Các phương trình toán giải hệ lớp 10 năm 2024

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ)

Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm

Email: [email protected]

Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC

Website: http://tailieumontoan.com

Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\d{x^2} + exy + f{y^2} + gx + hy = i\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

- Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút \(x\) theo \(y\) (hoặc \(y\) theo \(x)\).

- Bước 2: Thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm $x$ (hoặc tìm $y$).

2. Hệ phương trình đối xứng loại I

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi.

Phương pháp giải:

- Bước 1: đặt $S = x + y,{\rm{ }}P = xy.$

- Bước 2: Giải hệ với ẩn $S,{\rm{ }}P$ với điều kiện có nghiệm $(x;y)$ là ${S^2} \ge 4P.$

- Bước 3: Tìm nghiệm $(x;y)$ bằng cách thế vào phương trình ${X^2} - SX + P = 0.$

Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

+) ${x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy $ $= {S^2} - 2P.$

+) ${x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y) $ $= {S^3} - 3SP.$

+) ${(x - y)^2} = {(x + y)^2} - 4xy $ $= {S^2} - 4P.$

+) ${x^4} + {y^4} = {({x^2} + {y^2})^2} - 2{x^2}{y^2} $ $= {S^4} - 4{S^2}P + 2{P^2}.$

+) ${x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} $ $= ({x^2} - xy + {y^2})({x^2} + xy + {y^2}) = \cdot \cdot \cdot $

3. Hệ phương trình đối xứng loại II

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).

Phương pháp giải:

- Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng $(x - y).f(x) = 0,$

- Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\) từ phương trình thu được.

- Ta luôn có $x = y$ từ phương trình ở bước 1.

- Từ mối quan hệ tìm được ở bước 2 ta biến đổi các phương trình đầu bài và giải nghiệm.

- Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.

4. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Dạng tổng quát: $\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\end{array} \right.(i)$

Phương pháp giải:

$(i) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(1)\\{d_1}({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}) = {d_1}.{d_2}(2)\end{array} \right.$

Lấy $(1) - (2) \Rightarrow ({a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}) \cdot {x^2} + ({b_1}{d_2} - {b_2}{d_1}) \cdot xy + ({c_1}{d_2} - {c_2}{d_1}) \cdot {y^2} = 0.$ Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ $x,y$

Dạng $\left\{ \begin{array}{l}{f_m}(x;y) = a\\{f_n}(x;y) = {f_k}(x;y)\end{array} \right.$ với ${f_m}(x;y),{\rm{ }}{f_n}(x;y),{\rm{ }}{f_k}(x;y)$ là các biểu thức đẳng cấp bậc $m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}k$ thỏa mãn $m + n = k.$ Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải.

Tức là biến đổi hệ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {f_m}(x;y)\\a \cdot {f_n}(x;y) = a \cdot {f_k}(x;y)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {f_m}(x;y) \cdot {f_n}(x;y) = a.{f_k}(x;y)$ và đây là phương trình đẳng cấp bậc $k$

được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 10 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Lý thuyết & Phương pháp giải

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp thế

- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

- Số nghiệm của hệ tùy theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1. Phương pháp giải

1. Hệ đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Cách giải

- Đặt S = x + y, P = xy

- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.

- Giải hệ (I') ta tìm được S và P

- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0

2. Hệ đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔

- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔

- Như vậy (II) ⇔

- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

3. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

- Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

1. Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)

Ta có:

⇒S2 - 2(5-S) = 5 ⇒ S2 + 2S - 15 = 0

⇒ S = -5; S = 3

S = -5⇒ P = 10 (loại)

S = 3⇒ P = 2 (nhận)

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0

⇔ X = 1; X = 2

Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

2. ĐKXĐ: x ≠ 0

Hệ phương trình tương đương với

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

Bài 2: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

1. Hệ phương trình tương đương

Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1

⇔ y2 + 4y + 5 = 0 (vn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

2. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

X2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

Bài 3: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

1. Hệ phương trình tương đương

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

2. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

(y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y - 2)2] = 0 ⇔ x = y)

(vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0)

Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

x3 - 4x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 - 4x + 2) = 0

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

Bài 4: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

1. Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2) - 3(x-y) = 0

⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 3) = 0

Khi x = y thì hệ có nghiệm

Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27

⇔ (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) = 27

⇒ (3-xy)[(3-xy)2 - 3x2y2] = 27 ⇔ 3(xy)3 + 27xy = 0

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

2. Hệ phương trình tương đương

Bài 5: Xác định m để hệ phương trình

Hướng dẫn:

Hệ phương trình tương đương

(x2 + y2 - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)2 - (x+y) + m - 1 = 0

Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0

⇔ m ≤ 5/4

Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

Với nội dung bài Các dạng phương trình đặc biệt trên đây chúng tôi xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô nội dung cần nắm vững khái niệm, phương pháp giải các dạng phương trình đặc biệt...