Bài tập hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn năm 2024
|
Tài liệu gồm 60 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Quang Xe, hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn trong chương trình môn Toán lớp 10 (SGK mới); bên cạnh đó, tài liệu còn tổng hợp nhiều ví dụ minh họa (có đáp án và lời giải chi tiết), bài tập rèn luyện và bài tập nâng cao hỗ trợ hiệu quả cho học sinh trong quá trình học tập Toán 10. Show
MỤC LỤC: Phần I ĐẠI SỐ. Chương 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 2. Bài 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 2. A Tóm tắt lí thuyết 2. B Một số dạng toán 3. + Dạng 1. Giải hệ phương trình bậc nhất bằng ba ẩn bằng phương pháp Gauss 3. + Dạng 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay 6. C Bài tập luyện tập 7. D Bài tập rèn luyện 13. Bài 2. ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 23. A Các dạng toán và ví dụ 23. + Dạng 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 23. + Dạng 2. Ứng dụng trong giải bài toán Vật Lý, Hóa Học, Sinh Học. 24. + Dạng 3. Ứng dụng trong giải bài toán kinh tế 26. B Bài tập rèn luyện 27. C Bài tập tự luận 30. Bài 3. BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 1 45. A Bài tập tự luận 45. B Bài tập sách giáo khoa 50. C Bài tập nâng cao 56.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Chủ đề giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn: Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn là một quy trình complex nhưng hấp dẫn với máy tính Casio và phương pháp Gauss. Điều này giúp chúng ta tìm ra các nghiệm (x, y, z) của hệ phương trình một cách chính xác. Phương pháp này hỗ trợ việc thực hiện các tính toán phức tạp một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bằng cách sử dụng máy tính Casio và phương pháp Gauss, việc giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sẽ trở nên dễ dàng và thú vị hơn bao giờ hết. Mục lục Làm thế nào để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn?Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, cần làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định hệ số của các biến và các hằng số trong các phương trình của hệ. Bước 2: Sử dụng phương pháp substitution (thay thế) hoặc phương pháp elimination (loại trừ) để đưa hệ phương trình về dạng có ít biến hơn. - Phương pháp substitution: Chọn một biến trong hệ và giải một phương trình có chứa biến đó theo biến còn lại. Tiếp theo, ta thay giá trị của biến giải được vào các phương trình còn lại trong hệ để tìm các nghiệm của biến khác. Cuối cùng, tìm giá trị của biến cuối cùng dựa trên các giá trị của các biến còn lại. - Phương pháp elimination: Lựa chọn các phương trình trong hệ để tạo ra tính hiệu ngang hàng (cả ba biến có hệ số khác 0) hoặc một biến bị loại trừ (hệ số của biến đó trong các phương trình khác 0), sau đó tiến hành giải hệ phương trình thu được. Bước 3: Giải các phương trình còn lại trong hệ để tìm các giá trị của biến. Bước 4: Kiểm tra các giá trị của biến đã tìm được bằng cách thay vào các phương trình trong hệ. Nếu các giá trị làm cho tất cả các phương trình đều thỏa mãn, ta có nghiệm của hệ phương trình. Lưu ý: Đối với hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có nghiệm vô số, ta sẽ xác định các tham số để biểu diễn nghiệm chung của hệ. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss là gì?Phương pháp Gauss được sử dụng để giải giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss, chúng ta thực hiện các bước sau đây: Bước 1: Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận mở rộng. Ma trận mở rộng là ma trận có số hàng và số cột lần lượt bằng số phương trình và số ẩn trong hệ. Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi ma trận để đưa ma trận mở rộng về dạng tam giác trên. Phép biến đổi ma trận bao gồm các phép nối 2 hàng, nhân hàng với một số, và hoán đổi vị trí hai hàng. Bước 3: Giải hệ phương trình dạng tam giác trên bằng cách sử dụng các phương trình có dạng x = c hoặc y = c hoặc z = c, với c là một hằng số. Bắt đầu từ hàng cuối cùng của ma trận mở rộng, ta có thể suy ra giá trị của ẩn. Bước 4: Đặt giá trị của ẩn vào các phương trình ban đầu để kiểm tra xem giá trị tìm được có thỏa mãn tất cả các phương trình hay không. Đó là phương pháp Gauss để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Phương pháp này làm việc tốt với các hệ phương trình đơn giản, nhưng có thể gặp khó khăn khi hệ phương trình phức tạp hơn. XEM THÊM:
Cách giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính Casio là như thế nào?Để giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy tính Casio, ta có thể sử dụng phương pháp Gauss-Jordan. Dưới đây là các bước chi tiết: Bước 1: Gõ lệnh vào máy tính Casio để mở chế độ giải nghiệm phương trình. Lệnh phổ biến để mở chế độ này là \"MODE\" và sau đó chọn \"EQN\". Bước 2: Gõ lệnh để nhập hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn. Ví dụ, nếu ta có hệ phương trình: ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = l Ta cần nhập các hệ số a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l vào máy tính. Bước 3: Sử dụng lệnh để xem kết quả giải phương trình. Lệnh phổ biến để xem kết quả là \"SOLVE\" hoặc \"CALCULATE\". Sau khi thực hiện các bước trên, máy tính Casio sẽ hiển thị kết quả giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn. Toán 10 - Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng PP Gauss - chương trình mớiHãy xem video hướng dẫn giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn để nắm bắt kỹ thuật làm bài một cách chính xác và nhanh chóng. Trải nghiệm quá trình giải toán thú vị và cảm nhận rõ ràng sự ứng dụng của phương pháp này trong giải quyết vấn đề thực tế. XEM THÊM:
Những điều kiện gì cần có để hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có nghiệm?Để hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có nghiệm, có hai điều kiện cần phải đảm bảo như sau: 1. Điều kiện số phương trình bằng số ẩn: Trong hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, số lượng phương trình phải bằng với số lượng ẩn, tức là cần phải có ba phương trình đồng thời. 2. Điều kiện đảm bảo phương trình không trùng nhau: Các phương trình trong hệ phải là độc lập tuyến tính, tức là không thể có một phương trình có thể suy ra từ phương trình khác. Điều này đảm bảo rằng ta sẽ không gặp phải trường hợp vô số nghiệm hoặc không có nghiệm. Nếu cả hai điều kiện trên đều đảm bảo, thì hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sẽ có một nghiệm duy nhất hoặc một tập hợp các nghiệm duy nhất. Cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể sử dụng các phương pháp như phương pháp đường thẳng, ma trận hoặc phương pháp Gauss để tìm nghiệm. Những phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn khác nhau ngoài phương pháp Gauss là gì?Những phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn khác nhau ngoài phương pháp Gauss bao gồm: 1. Phương pháp Substitution: Đây là phương pháp giải hệ phương trình bằng cách lựa chọn một biến và sử dụng phương pháp thế để thay đổi biến này bằng biến khác trong các phương trình khác để thu được giá trị của các biến còn lại. 2. Phương pháp Elimination: Phương pháp này dựa trên việc loại bỏ các biến một cách tuần tự khỏi các phương trình trong hệ. Bằng cách sử dụng các phép toán đại số, ta có thể loại bỏ từng biến một trong các phương trình để thu được giá trị của các biến còn lại. 3. Sử dụng ma trận: Trong phương pháp này, ta có thể biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận và áp dụng các phép toán trên ma trận để giải hệ phương trình. Các phép toán như ma trận nghịch đảo, ma trận chuyển vị, ma trận gia đối... có thể được sử dụng để giải hệ phương trình. Các phương pháp này có thể được áp dụng để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn khác nhau, tùy thuộc vào yêu cầu của bài toán cụ thể.  _HOOK_ XEM THÊM:
