Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn [AB < AC]. Tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] cắt BC ở D. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
a] Chứng minh: \[\widehat {DEC} > \widehat {ADB}\]
b] So sánh độ dài BD và DC.
Lời giải chi tiết
a] Xét ADE và ADB ta có:
AE = AB [gt]
\[\widehat {DAE} = \widehat {BAD}\] [AD là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]]
AD [cạnh chung]
Do đó ADE = ADB [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ADB}\]
Mà \[\widehat {DEC}\] là góc ngoài của tam giác ADE
Nên \[\widehat {DEC} > \widehat {ADE} \Rightarrow \widehat {DEC} > \widehat {ADB}.\]
b] Ta có \[\widehat {ADB} > \widehat {DCE}[\widehat {ADB}\] là góc ngoài của tam giác ACD]
Mà \[\widehat {DEC} > \widehat {ADB}\] [câu a] \[ \Rightarrow \widehat {DEC} > \widehat {DCE}\]
CDE có \[\widehat {DEC} > \widehat {DCE} \Rightarrow\] DC > ED [định lí cạnh đối diện với góc lớn hơn]
Mà ED = BD [ADE = ADB]. Do vậy DC>BD.