Chứng minh điểm cố định Hình học 9
Chú ý: Do tài liệu trên web đều là sưu tầm từ nhiều nhiều nguồn khác nhau nên không tránh khỏi việc đăng tải nhiều tài liệu mà tác giả không muốn chia sẻ nhưng mình không biết, những ai có tài liệu trên web như vậy thì liên hệ với mình để mình gỡ xuống nhé! Thầy cô nào có tài liệu tự làm muốn có thêm chút thu nhập nhỏ và chia sẻ tài liệu mình đến mọi người thì liên hệ mình để đưa tài liệu lên tài liệu tính phí, thầy cô nào có thể làm các khóa học về môn toán thì liên hệ với mình để làm các khóa học đưa lên web ạ! Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ) Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm Email: Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC Website: http://tailieumontoan.com
Những bài toán hình học liên qua đến yếu tố thay đổi thường gây rất nhiều khó khăn cho các em học sinh. Để giải các bài toán dạng này, các em cần phải có những kiến thức rộng và tư duy hình học tốt. Trong bài viết nhỏ này, tôi trình bày một vài kinh nghiệm giải các bài toán “Đường qua điểm cố định” thông qua lời giải của một vài bài toán quen thuộc. Đầu tiên, đường ở đây chỉ có thể là đường thẳng hoặc đường tròn. Các bước thực hiện bài toán là:
Vậy làm sao để tìm được điểm cố định? Đây là một việc khó, tất nhiên không phải ai cũng nhận ra được điểm cố định ngay, mà phải dự đoán, mà dự đoán bằng kinh nghiệm và thực hành.
Sau khi đã xác định chắc chắn điểm cố định, ta đi chứng minh đường đi qua điểm cố định đó. Việc chứng minh này tùy thuộc vào tính chất điểm cố định.
Ví dụ 1. (PTNK 2007) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là điểm thay đổi trên cung $BC$ không chứa $A$. Gọi $H, K$ là hình chiếu của $A$ trên $PB, PC$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.
Đầu tiên khi $P$ thay đổi thì đường thẳng $HK$ cũng thay đổi, tất nhiên ta chưa biết ngay rằng $HK$ đi qua điểm cố định nào. Vậy ta phải dự đoán được điểm cố định trước bằng cách cho $P$ ở một vị trí khác, ta sẽ được đường $H’K’$. Khi đó $HK$ và $H’K’$ sẽ cắt nhau tại một điểm $T$ nào đó, vậy $T$ là điểm gì? Trong hình, có các điểm $A, B, C$ cố định, ta tìm mối liên hệ của $T$ và $A, B, C$ trước. Đến đây bằng trực giác hình học, ta có thể dự đoán rằng $T$ thuộc $BC$ và $AT \bot BC$, việc dự đoán này là chủ quan dựa trên trực giác và cảm giác về mặt hình học. Nếu muốn chắc chắn, chỉ có thể là chứng minh một cách chính xác và cụ thể. Vậy khi đã đoán được điểm cố định ta phải làm gì? Ta có nhiều cách để giải quyết bài toán: có thể gọi $T$ là giao điểm của $HK$ và $BC$, sau đó chứng minh $AT \bot BC$ hoặc dựng $AT \bot BC$, chứng minh $H, K, T$ thẳng hàng. Trên đây là một ví dụ về cách suy nghĩ khi ta cần giải quyết một bài toán kiểu thế này, tất nhiên, nhiều bạn giỏi và nhanh nhẹn hơn có thể nhận ra $HK$ là đường thẳng Simson của $A$ đối với tam giác $PBC$, có thể giải quyết ngay bài toán. Gọi $T$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Ta chứng minh $H, K, T$ thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ nằm ngoài $O$. $A$ là một điểm thay đổi trên $d$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ đến $(O)$. Chứng minh $BC$ luôn đi qua một điểm cố định.
Tương tự cách làm như ví dụ 1, ta cũng phát hiện được điểm cố định thuộc $BC$ là điểm $T$. Tuy vậy đối với bài toán này, điểm $T$ có vẻ hơi lưng chừng khó dự đó nó là điểm có đặc trưng gì. Vì thế sau khi đã tìm được điểm $T$, ta thử nối $T$ với các yếu tố cố định có trên hình, và chắc chắn nó sẽ có quan hệ với $O$, đường thẳng $d$ và đường tròn $(O)$. Sau khi nối lại ta sẽ thấy được, có vẻ $OT \bot d$, vậy $T$ thuộc một tia cố định. Việc còn lại chỉ cần chứng minh $OT$ có độ dài không đổi nữa là $T$ sẽ cố định.
Ví dụ 3. Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $BC$ cố định. $A$ thay đổi trên cung lớn $BC$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$, $E$ là điểm đối xứng của $B$ qua $AC$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADC$ và $ABE$ cắt nhau tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng $AP$ luôn đi qua một điểm cố định.
Đây là một bài toán khá dễ toán điểm cố định, đó chính là tâm $O$. Ta chứng minh $A, O, P$ thẳng hàng.
Trên đây là một số bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định. Tiếp theo chúng ta xem xét một vài ví dụ chứng minh đường tròn đi qua điểm cố định. Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên các cạnh $AB, AC$ lấy các điểm thay đổi $D, E$ sao cho $BD = CE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ đi qua một điểm cố định khác $A$.
Đây là một bài toán khá nhẹ nhàng, nếu cho $D, E$ thay đổi ta có thể nhận thấy ngoài $A$ thì điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ còn đi qua một điểm nữa, có vẻ gần gần điểm chính giữa cung $BC$. Một chú ý là vai trò $B, C$ như nhau nên điểm cố định đó đối với $B, C$ phải là như nhau. Từ đó ta có thể “mạnh dạn” khẳng định, điểm cố định đó chính là điểm chính giữa cung $BC$. Từ đó đi đến chứng minh.
Chú ý: $(ADE)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các điểm $M, N$ lần lượt thay đổi trên $AB, AC$ sao cho độ dài hình chiếu của $MN$ trên đường thẳng $BC$ bằng nửa độ dài cạnh $BC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ luôn đi qua một điểm cố định khác $A$.
Khi vẽ hình ta sẽ thấy điểm cố định nằm trong tam giác $ABC$, do $B, C$ là vai trò như nhau, ta có thể đoán điểm này là điểm đặc biệt trong tam giác: trực tâm, trọng tâm, hay tâm đường tròn ngoại tiếp.
Trên đây là một số ví dụ về các bài toán chứng minh đường đi qua điểm cố định, hy vọng qua các bài toán này các bạn nắm được các bước giải và không ngại khó khi gặp những bài toán dạng này. Sau đây là một số bài tập rèn luyện thêm. Bài tập
|