Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 cos x m+1 0 có nghiệm

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)

A. 954

B.955

C. 956

D. 957

Lời giải

Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0

4. sinx.cos+ 4cosx= 0

4cosx. ( sinx+ 1) = 0

Mà k nguyên nên k{0;1;2;3;;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.

Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0;3000)

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc (0; 2000).

A.624

B. 652

C. 645

D. 636

Lời giải

Ta có: 2sinx+ 2cosx cos2x = 0

( 2sinx+ 2cosx) (cos2 x sin2 x)= 0

2(sinx + cosx) - ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx)= 0

( sinx+ cosx). ( 2- cosx + sinx) = 0

Mà k nguyên nên k{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng (0; 2000)

Chọn D.

Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x 3= cos4x. (2sin2x+ 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng( 10; 1000) ?

A. 1207

B. 1260

C.1261

D. 1208

Lời giải.

Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x 3= cos4x

1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x

cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x

cos2x+ cos6x 2cos 4x.sin2x=0

2cos 4x. cos2x 2.cos4x. sin2x= 0

2cos 4x.(cos2x sin2x) = 0

12,23 < k < 1272,8

Mà k nguyên nên k{ 13;14;1271;1272}

có 1260 số thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 4. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 108π)

A. 3025

B. 3026

C. 3027

D. Tất cả sai

Lời giải.

Điều kiện: ( 1+2cosx).sinx 0

Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:

( 1- 2cosx).( 1+ cosx) = ( 1+ 2cosx). sinx

1+ cosx 2cosx 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx

2cos2 x 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0

cos2x + cosx + sinx + sin2x=0

Mà k nguyên nên k {1; 2; 3; ..; 3027}

Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình

có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Lời giải.

Vì x nguyên dương nên (3k- 2)Ư (98)={1;2; 7;14;49;98}

Từ đó ta tính được k {1; 3; 17} chú ý k nguyên.

+ k= 1 x= 12

+ k= 3 x = 4

+ k= 17 x = 12

Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình:

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2017π)

A.4033

B. 4032

C. 4035

D. 4036

Lời giải.

( 1- cos2x)2 + (cosx- sinx)4=1

1- 2cos2x + cos22x + ( cos2x + sin2x 2.cosx. sinx)2= 1

1- 2cos2x + cos22x + (1- sin2x)2 - 1= 0

- 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0

(cos22x + sin22x ) +1 2.(cos2x+ sin2x)= 0

2- 2(cos2x + sin2x) = 0

cos2x + sin2x = 1

Mà k nguyên nên k{0;1;2; ...; 2016} có 2017 nghiệm

Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x tan2x 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Lời giải

Ta có: tan4x tan2x 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx

tan4x tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx

tan4x - tan2x = 4tanx. (tan 4x. tan2x + 1)

Chọn B.

Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình

trên khoảng (0; π)?

A. π/4

B. π/3

C. π

D.Đáp án khác

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: tan 3x + cot(π/2+x)=0

tan3x tanx = 0 tan3x= tanx

3x = x+kπ 2x= kπ

x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện )

Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin(cosx) = 0 trên khoảng (0; 4π) ?

A. 2

B.3

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: sin(cosx)=0

cosx = kπ (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 cosx 1 nên từ (*) suy ra: k= 0

Mà k nguyên nên k {0;1; 2;3}.

Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + (3- 2m)cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng ?

A. 1 < m < 2

B. 2 < m 3

C. 1 < m 2

D. 2 < m < 3

Lời giải.

Chọn C.

Câu 1:Cho phương trình: (cos4 x- sin4 x).( 2cos2x+5) 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π)

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

Hiển thị lời giải

Ta có: (cos4 x- sin4 x).(2cos2x+ 5) 3 = 0.

( cos2 x- sin2 x).( cos2 x+ sin2x) .( 2cos 2x + 5) 3= 0

cos2x.1.( 2cos 2x + 5) - 3= 0

2cos22x + 5cos 2x 3=0

Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc (π;4π)

Chọn C.

Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình

trên đoạn [0;2π]

A.3

B.4

C.5

D. 6

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên (0; 2π)?

A. 2

B.4

C.3

D.5

Hiển thị lời giải

0 < k < 4 mà k nguyên nên k {1; 2; 3}.

Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn C.

Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình

trên đoạn [ 2π;10π]?

A. 6

B .7

C. 8

D. 9

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx -3/2

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0

( sin2x cosx) + (2sin2x 5sinx + 2) =0

(2sinx. cosx cosx) + ( 2sin2x 5sinx + 2) = 0

cosx.( 2sinx- 1) + ( sinx- 2). ( 2sinx 1)= 0

( 2sinx 1). (cosx + sinx- 2) = 0

Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]

Chọn C.

Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.(tan2 x cos2x)= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng (0; 6π) ?

A. 9

B. 8

C. 10

D.11

Hiển thị lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1

x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π

Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; 6π) là 9 nghiệm.

Chọn A.

Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x 3sinx.cosx m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (0; 3π/2). Số các phần tử của tập S là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Hiển thị lời giải

Ta có: m. sin2 x 3sinx. cosx m- 1= 0

m.( sin2 x- 1) - 3sinx. cosx 1=0

- m.cos2 x 3sinx. cosx 1=0

m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0

+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

tan2 x+3tanx + m+ 1=0 (*)

Đặt t= tanx; phương trình (*) trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 3π/2) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

a.c= m+ 1 < 0 m < - 1

Mà m nguyên và m [ -4;7]

m{ -4; -3; -2}.

Tập S có 3 phần tử.

Chọn B.

Câu 7:Cho phương trình: ( cosx+ 1).(4cos 2x m.cosx)= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hiển thị lời giải

Ta có: (cosx+ 1). (4cos2x m.cosx) = m.sin2x

( cosx+ 1).( 4cos2x m. cosx) = m.(1- cos2 x)

(cosx+ 1) . ( 4cos2x- m. cosx) m.( 1- cosx).( 1+ cosx) =0

( cosx+ 1)( 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx)= 0

(cosx+ 1). ( 4cos 2x m) = 0

Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: (sinx-1).[2cos2x- ( 2m+1).cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]

A . 1

B. 2

C .3

D .4

Hiển thị lời giải

Ta có: (sinx- 1).[2cos2 x (2m+ 1).cosx + m] = 0

(sinx -1). ( 2cosx- 1).( cosx m) = 0

Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x (5m+ 1).sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng

. Tìm mệnh đề đúng?

A. m0= - 2

B. m0= 1

C.

D.

Hiển thị lời giải

Đặt t= sinx ( - 1 t 1) .

Phương trình đã cho trở thành: 2t2 (5m+1).t + 2m2 + 2m=0 (* )

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi