Bài tập tích phân nâng cao tìm fx năm 2024
|
####### Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số Show
0 , 0 Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital Khi x → xo mà ( ) ( ) f x g x → → hoặc ( ) ( ) 0 0 f x g x → → \=> ( ) ( ) ( ) ( ) ' lim lim x xo x xo ' f x f x I →→ g x g x \== Ví dụ: 0 ( ) 0 1 lim lim 1 ln 1 1 1 x x x x x →→ \== + 0 0 1 2 lim lim x sin x cos x x →→ x x \== Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1 ( ) 0 0 4 cos ln 1 4 sin 4 1 4 sin lim lim 3 1 3 ln 3 ln 3 x x x x x x x I →→
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2 3 4 2 3 2 0 0 0 0 3 4 6 12 6 24 lim lim lim lim 6 x sin x 1 cos x sin x cos x x x x x x x → x x → x → x → x
. Vận dụng ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 x x x x e x → x → öö ÷÷+ = = + øø Ví dụ: ( ) ( ( )) cos 1 1 1 cos 1 sin cos 1 1 0 0 0 0 lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x e e − − − − → → → → ùù = + − = = = úú ûû
x x x x e →→ x x ö ö ö ö + = + = ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø ø Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3 ( ) ( ( )) cos 1 1 1 cos 1 sin sin cos 1 sin cos 0 0 0 0 lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x e e − −− − → → → → ùù = + − = = = úú ûû
00 0 , , 0 Khi x → xo , ( )( )0 0 u x v x → → \=> ( )( ) ( ) ( )ln lim lim o o v x v x u x x x x x I u x e ùùûû →→ \== Ví dụ ln 1/ lim lim lim 1/ 1/ 2 0 0 0 0 lim ln ln 0 0 lim lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e− →+ →+− →+ →+ ++ →→ \= = = = = =5 5ln 5 lim lim lim 1 x x x x x x x x e e → → → \= = = Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3 : ( )tan 0 lim sin x x I x →+ \= ( )( ) ( ) 2 2 cos ln sin sin 1 1 tan tan ln sin sin cos 0 tan tan .cos 0 0 0 0 0 lim sin lim lim lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x x x I x e e e e e + + + + + − − → → → → → \= = = = = = = Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2: 2 lim 1 n n n →+ Xét ( )( )2 2 1 ln 1 2 lim lim 2 2 1 0 lim 1 lim 1 1x x x x x x x x x x I x x e e e→+ →+ + →+ → \= + = + = = = = =>2 lim 1 n n n →+
( )( ): , 0 : , o o VCB x x f x VCL x x f x →→ → →
k ñ → ò \= k = 1 ñò k = 0 ñ cấp cao hơn ò k 0;1 ñ cùng cấp ò
A K → B \= K = 1 A B K = A cấp cao hơn B K 0;1 A, B cùng cấp Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4 Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 ñò x = + + ax bx x , x =sin x Ta có: ( ) ( ) 3 3 ò x =sin x x ( ) 2 3 4 2 ñ x = + + ax bx x ax nếu a khác 0 => a = 0 ( ) 3 4 4 ñ x =+ bx x x nếu b = 0; ( ) 3 4 3 ñ x =+ bx x x nếu b = Vậy a = 0; b = ####### Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn
o x x f x f x + → \=
o x x f x f x − − → \= Ví dụ: 0 1 lim x x + → ####### = ( ) 0 lim ln x x →+ \=− Câu 3 – GK20173 – N2 – D4: 2 1 1 2 lim 1 x x x x → öö+ ÷÷= øø− Câu 3 – GK20171 – N3 – D7: 1 1 1 ln 1 ln 0 0 1 lim lim 0 1 ln x x x x x x x x e x x ++ öö ÷÷− øø− →→ öö − = = ÷÷ øø−
−+ == Ví dụ: Xét sự liên tục cÿa f(x) = x 2 +2x+5 tại xo=0 => f(xo
