Bài 75 trang 115 sbt hình học 10 nâng cao

LG a

Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \(x = \pm \dfrac{1}{2} , y = \pm 1\);

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

\(a = \dfrac{1}{2} , b = 1 \Rightarrow \) phương trình của \((H)\) : \( \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} - \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).

LG b

Một đỉnh là \((3 ; 0)\) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là \({x^2} + {y^2} = 16\);

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

\((3; 0)\) là một đỉnh của \((H) \Rightarrow a = 3\). Các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở với trục \(Ox\) là các tiêu điểm của \((H)\). Vậy \(c = 4 , {b^2} = {c^2} - {a^2} = 7\).

Phương trình của \((H): \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1\).

LG c

Một tiêu điểm là \((-10 ; 0)\) và phương trình các đường tiệm cận là \(y = \pm \dfrac{{4x}}{3}\);

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

\(c=10\). Các tiệm cận có phương trình \(y = \pm \dfrac{4}{3}x\), nên \( \dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}\), suy ra \( \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{4^2} + {3^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{9}\) hay \( \dfrac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{9}\). Vậy \({a^2} = 36, {b^2} = 64\).

Phương trình của \((H): \dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

LG d

\((H)\) đi qua \(N(6 ; 3)\) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng \(60^0\).

Phương pháp giải:

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình các đường tiệm cận là \(y = \pm \dfrac{b}{a}x\). Do góc giữa hai đường tiệm cận là 600và hai đường tiệm cận đối xứng với nhau qua Ox, nên có hai trường hợp:

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng 300, suy ra \( \dfrac{b}{a} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{30^0} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\). (1)

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng \(60^0\), suy ra \( \dfrac{b}{a} = \tan {60^0} = \sqrt 3 \). (2)

\(N \in (H) \Rightarrow \dfrac{{36}}{{{a^2}}} - \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\) (3)

Từ (1) và (3) suy ra \({a^2} = 9, {b^2} = 3\). Ta được hypebol \((H_1): \dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1\).

Từ (2) và (3) suy ra \({a^2} = 33 , {b^2} = 99\). Ta được hypebol \((H_2): \dfrac{{{x^2}}}{{33}} - \dfrac{{{y^2}}}{{99}} = 1\).