Phương trình fx m=0 có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 2{x^2} + x – m + 5 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Ta có ${x^3} – 2{x^2} + x – m + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} + x + 5 = m.$ Xét hàm số $f[x] = {x^3} – 2{x^2} + x + 5.$ Suy ra $f'[x] = 3{x^2} – 4x + x$, $f'[x] = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 1}\\ {x = \frac{1}{3}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy ra: phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi $5 < m < \frac{{139}}{{27}}.$

Ví dụ 2. Cho phương trình ${x^4} – 2{x^2} – 2 – 3m = 0.$ Tìm giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có: ${x^4} – 2{x^2} – 2 – 3m = 0$ $ \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^2} – 2 = 3m.$ Xét hàm số $f[x] = {x^4} – 2{x^2} – 2$ có $f'[x] = 4{x^3} – 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm 1} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình bài ra có nghiệm khi: $3m \ge – 3$ $ \Leftrightarrow m \ge – 1.$

Ví dụ 3. Cho phương trình ${x^3} – 3mx + 2 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng $\left[ {\frac{1}{2};2} \right].$

Ta có ${x^3} – 3mx + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3mx$ $ \Leftrightarrow 3m = {x^2} + \frac{2}{x}.$ Xét hàm số $f[x] = {x^2} + \frac{2}{x}$ trên $\left[ {\frac{1}{2};2} \right] \cdot $ Khi đó $f'[x] = 2x – \frac{2}{{{x^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm trên khoảng $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$ khi $3 \le 3m < 5$ $ \Leftrightarrow 1 \le m < \frac{5}{3}.$

Ví dụ 4. Cho phương trình ${\sin ^2}x + m\sin x – 2m + 5 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có: ${\sin ^2}x + m\sin x – 2m + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 5 = m[2 – \sin x].$ Đặt $t = \sin x.$ Khi đó ta có $ – 1 \le \sin x \le 1$ nên $t \in [ – 1;1].$ Do đó ta có phương trình: ${t^2} + 5 = m[2 – t]$ $ \Leftrightarrow \frac{{{t^2} + 5}}{{2 – t}} = m.$ Xét hàm số $f[t] = \frac{{{t^2} + 5}}{{2 – t}}$ với $t \in [ – 1;1].$ Khi đó $f'[t] = \frac{{ – {t^2} + 4t + 5}}{{{{[2 – t]}^2}}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = – 1}\\ {t = 5\:\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm khi $m \in [2;6].$

Ví dụ 5. Cho phương trình $\sin x + \cos x + 2m\sin x\cos x + 4m – 1 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Đặt $t = \sin x + \cos x$ $ = \sqrt 2 .\sin \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right].$ Khi đó ta có $ – 1 \le \sin \left[ {x + \frac{\pi }{4}} \right] \le 1$ nên $t \in [ – \sqrt 2 ;\sqrt 2 ].$ Khi đó ${t^2} = 1 + 2\sin x\cos x$ $ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x = {t^2} – 1.$ Do đó ta có phương trình: $t + m\left[ {{t^2} – 1} \right] + 4m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{1 – t}}{{{t^2} + 3}} = m.$ Xét hàm số $f[t] = \frac{{1 – t}}{{{t^2} + 3}}$ với $t \in [ – \sqrt 2 ;\sqrt 2 ].$ Khi đó $f'[t] = \frac{{{t^2} – 2t – 3}}{{{{\left[ {{t^2} + 3} \right]}^2}}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = – 1}\\ {t = 3\:\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm khi $m \in \left[ {\frac{{1 – \sqrt 2 }}{5};\frac{1}{2}} \right].$

Ví dụ 6. Cho phương trình ${x^2} + m[\sqrt {4 – {x^2}} + 1] – 7 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Xét phương trình: ${x^2} + m[\sqrt {4 – {x^2}} + 1] – 7 = 0.$ Đặt $t = \sqrt {4 – {x^2}} .$ Điều kiện $0 \le t \le 2.$ Khi đó ${t^2} = 4 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 4 – {t^2}.$ Phương trình trở thành: $4 – {t^2} + m[t + 1] – 7 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}.$ Xét hàm số $f[t] = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}$ với $t \in [0;2].$ Suy ra $f'[t] = \frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{[t + 1]}^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 1}\\ {t = – 3\:\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số thì để phương trình bài ra có nghiệm thì $2 \le m \le 3.$

