Đề bài - bài 32 trang 42 sbt toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(ABC\)có hai đường trung tuyến\(BD, CE\)và\(BD = CE.\)Gọi\(G\)là giao điểm\(BD\)và\(CE.\)

Khi đó, G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra:

\(\displaystyle BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\)(tính chất đường trung tuyến)

\(\displaystyle CG = {2 \over 3}CE\)(tính chất đường trung tuyến)

Mà\(BD = CE\)

Suy ra:\(BG = CG\)

\( \Rightarrow BG + GD = CG + GE\)

\( \Rightarrow GD = GE\)

Xét\(BGE\)và\(CGD:\)

+) \(BG = CG\)(chứng minh trên)

+) \(\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\)(đối đỉnh)

+) \(GE = GD\)(chứng minh trên)

Do đó:\(BGE = CGD\)(c.g.c)

\( \Rightarrow BE = CD\) (1)

\(\displaystyle BE = {1 \over 2}AB\)(vì \(E\)là trung điểm \(AB)\) (2)

\(\displaystyle C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\)(vì \(D\)là trung điểm \(AC)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:\(AB = AC.\)

Vậy\(ABC\)cân tại\(A.\)