). Vx+1 v ’ Đặt u = Vx + 1 > 1 => X - u 2 -1 và phương trình (3) trở thành 2Íu 2 -lì = Í2u 2 - 5j u <=> 2u 3 - 2u 2 - 5u + 2 = 0. <=>(u-2^2u 2 +2u-lj = 0<=>u = 2(do U>1). Vì vậy Vx + 1 = 2 <=> X = 3 =^> -y/y +1 =^oy = Ị, Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (X; y) = 3; — \ l 4 ) Bài 24. Giải hệ phương trình: 2X+3y+2y 2 + 4 2*+2y _ 2 2x +3y + 4.( y+i r « « 2 . „ .(x.v e Ml. 2\/2x -2ỵ -3 _ 2ỵ 2 + 2y - X + xy l ' 2y 2 + 2y - 3x + 2 Lời giải Í2x - 2y - 3 > 0 Điêu kiện < |2y 2 +2y-3x + 2*0 Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng: 729 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x+3y _ 2 4y+2 ^ ( 0 2 3 2 x +3y _ 2 4 y+ 2 2 X -2 2y = 0 <=> t <=> V ) 1 K> X II ís> N> G 1- x = y+ 2 X = 2y Với X = y + 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 2 -5y-6 = 0<=> y = -i ,y = 6 . Suy ra (x;y) = (l;-l);(8;ô). <=> Với X = 2y 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được Ị-4y 2 + 2y + 2 j ^4y 2 - 2y - 3 = y + y 3 . |V 4 y 2 - 2y - 3 j + y/ 4 y 2 -2y-3 =(-y) + (-y) 3 (1) . Xét hàm sô" f(t) = t 3 +1 trên (-co;+co). Ta có; f'(t) = 3t 2 +1 > 0,Vt e (-co;+co) nên f(t) là hàm đồng biến trên (-co;+co). Do đó (1) f a/ 4y 2 -2y-3 > | = f(-y) «• • "y<0 » , 2 „ „ 2^y : 4y 2 -2y-3 = y 2 V 4 y 2 -2y-3 = -y. 1-yỊĨÕ 22-4VĨÕ Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là: (x; y) = ( 1 ;- 1 );(8;6);í? 2 ^^ Bài 25. Giải hệ phương trình [x 3 -12x = y 3 -6y 2 +16 1 X 2 + xy + y 2 - 4x - 6y + 9 = 0 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ được viết lại dưới dạng: (x + 2) 3 -6(x + 2) 2 = y 3 -6y 2 (1) . Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng X 2 + x(y - 4 ] + y 2 - 6y + 9 = 0 Coi đây là phương trình bậc hai với ẩn là X ta được A x =(y-4) 2 -4Ịy 2 -6y + 9Ị>0»-3y 2 +16y-20>0«20<=>-3x 2 + 4x>0<=>0 f(x + 2) = f(y) <=> y = X + 2 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2 +x(x + 2) + (x + 2)”-4x-ó(x + 2) + 9 = 0 . X = 1 <=> 3x - 4x +1 = 0 <=> 1 X = — 3 Suy ra (x;y) = (l;3); ụ 1 - 1 n Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;3); . 3 3 2Ịy 3 -x 3 Ị = 6x 2 + 7x-y + 3 (1) VVỹ+,/2(y+i )=J- = ,||x 2 + 4(2) Lời giải \3 Viết lại (1) dưới dạng 2y 3 + y = 2(x + 1J + (x + lj (3) . Xét hàm số f(t) = 2t 3 +t ta có f ’(t) = 6t 2 + 1 > 0, Vt e R nên là hàm đồng biến trên (-co;+co) do đó (3) <=> f(y) = f(x + l)<=>y = x + l . Thay vào (2) ta được: 2 V 2 - X + ^2(^x + 2 ) = rợc: 2V2-x + ^2(x + 2) = — 2 ^ +l6 V9x 2 +16 =2ị2^2-x+^2(x + 2)Ỵ 731 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bình phương hai vế của phương trình ta được: 9x 2 + 16 = 4^2x + 4 + 4(2-x) + 4^2Ị4-x 2 Ịj. «• 9x 2 + 8x - 16 ^ 2 ( 4 -X 2 )-32 = 0 ^ «• 1 ^ 2 ( 4 - x2 ) - x ìí 2 ^/ 2 ( 4 -X 2 ) + X + 8Ì = 0 (1) Do X e [-2; 2 ] nên 2 2 ị 4 - X 2 ĩ + X + 8 > 0 do đó phương trình tương đương với: 2 J 2 ( 4 - x2 )- X=0 «L?4°-xh = x^ X=í f^ y=í f + 1 ' W- x 9- X=0 «| 8 (4-x 2 ) = x^ X=í f^ y=í f + 1 ' f 4 V 2 4 V 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất íx;yj = —— T~ + 1 ■ V 3 3 y Nhận xét. Để phân tích được (1) ta đặt t = ^2^4-x 2 j đưa phương trình về: at 2 - lót + 8x -32 + 9x 2 -2aÍ4-x 2 Ị = 0. o at 2 - lót + (9 + 2a)x 2 + 8x - 8a - 32 = 0 (2) ữong đó a là số thực tìm sau. Ta chọn a sao cho (2) có nghiệm đẹp bằng cách lay A' là sô" chính phương. Ta có: A' t = 64-aỊ(9 + 2a)x 2 +8x-8a-32j là sô" chính phương tìm được a = -4. Khi đó viết lại phương trình dưới dạng: -4t 2 -16t + x 2 + 8x = 0 <=> (2t + 4) 2 = (x + 4) 2 <=> 2t = x v ’ v ’ L 2t =- X - 8 Đó chính là cách phân tích thành nhân tử trong phương trình (1). + Ngoài ra ta có thể bình phương hai vế đưa về phương trình: 16v8-2x 2 = 9x 2 + 8x-32 <^> 9x 2 + 8x -32 > 0 |^9x 2 -32j^9x 2 + 16x + 32j = 0 Bài 27. Giải hệ phương trình: 9x +8x-32>0 256(8-2x 2 Ị = (9x 2 +8X-32Ị 2 4 V 2 . _ 4 V 2 . , V — _-_—N \r —_-_L- 1 732 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thấy phương trình (2) có hai căn thức bậc khác nhau nên ta không thể xử lý từ phương trình này được và ta tập trung xử lý (1) . Điều này chúng ta nghĩ đến (1) phân tích được nhân tử. Viết lại (1) dưới dạng: ^2|x 2 +y 2 j + 2(5x-3y)-4(xy-3) -2yịỹ = Vỹ- Vx + 2 . 2(x 2 +(5-2y)x + y 2 -5y + 6) _ y-x-2 ^Ịx 2 + y 2 Ị + 2(5x - 3y) - 4(xy - 3 ) + 2 yfỹ Vx + 2 + ựỹ _ 2(x + 2-y)(x + 3-y) __ y-x-2 ^Ịx 2 + y 2 Ị + 2(5x - 3y) - 4(xy - 3 ) + 2 yfỹ Vx + 2 + «(x + 2-y). 2(x+3 ' y ) ■ ‘ =0 . J 2(x 2 +y 2 Ị + 2(5x-3y)-4(xy-3)+2ựỹ Vx + 2+^/y 2(x + 3-y) 1 <=>x + 2- y = 0,do V / - -+ —— > 0 J2Íx 2 +y 2 Ị + 2(5x-3y)-4(xy-3)+2ựỹ Vx + 2+Vy Thay y = X + 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Jịx + 2y - 4(x + x + 2) + 17 = 3 <=> Vx 2 - 4x + 13 = 3 . <=>x 2 -4x + 4 = 0<=>x = 2=>y = 4. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;4 j. c ííí> ẾỆ Hẩí 1! i& 111 733 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện 0 < X 2 - y 2 < 1 . t \ / 2 2 x + y-(x + y)Vx -y 15 và (l)-(2) theo vế ta được: < a/i-x 2 +y 2 ” 4 x-y + (x-y)Vx 2 -y 2 1 /ì 2,2 ” 4 -y/1 - X + y Tiếp đến nhân theo vế hai phương trình của hệ trên ta được: (x 2 -y 2 )(l-x 2 + y 2 ) 15 ,5 l-x 2 +y 2 6 6 Thay ngược lại hệ phương trình ban đầu ta được: Ịữ 16 x -yt y-x ■ = 2 ]_ 16 15 16_ _ ]_ 1 4 <=>1 [4x-yVĨ5 =2 4y - xVỈ5 = -ị ly Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = _ 32+ 7^15 4 = 7 + 2^15 32 + 72/ĩ? ;7 + 2rìĩ x + y 2 -y-Jx + 3y 2 =0 (1) Bài 29. Giải hệ phương trình < 2 |x 2 +y 2 + l 2y 3y x + 1 + y =0 (2) Lờỉ' giải Điều kiện X + 3y 2 > 0 . Viết lại (1) dưới dạng Ị^a/x + 3y 2 ì-yi/ -yVx + 3y 2 -2y 2 =0 . <=> ^x + 3y 2 +yj^x + 3y 2 -2yj = 0 <=> V x+ 3y 2 =-y V x + 3y 2 = 2y 734 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nếu Jx + 3y 2 =-y<=> X = -2y 2 thay vào (2) ta được 4y 4 + y 2 +1 2 ——-= 0 (vô nghiệm do 4y - 3y +1 > 0 ). 4y - 3y +1 + yị— - Nếu Jx + 3y 2 = 2y <=> y 4 +y 2 +l y 3y + 1 + v 21- = 0 ■^-ịy' -y+i)-ịy 2 +y+i)+]Ị ^ 2 r-y + i ũ-y + i y 2 + y +1 V2lịy 2 +y + l thay vào (2) ta được: (y 2 +y + i)(y 2 -y + i 21 -1 = 0(3) . Đặt u = y -y+1 > 0 khi đó (3) trở thành I u — I / > — ỈVỈỈ1 uvy / uu umiui \|2l(y 2 +y + l) 42u 2 + u-l = 0»(7u-l)(6u + l) = 0<íí>u = ^ (do u>0 ). —2— 77— r _ 1 Vì vậy y ~~ y + 1 = jr^28y 2 -70y + 28 = 0^ y_ 2 plíy 2 +y + lj 7 y -2, y ~ y + 1 . = j-^28y 2 -70y + 28 = 0^ y 2 . V 2 +V4-1 7 „ pl(y 2 +y + l) 7 Suy ra (x;y) = ^;ij;(4;2) . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y)= 7";2- ;(4;2^ . 74 27 Bài 30. Giải hệ phương trình • x 3 +y 3 +3(y-l)(x-y) = 2 (x vì 2 • Vx+Ĩ + Vỹ+Ĩ= ” y ' Lời giải Điều kiện: x,y > -1 . Phương trình đầu của hệ tương đương với: 735 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X 3 + y 3 + 3xy - 3y 2 - 3x + 3y - 2 = 0 <=>(x + y-2)fx 2 - xy + y 2 + 2x-y + lj = 0. y = 2-x <=> _x 2 -xy+ y 2 +2x-y+ 1 = 0 (1) Để ý phương trình (1) viết lại: y 2 -y(x +1) + (x +1) 2 = 0 => A ỵ = (x +1) 2 - 4(x + l) 2 = -3(x + l) 2 < 0 . Suy ra x + l = 0<=>x = -l^>y = 0. Thử lại thây không thỏa mãn. Xét y = 2 - X thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: ( X -') 2 _ , „2 ,,_( X ->) 4 Vx + 1 + yỊĩ-x = -—— <=> 4 + 2V-x 2 + 2x + 3 = 4 <=> 4 + 2^4-(x - l) 2 : Phương trình trở thành: \2 (x-lf i2 . Đặt t = ^4-(x-l) 2 ,(0< t < 2 ) 4 + 2t = M <=>tỊt 3 -8t-8j = 0 <=> t (t + 2 )(t -1 + >/5 )(t -1 - >/5 ) = 0 «04-(x-l) z =0 |X = 3 < °^ 2 > t = 0■ <=> X = —1 x = 3,y = -l x = -l,y = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (3;-l);(-l;3). Bài 31. Giải hệ phương trình < 5 + 16.4 x2_2y = í5 + 16 x2 ~ 2y \7 2 y- x2+2 V 7 x 3 +17x + 10y + 17 = 2Íx 2 +4Ì^/4y + ll Lời giải Điều kiện: 4y + 11 > 0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương t3mg với: íỉ 736 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 2 X -2y -1 5 + 4.4 x ~ 2y+ _ 5 + 4.4 ^ ' yX 2 -2y+l 2^x 2 -2yj-l , 1) 4 . . A Xét hàm sô f(t) = 5. — +4. — là hàm nghịch biên trên R . v'y V' V Do (1) <=> f Ịx 2 — 2y + lj = f ^2x 2 - 4y - lj <=> X 2 - 2y +1 = 2x 2 - 4y -1 <=> 2y = X 2 - 2 . Thay 2y = X 2 - 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: \í or 7^ Vậy hệ phương trình cĩ hai nghiệml (x;y) = l;-7- ; 3;^- . Nhận xét. Nếu thấy khó phân tích được hàm số như trên thông thường đặt V 2x 2 + 7 = t đưa về hệ phương trình: /2x + 7 = t 2x 2 + 7 = t 2 Ịx 3 + 5x 2 + 17x + 7 = Ịt 2 + ljt [x 3 + 5x 2 + 17x + 7 = t 3 +1 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta [ũỊc: X + 7x +17x + 14 — t +1 +1 (x + 2 ) + (x + 2 ) + X + 2 = t +1 +t. Ta có kết quả như lời giải trên. 737 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X >-l,y > l,x + y ^ 0 . Đặt u = Vx +T,V = yjy - 1,(II, V > 0)hệ phương trình trở thành: = 1 u u 2 + V 2 1 1 —I——-— — 2 V u 2 +v 2 Oi 3 2. — + — = 5 u V 1 1 — 1 ——-— — 2 V u 2 +v 2 oi 2 u 5u -3 1 2u 5u — 3 u 2 + f 2u v 5u-3 J ■ = 2 oi V = - 2 u 5u - 3 5u -12u + 3 = 0 < u ’ v>0 > 1 6 + V 2 T u = ---— 5 I + V 2 I 10 oi Vx +1 = VỸ-Ĩ 6 +V 2 T 5 1 +V 21 ĩõ oi 32 + I 2 V 2 Ĩ X =-—- 25 6 I + V 2 Ĩ 50 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) ■ 32 + 12 ^/ 2 ! 61 + V 2 T 25 ’ 50 Bài 33. Giải hệ phương trình < (x-y + 2) a/x + 1 Ị 4 - ịVx+1 =yj -Vl-xj = 7 3y-2 + 2Vl-x' Lời giải Điều kiện: -1 < X < l,y > 0. Nhận thây X = -1 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X ^ -lkhi đó pương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (x-y + 2)Vx + l- Vx + l =\Ịỹ - Vx + 1 . <^>(x-y + l)Vx + l = yjy + XX + 1 <=> (x + l-y) Vx + 1 + VỸ+Vx+1 = 0<=>y = x + l. s 738 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thay y = X +1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: Vx+I(4 - Vĩ^x Ị = 3x + 1 + 2 V 1 - X . Một phương trình vô tỷ có chứa hai căn thức ta thường lựa chọn phép đặt hai ẩn phụ đưa về tích. _ u = Vx + 1 / \ Đặt ị r—,{ U,V>0J: [v = vl-x Ta có hệ phương trình: ! II 2 + V 2 = 2 I u 2 - V 2 = 2x u 2 + V 2 = 2 u(4-,) = |(u 2 -, 2 ) +1 + 2v u 2 +v 2 =2 “( 4 -'')=f( 2 “ 2 - 2 ) -2 +l + 2v I u 2 +v 2 =2 <=>■ v(u + 2) = -3u 2 +4u + 2 o u 2 + V 2 = 2 V = - -3 u 2 +4u + 2 0 i u + 2 u 2 + -3u 2 +4u + 2 u + 2 \2 = 2 u,v>0 <=> <- > u = 1, V = 1 1 \fx + ĩ = 1 I Vl-X =1 Vx+ĩ=J| 0 -3u 2 +4u + 2 u + 2 X = 0 y = 1 3 2 • x 5’ y 5 3 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = Nhân xét. Phương trình Vx + l|4-Vl-xj = 3x + l + 2 Vĩ -X ta có thể biến đổi đưa về tích như sau:|2v/x + l -Vl-xỊ|Vx + l+ Vl-x-2Ị = 0. Bài 34. Giải hệ phương trình < 3x 2 4xy + 12y 2 + 8 =10 (x-2y) 2 2x 2 -16y 2 + 4xy = -X + 2y - 2 Lời giải Điềukiện: X- 2y ^0. 739 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình tương đương với: \2 / _ \2 8 +-— = 10 2(x-2y) + (x + 2y) (x-2y) [3(x-2y)(x + 2y)-(x-2y) 2 =-(x-2y)-2 2 x-2y- ^ 1 X - 2y <=>< v \ J 3(x + 2y)-|^x-2y- + (x + 2yỴ + 2 2 X -2y = -l Đặt u = x - 2y - X -2y , V = X + 2y hệ phương trình ttở thành: <=> 12u 2 + V 2 = 2 |3v-u = -l X -2y - <=> 17 12 u = -—,v = -— 19 19- U = 1,V = 0 17 x + 2y = - X - 2y - - X -2y 19 12 19 <=> X -2y [x + 2y = 0 = 1 x = l,y = ~ 1 1 x = -—,y = — 2 4 4 I + 3 V 353 _ 3 V 353-7 x =- —7 -,y = ——- 76 152 - 4 I + 3 V 353 _ 3^353 +7 x =- — 1 -,y =- 7 —- 76 152 Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là M-H ( .. ^ 11^ 2 ’ 4 4 I + 3 V 353 3 V 353-7 76 ’ 152 -41 + 37353, 3 V 353+7 76 ’ 152 2 +y 2 +4 = 2(x7^ + y77 + V7) [Vx + 7ỹ = 3-7xỹ Lờỉ' giải Điều kiện: x,y > 0. 740 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u 4 + V 4 + 4 = 2Ỉ U 3 V + V 3 + u u + V + uv = 3 3-u V = u + 1 u 4 + ^3-u^ 4 v u + l y + 4 = 2 3 3 - u u -— + u + 1 ^3- u^ 3 v u + l y + u 3-u V = --- u + 1 (u-l) 2 íu 6 +8u 5 +21u 4 +24u 3 +11u 2 -32u + 31| = 0 u,v>0 . U = l Vx=l x = l Ự=1- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l). 2x 2 +5y 2 - 4xy - 6x-6y + 9 = 0 Bài 36. Giải hệ phương trình < xy + 2x = (y + 3Ì< w ' " / 1 y + 2 Lời giải (x-l) 3 Điêu kiện: -- 2— > 0,y ^ -2 . y + 2 Khi nhìn vào phương trình thứ hai của hệ mang dáng dấp hàm sô" nếu ta viết V(y +2 ) 3 được dưới dạng: y + 3 X . Tuy nhiên với điều kiện của hệ trên chưa cho phép ta có biến đổi đó. Do vậy cần tìm điều kiện của hai ẩn x,y từ phương trình đầu của hệ. Từ phương trình đầu của hệ ta có: 2x 2 -2x(2y + 3) + 5y 2 -6y + 9 = 0 => < A' x =(2y + 3) 2 -2(5y 2 -6y + 9) 5y 2 - 2y (2x + 3 ) + 2x 2 - 6x + 9 = 0 A' ỵ =(2x + 3) 2 -5Í2x 2 -6x + 9Ì 741 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com |6y -24y + 9<0 _ ; [4 - Vĩõ 4 + Vĩõ < y <--- 2 1 < X < 6 [6x -42x + 36<0 Do đó phương trình thứ hai của hệ tương đương với: ; (y + 2) = (y + 3) (x-lf Ậy + 2) 3 ^(x-1 f - - -— <=> - ; - —-=- ; -— y+2 y+3 X Thay y = X - 3 vào phương trình đầu của hệ ta được: 2x 2 +5(x-3)~ -4x(x-3)-6x-6(x-3) + 9 = 0. <=> y + 3 = X <=> y = X - 3 . «>3x 2 -30x + 72 = 0<=> X = 4 X = 4,y = 1 ' => ' x = 6 |_x = 6,y = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (4;l);(ó;3). xy 2 ỊVx 2 +1 +1 j = 3-^y 2 +9 + 3y [(3x - 1 ) \jx 2 y + xy - 5 - 4x 3 + 3x 3 y - 7x = 0 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x|Vx 2 +1 + lj = — ■ + 1+1 3' 3 <=> X = —<=> y = — . y X Thay y = — vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X (3x-l)x/3x-2-4x 3 +9x 2 -7x = 0. <=> (3x-l)Ịx/3x-2 -xj X - 2 - X I = 4x 3 - 12x 2 + 8x. <=> (x 2 -3x 2 + 2 ' x + 3x-l x/3x-2 + x = 0 <=>x-3x + 2 = 0<=> X = 1 X = 2 x = l,y = 3 - 3 • x=2 - y 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;3); 2; : 742 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + y 2 -y = (2x + l)(y-l) 'r^-' 2 r /3x-8 - ", y Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 r_ y = X + 1 (x-y + l) =0 /3x-8 -Jy - x + y-12 / 3x-8 —x/x +1 = 5 <=> 2x -11 5 X = 3,y = 4 X = 8,y = 9 V y _ Nhân xét. Để giải phương trình V3x - 8 - x/x + 1 = ——ta thực hiện như sau: 2x-ll V 3x - 8 + x/x + 1 2x -11 5 /7—— 3x-4 — X + 7 (2x-9)(2x-ll) 4x + 3 <=> x/3x-8 --+ x/x + 1 - 11 —= 2-'Ạ-4-212-. „ 9x 2 -24x +16 X- + 14X + 49 3x-8-—- x + 1-—-- .2 95 95 4x -llx + 96 <=>-——:-+- x/3x-8 + 3x -i Vx+Ĩ + X + 7 «(x 2 -llx + 24 ' 4 9_ 1 1_ 1 ĩ+ ^yỊ^ + ^ + ^^Ti + ^L = 0 . <=> X" — 1 lx + 24 = 0 <=> x = 3 x = 8 s , [x 3 +xy 2 -12x-y = 4x 2 +6y 2 +7 Bài 39. Giải hệ phương trình < ^ [y 3 + x 2 y - X + 2y = 1 - 2xy Lời giải Nhẩm được nghiệm đẹp x = -l,y = 0nên ta đặt ẩn phụ x = u-l,v = yhệ phương trình trở thành: uỊu 2 + V 2 j = u + v + 7Íu 2 + v 2 j (" v|u 2 +v 2 +11 = 11 (»-7)(»*+v>) vỊu 2 +v 2 j = u- = u + V 743 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com rr, ... , 2 2 „ u = 0 |x = -l Trường hợp u + V = 0 <=> < ” <=> • V = 0 Ta xét u 2 +v 2 >0. Hệ phương trình tương đương với: y = 0 u-7 = 4^t(1) 2 . 2 u + V u-v 2 2 u + V ( 2 ) Lấy (1) + i.(2) theo vế ta được: u + vi - 7 = u - vi + V + ui 2 2 u + V u + vi - 7 = u - vi + V + ui 2 2 u + V li 2 Đặt z = u + vi phương trình trở thành: z-7 = — + — <=>z-7z-i-l = 0. z z Phương trình số phức cuối thực hiện đơn giản. Hệ phương trình có hai nghiệm ba nghiệm là , , , , , 1 10-rìoí + ioVTĨI 53-5VŨ3 Ịĩỉ+ĩựm (x;y) = (-U0); --; 3 ^ 2 V y I0 + V1Q6 + I0VĨT3 , 53 + 5VŨ3 / 53 + 5VĨĨ3 4 ’ 8 V 2 V y Nhân xét. Như vậy hệ phương trình cần thông qua phép đặt ẩn phụ ta mới đưa được về hệ có dấu hiệu sử dụng sô" phức. Xuất phát từ các hệ phương trình quen thuộc ta đổi ẩn đi có những hệ phương trình hay và khó hơn rất nhiều. (6 - x)Ịx 2 + y 2 j = 6x + 8y (3-y)|x 2 +y 2 j = 8 x-6 y Thay X bởi X +1 và thay y bởi y -1 đưa về hệ khó hơn như sau: X 3 +Ịy 2 -2y-2Ìx + 18y = 3x 2 +5y 2 +12 y 3 +(x 2 +2x + 4jy =4x 2 +6y 2 -6 Đáp số: (x;y) = (-l;l);(l;2);(3;3). Với hệ phương trình giải bằng sô" phức ban đầu 1. Giải hệ phương trình 744 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: xy ^ 0 . Hệ phương trình tương đương với: 9 x 2 = 4 + 32x 2 (y 4 -x 4 ) 3x = y + 2Íx 4 -y 4 Ị Ệ + 32x 4 (y 4 - X 4 ) = y 2 + 4(x 4 - y 4 ) 2 + 4 (x 4 - y 4 )y 3x-y = 2(x 4 -y 4 ) X 4 - y 4 + 32x 4 y 2 (y 4 - X 4 ) - 4y 2 (x 4 - y 4 ) 2 - 4y 3 (x 4 - y 4 ) = 0 3x-y = 2(x 4 -y 4 ) (x 4 - y 4 )(l - 32x 4 y 2 - 4y 2 (x 4 - y 4 ) - 4y 3 ) = 0 3x-y = 2(x 4 -y 4 ) (x 4 - y 4 ) (2y 3 -l) 2 -36x 4 y 2 =0 3x-y = 2(x 4 -y 4 ) (x 4 - y 4 )(2y 3 -1 - 6x 2 yỊ(2y 3 -1 + 6x 2 yỊ = 0 3x-y = 2(x 4 -y 4 ) THI: Nếu X 4 — y 4 — 0 => ị x y 0 « j x ^ (loại). [3x-y = 0 [y = 0 ___ , , _ 2 _ Í2y 3 -l + 6x 2 y = 0 TH2:Nếu2y 3 -l + 6x 2 y = 0^r "n 3x-y = 2 X - y 9x 2 = ^- + 32x 4 Ịy 4 -x 4 Ị 9x 2 =y 2 + 4(x 4 -y 4 ) 2 +4(x 4 -y 4 )y 745 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2 y 3 - l-6x 2 y = 0 12 y 3 -1 + 6 x 2 y = 0 1 3x-6x 2 y 2 =2x 4 3x - y(2y 3 + 6x 2 yỊ = 2^x 4 - y 4 ) 2 y 3 -l + 6x 2 y = 0 x ^ 0 Ị2y 3 +6x 2 y = l XỊ 3 - 6xy 2 - 2x 3 j = 0 [2x 3 + 6xy 2 = 3 2(x + y) 3 =4 L + y = 3/^ 2(x-y) 3 =2 l x -y = 1 3/2 + 1 2 1 / 2-1 TH3: Nếu 2y 3 -1 - 6 x 2 y = 0: 2 y 3 -1 - 6 x 2 y = 0 3x-y = 2(x 4 -y 4 ) 2 y 3 -l- 6 x 2 y = 0 Í 2 y 3 -1 - 6 x 2 y = 0 3x-y(2y 3 - 6 x 2 yỊ = 2(x 4 -y 4 Ị [3x + 6 x 2 y 2 =2x 4 2y3_i_6x 2 y = 0 ( x ,0 ? f 2 y 3 xÍ3 + 6 xy 2 -2x 3 j = 0 2x 3 12 y 3 - 6 x 2 y = 1 ' 3 - 6 xy 2 =3 Để giải hệ phương trình này ta sử dụng kỹ thuật phức hóa. 3 1. 2 2 1 Ta có: X 3 -3xy 2 +Ị3x 2 y-y 3 = . _ _. 3 3-i Đặt z = X + yi z = —— Ta có: 3-i = yịĩõ _1 Vĩõ x/ĩõ = VŨ)(cos(p + isincp). VỚI cosọ — ,— ,sin(p =—=■, V10 VI0 ọe -?;0 V 2 , Suy ra z 3 /5, /5 ) +1 sin cp J <=> z = p — (ọ + k2n . . cp + k27ĩ cos-:—- + isin-:- ,k = 0 ,l ,2 Do đó X = « ịcosttỊ^.y = í ị sin =0,1,2 . s 746 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có bôn nghiệm là: [5 ẹ + k2n cos-—- '2 3 /V-VÌ- 'ìỊĨ + \ ^2-ỉ\ (Ị (x;yj- { 2 ’ 2 ) ự: ;sin (p + k2 n ^,k = 0,1,2 với cosọ = 2— ,sin(p~- VI0 1 >/ĨÕ’ (pe -f ;0 V ~ J Nhận xét. Đây là một bài toán hay và khó đòi hỏi học sinh kỹ năng biến đổi tốt. Nếu đề bài chỉ yêu cầu tìm nghiệm dương của hệ phương trình thì kết quả sẽ đẹp mắt hơn. Tuy nhiên đề bài tôi đưa ra muôn nhấn mạnh các em đến ứng dụng của sô" phức trong giải hệ phương trình. Bài 41. Giải hệ phương trình x + 2y+ 2^/4x + y =1 ^46^-Ĩ6yẸí + ỹỴ-6ỹ + 4 yịĩx^ỹ- 8 -4y ,(x,yel). Lời giải 4x + y > 0 Điêu kiện: {...., , Ị46-16y(x + yJ-6y >0 Từ phương trình đầu của hệ ta được: 2^4x + y = 1 - X - 2y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: ^46-16y(x + y)-6y + 2(1 - X - 2y) = 8 - 4y. <=> ^46-16y(x + y)-6y = 6 + 2x. Í2x + 6 > 0 Ì46-16y(x + y)-6y = 4x 2 +24x + 36 íx > -3 <=> < [4x 2 + 16xy + 16y 2 + 24x + 6y -10 = 0 Kết hợp với phương trình đầu của hệ ta được: jx + 2y + 2^4x + y = 1 [4X 2 + 16xy + 16y 2 + 24x + 6y -10 = 0 x + 2y + 2^4x + y =1 4(x + 2y)" + ó(4x + y)-10 = 0 747 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com íu = x + 2y . . Đặ t 1 ,—-—, (V > 0) hệ phương trình trở thà nh: |v-ự4x í y j II I 2v - I Ju = 1 - 2v [4u 2 + 6v 2 -10 = 0 [ 4(1 - 2v) 2 + 6v 2 -10 = 0 ’ <=> ■ I u = 1 - 2v II lv 2 -8v - 3 = 0 <=> u = —1 V — 1 17 u = —1 11 l v = 1 3 (vì n V > 0 ). V = — 11 /V jx + 2y--l íx + 2y = -l [y4x + y = l [4x + y = 1 3 X = — 7 5 y 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1 Y~~j (thỏa mãn điều kiện). 