Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Lời giải:
Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là a’ và b’. Nếu mặt phẳng [a, a’] và mặt phẳng [b, b’] song song với nhau thì a′ // b′. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song.
Nếu a và b là hai đường thẳng cắt nhau tại O và hình chiếu của O là O’ thì O′ ∈ a′ và O′ ∈ b′ tức là a’ và b’ có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được.
Lời giải:
Cho tam giác ABC bất kì nằm trong mặt phẳng [α]. Gọi [β] là mặt phẳng qua BC và khác với [α]. Trong [β] ta vẽ tam giác đều BCD. Vậy ta có thể xem tam giác ABC cho trước là hình chiếu song song của tam giác đều DBC theo phương chiếu DA lên mặt phẳng [α].
Lời giải:
Với hình lục giác đều ABCDEF ta nhận thấy:
– Tứ giác OABC là hình bình hành [ vừa là hình thoi];
– Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O
Từ đó suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau: [h.2.54]
– Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình bình hành OABC..
– Lấy các điểm D’, E’, F’ lần lượt đối xứng của A’, B’, C’ qua tâm O’, ta được hình biểu diễn A’B’C’D’E’F’ của hình lục giác đều ABCDEF.
Chú ý. Ta có thể vẽ hình biểu diễn hình lục giác đều dựa trên sự phân tích sau đây ở hình thực ABCDEF [h.2.53] :
– Tứ giác ABDE là hình chữ nhật;
– Gọi I là trung điểm của cạnh AE và H là trung điểm của cạnh BD;
– Các điểm F và C đối xứng của O lần lượt qua I và H.
Từ đó ta có cách vẽ sau đây:
– Vẽ hình bình hành A’B’D’E’ biểu diễn cho hình chữ nhật ABDE
– Gọi I’ và H’ lần lượt là trung điểm của A’E’và B’D’.
– Gọi F’ đối xứng với O’ qua I’ và C’ đối xứng với O’ qua H’, ta được hình biểu diễn A’B’C’D’E’F’ của hình lục giác đều.
Lời giải:
[h.2.56] Giả sử trên hình thực ta có đường tròn tâm O cùng với hai đường kính vuông góc của đường tròn đó là AB và CD. Nếu ta vẽ thêm một dây cung EF song song với AB thì đường kính CD sẽ đi qua trung điểm I của đoạn EF. Từ đó ta suy ra cách vẽ sau đây:
a] [h.2.57] Vẽ hình elip biểu diễn cho đường tròn và vẽ đường kính A’B’ của hình elip đó. Đường kính này đi qua tâm O’ của elip.
b] Vẽ một dây cung E’F’ song song với đường kính A’B’. Gọi I’ là trung điểm của E’F’. Đường thẳng O’I’cắt elip tại hai điểm C’ và D’. Ta có A’B’ và C’D’ là hình biểu diễn của hai đường kính vuông góc với nhau của đường tròn.
Nhận xét. Hình bình hành A’C’B’D’là hình biểu diễn của hình vuông ACBD nội tiếp trong một đường tròn.
Lời giải:
Cho tứ diện ABCD. Gọi d là một đường thẳng không song song với với các cạnh của tứ diện và [α] là một mặt phảng cắt d. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D trên mặt phẳng [α]. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện AB và CD. Khi đó hình chiếu của P’ và Q’ của P và Q sẽ lần lượt là trung điểm của A’B’ và C’D’.
Muốn cho A’, B’, C’, D’ là các đỉnh của một hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu d sao cho d song song với đường thẳng PQ.
Vậy để hình chiếu song song của một tứ diện là một hình bình hành ta có thể chọn :
– Phương chiếu d là phương của một trong ba đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của tứ diện cho trước.
– Mặt phẳng chiếu [α] là mặt phẳng tùy ý, nhưng phải cắt đường thẳng d.
