Cách tính giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Định nghĩa Show Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập \(D.\) - Số \(M\) là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số \(f\) trên \(D \) \(⇔\left\{ \matrix{ f(x) \le M,\forall x \in D \hfill \cr \exists \, {x_0} \in D\text{ sao cho }f({x_0}) = M \hfill \cr} \right.\) Kí hiệu : \(M=\underset{D}{\max} f(x).\) - Số \(m\) là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \(f\) trên \(D\) \(⇔\left\{ \matrix{ f(x) \ge m,\forall x \in D \hfill \cr \exists \, {x_0} \in D\text{ sao cho }f({x_0}) = m \hfill \cr} \right.\) Kí hiệu: \(m=\underset{D}{\min} f(x).\) 2. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Định lí Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [a ; b] - Tìm các điểm \(x_i ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n)\) mà tại đó \(f'(x_i) = 0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định. - Tính \(f(a), f(b), f(x_i) (i = 1, 2, . . . , n) .\) - Khi đó: \(\underset{[a;b]}{\max} f(x)=\max \left \{ f(a); f(b); f(x_{i}) \right \}\); \(\underset{[a;b]}{\min} f(x)=\min \left \{ f(a); f(b); f(x_{i}) \right \}\) 3. Chú ý Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\), ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên \(D,\) rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số. Loigiaihay.com
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là phần kiến thức cực kỳ quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Vậy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì? Các dạng toán liên quan đến GTLN và GTNN như nào? Hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề GTLN và GTNN qua bài viết dưới đây nhé! Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là gì?Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốTìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp DĐể tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên D ta tính y’, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạnĐịnh lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) liên tục trên một đoạn [a;b]
Chú ý:
Ví dụ và cách giải bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốVí dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = -x^3+4x^2-5x+1\) trên đoạn [1;3] Cách giải: Ta có \(f'(x) = -3x^2+8x-5\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow -3x^2 + 8x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin (1;3)\) hoặc \(x = \frac{5}{3} \in (1;3)\) Ta có: \(f(1) = -1, f(\frac{5}{3}) = -\frac{23}{27}, f(3) = -5\) Vậy \(\underset{[1;3]}{max}f(x) = -\frac{23}{27} \, khi \, x=\frac{5}{3}\) \(\underset{[1;3]}{min}f(x) =-5 \, khi \, x=3\) Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x) = \frac{4}{3}\sin ^3x -sin^2x + \frac{2}{3}\) trên đoạn \([0;\pi ]\) Cách giải: Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x) = 2x + \sqrt{5-x^2}\) Cách giải: Tập xác định \(D = [-\sqrt{5};\sqrt{5}]\) Ta có: \(f'(x) = 2-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}= \frac{2\sqrt{5-x^2}-x}{\sqrt{5-x^2}}\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} – x =0 \Leftrightarrow 2\sqrt{5-x^2} = x\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4(5-x^2) = x^2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 5x^2-20 =0 \end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right. \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=2\in (-\sqrt{5};\sqrt{5})\) Ta có: \(f(-\sqrt{5}) = -2\sqrt{5}; f(2) = 5; f(\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}\) Vậy \(\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{max} f(x) = 5\, khi\, x=2\) \(\underset{[-\sqrt{5};\sqrt{5}]}{min} f(x) = -2\sqrt{5}\, khi\, x=-\sqrt{5}\) Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề GTLN và GTNN của hàm số. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân về GT lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúc bạn luôn học tốt! Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây của thầy Nguyễn Quốc Chí: (Nguồn: www.youtube.com) Xem thêm: Please follow and like us:
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: |