Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn có dạng

Lý thuyết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết vềbất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là mệnh đề chứa hai biến số có một trong các dạng sau đây: ax + by > c, ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by ≤ c
trong đó a, b, c là các số đã cho với ∀ a, b ≠ 0.
Cặp số ($\displaystyle {{x}_{0}},{{y}_{0}}$) được gọi là nghiệm của bất phương trình ax + by > c nếu thỏa mãn $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}>c$

2. Mệnh đề bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định lí. Đường thẳng ax + by = c (d) chia mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng bờ là (d). Một trong hai nửa mặt phẳng đó gồm các điểm có tọa độ (x,y) là nghiệm của bất phương trình ax + by > c được gọi là miền của bất phương trình.
Nửa mặt phẳng còn lại gồm các điểm có tọa độ (x,y) là nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

3. Giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Việc tìm tất cả các nghiệm chung của tập hợp các bất phương trình hai ẩn được gọi là giải hệ bất phương trình hai ẩn.
Giao các miền nghiệm của các bất phương trình chính là nghiệm của hệ bất phương trình.

Đại số, Toán lớp 10 - Tags: bậc nhất, bất phương trình, đại số 10, hai ẩn, lý thuyết

• Lý thuyết bất đẳng thức

• Lý thuyết đại cương về phương trình

• Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

• Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

• Hàm số bậc nhất y=ax+b

• Lý thuyết hàm số

• Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 10

14:35:1112/10/2021

Sau khi đã học về bất phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài này sẽ giới thiệu với các em về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ra sao? chúng ta sẽ có câu trả lời trong bài viết này.

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by ≤ c (1)

(ax + by > c; ax + by ≥ c; ax + by < c)

trong đó a, b, c là các số đã cho với a, b, c không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn số.

Cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 ≤ c là một bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.

II. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Định nghĩa

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.

2. Định lý

- Đường thẳng ax + by ≤ cchia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là (d). Một trong hai nửa mặt phẳng đó (kể cả bờ) là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c. Nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≥ c.

3. Cách biểu diễn tập nghiệm (miền nghiệm)

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của ax + by ≤ c (1) như sau:

- Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng Δ: ax + by = c

- Bước 2: Lấy một điểm M0(x0;y0) không thuộc Δ (ta thường lấy gốc tọa độ)

- Bước 3: Tính ax0 + by0 và so sánh với c.

- Bước 4: Kết luận

 ° Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c.

Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ Δ KHÔNG chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c.

* Ví dụ (Câu hỏi 1 trang 96 SGK Toán 10 Đại số): Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: -3x + 2y > 0.

> Lời giải:

- Ta vẽ đường thẳng (d): -3x + 2y = 0.

- Lấy điểm A(1; 1), ta thấy A ∉(d) và có: -3.1 + 2.1 < 0 nên nửa mặt phẳng bờ (d) không chưá A là miền nghiệm của bất phương trình (miền không bị gạch chéo).

III. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

 * Ví dụ (Câu hỏi 2 trang 97 SGK Toán 10 Đại số): Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

 

> Lời giải:

- Ta có:

 

Vẽ các đường thẳng:

(d1): 2x – y = 3 hay y = 2x – 3

(d2): -10x + 5y = 8 hay y = 2x + 8/5

Lấy điểm O(0;0), ta thấy O không thuộc cả 2 đường thẳng trên và 2.0-0 ≤ 3 và - 10.0 + 5.0 ≤ 8 nên phần được giới hạn bởi 2 đường thẳng trên chứa điểm O( phần ko tô đậm) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, cách biểu diễn tập nghiệm (miền nghiệm). Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công. 

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn không phải là kiến thức mới, nhưng ở chương trình học THPT sẽ được nâng cao và khó hơn rất nhiều. Vì thế, bài viết dưới đây sẽ giúp các em tìm hiểu kỹ về dạng toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn này. Cùng chú ý nhé!

Rèn luyện kỹ năng giải bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Kiến thức cần đạt được

• Hiểu rõ được thế nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Hiểu rõ thế nào là nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn
• Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là gì?
• Vận dụng lý thuyết để giải các bài toán bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Cơ sở lý thuyết bài giảng

Khái niệm về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta có, bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát như sau: ax + by ≤ c

Trong đó có a,b,c là những số đã cho trước, còn x, y là các ẩn số cần tìm. a,b không được bằng 0.

Các cặp số (x0; y0) là các cặp nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn ax + by ≤ c, sao cho thỏa mãn điều kiện ax0 + by0 ≤ c.

