Đề bài
Cho ABC đều cạnh A, trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BC. Hãy tính diện tích phần hình tròn nằm ngoài ở miền ngoài của tam giác.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
\[{S_q} =\dfrac {{\pi {R^2}n}}{ {360}}\]
Diện tích hình viên phân:\[S = {S_q} - {S_{AOB}}\]
Lời giải chi tiết
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của nửa đường tròn đường kính BC với hai cạnh AB và AC.
BOM cân có \[\widehat B = 60^\circ \] nên là tam giác đều.
và \[OB = \dfrac{a}{2}\]
Do đó diện tích hình quạt tròn BOM là :
\[{S_q} =\dfrac {{\pi {R^2}n}}{ {360}} = \dfrac{{\pi {{\left[ {\dfrac{a }{ 2}} \right]}^2}.60}}{ {360}} = \dfrac{{\pi {a^2}} }{ {24}}\][đvdt]
\[{S_{BOM}} = \dfrac{{{{\left[ {{a \over 2}} \right]}^2}.\sqrt 3 }}{ 4} =\dfrac {{{a^2}.\sqrt 3 } }{ {16}}\][đvdt]
Vậy \[{S_1} = {S_q} - {S_{BOM}} = \dfrac{{\pi {a^2}} }{ {24}} -\dfrac {{{a^2}\sqrt 3 } }{ {16}} \]\[\,= \dfrac{{{a^2}\left[ {2\pi - 3\sqrt 3 } \right]}}{ {48}}\]
Dễ thấy S1 = S2.
Vậy diện tích phần hình tròn nằm ngoài của tam giác là : \[S =\dfrac {{2.{a^2}\left[ {2\pi - 3\sqrt 3 } \right]} }{{48}}\]\[\, = \dfrac{{{a^2}\left[ {2\pi - 3\sqrt 3 } \right]} }{ {24}}\].