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục y = ( ) 2 ln 1 4 ; 0 0; 0 x x x x − \= Nhận xét: Hàm số liên tục trên R{0} Tại x = 0: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ln 1 4 ln 1 4 0 0 lim lim 0 0 x x x x f f f x x ++ +− →→ −− = = = = = => liên tục tại 0 Hàm số liên tục trên R Đề 5 – 20141 : Tìm m để f(x) = 2 1 cos 2 ; 0 ; 0 x x x m x − \= liên tục tại x = 0 ####### ( ) ( ) 0 0 lim lim 2 2 x x f x f x m +− →→ \= = =þ = III. Đạo hàm
( ) ( ) ' | lim o o o x x x o f x f x f x → x x − −
( ) ( ) ' lim o o o x x o f x f x f x x x → − − Trái: ( ) ( ) ( ) ' lim o o o x x o f x f x f x x x − − → − − Chú ý: f(x) có đạo hàm tại xo => Liên tục tại xo, không có ngược lại Ví dụ: Tính đạo hàm 2 tan tan ' 2 cos x x y x x y x x \= = + C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’(0) với 3 y = x arcsin x ( ) ( ) 3 0 0 0 arcsin '(0) lim lim 0 x x f x f x x y →→ x x − = = = C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 f(x) = sin ; 0 cos ; 0 x e a x x x x − ü . Với a tìm được, tính f’(0) f(0) = f(
f’(
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ Vi phân cÿa y = f(x) là = + − y f x ( x ) ( ) ( ) f x f ' x . x Cách tính xấp xỉ: f x ( o + = x ) ( ) ( ) f xo + f ' xo x Ví dụ: Áp dụng vi phân, tính gần đúng 3 7. Xét ( ) ( ) 2 313 ' 3 f x x f x x − \= =. Ta có xo = = −8; x 0. Áp dụng f x ( o + = x ) ( ) ( ) f xo + f ' xo x => 3 7=7. Tồn tại đạo hàm khi và chỉ khi f’(xo
Áp dụng vi phân, tính gần đúng sin 0. 4 öö ÷÷+ øø Xét f x ( )= sin x f x '( ) cos= x. Ta có ; 0. 4 xo x = = sin 0 sin 0 0. 4 4 4 ö ö ö ö ö ö ÷ + ÷= ÷ ÷+ ÷ ÷= ø ø ø ø ø ø Câu 6 – 20181 – D4 – N1: Āng dụng vi phân, tính gần đúng 4 2 2 0− Xét ( ) ( ) 1 3 4 4 4 2 2 2 1 2 ' 2 f x f x x x x x − ö ö − ö ö = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø ø . Ta có xo = = −2; x 0. 4 ( ) ( ) 2 2 0 ' 2 1. 2 0. \= f − f = − Chú ý: Công thức Leibiniz: ( )( ) ( ) ( ) 0 ..n n k n k k n k u v C u v− \= \=õTrong đó: ( Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v (k) = 0 Ví dụ: x 5 có đạo hàm cấp 5 bằng 0 ( ) ( ) ( )( ( ))( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 2 202112 2 2 2 2 0 ( ) sin. ' cos sin '' 2 cos'' sin. sin. sin. sin.sin. 2 cos. sin. 2 cos.x x x k k k x x x x k x x x x f x x e f x x x e f x xef x C x e C x e C x e C x ex e x e x e x e− \= \= = + =\= = + +\= − + + =õ
(20) (1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )20 20 20 0 20 0 1 19 1 20 20 20 0 20 19 19 18 20 19 19 19 19 ln ln ln 19! 18! 19! 20! 20! 19! ln 20 ln 1.. 20 1 k k k k y C x x C x x C x x x x x x x x x x x − \= \= = + − − = + = − + − = + = õ y (20) (1) = 20!-19! Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp ( ) ( )2 3 1 1 2 ' '' 111 y y y x x x − = = =
Giả sử ( ) ( )( )1 1! 1. 11 n n n n x x öö ÷÷=− øø+ + (*) Với ( )2 1 1 ' 1 n y x − = = + \=> n = 1 đúng với (*) Với ( )3 2 2 '' 1 n y x \= = + \=> n = 2 đúng với (*) Giả sử ( ) ( )( )1 ! 1. 1 k k k k n k y x \= = − + + là đúng ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )1 1 2 2 2 1 1 1! 1 1. !. 1 1 1 k k k k k k k k x k n k y y k x x
− + + + = + =ùù= − = − ++ (đúng với *) Ví dụ: Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2 : Cho y = (x+1)lnx. Tính y (20) (1) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )20 20 20 0 20 0 1 19 1 20 20 20 0 20 19 19 18 20 19 ln 1 ln 1 ln ( 1) 19! 18! ln 1 20 ln 1. .( 1) 20 1 2! 20! 2! 19! 18! 18! 19! k k k k y C x x C x x C x x x x x x x x − \= \= + = + + + \= + + = − + + − = − + = − + + = − õCâu 5 – 20171 – Đề 1 – N1 : Tính y (5) (x) với y = ln(2x 2 -x) ( )( )5 (5) 5 5 2 4! 2 .4! ln ln ln 2 1 2 2 1 y x x yx x x x \= = + −− =þ = + − Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x 2 ln(1-3x). Tính y (n) (0), n≥3. ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ))( ) ( )( )( ) ( )2 2 0 0 0 ln 1 3 0 , 0 n n k k n k k n k y C x x x − \= \=õ − =2; 2 0; 0 k k \= \= ( ) ( ) ( ( ))( ) ( )2 2 0 2 ln 1 3 0 n n y Cn x − = − Ta có ( )( )( ) ( )( )( )( ) 1 2 3 9 3 ln 1 3 ' '' 1 1! 1 3 1 3 1 3 n n n n y x y y y n x x x −− − − = − = = = − − − −− ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 ln 1 3 0 2 1 3! 2 3! 1 3 n n n n n n n n C x C n C n x − − − − − − − = − − = − − − Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho ( )( )4 1 ( ) ln 2 5! x f x x − =−. Tính d 10 f(1). ( )( ) ( )( ) ( ) (( ))( ) ( ( ))( ) 10 10 10 10 10 4 10 10 0 1 1 1 , 1 1 ln 2 5! k k k k d y y dx y C x x − \= \= = õ − −.Ta có (( ) )4 ( ) 1 k x −= 4!; 4 0; 4 k k \= \=> ( ) ( ( ))( ) ( ( ))( ) ( )( )( )6 (10) 4 6 6 5 106 1 1 1 4! ln 2 42 ln 2 42. 1 .5!. 5040 5! 2 y C x x x − = − = − = − = − − Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số 3 y =+ 1 x đến x 3 để tính gần đúng 3 1, 09 Quy tròn đến 10
( ) ( )1 3 2 3 3 3 3 3 2 3 1 1 5 1 1 1 3 9 81 1 1 5 1, 09 1 0, 09 1 .0, 09 .0, 09 .0, 09 1, 029145 3 9 81
\= + = + − + =
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
n . n! = kết quả cần tìm Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp cao y (5) (0) của y = sin x. y (5) (0) = sin (x+5π/2)|x=0 = 1 Ta có khai triển Mac của y là: 1315 sin 3! 5! x = − + x x x Hệ số của x 5 là 1 5! \=> y (5) (0) = 1 5! . 5! = 1 Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3 : Cho y = e x sinx. Tính đạo hàm cấp cao y (6) (0). 12131415 1 2 3! 4! 5! x e = + + + + x x x x + x 1315 sin 3! 5! x = − + x x x \=> Hệ số của x 6 của sin x e x là: 2 1 6 1 3 1 6 1 5! 3! 5! 90 x x x öö − − + = ÷÷ øø ( ) ( ) ( ) ( ) 6 016 0 8 6! 90 y y − = = − Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho 2 2 1 x y x \= + . Tính đạo hàm cấp cao y (7) (0). ( ( )) ( ) ( ( ))( ) 8 2 (7) 2 2 2 ln 1 ln 1 1 x y x y x x x = = + = + + . Ta có: ( ) 2 3 4 ln 1 ... 2 3 4 x x x + = − + − + x x => ( ) 4 6 8 2 2 ln 1 ... 2 3 4 x x x
( ( ))( ) ( ) ( ) 8 2 (7) ln 1 0 1 8! 0 10080 4 8! 4 x y
Cách làm: khi x => 0. Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất phụ thuộc mẫu Ví dụ: Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính ( )( ) 4 2 0 5 3 1 1 2 cos 2 lim x ln 1 2 x x → x x −+ − ( ) 5 3 8 x ln 1 2−− x 2 x ( )8 4 4 8 2 4 1 2 1 2 cos 2 1 6 x x x x x x
−+ \=> ( ) ( )8 8 4 2 4 4 8 8 4 8 1 2 cos 2 1 1 2 6 3 x x x x x x x o x x −
( )( ) 4 2 8 0 5 3 0 8 4 1 1 2 cos 2 3 2 lim lim x ln 1 2 x 2 3 x x x →→ x x x −+ − == − − II. Tiệm cận
Trong đó: ( ) lim lim ( ) ( ) lim lim ( ) x x x x f x a b f x ax x f x a b f x ax x → →→ →− − \= = − \= = − ( ) ( ) x f t y g t \= \= . Xét lim tiến tới to hoặc ∞
