Đề bài
Tam giác ABC vuông tại A [AB < AC]. Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \[BE \bot AN\,\,\left[ {E \in AN} \right]\]
a] Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.
b] Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh NK // CA.
c] Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh tam giác GBC cân.
Lời giải chi tiết
a] BA = BN => ABN cân tại B.
Mà BE là đường cao của ABN [vì \[BE \bot AN\] tại E]
Nên BE cũng là đường phân giác của ABN
Vậy BE là tia phân giác của \[\widehat {ABN}.\]
b] ABN có hai đường cao BE và AH cắt nhau tại K [gt].
=> K là trực tâm của ABN
=> NK là đường cao của ABN
\[ \Rightarrow NK \bot AB\]
Mà \[CA \bot AB\] [ABC vuông tại A]
Nên NK // CA.
c] Ta có: \[\widehat {NFC} = \widehat {FNK}\] [hai góc so le trong và NK // AC]
\[\widehat {NFC} = \widehat {AFG}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \widehat {FNK} = \widehat {AFG}\]
Mà \[\widehat {FNK}\] và \[\widehat {AFG}\] ở vị trí đồng vị. Nên AH // GN
Lại có \[AH \bot BC\] [AH là đường cao của ABC] \[ \Rightarrow GN \bot BC.\]
Xét ABC và GNB ta có \[\widehat {BAC} = \widehat {BNG}[ = 90^\circ ]\]
AB = BN [gt]
\[\widehat {ABC}\] chung
Do đó: ABC = NBG [g.c.g] => BC = BG
Vậy BGC cân tại B.