Đề bài
Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b và AB=c.Kẻ đường phân giác AD, biết b=DC, c=DB. Đặt l=AD.
a] Tính l theo b, c, b, c.
b] Tính l theo a, b, c.
Lời giải chi tiết
[h.138].
a] Gọi [O] là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tia AD cắt [O] tại E. Ta có AD.DE=DB.DC, tức là \[l.DE = b'c'\].
Dễ thấy hai tam giác AEC và ABD đồng dạng , do đó:
\[{{AC} \over {AD}} = {{AE} \over {AB}}\] hay \[bc = l.[l + DE] = {l^2} + l.DE = {l^2} + b'c'\].
Vậy ta có \[{l^2} = bc - b'c'\] hay \[l = \sqrt {bc - b'c'} \].
b] Theo tính chất đường phân giác ta có: \[{{b'} \over {c'}} = {b \over c}\].
Từ đó, ta có:
\[{{b'} \over {b' + c'}} = {b \over {b + c}}\,\,,\,\,{{c'} \over {b' + c'}} = {c \over {b + c}}\]. Suy ra \[b' = {{ab} \over {b + c}}\,,\,\,c' = {{ac} \over {b + c}}.\]
Vậy từ câu a], ta có
\[l = \sqrt {bc - {{{a^2}bc} \over {{{[b + c]}^2}}}} = {{\sqrt {bc\left[ {{{[b + c]}^2} - {a^2}} \right]} } \over {b + c}}\].