Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 đường thẳng
Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz và hướng dẫn áp dụng công thức giải một số bài tập trắc nghiệm liên quan. 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN + Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương ${\vec a_1}$ của ${d_1}$, ${\vec a_2}$ của ${d_2}.$ + Bước 1: Gọi $H \in {d_1}$, $K \in {d_2}$(lúc này $H$, $K$ có toạ độ phụ thuộc ẩn $t$, $t$). 2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Lời giải: Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\frac{{x 2}}{{ 1}} = \frac{{y 1}}{2} = \frac{{z 2}}{{ 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x 1}}{2} = \frac{y}{{ 1}} = \frac{{z 1}}{{ 1}}.$Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ Lời giải: Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x 2}}{{ 1}} = \frac{{y 1}}{2} = \frac{{z 2}}{{ 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x 1}}{2} = \frac{y}{{ 1}} = \frac{{z 1}}{{ 1}}.$ Lời giải: Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\vec u(1;a;b)$ $(a;b \in R)$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x 2}}{{ 1}} = \frac{{y 1}}{2} = \frac{{z 2}}{{ 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x 1}}{2} = \frac{y}{{ 1}} = \frac{{z 1}}{{ 1}}.$ Tính tổng $S = a + b.$ Lời giải: Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x 1}}{{ 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z 1}}{{ 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Lời giải: Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} Lời giải: Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} Lời giải: Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} Lời giải: Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} Lời giải: Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{1}$và trục $Oy.$ Lời giải: 3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x 1}}{{ 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z 1}}{{ 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${\Delta _1}:\frac{{x 1}}{{ 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z 1}}{{ 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x 1}}{{ 1}} = \frac{y}{1} = \frac{{z 1}}{{ 1}}$, ${\Delta _2}:\frac{{x 2}}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.$ Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $\Delta :\frac{{x 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 4}}{{ 1}}$và trục $Oy.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$ Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ 2}} = \frac{{z + 2}}{2}$và trục $Oz.$ Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$ Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $CM$ và $AN.$ Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ 1}} = \frac{{y + 2}}{{ 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $\Delta :\frac{{x + 1}}{{ 1}} = \frac{{y + 2}}{{ 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN.$ 2. BẢNG ĐÁP ÁN
|