Các bài toán số phức trong đề thi đại học năm 2024

Câu 1. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+2i \right|=1$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là

1. $\left( 0;2 \right)$. B. $\left( -2;0 \right)$. C. $\left( 0;-2 \right)$. D. $\left( 2;0 \right)$.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi$, với $x,y\in \mathbb{R}$.

Từ giả thiết $\left| z+2i \right|=1\Rightarrow {{x}^{{2}}+{{\left( y+2 \right)}}{2}}=1$.

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( 0;-2 \right)$, bán kính $R=1$.

Câu 2. Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn $\left| z-2+5i \right|=4$ một đường tròn tâm $I$, bán kính $R.$ Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là

1. $I(2;-5),$ $R=2.$ B. $I(-2;5),$ $R=4.$ C. $I(2;-5),$ $R=4.$ D. $I(0;0),$ $R=2.$

Lời giải:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi{ }(x,{ }y\in \mathbb{R})$.

Ta có $\left| z-2+5i \right|=4$$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{{2}}+{{\left( y+5 \right)}}{2}}=16$

Đây là đường tròn tâm $I\left( 2;-5 \right);R=4$.

Câu 3. Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \bar{z}-3+2i \right|=5$ là một đường tròn có tâm $I$ và bán kính $R.$ Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là

1. $I(-3;-2),R=5.$ B. $I(3;-2),R=5.$ C. $I(3;2),R=5.$ D. $I(-3;2),R=5.$

Lời giải:

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi{ }(x,{ }y\in \mathbb{R})$.

Ta có $\left| \bar{z}-3+2i \right|=5$$\Leftrightarrow \left| x-yi-3+2i \right|=5$$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{{2}}+{{\left( y-2 \right)}}{2}}=25$

Đây là đường tròn tâm $I\left( 3;2 \right);R=5$.

Câu 4. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+1+2i \right|=2$ là

1. đường tròn tâm $I\left( 1;2 \right)$, bán kính $R=2$. B. đường tròn tâm $I\left( -1;-2 \right)$, bán kính $R=2$. C. đường tròn tâm $I\left( -1;2 \right)$, bán kính $R=2$. D. đường tròn tâm $I\left( 1;-2 \right)$, bán kính $R=2$.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi;\left( x,y\in R \right)$

Khi đó: $\left| \overline{z}+1+2i \right|=2\Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)+\left( -y+2 \right)i \right|=2$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{{2}}+{{\left( -y+2 \right)}}{2}}}=2$

$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{{2}}+{{\left( y-2 \right)}}{2}}=4$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $I\left( -1;2 \right)$, bán kính $R=2$.

Câu 5. Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| z \right|=5$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w=\bar{z}+i$ là một đường tròn. Tọa độ tâm $I$ của đường tròn đó là

1. $I\left( 0;\,1 \right)$. B. $I\left( 0;\,-1 \right)$. C. $I\left( -1;\,0 \right)$. D. $I\left( 1;\,0 \right)$.

Lời giải:

Ta có $\left| {\bar{z}} \right|=\left| z \right|=5$.

Từ $w=\bar{z}+i\Rightarrow w-i=\bar{z}\Rightarrow \left| w-i \right|=\left| {\bar{z}} \right|\Rightarrow \left| w-i \right|=5$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( 0;\,1 \right)$.

Câu 6. Cho số phức $z$ thỏa $\left| z-1+2i \right|=3$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $w=2z+i$ trên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là một đường tròn. Tọa độ tâm của đường tròn đó là

1. $I\left( 2;-3 \right)$. B. $I\left( 1;1 \right)$. C. $I\left( 0;1 \right)$. D. $I\left( 1;0 \right)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $w$.

Ta có $w=2z+i\Leftrightarrow z=\frac{w-i}{2}$.

Do đó $\left| z-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| \frac{w-i}{2}-1+2i \right|=3$ $\Leftrightarrow \left| w-2+3i \right|=6$ $\Leftrightarrow MI=6$, với $I\left( 2;-3 \right)$.

Do đó tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I\left( 2;-3 \right)$ và bán kính $R=6$.

Câu 7. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|$ là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

1. $I\left( 1;1 \right)$. B. $I\left( 0\,;\,-1 \right)$. C. $I\left( 0;1 \right)$. D. $I\left( -1;0 \right)$.

Lời giải:

Đặt $z=x+yi\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.

Ta có $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|$.

$\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| \left( 1+i \right)\left( x+yi \right) \right|$$\Leftrightarrow \left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| \left( x-y \right)+\left( x+y \right)i \right|$

$\Leftrightarrow {{x}^{{2}}+{{\left( y-1 \right)}}{2}}={{\left( x-y \right)}^{{2}}+{{\left( x+y \right)}}{2}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}{2}}+2y-1=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{{2}}+{{\left( y+1 \right)}}{2}}=2$.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm $\left( 0\,;\,-1 \right)$.

Câu 8. Trong mặt phẳng tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-2i \right|=3$ là

1. đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=9$. B. đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$.

3. đường tròn tâm $I(-1;-2)$, bán kính $R=3$. D. đường thẳng có phương trình $x+2y-3=0$.

Lời giải:

Giả sử điểm $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$. Ta có:

$\left| z-1-2i \right|=3\Leftrightarrow \left| (x-1)+(y-2)i \right|=3\Leftrightarrow {{(x-1)}^{{2}}+{{(y-2)}}{2}}=9$

Vậy điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn ${{(x-1)}^{{2}}+{{(y-2)}}{2}}=9$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=3$.

Câu 9. Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|$. Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn các số phức $z$ là

1. đường thẳng $3x+y+1=0$. B. đường thẳng $3x-y+1=0$.

3. đường thẳng $3x+y-1=0$. D. đường thẳng $3x-y-1=0$.

