Chứng tỏ rằng hai số \[n + 1\] và \[3n + 4 [n \in \mathbb N]\] là hai số nguyên tố cùng nhau.
Đề bài
Chứng tỏ rằng hai số \[n + 1\] và \[3n + 4 [n \in \mathbb N]\] là hai số nguyên tố cùng nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh hai số đó có \[ƯCLN\] bằng \[1\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[d\] là ước chung của \[n + 1\] và \[3n + 4.\]
Ta có \[ [n + 1] \;\; d\] và \[ [3n + 4]\; \; d.\]
Vì\[ [n + 1] \;\; d\] nên\[ 3.[n + 1] \;\; d\] hay\[ [3n + 3] \;\; d\]
Suy ra \[[[3n + 4] - [3n + 3]]\; \; d\] \[\Rightarrow 1 \;\; d\] \[ \Rightarrow d = 1.\]
Vậy \[n + 1\] và \[3n + 4\] là hai số nguyên tố cùng nhau.