Chủ đề 7: PHÉP CHIẾU SONG SONGHÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIANI.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN:A.Kiến thức cơ bản:1/Phép chiếu song song:Trong không gian, cho mặt phẳng [P] và đường thẳng d cắt [P]. Với mỗi điểmM trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với d sẽ cắt [P]tại điểm M’. Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặtphẳng [P] như trên gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng [P] theo phương d.+ Mặt phẳng [P] gọi là mặt phẳng chiếu, đường thẳng d gọi là phương chiếu,điểm M’ gọi là hình chiếu song song [hoặc ảnh] của điểm M’ qua phép chiếusong song.+ Cho hình [H]. Tập hợp [H’] gồm hình chiếu song song của tất cả các điểmthuộc [H] gọi là hình chiếu song song [hoặc ảnh] của hình [H] qua phép chiếu nóitrên.2/Tính chất:• Chú ý: Trong các tính chất dưới đây của phép chiếu song song theo phuơng d,ta chỉ xét hình chiếu song song của các đoạn thẳng hoặc đường thẳng khôngsong song và không trùng với d.a. Phép chiếu song song biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng vàkhông làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó.b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.c. Phép chiếu song song biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳngsong song hoặc trùng nhau.d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng nằmtrên 2 đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên 1 đường thẳng.3/Hình biểu diễn của 1 hình không gian:a. Định nghĩa: Hình biểu diến của 1 hình [H] trong không gian là hình chiếusong song của hình [H] trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếuđó.b. Qui tắc vẽ hình biểu diễn: Nếu trên hình [H] có 2 đoạn thẳng nằm trên 2đường thẳng song song [hoặc trùng nhau] thì chúng chẳng những được biểudiễn bởi 2 đoạn thẳng nằm trên 2 đường thẳng song song [hoặc trùng nhau]mà tỉ số của 2 đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của 2 đoạn thẳng tương ứngtrên hình [H].c. Hình biểu diễn của 1 số hình không gian:* Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 tam giác tuỳ ýcho trước [ có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông…]* Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 hìnhbình hành tuỳ ý cho trước[ có thể là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hìnhvuông…]* Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của 1 hình thangtuỳ ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài 2 đáy của hình biểu diễn bằng tỉ số độ dài 2 đáycủa hình đã cho.* Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.B.Kĩ năng cơ bản:1. Tìm phép chiếu song song của 1 hình cho trước thoả mãn 1 số điều kiện chotrước.2. Vẽ hình biểu diễn của 1 hình [H] cho trước.3. Vận dụng phép chiếu song song để giải toán.II. CÁC VÍ DỤ:1/Loại toán tự luận:Ví dụ 1: hãy chọn phép chiếu song song của 2 đường thẳng chéo nhau là 2 đườngthẳng song song.Giải:+ Vì a, b chéo nhau nên có duy nhất 1 cặp mặt phẳng [P],[Q] sao cho a ⊂ [P], b ⊂ [Q], [P] //[Q].+ Gọi [R]là mặt phẳng cắt [P], [Q] theo 2 giao tuyến là a’ và b’. Vì [P] //[Q] nên a’ // b’.+ Gọi d là 1 đường thẳng nằm trong [P] nhưng không song song với a, b và cắt ®.Khi đó qua phép chiếu song song lên mặt phẳng [R] theo phương d, hai đườngthẳng chéo nhau a và b có hình chiếu là a’ và b’ song song với nhau.Ví dụ 2: Hãy chọn phép chiếu song song với phương chiếu và mặt phẳng chiếuthích hợp để hình chiếu song song của 1 tứ diện cho trước là:a. một hình bình hànhb. Một tam giácGiải:a. + Giả sử A’B’C’D’ là hình chiếu song song của 1 tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.