Sách lý thuyết xác suất và thống kê toán năm 2024

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1 - Mai Chi, Trần Doãn Phú

1. TT TT-TV * ĐHTM ỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI 519.01 LYT Mai Chi - Trần Doãn Phú 2008 GT.0001651 XAC SUAT VA THONG KE TOAN GT.0001651 NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI MAI CHI - TRẦN DOÃN PHÚ LÝ THUYẾT XẮC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ - 2008
3. LÝ THUYẾT XÁC SUÂT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Chịu trách nhiệm xuất bản: TRẦN HŨƯ THỰC Chịu trách nhiệm bản thảo: MAI CHI TRẦN DOÃN PHÚ Trình bày và bìa: HỒ NGUYỆT HÀ In 500 cuốn, khổ 16 X 24 cm tại Công ty TNHH Bao bì và In Hải Nam. Giấy phép xuất bản số: 85-2008/CXB/495-134/TK do Cục Xuất bản cấp ngày 17 tháng 01 năm 2008. In xong và nộp lưu chiểu quý in nãm 2008
4. LỜI NÓI ĐẦU Càng ngày người ta càng nhận thấy vai trò to lớn của Lý thuyết xác suất và Thống kê toán (LTXS & TKT) trong cả hai lĩnh vực lý thuyết và thực hành. Bản thân LTXS & TKT đã có thể tự giải quyết được nhiều bài toán đặt ra trong đời sống kinh tế, xã hội nói chung và trong sản xuất kinh doanh nói riêng. Nhưng điều quan trọng hơn nó là nền tảng không thể thiếu để có thể nghiên cứu các giáo trình mô hình toán kinh tế khác như Kinh tế lượng, Lý thuyết phục vụ đám đông, Lý thuyết dự trữ... và cả những môn học khác ít nhiều có đề cập đến các mô hình toán liên quan đến yếu tố ngẫu nhiên. Điều này giải thích tại sao vai trò của môn học LTXS & TKT trong các trường đại học ngày một được đề cao. Vì mỗi ngành, mỗi trường đều có đặc thù riêng nên tuy sách viết về LTXS & TKT trong thời gian gần đây xuất bản khá nhiều, nhưng để sinh viên (những người luôn cho rằng môn học này là khó) tìm được tài liệu phù hợp không phải là dễ. Để đáp ứng được đòi hỏi đó, được sự ủng hộ của trường Đại học Thương mại và Bộ môn Toán, chúng tôi cho ra mắt bạn đọc cuốn giáo trình này. Giáo trình được biên soạn theo chương trình chuẩn của bộ GD và ĐT về môn LTXS & TKT cho -các trường đại học kinh tế, vì vậy ngoài việc dùng cho đối tượng chính là sinh viên Đại học Thương mại nó còn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các trường thuộc khối kinh tế và các ngành tương đương khác. Chúng tôi nghĩ rằng giáo trình cũng là một tài liệu có ích cho bất cứ ai muốn nắm được kiến thức cơ bản cùng kỹ năng làm bài tập về LTXS & TKT trong một thời gian ngắn nhất. Vì giáo trình được viết để giảng trong thời gian 60 tiết học cho đối tượng là sinh viên kinh tế, nên những phần chứng minh của một số định lý được bỏ qua để độc giả có điều kiện tập trung nắm bắt được tư tưởng chính của vấn đề cũng như ứng dụng của chúng. Trình bày các vấn đề rõ ràng và dễ hiểu là tiêu chuẩn hàng đầu mà các tác giả quán triệt trong cả quá trình biên soạn. Để sử dụng được giáo trình này bạn 3
5. đọc chỉ cần kiến thức tối thiểu về toán cao cấp được giảng dạy trong các trường kinh tế. Giáo trình gồm hai phần: Phần I: Lý thuyết xác suất do Mai Chi viết Phần II: Thống kê toán do TS. Trần Doãn Phú viết. Trong quá trình biên soạn chúng tôi đã nhận được nhiều đóng góp của các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán đặc biệt là của PGS. TS. Đặng Văn Thoan, và các đồng nghiệp TS. Nguyễn Sinh Bảy, Nguyễn Thọ Liễn. Chúng tôi chân thành cảm ơn những đóng góp quý báu này. Chúng tôi cũng tỏ lời cảm ơn đổng nghiệp Nguyễn Đức Minh đã giúp chúng tôi rất nhiều trong quá trình soạn thảo. Mặc dù đã cố gắng nhưng chắc chắn rằng giáo trình không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, phê bình của bạn đọc để lần xuất bản sau giáo trình được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 10 năm 2000 Các tác giả 4
