Viết phương trình đường tròn đường kính AC

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R; hoặc đi qua 2 điểm tiếp xúc với đường thẳng (d); hoặc đi qua 2 điểm có tâm nằm trên đường thẳng (Δ) cũng là dạng toán phổ biến. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập dạng này ngay sau đây.

* Cách giải bài tập viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm

Tùy từng trường hợp, bài sẽ cho đường tròn (C) đi qua 2 điểm có bán kính R;

hoặc đường tròn (C) có đường kính AB và tọa độ điểm A, điểm B;

hoặc đường tròn (C) đi qua 2 điểm và có tâm nằm trên đường thẳng (d);

hoặc đường tròn (C) đia qua 2 điểm và tiếp xúc với một đường thẳng (Δ);

Về cơ bản chúng ta cần thực hiện:

 - Tìm toạ độ tâm I(a;b) của đường tròn (C)

 - Tìm bán kính R của (C)

 - Viết phương trình đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

Để dễ hiểu hơn, chúng ta cùng vận dụng vào giải một số bài tập minh họa.

» xem thêm tại hayhọchỏi.vn: Các dạng toán phương trình đường tròn lớp 10

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn (C) trong biết (C) đi qua 2 điểm AB với A(1;1), B(5,3) và nhận AB là đường kính.

* Lời giải:

- Vì đường tròn (C) có đường kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta có toạ độ tâm I của (C) là trung điểm A,B là:

 

 

- Bán kính 

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(3;2) và bán kính 

 có pt:

  (x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

* Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(2;0), B(3;1) và có bán kính R = 5.

* Lời giải:

- Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b)

Vì đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

 IA = 5 ⇒ IA2 = R2 = 25

⇒ (a - 2)2 + (b - 0)2 = 25

⇒ a2 - 4a + 4 + b2 = 25 

⇒ a2 - 4a + b2 = 21 (1)

 IB = 5 ⇒ IB2 = R2 = 25 

⇒ (a - 3)2 + (b - 1)2 = 25 

⇒ a2 - 6a + 9 + b2 - 2b + 1 = 15

⇒ a2 - 6a + b2 - 2b = 15  (2)

Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta được:

 2a + 2b = 6 ⇒ a + b = 3   

⇒ a = 3 - b  (3)

thay trở lại pt (1) ta có

(3 - b)2 - 4(3 - b) + b2 = 21

⇒ b2 - 6b + 9 - 12 + 4b + b2 = 21

⇒ 2b2 - 2b = 24

⇒ b2 - b -12 = 0

Giải phương trình bậc 2 với ẩn là b này ta được nghiệm b1 = -3 và b2 = 4

Với b = -3 thì từ pt (3) ⇒ a = 6 ⇒ I(6; -3)

Với b = 4 thì từ pt (3) ⇒ a = -1 ⇒ I(-1; 4)

Vậy ta có 2 đường tròn thỏa là:

(C1): (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25

(C2): (x + 1)2 + (y - 4)2 = 25

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + y + 2 = 0 

* Lời giải:

- Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a;b),

Vì I(a,b) thuộc đường thẳng x + y + 2 = 0 nên ta có: a + b + 2 = 0 (1)

vì (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) nên ta có R = IA = IB ⇒ IA2 = IB2 

⇒ (xA - xI)2 + (yA - yI)2 = (xB - xI)2 + (yB - yI)2 

⇒ (a - 0)2 + (b - 1)2 = (a - 1)2 + (b - 0)2

⇒ a2 + b2 - 2b + 1 = a2 - 2a + 1 + b2

⇒ 2b = 2a ⇒ a = b  (2)

thay vào pt (1) ta được a = b = -1

và R2 = IA2 = 12 + 22 = 5

Vậy phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(0;1), B(1;0) và có tâm I(-1;-1) là:

 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5

* Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm A(-1;0), B(1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d): x - y - 1 = 0

* Lời giải:

- Gọi I(a;b) là tâm đường tròn và R là bán kính của đường tròn (C).

- Khi đó khoảng cách từ tâm I của (C) đến đường thẳng (d) là:

  (1)

Vì A, B là 2 điểm thuộc đường tròn nên ta có:

 (-1 - a)2 + b2 =  R2   (2)

 (1 - a)2 + (2 - b)2 = R2  (3)

Từ (2) và (3) có: (1 + a)2 + b2 = (1 - a)2 + (2 - b)2

⇒ 1 + 2a + a2 + b2 = 1 - 2a + a2 + 4 - 4b + b2

⇒ 2a + 1 = -2a - 4b + 5

⇒ 4a + 4b = 4

⇒ a + b = 1  (4)

Từ (1) và (2) lại có:

 (a - b - 1)2 = 2[(1 + a)2 + b2]

⇒ 1 + a2 + b2 + 2ab - 6a - 2b = 0

⇒ 1 + (a + b)2 + 6(a + b) - 8b = 0

mà theo (4) thì: a + b = 1 nên

⇒ 1 + 12 + 6 - 8b = 0

⇒ b = 1 và từ (4) ⇒ a = 0

⇒ R2 = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x2 + (y - 1)2 = 2

Như vậy với Cách viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm và ví dụ cụ thể ở trên, HayHocHoi hy vọng bài viết giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Cho 2 điểm A(1;1) B(7;5) viết phương trình đường tròn đường kính AB

Làm bài này nhanh giúp mình mình cảm ơn nhiều

Viết pt đường tròn (C) nhận AB làm đường kính? Biết A(1;2), B(4;6)

Xét đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R, ta có phương trình đường tròn là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a, b) có bán kính R là:

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c  > 0)

II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Xét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:

(∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)

III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.

Cách 1: 

Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x - a)² + (y - b)² = m.

Bước 2: Xét m:

• Nếu m < 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
• Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{m}\).

Cách 2: 

Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Bước 2: Xét m = a² + b² - c:

• Nếu m ≤ 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
• Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\).

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước

Cách 1: 

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².

Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R².

Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².

Cách 2: 

Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.

Bước 3:  Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến đường tròn:

• Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) d(I,Δ) = R.
• Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A ⇔ d (I,Δ) = IA = R.
• Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) ⇔ d (I,Δ1) = d (I,Δ2) = R.

Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước:

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:

Dựa vào tính chất của tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R.

Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.

Lời giải tham khảo:

Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Vì (C) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn (C) ta có hệ sau:

\(\left\{\begin{matrix} 4^2 + (-1)^2 – 2a.4 – 2b.(-1) + c = 0\\ 0^2 + 3^2 – 2a.0 – 2b.3 + c = 0\\ 4^2 + 7^2 – 2a.4 – 2b.7 + c = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} -8a+2b+c=-17\\ -2b+c=-9\\ -8a-14b+c=-65 \end{matrix}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=4\\ b=3\\ c=-9 \end{matrix}\right.\)

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(4;3).

Phương trình đường tròn (C) là: (x - 4)² + (y - 3)² = 16.

Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1):

⇒ = (4 - 4).(x - 4) + (-1 - 3).(y +1) = 0 ⇔ y = -1

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1