+ Muốn cho A’B’C’D’ là hình bình hành ta chỉ cần chọn phương chiếu sao cho hình chiếu của M, N trùng nhau. Như vậy nếu a’b’QbPd aRCBMADD’A’C’B’N’Ochọn phương chiếu d là phương của đường thẳng MN và mặt phẳng chiếu [P] cắt d thì hình chiếusong song của tứ diện ABCD là hình bình hành A’B’C’D’.Tóm lại ta có thể chọn :- Phương chiếu d là phương của 1 trong 3 đường thẳng đi qua trung điểm 2cạnh đối diện của hình tứ diện.- Mặt phẳng chiếu [P] là mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng d.b. Muốn có hình chiếu song song của 1 tứ diện là 1 tam giác ta chỉ cần chọn:- Phương chiếu d trùng với phương của cạnh tứ diện. Như vậy có 6 cách lựachọn phương chiếu khác nhau và khi đó ta sẽ có 2 đỉnh của tứ diện có chung1 hình chiếu.- Mặt phẳng chiếu [P] là mặt phẳng tuỳ ý cắt đường thẳng d.Ví dụ 3: Hãy vẽ các dạng hình biểu diễn có thể có đối với 1 hình tứ diện ABCD.Giải:Giả sử A’B’C’D’ là hình biểu diễn của hình tứ diện ABCD, ta có các hình biểu diễnsau: [1] [2] [3][4] [5] [6]• Có thể giải thích như sau:+ Hình [1]: ta nhìn thấy 2 mặt của tứ diện [ABC] và [ACD], mặt còn lại bị chekhuất nên cạnh B’D’ vẽ nét đứt.+ Hình [2] : ta nhìn thấy 3 mặt của tứ diện là [ABC], [ACD], [ABD].+ Hình [3]: ta chỉ nhìn thấy 1 mặt [BCD], 3 mặt còn lại bị [BCD] che khuất .+ Hình [4]: là 1 tam giác khi phương chiếu trùng với phương của cạnh AB.+ Hình [5]: ta nhìn thấy 1 mặt [BCD] và phương chiếu song song với mặt phẳng[ABC]+ Hình [6]: ta nhìn thấy 2 mặt phẳng [ACD] và [ABD], phương chiếu song song vớimặt phẳng [ABC].Ví dụ 4: Vẽ hình biểu diễn của 1 lục giác đều.A’=B’C’ D’ C’ D’B’A’C’ D’B’A’C’D’A’B’B’C’ D’A’B’D’A’C’Giải+ Xét hình lục giác đều ABCDEF tâm O ta có:. Tứ giác OABC là hình thoi. Các điểm D, E, F lần lượt đối xứng với A, B, C qua O.+ Cách vẽ hình biểu diễn:. Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn hình thoi OABC.. Lấy các điểm D’, E’, F’ lần lượt đối xứng với A’, B’, C’ qua O’Ta được hình biểu diễn của hình lục giác đều ABCDEF là A’B’C’D’E’F’.Ví dụ 5: Cho 2 hình bình hành ABCD và BCEF nằm trong 2 mặt phẳng phân biệt.a. Tìm điểm M trên đoạn DF và điểm N trên đoạn AC sao cho MN // BE.b. Tính tỉ số MFMDGiải:a. Phân tích: + Giả sử đã tìm được M ∈ DF, N ∈ AC: MN // BE.+ Xét phép chiếu song song theo phương chiếu BE lênmặt phẳng [ABCD]. Khi đóqua phép chiếu này, hình chiếu của các điểm D, M, F lần lượt là D, N, K. Vì D, M, F thẳng hàng nên D, N, K cũng thẳng hàng. Do đó: N = DK∩ AC. Từ đó ta có cách dựng sau: Cách dựng:+ Dựng K là hình chiếu của F qua phép chiếu theo phương BE lên mặt phẳng[ABCD] suy ra BEFK là hình bình hành.+ Dựng N = DK∩ AC+ Trong mặt phẳng [DFK] kẻ MN // KF cắt DF tại M. Vậy M, N là các điểm cầntìm. b. + Xét tam giác DFK có MN // FKNKNDMFMD=→ [1]+ Ta có NAD∆ 21==→∆CKADNKNDNCK [2]+ Từ [1] và [2] suy ra 21=MFMDKADCEBNMFFECDOBAE’ D’C’A’ B’F’O’2/ Loại toán trắc nghiệm:Ví dụ 6: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng [P], hai đường thẳng chéo nhau avà b có hình chiếu là 2 đường thẳng a’ và b’. Mệnh đề nào sau đây đúng:[A]. a’ và b’ luôn cắt nhau[B]. a’ và b’ có thể trùng nhau[C]. a’ và b’ không thể song song[D]. a’ và b’ có thể cắt nhau hoặc song song với nhau.