Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc bằng 3
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước + Bước 1: Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm; Tính y’ + Bước 2: Vì hệ số góc là k nên \[f’\left( {{x_0}} \right) = k\] Giải phương trình tìm được \[{x_0}\]; thay vào hàm số tìm được \[{y_0}\] + Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến \[y – {y_0} = k\left( {x – {x_0}} \right)\] + Cho tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:y = ax + b\] cho trước Cách làm: Vì tiếp tuyến song song với d nên k = a Sau khi lập phương trình tiếp tuyến rồi thì kiểm tra xem có bị trùng với hay không. + Tiếp tuyến vuông góc với d: y = ax + b Khi đó \[k.a = – 1 \Leftrightarrow k = \frac{{ – 1}}{a}\] + Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc \[\alpha \] => \[k = \pm \tan \alpha \] + Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc \[\alpha \] thì \[\left| {\frac{{k – a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha \] Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) \[y = {x^3} – 3x + 2\] biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. + Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm + Ta có \[y’ = 3{x^2} – 3\] Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 nên ta có \[\begin{array}{l} 3{x_0}^2 – 3 = 9\\ \Leftrightarrow {x_0}^2 = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = – 2 \end{array} \right. \end{array}\] + Với \[{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow M\left( {2;4} \right)\] Phương trình tiếp tuyến là \[y – 4 = 9\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow y = 9x – 14\] + Với \[{x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow M\left( { – 2;0} \right)\] Phương trình tiếp tuyến là \[y – 0 = 9\left( {x + 2} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 18\] Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[\Delta :3x – y + 2 = 0\] Giải: + Có \[\Delta :3x – y + 2 = 0 \Rightarrow y = 3x + 2\] + Tiếp tuyến song song với nên k = 3 + Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm \[y’ = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\] + Vì hệ số góc là 3 nên \[\begin{array}{l} \frac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = – 1\\ {x_0} = – 3 \end{array} \right. \end{array}\] – Với \[{x_0} = – 1 \Rightarrow {y_0} = – 1\] ta được tiếp điểm M(-1;-1) (Loại do trùng) – Với \[{x_0} = – 3 \Rightarrow {y_0} = 5\] ta được tiếp điểm là M(-3;5) Phương trình tiếp tuyến là \[y – 5 = 3\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow y = 3x + 14\] Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): \[y = – {x^4} – {x^2} + 6\], biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \[d:y = \frac{1}{6}x – 1\] + Tiếp tuyến vuông góc với d nên ta có \[k.\frac{1}{6} = – 1 \Leftrightarrow k = – 6\] + Gọi \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] là tiếp điểm + Vì hệ số góc là -6 nên \[\begin{array}{l} – 4{x_0}^3 – 2{x_0} = – 6\\ \Leftrightarrow 4{x_0}^3 – 2{x_0} – 6 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_0}^3 – {x_0} – 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_0} – 1} \right)\left( {2x_0^2 + 2{x_0} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_0} = 1 \end{array}\] – Với \[{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 4\]=> điểm M(1;4) Phương trình tiếp tuyến là \[y – 4 = – 6\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = – 6x + 10\] + Vì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất nên biến đổi y’ về dạng \[y’ = {\left( {…} \right)^2} + m \ge m\] + Khi đó x0 là hoành độ tiếp điểm, k = m \[\begin{array}{l} {k_{\min }} = y’\left( {{x_0}} \right);{\rm{ }}y”\left( {{x_0}} \right) = 0\\ {k_{\max }} = y’\left( {{x_0}} \right);{\rm{ }}y”\left( {{x_0}} \right) = 0 \end{array}\] B1: Giải phương trình \[y”\left( {{x_0}} \right) = 0\] ta được \[{{x_0}}\] B2: Tính \[{k_{\min }} = y’\left( {{x_0}} \right)\] B3: Viết phương trình tiếp tuyến. Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} + 2\] biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. + Ta có \[y’ = 3{x^2} – 6x\] \[\begin{array}{l} y’ = 3{x^2} – 6x = 3\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) – 3\\ = 3{\left( {x – 1} \right)^2} – 3 \ge – 3 \end{array}\] \[ \Rightarrow \min y’ = – 3\], dấu bằng xảy ra tại \[{x_0} = 1\] Vậy k = -3; \[{x_0} = 1\] => \[{y_0} = 0\] + Phương trình tiếp tuyến là \[y – 0 = – 3\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = – 3x + 3\] Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {x^3} + 6{x^2} – 9x + 5\] biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. + Có \[\begin{array}{l} y’ = 3{x^2} + 12x – 9\\ y” = 6x + 12\\ y”\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x_0} + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {x_0} = – 2 \Rightarrow {y_0} = 39 \end{array}\] + Khi đó \[k = y’\left( {{x_0}} \right) = – 21\] + Phương trình tiếp tuyến là \[\begin{array}{l} y – 39 = – 21\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = – 21x – 3 \end{array}\] Xem thêm Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm Like share và ủng hộ chúng mình nhé: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ khi biết hệ số góc là k Giải phương trình $k={f}'\left( x \right)\Rightarrow \left[ \begin{array} {} x={{x}_{01}} \\ {} x={{x}_{02}} \\ {} .......... \\ {} x={{x}_{i}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow y\left( {{x}_{i}} \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{k}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{k}_{2}}x+{{b}_{2}}$ Khi đó ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$. ▪ Nếu ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {{k}_{1}}={{k}_{2}} \\ {} {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{array} \right.