( ) ( ) lim lim o o t t t t f t a g t → → \= \=
( ) ( ) lim lim o o t t t t f t g t b → → = \=
Nếu lim ( ) t to f t → \= và lim ( ) t to g t → \= thì đường cong có thể có tiệm cận xiên. ( ) lim lim o o t t t t y a x b y ax → → \= \=− Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm số 2 2 x y x \= − . lim 1; lim 1 x x y y →→− \= = − => 2 tiệm cận ngang 2 2 lim l; im x x y y +− → →− = = − => 2 tiệm cận đứng Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của 1 2 1 x x y xe
2 2 1 2 2 2 2 lim lim lim 4 4 x x x x x y e e y e x e y e x x →→ − → \= = − = = +. Xét lim tại -∞ tương tự. Câu 8 – GK20173 – D5 – N3: Tìm tiệm cận xiên y = ln(1+e -2x ). ( )( )( ) ( ) 2 2 2 ln 1 lim lim 0 lim lim ln 1 0 ln 1 lim lim 2 lim 2 0 2 x x x x x x x x x x y e y e khongco x x y e y x y x x x − − → → → → − → −→ →
Ví dụ: Tìm tiệm cận của 2 1 x t y t \= \= 0 0 0 lim lim 0 : 0 lim 0 li ; ; :m t t t t T x y TCN y x y CD y →→ →→ \= = =þ = \= == Câu 9 – 20161 – D4: Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi 2 3 3 2016 2016 ; 1 1 t t x y t t \== −− 1 1 ;lim lim t t x y →→ \== => Không có TCD, TCN. Có TCX 0 lim 0;lim t t x y → → \== => Không có ( ) 1 1 1 2016 lim lim 1; lim 3 2016 3 t t t y t y x x y x → → → − = = − = = − III. Tiếp tuyến:
y = f’(xo)(x-xo) + yo
( ) ( ) x x t y y t \= \= tại to ( ) ( ) ( ) ' '( ) o o o o x x t y y t x t y t −− = ####### Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân
II. Một số cách tính nguyên hàm
m n x xdx #######
Ví dụ: 3 2 I = sin x cos x dx ####### . Đặt t = cos x => ( ) ( ) 5 3 5 3 2 2 4 2 cos cos 1 5 3 5 3 t t x x I = − t t dt = − t t dt = − + =þ = C I − + C ####### Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2: 2 2 2 2 x I dx x x
( ) ( ) ( )(( ) )( )2 2 2 2 2 ln 1 1 2 2 1 3 3arctan 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 x x x x I dx dx dx x C x x x x x öö−+
Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1: ( )3/ 2 2 ln 1 2 ln 1 3 x x I dx C x
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1: 2 I = arccos xdx Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt 2 2 2 I = − t sin tdt = t cos t − 2 t cos tdt t = cos t −2 sin t t −2 cos t C + Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7: 2 arctan x I dx x \= I Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = (tan 2 t +1)dt 2 2 2 (tan 1) 1 arctan ln sin ln sin(arctan ) tan sin tan tan t t tdt t x I dt td t C x C t t t t x
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3: 2 2 arcsin 1 1 arcsin 1 2 1 1 2 1 2 2 arcsin 1 2 arcsin 1 2 arcsin 1 4 1 1 1 x I dx x u x du dx x dx dv v x x x I x x dx x x dx x x x C x x \= + \= =þ = − \= = + +
Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3/ 4 1/ 4 7 / 4 3/ 4 7 / 4 3/ 4 1/ 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 7 3 7 3 1 x x e tdt x x I dx t t dt t t C e e C e t − = = = + − +ùù= + − + + = + − + + ûû Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1: ( )( )2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ln 1 arctan 1 1 1 1 1 3 3 2 x x I dx dx dx x x C x x x x x x x
Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1: ( )2 I = ln x + + x 1 dx |