3 5 Lời giải Điều kiện: X - y > 0 . Nhận xét. Từ phương trình thứ hai của hệ là phương trình vô tỷ đối với X - y nên thực hiện tìm X - y từ phương trình thứ hai của hệ Đặt t = X - y,(t > 0 ) phương trình thứ hai của hệ trở thành: Vt + 2 +1 = 9t 2 + yịĩt <^> Vt + 2 -ypũ + l-9t 2 =0 { \ <=> —3=— 1 = + (1 - 3t)(l + 3t) = 0 <=> (1 — 3t) yJt + 2 + \[ĩt <=>3t = l<=>x-y = ^ (do 3 Vt + 2 + yfh Vt + 2 + yjĩt + l + 3t > 0, Vt > 0). + l + 3t = 0 . 1 Thay y = X - J vào phương trình trình thứ nhất của hệ ta được: 748 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3x 2 = >/x 3 +4x + 2 (x +1) 3 + (x +1) = X 3 + 4x + 2 + \Ịx 3 + 4x + 2 (1). Xét hàm số f(a) = a 3 + a ta có f'(a) = 3a 2 +1 > 0,Va e R. Vì vậy f(a) là hàm đồng biến. Do đó (1) «• f(x + 1) = f(v/x 3 +4x + 2) o X +1 = \lx 3 + 4x + 2 . <=> 3x 2 -X-1 = 0<=> 1 + VĨ3 X = — 6 1-VĨ3 X = — 6 X = 1 - VĨ3 1 + >IĨ3 1 + VĨ3 -1 + VĨ3 6 ■ y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là í. /7T _ rz\ í M- 1-VĨ3 l + VĨ3\f 1 + VĨ3_-1 + VĨ3 6 ’ 6 ’ 6 ’ 6 Bài 43. Giải hệ phương trình (x + y)V 7x y + 2 = x 2 + 6 y x^lxy + 2 = X 2 + 25y 2 - lOxy -1 161 2 26 3 T^y-V , 3 2,(x,y. Lời' giải Điều kiện: 7xy + 2 > 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: ôịx + y^yỊlxy + 2 = 6x 2 +16ly 2 -52xy -9 6x^J^xỹ~+2 = ó(x 2 +25y 2 -10xy-lj Jx^/7xỹ+~2 =x 2 +25y 2 -lOxy-1 Ịóy-^/yxy + 2 = 1 ly 2 + 8xy - 3 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: (x + 6y)^/7xy + 2 =x 2 +36y 2 -2xy-4. <=>(x + 6y)~ -(x + 6y)x/7xy+ 2 -lịlxy + 2 ). <=> (x + 6y- 2*Jlxy + 2 j|x + 6y + ^/7xy + 2 j = 0 <=> X + 6y = 2^7xy + 2 X + 6 y = -yỊlxy + 2 & 749 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com THI: Nếu 7"7xy+ 2 = => X + 6y > 0hệ phương trình trở thành: X. x + 6y = X 2 + 25y 2 - lOxy -1 6y.^ = lly 2 + 8xy-3 <=> IX 2 + 6xy = 2x 2 + 50y 2 - 20xy - 2 [3xy + 18y 2 =lly 2 +8xy-3 <=> <=> ■ [x 2 +50y 2 -26xy = 2 [7y 2 -5xy = -3 -3(x 2 +50y 2 -26xyỊ = 2(7y 2 -5xy) [7y -5xy = -3 3x 2 + 164y 2 - 88xy = 0 Ị(x -2y)(3x - 82y) = 0 <=> 7y 2 -5xy = —3 [7y 2 - 5xy = -3 oi X = 2y 3x = 82y <=> [7y -5xy = -3 X = —2,y = -1 X = 2,y = 1 82 x =—^=,y = 7389’ 7389 ' 82 3 7389 ,y_ 7389 Đôi chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm (x;y) = (2;l); TH2: Nếu 7^xy + 2 = -(x + 6y) =^> X + 6y < Ohệ phương trình trở thành: -x(x + 6y) = x 2 +25y 2 -10xy-l -6y(x + 6y) = lly 2 +8xy-3 82 _ 3 7389 7389 <=> <=> ■ 12x 2 + 25y 2 - 4xy = 1 [47y 2 +14xy = 3 oị 3Í2x 2 +25y 2 -4xy) = 47y 2 + 14xy 47y 2 + 14xy = 3 6 x 2 +28y 2 -26xy = 0 í(x-2y)(6x-14y) = 0 <=> ị47y 2 + 14xy = 3 |47y 2 + 14xy = 3 s 750 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X = 2y <=> (I 3x = 7y <=> [47y 2 +14xy = 3 2 1 x 5’ y 5 2 1 x 5’ y 5 7 3 V239 ,y_ ^/239 7 _ 3 x = ^=,y = - V239' V239 Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm í \ í 2 0 7 3 " ( X;y H 5/ t V239' V239 J Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là: 7 '"i 1 V 7 (x;y) = (2;l); 2 5 ’ 5 7 3 Ị/ 82 _ 3 a/239 ' V239 ^389'a/389 Cách 2: Viết lại hệ phương trình dưới dạng 6(x + y)^/7xy + 2 = 6x 2 + 16ly 2 -52xy-9 (1) 6 x^Txy + 2 = óỊx 2 + 25y 2 - lOxy -1 j (2) Lấy 2.(1) - 3.(2) theo vế ta được: "x = 2y 3(x-2y)^/7xy + 2 = (x -2y)(3x -32y) <=> 3^1xy + 2 = 3x - 32y Xét ưường hợp và ta có kết quả như lời giải 1. Sau đây là một sổ - bài toán tương tự dành cho bạn đọc rèn luyện 1. Giải hệ phương trình: (6-6x-y)^/xy-5 =18x 2 -21xy + 24x -1 ly + 5y 2 -2 (1) (3x + y)^/xy-5 =-2y 2 +2y + 6xy + 2 (2) Hướng dẫn giải bài toán 1: Lấy (1) + 4.(2) theo vế ta được: 3(2x + y + 2)^/xy - 5 = 3(2x + y + 2)(3x - y + 1 ) <=> ,(x,y gR) 2x + y + 2 = 0 x/xy-5 = 3x - y +1 THI: Nếu 2x + y + 2 = 0^y = -2x-2 =>xy - 5 = x[-2x - 2 V-5 = -2x 2 - 2x-5< 0 hệ nhương trình vônghiêm^ Hlr §751 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH2: Nếu ->J xy-5 = 3x - y +1 thay vào (2) ta được: (3x + y) (3x - y +1) = -2y 2 + 2y + 6xy + 2 . <=>(3x-y-l)(3x-y + 2) = 0<=> y = ^ x v A ’ |_y = 3x+2 + Với y = 3x -1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được (6x - l)^x(3x-l)-5 = -2(3x -1) 2 + 2(3x -1) + 6x(3x -1) + 2. <=> (ỏx-lỴxịĩx 2 - X - 5 = 2(^6x-1). <=> ' 2 -x-5 - 2 1 = 0. <=> 1 X = — 6 <=> 4 . 3x 2 -x-5 =2 1 X = — 6 X ■ l-VĨÕÕ 6 l + VĨÕÕ 6 1 1 x = ^,y = X ■ 6’ y =l2 1-VĨÕ9 1 + VĨÕ9 1 + VĨÕ9 -1 + VĨÕ9 6 ,y_ 2 (x;y) Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm ' i-yỉĩw' Ì+VĨÕÕỊÍI+VĨÕÕ.-I+VĨÕÕ^ 6 ’ 2 ’ 6 ’ 2 + Với y = 3x + 2 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được (6x + 2)^x(3x + 2)-5 = -2(3x + 2) 2 + 2(3x + 2 ) + 6x(3x + 2 ) + 2 . <^> (3x + l)V3x 2 +2x-5 = -2(3x + 1 ). ^(3x + l)|^V3 2 +2x-5 + 2Ì = 0»x = -ị,y = l. Đôi chiếu với điều kiện không thỏa mãn. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1 -VTÕ9 . l + VĨÕÕ", /1 + VĨÕ 9 -l + VĨÕÕ" 6 ’ 2 V 7 ’ 6 ’ 2 V 7 - y 2 + lnỊl - X 2 j -31n|l - y 2 j = = 0 1 + X =1 ,(x,y gM) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện : 11 -X 2 >0 í—1 0^ị-l0): u 2 -l 2u 7 X + 1 = u - u 2 - 1 u 2 + 1 2u 2u y = v 2 -l 2v Vy 2 + ĩ = V 2 +1 2v Khi đó phương ưình thứ hai của hệ trở thành : u +1 V -1 + 2u 2v V +1 u -1 V 2v + 2u / = 1» uv = 1 uv(u + v) 2 + (u-v) 2 =0 Nhưng do uv ( u + V j + ( u - V j > 0, Vu, V > 0 neân uv = 1. Vậy ta có 5 Ị^x + V^Yy + \jl + y 2 j = 1 <=> X + Vl + X 2 = -y + \Ịl + y 2 (1). Xét hàm sô" f(t) = t + Vt 2 + 1 ta có f'(t) = l + t _Vt 2 +i+t Vt 2 "+t_ t+t > 0 . + 1 Do đó f(t) đồng biến trên R (1) <=> f(x) = f(-y) <=> X = -y . Thay y = -X vào phương trình đầu của hệ ta được: 3x 2 -X 2 + lnỊl-x 2 j-31n|l-x 2 j = 0 <=> X 2 -lnỊl-x 2 \ - 0 (2). Nhận thây X là nghiệm của phương ữình thì -X cũng là nghiệm của phương trình. Vậy ta chỉ cần xét với X > 0 . Xét hàm sô" g(x) = X 2 -lnỊl-x 2 j với X e Ị^O; 1) ta có. g'(x) = 2x + - 2x d-ú : 0 ,Vx e [ơ;l) . 753 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do đó g(x) đồng biến và g(0) = 0 nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất: X = 0 trên [ơ;l). Do đó trên cả khoảng phương trình chỉ có nghiệm duy nhất: x = 0=>y = 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0). íỉ 754 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + THI: Nếu y = 0: •-(y - V x -y ) 2 = : <=> ■ X 2 -4x-5 = 0 y = 0 <=> + TH2 X -4| y --v/x -y I =5 ly = 0 X = —1 y = 0 X = 5 y = 0 :Nếu ^ỹ--Ụx == yỊx-2y + 2-y/x^ỹj = l (y-Vx-ỹ) 2 =5 ỉ - \3 = 1 chỉ nhận nghiệm (x;y) = (5;0). x z -4 y- u 2 -v 2 =5 Ịy “ x/ x “ y ỊỊ X “ 2y + 2 yjx - y j Đặt u = X, V = 2y - 2 yjx — y hệ phương trình trở thành: \3 2 / 0 'T / \2 Suyrav(u-v) =^-Ịu 2 -v 2 j <=>(u-v) 25v(u-v)-2(u + v) ( 1 ). [v(u-v) 3 =2 = 0 . \ 2 <=>25v(u-v)- 2(11 + v) = 0(do u^ v).<=> u = 9v 2u = 3v' + Nếu u = 9v thay vào (ĩ) ta được: 80v 2 = 5 <=> V = ±~ 7 => u = +--. 4 4 + Nếu 2u = 3vthay vào (1) ta được: u 2 = 9 <=> u = ±3 =^> V = ±2. íu = 3 í X = 3 |x = 3 íx = 3 lv = 2 | 2 y- 2 ^ = 2 <=> |y-l = V^""lyl 2 - íu = -3 íx = -3 íx = -3 Với < _<=>< ,- <=>2 , -(vô nghiệm). |v = -2 [2y-2^x-y = -2 |y + l = ự-3-y , r r Với 9 u — 4 1 V = — 4 9 9 X = — X = — 4 4 <=> 1 - <=>) „ „ 1- 1 1 9 2y-2^x-y =4- Kí V 1 ■\> II 2° T 1 l 4 4 V4 l X = ■ 4 2^[Ĩ3 -3' & 755 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 9 9 u = — X = — 4 4 <=> o 1 „ „ /- 1 V = — 2y-2 A /x-y = — l 4 4 9 X = —- 4 (vô nghiệm). Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là: (x;y) = (5;0);(3;2);fe 2 ^ 3 . V 7 Bài 46. Giải hệ phương trình . 1 I Điêu kiện: x>—-,y> —. 2 2 X 2 + y 2 + 2xy - 2x + y - 9 = 0 2x + 8 +V2x + 1 =4y 2 -3y+ ^/2y-l Lời giải ,(x,yeR). Viết lại hệ phương trình dưới dạng: jx 2 + y 2 +2xy-2x + y-9 = 0 |V2x +1 - ^2y -1 + 2x + 8 - 4y 2 + 3y = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: V2x + 1 - ^2y - 1 + X 2 - 3y 2 + 2xy + 4y -1 = 0. Nhận thấy X = -^,y = không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X ^ ^, y ^ ^ thực hiện nhân liên hợp đưa phương trình về dạng híơng đương 2(x-y + l) V2x +1 + ^2y - ĩ { o(x - y+l) (vS7T7 (x-y + l)(x + 3y-l) = 0. \ - +x + 3y-l =0(1). x + 1 + _ 1 _ 1 Do X > —-,y > — nên: 2 2 Zx + 1 + 2 _ _ , _ 2 . >0;x + 3y-l>0^> - +x + 3y-l>0. + ^2y -1 V2x +1 + ^2y -1 Do đó (l)<=>x-y + l = 0<=>y = x + l. Thay vàaphiuyng trình thứ halcủa hê ta^lượcn 756 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2 +(x + lj + 2x(x + l)-2x + (x + lj-9 = 0 . X = 1 x = l,y = 2 <=> 4x 2 + 3x - 7 = 0 <=> 7 =^> 7 3 (chỉ nghiệm í 1;2Ì thỏa L 4 L 4 4 mãn điều kiện). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất(x;y) = (l;2). Nhận xét. Cơ sở của lời giải bài toán dựa vào kỹ thuật hệ số bất định như sau(Xem thêm Cuốn “Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh Hệ phương trình” của cùng tác giả). Viết lại hệ phương trình dưới dạng: I A = x 2 +y 2 +2xy-2x + y-9 = 0 (1) Ịb - x/2x +1 - ^2y -1 + 2x + 8 - 4y 2 + 3y - 0 (2) ’ Nhận xét. Dự đoán x/2x +1 = ^Ịly -1 <=> y = X + 1 khi đó A = x 2 +(x + l) 2 +2x(x + l)-2x + (x + l)-9 = 4x 2 +3x-7 < B = 2x + 8-4(x + l) 2 +3(x + l) = -4x 2 -3x + 7 A Hệ sô" bất đỉnh k = -— = 1 tức là ta thực hiện phép toán lây (1) + (2) theo vế B như lời giải trên. Lời giải Điều kiện: -2^-. Phương trình thứ nhất của hệ viết lại dưới dạng: ( \ 3 ( X 2 - +3 - = 2Íy + lìyỊĩỹ—ĩ. Vy) yy) / Ỹ / \ 2 _ 3 «> - +3 - =u/2ỹ r ĩ +3^ỹ r ĩ(l). yy) yy) x ’ đfetri^Mtoy §§# 1 ý đưgg khát mể mmÊm® 11757 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ( \2 X vỹ. „ X „ X +6—=3—. y y x „ - + 2 vy . > 0 . Vì vậy ta cần sử dụng phương trình thứ hai của hệ để tìm điều kiện của —. y Từ phương trình thứ hai của hệ ta có 2x 2 + 2y 2 + 4x - y = v/2-x + 2^3x + 6 = ^ 1 ( 2 -x) + |^9(3x + 6). Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1 + 2-x _ 3-x 2 = 2 9 + 3x + 6 3x + 15 l(2-x)<. x/9( 3x + 6 ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = 1 . 2 . /■* 2 . ì 3-x 3x + 15 x + 13 Suy ra 2x +2y +4x-y < — —: = — 2 3 2 <=> 4x 2 + 4y 2 + 7x -2y -13 < 0. «-4y 2 - 2y - 2 < -4x 2 - 7x +11. ^2(y-l)(2y + l)<-(x-l)(4x + ll) (2). + Nếu y>l=>(2)=>x 1 3 + 3 ^ = 4 . <=> ly . x „ -+2 ly X >0<=> — >l<=>x>y(vô lý). y Vậy y < 1 ly . x „ - + 2 ly . \2 Khi đó ta có 2x 2 + 2y 2 + 4x-y- V 2 -X - 2^Í3x+~6 = 0. -y-lỊ + Ịl—s/2-x) = 0. <=>2^x +2x- 2(x - l)( x + 2)Ị x z +3x + 3 <=> + 2x + V 3x + 6 X — 1 +(y _ l)(2y+l)+ _^ ■ = 0. íỉ 758 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X -1 = 0 X = 1 <=> ị ~ <=> ( (thử lại thấy thỏa mãn). \y-i = o ly = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;l) Nhận xét. Đây là một bài toán hay và khó một phương trình của hệ có dạng hàm đặc trưng đánh lừa được rất nhiều học sinh khi tập trung khai thác phương trình này. Điểm nhấn của bài toán dựa trên đánh giá thông qua các bất đẳng thức cơ bản. Bài 48. Giải hệ phương trình f(l-y)Vx + y+ x + 3y = 6 + (x + y-4)Vỹ 5 ,(x,yeR). 2y>0,x-y-7^0. Phương trình đầu của hệ tương đương với: (l-y)(>/x+ỹ-2) + (x + y-4)Ịl- > /ỹỊ = 0 (l-y)ìx_ + y-4) ^ (x + y-4)(l-y) 0 Jx + ỹ + 2 1 + Vỹ o(l-y)(x + y-4)| ' , + , , 1 r 'Ụx + y+2 1 + Vy + THI: Nếu y = 1 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 5 -3 5 x-8 Vx-2 +VX + 1 x-8 5(Vx-2 + Vx+ĩỊ = -3(x -8) o 5(Vx-2 + Vx + 1 Ị + 3x -24 = 0 . ^5(Vx-2-lỊ + 5ỊVx+T-2Ị + 3(x-3) <=> = 0 <=> y = i X + y - 4 = 0 x + l-2j + 3(x-3) = 0. <=>(x-3)| , £ —+ , = -+ 3 = 0o X = 3 =>(x;y) = (3;l)(thỏa mãn). VVX -2 +1 vx + 1+2 y + TH2: Nếu x + y- 4 = 0<=>y = 4- x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: ,^x-2(4-x) -Vx + 1 =■ 5 x-(4-x)-7 ' 759 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> V 3x-8 -Vx + 1 - 2x -11 \ = 0 ( 1 ). —;+oo 3 2 Điều kiện: X e J l z ) Xét hàm sô" f(x) = V3x - 8 - Vx + 1 - ^ f'(x) = - với X 6 D = 2x -11 3\Jx + l -V3x-8 —;+G0 3 ta có 2 3 _ 1 | 10 _ 3Vx + l-V3x-8 | 10 2^3x-8 2^|x + l (2x-ll) 2 ~2^(3x-8)(x + l) (2x-ll) Vì 3Vx7l-V3x-8=V9x + 9-V3x-8^ 6x + 17 -_ >Q V9x + 9 + V 3x-8 Vì vậy f(x) là hàm đồng biến trên mỗi khoảng Ta có f(3) = f(8) - 0. Do đó (1) f(x) = 0 ->0,VxeD "8 ló (11 'ì — •- và —;+oo 1.3 2 J l 2 J X = 3 X = 8 |x = 3 [y=i [x = 8 y = -4 Đối chiếu với điều kiện chỉ nhận nghiệm (x;y) = (3;l). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;l). X + y = a Cách 2: Đặt ị a v^,(a,b>0): , b = ^ 1 r [y = b 2 x = a 2 -b 2 [y = b 2 Phương trình đầu của hệ trở thành: íl-b 2 ja + a 2 +2b 2 = 6 + Ịa 2 - 4jb . <^>aíl-b 2 Ị + a 2 (l-b) + 2b 2 +4b-6 = 0. (l-b)(l + b) + a 2 (l-b) + (b-l)(2b + 6) = 0. (l-b)ía(l + b) + a 2 -2b-6Ì = 0. »(l-b)Ịb(a-2) + a 2 +a-6Ì = 0«(l-b)(a-2)(b + a + 3) = 0. V x + y =2 Vỹ=1 oa(l- oíl- a = 2 b = l x + y = 4 y = i Ta có kết qưá tiigỊg bP||| ễ|||j£ệ|§ 760 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chú ý. Nhiều học sinh sai lầm khi cho rằng (1) có nghiệm duy nhất vì là hàm đồng biến. Điều cần lưu ý là f(x) đồng biến trên mỗi khoảng 11 8.11 3’ 2 và -;+co . Do đó nếu có nghiệm trên mỗi khoảng thì nghiệm đó là duy nhất V J trên khoảng đó. g Ngoài ra nếu chặn điều kiện y = 4- x>0<=>x<4=>^ l,y > -7 . Phương trình đầu của hệ tương đương với: 3 x -y +1 =x-y + l + ^(x-y + l) 2 +l . ]Ị( X - y +1) 2 +1 -1 <=> 3 x-y+l = 1 ( 1 ). Xét hàm Số f(t) = 3 l Ịvt 2 +1 - tì với teRtacó f \ 3'ln3^Vt 2 +l-tj + 3 t = -1 =3 t ỊVt 2 +l-tj(ln3-l)>0,Vt< f(t) = 3 VVI 1-r J Vì vậy f(t) là hàm đồng biến trên R . Do đó (l)of(x-y + l) = f(0)ox-y + l = 0. Thay y = X +1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: -V^TÌ 4 -4. VxỊVx - Vx+8 j=ỊVx+1 - Vx -1 j «>X-Vx 2 +8x =8^x 2 -1-xVx 2 -lj. 761 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>x + 8-Vx 2 + 8x =8 xỊ^x-Vx 2 -1 j. <=>Vx + 8|Vx + 8 -Vxj = 8x^x- Vx 2 -1J . 8 Vx + 8 _ 8x Vx + 8 + Vx X + Vx 2 ” <=> <=> -1 8x| Vx + 8Vx + 8^x + Vx 2 -lj = Ậx + 8 )Ịx 2 -lj = xVx <=> (x + 8)|x 2 -lj = X 3 . <=> 8x 2 -X- 8 = 0 < — » x = I + V257 . I7 + V257 _-_—V \ 1 — '_ 16 16 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = 1 ĩ — 'ị p V ^ 1 X 3 + y 3 + X + y + 3-y/x + y = 11 . rỵ—' r— Ị- ,(x,y e MJ xyVx 2 + 3 + ^/y + 2 +^/2y =0 r «2* Lờỉ’ giải Điều kiện: y>0,x + y>0. Nhận thây y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Với y > 0 viết lại phương trình thứ hai của hệ dưới dạng: -xVx~ + 3= —- + — . y 2 y 2 1 Ta có p = ^- + ^- + - >2,Vy e(0;2];p<2,Vy e(2;+oo). Suy ra X < 0 và -xVx z + 3 = p <=> X < 0 x 2i <=> X = ~A Ịx 2 +3) = p 2 Suy ra x<-l,Vye(0;2]và X >-l,Vy e (2;+co). + THI: Nếu ve(0:2]ta có < -l 3 + 2 3 -1 + 2 + 3V-I + 2 =11. 4p 2 +9-3 3 , .3 X +y Dấ|||b]pg xảy r||khi à^hỉ 762 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + TH2: Nếu ye(2;+co) ta có: X 3 + y 3 + x + y + 3- N /x + y >-l 3 +2 3 -I + 2 + 3 V-I + 2 =11 (hệ phương trình vô nghiệm). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = . Bài 51. Giải hệ phương trình: (xy-x + y-l)« \lx 2 +2x + 2 =*Jỹ < 3 3 Ị—— 3 ,(x,yeR). X 3 - + 4 V y - 1 i y-1 Lời giải . _ ^ 3 Điêu kiện: y>l,ll + 6x-—— >0. y-1 Phương trình đầu của hệ tương đương với: (x + l)(y-l)^(x + l) 2 +l = 7ỹ. a>. Xét hàm sô" f(t) = tVt 2 +1 ta có: f'(t) = Vt 2 +1 + 7 = > 0, Vt G R . Vì vậy f(t) là hàm đồng biến. Do đó (1) <=> f(x +1) = f ' 1 A <=> x + 1 = ,VỸ-ĩJ VỸ-Ĩ Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được X 3 - 3(x + 1 ) + 4 = ^ll + 6x-3(x + l)~ .£ <=> X -3x + l = V8-3x <=>x -3x + l- 2-x = V8- (2-x) = V8-3x 2 -(2-x). Chú ý 2-x + V8-3x~ >0,Vxe 3 V 3 nên ta thực hiện nhân liên hợp nhitóạuÝ: & 763 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> ,u ■ = 0. <=> Ịx 2 -x-l X + 1 + 2-x+-\/8-3x 4 £ = 0 ( 2 ). 2-X + v8-3x‘ Xét hàm số f(x) = 2 - X + V8-3x^ trên đoạn 3 V 3 ta có f'(x) = -l— . 3x ; f '(x) = 0 <=> y[s~ 3x 2 =-3x. <=> I X < 0 [8-3x z =9x -3x 2 Ta có f 2 .„2« x = -\/3- V ' 3 , = 2 + J-;f V ' 3 , 6 + Wẽ ;f V 3 , = 2 - Suy ra 2 - < f(x) < — + ,Vx e 3’ V3 Do đó X + 1 + - 2 - X + \fs~- 3x 6 7 ->x + l + -— -^>4 + x>0,Vxe Do đó (2) <=> X- X - 1 = 0 <=> X = 3 + 2V6 4 I-V5 . 9 + 3V5 l±yỊE l x= " = 3 V 3 2 2 I + V5 9-3V5 2 ,y _ 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: ' 1-V5.9 + 3V5" /1 + V5.9-3V5" )- 2 ’ 2 V y ’ 2 ’ 2 V y Nhận xét. Nhiều học sinh thắc mắc là tại sao thêm bớt đại lượng 2-xvào phương trình để thực hiện nhân liên hợp. Để làm được như vậy ta cần tìm nghiệm của phương tĩinhíkể cả nghiệm ngoại lai) bằng cách bình phương hai vế của phương trình. x 3 -3x + 1 = V8-3x 2 =>Ịx 3 -3x + iỊ 2 =8-3x 2 . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Thực hiện tìm nghiệm của phương trình này bằng máy tính cầm tay như sau (áp dụng với FX 570ES PLUS và Vinacal 570ES PLUS). Bưởc 1. Nhập vào phương trình trên như sau: (x 3 - 3X + lY" = 8 - 3X 2 . Bưởc 2. Nhân SHIFT + SOLVE máy hiện nghiệm đầu tiên Xj -1,6180339 vì đây là nghiệm lẻ nên ta dung phím nhớ lưu nghiệm đó vào biến nhớ A như sau: SHIFT + STO +A. Bước 3. Ta cần tìm một nghiệm lẻ thứ hai bằng cách thoát ra nhập vào phương trình và thao tác như bước 1 và 2 ta tìm được một nghiệm thứ hai x 2 = -0,6180339 ta lưu vào biến nhớ B như sau: SHIFT + STO + B. ÍX,+X 2 =A + B = 1 Bưởc 4. Tìm hai nghiệm này bằng cách lây tổng < Ị Xj.X 2 = A.B = —1 Theo định lý vi-ét Xj,Xt là hai nghiệm của phương trình: X 2 - X -1 = 0. _ v 1 + ^5 Và dê dàng tìm được hai nghiệm là X = — -ị — . Bưổc 5. Để tìm được nhân tử 2 - X ta thực hiện như sau: Đặt y = ^8 - 3x 2 . Với X = Với x = l-yÍ 5 . .. 