Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M.
a] Chứng minh rằng \[\Delta AMB = \Delta AMC\]
b] Vẽ trung tuyến CE của tam giác ABC cắt AM tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
c] Biết độ dài BM = 12 cm, AB = 20 cm. Tính độ dài AG.
d] Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N. Chứng minh ba điểm A, G, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a] Xét AMB và AMC ta có:
AM [cạnh chung]
\[\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\] [AM là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]]
Và AB = AC [ABC cân tại A]
Do đó: AMB = AMC [c.g.c].
b] ABC cân tại A có AM là đường phân giác [gt]
=> AM là đường trung tuyến của ABC.
Mà CE là đường trung tuyến của ABC [gt] và AM cắt CE tại G [gt]
Nên G là trọng tâm của ABC.
c] ABC cân tại A có AM là đường phân giác [gt]
=> AM là đường cao của ABC \[ \Rightarrow AM \bot BC\] tại M => ABM vuông tại M
=> AM2 + BM2 = AB2 [định lí Pythagore]
=> AM2 + 122 = 202 => AM2 = 256 = 162 => AM = 16 [cm]
ABC có AM là đường trung tuyến [câu b] và G là trọng tâm [câu b]
\[ \Rightarrow AG = {2 \over 3}AM = {2 \over 3}.16 = {{32} \over 3}[cm].\]
d] Ta có: \[\widehat {ABC} = \widehat {NCM}\] [ABC cân tại A]
\[\widehat {ABC} = \widehat {NMC}\] [hai góc đồng vị và MN // AB]
Do đó \[\widehat {NCM} = \widehat {NMC}\] => NCM cân tại N => NM = NC [1]
Mặt khác: \[\widehat {BAM} = \widehat {AMN}\] [hai góc so le trong và AB // MN]
\[\widehat {BAM} = \widehat {MAN}\] [AM là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]]
\[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {MAN}\] => AMN cân tại N => NM = NA [2]
Từ [1] và [2] suy ra NC = NA
=> N là trung điểm của AC [\[N \in AC\]] => BN là đường trung tuyến của ABC
Mà G là trọng tâm của ABC [câu b]. Nên BN đi qua G
Vậy B, G, N thẳng hàng.