Đáp án [D]HD: + Gọi d là phương chiếu, a ⊂[P], b ⊂ [Q] và d //[P], d //[Q]. + Nếu [P] cắt [Q] → a’ và b’ cắt nhau + Nếu [P] // [Q] → a’// b’Ví dụ 7: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song lên mặtphẳng [P] lần lượt là 4 điểm A’, B’, C’, D’.Những khẳng định nào sau đây khôngxảy ra:[A]. A’, B’, C’, D’ là 4 đỉnh của 1 hình bình hành[B]. D’ là trọng tâm của tam giác A’B’C’.[C]. D’ là trung điểm cạnh A’B’.[D]. Hai điểm B’, C’ nằm giữa 2 điểm A’ và D’.Đáp án: [D]HD: 4 điểm a’, B’, C’, D’ không thể thẳng hàng vì A, B, C, D không đồng phẳng.Ví dụ 8: Mệnh đề nào sau đây đúng:[A]. Hình chiếu song song của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng song song.[B]. Hình chiếu song song của 1 hình bình hành là 1 hình bình hành.[C]. Phép chiếu song song biến 1 tam giác thành 1 tam giác nếu mặt phẳng chứa tamgiác không cùng phương với phương chiếu.[D]. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của 2 đoạn thẳng.Đáp án [C]HD: Dùng cách loại trừ 3 mệnh đề [A], [B], [D]. [A] sai vì nếu a’, b’ là hình chiếu song song của a, b cắt nhau tại M thì điểm M’ làhình chiếu của M qua phép chiếu song song phải thuộc a’ và b’ suy ra a’, b’ cắt nhauhoặc trùng nhau.. [B] sai vì nếu phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình bình hành. [D] sai vì nếu 2 đọan thẳng đó không nằm trên 1 đường thẳng hoặc 2 đường thẳngsong song.Vậy chỉ có [C] đúng.Ví dụ 9: Hình vẽ nào sau đây không phải hình biểu diễn của hình tứ diện ABCD [A] [B] [C] [D]Đáp án [D]HD: xem ví dụ 3Ví dụ 10: Hình vẽ nào sau đây không phải là hình biểu diễn của hình hộp?[A]. [B].[C]. [D].Đáp án [A]HD: + Rõ ràng [B] đúng + [C] đúng vì phương chiếu song song với BD’ + [D] đúng vì phương chiếu song song với 2 đáy [ABCD] và [A’B’C’D’]Ví dụ 11: Xét phép chiếu theo phương d lên mặt phẳng [P].AB // CF và AB = DFGọi A’, B’, C’, D’, E’, F’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, E, F qua phép chiếunói trên. Mệnh đề nào sau đây đúng?[A]. 1''''==BAFDABDF B]. CECDECDC=''''[C].D’F’=A’B’[D]. Tất cả [A], [B], [C] đều đúngdCDE FC’D’ E’F’A’BABPA’ D’C’B CADA’D’ B’ C’CBDAD’ C’BCDAA’B’D’C’CBAB’A’B CDAABCDAB C DABCDĐáp án : [D]HD: Vận dụng các tính chất của phép chiếu song song.III.BÀI TẬP:1/ Bài tập tự luận:1.Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu [P] và phương chiếu d để hìnhchiếu của tam giác ABC trên [P] là:a. Một tam giác cânb. Một tam giác đềuc. Một tam giác vuông2.Hãy vẽ hình biểu diễn của 1 hình thang ABCD vuông tại A và B, có các cạnh AB= BC = a, AD = 2a. Hãy vẽ hình biểu diễn đường phân giác của góc ACD3.Hãy vẽ hình biểu diễn của 1 tam giác vuông nội tiếp trong 1 đường tròn. Từ đó vẽhình biểu diễn của 1 hình vuông nội tiếp trong 1 đường tròn.4.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC’.a. Xác định đường thẳng d qua M cắt AN và cắt A’Bb. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của d với AN và A’b. Tính FEEM 2/ Bài tập trắc nghiệm:1.Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng [P], hai đường thẳng a và b có hình chiếulà hai đường thẳng song song a’ và b’. Khi đó:[A]. a và b phải song song với nhau[B]. a và b phải cắt nhau[C]. a và b có thể chéo nhau hoặc song song với nhau[D]. a và b không thể song song.2.Mệnh đề nào sau đây đúng:[A]. Hình chiếu song song của 2 đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau[B]. Hình chiếu song song của 2 đường thẳng cắt nhauthì song song[C]. Hình chiếu song song của 1 hình vuông là 1 hình vuông[D]. Hình chiếu song song của 1 lục giác đề là 1 lục giác đều3.Hình chiếu song song của 1 hình thang ABCD không thể là hình nào dưới đây?