Các bài tập về bất đẳng thức côsi năm 2024

Tài liệu gồm 174 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức – bất phương trình, giúp học sinh lớp 10 tham khảo khi học chương trình Đại số 10 chương 4 (Toán 10).

BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC. Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất. + Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. + Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất. + Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi. + Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. + Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa. + Loại 4: Kĩ thuật Côsi ngược dấu. Dạng 3: Đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức. Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ.

BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. Dạng 1. Điều kiện xác định của bất phương trình. Dạng 2. Cặp bất phương trình tương đương. Dạng 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.

BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT. Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất. Dạng 2. Bất phương trình tích. Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 4. Bất phương trình chứa trị tuyệt đối.

BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng 3. Bài toán tối ưu.

BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI. Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản. Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích. Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 4. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập xác định của hàm số. Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm – có nghiệm – có hai nghiệm phân biệt. Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng. Dạng 8. Hệ bất phương trình bậc hai.

• Bất Đẳng Thức Và Cực Trị
• Phương Trình - Hệ Phương Trình - Bất Phương Trình

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức quan trọng và có ứng dụng rộng rãi trong toán học. Được đặt tên theo nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy, bất đẳng thức cosi lớp 9 này cung cấp một phương pháp hiệu quả để ước lượng giá trị trung bình của các sản phẩm của các số thực.

Bất đẳng thức Cosi có dạng:

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ) ≤ √(a₁² + a₂² + … + aₙ²) √(b₁² + b₂² + … + bₙ²)

Trong đó a₁, a₂, …, aₙ và b₁, b₂, …, bₙ là các số thực.

Để chứng minh bất đẳng thức Cosi, ta sử dụng định lí Pythagoras. Định lí Pythagoras khẳng định rằng đối với bất kỳ tam giác vuông, tổng bình phương của 2 cạnh góc nhọn sẽ bằng bình phương của cạnh huyền.

Áp dụng định lí Pythagoras vào bất đẳng thức cosi lớp 9, ta có:

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + … + aₙ²) (b₁² + b₂² + … + bₙ²)

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta cần chứng minh rằng:

(a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ)² – (a₁² + a₂² + … + aₙ²) (b₁² + b₂² + … + bₙ²) ≤ 0

Bằng cách sắp xếp các thành phần tương ứng, ta có:

[(a₁b₁)² – (a₁²)(b₁²)] + [(a₂b₂)² – (a₂²)(b₂²)] + … + [(aₙbₙ)² – (aₙ²)(bₙ²)] ≤ 0

Sử dụng tính chất của các số thực và bất đẳng thức AM – GM (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân), ta có thể chứng minh rằng từng thành phần trong ngoặc đơn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Vì vậy, ta kết luận rằng bất đẳng thức Cosi là đúng và có thể áp dụng trong nhiều bài toán và phương pháp tính toán trong toán học.

\>> Tham khảo: Diện tích hình thang lớp 5

Giờ học toán tại trường

2.Một số điểm cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy

Định nghĩa: Bất đẳng thức Cauchy cho biết rằng tổng của tích của các phần tử tương ứng từ hai dãy số thực không vượt quá tích của tổng bình phương của từng dãy số đó.

Sử dụng trong đa dạng bài toán: bất đẳng thức cosi lớp 9 có thể được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức khác, giải quyết các bài toán về tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức.

Chứng minh: Bất đẳng thức Cauchy có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép biến đổi Cauchy-Schwarz, một kỹ thuật quan trọng trong lý thuyết đại số và phân tích.

Ứng dụng: bất đẳng thức cosi lớp 9 được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực, từ toán học cơ bản đến các lĩnh vực như toán học ứng dụng, vật lý, kinh tế và thống kê.

Tóm lại, bất đẳng thức Cauchy là một công cụ mạnh mẽ và quan trọng trong toán học, cung cấp một phương pháp hiệu quả để ước lượng và so sánh các giá trị của các dãy số thực.