6. LỜI NÓI ĐẦU (Lần tái bản thứ nhất) Để đáp ứng yêu cầu nâng cao chất lượng giảng dạy trong giai đoạn mới cũng như nhu cầu về tài liệu học tập cho sinh viên, được sự cho phép của trường Đại học Thương mại chúng tôi cho ra mắt bạn đọc cuốn giáo trình Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán xuất bản lần thứ hai này. So với lần xuất bản thứ nhất vào năm 2000 lần xuất bản này có một số thay đổi như sau: - Đưa thêm vào một số nội dung mới: • Hệ số bất đối xứng mẫu, hệ số nhọn mẫu (mục 3.6 chương VI) • Tịêu chuẩn kiểm định Jacque-Bera (JB) dùng để kiểm định giả thuyết về tính phân phối chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên (mục 3.1.2 chương VIII) - Bổ sung một số ví dụ - Sửa chữa một số chi tiết. Chúng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp đã động viên khích lệ và có những đóng góp chân thành để lần xuất bản thứ hai này của cuốn giáo trình được hoàn thiện hơn. Chúng tôi cũng xin cảm ơn các đồng nghiệp ThS. Hoàng Thị Thu Hà, ThS. Lê Văn Tuấn, CN. Vũ Trọng Nghĩa đã giúp chúng tôi trong quá trình soạn thảo cho lần xuất bản thứ hai này. Hà Nội, tháng 3 năm 2008 Các tác giả 5
7. PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
8. Chương I BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN §1. BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH KẾT HỢP Trong những năm học ở phổ thông trung học, chúng ta đã có dịp làm quen với các khái niệm về giải tích kết hợp. Trong mục này của giáo trình, các khái niệm đó sẽ được nhắc lại để giúp chúng ta giải các bài tập về Lý thuyết xác suất một cách nhanh chóng và chính xác. 1.1. Chỉnh hợp Ví dự: Có 3 học sinh A, B, c. Cần phải chọn ra 2 học sinh để làm cán bộ lớp. Học sinh nào chọn ra trước sẽ làm lớp trưởng, học sinh nào chọn ra sau sẽ làm lớp phó. Ta có 6 cách chọn sau: AB, AC, BA, BC, CA, CB. Mỗi một cách chọn là một nhóm có thứ tự của 2 trong 3 học sinh A, B, c, và mỗi nhóm đó được gọi là một chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử. Định nghĩa: Cho n phần tử a,, a2, ... , an. Mọi nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau (0 < k < n) lập nên từ n phần tử đã cho được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Như vậy từ n phần tử đã cho ta có thể lập nên nhiều chỉnh hợp chập k và hai chỉnh hợp chập k của n phần tử là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc nếu các phần tử như nhau thì thứ tự của các phần tử phải khác nhau. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A* và có thể chứng minh được: A* = n(n-l)(n-2)...(n-k + l) z n! (1-1) (n-k)! 9