$ ▪ Nếu ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1$ ▪ Đường thẳng $d:y=k\text{x}+b$ tạo với trục hoành một góc α thì $k=\pm \tan \alpha $. Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc có đáp án
Lời giải Ta có: ${y}'=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$ a) Do tiếp tuyến có hệ số góc $k=-1$ nên ta có: $\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=3 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$. Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=2\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-1\left( x-3 \right)+2=-x+5$. Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=0\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-\left( x-1 \right)=-x+1$. b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-4\text{x}+2\Rightarrow {{k}_{u}}=-4\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=-4$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{5}{2} \\ {} x=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$ Với ${{x}_{0}}=\frac{5}{2}\Rightarrow {{y}_{0}}=3\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-\frac{5}{2} \right)+3=-4\text{x}+13$ Với ${{x}_{0}}=\frac{3}{2}\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-\frac{3}{2} \right)-1=-4\text{x}+5$ (loại vì trùng với đường thẳng đã cho) Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-4\text{x}+13$. c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=9\text{x}+2$ suy ra ${{k}_{u}}.{{k}_{d}}=-1\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-1}{{{k}_{d}}}=\frac{-1}{9}$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=5 \\ {} x=-1 \\ \end{array} \right.$. Với ${{x}_{0}}=5\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{4}{3}\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{9}\left( x-5 \right)+\frac{4}{3}=\frac{-1}{9}x+\frac{17}{9}$ Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{2}{3}\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là $y=-\frac{1}{9}\left( x+1 \right)+\frac{2}{3}=\frac{-1}{9}x+\frac{5}{9}$.
Lời giải Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm. a) Ta có: $d:y=\frac{-1}{2}x-\frac{1}{2}\Rightarrow {{k}_{d}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow {{k}_{u}}=2$. Khi đó ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{0}}=0 \\ {} {{x}_{0}}=-2 \\ \end{array} \right.$ Với ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2\text{x}-1$ Với ${{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2\left( x+2 \right)+3=2\text{x}+7$ b) Ta có: ${{d}_{1}}:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=20\text{x}+1\Rightarrow {{k}_{n}}={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{0}}=1 \\ {} {{x}_{0}}=-3 \\ \end{array} \right.$. Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=0\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{2}\left( x-1 \right)\equiv d$ (loại) Với ${{x}_{0}}=-3\Rightarrow {{y}_{0}}=2\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{2}\left( x+3 \right)+2=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$. Giải $3{{x}^{2}}-6\text{x}=-3\Leftrightarrow 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$. Với $x=1\Rightarrow y=0\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-3\left( x-1 \right)$. Chọn A.
Lời giải Ta có: $d:y=-2\text{x}+7;{y}'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$ . Với $x=2\Rightarrow y=3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-2\left( x-2 \right)+3=-2\text{x}+7\equiv d$ (loại). Với $x=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-2\text{x}-1$. Chọn D.
Lời giải Ta có: $y=\frac{-1}{6}x-\frac{1999}{6}\left( d \right)$. Do tiếp tuyến vuông góc với d nên ${{k}_{d}}.{{k}_{u}}=-1\Rightarrow {{k}_{u}}=\frac{-1}{{{k}_{d}}}=6$. Giải ${y}'=6\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{3}}+2\text{x}=6\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=6\left( x-1 \right)-3=6\text{x}-9$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=\frac{7}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=\frac{7}{9}=k$. Chọn C.
Lời giải Ta có: ${y}'=\frac{1+m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( -2 \right)=1+m=3\Leftrightarrow m=2$. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'\left( 1 \right)=3-8m+3=-2\Leftrightarrow m=1$. Chọn A.
