Giải bài tập 6 sgk hình học 11 trang 114 năm 2024

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

1. Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\).

2. Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K\). Hãy tính độ dài \(IK\)

3. Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

2. Chứng minh tam giác \(SCA\) và \(IKA\) đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tính \(IK\).

3. Chứng minh tam giác \(BKD\) có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) và chứng minh góc đó bằng \(90^0\).

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

1. \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\).

Mà \(BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)\).

2. Xét tam giác \(ABD\) có \(AB=AD\) và góc \(A=60^0\) nên là tam giác đều.

Do đó \(AI=\dfrac {a\sqrt 3 } 2\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \)

\(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot CA\) nên tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac {6{a^2}} 4} \) \(=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}.\)

Xét \(\Delta SCA\) và \(\Delta IKA\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l} A\, \text {chung}\\ \widehat {SCA} = \widehat {IKA} = {90^0} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta SCA \backsim \Delta IKA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\) \(\Rightarrow IK=\dfrac{AI.SC}{AS}=\dfrac{a}{2}.\)

3. Dễ thấy \(\Delta ABD\) đều nên \(BD = a \) \(\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BD\) nên \(\Delta BKD\) vuông tại \(K\).

Vậy \(\widehat{BKD}=90^{0}.\)

Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SA\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\IK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot BK\\SA \bot DK\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\ \left( {SAB} \right) \supset BK \bot SA\\ \left( {SAD} \right) \supset DK \bot SA \end{array} \right.\\ \end{array}\)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(BK\) và \(DK\) là góc \(\widehat{BKD}=90^{0}.\) (đpcm)

Loigiaihay.com

• Góc giữa hai mặt phẳng
• Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a...
• Bài 9 trang 114 SGK Hình học 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC...
• Bài 8 trang 114 SGK Hình học 11 Giải bài 8 trang 114 SGK Hình học 11. Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a. Bài 7 trang 114 SGK Hình học 11

Giải bài 7 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c...