Lời giải:

Giả sử số phức $z$ có dạng: $z=x+yi\,\,\,\,\,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$

Ta có: $\left| z-1+i \right|=\left| z+2 \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-1+i \right|=\left| x+yi+2 \right|\Leftrightarrow \left| \left( x-1 \right)+\left( y+1 \right)i \right|=\left| \left( x+2 \right)+yi \right|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{{2}}+{{\left( y+1 \right)}}{2}}}=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}{2}}}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{{2}}+{{\left( y+1 \right)}}{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{{2}}-2x+1+{{y}}{2}}+2y+1={{x}^{{2}}+4x+4+{{y}}{2}}$

$\Leftrightarrow 6x-2y+2=0\Leftrightarrow 3x-y+1=0$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $3x-y+1=0$.

Câu 10. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $\left| z-2i \right|=3$ là đường tròn tâm $I.$ Tất cả giá trị $m$ thỏa mãn khoảng cách từ $I$ đến $\Delta :3x+4y-m=0$ bằng $\frac{1}{5}$ là:

1. $m=-7;m=9$. B. $m=-8;m=8$. C. $m=7;m=9$. D. $m=8;m=9$.

Lời giải:

$\left| z-2i \right|=3\Leftrightarrow \left| x+\left( y-2 \right)i \right|=3\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{{2}}+{{\left( y-2 \right)}}{2}}}=3\Leftrightarrow {{x}^{{2}}+{{\left( y-2 \right)}}{2}}=9\Rightarrow I\left( 0;2 \right)$

$d\left( I,\Delta \right)=\frac{\left| 3.0+4.2-m \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}{2}}}}=\frac{1}{5}\left| 8-m \right|$

$d\left( I,\Delta \right)=\frac{1}{5}\Leftrightarrow \frac{1}{5}\left| 8-m \right|=\frac{1}{5}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 8-m=1 \\ & 8-m=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=7 \\ & m=9 \\ \end{align} \right.$

Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z-i \right|=1$ là

1. đường tròn tâm $A\left( 0;1 \right),$ bán kính $R=1$. B. đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right),$ bán kính $R=2$. C. đường thẳng $y=1$. D. đường thẳng $x=1$.

Lời giải:

Giả sử: $z=x+yi,z-i=x+\left( y-1 \right)i$ nên $\left| z-i \right|=\sqrt{{{x}^{{2}}+{{\left( y-1 \right)}}{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{{2}}+{{\left( y-1 \right)}}{2}}=1\,\,\,\left( 1 \right)$

Như vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z=x+yi$ thỏa mãn $\left| z-i \right|=1$ nằm trên đường tròn tâm $A\left( 0;1 \right),$ bán kính $R=1$.

Câu 12. Cho số phức $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{x}^{2}}+{{y}{2}}+8x+6y$. Giá trị của $m+M$ bằng

1. $44-20\sqrt{10}$. B. $\frac{9}{5}$. C. $60-20\sqrt{10}$. D. $52-20\sqrt{10}$.

Lời giải:

Gọi $N\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z=x+yi$.

Ta có $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\Leftrightarrow 2x+y+2\le 0$;

$\left| z-2+i \right|\le 5$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{{2}}+{{\left( y+1 \right)}}{2}}\le 25$ (hình tròn tâm $I\left( 2;-1 \right)$ bán kính $r=5$);

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \overline{z}+2-3i \right|\le \left| z-2+i \right|\le 5$ thuộc miền $\left( T \right)$ (xem hình vẽ với $A\left( -2;2 \right),B\left( 2;-6 \right)$ ).

Ta có $P+25={{\left( x+4 \right)}^{{2}}+{{\left( y+3 \right)}}{2}}$ $\Rightarrow \sqrt{P+25}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{{2}}+{{\left( y+3 \right)}}{2}}}=NJ$ (với $J\left( -4;-3 \right)$).

Bài toán trở thành tìm điểm $N$ thuộc miền $\left( T \right)$ sao cho $NJ$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta có $IJ-r\le NJ\le JB\Leftrightarrow 2\sqrt{10}-5\le \sqrt{P+25}\le 3\sqrt{5}\Leftrightarrow 40-20\sqrt{10}\le P\le 20$

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $N$ là giao điểm của đường thẳng $JI$ với đường tròn tâm $I\left( 2;-1 \right)$ bán kính $r=5$ và $NJ=2\sqrt{10}-5$.

$P$ đạt giá trị lớn nhất khi $N\equiv B$.

Vậy $m+M=60-20\sqrt{10}$.

Câu 13. Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2i|+|z+5-2i|=5$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=|z-1-3i|+|z-2-i|$ tương ứng là $a$ và $b$. Giá trị của $T=a+b$ bằng

1. $\sqrt{37}+2\sqrt{5}$. B. $\sqrt{37}+\sqrt{5}+6\sqrt{2}$. C. $\sqrt{37}+2\sqrt{10}$. D. $2\sqrt{13}+4\sqrt{5}$.

Lời giải:

Ta gọi điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ và điểm $A(0;2),B(-5;2)\Rightarrow AB=5$.

Suy ra $|z-2i|+|z+5-2i|=5\Leftrightarrow MA+MB=AB$. Do đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.

Gọi điểm $C(1;3),D(2;1)$. Suy ra, biểu thức $T=|z-1-3i|+|z-2-i|=MC+MD$, với $M$ nằm trên đoạn $AB$.

Ta có $M$ trùng với $A$ thì giá trị của biểu thức $T$ đạt nhỏ nhất.

Suy ra ${{T}_{\min }}=AC+AD=\sqrt{2}+\sqrt{5}=b$ khi $M\equiv A$.

Giá trị của biểu thức $T$ lớn nhất khi điểm $M$ trùng với điểm $B$.

Suy ra ${{T}_{\max }}=BC+BD=\sqrt{37}+5\sqrt{2}=a$ khi $M\equiv B$.

Vậy $(a+b)=\sqrt{37}+\sqrt{5}+6\sqrt{2}$.