3 + V5 ___ —V \r — ___ y = - . Ta có điểm thứ nhất A I + V5 , 3-V5 ---=^> V = ---- . Ta có điểm thứ hai B Ị-V5.3+V5 2 ’ 2 V / 1 + V 5 . 3 -V 5 _ 1 Đường thẳng đi qua hai điểm AvàBlà y = 2 - X . Để tìm hiểu chi tiết về phương pháp này bạn đọc tham khảo cuốn “ Những điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh Phương trình, bất phương trình vô tỷ” cùng tác giả. Ngoài ra sau khi tìm được hai nghiệm như trên ta có thể đưa về giải phương trình bậc cao với X. (x 3 -3x + 1 Ị 2 = 8-3x 2 <=> Ịx 3 -3x + lỊ 2 +3x 2 - 8 = 0. «• X 6 - 6 x 4 + 2x 3 + 12x 2 - 6x - 7 = 0. ỈS 765 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>Ịx 2 -x-ljỊx 4 +x 3 -4x 2 -x + 7| = 0«> X 2 — X — 1 = 0 x 4 +x 3 -4x 2 -x + 7 = 0 Với chú ý X 4 + X 3 - 4x 2 - X + 7 = 8 x + - ( 0 4 ( 0 l ( 0 -35 + 9 l 4 J l 4 J l 4j + - 1789 32 ~ữ V 4y + 5 ' , P 2 x + — V 4 y + 9 x + — V 4y + 4^->0,VxeR . 32 Bài 52. Giải hệ phương trình |x(x + 73y + l) = 2-3y (^3y + l + l)(x 2 -5x + 4) = 15y-6xy ,(x,yet). Lời giải Điều kiện: y > . 3 Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 + 3y - 2 + x^3y +1 = 0 Ịx 2 -5x + 4j^/3y+ 1 +x 2 + 6xy-5x-15y + 4 = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: Đặt t = ^Tĩ,(t > o) => 3y = t 2 -1 hệ phương trình trở thành: X 2 + t 2 - 3 + xt = 0 Ịx 2 -5x + 4Ìt + x 2 -5x + 4 + ít 2 -lỊ(2x-5) = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: t 2 +(3x-5)t + 2x 2 -7x + 6 = 0 (1). <=> (t + X -2)(t + 2x - 3 ) = 0 <=> 1 1 ~~ 2 + THI: Nếu <=> ■ Ịx 2 +xt + t 2 - 3 = 0 |x 2 +2tx-7x-5t + 9 = 0 t = 3 - 2x t =2-x=>' 11 =2-X |x 2 + xt + t 2 - 3 = 0 <=> • 11 = 2-x +x 2- (2-x) + (2-x) -3 = 0 766 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> í t=2 “ x cJ X = 1 cJ X = 1 Ịx 2 -2x + l = 0 Ịt = l |v^ = l 1 X = 1 y = o' + TH2: Nếu t = 3-2x^>' 3-2x ft = 3-2x + xt + t 2 -3 = 0 Ịx 2 + x(3-2x) + (3-2xJ -3 = 0 11 = 3 - 2x X 2 <=> ■ 11 = 3 - 2x 13x 2 -9x + 6 = 0 <=> IX = 1 [t = l [x = 2 |t = -l •(x;t) = (l;l)=>(x;y) = (l;0) vì t > 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (l;0). Nhận xét. Để có phân tích như phương trình (ĩ) ta có thể coi (1) là phương trình bậc hai của t và có A t = (3x -5)~ -4^2x 2 - 7x + ój = (x -1) 2 . Từ đó tìm được t theo X. + Nếu một phương trình của hệ chỉ có ^3y + 1 ta có thể đặt ẩn phụ rồi dùng phép thế(xem bài toán tương tự). Sau đây là một số bài toán tương tự dành cho bạn đọc rèn luyện 1. Giải hệ phương trình < (x + l) 2 +3(x-l)Jy + 1 +y + l = 0 , . v ’ v , x,yeK . 7x + (2 + x)^/y + l =5 Hưởng dẫn giải bài toán 1 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 2 + y-5x + 7 + (2x-5)- s /y + l = 0 . <=> 2 (x + VỸ+Ĩ) -5( x + V y + ij + 6 -0 <=> x + x + VỸ^Ĩ = 2 >/ỹ+ĩ = 3' Xét trường hợp thay vào phương trình thứ hai của hệ tìm được các nghiệm thoả mãn là: ( x;y )iZzl^l ; l^ĩì ; (4-Vd;17-2d7). Nhận xét. 767 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com I - J — /x Từ phương trình thứ hai của hệ rút được yỊ' y + 1 = ——~Y bằng phép thế ta hoàn toàn giải được hệ phương trình trên. Thật vậy ta cần giải phương trình: 5 -2 < X < 4 V do đó / ,\2 / , 5-7x Ị 5-7x" (x + 1 + 3( X — 1—— + v ’ v ’ X + 2 l x + 2 J = 0 . <=> X 4 - 15x 3 + 56x 2 - X - 1 = 0 . <=> Ịx 2 - 8x -1 jỊx 2 -7x + lj = 0 . <=> X 2 - 8 x-l = 0 X 2 -7x + l = 0 -2 2 X = 4-VĨ7 Ta có kết quả tương tự. Bài 53. Giải hệ phương trình: « 3y 2 +l + 2(x + l)y = 4yVx 2 +2y + l , V x v ’ ,(x,y e M). y(y-x) = 3-3y Điều kiện: X 2 Lời giải + 2y + 1 > 0. Ta có thể phân tích phương trình đầu của hệ như sau 4y 2 - 4y-^/x 2 +2y + l + X 2 + 2y +1 - Ịx 2 - 2xy + y 2 j = 0. ^Ị^2 y- A /x 2 +2y + lj =(x-y) 2 . <=> 2y - -\/x 2 +2y + 1 = X - y <=> a/x 2 +2y + 1 = 3y - X 2y - a/x 2 +2y + 1 = y - X + THI: Nếu x/x 2 + 2v +1 = 3v -X X 2 +2y + l = y + x a/x 2 +2y + 1 = 3y - X y(y-x) = 3-3y s 768 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3y-x>0 2 <=> (X + 2y +1 = 9y - 6xy + X <=> <Ị X = y(y-x) = 3-3y 9y -2y-l 6y , 9y 2 -2y-l V 6 y y (Do y = 0 không thoả mãn hệ phương trình). íx = l 3y-x>0 = 3-3y 3y-x>0 9y 2 -2y-l x= ——— <=> 6y 3y 2 -20y +17 = 0 y=i X = - y = - 415 51 17 + TH2 : Nếu -ị. X +2y + l = y + x: y + X > 0 X 2 + 2y + 1 = y 2 + 2xy + X 2 <=> y(y-x) = 3-3y ^/x 2 +2y + l= y + x [y(y-x) = 3-3y y + x>0 2y-y 2 +l y- 2y 2y-y z +i 2y = 3-3y (do y = 0 không thoả mãn hệ phương trình). íy + x>0 2y-y 2 +1 X = 1 X = ý - <=> ( '. 2y ly = 1 [3y 2 +4y-7 = 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y)= (l;l);Ị^-^-j-;-^ Cách 2: Đặt t = -ịy? +2y + 1 suy ra 2y = t 2 - X 2 - 1 . Phương trình đầu được viết lại dưới dạng: 3y 2 + 2xy +1 2 - X 2 = 4yt . 769 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> t 2 - 4yt + 3y 2 + 2xy - X 2 = 0. Ta có Ay' = 4y 2 - Í3y 2 + 2xy - X 2 Ị = (x - y) 2 . Suy ra t = 2y - (x - y) = 3y - X hoặc t = 2y + (x - y) = X + y . Thực hiện tương tự cách 1 ta có kết quả tương tự. Nhận xét. Với hệ phương trình có 1 phương trình của hệ chỉ chứa 1 căn thức hỗn hợp của cả hai biến X và y thông thường xử lý nhóm thành nhân tử chung. Trong lời giải trên ta nhóm về hằng đẳng thức dạng A 2 = B 2 hoặc có thể đặt ẩn phụ không hoàn toàn luôn thực hiện được vì phương trình đó bản chất đã phân tích được thành nhân tử. Bài 54. Giải hệ phương trình: 4x . 2=( ^ +1Xx2_yS+3y " 2) .(x,yeR). (X 2 + y 2 ) 2 +1 = X 2 + 2y ' ’ Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 4x 2 ỊVx 2 +1 -1 j = X 2 Ịx 2 - y 3 + 3y - 2Ị (x 2 + y 2 ) 2 +1 = X 2 +2y + THI: Nếu X = 0 thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 4 -2y + l = 0<=>(y-l)|y 3 + y 2 +y-lj = 0<=> y = i y = — + 3 + TH2: Nếu: 4^Vx 2 +l-lì = x 2 -y 3 +3y-2^> 4 ^ 4 |Vx 2 +1 -1 j = x z - y J + 3y - 2 (x 2 + y 2 ) 2 + l = x 2 + 2y 2 „3 x z +l-lJ = x 2 -y 3 +3y-2 [(X 2 + y 2 )(x 2 + y 2 -1) = 2y - y 2 -1 = -(y -1) 2 Từ phương ttình thứ hai suy ra X 2 + y 2 -1 < 0 I —1 < X < 1 1-1 < y < 1' 770 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó biến đổi phương trình đầu của hệ thành 4 Vx 2 +1-1 -X 2 =-y 3 +3y-2. Ux 2 +1 + 1 ) 3-yx + x z +1 +1 -(y-l) 2 (y + 2) (1). Với mọi x,ye -l;lj => VT (1) > 0, VP (1) < 0. Do đó (1) <=> VT = VP = 0 <=> ị thử lại vào phương trình thứ hai của hệ [y= 1 thấy thoả mãn. ( ị \ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;l);^0;-j + Lời giải Điều kiện: X > 3. Phương trình thứ hai của hệ tương đương với: . _í_ 1 _L. / V ^_ V\I \r- — ,/^7777 yịy - y +1 + V x " x y + y = Vx + X+1. Ta có VT = Ln\f^\ ÍK-vT+Í^xT U 2 2 \ 2 2 > f y-ị + ịx-yì +í^ậ + ^ệxì = Vx 2 +X + 1 =VP ị 2 2 y ) 1^2 2 J >7 ( 7 \Ỉ3 (1 N Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 7j“X y-^- = 2~ <=>xy-x + y = 0. Thay vào phương trình đầu của hệ ta được: x 2 ^2(x-3j -1 = Ỉ 3x-^- . ss ss 7* jss«. m ssss Xsssssí ìm 771 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Viết lại phương trình dưới dạng: X 2 j2(x-3Ì-l=3Ỉ3x--o2xj2(x-3Ì-- = 3Ếị—Ị. ^j2p3)-2^Ệ-±-2_ 4 2x J - 6 x- v -l V-4Í2x 3 - 6x 2 -1 2x^2(x-3) + 2 1 Ỵr í 2 V /24 4 -( 2 . Vx 2 X 3 1 x J V X 2 X 3 1 X <=> 4|2x 3 -6x 2 -1 2x V 2 ( x - 3 ) +2 Í 3 ẸTTÌ + r 2 _2^ẸTTr 2 _2f jx 2 X 3 1 xji|x 2 X 3 1 X, «2x 3 -6x 2 -l = 0«(x-l) 3 -3(x-l)-| = 0. »(x-l)-’-3(x-l) = ^ + ^j -3^ + 7. . of(x-l) = f ^2+- 7 = <=> X -1 = >/2 + —)=<=>X = 1 + ^2 +- 7 = V v2 J v2 v2 (vì f(t) = t 3 - 3t đồng biến trên khoảng [l;+co). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: , 1 + ^+3^ M = 1 + ^/ 2 +^=; ~ f & 2 + ^ + -L V V 2 Cách 2: u= J2 x-3 V_ v 3x 2 u 2 +6 2 => 3 Í u 2 + ó) = 2v 3 +1 <=> 2v 3 - 3u 2 -17 = 0 2v 3 +1 1 > 772 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phương trình trở thành: Ta có phương trình: 2 ■(" u +6 \2 u - 1 = V : 2v 3 -3u 2 -17 = 0 í u +6 IV u -1 = V í u +6 Ll - 1 -3u -17 = 0. «• I u 3 + 6u - 2 )í u 12 + 30u 10 + 2u 9 + 360u 8 + 36u 7 + 2164u 6 + 216u 5 + 6528u 4 + 440u 3 + 7968u 2 + 48u + 3041 = 0 <=> u 3 + 6u - 2 = 0 . <=> LI = $/2(3/2-lỊo^2(x-3) =ìl2ịìÍ2-l} l + ỳĩ + Ạr = 1 + yfĩ + -^= => y = <=> X: _ = _ ỵĩ_ « 2 + t/2 + -j_’ v2 Nhận xét. Bài toán đưa về giải phương trình vô tỷ với kỹ thuật nhân liên hợp hết sức khéo léo. Bạn đọc rèn luyện bài toán tương tự sau: X 2 y3(x-3)-5x + 4 = ^/-5x 2 -4. Bài 56. Giải hệ phương trình (x 3 +y + 3Ì\ /x 3 + 3 = 16Í4x 2 -3) < V 1 ,_ , v ’ . ,(x,yeM). (2x 3 +y-3) -y/y-3 +Í2xy-6x-5x 4 jvx =0 Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 3 . |a = Vy-3 Đặt 1 b = Vx ,(a,b>o): |y = a-+3 x 3 = b 2 Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành: Í2b 2 +a 2 Ịa + Í2a 2 -5b 2 Ịb = 0 «(a-b)ía 2 + 3ab + 5b 2 Ị = 0. a = b <=> a z +3ab + 5b =0 <=> a = b a = b = 0' 773 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X — 0 + THI: Nếu a = b = 0 => < ' thay vào phương trình đầu của hệ thây [y = 3 không thoả mãn. + TH2: Nếu a = b <=> -ựy-3 = Vx 3 " <=> y = X 3 + 3 . Thay y = X 3 + 3 vào phương trình đầu của hệ ta được (x 3 +3)Vx 3 +3 =32x 2 -24. Nhận thây X = 0 không thoả mãn phương trình. Vì vậy ta chỉ cần xét với X > 0 khi đó phương trình tương đương với: X 3 +3 Vx 3 +3 32 24 „í 4 3 ' <=> <=> X 3 + 3 Vx 3 + 3 X X 1 - 4-1 v x X 3 >)(' [x 3 -4x 2 +3)1 X 3 + 3-2xV X 3 + 3 + 4x 2 X 3 ỊVx 3 + 3 + 2x j ) 8(x 3 -4x 2 +3) __ ~~3 <=> (x 3 - 4x 2 + 3 ' Với mọi X dương ta có X 3 +3 -2 xV X 3 +3 + 4x 2 X 3 ừ 'x 3 + 3 + 2x + - X 3 + 3 -2 xV X 3 + 3 + 4x 2 x 3 | ừ 'x 3 + 3 + 2x = 0 ( 1 ). Vì vậy (1) <=> X 3 -4x 2 + 3 = 0<=> (x-l)Ịx 2 -3x-3j = 0<=> X = 1 3 -V 2 T 2 3 + V 2 Ĩ Đôi chiếu với điều kiện ta có X = 1 3 + V 2 Ĩ X = l,y = 4 x - —— ,y = 30 + 6V^2Ĩ ‘ 774 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (l;4); Nhận xét. Ta có thể giải phương trình trên như sau: 3 + -\/ 21 ;3() t- 6 21 Đặt y = 4 X 3 +3 .(y>0) : |x 3 =4y 2 -3 ly 3 =4x 2 -3 Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: ■ y 3 = 4Íy 2 - X 2 j <=> (x - y)Ịx 2 + xy + y 2 + 4x + 4y j = 0 . X 3 -’ <=> X = y X 2 + xy + y 2 + 4x + 4y = 0 (1) n— [x > 0 /x 3 +3 =2x<=> ị <^> 1 [x 3 -4x 2 +3 = 0 X = 1 3 + V 2 I • + TH2: Vô nghiêm vì X > o.v > 0 ■ Bài 57. Giải hệ phương trình: Ix^ 8 y- 5 + y ^ 8 x - 5 = ^24(x 2 + y 2 + 4) Ị xyeM j Ịllx 2 -6xy + 3y 2 =12x-4y Lời giải Điều kiện: x,y> —. • J Ct Nhận xét. Nhận thây sự phức tạp đến từ phương trình đầu hệ và phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai tổng quát không phân tích được nghiệm nên ta chỉ khai thác được điều kiện của x,y để phương trình đó có nghiệm. Vậy điều cần làm là xử lý phương trình đầu của hệ với hình thức như trên kỹ thuật đánh giá thông qua bất đẳng thức cơ bản được nghĩ đến đầu tiên. Vậy ưước tiên dự đoán nghiệm của hệ dễ thây (x;y) = (l; 1) là nghiệm. Sử dụng bất đẳng thức AM- GM ta được x V 8 y-5=V3x.^prĩ < yx/Sx-5 = \Ỉ3y. V Bx-5 ỉ< ^Ịỹỵ_ í 8 y -5 3 8 x -5 + 1 + 1 V 3 3 x(4y-l) y(4x-l) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = y = 1. 775 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên và sử dụng AM-GM ta được Để chứng minh bất đẳng thức trên đúng ta cần có t = X + y < 2 . Ta tìm điều kiện này từ phương trình thứ hai của hệ 1 lx 2 - 6xy + 3y 2 = 12x - 4y <=> llx 2 -6 x(t-x) + 3(t -x)~ = 12x-4(t -x) <=> 20x 2 -(l6 + 12t)x + 3t 2 + 4t = 0 => A' x = (8 + 6 t) 2 -2o(3t 2 + 4t Ị > 0 «(t-2)^t + |j<0^-| X = y = 1 Thử lại vào phương trình thứ hai của hệ thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = ( l; 1 j Bài 58. Giải hệ phương trình: 776 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X > -2,y < 2,5x 2 + 16x + 4y + 8>0. Nhận xét. Phương trình đầu của hệ chứa 2 căn thức tinh ý nhận ra nếu đặt hai ẩn phụ tương ứng là a và b thì đưa về phương trình bậc hai tổng quát suy nghĩ đến việc phân tích thành nhân tử. L 77 f 2 Đặt 1 ^~ y ,(a,b>0) [b = Vx + 2 v 7 [x = b 2 -2 Phương trình thứ nhất của hệ trở thành: 2 1 —-a 2 (2b + l) = 2-a 2 -Ịb 2 -2^-^. <=> a 2 + b 2 -2ab + b-a = 0 <=>(a-b)(a-b-l) = 0<^> y = -x a = b a = b +1 <=> x/ 2 “ y =Vx + 2 sj2-y = Vx + 2 + 1 <=> y = -X -1 - 2Vx + 2 + THI: Nếu y = -X thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được xV5x 2 + 12x + 8 + (3x + 4)" = 0 <=> x^5x 2 + 12x + 8 = -(3x + 4 )“ . X = —2,y = 2 _x = -l,y = 1 + TH2: Nếu y = -X -1 - 2^jx + 2 ta phải có Í5x 2 +16 x + 4(-x-1-2Vx + 2Ị + 8>0 X < 0 X < 0 X = —2 «> \ => X 2 5x 2 + 12X + 8 =(3x + 4) x = -l L V / v ' <=> 5x 2 +12x + 4>8Vx + 2 _ <=> X = -2 => y = 1 thứ lại thây không thoa mãn. X < 0 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (-2;2);(-l;l). Sau đây là một số bài toán tương tự dành cho bạn đọc rèn luyện (x + y)ựx-y + 2=x + 3y + 2 (x-y)^/x-y + 2 = (x + y + l) A /x + y -2 ,(x,yeM). 777 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hưởng dẫn giải bài toán 1 Điều kiện: x-y + 2>0,x + y-2>0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: / w /-- \ „ (x + y)(x-y-2) (x + y)( Jx-y + 2- 2Ị = y- x + 2 <=>-—- JV - v '—- ' 'x - y + 2 + 2 V <=> (y-x + 2) :y-x+2 'i+ x+y V Ạ-y + 2+2 = 0 <=> y = X - 2 do 1 + X + y yịx-y + 2 + 2 > 0 . Thay y = X - 2 vào phuỊơng trinh thứ hai của hệ ta được 4.(2x-,)ựiMj«Ệ ( ; 2 _ 2)(2x _ i) ^ i6 . x>2 (2x-5)Ị4x 2 -2x + 4Ị = 0 X > 2 8 x 3 - 24x 2 +18x - 20 = 0 5 1 <=>x = ^-=>y = -7. 2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Nhận xét. Để tìm môi liên hệ giữa X và y ta có thể đặt ẩn phụ Ịa = V x -y + 2 ) ( a >o,b>o)=>ab = 2b-a + 2. [b = x + y <=> (a-2)(b +l) = 0<=> a -2 <=> yjx- y+ 2 = 2<=>y = x-2. Ta có kết quả tương tự. Bài 59. Giải hệ phương trình: = x/y +1 + x/ỹ —Vx 3 —1 2x 3 - 3x - y - 2 = x^2^2x +T +1 ,(x,y eRỊ. Lời giải Điều kiện: X > 1, y > 0 . Nhận thây X = 1 hoặc y = 0 không thoả mãn hệ phương trình. Xét với X > l,y > 0 phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 778 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x-^/y + l + Vx 3 -l- A /ỹ = 0 . X 3 - y -1 X 3 -1 - y <=>-—- — -—+ J= —- X 2 + Xyjy + 1 + Ị^/y +1 Ỵ Vx^-l+^/ỹ í = 0 . «(x 3 -y-l) _Ị_ 1 X 2 + X%Ịỹ + 1 + ịyjy + 1 Ị*" Vx 3 -1 +Jỹ = 0 . <=>x-y-l = 0 <=>y = x-l. Thay y = X 3 -1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 3 - 3x -1 = x\Ịĩỹj 2x +1 +1 . (x + lj|x 2 -2x - lj = x^2y[2x +1 + 1 - xj. <=> <=> <=> (x + l)Ịx 2 -2x-l xỊx 2 -I-2V2X + 1] V2V2 = 0 . x + 1 + 1 +x (x + lj|x 2 -2x-l + xỊx 4 -2x 2 +1 -4(2x + l)j x+1+1+x X - xíx 4 -2x 2 +1-4Í2x + 1 )] <=>|x + l)ịx 2 -2x-l) + - 3 2 (x + l)Ịx 2 -2 x-lj- x+1+1+x X - = 0 ■ = 0 . o(x 2 -2x-lỊ X + 1 + xíx 2 +2x + 3 = 0 . >x + i + i + xj|x- <=>x 2 -2x-l = 0<=>x = l + V 2 => y = 6 + 5\fĩ vì X > 1 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = Ịl + V2;6 + 5^1. Nhận xét. Phương trình đầu của hệ ta có thể nhận thấy sự tương ứng hàm sô" như sau: x + Vx 3 -l=^/y + l + .Oy + l) -1(1). của 779 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số f(t) = t + \l t 3 -1 với t > 1, ta có: f'(t) = l + >0,Vt >1. 3 ,3 e-ỉ Vì vậy f(t) đồng biến trên 1; +x). Do đó 6 (1) o f(x) = f Ịựỹ+TỊ o X = = ị \ + l <=>w = X 3 -1. + Sau khi thế y = X 3 - 1 ta được 1 phương trình vô tỷ có 2 lớp căn nếu chú ý ta thây sự tương ứng của chúng cho phép đặt ẩn phụ đưa về hệ nhiều ẩn. a 2 =2x + 1 I a = V2x +1 |b = V2V2x+ĩ + l b =2a + l X 3 - 3x -1 = xb a = 2x +1 b 2 = 2a +1 «><; X 3 = bx + 3x + a 2 - 2x = a 2 + bx + X a - 2x +1 (2) b 2 =2a + l (3). X 2 = — + b + l (4) + Nếu a>b =>(2),(3) =>X>a;(4) =>X 2 a < X < b < a vô lý. + Nếu a< b;(2),(3) =>XX 2 >a + b + l>2a + l = b 2 . => a < b < X < a vô lý. + Nếu a = b <=> X = a <=> X = V2x +1 < — > x 2 -2x-l = 0 < X>1 Ta có kết quả tương tự. *x = 1 + V 2 . Bài 60. Giải hệ phương trình: A /l + 2x-y 2 - y-l = ^2|y 2 - X 2 + 2 ,(x,y Gi). Lời giải Điều kiện: 1-2y - X 2 > 0,1 + 2x - y 2 > 0,-2 < X 2 -y 2 <2 . K 780 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: \Ị l-2y-x 2 -(y + l) + \Ị l + 2x-y 2 +(x-lj 2(x 2 -y 2 +2) +J2 (y 2 -X 2 +2 Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có ]Ị \j A / 1 _2y-x 2 -(y + l)<^l-2y-x 2 + (y + l) 2 j=^2(y 2 -x 2 +2) Ặ + 2x - y 2 + (x -l) < ^2 ^ 1 + 2x - y 2 + (-X + l) 2 j = J2 Ịx 2 - y 2 + 2ĩ Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được: VT (1) = VP (1) <=> đẳng thức xảy ra. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Íx>l,y<-1 ( 1 ) A /l-2y-x 2 =-y-l [^/l + 2x-y 2 =x-l 1 - 2y - X 2 = y 2 + 2y + 1. 1 + 2x - y 2 = X 2 - 2x +1 e>< X > l,y < -1 X 2 + y 2 + 4y = 0 <=> X 2 +y 2 -4x = 0 X > l,y < -1 y = -x [x 2 +y 2 +4y = 0 oi X > l,y < -1 y = -x «> l,y < -1 y = -X <=> • x = 0 X = 2 X = 2 ,y = -2' Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;yj = (2; —2j. Sau đây là một số bài toán tương tự dành cho bạn đọc rèn luyện 1 . Giải hệ phương trình: 4y 2 +3x + 8 = 5y(x + l) < r, ( 4 4 , x,yeR . J5 x 2 +—— = x + 3 v ’ 11 l x + yj 781 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hưởng dẫn giải bài toán 1 Điều kiện: x,y > 0 . Sử dụng bất đẳng thức C-S cho phương trình thứ hai của hệ ta được: j5Íx" + -i-ì=J(2 2 +l 2 )íx 2 + -Ì-ì>2x + - í Ì=. V V x+ y ) V y x+ y) vx+y 0 9 X 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2- = . 2 ^/x + y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có V x+ y = 2 v 4 ( x+y ) - 2 • Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X + y = 4. I ĩ õ 4 T 8 Suyrax + 3= /5 X 2 + >2x +--— ]Ị [ x + y ) x + y + 4 <=>x 2 +xy-3y + x- 4<0. Cộng theo vế với phương trình đầu của hệ ta được X 2 + 4y 2 - 4xy - 8y + 4x + 4 < 0. <=> (x + 2 - 2y) 2 <0<=>x + 2-2y = 0. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với: X + 2 - 2y = 0 X _ 2 ^ Jx = 2 2 = 7^+ỹ ^|y = 2 x + y = 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;2). 