Tính giá trị của biểu thức \[A = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 1}}\] khi \[x = 9.\]
A.
B.
C.
D.
Đề bài
Bài 1 [1,5 điểm]:
1] Tính giá trị biểu thức \[P = \sqrt {125} + \sqrt {20} - \sqrt {180} \].
2] Tìm giá trị \[x\] thực biết: \[\sqrt {x - 1} + \sqrt {9x - 9} - \sqrt {4x - 4} = 4\].
Bài 2 [2 điểm]: Rút gọn các biểu thức
1] \[A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}\] 2] \[B = \sqrt {5 + 2\sqrt {{{\left[ {1 - \sqrt 2 } \right]}^2}} } \] 3] \[C = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\] [với \[x \ge 0\]]
Bài 3 [3 điểm]:
Cho các biểu thức: \[A = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}}\] và \[B = \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 5\sqrt x + 2}}{{4 - x}}\] với \[x \ge 0;x \ne 4\]
1] Tính giá trị của \[A\] khi \[x = 49\].
2] Rút gọn \[B\].
3] Với \[x > 4\], tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = A.B\].
Bài 4 [3 điểm]:
Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\,\,AB = 3\,cm,\,\,BC = 6\,cm.\] Gọi \[E,\,\,F\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của \[H\] trên \[AB\] và \[AC.\]
a] Giải \[\Delta ABC.\]
b] Tính \[AH\] và chứng minh \[EF = AH.\]
c] Tính \[EA.EB + AF.FC.\]
Bài 5 [0,5 điểm]: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy\] với \[x > 0;y > 0;x + y \le 1\].
Lời giải chi tiết
Bài 1
Phương pháp:
1] Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \[\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\]
2] Tìm điều kiện xác định sau đó giải phương trình bằng phương pháp đưa phương trình về dạng phương trình tích sau đó bình phương hai vế.
Cách giải:
1] Tính giá trị biểu thức \[P = \sqrt {125} + \sqrt {20} - \sqrt {180} \].
\[\begin{array}{l}P = \sqrt {125} + \sqrt {20} - \sqrt {180} = \sqrt {{5^3}} + \sqrt {4.5} - \sqrt {36.5} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{5^2}.5} + \sqrt {{2^2}.5} - \sqrt {{6^2}.5} = 5\sqrt 5 + 2\sqrt 5 - 6\sqrt 5 \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt 5 .\end{array}\]
Vậy \[P = \sqrt 5 \].
2] Tìm giá trị \[x\] thực biết: \[\sqrt {x - 1} + \sqrt {9x - 9} - \sqrt {4x - 4} = 4\].
Điều kiện xác định : \[\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\4x - 4 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\]
\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x - 1} + \sqrt {9x - 9} - \sqrt {4x - 4} = 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + \sqrt {9\left[ {x - 1} \right]} - \sqrt {4\left[ {x - 1} \right]} = 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + 3\sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x - 1} = 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 2\\ \Leftrightarrow x - 1 = {2^2} = 4\\ \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\,\,\left[ {tmdk} \right]\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = 5\].
Bài 2
Phương pháp:
1] Quy đồng mẫu của các biểu thức để rút gọn
2] Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \[\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\]
3] Phân tích đa thức trên tử số thành nhân tử và rút gọn với mẫu số.
Cách giải:
\[1]\,\,\,A = \frac{1}{{2 - \sqrt 3 }} + \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = \frac{{2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 }}{{\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}} = \frac{4}{{{2^2} - 3}} = 4\]
Vậy \[A = 4.\]
\[\begin{array}{l}2]\,\,B = \sqrt {5 + 2\sqrt {{{\left[ {1 - \sqrt 2 } \right]}^2}} } = \sqrt {5 + 2.\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 - 2} = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]}^2}} = \sqrt 2 + 1.\end{array}\]
Vậy \[B = \sqrt 2 + 1.\]
\[\begin{array}{l}3]\,\,C = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}\,\,\,\left[ {x \ge 0} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\left[ {\sqrt x + 2} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 1.\end{array}\]
Vậy \[C = \sqrt x - 1\] với \[x \ge 0\].
Bài 3
Phương pháp:
1] Thay giá trị của \[x = 49\] [tmđk] vào phương trình để tính.
2] Quy đồng, rút gọn phân thức.
3] Phân tích biểu thức P sao cho hợp lí để có thể sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.
Cách giải:
1] Tính giá trị của \[A\] khi \[x = 49\].
Với \[x = 49\] thỏa mãn điều kiện: \[x \ge 0,x \ne 4\]
Thay \[x = 9\] vào biểu thức \[A\] ta được:
\[A = \frac{{49 - 4}}{{\sqrt {49} - 2}} = \frac{{45}}{{7 - 2}} = \frac{{45}}{5} = 9\].
Vậy \[A = 9\] khi \[x = 49.\]
2] Rút gọn \[B\].
Điều kiện: \[x \ge 0,\,\,x \ne 4.\]
\[\begin{array}{l}B = \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 5\sqrt x + 2}}{{4 - x}}\\\,\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{x - 5\sqrt x + 2}}{{x - 4}}\,\,\\\,\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt x - 2}} + \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{x - 5\sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 2} \right]}}\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\left[ {\sqrt x + 2} \right] + 3\left[ {\sqrt x - 2} \right] + x - 5\sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 2} \right]}}\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x + 4 + 3\sqrt x - 6 + x - 5\sqrt x + 2}}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 2} \right]}}\,\,\,\\\,\,\,\,\, = \frac{x}{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 2} \right]}}\,\,\, = \frac{x}{{x - 4}}\,\,\,.\end{array}\]
Vậy \[B = \frac{x}{{x - 4}}\] với \[x \ge 0;x \ne 4\].