Câu 14. Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{{2}}-2\left( 2m-1 \right)z+{{m}}{2}}=0$ ($m$ là số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}}{2}}=2?$

1. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

Ta có: ${\Delta }'={{(2m-1)}^{2}}-{{m}{2}}=3{{m}^{2}}-4m+1$

TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow \frac{1}{3}

Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{{{m}^{2}}}.$

Suy ra: $|{{z}_{1}}{{|}^{{2}}+|{{z}_{2}}{{|}}{2}}=2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\ & m=-1 \\ \end{align} \right..$ (Không thỏa)

TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>1 \\ & m<\frac{1}{3} \\ \end{align} \right..$

Vì nên phương trình có hai nghiệm thực phân biệt hoặc

${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}}{2}}=2$ $\Leftrightarrow {{(\left| {{z}_{1}}|+|{{z}_{2}} \right|)}^{{2}}-2|{{z}_{1}}||{{z}_{2}}|=2$ $\Leftrightarrow {{\left| 4m-2 \right|}}{2}}-2{{m}^{{2}}=2$ $\Leftrightarrow 7{{m}}{2}}-8m+1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\ & m=\frac{1}{8} \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $m=\frac{1}{8}$ thỏa mãn. Vậy có 1 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 15. Trên tập hợp số phức, gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ có nghiệm thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Khi đó $S$ bằng

1. 20. B. 14. C. 12. D. 8.

Lời giải:

Xét phương trình: $9{{z}^{2}}+6z+1-m=0$ $\left( * \right)$.

Ta có ${\Delta }'=9-9\left( 1-m \right)=9m$

Trường hợp 1: Nếu $\left( * \right)$ có nghiệm thực $\Leftrightarrow {\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow m\ge 0$.

$\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z=1 \\ & z=-1 \\ \end{align} \right.$.

Với $z=1\Rightarrow m=16$ (thỏa mãn).

Với $z=-1\Rightarrow m=4$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2: $\left( * \right)$ có nghiệm phức $z=a+bi\,\left( b\ne 0 \right)$ $\Leftrightarrow {\Delta }'<0\Leftrightarrow m<0$.

Nếu $z$ là một nghiệm của phương trình $9{{z}^{{2}}+6z+1-m=0$ thì $\bar{z}$ cũng là một nghiệm của phương trình $9{{z}}{2}}+6z+1-m=0$.

Ta có $\left| z \right|=1\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow z.\,\overline{z}=1\Leftrightarrow \frac{c}{a}=1\Leftrightarrow \frac{1-m}{9}=1\Leftrightarrow m=-8$ (thỏa mãn).

Vậy tổng các giá trị thực của $m$ bằng 12.

Câu 16. Cho phương trình $m{{z}^{2}}-4mz+n=0\,\,(m\ne 0,(m,n)=1)$ có hai nghiệm phức. Gọi $A$, $B$ là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng $Oxy$. Biết tam giác $OAB$ đều (với $O$ là gốc tọa độ). Khi đó

1. $m=3;n=16$. B. $m=16;n=3$. C. $m=3;n=-16$. D. $m=16;n=-3$.

Lời giải:

Ta có: $m{{z}^{{2}}-4mz+n=0\Leftrightarrow {{z}}{2}}-4z+\frac{n}{m}=0$(*)

(*) có hai nghiệm phức$\Leftrightarrow $ ${\Delta }'=4-\frac{n}{m}=k<0$.

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức: ${{z}_{1}}=2+\sqrt{k}\,i$; ${{z}_{2}}=2-\sqrt{k}\,i$.

Gọi $A$, $B$ lần lượt là hai điểm biểu diễn của ${{z}_{1}};\,{{z}_{2}}$ trên mặt phẳng $Oxy$ ta có:

$A\left( 2\,;\,\sqrt{k} \right)$; $B\left( 2\,;\,-\sqrt{k} \right)$.

Ta có: $AB=2\sqrt{k}$; $OA=OB=\sqrt{4+k}$.

Tam giác $OAB$ đều khi và chỉ khi $AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{k}=\sqrt{4+k}\Leftrightarrow 4k=4+k$

$\Leftrightarrow k=\frac{4}{3}$. Vì ${\Delta }'<0$ nên ${\Delta }'=-\frac{4}{3}$ hay $4-\frac{n}{m}=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{n}{m}=\frac{16}{3}$.

Từ đó ta có $n=16;m=3$.

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{{2}}+\sqrt{3}z+{{a}}{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ với phần ảo khác 0 thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}$

1. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có $\Delta =3-4\left( {{a}^{{2}}-2a \right)=3-4{{a}}{2}}+8a$.

Phương trình ${{z}^{{2}}+\sqrt{3}z+{{a}}{2}}-2a=0$ có nghiệm phức khi và chỉ khi

$\Delta <0\Leftrightarrow 3-4{{a}^{{2}}+8a<0\Leftrightarrow 4{{a}}{2}}-8a-3>0\quad \left( * \right).$

Khi đó phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp của nhau và $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|.$

Ta có

${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{{2}}-2a\Rightarrow \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{a}}{2}}-2a \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{{2}}-2a \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}}{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right|$.

Theo giả thiết có ${{\left( \sqrt{3} \right)}^{{2}}=\left| {{a}}{2}}-2a \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{a}^{{2}}-2a=3 \\ & {{a}}{2}}-2a=-3 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-1 \\ & a=3 \\ \end{align} \right.$ thỏa mãn

Vậy có 1 giá trị dương $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18. Trong tập các số phức, cho phương trình ${{z}^{{2}}-4z+{{\left( m-2 \right)}}{2}},m\in R\left( 1 \right)$.Tất cả giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$ là

1. $m>4$. B. $m<0$. C. $\left[ \begin{align}& m<0 \\ & m>4 \\ \end{align} \right.$. D. $0

Lời giải:

Ta có $\Delta =4-{{\left( m-2 \right)}^{2}}$

TH1: $\Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}<4\Leftrightarrow 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt .

$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}$ (do ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$)$\Rightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0$. Điều này vô lí vì theo định lí Viét ta có ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4$

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow {{\left( m-2 \right)}^{2}}<4\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m>4 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp, luôn thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

Câu 19. Trong tập các số phức, cho phương trình ${{(z-3)}^{2}}-9+m=0,m\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1)$. Gọi ${{m}_{0}}$ là một giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$. Hỏi trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị ${{m}_{0}}$$\in \mathbb{N}$?

1. 10. B. 11. C. 12. D. 13.

Lời giải:

Ta xét phương trình: ${{\left( z-3 \right)}^{2}}=9-{{m}_{0}}$.

TH1: Nếu ${{m}_{0}}=9\Rightarrow z=3$. Hay phương trình chỉ có một nghiệm. Trường hợp này không thỏa điều kiện bài toán.

TH2: Nếu ${{m}_{0}}<9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}=3-\sqrt{9-{{m}_{0}}},{{z}_{2}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}}$

Do: ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}}{2}}\Leftrightarrow {{\left( 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}^{{2}}={{\left( 3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \right)}}{2}}$

$\left[ \begin{align}& 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=3+\sqrt{9-{{m}_{0}}} \\ & 3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}=-3-\sqrt{9-{{m}_{0}}}\,\,\left( VN \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \sqrt{9-{{m}_{0}}}=0\Leftrightarrow {{m}_{0}}=9$ (thỏa mãn điều kiện).

TH3: Nếu ${{m}_{0}}>9$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phức liên hợp là:

${{z}_{1}}=3-i\sqrt{{{m}_{0}}-9},{{z}_{2}}=3+i\sqrt{{{m}_{0}}-9}.$

Khi đó ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{3}^{{2}}+{{\left( \sqrt{{{m}_{0}}-9} \right)}}{2}}$

Do đó ${{m}_{0}}>9$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do bài toán đòi hỏi $m\in \left( 0;20 \right)$ nên $m\in \left\{ 10;11;...;19 \right\}.$

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.

Câu 20. Trong tập các số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}-4z+m=0$, $m\in \mathbb{R}$ $\left( 1 \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in { }\!\![\!\!{ }0;15]$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$.

1. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Lời giải:

Ta có $\Delta ={{2}^{2}}-m=4-m$

TH1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow m\le 4$ phương trình có hai nghiệm thực thoả mãn ${{z}_{1}}^{{2}={{z}_{2}}}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\ & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=4$.

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow m>4$ Phương trình có hai nghiệm không thực liên hợp nên ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$ luôn thỏa mãn.

Câu 21. Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình ${{z}^{{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}}{2}}+a=0$ có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$?

1. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có $\Delta =-3{{a}^{2}}-10a+9$.

+ TH1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{a-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$, khi đó

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| \sqrt{\Delta } \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{{2}}=\Delta $ $\Leftrightarrow 4{{a}}{2}}+4a=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=-1 \\ \end{align} \right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta \ge 0$.

+ TH2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm ${{z}_{1,2}}=\frac{a-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$, khi đó

$\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\left| i\sqrt{-\Delta } \right|$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{{2}}=-\Delta $ $\Leftrightarrow 2{{a}}{2}}+16a-18=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=1 \\ & a=-9 \\ \end{align} \right.$. Thỏa mãn điều kiện $\Delta <0$.

Vậy có 4 giá trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 22. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$?

1. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải:

Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$

Trường hợp 1: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<2 \\ & m>6 \\ \end{align} \right.$.

Khi đó ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm thực phân biệt nên ta có:

$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}=-{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (nhận)

Trường hợp 2: ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2

Khi đó các nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ liên hợp nhau nên luôn thỏa $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

Vậy ta có các giá trị nguyên của $m$ là 0, 3, 4, 5.

Câu 23. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}}{2}}=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=7?$

1. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

${\Delta }'={{(m+1)}^{2}}-{{m}{2}}=2m+1$.

+) Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2m+1\ge 0\Leftrightarrow m\ge -\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=7\Leftrightarrow {{z}_{0}}=\pm 7$.

Thế ${{z}_{0}}=7$ vào phương trình ta được: ${{m}^{2}}-14m+35=0\Leftrightarrow m=7\pm \sqrt{14}$ (nhận).

Thế ${{z}_{0}}=-7$ vào phương trình ta được: ${{m}^{2}}+14m+63=0$, phương trình này vô nghiệm.

+) Nếu ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2m+1<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}\notin \mathbb{R}$ thỏa ${{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}$. Khi đó ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{m}{2}}={{7}^{2}}$ hay $m=7$ (loại) hoặc $m=-7$ (nhận).

Vậy tổng cộng có 3 giá trị của $m$ là $m=7\pm \sqrt{14}$ và $m=-7$.

Câu 24. Trên tập số phức, xét phương trình ${{z}^{{2}}-4az+{{b}}{2}}+2=0$($a$, $b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $(a;\ b)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}},\ {{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$

1. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

TH1: Nếu ${{z}_{1}}$ là số thực thì ${{z}_{2}}$ cũng là số thực.

Khi đó từ ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ suy ra $\left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}=3 \\ & {{z}_{2}}=3/2 \\ \end{align} \right.$ (1)

Áp dụng viet ta có: $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{2}}+2 \\ \end{align} \right.$ (2).

Thay (1) vào (2) được $\left\{ \begin{align} & 4a=9/2 \\ & {{b}^{{2}}+2=9/2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=9/8 \\ & {{b}}{2}}=5/2 \\ \end{align} \right.$

Vậy có 2 cặp $(a;\ b)$ thỏa mãn bài toán

TH2: Nếu ${{z}_{1}}$ không là số thực, thì ${{z}_{2}}$ là số phức liên hợp của ${{z}_{1}}$ (vì hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực trong tập số phức khi $\Delta <0$ là số phức liên hợp của nhau )

Giả sử ${{z}_{1}}=m+in\ (m,\ n\in \mathbb{R})$ thay vào ${{z}_{1}}+2i\ {{z}_{2}}=3+3i$ ta được

$m+in+2i(m-in)=3+3i$ $\Rightarrow \left\{ \begin{align}& m=1 \\ & n=1 \\ \end{align} \right.$

Vậy có ${{z}_{1}}=1+i$; ${{z}_{2}}=1-i$.

