Luyện tập trang 89 toán 9

Giải bài 28, 29, 30, 31, 32 trang 89 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Luyện tập - Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Bài 28 Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).

Bài 28 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).

Lời giải:

Theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có:

\(\tan \alpha =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{7}{4} =1,75\)

Bấm máy tính: SHIFT tan 1,75 = , ta được: \(\alpha \approx 60^o 15'\)

Vậy góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất là \(60^015'\)

Bài 29 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Một khúc sông rộng khoảng \(250m\). Một chiếc thuyền chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng \(320m\) mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc \(\alpha\) trong hình 32).

Phương pháp:

+) Dựng tam giác có các cạnh và góc thỏa mãn đề bài.

+) Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn: \(\cos \alpha = \dfrac{cạnh\ kề}{cạnh\ huyền}.\) Từ đó dùng máy tính tính được số đo góc \(\alpha\). 

Lời giải:

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\(\cos \alpha =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{250}{320}\)

Bấm máy tính: SHIFT cos \(\dfrac{250}{320}\) =

\(\Rightarrow \alpha \approx 38^{\circ}37'\).

Vậy chiếc đò lệch đi một góc gần bằng: \( 38^{\circ}37'\). 

Bài 30 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Cho tam giác \(ABC\), trong đó \(BC=11cm\), \(\widehat{ABC}=38^{\circ},\widehat{ACB}=30^{\circ}.\) Gọi điểm \(N\) là chân của đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC\). Hãy tính:

a) Đoạn thẳng \(AN\);

b) Cạnh \(AC\).

Gợi ý: Kẻ \(BK\) vuông góc với \(AC\).

Phương pháp:

+) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^o\).

+) Sử dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) thì:

               \(b=a.\sin B \Rightarrow a=\dfrac{b}{\sin B}\); 

              \( b= a . \cos C \Rightarrow a=\dfrac{b}{\cos C}\).                   

Lời giải:

a) Kẻ \(BK\perp AC\) \((K\in AC)\)

Xét tam giác vuông \(BKC\) ta có: 

 \(\widehat{KBC}+\widehat{KCB}=90^{\circ}\)

\(\Rightarrow \widehat{KBC}=90^o - \widehat{KCB}=90^o -30^{\circ}=60^{\circ}\)

Mà \(\widehat{KBA}+\widehat{ABN}=\widehat{KBN} \Rightarrow \widehat{KBA}=\widehat{KBN}-\widehat{ABN}\)

\(\Leftrightarrow \widehat{KBA}=60^{\circ}-38^{\circ}=22^{\circ}\)

Xét tam giác \(KBC\) vuông tại \(K\) có:

\(BK=BC\cdot \sin C=11\cdot \sin30^{\circ}=5,5(cm)\)

Xét tam giác \(KBA\) vuông tại \(K\) có: 

\(BK=AB. \cos \widehat{KBA} \Leftrightarrow 5,5=AB.\cos 22^o \)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{5,5}{\cos 22^{\circ}}\approx 5,932 (cm).\)

Xét tam giác \(ABN\) vuông tại \(N\) có:

\(AN= AB. \sin \widehat{ABN} \approx 5,932.\sin 38^o \approx 3,652(cm)\)

b) Xét tam giác \(ANC\) vuông tại \(N\) có:

\(AN=AC. \sin C \Rightarrow 3,652 = \sin 30^o . AC\)

\(\Leftrightarrow AC=\dfrac{3,652}{\sin 30^o} \approx 7,304(cm)\).

Bài 31 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Trong hình 33, \(AC=8cm,\ AD=9,6cm,\ \widehat{ABC}=90^o,\ \)

\(\widehat{ACB}=54^o\) và \(\widehat{ACD}=74^o\). Hãy tính:

a) AB; 

b) \(\widehat {ADC}\).

Phương pháp:

a) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(B\) thì: \(AB=AC. \sin C\).

b) Kẻ thêm đường cao để làm xuất hiện tam giác vuông (Kẻ \(AH ⊥ CD\))

+) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) khi đó: \(AB=BC. \sin C\) hoặc \(AC=AB. \sin B\).

+) Biết \(\sin \alpha\) dùng máy tính ta tính được số đo góc \(\alpha\).

Lời giải:

a) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có:

\( \sin C = \frac{AB}{AC}\)

Nên \(AB = AC.\sin C = 8.\sin {54^0} \approx 6,472\left( {cm} \right)\)

b) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(CD\) tại \(H.\)

Xét tam giác \(ACH\) vuông tại \(H\) có:

\(\sin C = \frac{AH}{AC}\)

Nên \(AH = AC.\sin C = 8.\sin {74^0} \approx 7,69\left( {cm} \right)\)

Xét tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) có:

\(\sin {\rm{D}} = \dfrac{AH}{AD} \approx \dfrac{7,69}{9,6} \approx 0,801 \Rightarrow \widehat D \approx {53^0}\).

Bài 32 trang 89 SGK Toán lớp 9 tập 1

Câu hỏi:

Một con thuyền với vận tốc \(2km/h\) vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất \(5\) phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc \(70^{\circ}\). Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét).