Phương trình đoạn chắn lý thuyết

Bài tập 1: Cho điểm $A\left( 3;0;0 \right)$ và điểm $M\left( 0;2;-1 \right).$Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$đi qua A, M sao cho $\left( \alpha \right)$cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm B, C sao cho ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{2},$ với O là gốc tọa độ.

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$cắt các trục $Oy$; $Oz$ lần lượt tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( \alpha \right)$đi qua điểm$M\left( 0;2;-1 \right)$ nên $\frac{2}{b}-\frac{1}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{2}{b}-1=\frac{2-b}{b}\Rightarrow c=\frac{b}{2-b}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3\left| bc \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| bc \right|=1$

Khi đó: $\left| b.\frac{b}{2-b} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} {{b}^{2}}=2-b \\ {} {{b}^{2}}=b-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} b=1 \\ {} b=-2 \\ \end{array} \right.$

Với $b=1\Rightarrow c=1\Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$

Với $b=-2\Rightarrow c=\frac{-1}{2}\Rightarrow \left( \alpha \right):\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-2z=1$

Bài tập 2: Cho điểm $A\left( -1;0;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+2=0$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với $\left( P \right)$ và cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại các điểm B, C sao cho ${{S}_{ABC}}=\frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các trục $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( ABC \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=0\Rightarrow -1+\frac{2}{b}=0\Rightarrow b=2$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}\left( 1;2;0 \right);\overrightarrow{AC}\left( 1;0;c \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{5{{c}^{2}}+4}}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$

Suy ra $\left( ABC \right):-x+\frac{y}{2}\pm \frac{z}{1}=1$

Bài tập 3: Cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-5=0$. Viết phương trình $\left( Q \right)$ chứa đường $\Delta =\left( P \right)\cap \left( xOy \right)$ và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho ${{V}_{OABC}}=\frac{125}{36}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( xOy \right):z=0\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-5+2t \\ {} z=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;0 \right)$

Do $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng $\Delta \Rightarrow \left( Q \right)$ qua điểm $\left( 0;-5;0 \right)$

Giả sử $\left( Q \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{c}=1$$\left( a;c\ne 0 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( \frac{1}{a};-\frac{1}{5};\frac{1}{c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{2}{5}=0\Rightarrow a=\frac{5}{2}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}\left| abc \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow \frac{1}{6}\left| \frac{5}{2}.5.c \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow c=\pm \frac{5}{3}\Rightarrow \left( ABC \right):\frac{2}{5}x-\frac{y}{5}\pm \frac{3}{5}z=1$

Hay $2x-y\pm 3z-5=0$

Bài tập 4: Cho hai điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$. Viết $\left( P \right)$ đi qua M, N và cắt các trục $Ox$, $Oy$ theo tứ tự tại A, B (khác O) sao cho $AM=\sqrt{3}BN$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ là giao điểm của $\left( P \right)$ với các trục tọa độ

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( abc\ne 0 \right)$

Do $\left( P \right)$ đi qua các điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \\ {} \frac{-1}{a}-\frac{1}{c}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\ {} \frac{2}{b}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\ {} b=1 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $AM=\sqrt{3}BN\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+4+1=3\left[ \left( 1+{{b}^{2}}+1 \right) \right]=9$

$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=3\Rightarrow c=\frac{-3}{4} \\ {} a=-1\Rightarrow \frac{1}{c}=0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Khi đó $\left( P \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}-\frac{4z}{3}=1$ hay $\left( P \right):x+3y-4z-3=0$

Bài tập 5: Cho hai điểm $M\left( 1;9;4 \right)$. Viết $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ thự tại A, B, C (khác O) sao cho $8.OA=12.OB+16=37.OC$, với ${{x}_{A}}>0;{{y}_{B}}>0;{{z}_{C}}<0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a>0;b>0;c0;b>0;c<0$

Do $8.OA=12.OB+16=37.OC\Rightarrow 8a=12b+16=-37c$

Ta có: $8a=12b+16=-37c\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{\frac{8a-16}{12}}+\frac{4}{-\frac{8}{37}a}=1\Leftrightarrow \frac{35-4a}{{{a}^{2}}-2a}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} a=5 \\ {} a=-7\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Với $a=5\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} b=2 \\ {} c=\frac{-40}{37} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( P \right):\frac{x}{5}+\frac{y}{2}-\frac{37}{40}z=1$hay $\left( P \right):8x+20y-37z-40=0$

Bài tập 6: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left( 3;0;0 \right)$ và $B\left( 0;6;0 \right)$ cắt trục $Oz$ tai C sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ bằng 12 là:

A. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{4}=1$ B. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{4}=1$ C. $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{2}=1$ D. Cả A và B đều đúng

Lời giải chi tiết

Giả sử $C\left( 0;0;c \right)$ ta có phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{c}=1$

Ta có $OA,OB,OC$đôi một vuông góc nên ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3.6.\left| c \right|=12\Leftrightarrow c=\pm 4$.

Chọn D

Bài tập 7: Gọi A, B, C là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right):x+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( bc\ne 0 \right)$ với các trục tọa độ. Diện tích tam giác $ABC$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}}{2}$ B. $\frac{bc}{2}$ C. $\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$ D. $\frac{bc}{6}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $A\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. $\overrightarrow{AB}=\left( -1;b;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;c \right)$

Khi đó: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( bc;c;b \right) \right|=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$. Chọn C

Bài tập 8: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 2;0;0 \right)$ và $H\left( 1;1;1 \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua A, H sao cho $\left( P \right)$ cắt các tia $Oy$, $Oz$ lần lượt tại B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng $4\sqrt{6}$

A. $\left( P \right):x+2y+2z-2=0$ B. $\left( P \right):2x+2y+z-4=0$

C. $\left( P \right):2x+y+2z-4=0$ D. $\left( P \right):2x+y+z-4=0$

Lời giải chi tiết

Gọi $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$(điều kiện $b,c>0$) suy ra $\left( P \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Vì $H\in \left( P \right)$ nên $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=384$

Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=b+c \\ {} v=bc \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} v=2u \\ {} {{v}^{2}}+4\left( {{u}^{2}}-2v \right)=384 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} u=8;v=16 \\ {} u=-6;v=-12\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} b+c=8 \\ {} bc=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=c=4$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ hay $2x+y+z-4=0$. Chọn D

Bài tập 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$. Biết rằng $\left( ABC \right)$ đi qua điểm $M\left( \frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$. Tính giá trị $\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}$

A. 14 B. $\frac{1}{7}$ C. 7 D. $\frac{7}{2}$

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$

Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, bán kính $R=\frac{6\sqrt{14}}{7}$

Khoảng cách từ $I\xrightarrow{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}$

Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với $mp\left( ABC \right)$$mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}$. Chọn D