782 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN có CHỨA THAM SÔ Cũng giông như phương trình, bất phương trình đại số và phương trình, bất phương trình vô tỷ bài toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm trên miền K khi giá trị của tham sô" thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình và điều kiện ràng buộc giữa các nghiệm. Với mỗi loại hệ ta có cách xử lý riêng nhưng phương pháp chung đó là quy về bài toán xét hàm sô" khi tham sô" thuộc miền giá trị của hàm sô" đó. Để giúp các em có cái nhìn chi tiết đầy đủ về dạng toán này tôi trình bày chương 4 theo các chủ đề. - Hệ đối xứng loại I. - Hệ đối xứng loại II. - Hệ đẳng câ"p. - Phương pháp hàm số trong bài toán tham số để hệ phương trình có nghiệm. Chá Sề ỵ HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP DANG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM số ĐE hệ có nghiệm duy nhát Á p dụng cho cả hệ đôi xứng loại I và hệ đôi xứng loại II Điều kiện cần: Nê"u(x 0 ;y 0 ) là nghiệm của hệ thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x () = y 0 . Thay vào hệ ta tìm được các giá trị của tham sô". Điều kiện đủ: Thử lại với các giá trị của tham sô" xem hệ có nghiệm duy nhâ"t không? DANG 2 . TÌM ĐIÊU KIỆN ĐÊ HỆ ĐÔI XỨNG LOẠI I có NGHIỆM Đối với hệ đôi xứng loại I để hệ có nghiệm khi và chỉ khi s 2 > 4P. Nếu các nghiệm là không âm ta phải có thêm điều kiện < Bài toán thường gặp các tổng đôi xứng íx 2 + x,y 2 +yj; s >0 p>0‘ 1 1 x + -,y + - ,...lúc đó đặt u = X 2 + X, V = y 2 + y. Mòtsấ4ẳug thức haẻMử dung: 783 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B. BẰĨ TẬP MẪU _ I Bài 1. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: xy + x + y = m + l 2.2 X y + y X = m Lời giải Đặt j s x + y,Ịs 2 > 4pjkhi đó hệ phương trình trở thành: Khi đó s,p là nghiệm của phương trình: X 2 - (m + l)x + m = 0 (1) Mặt khác x,y là nghiệm của phương trình: X 2 - s.x + p = 0 (2) Để hệ có nghiệm duy nhất thì (2) phải có nghiệm duy nhất, điều này tương đương với A (2) = 0<=>S 2 -4P = 0<=>x = y. _ [x 2 + 2x-m-l = 0 x = 3/^ Khi đó hệ trở thành: < <=> ị ]Ị 2 L [x 2 +2x-m-l = 0 (3) Để hệ có nghiệm duy nhất thì (3) phải có nghiệm duy nhất Thử lại hệ ta được: xy + x + y = -l Ịxy + x + y = -l Ịxy + x + y = -l x 2 y + y 2 x = —2 |xy(x + y) = -2 Ịxy(-l-xy) = -2' Js + P = m + 1 ịsp = m 784 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com và xy + x + y = -l x + y = -2 x + y = l x + y = -2 <=>^ <=>^ V <=><^ <=>x = y = -l. [xy = lvxy = -2 [xy = l [xy = l [xy = l Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = do đó m = -2 là giá trị cần tìm. Nhân xét. Ta có lập luận đơn giản như sau, Nếu (x 0 ;y 0 j là nghiệm của hệ thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi x 0 = y 0 . Thay vào hệ ta được Ịxq +2x 0 - m-l = 0 Ị^2xq = m Đến đây xử lý bài toán hoàn toàn tương tự cách trên. Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 3(x 2 +y 2 Ị-2(x + y + xy) = 15 3 . 3 X +y =m Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: 3ựx + y) 2 -2xyj-2(x + y + xy) = 15 (x + y) 3 -3xy(x + y) = ] ís = x + y ■ m Đặt ị J ,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: 3(s 2 -2pỊ-2(s + p) = 15 - 3SP = m p = 3S-2S-15 s 3 3S. 3S 2S p = m - 3S -2S-15 -s 3 + 6S 2 + 45 s ( 1 ) Ta có : s 2 > 4P <=> s 2 > ^ —— <=> 5S 2 + 2S +15 > 0, vs . 8 Như vậy để hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (ĩ) có nghiệm Strên Jpff| §1^ n '"ý"''"''' 1ỊI M 785 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Một phương trình bậc ba luôn có nghiệm nên giá trị của m là tập số thực. , , 7 íx + y = 2m-l Bài 3. Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ < v ’ [x 2 +y 2 =m 2 +2m-3 Xác định tham số m để biểu thức p = xy đạt giá trị nhỏ nhất,lớn nhất. Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: - , [x + y = 2m-l x + y = 2m-l J 2 - <=> ‘ (x + y) 2 -2xy = m 2 +2m-3 (2m-l) -m 2 -2m + 3 3m 2 -6m+4 xy = ------=-—- 2 2 Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: \ 2 / \ 2 (x + y) > 4xy <=> ịlvcí - 1J > 4. 3m 2 - 6m + 4 o 4m 2 - 4m +1 > 6m 2 - 12m + 8 <=> 2m 2 - 8m + 7 < 0 o — ^ " 4 + ^ - < m < Khi đó xét hàm số f(m) = — 6m + 4 tr g n 4-V2 ,4 + ^2 7 í 7 Ta có: f ’(m) = 3m - 3;f'(m) = 0 <=> 3m -3 = 0 <=> m = 1. Ta có f 4-V2 V 4 2 4 + V2 Ì 11 + 6V2 Vậy giá trị nhỏ nhất của p bằng “■khi m = l,giá trị lớn nhất của Pbằng 11 + 6 ~JĨ ,, . 4 + V2 --— khi m =--—. Lời giải Điều kiện X > 0,y > 0 khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: Đặt I ^ ^ ,ịs 2 > 4p) khi đó hệ phương trình trở thành: [p = Vxy v ' 786 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com js = m Ịs 2 -2P-p = m oi s = m p = - m -m Hệ có nghiệm trước tiên ta phải có js>0 |p>0 m > 0 m 2 - m 3 <=> >0 m = 0 m > 1 ( 1 ) Mặt khác s 2 >4P<=>m 2 >^-Ịm 2 - mj<=>m 2 -4m < 0 <=> 0 < m < 4. Kết hợp với điều kiện (1) ta phải có m = 0 V 1 < m < 4. Vậy để hệ phương trình có nghiệm khi m = 0 hoặc 1 < m < 4 . Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: jVx + l+^/y + l= m [x + y = 2m + l Lời giải Nhân xét. Dạng toán này đã đề cập đến trong phần ứng dụng của tổng tích đôi xứng trong bài toán tìm cực trị,dưới đây xét dưới góc độ tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm. Điều kiện X > -l,y > -1. Khi đó đặt I _,(u, V > o) khi đó hệ phương trình trở thành: Ịv = V y + 1 Ju + V = m J u + V = m Ịu 2 + V 2 -2 = 2m + l |(u + v)'-2uv = 2m + 3 ị u + V = m uv m ' -2m -3 2 khi đó hệ phương trình trở thành s = m " p _ m 2 -2m -3 ■ . ” 2 Hệ phương trình có nghiệm trước tiên ta phải có: fs>0 Ịp>0 m > 0 m 2 - 2m - 3 2 <^>m>3 >0 ( 1 ) Mặt khác: s 2 > 4P m 2 > 4.—- 2m 3 2 0 và y > 0 : |x + xy + y = m + l [X y + y X = m Đặt s = X + y g ÍU í ,(s 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành r Lời giải |s + p = m + l [P = xy 'V ’ “ ~ [SP = m Suy ra s,p là hai nghiệm của phương trình X 2 - (m + l)x + m = 0 (1) . Để hệ có nghiệm x>0,y>0 trước hết(1) phải có hai nghiệm dương, điều \2 . / _\2 này tương đương với: A = (m +1) - 4m = (m -1) > 0 S = m + 1>0 m > 0 . p = m > 0 Khi đó (1) có hai nghiệm Xj = m,X 2 = 1. Mặt khác s 2 > 4P nên điều kiện này tương đương với: X? > 4X ? m 2 >4 m < -2 <=> m > 2 <=> X 2 > 4Xj l 2 >4m 1 m < — L m > 2 1 ■ m < — 4 4 1 Đối chiếu với điều kiện m > 0 khi đó 0 2. 4 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" m là 0; ĩ u ~2;+co). Bài 7. (TSĐH Khôi B 2007) Xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau đây có nghiệm thực: 1 , 1 * x+—+y+—=5 X y X 2 4—+ y 2 H—= 15m —10 3 J 3 X y Lời giải 788 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhân xét . Hệ này có dạng đối xứng giữa X và y và xuất hiện hai biểu thức tương đương là X + — và y + —, nên ta sẽ tìm cách biến đổi phương trình thứ X y hai của hệ theo hai biểu thức này. Hệ phương trình đã cho tương đương với: „ ,11, x+—+y+—=5 X y (x + —) 3 + (y + —) 3 -3(x + —) -3(y + —) = 15m -10 X y X y „ 11 , x+—+y+—=5 x y <=>^ (x + —) 3 + (y + —) 3 = 15m + 5 X y í 11- x+—+y+—=5 x y 1 T 3 1 1 1 1 (x + — + y + —) - 3(x + —)(y + — )(x + — + y + — ) = 15m + 5 X y X y X y í 1 1 , x+—+y+—=5 x y <=> ị (x + —Xy + —) = 8 - m X y 1 u = X + — Đặt < ^ (|u|;|v| > 2) khi đó hệ phương trình trở thành: v = y + — y f u + V = 5 . , 2 =>u,v là nghiệm của phương trình: t -5t + (8-m) = 0(l). uv = 8-m Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn |t| > 2. Từ (1) ta có: m = f(t) = t 2 -5t + 8,(|t| > 2) => f’(t) = 2t -5 => f’(t) = 0 o t = ị. 11 2 Ta có: f(-2) = 22;f(2) = 2;f(ị) = lim f(x) = +00 . 2 4 íío 789 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Để (1) có 2 nghiệm phân biệt ( t > 2) thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(t). Lập bảng biến thiên hàm sô" f(t), dựa vào bảng biến thiên => - < m < 2 4 22 < m là giá trị cần tìm. Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Ịlog 2 (x + y) + log 3 (xy + 2) = 2 [x 3 + y 3 -xy = m Lời giải Đặt a = log., (x + y);b = log 3 (xy + 2 ) khi đó ta có a + b = 2. Lại có: (x + y) 2 > 4xy => ^2 a Ị 2 > 4^3 b - 2 ) = 4(3 2 ‘ a - 2 ) o 12 a 4 8.3 a - 36 > 0 (1). Hàm sô" g(a) = 12 a + 8.3 a - 36 đồng biến; lại có g(l) = 0 vậy (1) <=> a > 1. Biến đổi phương trình thứ hai của hệ: m = (x + y) 3 -3xy (x + y) - xy = ( 2 "Ị 3 -3^3 2_a -2).2 a - Ị3 2_a - 2 ) (2) Xét hàm số f(a) = (2 a ) 3 -3^3 2_a -2^Ị.2 a -^3 2_a -2^) trên [ 1 , 400 ). Ta có f’(a) = 8 a ln8 + 6.2 a ln2 -27. " 2 ^ , 2 n rr .ln—-9. 3 v3. Tn— > 0 với mọi a. 3 Suy ra f(a) > f(l) = 1. Để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm a > 1 <=> m > 1. Vậy giá trị cần tìm của tham sô" m là m > 1. Bài 9. Tìm giá tri lớn nhất của tham số m để hệ phương trình sau đây có nghiệm thực: 2 2 X 4 y : = 1 X - y + 3 3 X -y = m 3 + .BiêuLiênxân;. Lời giải Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có: X-y + 3 „3 X -y = |x - y|Ịl + X 2 + xy + y 2 j = |x-y|(2 + xy). Suy ra m 6 = (x - y) 2 {2 + xy) 2 = (l-2xy)(2 + xy)(2 + xy) Nhưng do xy < ^-Ịx 2 + y 2 j ^ ■ — nen: 2 m :(l-2xy)(2 + xy)(2 + xy): 1 - 2xy + 2 + xy + 2 + xy 3 X 3 í J V 3 / Suy ra giá trị lớn nhất của m là , ^ . + Điều kiện đủ: Vớim = .H khi đó đẳng thức xảy ra: X 2 + y 2 = 1 xy = - X + y = +, p ’ 3 (thỏa mãn điều kiện (x + y)” >4xynên hệ 1 x y= . này luôn có nghiệm). Vậy giá trị cần tìm của m là Bài 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: ^2(x + y-l) + 2xy - X - y + 2 = x 2 y + xy 2 + ^/x + y y/x + yỊỹ + 2^/xỹ = m Lời giải Nhân xét. Nhìn vào hai phương trình của hệ, thấy phương trình thứ hai có chứa tham số m và không tìm được môi liên hệ giữa X và y, do đó ta nghĩ đến việc biến đổi phương trình thứ nhất của hệ xem có rút được X theo y hay không, hay là một biểu thức gọn nhẹ hơn phương trình thứ nhất. . , _ íxy > 0 Điêu kiện: < [x + y > 1 Khi đó phương trình thứ nhất của hệ được biến đổi thành: ^2(x + y-l) + 2xy- X -y + 2 = x 2 y + xy 2 + ^x + y . ^^ỉttI _ il +2 ÍSÍ + 1 lr( Xy + 1 iÍL +y ) + Ì + y • ^ 791 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com /2(x + y-l)-. x + y-2 /2(x + y-l) + rìx + -1 -Jx + V = :(xy + l)(x + y-2). = (xy + l)(x + y-2). x + y = 2 - = xy + 1' ự2(x + y-l) + ựx + y Trường hơp 1: Nếu y = 2 - X , thế xuống phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình: Ị - Ị - m = \fx + \Jt~ X + 2 y jx(2 - x) . xéthàmsố f(x) = \/x + yỊĨ-x + 2Jxị2 -x),xe[0;2j. Ta có f'(x) = f'(x) = Oo x 31/(2-: 1 2 -2x H— , == JxÍ2-x) x 3Ỉ 2-: 2-2x _A -+ , f = 0 Jx(2-x) Í2-x) 2 -ịỊĩc 3Ỉ X 2 (2-xì 2 -2x _n__i + —====== = 0 <=> X = 1. Jx(2-x) min f(x) = f(0) = f(2) = $2 Ta có f(0) = f(2) = x/2;f(l) = 4 => J XỄ t 0,2 ] max f(x) = f(l) = 4 xe[ũ,2] Suy ra để hệ có nghiệm trong trường hợp này thì v2 < m < 4 Trường hơp 2: Xét phương trình xy + l . ự2(x + y-l)+7 x + y Nếu X + y > 1 thì VT < 1, VP > 1 phương trình vô nghiệm. Nếu x + y = lkhiđó xy = 0tìmdược m = 1 và (x;y) = (l;0),(0;l)là nghiệm của hệ. Vậy m = 1 thỏa mãn. Kết luân: Vây giá trị cần tìm của tham sô" là m e 111 u Ẳ /2 ; 4 . C' S99ị <&!& JSị» ssss SSSSSSSSSSÍ SSSSSSgỊSSSÍ 792 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1. (TSĐH Khôi D 2004) Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm: /x +VỸ = 1 xVx + y = 1 - 3m Lời giải Điều kiện: x,y > 0. Í u = Vx / „ \. . . . , . „ . ,^u, V > 0) hệ phương trình trở thành: v = Vy ju+v=l j u+v=1 ju+v=l Ị LI 3 + V 3 = 1 - 3m Ị(u + v) 3 -3uv(u + v) = l-3m Ịuv = m Suy ra u, V là hai nghiệm của phương trình: t 2 -1 + m = 0 (1). Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm không âm. A = 1 - 4m > 0 S = 1>0 «>00 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là 0; ĩ Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm IX + y + xy = 1 [x 3 y + xy 3 = m Đặt [s = X + y i p = xy Lời giải ,Ịs 2 > 4pj hệ phương trình trở thành: 's + p = l p = l-s 1 s(s 2 - 2 pỊ = m ’ S 3 -2S(l-S )-°ỉ p = l-s m = S 3 +2S 2 -2S (1) Ta có: s 2 > 4 P^S 2 > 4 (l-s)^s 2 + 4 S- 4 > 0 ^ Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm s > -2 + 2V2 s < -2 - 2V2 s > -2 + 2V2 S<-2-2jỉ Xét hàm số f(S) = s 3 + 2S 2 -2S trênj-co;-2- 2 V 2 " u --2 + 2^2;+^, ư có: 793 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f’(S) = 3S~ + 4S -2;f'(S) = 0 <=> s = s = -2-7ĨÕ 3 -2 + 7ĨÕ 3 Lập bảng biến thiên suy ra: min f(S) = f í-2 + 2 V 2 Ì = 26 -16-72 . SgỊ-oo;-2-2V2Ju[- 2+2V2 ;+ooj ' Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> m > 26 -16^2 . Vậy giá trị cần tìm của tham số m là 26 -16^2; +00 Ị. Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm |7(x + y) + xy = l 1 X 3 +y 3 =m Lời giải Đặt s = X + y ,(s 2 > 4pj hệ phương trình trở thành: 2S + P = 1 Jp = l-2S Jp = l-2S s(s 2 - 3pỊ = m 0 |s 3 - 3S(l - 2s) = m 0 = s 3 + 6S 2 - 3 S (1) Ta có: s 2 >4P^S 2 > 4 ( 1 -2s) ^ s 2 + 8S-4> 0 ^ S>-4 + 2V5 S<-4-2a/5 s > -4 + 2 V 5 s< -4-275 Xét hàm sô" f(S) = s 3 + 6S 2 -3S trên Ị-co;-4-2^5 u -4 + 275; +00 j, ta có: Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm f’(S) = 3S 2 + 12S -3 > 0, Vs(-oo;-4 -2V5 u -4 + 275;+00 j. Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> m < f Ị-4 - 2V5 Ị = -76 - 34V5 m > f Ị-4 + 2V5 Ị = -76 + 34V5 Vậy m m <-76-3475 V . là những giá trị cân tìm. >-76 + 3475 794 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com _ xy+x+y=3 Bài 4. Tìm m đê hệ phương trình sau có nghiệm < . . 1X 4 + y 4 = m Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: xy + X + y = 3 (x + y) 2 -2xy X + y = 3 - xy -|2 -2x 2 y 2 = m X + y = 3 - xy (3-xy) 2 -2xy ~ 2 2 _ -2x y =m x 2 y 2 -8xy+ 9 -|2 0 „ 2.2 _ „ -2x y = m xy > 9 xy < 1 \ 2 Hệ phương trình có nghiệm <=> (x + y) > 4xy . <=> (3 - xy) 2 > 4xy <=> x 2 y 2 - lOxy + 9 > 0 <=> Đặt t = xy khi đó m = Ịt 2 - 8t + 9 Ỵ - 2t 2 (1). Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm t > 9 V t < 1. Xét hàm sô" f(t) = Ịt 2 - 8t + 9j~ -2t 2 trên (-oo;lj lj[9;+co), ta có: f’(t) = 4^t 3 -12t 2 +40t -3ôj;f ’(t) = Ovô nghiệm trên (-oo;l]u[9;+co). Lập bảng biến thiên suy ra min f(t) = f(l) = 2 . te(-co;l]U[9;+oo) Vì vậy hệ phương trình có nghiệm <=> m > 2 . Vậy giá trị cần tìm của tham số là m > 2. Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm |x + y + x 2 +y 2 =8 xy(x + l)(y + l): ■ m Lời giải Cách 1; Hệ phương trình đã cho tương đương với: ís = x + y x + y + (x + yj -2xy Ịxy^xy + X + y + 1 ) = n Đặt <Ị “ ' J ,ís 2 > 4p) hệ phương trình trở thành: p = xy ' ' 795 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com |s + s' -2P = 8 ịp(p + s + l) = m p = s + s - 8 s + s - 8 ( c2 s + s - 8 + S + 1 = m p = S-+S-8 S 4 +4S -11S-30S + 48 m =■ ( 1 ) Hệ phương trình có nghiệm <=> s 2 > 4P. <=> s > >4. s2+s 8 ^S 2 +2S-16<0^-1-VĨ7 (1) có nghiệm -1 - yT7 < s < -1 + Vl7 . , ta có: s + 4S — 11S — 30S + 48 ._ r , Xéthàmsô f(S) =--ttên -1 -V17;-l + V17 f'(S) = 4S 3 + 12S 2 - 22S - 30 ;f’CS) = 0<=> s = -l ’—‘Ẽ Ta có:fỊ-l-VĨỸj = 16;f(-l) = 16;fỊ-l +Vĩỹj = 16; f| 33 = -TỈ;f 16 ( Vậy min te^-l-ựl7;-l+Vl7 -1+.ỊỊ 2 33 V 33 16 f(t) = —44-; ^ max _ f(t) = 16. 16 te [_!_VĨ7;-l + VI7] 33 Vậy hệ phương trình có nghiệm <=>-y^- y + T- l l 2 J Đặt Hệ phương trình trở thành: í u + V = 8 _Ị_ 4 r 1 u,v > —- V 4/ uv = m u, V là hai nghiệm của phương trình: t - 8t + m = 0 (1) Hệ phương trình cô nghiệm o (1) có hai nghiệm t > -ị A' = 16 - m > 0 ĩ_ 4 1 t 2 > —7 2 4 <=> m < 16 t, +t 2 >- : o ( 1 ti + — V 1 4 y í 1 t 2 + — , 2 4 V >0 m < 16 tj +t 2 >- : t l t 2 + 4( t l +t 2) + ^° oi m < 16 8>-ị cH 2 m + —.8 + 2- > 0 4 16 m < 16 33 33 <=> < m < 16 . m>-^ 16 16 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là 33 -22;16 16 Nhân xét. Ta nhận thây khi đặt được ẩn phụ đưa về tìm điều kiện tham số với ẩn mới bài toán xử lý nhanh gọn. Lời giải Điều kiện: x,y>0,m>0. _ u=vx / \ Đặt ị p,(u,v > o) v = Jy 797 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com v*ỹ= uv 2 2 X + y = 2 _ -|2 r 0 -.2 (V^ + VỸ) -2-y/xỹ -2xy= (u + v)“-2uv -2uV Hệ phương trình đã cho trở thành: (u + v) 2 -2uv u + y -2u 2 v 2 + 2uv = 8 o m /■ m -2uv u + v -2u 2 v 2 + 2uv = 8 m /■ <=> Vm 4 - 4m 2 uv + 2u 2 v 2 + \Ỉ2uv = 8 _ Vm 4 -4m 2 uv + 2u 2 v 2 = 8 - \Ỉ2uv <=> ■ uv 4 u + v = m [ 11 + V = m uv < 2 V 2 <=><ím 4 -4m 2 uv + 2u 2 v 2 =2u 2 v 2 -16V í 2uv + 64<=> u + v = m Nhận thấy m = 2Ì[Ĩ hệ phương trình vô nghiệm. < 2V2 -64 = 4uvỊm 2 - 4 V 2 Ị Vậy với m & 2\ỊĨ hệ phương trình có nghiệm <=> I m u + V = m (u + v) 2 >4uv uv < 2 V 2 m 4 -64 = 4uvỊm 2 - 4 V 2 j LI + V = m Oi L 2 >4. . m4 ~ 64 /r . 4 m 2 -4V2 «• 2ÌÍ2 < m < 2^8 . m > 0,m 5É 2 ÌỈ 2 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là \ 2\j2;2\f8 Nhân xét. Với m = 3 ta có bài toán quen thuộc giải hệ phương trình: Ậ 2 +y 2 + V2xỹ = 8 X + yfỹ - 3 798 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 7. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x + y - ^Jxỹ - 3 Vx + 1 + yj y + 1 = Lời giải Điều kiện: X > — 1,y >-l,xy > 0,m > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: r r- íx + y > 3 \fxỹ = X + y -3 X + y + 2 + 2.J(x + l)(y + l) = : Ị 2 xy = (x + y-3) X + y + 2 + 2 ơxy + x + y + l=m Do X + y > 3 => x,y > 0 hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: (x + y) 2 >4xy . , v2 , v2 [x + y>2(x + y-3) [x + y<6 <=>(x + y) >4(x + y-3) <=> . , <=> v ’ v ’ [x + y<-2(x + y-3) L x + y^ 2 Vậy t = x + y e[3;ó] . Khi đó m 2 = t + 2 + 2^Jịt-3Ỵ +t + l (1). Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm t € [3;ó] . Xét hàm sô" f(t) = t + 2 + 2^(t-3)~ + t + ltrên [3; ó], ta có: f ’(t) — 1 + = = > 0,Vt e 1^3;6J nên f(t) là hàm đông biến ttên [3;óJ. 2t-5 f'(t) = 1 + -/===== > vt 2 -5t + 10 Ta có f (3) = 9, f (6) = 16. Suy ra 9 < m 2 < 16 «• 3 < m < 4 (vì m > 0 ). Vậy giá trị cần tìm của tham số là [3;4j . Lời giải Điều kiện: X + y > 0,x 2 + y 2 > 1. 799 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a) Nhận thấy nếu (x;y)là nghiệm của hệ thì (y;x)cũng là nghiệm của hệ. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất trước tiên X = y khi đó thay vào hệ ta được: ! rr- A íx = l /2x z -1 = mịyỉĩx -1 j -J— = yỊĨ + l' V 2-1 [2x = x +1 Ngược lại với m = v2 +1 khi đó hệ phương trình trở thành: , ị 2 +y 2 -l=(^ + l)(7^7-l) o ^(x + y) 2 -2xy-l=(V2 + l)(V^-l) X + y = xy +1 [x + y = xy +1 ^<Ậ x + yf + + + X + y = xy + 1 f Ị|x + y-l| = Ịx/2 +ljỤx + y -lj X + y = xy + 1 |x + y-l| = (7ĩ + l).4itl 1 1 v ’ yỊx + y +1 ■ [x + y = xy +1 Dễ thấy hệ này có hai nghiệm (x;y) = (0;l);(l;0) nên m = aỊĨ + 1 không thỏa mãn. Vậy không tồn tại m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. s = x + y p = xy Khi đó hệ phương trình trở thành: b) Bặt ị~ " ' y ,(s 2 >4P,S>0.S 2 -2P>lỊ. í. (Vi-l) o Us 2 -2(S-l) -1 = mị4s-l^j s -2P-1 =m s = p + l I p = s -1 |s-l| = mỊx/s -lj (1) [p = s-l Hệ phương trình có nghiệm: s 2 >4P s 2 >4(s-l) s >0 s >0 <=> • <=> < s 2 -2P > 1 s 2 - 2 (s-l)>l p = s-l p = s-l (S-2) >0 s >0 (s-l) 2 > 0 P = S-1 ^s>0. 