Với $\left\{ \begin{align} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4a \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{b}^{{2}}+2 \\ \end{align} \right.$ ta có $\left\{ \begin{align}& 4a=2 \\ & {{b}}{2}}+2=2 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=1/2 \\ & {{b}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=1/2 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$

Vậy có một cặp $(a;\ b)$

Kết luận: có 3 cặp $(a;\ b)$ thỏa mãn bài toán.

Câu 25. Xét phương trình ${{z}^{2}}-3z+{{a}{2}}-4a=0$ ($a$ là tham số thực) trên tập hợp số phức. Có bao nhiêu số nguyên $a$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$; ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\sqrt{3}$?

1. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

Ta có $\Delta =9-4\left( {{a}^{{2}}-4a \right)=-4{{a}}{2}}+16a+9$.

+ TH1: $\Delta >0$ $\Leftrightarrow $$-4{{a}^{2}}+16a+9>0$$\Leftrightarrow $ $-\frac{1}{2}

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}};{{z}_{2}}\in \mathbb{R}$. Theo định lí Viét ta có $\left\{ \begin{align}& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=3 \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-4a \\ \end{align} \right.$.

Theo giả thiết ta có $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}=48\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+2\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|=48$

$\Leftrightarrow $ $z_{1}^{2}+z_{2}{2}+2\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=48\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=48$

$\Leftrightarrow $${{3}^{{2}}-2\left( {{a}}{2}}-4a \right)+2\left| {{a}^{{2}}-4a \right|=48$ $\Leftrightarrow 2\left| {{a}}{2}}-4a \right|=2{{a}^{2}}-8a+39$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{a}^{{2}}-8a+39\ge 0 \\ & 2\left( {{a}}{2}}-4a \right)=2{{a}^{{2}}-8a+39 \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& 2{{a}}{2}}-8a+39\ge 0 \\ & 2\left( {{a}^{{2}}-4a \right)=-2{{a}}{2}}+8a-39 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{a}^{{2}}-8a+39\ge 0 \\ & 4{{a}}{2}}-16a+39=0\, \\ \end{align} \right.$ vô nghiệm.

+ TH2: $\Delta <0$ $\Leftrightarrow $ $-4{{a}^{2}}+16a+9<0$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align} & a<-\frac{1}{2} \\ & a>\frac{9}{2} \\ \end{align} \right.$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}=\frac{3-i\sqrt{4{{a}^{{2}}-16a-9}}{2}$; ${{z}_{2}}=\frac{3+i\sqrt{4{{a}}{2}}-16a-9}}{2}$.

Theo giả thiết: $\left| \frac{3-i\sqrt{4{{a}^{{2}}-16a-9}}{2} \right|+\left| \frac{3+i\sqrt{4{{a}}{2}}-16a-9}}{2} \right|=4\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{4{{a}^{{2}}-16a}=4\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow $ $4{{a}}{2}}-16a=48$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{align} & a=-2 \\ & a=6 \\ \end{align} \right.$ thỏa mãn.

Câu 26. Xét các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left| {{z}^{2}}+2z+4+4i \right|=2\left| z+1 \right|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $\left| z+1 \right|$. Giá trị của $M-m$ bằng

1. 2. B. $2\sqrt{6}$. C. 14. D. $4\sqrt{6}$.

Lời giải:

$\left| {{z}^{{2}}+2z+4+4i \right|=2\left| z+1 \right|\Leftrightarrow \left| {{\left( z+1 \right)}}{2}}+3+4i \right|=2\left| z+1 \right|$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$2\left| z+1 \right|=\left| {{\left( z+1 \right)}^{{2}}+3+4i \right|\ge \left| \left| {{\left( z+1 \right)}}{2}} \right|-\left| 3+4i \right| \right|=\left| {{\left| z+1 \right|}^{{2}}-5 \right|$ (Vì ${{\left| z+1 \right|}}{2}}=\left| {{\left( z+1 \right)}^{2}} \right|$)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $z+1=k\left( 3+4i \right)$.

Suy ra $4{{\left| z+1 \right|}^{{2}}\ge {{\left( {{\left| z+1 \right|}}{2}}-5 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left| z+1 \right|}^{{4}}-14{{\left| z+1 \right|}}{2}}+25\le 0$

$\Leftrightarrow 7-2\sqrt{6}\le {{\left| z+1 \right|}^{2}}\le 7+2\sqrt{6}$

$\Leftrightarrow \sqrt{6}-1\le \left| z+1 \right|\le \sqrt{6}+1$

Suy ra giá trị lớn nhất của $\left| z+1 \right|=\sqrt{6}+1$ đạt được khi và chỉ khi $z=-1\pm \frac{\sqrt{6}+1}{5}\left( 3+4i \right)$, giá trị nhỏ nhất của $\left| z+1 \right|=\sqrt{6}-1$ đạt được khi và chỉ khi $z=-1\pm \frac{\sqrt{6}-1}{5}\left( 3+4i \right)$.

Vậy $M-m=2$.

Câu 27. Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{{2}}-3-4i \right|=2\left| z \right|$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$. Giá trị của ${{M}}{2}}+{{m}^{2}}$ bằng

1. 28. B. $18+4\sqrt{6}$. C. 14. D. $11+4\sqrt{6}$.

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$2\left| z \right|=\left| {{z}^{{2}}-3-4i \right|\ge \left| \left| {{z}}{2}} \right|-\left| 3+4i \right| \right|=\left| {{\left| z \right|}^{{2}}-5 \right|$ (vì $\left| {{z}}{2}} \right|={{\left| z \right|}^{{2}}$). Dấu “=” xảy ra khi ${{z}}{2}}=k\left( -3-4i \right)$.