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn – Môn Toán 10 (Cơ bản & Nâng Cao) – GV: Ngô Văn ToảnVideo về hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sẽ giúp bạn hiểu rõ cơ bản về các phương trình đa ẩn và cách giải chúng một cách hiệu quả. Hãy tạm gác bớt nỗi lo lắng và bắt đầu khám phá thế giới thú vị của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sử dụng phương pháp thế là gì?Phương pháp thế là một trong các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Ghi lại các phương trình trong hệ. 2. Chọn một trong các phương trình và giải nó theo một ẩn nào đó. 3. Thay giá trị của ẩn đã tìm được vào các phương trình còn lại trong hệ. 4. Giải các phương trình còn lại theo ẩn đã biết. 5. Kiểm tra nghiệm bằng cách thay các giá trị ẩn vào từng phương trình và kiểm tra tính chính xác. Ví dụ, giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau đây sử dụng phương pháp thế: Phương trình 1: 2x - 3y + z = 7 Phương trình 2: 3x + 2y - z = 1 Phương trình 3: x + 4y + 2z = 11 Bước 1: Ghi lại các phương trình. 2x - 3y + z = 7 3x + 2y - z = 1 x + 4y + 2z = 11 Bước 2: Chọn một phương trình và giải nó theo ẩn nào đó. Chọn phương trình 2 và giải theo x, ta có: 3x = 1 + 2y + z \=> x = (1 + 2y + z) / 3 Bước 3: Thay giá trị của x vào các phương trình còn lại. Thay x vào phương trình 1 và 3, ta có: 2(1 + 2y + z) / 3 - 3y + z = 7 (1 + 2y + z) / 3 + 4y + 2z = 11 Bước 4: Giải các phương trình còn lại theo ẩn đã biết. Từ phương trình 1, ta có: 2(1 + 2y + z) - 9y + 3z = 21 2 + 4y + 2z - 9y + 3z = 21 -5y + 5z = 19 y - z = -19/5 (*) Từ phương trình 3, ta có: (1 + 2y + z) + 12y + 6z = 33 2 + 2y + z + 12y + 6z = 33 14y + 7z = 31 2y + z = 31/7 (**) Bước 5: Kiểm tra nghiệm bằng cách thay các giá trị ẩn vào phương trình ban đầu. Thay x, y, z vào phương trình 1, ta có: 2x - 3y + z = 7 2((1 + 2y + z) / 3) - 3y + z = 7 (2 + 4y + 2z) / 3 - 3y + z = 7 (2 + 4y + 2z) - 9y + 3z = 21 -5y + 5z = 19 Điều này giúp ta biết rằng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ta đã tìm được nghiệm đúng. XEM THÊM:
Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sử dụng phương pháp đại số tuyến tính là gì?Phương pháp đại số tuyến tính là một phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách sử dụng các phép toán đại số tuyến tính như cộng, trừ, nhân và chia để tìm ra các giá trị của các biến ẩn. Cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp đại số tuyến tính như sau: 1. Xem xét hệ phương trình và viết lại dưới dạng ma trận. Đầu tiên, viết tất cả các hệ số của biến và hằng số vào một ma trận, gọi là ma trận hệ số. 2. Phân tích ma trận hệ số theo phép biến đổi hàng để đưa ma trận về dạng ma trận tam giác trên hoặc dạng ma trận bậc thang. 3. Giải hệ phương trình mới thu được bằng cách sử dụng phép nhân các hàng của ma trận và phép trừ các hàng để đưa ma trận về dạng ma trận bậc thang rút gọn. 4. Dựa trên ma trận bậc thang rút gọn, tìm các giá trị của biến ẩn bằng cách phân tích ma trận và giải hệ phương trình tương ứng. 5. Kiểm tra kết quả bằng cách thay giá trị của các biến ẩn vào các phương trình ban đầu để xác nhận đúng sai. Đây là một phương pháp chính xác và phổ biến giúp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Tuy nhiên, với các hệ phương trình phức tạp hơn, có thể cần sử dụng các phương pháp khác như phép chia đổi cột hoặc sử dụng ma trận nghịch đảo.  Tại sao hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm?Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm do các yếu tố sau: 1. Nếu các phương trình trong hệ là tương đương lẫn nhau, tức là một phương trình có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại, thì hệ sẽ có vô số nghiệm. Với một số nghiệm của hệ, chúng ta có thể thay thế vào một phương trình và tính được các nghiệm khác. 2. Nếu hệ phương trình không tương đương và có một số phương trình trùng nhau, thì hệ cũng sẽ có vô số nghiệm. Khi đó, các nghiệm của hệ phải thỏa mãn cùng lúc các phương trình trùng nhau đó. 3. Nếu hệ phương trình không có phương trình trùng nhau mà lại có một số phương trình tổ hợp tuyến tính của nhau, tức là một phương trình có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phương trình còn lại, thì hệ có vô số nghiệm. Bởi vì mỗi nghiệm của hệ cũng đồng thời là nghiệm của các phương trình tổ hợp tuyến tính đó. 4. Nếu hệ phương trình không có phương trình trùng nhau và cũng không có phương trình nào tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác, thì hệ có thể có nghiệm duy nhất hoặc không có nghiệm. Trong trường hợp này, số lượng nghiệm phụ thuộc vào giá trị của các hằng số trong hệ phương trình. XEM THÊM:
Toán 10 - Giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩnNhững thách thức tìm kiếm giải pháp cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn không còn là khó khăn với video hướng dẫn. Hãy xem và áp dụng các phương pháp giải đơn giản để đạt được kết quả chính xác và nhanh chóng. Khám phá khả năng giải quyết vấn đề của bạn ngay bây giờ! Cách xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn trong trường hợp có nghiệm duy nhất?Để xác định nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn trong trường hợp có nghiệm duy nhất, ta có thể sử dụng phương pháp Giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng phương pháp Gauss. Dưới đây là các bước để thực hiện: Bước 1: Xây dựng ma trận mở rộng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Bước 2: Áp dụng phép biến đổi hàng để đưa ma trận mở rộng về dạng ma trận tam giác trên. Đồng thời, cập nhật các thay đổi tương ứng lên các phương trình tương ứng. Bước 3: Giải hệ phương trình con còn lại từ hàng dưới cùng của ma trận tam giác trên lên. Bước 4: Thay các giá trị đã tìm được vào phương trình đầu tiên và giải phương trình để tìm giá trị của ẩn. Bước 5: Kiểm tra kết quả bằng cách thay các giá trị đã tìm được vào các phương trình còn lại của hệ và chắc chắn rằng nó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Ví dụ minh họa: Giả sử có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn sau: 2x + 3y - z = 8 3x - 5y + 2z = 1 x + y + z = 4 Bước 1: Xây dựng ma trận mở rộng: 2 3 -1 | 8 3 -5 2 | 1 1 1 1 | 4 Bước 2: Áp dụng phép biến đổi hàng: 2 3 -1 | 8 0 -13 5 | -13 0 -2 2 | -4 Bước 3: Giải hệ phương trình con còn lại: -13y + 5z = -13 -2y + 2z = -4 Từ hệ phương trình trên, ta có thể tìm được giá trị của y và z. Bước 4: Thay các giá trị đã tìm được vào phương trình đầu tiên: 2x + 3(-2) - 1(3) = 8 2x - 6 - 3 = 8 2x = 17 x = 17/2 Vậy nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn trong trường hợp này là (x, y, z) = (17/2, -2, 3). Bước 5: Kiểm tra kết quả: Thay các giá trị đã tìm được vào các phương trình còn lại của hệ để kiểm tra: 3(17/2) - 5(-2) + 2(3) = 1 17 - 10 + 6 = 1 1 = 1 (đúng) 17/2 + (-2) + 3 = 4 17/2 -2 + 3 = 4 4 = 4 (đúng) Vậy nghiệm (17/2, -2, 3) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.  XEM THÊM:
Tại sao các hệ số a, b, c không đồng thời bằng 0 trong phương trình bậc nhất ba ẩn?Các hệ số a, b, c trong phương trình bậc nhất ba ẩn không đồng thời bằng 0 vì khi một trong số chúng bằng 0, ta sẽ không được một phương trình bậc nhất ba ẩn nữa. Giả sử a=0, khi đó phương trình sẽ trở thành 0x + by + cz = d. Điều này dẫn đến việc ta chỉ có một phương trình duy nhất với hai ẩn y và z. Cũng tương tự, nếu b hoặc c bằng 0, ta sẽ chỉ được một phương trình duy nhất với hai ẩn x và z hoặc x và y. Điều này đồng nghĩa với việc ta không có đủ thông tin để tìm nghiệm chính xác của hệ phương trình ba ẩn. Do đó, để có thể giải hệ phương trình ba ẩn, ta cần đảm bảo rằng không có hệ số nào trong hệ phương trình bằng 0. _HOOK_ Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn - Bài 3 - Toán 10 - Thầy Lê Thành Đạt (HAY NHẤT)Đối mặt với hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn mà chưa biết phải bắt đầu từ đâu? Đừng lo lắng! Video hướng dẫn giải hệ bậc nhất nhiều ẩn sẽ giúp bạn hiểu rõ cấu trúc và cách giải quyết chúng một cách dễ dàng. Bước vào thế giới của các phương trình đa ẩn và thách thức bằng cách xem video ngay bây giờ. |