800 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi s > 0 . Dễ thây (1) luôn có nghiệm s = 1 do đó hệ phướng trình luôn có nghiệm với mọi m. _ Bài 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Lời giải xy(x + y)*0 . 2 1 Điều kiện: X t —- + m > 0 . X 2 2.1 y +—-+m>0 [ y Hệ phương trình đã cho tương đương với: 2m + 4 + (u + v) 2 -2uv + 2j(m + 2) 2 +(m + 2)ựu + v) 2 -2uvj + u 2 v 2 =16 u + v = 2 801 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ^ ^(m + 2) 2 +4(m + 2) + irv 2 -2(m + 2)uv = 4 - m + uv “ +v =/ 4 - m + uv > 0 <=>< (m + 2)~ + 4(m + 2) + u 2 v 2 -2(m + 2)uv = U 2 V 2 + 2(4-m]uv + (4-m]“ u +v = 2 \2 , „ , ^ „ 16m-4 ,, Mặt khác (LI + vj > 4uv <=> 4 > 4uv <=> uv < 1 <=> —— < 1 <=> m < 1. Vậy -11 < m < 1. ím + 2 + u 2 > 0 2m + 4 + u 2 + V 2 > 0 Mặt khác \ <=>1/ w . [m + 2 + V 2 >0 lịm + 2 + u j(m + 2 + v j>0 2m + 4 + (u + v) 2 -2uv > 0 <=>< 2 r 2 1 . (m + 2j +(m + 2) (u + v) -2uv +u 2 v 2 >0 „ , , - 16m -4 ^ „ 2m + 4 + 4-2.———>0 12 / \2 / 16m-4~| ( 16m-4| ^ Ịm + 2J + (m + 2J 4-2.— 21 L— + —21— >0 12 ^ 12 J „ . . - 16m-4 _ „ 2m + 4 + 4-2.———>0 12 <=>< r 2 <=>m<13. / \2 / \ . 16m-4 1 16m-4 ] ^ ^ (m + 2J + (m + 2J 4-2.— 2 jl— + —21— >0 Vậy -11 < m < 1. Để ý với mọi -11 < m < lkhi đó luôn tồn tại (u;v). 802 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác với mọi u,v thì hệ 11 = X- X v = y x luôn có nghiệm (x;y). Vậy giá trị cần tìm của tham số m là —1 l;lj . Bài 10. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: X + y = m +1 ( x2+y2 ) - m X + y 2 2 1 _ + x y--— = 2 X + y Lời giải Điều kiện: X + y ^ 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 4 + y 4 = m + 1 Ị^(x + y) 2 -2xyj -2x 2 y 2 =m + l l + 2x 2 y 2 2 2 1 ^ <=>< 2 2 - — J + x y-— = 2 2 2 . 2xy . x + y x + y xỴ+ — =2 [ x + y 2x 2 y 2 9 9 /— /— Suy ra X + y > 0,xy * 0 và x + y = — — J >0<=>2-x y >0o -V 2 < xy < V2 2 -x 2 y 2 Mặt khác: r 2 2 Y (x + y) 2 > 4xy <=> — x > 4xy <=> 4x 4 y 4 > 16xy-16x 2 y 2 +4x 5 y 5 . I 2-x 2 y 2 , 2 ( 2 2 2 Ỵ (x + y) >4xy<=> —> 4xy <=> 4x 4 y 4 > 16xy - 16x 2 }! {2-x 2 y 2 ) <=> xyỊx 4 y 4 -x 3 y 3 -4xy+ 4j<0<=> xy(xy-l)|x 3 y 3 -4j<0 <=> Suy ra t = xy,t G Ị—V2;0j u kx/ĩỊ. Từ phương ttình đầu của hệ ta có: (í „.2 Ý Y g < m + l= -2t -2t 2 -2t 2 + 16t -16 — [U-t 2 J J (2-t 2 ) 4 (2-t 2 ) 2 Xét hàm sô" f(t) = 2t 2 4 ——--16 — —trên (—s/2;0)u kVĩ). “ “ “ „ J 2 ^)l ±T 2 ) 2 líl „ 803 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có : 4t t u -4t y -10t s + 56t' -24t h -176r -80t 4 +160r +80t" -32 f'(t) = - M Chứng minh được f ’(t) > 0, Vt e (-V2;o) và f’(t)>0,Vte hV^Ị. Suy ra giá trị cần tìm của tham số m là lim f(t) > m +1 > f(0) 0 < m + 1 f(l) < m +1 < lim f(t) |_m + 1 > 2 Vậy m > -1 là giá trị cần tìm. <=> m > -1 m > 1 <=>m>-l. Bài 11. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm [Vx + m + yỊy + m = 2 i X 2 + y 2 = 2m 2 Lời giải Điều kiện: X + m > 0,y + m > 0. Hệ phương trình đã cho tương đương với: x + y + 2m + 2Jxy + m(x + y) + m 2 =4 (x + y) 2 -2xy = 2m 2 Đặt x + y ,Ịs 2 > 4pj hệ phương trình trở thành: S + 2m + 2'vP + mS + m z =4 I s 2 -2P = 2m 2 s + 2m + 2^2 + mS = 4 2 e>< \ 2 +mS = 4_2m_S 2 e>< 4-2m-S>0 2 4 . + mS V 2 , : (4-2m) 2 -2(4-2m)S + S 2 p = ạ-m 2 2 804 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 4-2m-S>0 ^s 2 +8S = (4-2m) 2 . p4-1= 2 Hệ phương trình có nghiệm: s- >4P 4-2m-S>0 c2 <=>0 y + m>0 x+y+2m>0 (x + m)(y + m)>0 s 2 > 4 ( s 2 2 ^ — -m V 2 , o 4 -2m > s s + 2m > 0 P + mS + m 2 >0 4m 2 > s 2 4 -2m > s s + 2m > 0 —+mS>0 o 2 4m 4-2m>S 4m 2 > s 2 2 Ị Kết hợp với s 2 + 8S = (4 - 2m j suy ra ^ < m < 2 . Vậy giá trị cần tìm của tham số m là -;2 Bài 12. Tìm m để hệ phương trình < X + y + 4 = 2xy 2 "» = m(V* 2 + y 2 +x + y + 5 + X + y) CÓ nghiệm (x,y) thỏa mãn x,y > 1 . Lời giải Ta có: (x + y) 2 >4xy <=> (2xy- 4 )" >4xy <=> x 2 y 2 -5xy + 4>0<=> Suy ra t = X + y > 4 do x,y>l. Khi đó phương ưình thứ hai của hệ tương đương với: xy >4 xy < 1 2 x+y = m Jịx + ỵỴ -2xy+ x + y+ 5 + x + y 1 = mỊ^-\/t 2 +1 +1 j <=>2 l =m| Vt 2 +1+ t <=>m = 2 t vt 2 +l-t ( 1 ) Xét hàm số f(t) = 2 t ỊVt 2 +1 - tì trên [4;+co), ta có: 805 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f'(t) = 2 t ln2|Vt 2 +l-tj + 2 t Vt 2 +1 -1 = 2‘|Vt 2 + l-tj 3 Ỉn2 - Vt 2 +1 >0,Vt>4 Vậy f(t) là hàm đồng biến trên |j4; +co) Do đó f(t) > f(4) = lóỊVTỹ- 4j,Vt > 4 . Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm t > 4 <=> m > lóỊVĨỹ - 4 Ị. Vậy giá trị cần tìm của tham sốm là lóỊVrỹ-4j;+coj. [ Vx +1 + Jy + 1 — 3 Bài 13. Cho hệ phương trình < _ _ _ [yvx + 1 + x^/y+ 1 +VX+ 1 + ^ + 1 = a) Giải hệ phương trình với m = 6. b) Tìm các giá trị của tham sô" m để hệ trên có nghiệm. Lời giải a) Với m = 6 hệ phương trình trỏ thành: [Vx + 1 + -y/y + 1 = 3 [yVx + 1 + x-yj y +1 + Vx +1 + yj y + 1 = 6 m <=>1 Vx + l +^/y + l = 3 [Vx + l(y + l) + A /y + l( x + l) = 6 Vx + 1 + yj y +1 = 3 Vx + i^y + i(Vx + i + Vy + 1 ) = = 6 <=> [ Vx + 1 + -y/y +1 — 3 [Vx + l^/y+ 1 =2 <=> <=> |Vx+ĩ=2 [Vỹ+Ĩ = l [Vx + 1 = 1 l>/ỹ+ĩ = 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x;y) = (0;3);(3;0). b) Điều kiện: X,y>-1. u = -\/x + 1 IX = 3 [y = 0 [x = 0 ' y =3 Đăt :^ỹ + T ,(u,v > 0 ) hệ phương trình trở thành: 806 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u + V = 3 u + V = 3 í 2 A 1 2 A <=>' í \ ^' u -1 V + V -1 u + u + V = m uvl u + V ) = m u + V = 3 m uv = — s 2 _ m Suy ra u,v là hai nghiệm của phương trình: t -3t + -^- = 0 (1) Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm không âm. A = 9-^>0 3 s = 3>0 p = ^>0 3 <=> 0 < m < 27 Vậy giá ttị cần tìm của tham sô" là Bài 14. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm 1 1 c x+—+y+—=5 X y 2 1 2 1 X + — + y + — = m 2 J 2 l X y Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 , 1 . x+—+y+—=5 X y ( 1 l ( 1 ) x + — + y + - l X J l y ) = m + 4 . , 1 , 1 _c x+—+y+—=5 X y í 0 í 0 x + — y + - L X J V y) 21 -m Đặt u = X + — X v = y + — y * u > 2, V > 2 j hệ phương trình trở thành: 807 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u + V = 5 < 21 - m => u, V là hai nghiệm của phương trình: uv = ——— { 2 n. 91 — m n t 2 -5t + ——— = 0«m = 2t 2 -10t + 21 (1) 2 Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm |t| > 2 . Xét hàm số f(t) = 2t 2 - lOt + 21 trên (-oo;-2j u [2;+co), ta có: f'(t) = 4t-10;f'(t) = 0ot = ị. 2 |~m > 49 Lập bảng biến thiên suy ra để (1) có hai nghiệm t >2<» 17 . 1 1 4- 49 Vậy giá trị cần tìm của tham số là 17 -7- < m < 9 L 2 Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: x+—+y+—=5 X y í if r 0 í 1 ? ,rlì' XH— -3 XH— + y H— -3 y H— = m l X J V X J V yj yj x+—+y+—=5 X y í 1 lf x+—+y+— V x y 808 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x+—+y+—=5 x+—+y+—=5 X y X y ( , V ^1/ 1 V i\ 11A ■ _ 1 1 . _ 1 1 110 -m 125-15 X + — y + — =m + 15 x + — y + — =—- 7 -— V X Ẫ y ) lv X Ẳ y ) 15 1 u = x + — Đặt < * ,Ị|u| > 2,|v| > 2Ị hệ phương trình trở thành: v = y + — y u + V = 5 110 - m => u, v là hai nghiệm của hệ phương trình: uv = ———— 15 t 2 -5t+ 11Q ~ m = 0^m = 15t 2 -75t + 110 (1). 15 [m > 320 Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm t > 2 <=> 65 . 11 — < m < 20 L 4 Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 , 1 x+—+y+—=5 X y ( iY 17 1Ỹ 1 ( ìY 17 1Ỹ X + — -4 X + — -2 -6+ y + — -4 y + — -2 -6 = m V X J [v X J J V y ) [v yj 1 u = x + — Đặt < * 7 U | - 2,|v| > 2 ) hệ phương trình trở thành: V = y + — y 809 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com u + V = 5 Ju +v = 5 u 4 +v 4 -4Ịu 2 +v 2 Ị + 4 = m Ịm = 2u 2 v 2 -92uv + 529' Bài toán này khác các bài toán trên ta ta xử lý đưa về một ẩn. r _ |~u>7 m _ _ 111 I u > 7 Ta có v = 5-u=ỉ> V = 5-u >2<=> '=> 2 7 Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm thỏa mãn 2 < u < 3. u<-2 u > 7 Xét hàm số f(u) = 2u 2 (5 -u)”-92u(5-u) + 529 với 2 2209 257 < m < 49 L 8 m > 2209 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là 257 —< m < 49 L 8 810 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com , ( , Y 5 ( , Ỹ ( , \ ( , > Tacó:x 5 +—-= x + — -5 x + — -3 x + — -10 x + — =u 5 -5u 3 +5u; X 5 1 1 X 1 X 1 X _ 5 , 1 í , if c í , 1? f , 0 „r , lì 5 _ 3, Và y +—- = y + — -5 y + — -3 y + — -10 y + — =v -5v +5v y 5 l yj V yj V yj V y Hệ phương trình đã cho trở thành: u + V = 5 u 5 - 5u 3 + 5u + V 5 - 5v 3 + 5v = m u + V = 5 (u + v) 5 -5uvựu + v) 3 -3uv(u + v)J-10u 2 v 2 (u + v) -5^(u + v) 3 -3 uv(u + v)1 + 5(u + vỊ = i u + V = 5 m = 25Íu 2 v 2 -22UV + 101 m> 15125 Thực hiện tương tự bài toán trên ta tìm được 1025 < m < 125 Bài 18. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: .( ĩ \ (x + y) 1 + — =5 \ x y ) ( xW )( 1+ ;y/ Lời giải Điều kiện: xy & 0 . Hệ phương trình đã cho tương đương với: í 11 , L 1,1 X + y + — + — = 5 x + y + - + - = 5 X y X y 2 , 2 , 1 , 1 ( lf ( lY x+ y+2 + 2 -m X + — + y + - = m + 4 l x y K X J V y) 811 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1 , 1 ^ 11 x+ y+T + - 5 x+y+-+-=5 X y X y r 1 lì 2 ( iY lì , 1 Ỹ lì 21 -m l X y J V X Ẳ yj X Ẫ y J 2 Suy ra X + —; y + — là hai nghiệm của phương trình: X y o 21 -m n t 2 -5t + ——— = 0<^>m = 2t 2 -10t + 21 (1) 2 Ta có x + — >2, y + — >2. Do đó hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi X y (1) có nghiệm |t| >2. Xét hàm sô" f(t) = 2t 2 - lOt + 21 trên (- 00 ;-2 J u [ 2 ;+ 00 ). Ta có: f'(t) = 4t-10;f'(t) = 0ot = ị. 2 Bảng biến thiên: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lòi giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (*W) (x 3 + y 3 ) ',2 1 ' ^ xy x 2 y 2 \ , 3 3 1 ^ 1 H ——— H-1 ——— 2 2 YV „3 3 V x y xy x y J — m o 2 , 2 , 1 , 1 , 2x 2y X +y +-V + -V + —+ —= 8 X 2 y 2 y x 3 3 3x 3y 3x 2 3y 2 11 X + y + —r + -r + —— + -4— + -- + —- = m y 2 X 2 y X X 3 y 3 x + — V yy ' l' 3 x + — V y. ( 1 A + y+- V x y y + 7 V x y ■ m Đặt 1 u = X + — y 1 v = y + — X Trước tiên xét hệ phương trình: u = X + v = y + — X y 1 xy +1 = uy 1 uy = vx 1 lxy + l = vx lxy + l = vx THI: Nếu u = 0 => V = 0 (do X 0). Khi đó hệ phương ưình có nghiệm xy = -1. . vx TH2: Nêu u * 0 =^> y = — thay vào phương trình thứ hai ta được: u VX 2 , 2 _ , .. ——+ 1 = VX«VX -UVX + U = 0 (1) u Hệ có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm <=> U 2 V 2 - 4uv > 0 <=> L1V > 4 uv < 0 Vậy ta cần tìm điều kiện của tham số sao cho Thay u,v vào hệ ta được: uv > 4 uv < 0 [u 2 + V 2 = 8 u 2 + V 2 = 8 <=>• / \ / 9 9 \ ^^ < [u 3 + v 3 =m (u + v) u + v -uv =16 \ 2 (u + v) - 2uv = 8 ■ m 813 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com uv : (u + v) 2 -8 (u + v) (u + v) 2 -8 m uv - m - (u + v) 2 -8 + 12(u + v) Đặt [ s = u + V / 2 p = uv ,Ịs 2 >4pỊ khi đó p = s 2 -8 m = -^- + 12S (2) 2 Ta có: s^4. s2 - 8 s 2 >4P 2 -4 < s < 4 p = uv > 4 <=> - í s 2 -v 4 « "s > 4 |_p = uv < 0 1- 00 10 to 1 K 00 IA 0 - 2 V 2 < s < 2 V 2 -2V2 s = ±2v2 . 2 Lập bảng biến thiên suy ra: m = f(-4) m = f(4) f Ị- 2 V 2 j < m < f Ị 2 V 2 Ị Vậy giá ttị cần tìm của tham sô" m là \-16^',16-^2 <=> m = -16 m = 16 <=> -16^2 < m <16^2 . -16^2 < m < 16^2 814 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 20. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm: X + xy + y = m 1 X 2 +y 2 +xy = l-2m Lời giải s = x + y Đặt ị J ,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: js + p = m Jp = m-S Ịs 2 -P = l-2m |s 2 +s = l-m Hệ phương trình có đúng hai nghiệm: «• s 2 > 4P s 2 > 4(m - s) «• s 2 + 4S > 4m . Mặt khác: m = 1 - s 2 - s (1) => s 2 + 4S >4^1 - s 2 - sj <=> 5S 2 + 8S - 4 > 0 <=> s>! 5 ■ s < -2 Vậy hệ phương trình có đúng hai nghiệm <=> (1) có nghiệm s>! 5 ■ S<-2 Xét hàm số" f(S) = l-S 2 -Strên Ị-co;2)uỊ^—Ỉ+ 00 ( II T Vậy giá trị cân tìm của tham sô" m là -oo;4j . . 25 } m <- 11 25 Bài 21. Cho hệ phương trình X 2 +y 2 =2(l + m) [(x+y) 2 =4 a) Chứng minh rằng nếu (x 0 ;y 0 ) là nghiệm của hệ thì (-x 0 ;-y 0 ) cũng là nghiệm của hệ. Từ đó tìm điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. b) Tìm các giá trị của tham sô" m để hệ có nghiệm duy nhất. Lời giải Nếu (x;y)là nghiệm của hệ thì (y;xj cũng là nghiệm của hệ. Vì vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhâ"t trước tiên phải có X = y. Í2x 2 -2(1 ! m ) Khi đó hệ phương trình trở thành: < v ’ <=> m = 0 mm m ầm. m U&4 ■ sạgsa 815 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ngược lại với m = Ohệ luôn có hai nghiệm (x;y) = (-l;-l);(l;l j. Vậy không tồn tại giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 22. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: (x + y) 2 -2xy: X + y - xy = 1 (l + xy) -2xy: X + y = 1 + xy 2 . 2 X + y = m X + y - xy = 1 x 2 y 2 = m -1 (1) X + y = 1 + xy Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: (x + y)~ ^ 4xy <=> (l + xy)~ >4xy <=> (xy -l) 2 > 0 luôn đúng. Vậy hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm <=>m-l>0<=>m>l. Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m > 1. , _ Í5Íx + y)-4xy = 4 Bài 23. Tìm m đê hệ phương trình sau có nghiệm < v ’ [x + y-xy = l-m Lời giải |s X + y 1^2 > 4P j khi (J5 hệ phương trình trở thành: - 4P = 4 ís = 4m 5S-4P = 4 1 s = 4m s - p = 1 - m 1 p = 5m -1 Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: m > 1 s 2 >4P^16m 2 >4(5m-l)o 1 - v ’ m < — L 4 816 Ũ.ÌỂỆÌÕỀ Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hệ phương trình đã cho tương đương với: x + y = l (x-y)Ịx 2 +xy + y 2 -mj = 0 o x + y = 1 x = y <=> X 2 + xy + y 2 -m = 0 1 X = — 2 1 y 2 fx + y = 1 Ịx 2 + xy + y 2 - m = 0 ( 1 ) Hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt <=>(l)có hai nghiệm phân biệt khác 0.0 v 2 ; 2 y Ta có (1) I y = 1-x 1 X 2 - X +1 - m = 0 (2) 1 (T) có hai nghiệm phân biệt khác 2- <=> A = l-4(l-m)>0 ,ị-ị + l-m*0 14 2 <=> m >- Vậy giá trị cần tìm của tham sô là m > -2. Bài 25. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm |x + xy + y = m + 2 l^xy^x + y) = m +1 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: jx + y = m + l íx + y + xy = m + 2 Ịxy = 1 Ịxy(x + y) = m + l Jx + y = l [xy = m + 1 Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: \ 2 (x + y) >4xy <=> <=> Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là (m + l) z >4.1 |mằl l 2 >4.(m + l) 3 ms-ậ' 4 co; 4 u "l;+oo). Bài 26. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham sô" m thì hệ phương trình 817 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: jx + y = m + l fx + y + xy = 2m + l [xy = m Ịxy(x + y) = m(m + l) Jx + y = m [xy = m +1 Với X + y = m + l,xy = m ta có: (x + y)~ - 4xy = (m 4-1 j - 4m = (m -l) > 0, Vm . Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. + Điều kiện cần: Hệ có nghiệm (x;yjthì (y;x)cũng là nghiệm của hệ vì vậy hệ có nghiệm duy nhất ta phải có X = y . , .2 (m + 1) =4m m = l Khi đó X + y) = 4xy <=> v ' <=> Ị- . m 2 =4(m + l) \m = 2±2^2 + Điều kiện đủ: - Với m = 1 hệ phương trình trở thành: Ịx + y = 2 1 xy — 1 íx — 1 <=> < hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) = (1; 1) nên m = 1 thỏa mãn. jx + y = l [y = l >y = 2 - Với m = 2 - 2\íĩ hệ phương trình trỏ thành: ịx + y — 3 — 2^2 y hệ này có hai nghiệm (x;y) = (i;2-2V2Ì;Í2-2a/ 2;1Ì nên jx + y = 2-2\Ỉ2 ' ' \ I \ I Ịxy = 3-2^2 không thỏa mãn. 818 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Với m - 2 + 2\ỊĨ hộ phương trình có nhiều hơn một nghiệm nên không thỏa mãn. Vậy giá trị cần tìm của tham số là m = 1. Bài 27. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y),x>4 [Vx + Vỹ = 3 [Vx + 5 + Vy + 5 = m Lời giải Điều kiện: X > 4,y > 0 . Đặt u = Vx,v = Vỹ 5 ( u > 2,v > o) hệ phương trình đã cho trở thành: 1 u + V = 3 Ị V u 2 + 5 + Vv 2 + 5 = m <———— I ———— V = 3 - u 2 < u < 3 . Vu 2 + 5 + \ị{3- u) 2 + 5 = m (1) Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm u € [2;3j . Xét hàm sô" f(u) = Vu 2 + 5 + Jị3 - u)" + 5 trên [2; 3 ] , ta có: f’(u) = msốf(u) = Vu +5 + ^3-uj + 5 trên [2;3J , ta có: , 11 + , 11 =;f'(u) = 0<=> uJ(u-3Ỵ +5 = Í3-uWu 2 +5 ou = Ta có f(2) = 3 + V6,f(3) = V5+VĨ4. Suy ra 3 + Vó < m (x + y) -4xy = (m +1) -4-(2m-3) = m 2 -6m +13 > 0, Vm Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm . X + y = m Bài 29. Cho hệ phương trình < [x 2 + y - 6 - m 2 Giả sử hệ có nghiệm (x;y) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = xy + 2(x + y). Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: íx + y = m íx + y = m Ị(x + y)~-2xy = 6-m 2 Ịxy = m 2 -3 Hệ phương trình có nghiệm: <=> (x + y) 2 > 4xy <=> m 2 > 4|m 2 - 3j «• -2 < m < 2 . Khi đó p = xy + 2(x + y) = m 2 - 3 + 2m = (m + l) 2 -4>-4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = -1. Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m = -1. Suy ra x 2 ,y 2 là hai nghiệm của phương trình: .2 . . m 2 -3m + 2 „ t 2 - rnt +-—-= 0 (1). 2 Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm không âm. 820 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com . _ 2 . m 2 -3m + 2 A = m ~ 4 - 2 -° 3 - V 5 < m < 3 + V 5 <=> - s = m > 0 p = m 2 -3m + 2 ^ Q 2 <=>0 m > 2 2 < m > 3 + V 5 3 - 4Ỉ < m < 1 Vậy giá trị cần tìm của tham sô là 2;3 + V5 u 3-\Ỉ5’,l ■ Í Vx + -v/ỹ = n _ x + y-Ậy- Lời giải Điều kiện: X > 0,y > 0 . Đặt u = Vx,v = ^/ỹ,(Vv > 0)hệ phương trình trở thành: u + V = m 2 . 2 u + v“ - uv = m 11 + V = m (u + v) -3uv ■ LI + V = m ■ m uv = - m -m ■ Suy ra u, V là hai nghiệm của phương trình: .2 m 2 -m „ t 2 - mt +--— = 0 (1). 3 Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm không âm. 2 , m“ -m _ „ A = m 2 -4.