Suy ra $4{{\left| z \right|}^{{2}}\ge {{\left( \left| z \right|-5 \right)}}{2}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{{4}}-14{{\left| z \right|}}{2}}+25\le 0\Leftrightarrow 7-2\sqrt{6}\le {{\left| z \right|}^{2}}\le 7+2\sqrt{6}$.

$\Rightarrow \sqrt{6}-1\le \left| z \right|\le \sqrt{6}+1$

Do đó, ta có $M=1+\sqrt{6}$ và $m=\sqrt{6}-1$.

Vậy ${{M}^{2}}+{{m}{2}}=14$.

Câu 28. Xét các số phức $z,$ ${w}$ thỏa mãn $\left| z \right|=2$ và $\left| i.\overline{w} \right|=1$. Khi $\left| iz+w+3-4i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, $\left| z-{w} \right|$ bằng

1. $\sqrt{5}$. B. $\frac{\sqrt{29}}{5}$. C. 3. D. $\frac{\sqrt{221}}{5}$.

Lời giải:

Cách 1:

Ta có $\left| iz+w+3-4i \right|\ge \left| 3-4i \right|-\left| iz+w \right|\ge 5-\left( \left| iz \right|+\left| w \right| \right)\ge 5-\left( 2+1 \right)=2$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{align}& w={{k}_{1}}\left( 3-4i \right)\,\,khi\,\,\left( {{k}_{1}}<0 \right) \\ & i.z={{k}_{2}}\left( 3-4i \right)\,\,khi\,\,\left( {{k}_{2}}<0 \right) \\ \end{align} \right.\,\,$ và $\left\{ \begin{align} & \left| w \right|=\left| i\overline{w} \right|=1\,\, \\ & \left| iz \right|\,=\left| z \right|=2\, \\ \end{align} \right.\,\,$.

Giải hệ trên suy ra ${{k}_{2}}=-\frac{2}{5}$; ${{k}_{1}}=-\frac{1}{5}$.

Hay $\left\{ \begin{align} & w=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\,\, \\ & iz=\frac{-2}{5}\left( 3-4i \right) \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow -z=\frac{-2i}{5}\left( 3-4i \right)\Rightarrow z=-\frac{8}{5}-\frac{6}{5}i$

Khi đó $z-w=-1-2i$ $\Rightarrow \left| z-{w} \right|=\sqrt{5}$.

Cách 2:

Trong mặt phẳng $Oxy$:

Gọi $M$ là điểm biểu diễn của số phức $iz$ $\Rightarrow OM=2$ $\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn $z$ tâm $w$ bán kính $\left| z-4 \right|=1$.

Gọi $\left| iw-2 \right|=1$ là điểm biểu diễn của số phức $\left| z+2w \right|$ $\left| iz+w \right|$ $2\sqrt{5}$ $4\sqrt{2}-3$ thuộc đường tròn $\sqrt{6}$ tâm $4\sqrt{2}+3$ bán kính $A$.

Gọi $z$. Khi đó $B$ $-2w$.

Ta thấy $\left| z-4 \right|=1$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\Rightarrow A$ $\left( C \right)$ $I\left( 4;\,0 \right)$ thẳng hàng và $R=1$ và $\left| iw-2 \right|=1\Leftrightarrow \left| -w-2i \right|=1\Leftrightarrow \left| -2w-4i \right|=2\Rightarrow B$ ngược hướng với $\left( {{C}'} \right)$

Đường thẳng $z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)$ có phương trình là $\left| z-2+3i \right|=4$.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|$ và đường tròn $5a-2b$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align} & y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{2}}+{{y}{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{{2}}+{{\left( \frac{-4}{3}x \right)}}{2}}=4 \\ \end{align} \right.$ Giải ra $\left\{ \begin{align} & x=\frac{6}{5} \\ & y=\frac{-8}{5} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x=\frac{-6}{5} \\ & y=\frac{8}{5} \\ \end{align} \right.$.

Vậy $M\left( \frac{-6}{5};\frac{8}{5} \right)$.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $OE$ và đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{2}}+{{y}{2}}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y=\frac{-4}{3}x \\ & {{x}^{{2}}+{{\left( \frac{-4}{3}x \right)}}{2}}=1 \\ \end{align} \right.$ Giải ra $\left\{ \begin{align} & x=\frac{3}{5} \\ & y=\frac{-4}{5} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & x=\frac{-3}{5} \\ & y=\frac{4}{5} \\ \end{align} \right.$.

Vậy $N\left( \frac{-3}{5};\frac{4}{5} \right)$.

Do đó: $w=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$ và $i . z=-\frac{6}{5}+\frac{8}{5} i \Leftrightarrow z=-\frac{8}{5}-\frac{6}{5} i$.

Vậy $|z-{w}|=|-1-2i|=\sqrt{5}{. }$

Câu 29. Xét các số phức $z, w$ thỏa mãn $|z|=|{w}|=|z-2 {w}|$. Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\frac{|\bar{z}|}{1+|z+{w}|^2}$ thuộc tập nào trong các tập dưới đây?

1. $[0,1]$. B. $(1 ; 2]$. C. $(2 ; 3]$. D. $(3 ; 5]$.

Lời giải:

Trường hợp 1: xét $w=0 \Rightarrow|z|=|{w}|=|z-2 {w}|=0$. Khi đó: $T=\frac{|\bar{z}|}{1+|z+w|^2}=\frac{|z|}{1+|z+w|^2}=0$. (1) .

Trường hợp 2: xét $w \neq 0$, đặt $t=\frac{z}{w}=a+b i,(a ; b \in R)$.

