Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại \[A\] là \[ABD, ACE.\] Vẽ hình bình hành \[ADIE.\] Chứng minh rằng:
\[a]\] \[IA = BC.\]
\[b]\] \[IA BC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[a]\] Quy về bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau.
\[b]\] Quy về chứng minh\[\widehat {AHB} = {90^0}\]
+] Tổng ba góc trong một tam giác bằng \[180^o\]
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\]
\[\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}[gt]\]
Suy ra: \[\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\] \[[1]\]
Lại có \[ AE // DI\;\; \] [do ADIE là hình bình hành]
\[\] \[\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\] [hai góc trong cùng phía] \[[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\]
Xét \[ABC\] và \[DAI :\]
\[AB = AD \;\;[gt]\]
\[\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\] [chứng minh trên]
\[AC = DI\] [vì cùng bằng \[AE\]]
Do đó: \[ABC = DAI \;\;[c.g.c]\]
\[IA = BC\]
\[b]\] \[ABC = DAI\] [ chứng minh trên]
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\] \[[3]\]
Gọi giao điểm \[IA\] và \[BC\] là \[H.\]
Ta có: \[{\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\] [do H, A, I thẳng hàng]
mà \[\widehat {BAD} = {90^0}[gt]\]
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\] \[[4]\]
Từ \[[3]\] và \[[4]\] suy ra: \[{\widehat B_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\]
Trong \[AHB\] ta có: \[\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\]
Suy ra \[\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\] hay \[IA BC\]