Lời giải Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=24\text{x}-1$ suy ra ${{k}_{n}}=24$ Khi đó ${y}'=4{{\text{x}}^{3}}-4\text{x}=24\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=5$. Phương trình tiếp tuyến là: $y=24\left( x-2 \right)+5=24\text{x}-43$. Chọn D.
Lời giải Do tiếp tuyến vuông góc với $y=\frac{-x}{9}+1$ nên ${{k}_{u}}=\frac{-1}{{{k}_{d}}}=9$ Giải ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-3 \\ \end{array} \right.$ Với $x=1\Rightarrow y=1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=9\left( x-1 \right)+1=9\text{x}-8$ Với $x=-3\Rightarrow y=-3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=9\left( x+3 \right)-3=9\text{x}+24$ Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là $y=9\text{x}-8;y=9\text{x}+24$. Chọn D.
Lời giải Ta có: $d:y=-5\text{x}-2\Rightarrow {{k}_{u}}=-5$. Giải ${y}'=\frac{-5}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-5\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$ Với $x=0\Rightarrow y=-2\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-5\text{x}-2$ (loại). Với $x=2\Rightarrow y=8\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-5\left( x-2 \right)+8=-5\text{x}+18$. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${{k}_{u}}={y}'\left( -1 \right)=3+2m$. Từ gt $\Rightarrow \left( 3+2m \right).\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow 3+2m=-2\Leftrightarrow m=\frac{-5}{2}$. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=-3{{\text{x}}^{2}}+4m\text{x}\Rightarrow {y}'\left( 1 \right)=-3+4m=1\Leftrightarrow m=1$ Mặt khác điểm $A\left( 1;3 \right)\in \left( C \right)$ nên $3=-1+2m+n=n+1\Leftrightarrow n=2$. Vậy $m+n=3$. Chọn B.
Lời giải Giải hệ $\left\{ \begin{array} {} -4=\frac{m+2}{n+2} \\ {} {y}'\left( 2 \right)=\frac{n-m}{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=-4n-10 \\ {} \frac{5n+10}{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=-4n-10 \\ {} \frac{1}{n+2}=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} n=-3 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2m-n=7$. Chọn D.
Lời giải Giải hệ $\left\{ \begin{array} {} -3=\frac{m+n}{1-2} \\ {} {y}'\left( 3 \right)=\frac{-2m-n}{{{\left( 3-2 \right)}^{2}}}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m+n=3 \\ {} 2m+n=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=2 \\ {} n=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=5$. Chọn A.
Lời giải Giải hệ $\left\{ \begin{array} {} 5=-1+m-n \\ {} {y}'\left( 1 \right).\frac{-1}{3}=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m-n=6 \\ {} \left( 3+2m+n \right)=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=2 \\ {} n=-4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=20$. Chọn C.
Lời giải Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là $x=a$. Khi đó ta có: ${y}'\left( a \right)=3{{\text{a}}^{2}}+6ma=-3\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ma+1=0$. Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc $k=-3$ là: ${{\Delta }_{\left( 1 \right)}}={{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m>1 \\ {} m<-1 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.
Lời giải Ta có $y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-4{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}-11\xrightarrow{{}}{y}'=2{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}+9,\forall x\in \mathbb{R}$. Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=2\text{x}_{0}^{2}-8{{\text{x}}_{0}}+9$. Mặt khác $2\text{x}_{0}^{2}-8{{\text{x}}_{0}}+9=2\left( x_{0}^{2}-4{{\text{x}}_{0}}+4 \right)+1=2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow {{k}_{\min }}=1$. Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=-\frac{11}{3}$. Vậy phương trình d là $y+\frac{11}{3}=x-2\Leftrightarrow y=x-\frac{17}{3}\Rightarrow P\left( 5;-\frac{2}{3} \right)\in d$. Chọn B.
Lời giải Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-3$ Do đó hàm số có dạng: $y=\frac{-3\text{x}+b}{x-1}\Rightarrow {y}'=\frac{3-b}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( 0 \right)=3-b$ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=2\text{x}+2018\Rightarrow 3-b=2\Leftrightarrow b=1$. Vậy $a=-3;b=1;c=1\Rightarrow T=2$. Chọn D.
Lời giải Ta có: $\Delta OAB$ vuông tại O ta có: $\tan \widehat{BAO}=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}}{OA}=7$ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: $k=\pm 7$. Gọi $M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+4}{{{x}_{0}}-3} \right)\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{-7}{{{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}}=\pm 7\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{x}_{0}}=4 \\ {} {{x}_{0}}=2 \\ \end{array} \right.$ Suy ra $M\left( 4;8 \right)\Rightarrow T=16$. Chọn A. |