Ta có: $\left| z \right|=\left| {w} \right|=\left| z\,-{2w} \right|$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| \frac{z}{{w}} \right|=1 \\ & \left| \frac{z}{{w}}-2 \right|=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| t \right|=1 \\ & \left| t-2 \right|=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}{2}}=1 \\ & {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}{2}}=1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=1 \\ & b=0 \\ \end{align} \right.$

Suy ra: $t=1\Rightarrow z={w}$. Khi đó: $T=\frac{\left| \overline{z} \right|}{1+{{\left| {z}\,{+}\,{w} \right|}^{{2}}}=\frac{\left| z \right|}{1+{{\left| {z}\,{+}\,{w} \right|}}{2}}}=\frac{\left| z \right|}{1+4{{\left| {z}\, \right|}^{2}}}\le \frac{\left| z \right|}{4\left| {z}\, \right|}=\frac{1}{4}$.

Đẳng thức xảy ra khi $\left| z \right|=\frac{1}{2}$. Vậy ${MaxT=}\frac{1}{4}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra: ${MaxT=}\frac{1}{4}\,.\,$

Câu 30. Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| z+2+2i \right|=1$ và $\left| w-1+2i \right|=\left| w-3i \right|$. Khi $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $\left| z+2w \right|$ bằng

1. $2\sqrt{13}$. B. 7. C. $2\sqrt{5}$. D. $\sqrt{61}$.

Lời giải:

Giả sử điểm biểu diễn của $z,w$ lần lượt là $M,F$.

Do $\left| z+2+2i \right|=1$ nên $M$ nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( -2;-2 \right)$, bán kính $R=1$.

Gọi $A\left( 1;-2 \right),B\left( 0;3 \right)$. Do $\left| w-1+2i \right|=\left| w-3i \right|$ nên $F$ nằm trên đường thẳng $d:x+y+1=0$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Gọi $C\left( 3;-3 \right)$. Khi đó $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|=MF+FC$. Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai đoạn thẳng này.

Giả sử $\left( {{C}'} \right)$ là đường tròn đối xứng với $\left( C \right)$ qua đường thẳng $d$. Suy ra $\left( {{C}'} \right)$ có tâm ${I}'\left( 3;3 \right)$, bán kính ${R}'=R=1$. Khi đó ứng với mỗi $M\in \left( C \right)$ luôn tồn tại ${M}'\in \left( {{C}'} \right)$ sao cho $MF={M}'F$.

Suy ra $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|=MF+FC={M}'F+FC$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${I}',{M}',F,C$ thẳng hàng.

Khi đó $F$ là giao điểm của $d$ và ${I}'C$ với ${I}'C:x=3$. Suy ra $F\left( 3;-2 \right)$.

Tương ứng ta có $M$ là giao điểm của đường thẳng $IF$ và đường tròn $\left( C \right)$, $M$ nằm giữa $I,F$.

Suy ra $M\left( -1;-2 \right)$.

Do đó $\left| z-w \right|+\left| w-3+3i \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $z=-1-2i,w=3-2i$.

Suy ra $z+2w=5-6i$ $\Rightarrow \left| z+2w \right|=\sqrt{61}$.

Câu 31. Giả sử ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là hai trong số các số phức $z$ thoả mãn $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là một số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng

1. $5-\sqrt{21}$. B. $20-4\sqrt{21}$. C. $-5+\sqrt{73}$. D. $20-2\sqrt{73}$.

Lời giải:

Gọi $A,B$ là các điểm biểu diễn cho ${{z}_{2}};{{z}_{1}}$

Đặt $z=a+bi\Rightarrow \left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)=\left[ \left( a-6 \right)+bi \right].\left[ \left( 8-b \right)-ai \right]$

Do $\left( z-6 \right)\left( 8-i.\overline{z} \right)$ là một số thực nên $-a.\left( a-6 \right)+b\left( 8-b \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}{2}}-6a-8b=0$

Suy ra $A,B$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$

Gọi $M$ điểm thoả mãn $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$

Ta có $IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}{2}}}=4$; $IM=\sqrt{I{{H}^{2}}+M{{H}{2}}}=\sqrt{{{4}^{{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}}{2}}}=\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Khi đó $M$ thuộc đường tròm tâm $I$, bán kính ${R}'=\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Xét biểu thức $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{MA}+\overleftarrow{MB} \right|=4OM$.

Ta có ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}=\left| OI-{R}' \right|=5-\frac{\sqrt{73}}{2}$.

Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4\left( 5-\frac{\sqrt{73}}{2} \right)=20-2\sqrt{73}$.

Câu 32. Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}}{2}}=0$ ($m$ là số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2?$

1. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

Ta có: ${\Delta }'=2m+1$

TH1: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow m<-\frac{1}{2}.$

Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{{{m}^{2}}}.$

Suy ra: $2\sqrt{{{m}^{2}}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1{ }(l) \\ & m=-1 \\ \end{align} \right..$

TH2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow m>-\frac{1}{2}.$

Vì $a.c={{m}^{2}}\ge 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\ge 0$ hoặc ${{z}_{1}}.{{z}_{2}}\le 0.$

Suy ra $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2$ $\Leftrightarrow \left| 2m+1 \right|=2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=-\frac{3}{2} \\ & m=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.$

Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị dương của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{{2}}+\sqrt{3}z+{{a}}{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}$

1. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

Phương trình ${{z}^{{2}}+\sqrt{3}z+{{a}}{2}}-2a=0$ có $\Delta =-4{{a}^{2}}+8a+3$.

Xét 2 trường hợp:

TH1: $\Delta \ge 0\Leftrightarrow -4{{a}^{2}}+8a+3\ge 0\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{7}}{2}\le a\le \frac{2+\sqrt{7}}{2}$.

Khi đó, phương trình có nghiệm ${{z}_{0}}$ thì ${{z}_{0}}\in \mathbb{R}$.

Theo đề bài: $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{0}}=\sqrt{3} \\ & {{z}_{0}}=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right.$.

* ${{z}_{0}}=-\sqrt{3}$, thay vào phương trình ta được ${{a}^{2}}-2a\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0{ } \\ & a=2 \\ \end{align} \right.$.

* ${{z}_{0}}=\sqrt{3}$, thay vào phương trình ta được ${{a}^{2}}-2a+6=0$.

Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện suy ra $a=2$.