9. Trong đó: n! = 1.2...n với quy ước 0!=l. Ví dụ: Một lớp phải học 8 môn. Mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu cho một ngày học? Giải: Mỗi cách xếp thời khoá biểu cho một ngày học là một nhóm có thứ tự của 2 môn học khác nhau trong 8 môn. Vậy số cách xếp thời khoá biểu cho một ngày học là số chỉnh hợp chập 2 của 8, và bằng: 1.2. Chỉnh hợp lặp Nếu trong các chỉnh hợp chập k của n phần tử, các phần tử có thể được chọn lại nhiều lần thì ta có khái niệm chỉnh hợp lặp. Định nghĩa: Cho n phần tử a(, a2, ... , an. Mọi nhóm có thứ tự gồm k phần tử lập nên từ n phần tử đã cho, trong mỗi nhóm các phần tử có thể có mặt 1,2,..., k lần, được gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử đó. Chú ý: Vì mỗi phần tử có thể có mặt nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp, nên k có thể lớn hơn n. Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là Ä hoặc An và có thể dễ dàng chứng minh được: (1.2) Ví dụ: Để đánh số máy điện thoại trong một quận thuộc thành phố Hà Nội, người ta dùng 7 con số trong 10 con số 0, 1, 2,... ,9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy? Giải: Ta thấy số của mỗi máy điện thoại là một chỉnh hợp lặp chập 7 của 10 phần tử. Vậy có thể đánh số được: Ã;o = 107 = 10.000.000 (máy) 1.3. Hoán vị Định nghĩa: Cho n phần tử ab a2, ... , an. Mỗi cách sắp xếp n phần tử trên í heo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. 10
10. Như vậy hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau về thứ tự của các phần tử. Nói cách khác mỗi hoán vị của n phần tử là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn và (1.3) Ví dụ: Có 4 quyển sách. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 quyển sách lên giá. Giải: Ta thấy số cách xếp 4 quyển sách lên giá là số hoán vị của 4 phần tử và bằng: P4=4! = 24 1.4. Tổ hợp Ví dụ: Có 3 học sinh A, B, c. Cần phải chọn ra 2 học sinh để đi họp. Khi đó ta có thể chọn: AB, AC, BC. Mỗi cách chọn là một nhóm không kể đến thứ tự của 2 trong 3 học sinh vã được gọi là một tổ hợp chập 2 của 3 phần tử A,B,C. Định nghĩa: Cho n phần tử ab a2, . , an. Mọi nhóm không kể đến thứ tự gồm k phần tử khác nhau (0 < k < n) lập nên từ n phần tử đã cho được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử. Như vậy hai tổ hợp chập k của n phần tử chỉ khác nhau khi chúng có ít nhất một phầri tử khác nhau. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C*. Vì vói mỗi một tổ hợp chập k của n phần tử ta có k! hoán vị của k phần tử, nên: Từ đó: (1.4) Dễ dàng chứng minh được rằng: 11
11. c"n = C"n = Ví dụ: Một hộp có 10 sản phẩm. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 sản phẩm để kiểm tra? Giải: Mỗi một cách chọn ra 2 sản phẩm là một nhóm không kể đến thứ tự của 2 sản phẩm khác nhau trong 10 sản phẩm. Vậy số cách chọn ra 2 sản phẩm là: ^- = 45 c 210 2!8! §2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 2.1. Phép thử và biến cố Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường tiến hành các thí nghiệm, các quan sát, tức là thực hiện một nhóm các điều kiện xác định nào đó mà các kết quả của chúng không thể biết chính xác được, ta nói đã thực hiện các phép thử ngẫu nhiên. Khi phép thử ngẫu nhiên được thực hiện có nhiều kết cục có thể xảy ra. Ví dụ ỉ: Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc xuống mặt bàn là thực hiện phép thử. Khi phép thử này được thực hiện có 6 kết cục có thể xảy ra, đó là “Xuất hiện mặt 1 chấm”, “Xuất hiện mặt 2 chấm”,..., “Xuất hiện mặt 6 chấm”. Các kết cục có thể xảy ra trong phép thử và các kết cục phức tạp hơn như "Xuất hiện mặt có số chấm chẵn", "Xuất hiện mặt có số chấm lẻ" đều được gọi là các biến cố. 12