Học sinh ôn lại bài tập

Bất đẳng thức cosine (còn được gọi là bất đẳng thức cao học, hoặc bất đẳng thức AM-GM cho hàm cosine) là một trong những bất đẳng thức cosi lớp 9 quan trọng trong toán học và có nhiều dạng biến thể khác nhau. Bất đẳng thức này thường được sử dụng để ước lượng các biểu thức liên quan đến cosin, mà là một trong những hàm toán học quan trọng trong hình học và phân tích.

Dưới đây là một số dạng của bất đẳng thức cosine phổ biến:

Dạng bài tập về bất đẳng thức Cosi

Như vậy, các em đã nắm được các kiến thức liên quan đến BĐT Cosi rồi đúng không nào, bây giờ hãy áp dụng chúng để đi giải một số dạng bài tập mà freetuts đã liệt kê ngay bên dưới đây nha:

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp BĐT Côsi trong bài tập chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: Cho 2 số dương a, b thỏa mãn a^2 + b^2 = 2, hãy chứng minh:

(a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) ≥ 4

Lời giải:

Vì a, b > 0 nên suy ra a/b > 0, b/a > 0, a/b^2 > 0, b/a^2 >0.

Áp dụng bdt Cosi, ta có:

a/b + b/a ≥2 căn bậc hai (a/b x b/a) = 2

a/b^2 + b/a^2 ≥2 căn bậc hai (a/b^2 + b/a^2 ) = 2/(căn bậc 2(a x b)

Suy ra:

(a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) ≥ 4/(căn bậc 2 của a x b) (1)

Mà ta có:

2 = a^2 + b^2 ≥ 2 x (căn bậc 2 của a^2 x b^2) = 2.a.b

⇒ a.b ≤ 1 (2)

Kết hợp (1) và (2), ta có:

(a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) ≥ 4 (điều phải chứng minh),

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1.

Dạng 2: Kỹ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức cosi lớp 9

Đối với dạng toán này, các em hãy biến đổi BĐT cần phải chứng mình bằng cách nhân, chia hoặc thêm bớt một số, để có thể đơn giản được BĐT ban đầu.

Lưu ý: Khi tách và áp dụng BDT cosi, phải dựa vào việc đảm bảo cho dấu “=” xảy ra.

Ví dụ: Cho a, b là số thực dương, sao cho a > b, chứng minh rằng:

a + 1/(b.(a – b) ≥ 3.

Lời giải:

Coi 1/(b.(a – b), b, (a – b) là 3 số dương, ap dụng bất đẳng thức Co si cho 3 số dương ta có:

Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi:

a – b = b = 1/(b.(a – b) ⇔ a = 2; b = 1.

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của biểu thức

Ví dụ: Bài tập tìm GTLN, GTNN bằng bất đẳng thức Cosi lớp 9

Cho hai số dương a, b. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức trong trường hợp sau:

1. a + b = 8, tìm GTLN của A = (a + b ).a.b

2. a.b = 6 không đổi, tìm GTNN của biểu thức B = (a + b)/ (a^2.b^2)

Lời giải:

Vì a + b = 8 nên ta có A = (a + b ).a.b = 8ab.

Áp dụng hệ quả bất đẳng thức cô si, ta có:

A đạt GTLN khi và chỉ khi (a x b) max ⇔ a = b (1)

Ta có: a + b = 8, a = b ⇒ a = b = 4.

Vậy A max = 6.4.4 = 96.

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là 96 khi a = b = 4.

2. Ta có B = (a + b)/ (a^2.b^2) = (a + b)/9^2 = (a + b)/81 vì a.b = 9 luôn không đổi.

Áp dụng hệ quả BĐT cosi, ta có:

B min ⇔ (a + b) min ⇔ a = b.

Lúc này ta có: a = b; a.b = 9 ⇒ a = b = 3.

Vậy B min = (3 + 3)/81 = 2/27

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2/27 khi a = 3 = 3.

Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức cao học cơ bản: Đây là dạng cơ bản của bất đẳng thức cosi lớp 9, được biểu diễn

Những dạng của bất đẳng thức cosine này thường được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học, từ hình học đến phân tích và các vấn đề liên quan đến tối ưu hóa và ước lượng. Đồng thời, chúng cũng là công cụ hữu ích trong giải các bài toán và bài tập toán học.