Ví dụ 7. Cho phương trình $m[\sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} ]$ $ + 2\sqrt { – {x^2} + 5x – 4} – 7 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Nhận xét: $ – {x^2} + 5x – 4 = [x – 1][4 – x].$ Đặt $t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} .$ Xét hàm số $t[x] = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} $ với $x \in [1;4].$ Ta có $t'[x] = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {4 – x} }}$ $ = \frac{{\sqrt {4 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {4 – x} }} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.$

Bảng biến thiên hàm số $t[x]:$

Do đó với $x \in [1;4]$ thì $t \in [\sqrt 3 ;\sqrt 6 ].$ Khi đó ta có $t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} $ $ \Rightarrow {t^2} = 3 – 2\sqrt { – {x^2} + 5x – 4} .$ $ \Rightarrow 2\sqrt { – {x^2} + 5x – 4} = 3 – {t^2}.$ Phương trình ban đầu trở thành: $mt + 3 – {t^2} – 7 = 0$ $ \Leftrightarrow m = t + \frac{4}{t}.$ Xét hàm số $f[t] = t + \frac{4}{t}$ với $t \in [\sqrt 3 ;\sqrt 6 ].$ Suy ra $f'[t] = 1 – \frac{4}{{{t^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = 2}\\ {t = – 2\:\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số thì để phương trình bài ra có nghiệm thì $4 \le m \le \frac{{10}}{{\sqrt 6 }}.$

Ví dụ 8. Cho phương trình $2{x^3} – 3{x^2} + 2m – 1 = 0.$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trên đoạn $[-2;4].$

Ta có $2{x^3} – 3{x^2} + 2m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 2m = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1.$ Xét hàm số $f[x] = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1$ trên đoạn $[ – 2;4].$ Khi đó $f'[x] = – 6{x^2} + 6x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi $1 < 2m < 2$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1.$

Ví dụ 9. Cho phương trình $4{\sin ^2}x – [m + 4]\sin x – 2m + 1 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm phân biệt trên đoạn $[0;\pi ].$

Đặt $t = \sin x.$ Xét hàm số $t[x] = \sin x$ với $x \in [0;\pi ].$ Khi đó $t’ = \cos x$, $t’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}.$

Ta có bảng biến thiên hàm số $t[x]:$

Từ bảng biến thiên, ta thấy với $x \in [0;\pi ]$ thì $t \in [0;1].$ Và mỗi $t \in [0;1]$ thì cho ta hai nghiệm $x \in [0;\pi ].$ Phương trình bài ra trở thành: ${t^2} – [m + 4]t – 2m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 4{t^2} – 4t + 1 = m[2 + t]$ $ \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} – 4t + 1}}{{t + 2}} = m.$ Xét hàm số $f[t] = \frac{{4{t^2} – 4t + 1}}{{t + 2}}$ với $t \in [0;1].$ Suy ra: $f'[t] = \frac{{[2t – 1][2t + 9]}}{{{{[t + 2]}^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = \frac{1}{2}}\\ {t = – \frac{9}{2}\:\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình bài ra có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình $f[t] = m$ có hai nghiệm phân biệt $t \in [0;1].$ Do đó $0 < m < \frac{1}{3}.$

Ví dụ 10. Cho phương trình $ – {m^3}{x^6} + {x^3} + 3[1 – m]{x^2} + 6x + 4 = 0.$ Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn $[-3;-1].$

Ta có $ – {m^3}{x^6} + {x^3} + 3[1 – m]{x^2} + 6x + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4 = {m^3}{x^6} + 3m{x^2}.$ $ \Leftrightarrow {[x + 1]^3} + 3[x + 1] = {\left[ {m{x^2}} \right]^3} + 3m{x^2}$ $[1].$ Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: $f[t] = {t^3} + 3t$ với $t \in R.$ Ta có $f'[t] = 3{t^2} + 3 > 0$, $\forall t \in R.$ Do đó hàm số $f[t]$ liên tục và đồng biến trên $R.$ Từ phương trình $[1]$, ta có: $f[x + 1] = f\left[ {m{x^2}} \right]$ $ \Rightarrow x + 1 = m{x^2}$ $ \Leftrightarrow m = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}.$ Xét hàm số $g[x] = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}$ với $[ – 3; – 1].$ Ta có $g'[x] = \frac{{ – {x^2} – 2x}}{{{x^4}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0\:\:{\rm{[loại]}}}\\ {x = – 2} \end{array}} \right..$

Bảng biến thiên của hàm số $g[x]:$

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình bài ra có đúng hai nghiệm phân biệt trên $[-3;-1]$ khi $m \in \left[ { – \frac{1}{4}; – \frac{2}{9}} \right].$

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho phương trình ${x^3} – {x^2} – 5x – m + 1 = 0.$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình bài ra có $3$ nghiệm phân biệt. A. $m \in [ – 8; – 6].$ B. $m \in \left[ { – 6;\frac{{ – 148}}{{27}}} \right].$ C. $m \in \left[ {\frac{{ – 148}}{{27}};4} \right].$

D. $m \in [4;5].$

Ta có ${x^3} – {x^2} – 5x – m + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = {x^3} – {x^2} – 5x + 1.$ Xét hàm số $f[x] = {x^3} – {x^2} – 5x + 1.$ Suy ra: $f'[x] = 3{x^2} – 2x – 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1}\\ {x = \frac{5}{3}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi $\frac{{ – 148}}{{27}} < m < 4.$
Chọn đáp án C.

Bài 2. Cho phương trình $\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + m – \frac{5}{4} = 0.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình bài ra có $4$ nghiệm phân biệt. A. $\left[ { – 3; – \frac{5}{4}} \right].$ B. $\left[ { – \frac{5}{4}; + \infty } \right].$ C. $[ – 4; – 3].$

D. $\left[ {\frac{5}{4};3} \right].$

Ta có $\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + m – \frac{5}{4} = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} – \frac{5}{4} = – m.$ Xét hàm số $f[x] = \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} – \frac{5}{4}.$ Suy ra $f'[x] = {x^3} – 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \pm 2} \end{array}} \right..$

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy phương trình bài ra có $4$ nghiệm phân biệt khi $ – m \in \left[ { – 3; – \frac{5}{4}} \right]$ $ \Leftrightarrow m \in \left[ {\frac{5}{4};3} \right].$
Chú ý: Bài toán này ta có thể đặt ẩn phụ $t = {x^2}$ đưa về biện luận dạng phương trình bậc hai: $\frac{1}{4}{t^2} – 2t + m – \frac{5}{4} = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt thì kết quả đáp số thu được vẫn giống như trên.
Chọn đáp án D.

Bài 3. Tìm tất cả điều kiện của tham số $m$ để phương trình $x + 3 = m\sqrt {{x^2} + 1} $ có hai nghiệm phân biệt. A. $[ – 2; – 1].$ B. $[1;\sqrt {10} ].$ C. $[ – 1;1].$

D. $[3;5].$

Ta có $x + 3 = m\sqrt {{x^2} + 1} $ $ \Leftrightarrow m = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Xét hàm số $f[x] = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Suy ra: $f'[x] = \frac{{1 – 3x}}{{\left[ {{x^2} + 1} \right]\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt khi $m \in [1;\sqrt {10} ].$
Chọn đáp án B.

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2{\sin ^2}x – [m + 3]\sin x + 2m – 1 = 0$ có nghiệm. A. $4.$ B. $3.$ C. $2.$

D. $6.$

Đặt $t = \sin x$ với $t \in [ – 1;1].$ Ta có phương trình: $2{t^2} – [m + 3]t + 2m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{t^2} – 3t – 1 = m[t – 2]$ $ \Leftrightarrow \frac{{2{t^2} – 3t – 1}}{{t – 2}} = m.$ Xét hàm số $f[t] = \frac{{2{t^2} – 3t – 1}}{{t – 2}}$ với $t \in [ – 1;1].$ Suy ra: $f'[t] = \frac{{2{t^2} – 8t + 7}}{{{{[t – 2]}^2}}} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\:\:{\rm{[loại]}}}\\ {t = \frac{{4 – \sqrt 2 }}{2}\:\:{\rm{[loại]}}} \end{array}} \right..$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm khi $m \in \left[ { – \frac{4}{3};2} \right].$ Do đó có các giá trị nguyên của $m$ là: $-1$, $0$, $1$, $2.$ Có bốn giá trị thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án A.

Bài 5. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $m[\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} ]$ $ + 2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} – 5 = 0$ có nghiệm. A. $3.$ B. $12.$ C. $9.$

D. $7.$

Đặt $t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} .$ Xét hàm số $t[x] = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} $ với $x \in [1;2].$ Ta có $t'[x] = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }}$, $t'[x] = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$

Bảng biến thiên của hàm số $t[x]:$

Từ bảng biến thiên của hàm số $t[x]$ ta có $t \in [1;\sqrt 2 ].$ Khi đó $t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} $ $ \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} $ $ \Leftrightarrow 2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} = {t^2} – 1.$ Phương trình trở thành: $mt + {t^2} – 1 – 5 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – t + \frac{6}{t}$ $[1].$ Xét hàm số $f[t] = – t + \frac{6}{t}$ với $t \in [1;\sqrt 2 ].$ Ta có $f'[t] = – 1 – \frac{6}{{{t^2}}} < 0$, $\forall t \in [1;\sqrt 2 ].$ Phương trình $[1]$ có nghiệm khi: $\mathop {\min }\limits_{_{[1;\sqrt 2 ]}} f[t] \le m \le \mathop {\max }\limits_{_{[1;\sqrt 2 ]}} f[t]$ $ \Leftrightarrow f[\sqrt 2 ] \le m \le f[1]$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \le m \le 5.$ Mà $m \in Z$ $ \Rightarrow m \in \{ 3;4;5\} .$ Vậy tổng các giá trị $m$ nguyên cần tìm là $S = 3+4+5=12.$

Chọn đáp án B.

Bài 6. Biết tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2x + 2 = \sqrt {{x^2} + 2x + m} $ có nghiệm có dạng $S = [a; + \infty ].$ Hỏi giá trị $a$ thuộc khoảng nào sau đây? A. $\left[ {\frac{{ – 3}}{2};\frac{1}{2}} \right].$ B. $\left[ {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right].$ C. $\left[ {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right].$

D. $\left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right].$

Ta có $2x + 2 = \sqrt {{x^2} + 2x + m} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{[2x + 2]}^2} = {x^2} + 2x + m\:\:[1]}\\ {x \ge – 1} \end{array}} \right..$ Khi đó ta có $[1] \Leftrightarrow m = 3{x^2} + 6x + 4.$ Xét hàm số $f[x] = 3{x^2} + 6x + 4$ với $x \ge – 1.$ Suy ra: $f'[x] = 6x + 6 \ge 0$, $\forall x \in [ – 1; + \infty ].$

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, suy ra phương trình bài ra có nghiệm khi $m \in [1; + \infty ].$ Do đó $a = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right].$
Chọn đáp án D.

Bài 7. Biết tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} – m + 5 = 0$ có đúng $4$ nghiệm phân biệttrên đoạn $[-2;3]$ là $S = [a;b].$ Tính tổng $T = a+b.$ A. $T = 74.$ B. $T = 19.$ C. $T =11.$

D. $T =20.$

Ta có ${x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} – m + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 5 = m.$ Xét hàm số $f[x] = {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 5$ với $x \in [ – 2;3].$ Ta có $f'[x] = 4{x^3} – 12{x^2} + 8x = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right..$

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình bài ra có đúng bốn nghiệm phân biệt khi $m \in [5;6].$ Do đó $T = 5 + 6 = 11.$
Chọn đáp án C.

Bài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x + 2\sqrt {1 – {x^2}} = m$ có hai nghiệm phân biệt. A. $0.$ B. $2.$ C. $1.$

D. $3.$

Ta có $x + 2\sqrt {1 – {x^2}} = m$, điều kiện $x \in [ – 1;1].$ Xét hàm số $f[x] = x + 2\sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in [ – 1;1].$ Suy ra: $f'[x] = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}.$ Khi đó: $f'[x] = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 0}\\ {1 – {x^2} = 4{x^2}} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.$

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, suy ra phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt khi $m \in [1;\sqrt 5 ].$ Mà $m \in Z$ $ \Rightarrow m = 2.$
Chọn đáp án C.

Bài 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^6} + 6{x^4} – {m^3}{x^3}$ $ + \left[ {15 – 3{m^2}} \right]{x^2} – 6mx + 10 = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {\frac{1}{2};2} \right].$ A. $\frac{7}{5} \le m < 3.$ B. $0 < m < \frac{9}{4}.$ C. $2 < m \le \frac{5}{2}.$

D. $\frac{{11}}{5} < m < 4.$

Ta có ${x^6} + 6{x^4} – {m^3}{x^3}$ $ + \left[ {15 – 3{m^2}} \right]{x^2} – 6mx + 10 = 0.$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{x^2} + 2} \right]^3} + 3\left[ {{x^2} + 2} \right]$ $ = {[mx + 1]^3} + 3[mx + 1]$ $[1].$ Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: $f[t] = {t^3} + 3t.$ Ta có $f'[t] = 3{t^2} + 3 > 0$, $\forall t \in R$ nên hàm số $f[t]$ liên tục và đồng biến trên $R.$ $[1] \Leftrightarrow f\left[ {{x^2} + 2} \right] = f[mx + 1]$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 2 = mx + 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – mx + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \frac{{{x^2} + 1}}{x}.$ Xét hàm số $g[x] = \frac{{{x^2} + 1}}{x}$ trên $\left[ {\frac{1}{2};2} \right].$ Ta có $g'[x] = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}$ $ \Rightarrow g'[x] = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$ khi và chỉ khi $2 < m \le \frac{5}{2}.$
Chọn đáp án C.