--->0 <=> ị s = m > 0 p= m ; m >0 3 m = 0 1 < m < 4 Vậy giá ttị cần tìm của tham số là 1;4-J u ỊoỊ. Lời giải 821 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2 +y 2 =2(m + l) (1) Hệ phương trình đã cho tương đương với: < " x + y _ 2 - 0 (2) |_x + y + 2 = 0 (3) Phương trình (1) là phương trình đường tròn (cjcó tâm là gốc tọa độ o(0;0), bán kính R = /2(m + 1 ),(m > - l). Phương trình (2) và-'P) tương ứng là hai đường thẳng dj :x + y-2 = 0và d 9 : X + y + 2 = 0 . Ta có d (0;d 1 j = d( O;d 0 j = \fĩ nên hệ có đúng hai nghiệm xảy ra khi và chỉ khi: Cả hai đường thẳng dpdT tiếp xúc với (c). Nhân xét. Nếu d(^0;d 1 j ^ d(O;d 0 j ta xét hai trường hợp nữa đó là TH2: Đường thẳng djCắt đường tròn (c) , đường thẳng d-, không có điểm chung với ^c). TH3: Đường thẳng d 9 cắt đường tròn ^c), đường thẳng dj không có điểm chung với (c). Lời giải 822 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=> <=> x=y=-- jy = -l-x [x 2 + x + l-m = 0 (1) + x(-l-x) + (-l-x) -m = 0 Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt Xp x 2 thỏa mãn: A = l-4(l-m)>0 = -l -1 = -1 -1 - V4m - 3 Xj + x 9 = 2. f Ỷ V 2 y | Xl |>l |x 9 | > 1 Oi > 1 <=> m > 3. Vậy giá trị cần tìm của tham số là (3;+co). __ [x + y + xy = m Bài 34. Tìm m đê hệ phương trình sau có nghiệm -< 0 0 [x 2 + y 2 = m Lời giải Đặt x + y,Ịs 2 > 4pj khi đó hệ phương trình trở thành: ís + p = m Jp = m-S Jp = m-S Ịs 2 - 2P = m Ịs 2 -2(m-s) = m Ịs 2 +2S = 3m’ Ta có: S 2 >4P«S 2 >4(m-S)«S 2 +4S>4m. Mặt khác m = s2 * 2S do đổ s 2 + 4S > 4. s2 ị 2S s 2 - 4S < 0 <^> 0 < s < 4 ■ 3 3 Suy ra m = - * 2S g[0;8]. Vậy giá ttị cần tìm của tham sô" là [0;8j . Bài 35. Cho hệ phương trình Ị x + x y + y m + 6 [2x + xy + 2y = m a) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm. b) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất I JỊp||Ịt íýịịỹA Lờt giữị ýỹ 823 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a) Đặt <1 x + y ,(s 2 > 4p) khi đó hệ phương trình trở thành: [p =xy ' ' ís 2 -2P + P = m + 6 . r ", «• [2S + P = m Ta có: S 2 >4P^S 2 >4(m-2S)^S 2 +8S>4m. s- + 2S - 6 Mặt khác: m =-—-suy ra: 2 s 2 + 8s>4. s2+ ^ s ~ 6 ^2S 2 -8S-24<0^-2 (1) có nghiệm -2 < s < 6 . Xét hàm số f(S) = — ——trên [-2;óJ,ta có: f'(S) = S + l;f , (S) = OoS = -l. Ịs 2 +2S = 2m + 6 (1) Ịp = m-2S Ta có: f(-2) = —3;f(6) = 21;f(-l) = ---. 2 Suy ra giá trị cần tìm của tham sô" là -^-;21 . b) Nếu hệ có nghiệm (x;y]thì (y;x]cũng là nghiệm của hệ đã cho. Vì vậy để hệ có nghiệm duy nhất trước tiên phải có X = y . Khi đó hệ phương trình trở thành: Í3x 2 =m + 6 jm = 3x 2 -6 Jm = 3x 2 -6 x = -l,m = -3 Ịx 2 + 4x = m Ịx 2 +4x = 3x 2 -6 Ị2x 2 -4x-6 = 0 L x = 3 ’ m = 21 THI: Nếu m = -3 khi đó hệ trở thành: r 2 2 x = -l,y = -l ] X + xy + y 3 ^ x _ ) y - ^/3 nên không thỏa mãn. 2x + xy + 2y = -3 r r x-y3.y- v3 TH2: Nếu m = 21: khi đó hệ trở thành: x 2 +xy + y 2 =27 íx = 3 2x + xy + 2y = 21 [y = 3 Hệ có nghiệm duy nhất nên thỏa mãn. Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m = 21. 824 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Điều kiện : X > — 1, y > -2 . T . íx + Viễt lại hệ dưới dạng : _ ,u=vx+l Đặt Lời giải y = 3|Vx + l + 7y + 2Ị X + y = m ,(u, V > o) khi đó hệ phương trình trở thành : V y + 2 v 2 -3 = 3(u + v) Í3(u + v) LI + V - I LI 2 + V 2 - 3 = m m u + V = — ■ m <=> • u 2 + V 2 = m + 3 uv : 3 (u + v)“ -Ịu 2 + V 2 j ị 2 = 2 ( 2 m - m - 3 V J Khi đó u,v là hai nghiệm của phương trình: .2 m 1 t 1 + - í m' -m-3 = 0 ( 1 ). Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có hai nghiệm không âm. m" „ A = ——2 ^>0 3 m - m - 3 >0 ^ 9 + 3 .^ 0 Vậy giá trị cần tìm của tham số là ^Ã;9 + 825 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 37. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực x,y ^ 0 : xy(x + y) = x 2 -xy + y 2 < 1 1 — + — = m Q 'X [x y Lời giải Từ phương trình đầu của hệ ta có: xy(x + y) x 2 -xy + y 2 11 1 11 x 2 y 2 x 2 y 2 X y X 2 xy y 2 Đặt u =—,v =—,(u,v^O)khi đó u + v = u 2 -uv + v 2 ; X y v ’ Và m = u 3 +v 3 = (u + v)Ịu 2 -UV +V 2 j = (u + v) 2 . Hệ phương trình trở thành: 2 2 11 + V = u“ - uv + V [(u + v) =m Trước tiên ta phải có m > 0 và để ý: 2 2 u + v = u-uv + v V u —— V 2 y 3v „ , , + -2—>0,Vu,v^0 4 Viết lại hệ phương trình dưới dạng : u + V = (u + \Ỵ - 3uv (u + v) 2 - (u +v) uv = 2 ----- - _ 3 / \ 2 lii + v) =m u + V = Vm m - vrn uv ■ u + V = vnr Khi đó u,v là hai nghiệm của hệ phương trình: t 2 - Vĩnt + — — — = 0 Hệ có nghiệm thỏa mãn yêu cầu trên <=> (1) có nghiệm u, V ^ 0 . , m-Vm , „ A = m -4,————>0 p =",0 <=> |0 < m < 16 |m*l Vậy giá ttị cần tìm của tham số là (0;l)u(l;16j. ( 1 ) 826 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chá Sề L HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phương pháp giải và biện luận giông như giải hệ phương trình đôi xứng loại II đó là trừ theo vế hai phương trình của hệ. B. BÀI TẬP MẪU _ Bài 1 . Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: Í3x 2 =y 3 -2y 2 + my [3y 2 =x 3 -2x 2 +mx Lời giải + Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x 0 ,y 0 ), khi đó (y 0 ,x 0 ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết Xq = y () . v 3 2 „ Thay vào hệ ta được Xg - 5x () + mx () = 0 <=> x 0=° x 0 -5x 0 +m = 0(*) Hệ có nghiệm duy nhất thì (*) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0, A = 25 - 4m < 0 f , 25 A = 25-4m = 0<=>m>42 4 m = 0 điều này tương đương với: + Điều kiện đủ: 25 Với m > 42 „ khi đó hệ phương trình tương đương với: 2 3x 2 = > ——, khi đó hệ phương trìr 4 ' y Ịy 2 -2y + m] = yỊjy-l) 2 = x(x 2 -2x + mj = xỊ^x-l) 2 + m -1 >0 + m -1 >0 x,y>0. Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: xíx 2 -5x + m (x 2 -5x + m) + y(y 2 -5y + m) = 0. <=> X ' 5^ 2 X —— V 2 V + m-- 25 +y ' 5^ 2 y 2, V z J + m-- 25 = 0<=>x = y = 0. 25 Vậy với m> 4^-thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0). 25 >pj|i là t ì I %k ẾỄ IU 827 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 2. Chứng minh rằng hệ phương trình: e x =2014 — y < V Ọ—ĩ có đúng 2 nghiệm thỏa mãn X > 0; y > 0. e y =2014 — X V 'x 2 -l Lời giải Điều kiện: |x| > l,|y| > 1 . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: -<= y -T=--r= «-T= = -T= w ■ Vx 2 -1 ìịy 2 -1 Vx 2 -1 y/y 2 - 1 Xét hàm số f(t) = e* — , 1 trên (-co;-l jU(l;+°°), ta có: yt 2 I f'(t) = e t +- - . > 0,V|t| > lnẽn f(t) là hàm số đồng biến trên mỗi (r lỊvt-l khoảng (~co;-l j và (l;+co). Với X > 0,y > 0 ta có (1) <=> f(x) = f(y) <=> X = y . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: e x -2014 + ^i= = 0 (2). Xét hàm số g(x) = e x -2014+ , liên tục ưên (l;+oo) , ta có: V X 2 — 1 g'(x) = e* —- 1 , ;g"(x) = e* +-- 4 L > 0,Vx > 1 nên (x 2 -l)VTrì (x 2 -l)x/+rì phương trình g'(x) = 0có tối đa một nghiệm suy ra phương trình g(x) = 0có tôi đa hai nghiệm trên (l;+oo). , _ 2 Mặt khác: lim g(x) = +oo;g(2) = e“-2014 + —j=< 0; lim g(x) = +oo. Do đó x->r >/3 tồn tại Xj e(l;2),x 2 e(2;+cojsao cho g(Xj) = g(x 2 ) = Ohay phương trình (2) có đúng hai nghiệm trên (l;+oo). Từ đó suy ra hệ phương trình có đúng hai nghiệm x>ô,y >0(đpcm). ||||kj 828 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1 . Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm Vx +1 + ^y-2 = m yịy +1 + Vx -2 = m Lời giải Điều kiện: x>2,y>2,m>0. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 'Jx + [+- s Ịy-2-^y + [- \lx-2 =0o Ị\/x + l - -y/y + lj + Ị-^/y-2 - Vx-2 j = 0 x ~y . y~ x -n Vx + l + ^y + l \]y-2 +Vx-2 r 1 1 ( y ^ v Vx7T + ^Jỹ+ĩ Vx-2 + ^Jy-2 Vx + 1 + ^/y+ 1 Vx-2 + ^Jy-2 <=> <=> X = y (do Khi đó thay vào phương trình đầu của hệ ta được: a/x +1 + Vx-2 = m (1). Xét hàm số f(x) = Vx + 1 + Vx - 2 đồng biến ttên Ị^2;+oojnên f(x) > f(2) = V3 với mọi X > 2 . Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm <=> m > >/3. Vậy giá trị cần tìm của tham số là m > V3 . Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Lời giải 2 2 I X y + m = y I 2 2 [xy +m = x + Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x Q ,y 0 ), khi đó (^y 0 ,x 0 jcũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x () = y 0 . Thay vào hệ ta được: m = xị - Xq (1). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) có nghiệm duy nhất. Xét hàm số f(x Q ) = Xq - xị lập bảng biến thiên suy ra giá trị của m là m < 0. 829 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com xy(x-y) = y 2 -X 2 <=> (x - y)(xy + X + y) = 0 <=> + Điều kiện đủ: Với m < 0 khi đó trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: x = y xy + X + y = 0 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: xy(x + y) + 2m = x 2 +y 2 . Do m<0,x 2 +y 2 >0suy ra xy(x + y)>0do đó xy + X + y ^ 0. Vì vậy X = y . Với X = y thay vào phương trình đầu của hệ ta được: m = X 2 - X 3 có nghiệm duy nhất với mọi m < 0. Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m < 0. Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x + 1) =y (y+>í + m = X + m Lời giải + Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x 0 ,y 0 ) > khi đó (y 0 ,x 0 ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x () = y 0 . Thay vào phương trình của hệ ta được: m = Xg + x () +1 (1). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (ĩ) có nghiệm duy nhất 3 <=>A = 4m-3 = 0<=>m = —. 4 3 + Điêu kiện đủ: Với m = 2j-hệ phương trình trở thành: \2 3 í/ \í x + y + 3) = 0 (x + 1 ) =y+ 4«. 3 (x-y)( (y + 1 \2 (x + l) 2 3 ^ = y+ 4 ) =x + 4 V ì 1 X = —- 2 1 y 2 (thỏa mãn). Vậy giá trị cần tìm của tham số là m = 4-. Bài 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất j y ly 3 =2x + y + m 830 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 3 -y 3 =y-x<=>(x-y)íx 2 + xy + y 2 +lì = 0<=>y = x. Thay y = X vào phương trình đầu của hệ ta được: X 3 = 3x + m <=> m = X 3 - 3x (1). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=> (1) có nghiệm duy nhất. Xét hàm sô" f(x) = X 3 -3x và lập bảng biến thiên suy ra (1) có nghiệm duy nhất <=> m > 2. Vậy giá trị cần tìm của tham số là m > 2 . Nhận xét. Hệ phương trình có hai nghiệm <=> m = -2 hoặc m = 2 . Hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt <=> -2 < m < 2 . Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất y 2 -(x + y) = 2m X 2 -(x + y) = 2m Lời giải + Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x 0 ,y 0 j, khi đó (y 0 ,x 0 )cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x () = y 0 . Thay vào phương trình của hệ ta được: 2m = X 2 - 2x () (1). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) có nghiệm duy nhất <=>A' = l + 2m = 0<=>m = 2 + Điều kiện đủ: Với m = “hệ phương trình trở thành: 1 X 2 -(x + y) = -l í(x-y)(x + y) = 0 (x = 1 -(x + y) = -l x 2 -(x + y) = -l [y = l (thỏa mãn). Vậy giá ttị cần tìm của tham sô" là m = —^. Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: X 2 +(m + 2)x = my < y 2 + (m + 2)y = mx 831 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: - 2 -y 2 + (m + 2)(x-y) = m(y-x). X - ’ <=> (x - y)(x + y + 2m + 2 ) = 0 <=> x = y X + y + 2m + 2 = 0 THI: Với X = y thay vào phương trình đầu của hệ ta được: X = 0,y = 0 (m + 2)x = mx<=> X II 0 V / X 2 + 2(m + l)x + 2m 2 + 2m = 0 (1). Hệ phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt<=> (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép X = 0 hoặc X = -2 hoặc có hai nghiệm phân biệt Xj = 0,x 2 = -2 và y = 0,y = -2 tương ứng. Xét trường hợp ta có kết quả của tham sô" là |m| > 1. Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: [x 3 =y 2 +7x 2 -mx [y 3 =x 2 +7y 2 -my Lởi giải + Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x 0 ,y 0 ), khi đó (y 0 ,x 0 )cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x () = y () . Thay vào phương trình của hệ ta được: xị = 8X 2 - mx 0 <=> x () Ịx 2 - 8x () + m I = 0 <=> x 0 =0 X 2 - 8x () + m = 0 ( 1 ) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép A' = 16 -m < 0 ÍA’ = 16-m = 0 <=>m>16. x () = 0 o 2 - 8.0 + m = 0 832 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + Điều kiện đủ: Với m > 16 : • x,y > 0. xíx 2 + mj = y 2 +7x 2 Hệ phương trình viết lại dưới dạng: ị ) ^ =>x,y>0. y(y 2 +m) = x 2 +7y 2 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: X 3 + y 3 = 8x 2 + 8y 2 - mx - my <=> X 3 - 8x 2 + mx + y 3 - 8y 2 + rny = 0. <=>xỊx 2 -8x + mj + yỊy 2 -8y + mj = 0. <=>xf(x-4) 2 + m-16j + yỊjy-4)“ + m-16Ì = 0<^>x = y = 0. Vậy với m > 16 hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0j. Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m > 16 . Bài 7. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm y 2 = X 3 - 4x 2 + mx X 2 =y 3 -4y 2 +my Lời giải Với mọi giá trị của tham sô" m hệ phương trình trên luôn có nghiệm (x;y) = (0;0). Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là tập sô" thực. Bài 8. Tìm các giá trị của tham sô" m để hệ phương trình sau có nghiệm: j Vx + 1 + ^3-y = m [■>/y + l + V 3 -x = m Lời giải Điều kiện: -1 < X < 3,-1 < y < 3. Trừ theo vê" hai phương trình của hệ ta được: ylx + l-^y + l+yỊĩ-ỵ-ylĩ-x =0 . <=>Vx + l -V3-X = yjy +1 -yjĩ-y <=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhâ"t của hệ ta được: m = \Ịx + ĩ + V3-X (1) . Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm. 833 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com => 2 < Vx +1 + V3 — X < 2V2 . Suy ra 2 < m < 2V2 là giá trị cần tìm của tham số. Bài 9. Chứng minh rằng với mọi m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Ị3x 2 y - 2y 2 - m = 0 [3y 2 x - 2x 2 - m = 0 Lời giải Với mọi m > Ocộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: 3x 2 y + 3xy 2 =2m + 2x 2 +2y 2 <=> 3xy(x + y) = 2m + 2x 2 +2y 2 >0. => xy (x + y) > Ohay xy,x + y cùng dấu . Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: 3x 2 y-3y 2 x + 2x 2 -2y 2 = 0 <=> (x - y)(3xy + X + y) = 0 <=> X = y (do xy,x + y cùng dấu). Với y = X thay vào phương trình đầu của hệ ta được: 3x 3 -2x 2 =m. Xét hàm số f(x) = 3x 3 -2x 2 và lập bảng biến suy ra với m>0phương trinh trên có nghiệm duy nhất do đó hệ phương trình có nghiệm duy nhât(đpcm). Bài 10. Tìm các giá tri của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất xy + X 2 = m(y -1 j < xy + y 2 = m(x - 1 j Lời giải + Điều kiện cần: Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x 0 ,y 0 ), khi đó (y 0 ,x 0 )cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết x 0 = y 0 . Thay vào phương trình của hệ ta được: 2x 2 = m(x 0 -1 ) <=> 2xq - mx 0 + m = 0 (1). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi (1) có nghiệm duy nhât 9 „ „ m = 0 <=> A = m - 8m = 0 <=> m = 8 834 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + Điều kiện đủ: [ xy + X 2 — 0 í X — 0 Với m = Ohệ phương trình trở thành: ị <=>< (thỏa mãn). |xy + y 2 =0 Ly = 0 Với m = 8 hệ phương trình trở thành: 2 xy + X xy + y 2 = 8(y-l) / ý <=> = 8(x-l) [x = 2 < __ (thỏa mãn). [y - 2 Vậy giá trị cần tìm của tham số là m = Ohoặc m = 8 . Bài 11. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệ r m duy nhất: < V7 + x+- v /ll-y-4 = m--\/ U —3>/l0 —3m ^/7 + y+ Vll-x-4 = m- V U-U 10-3m Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được: V7 + X -Vii-X =-\Z 2 + y-\/ii _ y<=> X = y . Thay y = X vào phương trình thứ nhâ"t của hệ ta được: V7 + X + Vll-X = 4 + m- V4-3Vl0-3m (1). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=> (1) có nghiệm duy nhất. Xét hàm sô" f(x) = \Ịl + X + V11 -X trên ^-7; 11 ], ta có: f'(x) = —j==-j^=;f'(x) = 0Vll-x = Vx + 7 ^x = 2. 2V7 + X 2V11-X Lập bảng biến thiên của f(x) suy ra (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 4 + m - V4-3VĨÕ - 3m = 6 <=> m - 2-^4- 3\fĩÕ -3m <=> m = 3. Vậy giá ttị cần tìm của tham sô" là m = 3 . 835 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chỏ ềl 3, HỆ ĐẲNG CẤP A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Nội dung chủ đề này chủ yếu đề cập đến các bài toán chứa tham sô" xoay quanh dạng hệ đẳng cấp bậc hai: ajX 2 + bjXy + Cjy 2 = d 1 a 2 x 2 + b 9 xy + c 9 y 2 =d 0 Như đã đề cập trong phương pháp giải hệ đẳng câp ta nhân chéo hai phương trình của hệ đưa về phương trình đồng bậc: d 9 íajX 2 + bjXy + c 1 y 2 ì = dj ía 2 x 2 + b 9 xy + c 2 y 2 Ị. Phương pháp sử dụng chủ yếu đó là kỹ năng khảo sát tìm miền giá trị của hàm sô" bậc hai/bậc hai. Dạng hệ bâ"t phương trình đẳng cấp đòi hỏi vận dụng một sô" kỹ năng khác như cộng,trừ theo vê" hai phương trình của hệ, xét nghiệm thỏa mãn và chứng minh tùy thuộc vào từng bài toán. B. BÀI TẬP MẪU _ Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Í2x 2 +xy-y 2 =l (1) 1 2 . . 2 [x + xy + y~ = m Lời giải Từ hai phương trình trong hệ ta có: m = —— 2x 2 THI: Nếu y = 0 => m = ^ và hệ có nghiệm + xy + y 2 + xy-y 2 ( 2 ). ✓ ~ X TH2: Nếu y ^ 0 chia cả tử và mẫu của (2) cho y và đặt t = — , khi đó ta được: y t I t I 1 ^ Ị v „ 7 , 1 .. m = —-— - (3). Từ (1) ta có: 2t 2 +1 -1 = —— > 0: 2 t +1 -1 y' t >2- V V («-!)• Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm: te(-oo;-l)u^;+oo 836 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm sô" f(t) = t +t + l trên khoảng (-oo;-l) u Ị^; +00 f'(t) = - 2t +1 - t" + 6t + 2 N „ 2 , ta có: 2t- +t-l ;f’(t) = 0»t +6t + 2 = 0o t = -3 - \ỊĨ t = -3 + Vỹ Lập bảng biến thiên suy ra giá trị của m là m > I4 + 5V7 28 + I1V7 ' Bài 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực: 5x -4xy+ 2y >3 „ 2 , „ 9. 2m -1 7x + 4xy + 2y < —1 2m + 5 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Cộng theo vế hai phương trình trong hệ trên ta được: -5x +4xy-2y <-3 21x 2 +12xy + 6y 2 <3- 18 2m + 5 (4x + 2y) 2 = 16x 2 + 16xy + 4y 2 < ■ 18 2m + 5 18 5 Suy ra để hệ có nghiệm thì cần ———— > 0 2m + 5 < 0 <=> m < . 2m + 5 2 Bây giờ ta chứng minh với m < -Vthì hệ bất phương trình có nghiệm. Thật vậy, xét hệ phương trình sau: px 2 -4xy+ 2y 2 =3 1 21x 2 +12xy + 6y 2 =3 (*)«• X = ± I 7 _ 2 y = T 7 , suy ra hệ này có nghiệm. Giả sử (x 0 ,y 0 ) là nghiệm của hệ phương ưình (*), khi đó ta có: 5x 0 2 -4x 0 y 0 +2y 0 2 =3 5 18 m < • 21x 0 2 +4x 0 y 0 +6y 0 2 =3<3-_l^ 2 Suy ra (x 0 ,y 0 j cũng là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 837 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m < —^. Nhận xét. Nút thắt của bài toán là tìm ra bất đẳng thức: |4x + 2yj 2 < - Để làm được điều này ta viết lại hệ dưới dạng: -5x 2 + 4xy-2y 2 <-3 2 2 2m -1 ’(k > o) . 7kx + 4kxy + 2ky < k .