12. Ví dụ 2: Từ một lô sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu, lấy ngẫu nhiên ra hai sản phẩm. Khi đó, việc lấy ngẫu nhiên ra hai sản phẩm là thực hiện phép thử, còn các kết cục như "Hai sản phẩm lấy ra đều tốt", "Hai sản phẩm lấy ra cùng một loại",... đều là các biến cố. Ví dụ 3: Xét phép thử : Quan sát nhiệt độ ngoài trời. Khi đó các kết cục: "Nhiệt độ ngoài trời là 20°C", "Nhiệt độ ngoài trời từ 20°C đến 25°C"... đều là các biến cố. Từ các ví dụ trên, ta thấy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử gắn liền với nó được thực hiện. Trong thực tế người ta chia các biến cố ra làm ba loại. Biến cố chắc chán: Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là u. Biến cố không thể có: Biến cố không thể có là biến cố không thể xảy ra khi phép thử được thực hiện. Biến cố không thể có được ký hiệu là V. Biến cô' ngẫu nhiên: Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được thực hiện. Các biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ A, B, c, ... Aj, A2, ... , Bj, B2, ... Ví dụ 4: Xét phép thử : Mua 2 vé xổ số. Khi đó biến cố "Có 1 vé trúng thưởng" là biến cố ngẫu nhiên. Biến cố "Có 3 vé trúng thưởng" là biến cố V. Biến cố "Số vé trúng thưởng nhỏ hơn hoặc bằng 2" là biến cố u. 2.2. Mối quan hệ giữa các biến cố 2.2.1. Các biến cố đồng khả năng Các biến cố Aị, A2, ..., An được gọi là đồng khả năng nếu có cơ sở để nói rằng khả năng xảy ra hoặc không xảy ra của các biến cố đó như nhau. Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền đồng chất và cân đối xuống mật bàn. 13
13. Gọi s là biến cố "Xuất hiện mặt sấp". N là biến cố "Xuất hiện mặt ngửa". Khi đó, s và N là hai biến cố đồng khả năng. 2.2.2. Tổng của các biến cố Định nghĩa 1 : Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố c xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố đó xảy ra. Ký hiệu: c = A + B Ví dụ 1: Xét phép thử: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố “Người thứ nhất bắn trúng mục tiêu”. B là biến cố “Người thứ hai bắn trúng mục tiêu”. c là biến cố “Mục tiêu bị trúng đạn”. Ta thấy mục tiêu bị trúng đạn khi và chỉ khi có ít nhất một người bắn trúng. Do đó, c = A + B. Ví dụ 2: Một hộp đựng 5 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ hộp ra 2 quả cầu. Gọi A là biến cố "cả hai quả cầu rút ra đều có màu xanh". B là biến cố "rút được một quả cầu trắng, một quả cầu màu xanh". c là biến cố "trong hai quả rút ra có ít nhất một quả cầu màu xanh". Khi đó, c = A + B. Định nghĩa 2: Tổng của n biến cố Aị, A2, ... , An là một biến cố A xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố đó xảy ra Ký hiệu: A = ¿A¡ i=I Ví dụ 3: Một hộp có 3 sản phẩm loại 1, 5 sản phẩm loại 2 và 4 sản phẩm loại 3. Rút ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. 14
14. Gọi A là biến cố "Hai sản phẩm rút ra cùng loại". Aj (i = 1,2,3) là biến cố “Hai sản phẩm rút ra thuộc loại ĩ”. Khi đó, A = Aị+ A2+ A3. 2.2.3. Tích của các biến cố Định nghĩa l: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố c xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra. Ký hiệu: c = A.B Ví dụ ỉ: Xét phép thử: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố "Người thứ nhất bắn trượt". B là biến cố "Người thứ hai bắn trượt". c là biến cố “Mục tiều không bị trúng đạn”. Khi đó, C = A.B Định nghĩa 2: Tích của n biến cố A|, A2,..., An là một biến cố A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên đồng thời xảy ra. Ký hiệu A = riAi i=l Ví dụ 2: Một học sinh tốt nghiệp đại học muốn được vào làm việc ở một công ty, phải qua được cả 3 kỳ thi về chuyên môn, ngoại ngữ và sử dụng máy vi tính. Gọi A] là biến cố "Học sinh vượt qua được kỳ thi về chuyên môn". A2 là biến cố "Học sinh vượt qua được kỳ thi về ngoại ngữ". A3 là biến cố "Học sinh vượt qua được kỳ thi về sử dụng máy vi tính". A là biến cố "Học sinh được vào làm việc ở công ty". Khi đó, A = Aị.A2.A3 15