TH2: $\Delta <0\Leftrightarrow -4{{a}^{2}}+8a+3<0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}a<\frac{2-\sqrt{7}}{2} \\ a>\frac{2+\sqrt{7}}{2} \\\end{matrix} \right.$.

Khi đó phương trình có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thì ${{\overline{z}}_{0}}$ cũng là một nghiệm của phương trình.

Ta có ${{z}_{0}}.{{\overline{z}}_{0}}={{a}^{{2}}-2a\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}}{2}}={{a}^{{2}}-2a\Leftrightarrow {{a}}{2}}-2a-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-1 \\ & a=3{ } \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp điều kiện $a>0$ và điều kiện suy ra $a=3$.

Vậy có 2 giá trị $a$ dương thỏa mãn là $a=2$; $a=3$.

Câu 34. Trên tập hợp các số phức, gọi $S$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình $m{{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z-m+6=0$ có nghiệm ${{z}_{0}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{0}} \right|=1$. Khi đó $S$ bằng

1. 3. B. $-4$. C. 1. D. $-2$.

Lời giải:

Xét phương trình $m{{z}^{2}}+2\left( m+1 \right)z-m+6=0$.

TH1: $m=0\Rightarrow $ Phương trình đã cho có dạng $2z+6=0\Leftrightarrow z=-3\Rightarrow \left| z \right|=3$ không thõa mãn.

TH2: $m\ne 0$

Ta có ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{{2}}-m\left( -m+6 \right)=2{{m}}{2}}-4m+1$.

Nếu ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le \frac{2-\sqrt{2}}{2} \\ & m\ge \frac{2+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right.$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực $\Rightarrow $ ${{z}_{0}}$ là số thực

Theo bài ra, ta có $\left| {{z}_{0}} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{z}_{0}}=1 \\ & {{z}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right.$.

Với ${{z}_{0}}=1$, ta có $m+2m+2-m+6=0\Leftrightarrow m=-4$.

Với ${{z}_{0}}=-1$, ta có $m-2m-2-m+6=0\Leftrightarrow m=2$.

Nếu: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m+1<0\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{2}}{2}

${{z}_{0}}$ là nghiệm của phương trình đã cho $\Rightarrow $ $\overline{{{z}_{0}}}$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

Áp dụng hệ thức viét, ta có ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}=\frac{-m+6}{m}$ mà ${{z}_{0}}.\overline{{{z}_{0}}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=1\Rightarrow \frac{-m+6}{m}=1\Leftrightarrow m=3$

Vậy $m=-4;m=2\Rightarrow S=-2$.

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{z}^{2}}-2mz+9m-8=0$ có hai nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}\,,\,\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.

1. 4. B. 5. C. 6. D. 7.

Lời giải:

TH1: $\left\{ \begin{matrix}{\Delta }'>0 \\{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-9m+8>0 \\ m=0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=0$.

TH2: $\left\{ \begin{matrix}{\Delta }'<0 \\ \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow 1

Vậy có tất cả 7 giá trị $m$ cần tìm.

Câu 36. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $\left( z-1-a \right)\left( z+1-a \right)=6z$ ($a$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $a$ để phương trình đó có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}}{2}}=42$?

1. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải:

Ta có: $\left( z-1-a \right)\left( z+1-a \right)=6z\Leftrightarrow {{z}^{{2}}-2\left( a+3 \right)z+{{a}}{2}}-1=0$ $\left( 1 \right)$ có ${\Delta }'=6a+10$.

+ Trường hợp 1: ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow a\ge -\frac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.

Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}}{2}}=42$ $\Leftrightarrow {{\left[ 2\left( a+3 \right) \right]}^{{2}}-2\left( {{a}}{2}}-1 \right)=42$ $\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+24a-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=-6+\sqrt{38} \\ & a=-6-\sqrt{38} \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $a\ge -\frac{5}{3}$, nhận $a=-6+\sqrt{38}$.

+ Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow a<-\frac{5}{3}$. Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}$.

Suy ra ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}}{2}}=42$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}=42$ $\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=21$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}-22=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& a=\sqrt{22} \\ & a=-\sqrt{22} \\ \end{align} \right.$.

Kết hợp với điều kiện $a<-\frac{5}{3}$, nhận $a=-\sqrt{22}$.

Vậy có 2 giá trị của $a$ thỏa mãn.

Câu 37. Tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ là

1. 0. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải:

+) Trường hợp ${{z}_{0}}\in \mathbb{R}$. Khi đó $\left| {{z}_{0}} \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}{{z}_{0}}=2\text{ } \\{{z}_{0}}=-2 \\\end{matrix} \right.$.

Nếu ${{z}_{0}}=2$ thì ${{a}^{2}}-2a+10=0$ không có nghiệm thực $a$.

Nếu ${{z}_{0}}=-2$ thì ${{a}^{2}}-2a-2=0$ luôn có nghiệm thực $a$ và theo định lý Viét tổng hai nghiệm thực này là 2 $\left( 1 \right)$.

+) Trường hợp phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}\notin \mathbb{R}$ thì ${{\bar{z}}_{0}}$ cũng là nghiệm phức của phương trình.

Vì $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ nên ${{z}_{0}}.{{\bar{z}}_{0}}={{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=4$.

Theo định lý Viét ta có ${{z}_{0}}.{{\bar{z}}_{0}}=\frac{{{a}^{{2}}-2a}{1}={{a}}{2}}-2a$ $\Rightarrow {{a}^{{2}}-2a=4\Leftrightarrow {{a}}{2}}-2a-4=0$ $\left( * \right)$.

Phương trình $\left( * \right)$ luôn có hai nghiệm thực phân biệt, theo định lý Viét ta có tổng các giá trị của số thực $a$ bằng 2 $\left( 2 \right)$.

+) Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra tổng các giá trị của số thực $a$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+3z+{{a}{2}}-2a=0$ có nghiệm phức ${{z}_{0}}$ thỏa $\left| {{z}_{0}} \right|=2$ là 4.