[A]. Hình bình hành [B]. Hình tam giác cân[C]. Đoạn thẳng [D]. Bốn điểm thẳng hàng4.Hình vẽ nào sau đây không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác S.ABCD?[A]. [B].BASDDABCSC[C]. [D].ABCDSDA CSB HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ Chủ đề 7 1/Bài tập tự luận1.a] Qua BC ta dựng mặt phẳng [P] không đi qua A. Trong mặt phẳng [P] ta dựng tam giác cân DBC [DB=DC]. Khi đó phép chiếu song song lên mặt phẳng [P] theo phương chiếu AD biến tam giác ABC thành tam giác DBC cân. b] Trong mặt phẳng [P] ở câu a], ta dựng tam giác đều EBC. Khi đó phép chiếu song song lên [P] theo phương chiếu AE biến tam giác ABC thành tam giác đều EBC. c] Trong mặt phẳng [P] ở câu a], ta dựng tam giác FBC vuông tại F. Khi đó phépchiếu song song lên [P] theo phương chiếu AF biến tam giác ABC thành tam giácvuông FBC.2.* Hình biểu diễn của hình thang ABCD vuông tại A và B phải thoả mãn các yêu cầu sau: AD // BC và AD = 2 BC.Lưu ý rằng: . Các góc A và B có thể vẽ không cần bằng nhau mặc dù trong hình thực chúng đều là những góc vuông. . Các độ dài AB và BC có thể vẽ không cần bằng nhau.* + Gọi E là trung điểm của AD suy ra ABCE là hình vuông cạnh a suy ra AC = a2 + Xét tam giác vuông cân CED có CE = ED = a suy ra CD = a2 =ACDo đó tam giác ACD là tam giác cân đỉnh C suy ra CE là đường phân giác của gócACD.Vậy hình biểu diễn đường phân giác của góc ACD là đường trung tuyến của tamgiác ACD.3. * Vẽ elip tâm O là hình biểu diễn của dường tròn đã cho. Lấy 2 điểm B và C thuộc elip sao cho B, O, C thẳng hàng. Lấy điểm A thuộc elip sao cho A khác B và C.Khi đó tam giác ABC là hình biểu diễn của 1 tam giác vuông nội tiếp trong 1 đường tròn.MAFCEXOMAE DCBaaaa aBDPACEFN* Qua A kẻ 2 dây ME và NF của elip sao cho ME // AC, NF // AB. Khi đó tứ giác MNEF là hình biểu diễn củahình vuông nội tiếp 1 đường tròn.4. a] Phân tích: Giả sử ta dựng được đường thẳng d thoả mãn yêu cầu bài toán tức làd ∩ AN = E, d ∩ A’B = F và d đi qua M.+ Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng [ABCD] theo phương A’B. Khi đó 3 điểm M, E, F lần lượt có hình chiếu là M, G, B suy ra M, G, B thẳng hàng.Gọi H là hình chiếu của N suy ra AH là hình chiếu của AN. Vì E ∈ AN nên G ∈ AH suy ra G = AH ∩BM.Lưu ý rằng A’B // D’C // NH suy ra H ∈ DC Cách dựng:+ Kẻ NH // D’C, cắt DC tại H+ Dựng G = AH∩ BM+ Trong mặt phẳng [ANH] kẻ GE //HN, E ∈ AN.+ Vẽ đường thẳng ME, đó là đường thẳng d cần tìm. Dễ thấy d cắt A’B. b] + Ta có CM = CH MH = CD = AB → ABHM là hình bình hành → G là trungđiểm của BM. + Mà GE // BF → E là trung điểm của MF.Vậy 1Ì=EEM2/Bài tập tự luận:1.Đáp án [C]HD: Nếu a’ // b’ → mặt phẳng [a,a’] // mặt phẳng [b,b’]Khi đó a và b có thể song song hoặc chéo nhau.2. Đáp án [A]HD: Xem ví dụ 13. Đáp án [B]HD: + Hình bình hành cũng là 1 hình vuông → [A] đúng + Khi phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình thang thì [C], [D] đúng4. Đáp án [D]HD: Hình [D] có 3 điểm A, B, C thẳng hàng → phương chiếu phải song song vớimặt phẳng [ABC], tức là song song với mặt phẳng [ABCD]. Khi đó 4 điểmA, B, C,D phải thẳng hàng → [D] sai.B’ C’NHCMDAA’FGEdD’B