15. 2.2.4. Các biến cô xung khắc Định nghĩa 1 : Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. Như vậy, nếu A và B xung khắc với nhau thì biến cố tích A.B =v Vi'dụ 7: Cho cỗ tú lơ khơ 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra một quân bài. Gọi A là biến cố "Rút được quân bài màu đỏ" B là biến cố "Rút được quân bài màu đen" Khi đó, A và B xung khắc với nhau. Định nghĩa 2: Các biến cố A], A2, ... , An được gọi là xung khắc với nhau từng đôi một nếu hai biến cố bất kỳ trong chúng xung khắc với nhau. Nói một cách khác, ta có A¡Aj= V (i^j) Ví dụ 2: Một hộp có 5 cuộn chỉ trắng, 4 cuộn chỉ xanh và 3 cuộn chỉ vàng. Rút ngẫu nhiên từ hộp ra 2 cuộn chỉ. Gọi Aị (i = 0, 1, 2) là biến cố “Trong 2 cuộn chỉ lấy ra có i cuộn chỉ trắng”. Khi đó, các biến cố A(), A|, A2 xung khắc từng đôi. 2.2.5. Hai biến cố không xung khắc Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là không xung khắc với nhau nếu chúng có thể cùng xảy ra trong một phép thử. Ví ãụ: Hai học sinh An và Bình cùng thi môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán. Gọi A là biến cố "Học sinh An thi đỗ". B là biến cố "Học sinh Bình thi đỗ". Khi đó, A và B là hai biến cố không xung khắc. 2.2.6. Hệ đầy đủ các biến cố Định nghĩa: n biến cố Aj, A2, ... , An lập nên một hệ đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi và khi phép thử được thực hiện thì nhất thiết phải xảy ra một trong n biến cố trên. Tức là: 16
16. A,AJ=V (i * j ; i,j = l,n) < n ẺA,=U . i =l Ví dụ: Gieo một con xúc xắc xuống mặt bàn. Gọi Aị (i = 1,6 ) là biến cố “Xuất hiện mặt i chấm”. Khi đó, A|, A2, ... , A,; lập nên một hệ đầy đủ các biến cố. Hoặc nếu gọi A là biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm chẵn". B là biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm lẻ". thì A và B cũng lập nên hệ đầy đủ các biến cố. Như vậy trong một phép thử ta có thể chỉ ra nhiều hệ đầy đủ các biến cố. 2.2.7. Hai biến cô' đối lập Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là đối lập với nhau nếu chúng lập nên một hệ đầy đủ các biến cố. Biến cố đối lập của biến cố A được ký hiệu là A Như vậy, từ định nghĩa ta thấy A và A xung khắc với nhau, và nếu A không xảy ra thì A phải xảy ra, ngược lại A không xảy ra thì A phải xảy ra. TRƯÒNG ửẠi HỌC.I Tức là: < AA ___ =v (»1 A + A=u TÑU Vit* ị Ví dụ ỉ: Xét phép thử: Bắn một viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố "Viên đạn trúng mục tiêu". thì A là biến cố "Viên đạn không trúng mục tiêu". Ví dụ 2: Một lô hàng gồm 12 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi A là biến cố "Cả hai sản phẩm lấy ra đều tốt". 17
