Giải bài tập toán 12 nguyên hàm
Với Các dạng bài tập Nguyên hàm chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 200 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Nguyên hàm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Show Cách tìm nguyên hàm của hàm sốI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K. Định lí: 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. 2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. Do đó F(x)+C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C. 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: (∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + C Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0. Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀMPhương pháp dùng định nghĩa vá tính chất + Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x. + Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm. + Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản. Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số Hướng dẫn: Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số Hướng dẫn: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Bài 1: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: Hướng dẫn: Bài 2: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: Hướng dẫn: Bài 3: Tìm các họ nguyên hàm sau đây: Hướng dẫn: Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phầnVới bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x) Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số a) ∫xsinxdx b) ∫ex sinx dx Hướng dẫn: a) Xét ∫xsinxdx Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1) Với G(x) = ∫ex cosx dx G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C'=ex cosx+F(x)+C' (2) Từ (1) và (2) ta có F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C' Ghi nhớ: Gặp ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp. Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số a) ∫x.2x dx b) ∫(x2-1) ex dx Hướng dẫn: a) Xét ∫x.2x dx b) Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx = (x2-1) ex-(2x.ex - ∫2.ex dx) = (x2-1) ex - 2x.ex + 2.ex+C = (x-1)2 ex + C. Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số a) ∫2xln(x-1)dx b) Hướng dẫn: a) Xét ∫2xln(x-1)dx b) |