Khái niệm về miền nghiệm

• Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Để biểu diễn được miền nghiệm, bạn cần thực hiện theo các bước dưới đây:

Thế nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

>> Xem thêm: Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn – Học tốt toán cùng Toppy

Một số bài tập SGK

Bài 1: SGK – 99

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Ta có:

-x + 2 + 2 (y-2) < 2 (1 -x ) 

⇔ -x + 2y – 4 < 2 – 2x

Chuyển vế ta được bất phương trình: x + 2y < 4 

Tập nghiệm của phương trình đã cho là nửa mặt phẳng được tô màu trên hệ tọa độ Oxy.

b) Ta có: 

3(x-1) + 4(y-2) < 5x – 3

⇔ 3x – 3 + 4y -2 < 5x – 3

Đổi vế ta được bất phương trình: -x + 2y < 4

Tập nghiệm của bất phương trình được biểu diễn trên trục tọa độ như sau:

Bài 2:  SGK – 99

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn qua hệ tọa độ sau:

b) Miền nghiệm của bất phương trình

là mặt phẳng được biểu diễn qua đồ thị Oxy sau: (bỏ 1 bờ là đường thẳng x/3 + y/2 =1)

Bài 3: SGK – 99

Hướng dẫn giải chi tiết:

Giả sử, gọi xí nghiệp sản xuất x là sản phẩm I, y sản phẩm là II. Thỏa mãn điều kiện x,y >= 0. Ta có, tổng số tiền lãi thu được là L = 3x + 5y (nghìn việt nam đồng). 

Theo bài toán, ta có:

Nhóm A cần 2x + 2y máy

Nhóm B cần 2y máy và 2x + 4y máy.

=> Ta có bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền đa giác ABCOD với các tọa độ lần lượt là A(4;1), B(2;2), C(0;2); O(0;0); D(5;0). L sẽ đạt max tại một trong những đỉnh sau:

Ta có bảng:

(x;y)	(2;2)	(0;2)	(0;0)	(4;1)	(5;1)
L= 3x + 5y	16	10	0	17	15

Dựa vào bảng trên ta thấy Lmax = 17 khi x=4; y=1

=> Để có thể sản xuất 2 loại sản phẩm trên có lãi cao nhất, doanh nghiệp cần 4 sản phẩm I và 1 sản phẩm II.

Ta có hệ tọa độ:

Một số bài tập nâng cao về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1: Vận dụng lý thuyết vừa học hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

-3x + 2y > 5

Hướng dẫn chi tiết lời giải:

Ta vẽ đường thẳng (d): -3x + 2y = 5

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta lấy gốc tọa độ O(0;0), ta thấy O không thuộc (d) và có -3.0 + 2.0 = 0 < 5. Vì thế, nửa mặt phẳng không chứa bờ của  (d) không chứa gốc O sẽ là miền nghiệm của bất phương trình 2 ẩn: -3x + 2y > 5.

Bài 2: Hãy xác định miền nghiệm của bất phương trình sau

(x – y)(x3 + y3) ≥ 0

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có phương trình:

(x – y) ( x3 + y3) ≥ 0

⇔ (x – y) ( x + y) (x2 – xy + y2) ≥ 0

⇔ ( x – y) (x +y) ≥ 0 

⇔

(1) hoặc

(2)

=> Hệ bất phương trình (1) và (2) sẽ cho miền nghiệm

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta vẽ các đường thẳng (d): x + y = 0 và (d’): x – y = 0.

Xét điểm M có tọa độ (1;0), ta có (1;0) là nghiệm của hệ bất phương trình (1). Vì thế M (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).

Xét tiếp điểm N (-1; 0), ta có (-1;0)  là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (2). 

Ta có miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả 2 đường thẳng (d); (d’).

Hãy áp dụng kiến thức đã học, thực hành bài toán dưới đây:

Bài tập: Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn sau:

1. 3x – 5y ≥ 0
2. (x- 2y)/2 > (3x + y +1)/3

Tổng kết kiến thức

Trên đây là toàn bộ những kiến thức về bất phương trình bậc nhất 2 ẩn, tập nghiệm của chúng và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng qua bài học trên các em có thể vận dụng linh hoạt nguồn kiến thức để có thể tìm các tập nghiệm của bất phương trình hai ẩn. Giải những bài toán liên quan, thể hiện được miền tập nghiệm qua hệ tọa độ Oxy. Chúc các em luôn cố gắng học tập để đạt thành tích cao.