Đề bài
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song \[a\] và \[b\], điểm \[M\] nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua \[M\] lần lượt vẽ đường thẳng \[c\] vuông góc với \[a\] tại \[P\], cắt \[b\] tại \[Q\] và đường thẳng \[d\] vuông góc với \[b\] tại \[R,\] cắt \[a\] tại \[S.\] Chứng minh rằng đường thẳng qua \[M,\] vuông góc với \[SQ\] cũng đi qua giao điểm của \[a\] và \[b.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất ba đường cao của tam giác.
Lời giải chi tiết
Vì \[a\] và \[b\] không song song nên giả sử chúng cắt nhau tại \[A.\]
Xét \[ΔAQS\] có:
\[QP AS\] [vì \[QP a\]] nên \[QP\] là đường cao của tam giác \[AQS\]
\[SR AQ\] [vì \[SR b\]]nên \[SR\] là đường cao của tam giác \[AQS\]
Ta có \[QP\] và \[RS\] cắt nhau tại \[M.\] Vậy \[M\] là trực tâm của \[ΔAQS.\]
\[ \Rightarrow\] Đường thẳng đi qua \[M\] và vuông góc với \[QS\] tại \[H\] sẽ là đường cao thứ ba của \[ΔAQS.\]
Vậy \[MH\] phải đi qua đỉnh \[A\] của \[ΔAQS\] hay đường thẳng vuông góc với \[QS\] đi qua giao điểm của \[a\] và \[b\] [điều phải chứng minh].