-=—3 [ 2m + 5 Cộng theo vế hai phương trình của hệ ta được: (7k-5)x 2 +4(k + l)xy + 2(k-l)y 2 <-3 + k. ^ m ~^ ■ 2m + 5 v v 7 v '' 2m + 5 Ta cần tạo ra một hằng đẳng thức ở vế trái của bất đẳng thức trên muốn vậy k > 0,7k - 5 > 0,k -1 > 0 và |~k = 3 ^(7k-5).^2(k-l)=2(k + l)^5k 2 -16k + 3 = 0^ I . k — L 5 Vậy k = 3 đó chính là giải thích vì sao nhân hai vế bất phương trình thứ hai của hệ với 3. Bài 3. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực: j x 2 - xy + 2y 2 - x < m [x 2 - 2xy - 2x < m - 2 Lời giải Hệ bất phương trình đã cho tương đương với: X -xy + 2y -x \ X 2 -2xy-2x + 2 0 => m > 0 Ngược lại với m > 0 ; thì hệ luôn có nghiệm 1^1;ỶJ. Vậy m > 0 là giá trị cần tìm. Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt: Í2x 2 y + 9x = my 2 Ịxy 2 +2y = x 2 838 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Nếu X = 0 <=> y = 0 => (x;y) = (0;0) là một nghiệm của hệ phương trình với mọi m. Xét xy & 0 khi đó đặt t = xy và viết hệ phương trình dưới dạng: xy(2xy + 9) = my 3 (xy(xy + 2 ) = x 3 Oi t(2t + 9) = my 3 [t(t + 2) = x 3 Nếu m = 0 => t = —^ hệ phương trình vô nghiệm. Vậy m * 0=> t + j 0;~;-2 V Khi đó hệ phương ưình tương đương với: x = ^( t + 2 ) ■ — 31, (2t + 9) t =>t = (2t + 9) <=> m 2t 2 +(l3 - m )t +18 = 0 (1). m Vậy hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt o< A = (l3-m) 2 -144>0 18 + 0 8 - 2(13 -m ) + 18 + 0 (l3-m) + 18 + 0 oị 819 l 2 2 m < 1 m > 25. m + 0 Vậy giá trị cần tìm của tham sốmlà me (-;0)U(0;1)U(25;+go) . Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Ịx 2 -2xy -3y 2 = 8 [2X 2 +4xy + 5y 2 =m 4 -4m 3 +4m 2 -I 2 + V 105 Lời giải Để cho đơn giản ta đặt a = m 4 - 4m 3 + 4m 2 -12 + V 105 . Nhận thây X = 0 không là nghiệm của hệ phương trình: 839 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khi đó đặt t = — hệ phương trình trở thành: X x 2 íl-2t-3t 2 1 = 8 x 2 Í2 + 4t + 5t 2 | = a a = 8,- 5t 2 +4t + 2 -3t 2 -2t + l l-2t-3t 2 >0 a = 8. 5r +4t + 2 -3t 2 -2t +1 ( 1 ) -l-l Vậy hệ phương trình có nghiệm ++ (1) có nghiệm t e v" 1; C <=> a > Vl05 — 3 . <=> m 4 -4m 3 + 4m 2 -12 + VĨÕ5 > VĨ 05 -3 <=> m 4 -4m 3 + 4m 2 -9>0. <=> (m -3)(m + l)Ịm 2 - 2m + 3j > 0 <=> m > 3 m < -1 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là (- 00 ;- l]U[3;+oo). c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ Bài 1. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: Í3x 2 + 2xy + y 2 =11 [x 2 +2xy+ 3y 2 =m Từ hệ phương trình suy ra: m = 11. 11 Lời giải X 2 +2xy+ 3y 2 3x 2 +2xy + y 2 THI: Nếu y = 0 khi đó m = hệ phương trình có nghiệm L ÍĨT 2 840 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TH2: Nếu y^Okhiđó m = ll. t 2 +2t + 3 3t 2 +2t + l (1) với t = -. Xét hàm số f(t) = 11. t- +2t + 3 trên R ta có: f'(t) = -44.- 3t +2t +1 ;f'(t) = 0ot i +4t + l = 0o t +4t + l „ 2 t=-2-V3 3t z +2t + lJ it = -2 + S Lập bảng biến thiên suy ra: minf(t) = f Ị-2 -->/3 j = 1 1 Ị 2 - V 3 j;maxf(t) = f Ị-2 + V 3 j = I 1 Ị 2 + V 3 Ị. Kết hơp với trường hợp 1 suy ra để hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm thực <=> 1 1 Ị 2 - V 3 Ị < m < 1 1 Ị 2 + V 3 j. Vậy giá trị cần tìm của tham số là 1 1 Ị 2 - >/3 j;l 1 Ị 2 + V 3 Ị Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: jx 2 -xy + y 2 =3 (x 2 +xy-2y 2 =m Từ hệ phương ưình suy ra: m = 3. Lời giải X 2 + xy-2y 2 2 2 X - xy + y THI: Nếu y = 0<=>m = 3=>x = ±yỈ3 hệ phương trình có nghiệm Ị±V3;oj. TH2: Nếu y * 0 khi đó m = 3. t- +t-2 t 2 - t + 1 (1)với t=-. Xét hàm sô" f(t) = 3. ứ+t-2 t 2 - t + 1 trên R ta có: f'(t) = 3. -2t 2 +6t-l ..... „ ,.2 ; f’(t) = 0 <=> -2t + 6t -1 = 0 <=> r-t + 1 t = t = 3 -V 7 2 3 + V 7 841 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy ra min teR f(t) = f 3 =-l-2>/7;maxf(t) = f 3+ f 1 2 teR 2 V / V / = -l + 2yỊĨ. Hệ phương trình có nghiệm khi (1) có nghiệm thực: <^-l-2V7/v;—1 + 2>/Ỹ . Bài 3. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: jx 2 -2 xy-y 2 —ự V 2 hệ bất phương trình. Do đó hệ đã cho không thể có nghiệm duy nhất. Vậy không tồn tại m để hệ có nghiệm duy nhất. Bài 4. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: Jx 2 +2xy + 2y 2 Onên với m<0hệ bất phương trình vô nghiệm. Nếu m>0hệ bất phương trình có nghiệm (0;0);ỊVĩn;oj nên không có nghiệm duy nhất. Xét m = Ohệ bất phương trình trở thành: Ịx 2 +2xy + 2y 2 <0 (x + y) 2 +y 2 <0 Ịx 2 - 4xy - y 2 < 0 Ịx 2 -4xy-y 2 <0 842 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com X + y = 0 <=> X 2 -4xy-y 2 <0 Hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (0;0). Vậy m = Olà giá trị cần tìm. , í xy — y 2 =12 Bài 5. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm < J [x 2 -xy = 26 + m Lời giải Nếu y = 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm. jx = 0 ịy = o' Xét y ^ 0 khi đó đặt t = — ta có: y y 2 (t-l) = 12 t>l y 2 Ịt 2 -tj = 26 + m m + 26 = 12.-J—p = 12t Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m + 26 = 12t > 12 <=> m > -14 . Vậy m > -14 là giá trị cần tìm của tham số. Bài 6. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 3x 2 + lOxy -5y 2 < -2 2 „ „ 2 .. 1 - m X +2xy-7y > 7 —— 1 + m Lời giải Hệ bất phương trình đã cho tương đương với: 3x 2 + lOxy - 5y 2 < -2 ^2 . .. 9 . ^ 1 — m ■ -2x 2 - 4xy + 14y 2 < -2 .-—— 1 + m Cộng theo vế hai bất phương trình của hệ ta được: 2 , ^2 - - 1 — m / _ \2 —4 X +6xy + 9y <-2-2.^—— <^>(x + 3y) <——-. 1 + m v ’ m +1 Vậy để hệ bất phương trình có nghiệm ưước tiên ta phải có: -4 -— >0<=>m<-l. m +1 843 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta chứng minh với m < -1 thì hệ bất phương trình có nghiệm. Thật vậy xét hệ phương trình: 3x 2 + lOxy - 5y 2 < -2 -X 2 -2xy + 7y 2 = 1 Hệ này luôn có nghiệm (x 0 ;y 0 ) 3x 2 + 10x () y 0 -5y 2 <-2 Khi đó \ 1 _ m x ồ+ 2x oy 0 - ? yồ =_1 - 77~’^ m < -1 l l + m Tức (x 0 ;y 0 ) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Vậy giá trị cần tìm của tham số là m < -1. Bài 7. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: Í3x 2 - 4xy + y 2 m + 4 Lời giải Hệ bất phương trình đã cho tương đương với: 3x 2 -4xy + y 2 4 m-2m-8>0<=> m < -2 Mặt khác với mọi m>4vm<-2hệ bất phương trình luôn có nghiệm (x;y) = (0;0). Vậy giá ttị cần tìm của tham số là (-co;-2jU(4;+co). Bài 8. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 4x 2 -3xy + 4y 2 <6 (1) x 2 +xy-2y 2 =m (2) Lời giải Lấy (1) + k.(2) theo vế ta được: 4x 2 - 3xy + 4y 2 + kíx 2 + XV - 2 y 2 2^6 + km . 844 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com <=>(k + 4)x 2 + (k-3)xy + (4-2k)y 2 <6 + km . Ta chọn k sao cho 4 - 2k > 0,4 + k > 0 và ^(k + 4)(4-2k) = ~~~ , 2 VĨ 3 Õ -5 «Ị k " 3 « 9 [4(k + 4)(4-2k) = 9-6k + k 2 ___ 2 VŨÕ + 5 L 9 Khi đó m.k + 6 > ỊVk + 4x - V4-2kyỊ" > 0 => m.k > -6 . XT-, 1 , _ 2 VĨ 3 Õ -5 54 Nêu k =-—-=>m>- J =— -. 9 2V130-5 XT V. 2 VĨ 3 Õ + 5 54 Nêu k =-—-=^> m <— Ỵ -— -. 9 2V130+5 54 _ 54 1V Vậy- = -< m < m < —-là những giá trị cân tìm. 2 VI30 -5 2V130+5 845 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chỏ Sề 4. KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SÔ - XỬ LÝ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SÔ A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Nội dung chủ đê này tôi xin trình bày với các bạn bài toán Biện luận hệ phương trình dựa vào tính đơn điệu của hàm sô. Các bài toán chứa tham sô giải bằng phương pháp tính đơn điệu của hàm số thường xuất phát từ Bài toán tìm điều kiện của tham sô để phương trình, bất phương trình có nghiệm. Phương pháp chung để giải các bài toán dạng này đó là khử tham sô' đưa biến về một vế (vế trái) và đưa tham số về một vế (vể phải) của phương trình. Xét miền giá trị của hàm sô' chứa biến từ đó suy ra các giá trị của tham số cần tìm. Với các bài toán biện luận chúng ta cần lưu ý kiến thức về dấu của tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c, (a ^ 0); A = b 2 - 4ac Phương trình có hai nghiệm thì theo vi-ét ta có S = Xj +Xt =- — â p = XjX 0 = — ẵ - Dấu của f(x): í a >° + f(x)>0, Vxel<=>< |A = b 2 -4ac<0 ía < 0 + f(x)<0, Vxel<=>< [a = b 2 -4ac < 0 ía > 0 + f(x)>0, VxeR<=>< [a = b 2 -4ac < 0 í a <° + f(x)<0, Vxel<=>< [a = b 2 -4ac < 0 - Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi p < 0. - Phương trinh f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi: (Vx -Vx + 1) 3 - Phương trình f(x) — 0 có hai nghiệm phân biệt không âm khi và chỉ khi: 846 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com A = b 2 - 4ac > 0 s = > 0 a P = ->0 a - Phương trình/(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi: A = b 2 - 4ac > 0 S=--<0 a P = ->0 a - So sánh nghiệm của phương trình với một số a ^ 0 ta vận dụng tính chất dấu của tam thức bậc hai (Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai - ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a và trong khoảng hai nghiệm thì trái dấu với á). I A - b 4ac > 0 - X, < a < X, <=> < [af(a) < 0 A = b 2 -4ac>0 s b - X, ( — = -— 0 A = b 2 -4ac>0 s b - x 0 >x, >a<=>( — = -— >a 21 2 2a af(a) > 0 Tuy nhiên từ năm học 2009 bộ giáo dục và đào tạo chủ trương cắt bỏ phần này nên khi thi đại học nên không sử dụng được cách này. Mà có thể xử lý bằng ba cách khác như sau Cách 2. Khử tham sốm tự do và sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Cách này có một hạn chế là khi tăng bậc của tham số lên chẳng hạn xuất hiện m,m 2 ,m 3 ,... thì cách này không hiệu quả. Cách 3. Dùng nguyên lý cực hạn, tức ta lấy nghiệm nhỏ nhất hoặc nghiệm lớn nhất cấấ f||s||| s lll|iy|ll số a i '!! J|F ị 847 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Khơng mất tính tổng quát giả sử a > 0 và f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt -b-\[à -b + Và . . _____ V ,v. , . , , V , tùy thuộc yêu câu bài toán ta có bôn hướng 2 a < x 2 =- 2 a xủ lý như sau: - Nếu Xj < a < x 9 <=> <1 - Nếu X 1 > X 1 > a <=> - Nếu X 1 < x 9 < a <=> A = b 2 -4ac > 0 -b-Và -b + VÃ' 0 2 a -b-Và 2 a > a A = b -4ac>0 x 2=- -b + Và 2 a • A = b -4ac>0 A - b“ - 4ac > 0 ^ <^> í 9 (x 1 -a)(x 2 -a)<0 lxjX 2 -a(Xj +x 2 ) + a <0 Xj < x 9 < a <^> i A = b“ -4ac > 0 X 1 - a<0 <=> ị x 2 -a<0 A = b 2 - 4ac > 0 Xj + x 9 - a < 0 (Xj - a)(x 2 - a) > 0 x 2 > Xj > a <=> < A = b 2 -4ac>0 Xj -a>0 x 9 - a > 0 A = b 2 - 4ac > 0 Xj + x 9 - a > 0 (Xj -a)(x 2 -a)>0 Nhản xét. Nội dung của cách dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai với cách 4 có nội dung giống nhau chỉ khác nhau về hình thức áp dụng. Chỉ duy nhất cách hai dùng tính đơn điệu hàm sô đôi khi giải quyết bài toán nhanh gọn nhưng một số trường hợp không khử được tham sô dạng tự do thì ta không làm được theo cách này. Còn ba cách còn lại phù hợp với kiến thức lớp 10 hoàn toàn dùng những kiến thức cơ bản. Cả bôn cách đều dùng được trong trường hợp khử được tham sô'm về trạng thái tự do (thông thường là bậc 1 đối với m). Để hiểu rõ hơn các em xem lời giải chi tiết các bài tập mẫu bên dưới. 848 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài toán tìm điều kiện của tham số thường quy về sử dụng tính đơn điệu của hàm số, thường là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền điều kiện đề bài cho ưước (hoặc xuất phát từ điều kiện của phương trình). Một phương trình có dạng G(x, m) - 0 ta phải biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m), trong đó g(m) là một hàm đối với tham sô" và miền xác định ở đây là D = [a; b] hoặc (a; b ) hoặc (a; + 00 ) hoặc (-co; à),... Sau khi biến đổi ta được một số dạng phương trình, bất phương trình sau: - g(m) = f(t), t e D => minf(t) < g(m) < maxf(t) teD teD - g(m) > f(t), t e D có nghiệm ÍẼỬ => g(m) > minf(t) teD - g(m) < f(t), t G D có nghiệm t £ D => g{m) < maxf(t) teD - g(m) > f (t), t G D có nghiệm với mọi t thuộc D khi và chỉ khi g(m) > max f (t) . teD - g(m) < f(t), teD có nghiệm với mọi t thuộc D khi và chỉ khi g(m) < min f (t). teD Thông thường chúng ta biến đổi tương đương và xét hàm trực tiếp. Một số khác phương trình có dạng thức đặt ẩn phụ như đã đề cập đến trong phần giải phương trình, bất phương trình vô tỷ thì chúng ta đặt ẩn phụ sau đó xét hàm với biến mới (nhưng phải tìm miền giá trị của biến mới trước). Nhắc lại một số dâu hiệu đặt ẩn phụ Í Vax + b±Vcx + d ___ , thì đặt: ^/(ax + b)(cx + d) t = Vax + b ± Vcx + d . - Nếu xuất hiện Va + bx;Vc-bx=> (V a + bx) 2 + (Vc- bx) 2 = o + c, thì đặt: j \l a + bx = Va + c. sin a [Vc - bx = Va + c.cosa - a . ^ 2 oc 2 tan— 1-tan — 9 9 Và sử dụng hệ thức sin-——; cosa =-— 1 + tan — 1 + tan — 2 2 Tiếp tục đặt t = tan— đưa về xét hàm với biến mới t. 2 - Nhân hai vế với hệ thức liên hợp nếu có. 849 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dang 1. Tìm các giá trị của tham số để phương trình G(x, m ) = 0 có nghiệm trên miền D. Bước 1. Viết lại phương trình dưới dạng /(x) = g(m). Bước 2. Khảo sát tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của /(x) trên D (hoặc lập bảng biến thiên), giả sử a = minf(x) < f(x) < A = maxf(x). xeD xeD Bước 3. Giá trị cần tìm của tham số thỏa mãn a < g{m ) < A. LƯU ý: Bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham sô" để phương trình có k nghiệm lúc này ta phải dựa vào bảng biến thiên của hàm số) Đường thẳng y - g(m) cắt ngang bảng biến thiên tại bao nhiêu điểm thì phương trình có bấy nhiêu nghiệm (hoặc cắt ngang đồ thị hàm số). Bước 4. Đưa ra kết luận. Dang 2 . Tìm các giá trị của tham sô" để bất phương trình G(x, m) > 0 hoặc G(x, m) < 0 có nghiệm trên miền I). Bước 1. Viết lại bất phương trình dưới dạng/(x) > g(m) hoặc/(x) < g(in). Bước 2. Khảo sát tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số/(x) trên miền D. Giả sử a = minf(x) < f(x) < Ẩ = maxf(x). xeD xeD Bước 3. Tìm điều kiện của tham số + Phương trình f(x) > g(m) g(m) < A = maxf(x) xeD + Phương trình f(x) < g(m) <=> g(m) > a = minf(x) xgD Bước 4. Đưa ra kết luận. Dang 3. Tìm các giá trị của tham số để bất phương ữình/(x) > g(m) hoặc fipc) < g(m) với mọi X e D. + Phương trình f(x) > g(m), VxẽDo g(m) < a = minf(x) xeD + Phương trình f(x) < g(m), VxeDo g(m) > A = maxf(x) xeD LƯU ý. Với dạng đặt t = V ax + b + Vc - ax thì ta có t 2 = b + c + 2^/(ax - b)(c - ax) > b + c < t> Vb + c ; Và sử dụng Bunhiacopski ta được t < ỉ 2 + l 2 )(ax - b + c Vậy ta có miền giá ưị của t là Vb + c; -y/2(b + c) ax) = ^2(b + c) . N l % 1 ô 850 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 2 < b + c + [ax + b + c - axj = 2(b + c) => t < ^2(b + c) Chẳng hạn với t = VlO-3x + V3x -1 thì te 3; 3 V 2 Với các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất thông thường chúng ta lập luận. Giả sử Xo là nghiệm của phương trình thì -Xo là nghiệm của phương trình và do đó để phương ữình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi Xo = -Xo <=> Xo = 0 và thay vào phương ữình ta tìm được giá trị của tham số m. Tuy nhiên cần có bước thử lại xem phương ữình có nghiệm duy nhất hay không. B. BÀI TẬP MẪU_ iá trị của tham sô" m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 4x 3 -6x 2 + (8y 2 + 14y + lsỊx = 12y 3 + 8y 2 + 15y x/x 2 + 1 -yỊỹ = m Lời giải Điều kiện: y > 0. Phương trình đầu của hệ tương đương với: ( x2 ỵ ( G ( ÌỸ 5^ (x-y) (x-l) +(x-l) y + ^ +3 y + ^ =0ox = y. ^ ^ l) y T) Thay y = X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: m = 1 x 2 + l-V^ (1). Xét hàm sô" f(x) = Vx 2 +1 - Vx trên Ị^O; + 00 ), ta có: X 1 x ^-fí(x 2 +l) f'(x) =— . - -ị= = - . ’ v - <0,Vx>0nên f(x) là hàm 2^(x 2 + l) 3 2Vx 2^|Ịx 2 + lj 3 Vx nghịch biến trên 1^0;+ 00 ). Ta có: f(0) = 1 , lim f(x) = lim [ \/x 2 +1 -Vx 1 = lim [ v/x 2 +1 - : \/x 2 X—»+00 X—»+00^ ) X—»+00 y Suỵ ra 0 < f(x) < 1, Vx > 0 . 851 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy để hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm ta phải có 0 < m < 1. Vậy giá trị cần tìm của tham số là 0 < m < 1. Bài 2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực (3-x)V2-x-2yV2y-l = 0 (1) 3 yịỹ^ỉ - nWlO - 2x = 2^/y 2 - ĩ (2) Lời giải Điều kiện: X < 2;y > 1. Khi đó phương trình (1) tương đương với: (1 + 2 -x)V2-x = (1 + 2y-l)^2 y -1 <=> f(V2 -x) = f(\j2y -1 ), trong đó: f(t) = (l + t)Vt,(t>0). Ta có f'(t) = Vt +— 7 = > 0,Vt > 0=> hàm số f(t) đồng biến ữên 1^0; +co). 2vt => f(V2-x) = f(^2y-l) «• V2-X = yj2y-l => X = 3 - 2y < 1 < 2,(y > 1). Thay X = 3 - 2y vào (2) ta được : 3yjy-l - 2m^Jỹ~+ĩ = 2ịjy 2 -1(1). Do vậy ta chỉ cần tìm m để phương trình (1) có nghiệm y > 1. Chia cả hai vế của (1) cho ^jy + 1 ta được: 3. ——--2m = 24|-—- (i). y +1 íy + 1 Đặt t = 4 |-— j- => 0 < t < 1. Khi đó phương trình (i) trở thành: m = ^-t 2 -1. Xét hàm sô" f(t) = t-3t 2 liên tục ttên đoạn [0;l). Ta có f , (t) = 3t-l=>f'(t) = 0ot = j. Lại có: f(0) = 0; f (1) = ụ ; f(1) = ^ => ■ụ < f(t) < ^ . 3 6 2 6 2 Vậy để phương trình có nghiệm thì —-< m < ^ chính là giá trị của m để hệ 6 2 phương trình có nghiệm. 852 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là -2-;^. . 6 2 J Bài 3. (TSĐH Khối D 2011) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 2x 3 - (y + 2)x 2 + xy = m x+x-y=l-2m Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: I tí)(2x y) m 1 X 2 - X + 2x - y = 1 - 2m Ta đặt 2 . -1 u = X - X > — [v = 2x - y Khi đó hệ trở thành: LI + V = 1 - 2m u 2 + (2m - l)u + m = 0 (1) V = 1 - 2m - u Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi (ĩ) có nghiệm thỏa mãn u > — 4 2 Với u > — , Từ (1)=> m(2u +1) = -u 2 + u o m = ~ u — u 4 2u +1 Xét hàm sô" f(u) = —u + u 2u +1 liên tục trên đoạn —+00 . Tn /. N_ 2u“ + 2u-1 -1 + V 3 (2u +1) 2 2 T . . _ -5 f - I + V3 2-V3 f („\- ^ Lại có: f(- 1 ) = -^;f(— 4 ^) = —lim f(u) = -co. 4 8 2 2 u—>+co Lập bảng biến thiên của hàm sô" f(u)ta suy ra để hệ có nghiệm khi ... 2-V3 853 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 4. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: íx 3 +6x = 3x 2 +y 3 +3y + 4 . _x r-— __ ■_ _, x,yeR . [mVx 2 +9 = Vx-^/ỹ + ^/y-3-\/x-3 Lời giải Ta có (l)«(x-l) 3 +3(x-l) = y 3 +3y (3). Xét hàm số f(t) = t 3 + 3t, ta có f’(t) = 3t 2 + 3 > 0, Vt 6 R vì vậy f(t) là hàm đồng biến trên R . Do đó (3) <=> f (x - 1J = f(y) <=>x-l = y<=>x = y + l. Thay y = X-1 vào (2) ta được: mVx 2 +9 = Vx + x/x-4 - x/x-1 - Vx-3 . Vx + x/x-4 - Vx-1 - Vx-3 <=> m =- - (3). Vx 2 +9 Xét hàm số f(x) = ^ + = ụ(x) r 4 j x/T23 v 4 v(x) = Vx 2 +9 >0 Ta có: u'(x) = _1_1_ 2x/x-3x/x-4|x/x-3+Vx-4j 2x/x x/x - lỊx/x + x/x -1 j > 0,Vx > 4 v'(x) = . > 0, Vx > 4. Vx 2 +9 Suy ra f'(x) = — v W u ( x ) > (yVx > 4 n ệ n f(x)là hàm đồng biến ’ v 2 (x) trên 1^4; +co). , /T Ta có f(4) = ; lim f(x) = 0 . 5 x-»+co 854 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thấy với mỗi nghiệm X , ta được một nghiệm tương ứng y . Do vậy để 1 - V 3 hệ có nghiệm duy nhất <=> (3) có nghiệm duy nhất <=> —--— < m < 0 . Vậy 1- Vã 5 < m < 0 là giá trị cần tìm. Bài 5. Xác định tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: + Lời giải íxy = 0 Nêu m = 0 =>(*)=> < ~ , 1 —«• Ị47 = 2yV íx = 0 Ịy G R + Nếu m 0; Đặt t = x/x, khi đó t = 0 không là nghiệm của hpt; và hệ phương trình trở thành: Ị m(t 6 +1 4 +1 2 +1) = yt 3 jm(t 6 +t 4 +t 2 +l) = yt 3 (1) Ịm(t 8 +1 6 +1 2 +1) + (m - l)t 4 = 2yt 4 Ịm(t 8 + t 6 + t 4 + t 2 +l) = (2y + l)t 4 (2) + Do t = 0 không là nghiệm của hpt, nên chia 2 vế của (1) cho t 3 và của (2) cho t 4 , ta được: * , 1 , 1 , m(r +^- + t + y) = y t 1 < m(t 4 +^ + t 2 +l + l) = 2y + l l t 4 t 2 + t 3 + l = (t + ì) 3 -3(t + ị);t 4 +-^^(t 2 +-^) 2 -2;t 2 +-^ = (t + V-2. t 3 t t t 4 t 2 t 2 t Đặt u = t + —(|u| > 2), Khi đó HPT trở thành: Jm(u 3 -3u + u) = y jm(u 3 -2u) = y Ịm[(u 2 -2) 2 -2 + u 2 -2 + l] = 2y + l Ịm(u 4 -3u 2 +1) = 2y +1 jm(u 3 -2u) = y Ịm(u 4 - 3u 2 +1) = 2m(u 3 - 2u) +1 (3) 855 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com + Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm u > 2. Ta có: (3)<=>m(u 4 -3u 2 +l-2u 3 + 4u) = l<=> — = f(u) = u 4 -2u 3 -3u 2 +4u + l m Ta có: f’(u) = 4u 3 -6u 2 -6u + 4;f’(u) = 0 « u = 2,(|u| > 2). Lập bảng biến thiên của f(u) ta suy ra (3) có nghiệm thỏa mãn(|u| > 2) khi và m >0 chỉ khi: — >-3 <=> -I . m m< — L 3 Vậy giá trị cần tìm của m là: m > 0 m < -- 1 Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau: Í 7 2x+x/Ĩ 4Ĩ _ 7 2+y^4ĩ 2012x < 2012 (!) . ... có nghiêm [x 2 — (m + 2)x + 2m + 3 > 0 (2) Lời giải Điều kiện: X > -1. Khi đó ta có: (1) 7 2x+ ^ - 7 2+ ' j/x + Ĩ + 2012x < 2012. «• 7 2x+ ^ + 1006(2x + Vx+T) = 7 2+ ^ + 1006(2 + Vx+T). «• f(2x + Vx+T) 0, suy ra f(t)đồng biến trên R, và từ (*) =>2x + Vx + 1 <2 + Vx +1 <=> -1 X 2 - (m + 2)x + 2m + 3 > 0 có nghiệm X e [ -1; 1] X 2 — 2x + 3 <=> m > g(x) =- ^7 -;xe[-l;l].om> min g(x). X-2 XE[-1;1] Ta có: g'(x) = x2 ~ 4 . X ! 1 ^g'(x) = 0ox = 2-^6[-l;l]. (X 2r Ta có: g(-l) = -2;g(2 - s ) = 2 - 2^3;g(l) = -2 => min g(x) = g(± 1) = -2 . XE[-1;1] Vậy m > -2 là giá trị cần tìm. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 7. Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực (x + ậ)Vx 2 + 2x + 3 + (x + ị)Vx 2 +1 + 2x + 2 > 0 (1) 2 2 log 2 (3\Ịx^ + l) 0 —s [u 2 = X 2 +1 2 2 o V -u -2 —> X = V = yj x 2 +2x + 3>0 [v 2 = X 2 + 2x + 3 2 Thay vào (1), ta được: (v 2 -u 2 +l)^ + (v 2 -u 2 -l)^- + v 2 -u 2 >0 2 ■ 2 <=> (v - u)(u + V + 1) 2 >0<=>V-U>0<=>X>-1. Điều kiện: m 2 +l>l<=>m?í0. Khi đó phương trình (2) tương đương với: ị Ị— <=> m > f(x) = 3>/x 2 " + 2x + 1;x >-l(m ^ 0). [o < 3yx 2 +1 < m - 2x Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm X>-1, điều này tương đương với m > minf(x). xe[-l;+oo] Ta CÓ: f'(x) = 2 + ịz>f'(x) = 0«x = -l. vx Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) ta suy ra minf(x) = f(0) = 1 => m > 1 . xe[-l;+oo] Vậy giá ttị cần tìm của m là: (l;+oo). Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: Jx 2 -3x-4<0 (1) ỊX 3 - 3 X X - m 2 -15m > 0 (2) Lời giải Ta có (1) <=> (x + l)(x -4)<0<=>-l m 2 + 15m < f(x) = X 3 — 3|x| X . Vậy hệ phương trình có nghệm khi và chỉ khi, bất phương trình (2) có nghiệm thuộc [-l;4],khivà chỉ khi m 2 +15m5*55 ss ÍS 5555551. Sỉ ^SSgHHfe í; . 5555; sgggsgggggị S5SSSSSĨ 857 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số f(x) = X 3 - 3 X X = [x 3 +3 x 2 (-1f’(x) = 0«x = 0;x = ±2. [3x 2 -6x(0 -16 < m < 1. Vậy me[-16,ljlà giá ưị cần tìm. Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau: [x 3 - y 3 + 3y 2 - 3x - 2 = 0 [x 2 +Vl-x 2 -3^2y-y 2 +m = 0 (1) < có nghiêm thưc. (2) Lời giải . f-l < X < 1 Điêu kiện < [0 t e [0;2j , khi đó phương trình (1) trở thành: t 3 -3t 2 = y 3 -3y 2 (*). Xét hàm số f(u) = u 3 -3u 2 trên đoạn |^0;2j , ta có: f ’(u) = 3u 2 - 6u < 0, Vu G [0;2j , suy ra f(u) nghịch biến trên đoạn [0;2j . Do đó phương trình (*) tương đương với f(t) = f(y)<=>t = y<=>y = x + l. Khi đó X 2 + V 1-x 2 - 3yj2y-y 2 + m = 0 <=> X 2 - 2^ỊĨ-X 2 + m = 0 (i). Đặt V = V 1-x 2 => V e [o;l] => (i) <=> V 2 + 2v -1 = m . Xét hàm số g(v) = V 2 + 2v -1 liên tục trên đoạn [0;l], ta có g'(v) = 2v + 2>0,Vve[0;l] Suy ra min g(v) = g(0) = -1; max g(v) = g(l) = 2. ve[0;l] ve[0;l] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 < m < 2. 858 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com , 2Jxy -y + X + y = 5 Bài 10. Tìm m đê hệ phương trình sau < 2__ _ có nghiệm thực. y5-x + Ạ-y ■■ m Lời giải Điều kiện: y(x-l)>0 X < 5 y /y(x-l)+(x-l) = 4 (1) Nếu X < l;y < 0 thì ta có (1) tương đương với: -(Vl-X + yf-ỹ\ = 4 vô nghiệm, nên hệ vô nghiệm Vậy l Vx-1 +yfy - 4, đặt t = ^/ỹ e [ơ;l]=> X = t 2 -4t + 5 . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được m = V4t-t 2 +v 1 -t 2 (*). Xét hàm số f(t) = V4t -1 2 + Vl -1 2 liên tục trên đoạn [0;l] Ta có f’(t) = 2-t —=L=;f'(t) = 0«(2- t)Vl-t 2 = t^4t-t 2 . V4t-t 2 vl-t 2 <=> 3t 2 + 4t-4 = 0ot = |e[0;l]. Ta có f(0) = l;f(l) = V3;f V Vậy để hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm, tương đương với m thuộc tập giá trị của hàm số f(t) trên đoạn [0;l] từ đó suy ra 2^_ V5 3 ) 3 ■ m G là giá trị cần tìm. 859 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 11. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm: x 2 y - 3x -1 > mxyỊỹịyll- X - 1 j ^8x 2 -3xy+ 4y 2 + yfxỹ = 4y Lời giải Nhận xét. Nhận thấy là phương trình thứ nhất của chứa tham số và khá phức tạp, do vậy việc tìm ra môi liên hệ giữa X và y là không khả quan. Ta biến đổi từ phương trinh hai, để ý đây chính là phương trình đẳng cấp do vậy sẽ rút được X theo y. Điều kiện: y > 0,x < 1. Nhận thấy y = 0không là nghiệm của hệ phương trình, ta xét y>0 khi đó phương trình thứ 2 của hệ tương đương với: ^8x 2 -3xy + 4y 2 + ^Ịxỹ = 4y <=> X V t = — ta đưa về phương trình: Vy 0 < t < 4 -3 —+ 4+ — = 4, đến đây ta đặt y \y V8t 4 - 3t 2 + 4 = 4-t <=> <=>t = l<=>x = y [8t - 3t + 4 = 16 - 8t +1 Khi đó thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được bất phương trình: X - 3x -1 > mx VxỊVl-x-lj <=>x 3 -3x-l>mỊ^x(l-x) -VxỊ . Nhận thấy X = 0 không là nghiệm của bất phương trình nên, xét 0 < X < 1. l + 3x-x 3 . l + 3x-x 3 Khi đó m > íVx = f(x) (1). Ị^Vx -Vx-X 2 j Ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) trên (0,lj bằng 3. Tại x = lthì dấu bằng ở (ĩ) xảy ra và bằng 3. Từ đó suy ra để hệ có nghiệm thì m > 3 . Bài 12. Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Ịe x - e y = ln(l + x) - ln(-3x + y) |y-x = a 860 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: X >-l,-3x +y > 0 . Thay y = X + a từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu của hệ ta được: e x -e x+a =ln(x + l)-ln(-2x + a)^e x (l-e a Ị-h/ * + 1 =0(1). Ta chứng minh phương trình (1) có nghiệm duy nhất với mọi a > Okhi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi a > 0. / \ ( x + ] \ Xét hàm sô" f(x) = e x 11 — e a Ị-ln -2- - trên -1;4 . ' / ^-2x + aJ ^ 2) Ta có: f'(x) = e x (l-e a )- 7 -— a + 2 -r<0,Vxe -1;-^ ,a>0. V > (2x + a)(x + l) ^ 2) r a > Mặt khác lim f(x) = +co; lim f(x) = -co =^> 3x () G -1;-^ sao cho f(x 0 ) = 0 . x->-l + a - V 2 7 2 Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất trên -Tt- • Ta có điều phải V 2 chứng minh. Bài 13. Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt X 3 - y 3 + 6y 2 + 2 = 3x + 9y X 2 +lnỊl-x 2 Ị-31nỊ4y-y 2 -3Ì + m = o‘ Lời giải Điều kiện: |x| < l,4y - y 2 - 3 > 0 <=> -1 < X < 1,1 < y < 3 => x,y -2 e (-l;l) ■ Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: x 3 -3x = (y-2) 3 -3(y-2) (1). Xét hàm số f(t) = t 3 -3t trên (-l;l),ta có: f ’(t) = 3t 2 -3 < 0,Vt e ( - l;l) nên f(t)là hàm nghịch biến trên (-l;l)- Do đó (1)<=> f(x) = f(y-2)<^>x = y- 2<=>y = x + 2. Thay y = X + 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: m = 21n|l -X 2 j-X 2 (2). 861 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảngXéthàmsố g(x) = 21níl-X 2 j-X trên Ị-l;l),tacó: 4x í 2 } g’(x) = -—±--2x = -2x ———+ 1 ;g'( x ) = 0 <=> X = 0 . l-x 2 u-x 2 ) Lập bảng biến thiên suy ra để (2) có hai nghiệm phân biệt <=> m < 0. Vậy giá trị cần tìm của tham số m là (-oo;0). c. BÀI TẬP RÈN LUYỆN _ Bài 1. Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x 2 y-x 2 + y = 2 míx 2 + y j - x 2 y = 4 Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: X 2 + 2 í X 2 +2 y--T77 y=—r^ X +1 x 2 +l mỊx 2 +yj-x 2 y = 4 (m-l)x 4 +2(m-3)x 2 +2m-4 = 0 (1) Đặt t = x 2 khi đó (1) trở thành: (m - ljt 2 + 2(m - 3)t + 2m -4 = 0 (2). Để hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt <=> (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0. m-l*0 A' = (m -3^ -(2m -4^m - 2j > 0 ° 2m-4 = 0 «m = 2. 2(m-3) s = — v ’ >0 l m -1 Vậy giá trị cần tìm của tham sô" là m = 2. Bài 2. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm thực thỏa 2 3 2 — 5 X + y + X y + xy + xy = —— + m mãn X 2 + y > 0 : • 4 X 4 + y 2 + xy(l + 2x) = — + m 4 862 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải X 2 + y + xyíx 2 + y + lj = m-^- Hệ phương trình đã cho tương đương với: < ' 4 ( 2 \ 2 _ 5 ^x +yj + xy = m- — u = X + y V = xy ,(u > o) hệ phương trình trở thành u + v(u + lV 5 ■ m - — 4 .2 , __ 5 u + V = m- — __ 5 2 V = m- — -u „_ 5 2 V = m - —- u V = nr —- — u V = m —- — u 4 1 4 u + lu + ll m- —-u =m~— LI m-u -U-— =0 V 4 ) 4 l V 4 J __ 5 2 V = m - —-u 4 2 1 m = u' + u + — (do u > 0 ). 2 1 1 1 Ta có u + u + _ > -4, Vu > 0 => m > 4-. Với m > 4- hệ phương trình luôn có nghiệm thỏa mãn điều kiện X 2 + y > 0 . Thật vậy <1 x + ^^>v = xíu-x 2 Ị<^>x 3 -ux + v = 0. [v = xy ' ' Phương trình bậc ba luôn có nghiệm nên hệ luôn có nghiệm. 2 ^ 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn X + y > 0 khi m > 4-. 4 Í2x-y-m = 0 Bài 3. Tìm m đê hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: \ I — Lời giải Điều kiện: xy > 0 . Phương trình thít hai của hệ tương đương với: r — fx < 1 X + Jxy = 1 \fĩỹ = 1 — X <=> 1 xy = x -2x + l 863 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Nhận thây X = 0 không thỏa mãn hệ phương trình. Xét X -£■ 0 suy ra y = X -2x + l X . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: - x 2 -2x + 1 x 2 +2x-1 2x - —---= m <=> m =--—-- (1). X X Hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=>(l)có duy nhất một nghiệm thỏa mãn 0 * X < 1. Xét hàm số f(x) = X 2 +2x-l trên (-co;0)u(0;l . Ta có: f '(x) = 1 + -ỉ- > 0,Vx e (-oo; 0 )u( 0 ;l] nên f(x)đồng biến trên mỗi X 2 ' khoảng xác định. Lập bảng biến thiên suy ra để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (-oo;0)u(0;l] <=> m >2 . Vậy giá trị cần tìm của tham số m là (2;+oo). Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có hai nghiệm thực thực phân biệt: Ị (4x 2 + l)x + (y - 3)yf :5 - 2y = 0 1^/5 -2y + y /5 -2y + 2^6 -X + 2 Vó - X = m Lời giải Điêu kiện: X < 6,y < ^. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 8x 3 + 2x = Ụ5-2y j + ^5-2y <=> ^5-2y = 2x. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: V 2 V + ^Ỉ2x + 2 Vó - X + 2Vô -X = m (1). Vậy hệ phương trình có hai nghiệm thực phân biệt <=> (1) có hai nghiệm thực phân biệt. Ý tưởng. Rõ ràng bài toán này chúng ta không thể đặt bất kỳ ẩn phu nào mà chỉ có thể xét trực tiếp hàm số bên vế trái và mong rằng phương trình đạo hàm giải được nghiệm. Điều kiện 0 < X < 6. 864 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm sô" f(x) = ịf2x + V 2 V + 2ịfẽ - X + 2^6 - X trên [0; 6]. Ta có f\x) = J—- + —!=- , 1 - — 2Ậ2xỷ V 2x 2^/(6 - xỷ V6-X 1 11 1 j 1 1 V( 2xf $Ỉ2x ịj6-x ịfl 6 - x) 2 , $Í2x V6 - X \ [1 lì / yịj2x ị]6-X; Suy ra f(x) = 0 <=> '\/g - X = \Ỉ2x <=>x = 2 vầf'(x) dương trên (0; 2) và âm trên (2; 6). Bảng biến thiên X 0 2 6 f'(x) + 0 - f(x) 2 Vẽ + 2-Vẽ - _ *3^Í2+6 — * 2 V 3 + V 12 Nhìn vào bảng biến thiên suy ra để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 Vô + 2^6 < m < 3 V 2 + 6. Vậy giá trị cân tìm của tham sô" là 2 \ị6 + 2^6 ^2y-y 2 +m = 0 -X 2 -Vl-X 2 + 3 -\ Lời giải f—1 < X < 1 [o t £ [0;2j , khi đó phương trình (1) trở thành: Điều kiện t 3 -3t 2 =y 3 -3y 2 (*). Xét hàm sô" f(u) = u 3 -3u 2 trên đoạn |^0;2j,ta có: f ’(u) = 3u 2 - 6 u < 0, Vu £ [ơ;2j , suy ra f(u) nghịch biến trên đoạn £ 0 ^ 2 ]. 865 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do đó phương trình (*) tương đương với f(t) = f(y) <=> t = y <=> y = X + 1. Khi đó -X 2 -\J 1-x 2 + 3\Ị2y-ỹ^ + m = 0 <=> -X 2 + 2 V 1 -X 2 + m = 0 (i). Đặt V = V 1-x 2 =^> V G [O; 1 ] => (i) <=> -V 2 -2v +1 = m. Xét hàm sô" g(v) = -v 2 -2v + lliên tục trên đoạn ta có g'(v) = -2v-2<0,Vve[0;l] Suy ra min g(v) = g(l) = -2; max g(v) = g(0) = 1. ve[0;l] ve[ũ;l] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -2 < m < 1. Bài 6. Tìm các giá trị của tham số m để hệ sau có nghiệm -X 3 -3y -3 > m( Vx - Ạ-yý Lời giải Điều kiện: x > 0,y > -l,2x + y > 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: X + V 1 + x 2 = (—y) + \ỊĨ+ (-y) 2 <=> X = -y . Thay y = -X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: -x s + 3x-3> m(y[x - \lx + ĩ) 3 (1). Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm. Ý tưởng. Ta phải khử tham sô" về tự do làm được điều này chỉ việc nhân vào hai vế của bất phương trình với biểu thức liên hợp của (\fx - \jx +1 ) 3 là (\[x +jx + lf và để ý (4x -\Ịx + lf(s[x + 4x + 1) 3 = -1 và khi đó bất phương trình đổi dấu. Điều kiện: x> 1. Khi đó nhân cả 2 vế của bất phương trình với (sịx + \Jx - 1 ) 3 > 0, hất phương trình ttở thành: ìn > (x 3 - 3x + 3 X Vx + yịx-1 ) 3 . Xét hàm sô" f(x) = (x 3 -3x + 3)(\[x + \lx- l) 3 trên [1; + 00 ). Suy ra để bâ"t phương trình có nghiệm là m > min f(x). ^ xe[l;+co) 866 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Viết lại f(x) = u(x).v(x ), trong đó u{x) = X 3 - 3x + 3 > 1 u(x) = (\[x + sjx- 1 ) 3 > 0 ,Vx > 1. Ta có u\x) = 3x 2 - 3 > 0; v'(x) = — —Ị= + , (Vx + Vx -1) 2 > 0 2 ^ Vx yx- 1, Suy ra /"'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x) > 0 . Hàm sốf(x) đồng biến trên khoảng [1; +go). Do đó min f(x) = f( 1) = 1,Vx > 1. Đổ bất phương trình có nghiệm khi xe[ l;+co) và chỉ khi m > 1. Vậy giá trị cần tìm của m là (1; +oo). Bài 7. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: (x-y)íx 2 +xy + y 2 +4Ì = -3Íx 2 -2y 2 Ị + 9y + 8 ^ll + 2(2x-y)-y 2 = 2m + ^5 + 2y-x 2 Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: X 3 -y 3 + 4(x -y) = -3x 2 + 6y 2 + 9y + 8. <=>(x + l) 3 +x + l = (y + 2) 3 +y + 2<=>x + l = y + 2<=>y = x-l. Thay y = X -1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 11 + 2 ^2x-(x-l))-(x-lj“ = 2m + ^5 + 2(x-l)-x 2 . <=> V-X z + 4x +12 = 2m + v-x" + 2x + 3 . <=> 2m = V-x“ + 4x + 12 - v-x 2 + 2x + 3 (1). Điều kiện: -1 < X < 3 . Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm trên [-1;3] . Xét hàm số f(x) = x/-x 2 + 4x + 12 - x/-x 2 + 2x + 3 liên tục trên [-l;3],tacó: f’(x) = - -X + 2 —X +1 sf’(x) = 0. /-x z +4x + 12 V-x“+2x + 3 <=> (-x + 2)x/-x 2 +2x + 3 = (-X +1 )x/-x 2 + 4x +12 . (-x + l)(-x + 2)>0 (-X + 2) 2 Ị-X 2 + 2x + 3j = (-x + l) 2 Ị-x 2 +4x + 12 <=>x = 0. 867 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có: f(-l) = V7,f(0) = ylĩ,f(3) = yỊĨE . => min f(x) = f(0) = x/3; max f(x) = f(3) = Vl5 . xe[- 1;3] xe[-l;3] Vậy phương trình có (1) có nghiệm<=> V 3 < 2m < V 15 " <=> -Ệ -< m < ~~ ■ Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -Ệ- < m < ~~ ■ X 3 + (y + 2)x 2 + 2xy = -2m-3 Bài 8. Tìm m để hệ sau có nghiệm thực [x 2 + 3x + y = m Lời giải Hệ phương trình đã cho tương đương với: Ịx 2 +2xj(x + y) = = -2m - 3 [x +2x + x + y = m Đặt LI = X 2 + 2x = (x + 1 j -1 >-l,v = X + y hệ phương trình trở thành: í uv = -2m - 3 V = m -u í \ <=> < [ u + V = m u^m - uj = -2m -3 V = m - u m = - ư 2 -3 u + 2 ( 1 ) Hệ phương trình có nghiệm <=> (1) có nghiệm u e [l;+G 0 j. u 2 -3 Xét hàm sô" f(u) = ——— trên r 1;+00 ), ta có: u + 2 L ' f'(u) = — + ^ UH ~^ _(-K——^>0,Vu>-lnên f(u) là hàm đồng biến (u + 2 ) (u + 2 ) trên 1^1;+ 00 ). Suy ra f(u)>f(-l) = -2,Vu>-l. Vậy (1) có nghiệm <=>m>-2. Vậy giá ttị cần tìm của tham số là [-2;+ 00 ^. Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất và X G X - X = y 3 V 1 -X 2 -2jx 3 +2 íĩH + 1 =m 868 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Lời giải Điều kiện: -1 < X < 1 . Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra X 2 - y = x . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 3V1-X 2 - 2 ^x 3 + 2 x 2 + 1 =m ( 1 ). 4' Hệ phương trình có nghiệm duy nhất và X e nhất ữên Xét hàm sô" f(x) = 3 V 1 - X 2 - 2 \Jx a + 2x 2 + 1 trên đoạn rp, ... . -3x 3x 2 + Ax 3 3x + 4 iacó / (x) = —— , ^ =-x , + —=== ^1-x 2 \lx 3 + 2x 2 + l 1^1-X 2 yx 3 + 2x 2 + 1 0 « I yl ^ A 3 3x + 4 3x + 4 > 0 => . H— , V1 - X 2 vx 3 + 2x 2 +1 <=> (1) có nghiệm duy -f ;1 Do X e -b 1 > 0 . Vì vậy f'(x) = 0 <=> X = 0 . Bảng biến thiên 1 2 fĩx) f(x) 3V3-V22 2 -4 Dựa vào bảng biến thiên suy ra để phương trình có nghiệm duy nhất khi và m = 1 „ ^ _ , -V22 + 3V3 -4 < m < -—- chỉ khi >Nhận xét. Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 3V3-V22 ^ ^ , —-—-- ^2y 3 -3y 2 +yj^y 2 -y + 3 + m 2 ,2 \ 2(l-x) -3(l-x ) + 1-X L ỉ X [ (l-x) + 3 + m 2 Suy ra y = 1 - X thỏa mãn phương trình đầu của hệ. Thay y = 1 - X vào phương trình thứ hai của hệ ta được: X 2 -2m(l-x) = m + 3<=>x 2 + 2mx-3m-3 = 0. Phương trình này có A' = m 2 + 3m + 3 > 0, Vm nên luôn có hai nghiệm thực phân biệt. Kéo theo hệ luôn có hai nghiệm thực (đpcm). 870