17. thì A là biến cố "Trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm xấu". Các biến cố không thể phân tích được thành tổng của các biến cố xung khắc từng đôi được gọi là các biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp lập nên không gian các biến cố sơ cấp và được ký hiệu là: Q = {aJ i = l,2,...} Mỗi biến cố được coi là tập con của không gian các biến cố sơ cấp. Ví dụ: Xét phép thử: Gieo một đồng tiền liên tiếp hai lần. Trong mỗi lần có thể xuất hiện mặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngửa (N): Khi đó không gian các biến cố sơ cấp là Q= {SS, NN, SN, NS} Nếu gọi A là biến cố "Có một lần xuất hiện mặt sấp". B là biến cố "Cả hai lần xuất hiện mặt giống nhau". thì A và B lằ các tập con của Q. §3. XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố 3.1. Khái niệm về xác suất của biến cố Các biến cố ngẫu nhiên có một đặc điểm chung là chúng có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được thực hiện. Nhưng các biến cố ngẫu nhiêqichác rìhặu có khả'nặng xuất hiện khách quan khác nhau. Chẳng hạn, khi ta mua-một vệ xổ sọ thì biến cố Ạ: "Trúng giải bảy" có khả năng xuất hiện nhiều hởrT^ến cố B: "Trúng giải đặc biệt". Để đo khả năng xuất; hilệh^h&hàẶlẳÌĩủaị các biến cố khi phép thử được thực hiện, người ta düng*cac con so. Bien cố A có khả năng xuất hiện nhiều hơn được ứng với một con số lớn hơn, còn biến cố B có khả nâng xuất hiện ít hơn được ứng với một con số bé hơn. Các con số đó được gọi là xác suất của biến cố. Xác suất của mỗi biến cố là một con số. Vậy con số đó bằng bao nhiêu? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ nêu ra các định nghĩa về xác suất của biến cố. 18
18. 3.2. Định nghĩa cổ điển về xác suất Ví dụ 1 : Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền đồng chất, cân đối xuống mặt bàn. Xét A là biến cố "Xuất hiện mặt sấp". Khi gieo đổng tiền chỉ có thể xảy ra một trong hai kết cục, đó là “Xuất hiện mặt sấp” hoặc “Xuất hiện mặt ngửa”. Vì ta giả thiết đổng tiền đồng chất, cân đối, nên hai kết cục trên là đồng khả năng (tức là ta có hai biến cố sơ cấp đồng khả năng). Trong hai kết cục đồng khả năng ở trên có một kết cục làm cho A xuất hiện, tức ta có một kết cục thuận lợi cho A. Bằng trực giác, ta thấy khả năng xuất hiện biến cố A là , ta tỷ số 4 làm xác suất của biến cố A. 2 Ví dụ 2: Cho một cỗ bài tú lơ khơ 52 quân. Xáo trộn kỹ cỗ bài, sau đó rút ngẫu nhiên ra một quân bài. Xét A là biến cố “Rút được quân át”. Vì các quân bài được xáo trộn kỹ, nên các quân bài có cùng khả năng được rút ra, tức ta có 52 kết cục đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử. Nếu rút được quân át thì biến cố A xảy ra, nhưng vì trong cỗ bài có 4 quân át, nên ta có 4 kết cục thuận lợi cho biến cố A. * 4 Bằng trực giác ta thấy khả năng để rút được một quân át là , ta lấy 4 tỷ số -7- làm xác suất của biến cố A. 52 3.2.1. Định nghĩa Định nghĩa: Giả sử trong một phép thử nào đó có n kết cục đồng khả năng, trong đó có m kết cục thuận lợi cho biến cố A. Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A), là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho biến cố A và số kết cục đổng khả năng có thể xảy ra trong phép thử. , m số kết cuc thuân lơi cho A z, P(A)=— ==-- • • v (1.5) n số kết cục đồng khả năng có thê xạ/ ra Ví dụ 3: Một lô hàng gồm 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra hai sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để: a. Cả hai sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt. b. Trong hai sản phẩm lấy ra có một sản phẩm tốt. 19