3] Với \[x > 4\], tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = A.B\].
Với \[x > 4\], ta có:
\[\begin{array}{l}P = A.B = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{x}{{x - 4}} = \frac{x}{{\sqrt x - 2}}\\ \Rightarrow P = \frac{{x - 4 + 4}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{4}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left[ {\sqrt x - 2} \right]\left[ {\sqrt x + 2} \right]}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{4}{{\sqrt x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt x + 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} = \sqrt x - 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} + 4\end{array}\]
Khi \[x > 4\] thì \[ \Rightarrow \sqrt x > 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 > 0\\\frac{4}{{\sqrt x - 2}} > 0\end{array} \right.\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \[\sqrt x - 2\,\] và \[\frac{4}{{\sqrt x - 2}}\] ta được:
\[\begin{array}{l}\sqrt x - 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} \ge 2.\sqrt {\left[ {\sqrt x - 2} \right].\frac{4}{{\sqrt x - 2}}} = 2\sqrt 4 = 4\\ \Rightarrow \sqrt x - 2 + \frac{4}{{\sqrt x - 2}} + 4 \ge 4 + 4 = 8\,\,\,\,\,\,\,hay\,\,\,\,\,\,\,P \ge 8\end{array}\]
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \frac{4}{{\sqrt x - 2}} \Rightarrow {\left[ {\sqrt x - 2} \right]^2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 2 = 2\\\sqrt x - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\,\left[ {tm\,\,\,\,\,x > 4} \right]\\x = 0\,\,\,\,\left[ {ktm\,\,\,\,x > 4} \right]\end{array} \right.\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 8\] khi và chỉ khi \[x = 16\].
Bài 4
Phương pháp:
a] Sử dụng định lý Pitago và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để làm bài.
b, c] Sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài.
Cách giải:
a] Giải \[\Delta ABC.\]
\[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \,\,cm.\]Áp dụng định lý Pitago cho \[\Delta ABC\] vuông tại\[A\] ta có:
Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] ta có:
\[\begin{array}{l}\cos \angle B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle B = {60^0}\\ \Rightarrow \angle C = {90^0} - \angle B = {90^0} - {60^0} = {30^0}.\end{array}\]
b] Tính \[AH\] và chứng minh \[EF = AH.\]
Áp dụng hệ thức lượng cho \[\Delta ABC\] vuông tại\[A\] có đường cao \[AH\] ta có:
\[AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.3\sqrt 3 }}{6} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,cm.\]
Xét tứ giác \[AEHF\] ta có: \[\angle A = \angle E = \angle F = {90^0}\,\,\,\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow AEHF\] là hình chữ nhật [dhnb].
\[ \Rightarrow AH = EF\] [hai đường chéo hình chữ nhật].
c] Tính \[EA.EB + AF.FC.\]
Áp dụng hệ thức lượng cho \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\] có đường cao \[HE\] ta có:
\[AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.3\sqrt 3 }}{6} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\,\,cm.\]
Áp dụng hệ thức lượng cho \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\] có đường cao \[HE\] ta có:
\[H{E^2} = EA.EB\]
Áp dụng hệ thức lượng cho \[\Delta ACH\] vuông tại \[H\] có đường cao \[HF\] ta có:
\[\begin{array}{l}H{F^2} = AF.FC\\ \Rightarrow EB.EA + AF.DC = H{E^2} + H{F^2} = A{H^2} = {\left[ {\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right]^2} = \frac{{27}}{4}\,.\end{array}\]
Bài 5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy\] với \[x > 0;y > 0;x + y \le 1\].
\[A = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}} + 4xy = \left[ {\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}}} \right] + \frac{5}{{4xy}} + \left[ {\frac{1}{{4xy}} + 4xy} \right]\]
Áp dụng bất đẳng thức \[\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \] với \[a,\,\,\,b > 0\]
Với \[x > 0;y > 0;x + y \le 1\], ta có:
\[\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{1}{{2xy}} \ge \frac{2}{{\sqrt {\left[ {{x^2} + {y^2}} \right].2xy} }} \ge 2.\frac{2}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} = \frac{4}{{{{\left[ {x + y} \right]}^2}}} \ge \frac{4}{{{1^2}}} = 4\,\,\,\,\left[ {do\,\,\,x + y \le 1} \right].\]
\[\begin{array}{l}\frac{5}{{4xy}} \ge \frac{5}{{{{\left[ {x + y} \right]}^2}}} \ge 5\,\,\,\left[ {do\,\,\,x + y \le 1} \right]\\\frac{1}{{4xy}} + 4xy \ge 2\sqrt {\frac{1}{{4xy}}.4xy} = 2\\ \Rightarrow A \ge 4 + 5 + 2 = 11.\end{array}\]
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\end{array} \right. \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}\]
Vậy GTNN của \[A\] là \[11\] khi và chỉ khi \[x = y = \frac{1}{2}\].
Loigiaihay.com