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x$ có nghiệm thực? A. $5.$ B. $2.$ C. $4.$

D. $3.$

Ta có $\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x$ $ \Leftrightarrow m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = {\sin ^3}x.$ $ \Leftrightarrow [m + 3\sin x] + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}$ $ = {\sin ^3}x + 3\sin x$ $[1].$ Xét hàm số đặc trưng cho phương trình $[1]$, ta có: $f[t] = {t^3} + 3t$ với $t \in R$, $f'[t] = 3{t^2} + 3 > 0$ với mọi $t \in R.$ Do đó hàm số $f[t]$ liên tục và đồng biến trên $R.$ Ta có $[1] \Leftrightarrow f[\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}] = f[\sin x]$ $ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = \sin x.$ $ \Leftrightarrow m + 3\sin x = {\sin ^3}x$ $ \Leftrightarrow m = {\sin ^3}x – 3\sin x.$ Đặt $u = \sin x$, ta có $g[u] = {u^3} – 3u$, với $u \in [ – 1;1].$ $g'[u] = 3{u^2} – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow u = \pm 1.$ Khi đó: $g[1] = – 2$, $g[ – 1] = 2.$ Phương trình bài ra có nghiệm khi $\mathop {\min }\limits_{_{[ – 1;1]}} g[u] \le m \le \mathop {\max }\limits_{_{[ – 1;1]}} g[u]$ $ \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2.$ Mà $m \in Z$ $ \Rightarrow m \in \{ – 2; – 1;0;1;2\} .$ Vậy có $5$ giá trị nguyên cần tìm.

Chọn đáp án A.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 2{x^2} – 3m + 1 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt. A. $m = \frac{1}{3}.$ B. $m \in [1;3].$ C. $m \in [ – 2;0].$

D. $m = 1.$

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 3x + m – 4 = 0$ có nghiệm $x \in [0;3].$ A. $[ – 6;14].$ B. $[ – 14;6].$ C. $[ – 6; – 4].$

D. $[ – 4; + \infty ].$

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^3} + 3{x^2} – m + 3 = 0$ có nghiệm $x \in [ – 3; – 1].$ A. $[3;5].$ B. $[3;7].$ C. $[3; + \infty ].$

D. $[5;7].$

Bài 4. Biết tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${x^4} – 2{x^2} + 5 – 2m = 0$ có bốn nghiệm phân biệt là $S = [a;b].$ Tính $T = a+b.$ A. $T = \frac{{ – 1}}{2}.$ B. $T = \frac{3}{2}.$ C. $T = \frac{7}{2}.$

D. $T = \frac{9}{2}.$

Bài 5. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $2{x^3} – [m + 1]x + 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $[0;3].$ A. $22.$ B. $171.$ C. $156.$

D. $161.$

Bài 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${x^2} – 2x + [m + 2]\sqrt {2x – {x^2}} – 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt? A. $1.$ B. $2.$ C. $3.$

D. $0.$

Bài 7. Biết tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\sin ^2}x + [2 – m]\cos x + 3m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt trên đoạn $[ – \pi ;\pi ]$ là $S = [a;b].$ Tính $T = a + b.$ A. $T = – \frac{1}{2}.$ B. $T = \frac{3}{2}.$ C. $T = – \frac{2}{3}.$

D. $T = \frac{7}{3}.$

Bài 8. Cho phương trình $\sqrt x + \sqrt {4 – x} = \sqrt {4x – {x^2} + m} .$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. A. $1.$ B. $2.$ C. $4.$

D. $7.$

Bài 9. Cho phương trình: ${\sin ^3}x\left[ {{{\sin }^6}x + 3} \right] – {m^3} – 3m$ $ = 27{\sin ^3}x + 27m{\sin ^2}x + 9\left[ {1 + {m^2}} \right]\sin x.$ Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right].$ A. $2.$ B. $-1.$ C. $-2.$

D. $0.$

Bài 10. Cho phương trình ${x^3} + 3{x^2} + 6x – 2\sqrt {x + m} $ $ = [x + m + 1]\sqrt {x + m} – 4.$ Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $S =[a;b].$ Tính tổng $T = 4a + b.$ A. $T =-3.$ B. $T =4.$ C. $T =-2.$

D. $T = 7.$

V. BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. $A.$ 2. $B.$ 3. $B.$ 4. $D.$ 5. $C.$ 6. $A.$ 7. $A.$ 8. $A.$ 9. $C.$

10. $B.$